Урок (90 мин) для 10 класса (1 курс СПО) Приближённые значения величины и погрешности приближения. Решение задач с приближёнными величинами

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
СОВЕТ ДИРЕКТОРОВ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧРЕЖДЕНИЙ
РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
по теме «Приближённые значения величины и
погрешности приближения. Решение задач с
приближёнными величинами»
по учебной дисциплине ОДП.01 «Математика: алгебра и
начала математического анализа; геометрия»
Профессия 190631.01 (23.01.03) Автомеханик
(в рамках областного заочного конкурса методических
разработок учебных занятий преподавателей математики
профессиональных образовательных учреждений
Ростовской области «Современный урок математики»)
Автор:
Сухова Ольга Васильевна,
высшая квалификационная
категория
2020 год
ГБПОУ РО «Зерноградский техникум
агротехнологий», преподаватель
Пояснительная записка
Профессия 190631.01 (23.01.03) Автомеханик
ОДП.01 «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
Тема занятия «Приближённые значения величины и погрешности приближения.
Решение задач с приближёнными величинами»
Объем времени - 90 мин.
В последние годы качественно улучшился набор наших студентов. К нам идут не
только троечники, но и выпускники основной школы со средним баллом аттестата 4-5.
Эти знают, «зачем нам математика». А немотивированным я рассказываю, что
математика это не только умение считать деньги (по их мнению этого достаточно!).
Математика вошла в нашу жизнь во всех ее аспектах. Наука и техника. Медицина и
сельское хозяйство. Математика - это не только пафос высоких технологий. Математикаэто расчеты в профессиональной деятельности. Любой.
В данной работе предложена возможность показать применение одного из разделов
математики в профессиональной деятельности рабочего-автомеханика. Математика
является важной основой для получения профессиональных знаний. На занятиях по
профессиональным дисциплинам студенты сталкиваются с большим количеством
расчетов, соотношений, пропорций, таблиц, что требует необходимых математических
знаний и умений. Урок по теме «Приближённые значения величины и погрешности
приближения. Решение задач с приближёнными величинами» проводится в группах
профессии 190631.01 (23.01.03) Автомеханик, 1 курс, (уроки 7-8). Основная идея этого
занятия - творческий подход в изучении математики, применение знаний и умений при
решении профессиональных задач с целью проявления интереса к будущей профессии.
Методическая разработка составлена с учетом программных требований.
Работа состоит из Плана-конспекта и Презентации.
Урок по теме: «Приближённые значения величины и погрешности
приближения. Решение задач с приближёнными величинами»
Тип урока:
комбинированный
Цель урока:
познакомить студентов с основными приемами и методами
нахождения приближенных значений величины. Научить студентов применять знания и
умения в будущей профессиональной деятельности.
Задачи урока:
Образовательные: систематизировать, расширить и углубить знания, умения в
приближенных расчетах; изучить новые понятия, ввести новые термины и условные
обозначения, связать вновь изученный материал с ранее пройденным;
Развивающие: способствовать развитию умения обобщать факты и делать выводы,
формулировать суждения;
Воспитательные:
побуждать студентов к самоконтролю, взаимоконтролю,
вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний, ответственность за
выполняемое задание, взаимопомощь, воспитывать аккуратность.
Универсальные учебные действия:
Познавательные: определяют умения, которые будут сформированы на основе
изучаемого раздела, определяют круг своего незнания; строят логическую цепочку
рассуждений, критически оценивают полученный ответ;
Регулятивные: планируют алгоритм выполнения задания, корректируют работу по
ходу выполнения с помощью учителя и ИКТ средств; формулируют учебную задачу на
основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще не известно;
Коммуникативные: отстаивают свою точку зрения, подтверждают фактами;
оказывают в сотрудничестве необходимую взаимопомощь;
Личностные: понимают ответственность за качество приобретенных знаний.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор,
сопровождения урока, индивидуальные оценочные листы.
презентация
для
Работа учащихся состоит из восьми этапов:
1. Повторение ранее изученного материала
2. Тестовое задание 1
3. Изучение нового материала
4. Тестовое задание 2
5. Изучение нового материала
6. Тестовое задание 3
7. Тестовое задание 4
8. Рефлексия: тестовое задание 5
Результаты каждого этапа урока ученики заносят в индивидуальные оценочные
листы:
Фамилия, Имя
Этап/время
Задание
1/ 5 мин
2/ 10 мин
3/ 10 мин
4/ 10 мин
5/ 10 мин
6/ 15 мин
Повторение ранее изученного материала
Тестовое задание 1
Изучение нового материала
Тестовое задание 2
Изучение нового материала
Тестовое задание 3
Количество
баллов
Max 1
Max 1
Max 1
Max 3
Max 1
Max 7
7/ 10 мин
Тестовое задание 4
8/ 15 мин
Рефлексия: тестовое задание 5
Итого баллов за урок
Оценка за урок
Max 4
Max 3
n=
Оценка за урок зависит от суммы n набранных баллов по всем заданиям.
Если n равно 19-21, то ученик получает «5»;
при 16 < n < 18 оценка «4»;
при 13 < n < 15 оценка «3»;
при n < 13 ученик получает «2».
Организационный момент.
Приветствие студентов, проверка их готовности к уроку.
Актуализация знаний. Сообщение темы урока
1.
Повторение ранее изученного материала (Max 1)
На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы,
как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр
показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой спидометр не может дать
точных показаний скорости и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно
правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того, чтобы
иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать их
приближенными значениями.
Задача. Относительная погрешность спидометра по ГОСТ равна 2,2% при
скорости более 20 км/ч. Определите, в каком интервале может находиться значение
скорости автомобиля, если спидометр показывает 80 км/ч?
Чтобы решить эту житейскую задачу, которую решают все водители, нам нужно
разобраться в теме этого урока: «Приближённые значения величины и погрешности
приближения. Решение задач с приближёнными величинами» (Презентация).
1. Что такое модуль числа?
Определение:
Модулем неотрицательного действительного числа x называют само число :  x  = x;
Модулем отрицательного действительного числа x называют противоположное число: 
x  = - x.
x , если x  0 ,
 x  ={
−x , если x < 0 .
2. Определите, чему равен модуль разности: 5 и 3 (2); 7 и 9 (2); 5 и -9 (14);
3. Вспомните правила округления чисел.
Правило: При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все
следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после
запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше
или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая
оставшаяся за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не
изменяют.
Задание: Округлите 2,635; 10,781 – до десятых, сотых.
2. Тестовое задание1 (Max 1): Округлите число до подчеркнутого разряда и
установите соответствие с номером результата:
Число
Результат
А) 8,4572
1) 8,4572; 2) 8,457; 3) 8,458
Б)
25,78925
1) 25,7893; 2) 25,7892; 3) 25,7890
В)
45,149865
1) 45,1; 2) 45,2; 3) 45,3
Г)
0,154865
1) 0,154; 2) 0,155; 3) 0,150
Д) 0,154865
1) 0,16; 2) 0,14; 3) 0,15
Е) 14,254871
1) 14,25487; 2) 14,25488; 3) 14,25486
Правильное решение:
Число
Результат
А) 8,4572
1) 8,4572; 2) 8,457; 3) 8,458
Б)
25,78925
1) 25,7893; 2) 25,7892; 3) 25,7890
В)
45,149865
1) 45,1; 2) 45,2; 3) 45,3
Г)
0,154865
1) 0,154; 2) 0,155; 3) 0,150
Д) 0,154865
1) 0,16; 2) 0,14; 3) 0,15
Е) 14,254871
1) 14,25487; 2) 14,25488; 3)
14,25486
3. Изучение нового материала (Max 1)
На сколько отличается приближенное значение от точного?
Точное значение
Приближенное
значение
Разница
2,40
2,35
7,125
7,130
12,15
11,98
159,35
160,12
14,01
14,02
Точное значение
Приближенное
значение
Разница
2,40
2,35
0,05
7,125
7,130
0,005
12,15
11,98
0,17
159,35
160,12
0,77
14,01
14,02
0,01
Вывод: Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от
точного, надо из большего числа вычесть меньшее.
Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется
модуль разности точного и приближенного значений.
Если х ≈ α, где х – точное значение,
а α – приближенное, то
Абсолютная погрешность :  = │х – α │
Пример:
Пусть x = 80,5 км/ч
α  80 км/ч
Абсолютная погрешность:
 = │х – α │= │80,5 – 80 │= 0,5 км/ч
Отчего зависит точность приближенного значения?
Она зависит от многих причин. Если приближенное значение получено при
измерении, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось
измерение. Никакое измерение не может быть выполнено совершенно точно. Даже сами
меры заключают в себе погрешность. Изготовить совершенно точную метровую
линейку, килограммовую гирю, литровую кружку чрезвычайно трудно и закон
допускает некоторую погрешность при изготовлении. Весь вопрос в качестве
приближения. Мерой качества измерения является относительная погрешность
измерения.
Определение: Относительная погрешность измерения — отношение абсолютной
погрешности измерения к опорному значению измеряемой величины, в качестве
которого может выступать, в частности, ее истинное или действительное значение
|x−α|
Относительная погрешность :
 = x  100%

Или  = x  100%
Пример: Пусть x = 80,5 км/ч
α  80 км/ч
Абсолютная погрешность:
 = │х – α │= │80,5 – 80 │= 0,5 км/ч
Относительная погрешность:

0,5
 = x  100% = 80,5  100% =0,62%
Вывод:
Относительная погрешность приближения показывает, какую часть или сколько
процентов составляет абсолютная погрешность от приближенного значения числа.
Чем меньше абсолютная погрешность по отношению к приближенному значению, тем
лучше качество приближения, то есть относительная погрешность характеризует
качество приближения.
На производстве при изготовлении деталей пользуются штангенциркулем (для
измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).
Пример: Абсолютная погрешность при измерении штангенциркулем составляет 0,1
мм. Диаметр поршня цилиндра двигателя d = 9,86см = 98,6мм. Найдем оценку
относительной погрешности при измерении штангенциркулем:
0,1
δ =98,6  100%= 0,001 100%= 0,1%
4. Тестовое задание 2(Max 3). Определите среднее арифметическое dср, найдите
абсолютную погрешность. Используя значение абсолютной погрешности, найдите
относительную погрешность
№
измерения
d, мм
1
2.32
2
2.34
3
2.36
4
2.33
5
2.35
Среднее
значение d ср ,
Абсолютная
погрешность
|dср - d|, мм
Относительная
погрешность
|d - d|
 ср
%
dср
2,34
Используя значение абсолютной погрешности, найдите относительную
погрешность
Абсолютная
погрешность
|dср - d|, мм
№ измерения
d, мм
1
2.32
0.02
2
2.34
0.00
3
2.36
0.02
4
2.33
0.01
5
2.35
0.01
Среднее
значение dср,
Относительная
погрешность
|d - d|
 ср
%
dср
2,34
Проверьте полученные значения
№ измерения
d, мм
Абсолютная
погрешность
Относительная
погрешность
|dср - d|, мм

|dср - d|
%
dср
𝟎,𝟎𝟐
1
2.32
0.02
2
2.34
0.00
3
2.36
0.02
𝟐,𝟑𝟒
𝟎,𝟎
𝟐,𝟑𝟒
𝟎,𝟎𝟐
𝟐,𝟑𝟒
𝟎,𝟎𝟏
4
2.33
0.01
𝟐,𝟑𝟒
𝟎,𝟎𝟏
5
Среднее
значение dср,
2.35
0.01
𝟐,𝟑𝟒
 = 0,85
%
 = 0 %
 = 0,85
%
 = 0,43
%
 = 0,43
%
2,34
5. Изучение нового материала (Max 1)
Определение: Границей относительной погрешности приближения называется
положительное число Е которое больше или равно самой относительной погрешности.
∆х
𝐡
=|𝐚| ≤ 𝐚 = 𝐄
Относительная погрешность, граница относительной погрешности являются
безразмерными величинами
Пример:
1. Сравнить качество двух измерений:
а) ширина заднего сиденья автомобиля а = 1,2 м ,  х = 0,005 м;
1
1
б) расстояние от гаража до АЗС а = 6,76 км ,  х = 10 м .
2
2
Решение: При первом измерении допущена погрешность
х1 = 0,005 м = 5 мм на 1,2 м = = 1200 мм.
Определим относительную погрешность первого измерения, то есть какую часть
(сколько %) составляет абсолютная погрешность  х1 от приближенного значения а1 ;
5
Е1 = 1200 =0,42  0,5 % .
Определим относительную погрешность второго измерения, то есть какую часть
(сколько %) составляет абсолютная погрешность х2 = 10 м от приближенного
значения а2 = 6,76 км = 6760 м;
10
Е2 = 6760 =0,15%  0,2 % .
Е2 < Е1 , следовательно, качество второго измерения лучше.
Ответ: Качество второго измерения лучше.
2. Термометр дает отклонение не более 0,5° С. Им измерили температуру воздуха и
получили 17° С. С какой относительной точностью выполнено измерение?
Решение: а = 17° С, h= 0,5° С.
Под относительной точностью понимается граница
E=
Ответ: Е = 3 %.
h
a
=
0,5
17
= 2,9 %  3 %
6. Тестовое задание 3(Max 7):
1. Сравнить качество двух измерений:
а) масса автомобиля КАМАЗ т = 16 ± 0,5(т);
1
б) масса канистры с тосолом (нетто) т = 5 ± 0,005(кг).
2
2. Определить границу относительной погрешности следующих чисел:
а) а = 142,5;  х = 0,05;
в) а = 2,372;  х = 0,004;
б) а = 6,93;  х = 0,02;
г) а = 12,79;  х = 2.
3. Найти границу абсолютной погрешности массы легкового автомобиля а = 1348,
если Е =0,04 %.
0,5
1. Решение: а) Е1= 16 =3,125%
0,005
Б) Е2= 5 =0,1%
Е2 < Е1, следовательно, качество первого измерения выше.
Ответ: масса канистры с тосолом измерена точнее
2. Решение:
х
0.05
х
0.02
х
0,004
х
2
а) Е= a 100% = 142.5100%= 0,035%  0,05%
б) Е= a 100% = 6.93 100% =0,29% 0,3%
в) Е= a 100% = 2,372 100% =0,17% 0,2%
г) Е= a 100% = 12,79 100%=15,64% 20%
3. Решение: Выразим  х из формулы
х
Е= a 100% :
Е a
 х = 100%
х=
0.04%
100%
1348 = 0,54
7. Тестовое задание 4 (Max 4):
1. Известно, что диаметр d поршня цилиндра двигателя d = а с точностью до Е %.
Найти границу абсолютной погрешности приближения, если:
а) а = 2,75; Е = 20 %;
в) а = 237;
Е = 1 %;
б) а = 1,3;
Е = 10 %;
г) а = 1,49;
Е = 0,1 %.
Решение:
Е a
20%
а)  х = 100%;  х = 100% 2,75 = 0,55
Е a
б)  х = 100%;
10%
 х = 100% 1,3 = 0,13
Е a
1%
в)  х = 100%;  х = 100% 237 = 2,37
Е a
г)  х = 100%;
0,1%
 х = 100% 1,49 = 0,00149
Вернемся к задаче, с которой начался наш урок:
Задача. Относительная погрешность спидометра по ГОСТ равна 2,2% при скорости
более 20 км/ч. Определите, в каком интервале может находиться значение скорости
автомобиля, если спидометр показывает 80 км/ч?
Решение: 2,2 % от 80: =
Из формулы
80∙2,2
100
= 1,76 км/ч
 = │х – α │ 80-1,76  80  80+1,76
Значение скорости автомобиля находится в интервале
Ответ: V  [78,24 ; 81,76]
8. Рефлексия: Тестовое задание 5 (Max 3):
1. Определить безопасную дистанцию при V= 90 км/ч
Безопасной считается дистанция, которую автомобиль проходит за 2 с.
90∙1000
L= 3600 ∙ 2 = 50 м - точное значение
Для быстрого счета на дороге: (90:10 ∙ 3) ∙ 2 сек  54 м – приближенное значение
Определите абсолютную и относительную погрешности вычислений.
абсолютная погрешность вычислений: Δ =|50 − 54| = 4 м,
∆
относительная погрешность вычислений:  = a ; =
4
 0,08 или 8% .
50
Ответ: 8%
2.
Реакция водителя не должна превышать 1 с. Какое расстояние пройдет
автомобиль за 1 с при V=км/ч?
80∙1000
Решение: L= 3600 ≈ 22 м
Для быстрого счета на дороге: отбросить «0» и умножить на 3 (80:10∙3=24 м)
Определите абсолютную и относительную погрешности вычислений.
абсолютная погрешность вычислений: Δ =|22 − 24| = 2 м,
∆
относительная погрешность вычислений:  = a;
2
=
 0,09 или 9% .
22
Ответ: 9%
3.
Определить тормозной путь легкового автомобиля при скорости V=80 км/ч
на сухом асфальто-бетонном дорожном покрытии, если при V=40 км/ч он
составляет 14,5 м? (для справки: увеличение скорости в n раз влечет увеличение
тормозного пути в n2 раз). Найдите, в каком интервале может находиться значение
тормозного пути автомобиля, если относительная погрешность составляет 5%?
Решение: 80:40 = 2 раза; Тормозной путь L=14,5 22 = 14,5 4 = 58 м
=
58∙5
100
= 2,9 м
 = │х – α │ 58-2,9  58  58+2,9
Ответ: Sтор  [ 55,1 ; 60,9]
Подведение итогов урока (достижение целей урока)
Выставление оценок.
Информация о домашнем задании.
Информационное обеспечение урока:
Основные источники:
1. Башмаков М. И. Математика: учебник для профессионального образования
/М.И.Башмаков - М.: Академия, 2018. – 252 с.
Дополнительные источники:
1. Башмаков М. И. Математика 10 класс: сборник задач для общ. учреждений/
/М.И.Башмаков - М.: Академия, 2008. – 272 с.
Интернет-ресурсы:
1.
Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов; - Режим доступа:
www.school-collection.edu.ru