Оценка погрешностей косвенных измерений

Оценка погрешностей косвенных измерений
Цель работы: на практическом примере научиться проводить косвенные измерения и оценивать их погрешности.
Косвенные измерения – измерения, при которых искомое значение находят на основании
известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными прямыми измерениями.
В общем случае измеряемая величина Y может зависеть от величин X1 , X 2 ,..., X n , получаемых при прямых измерениях. Тогда при косвенных измерениях эта искомая физическая величина
может быть вычислена по некоторой формуле Y  FX1 , X 2 ,..., X n  .
Абсолютная погрешность определяется следующим образом:
2
2
 f
  f

 f

   
x1   
x 2   ...  
x n 
 x1
  x 2

 x n

2
(1)
а относительная –
2
2
 f x1   f x 2 
 f x n
  
  ...  
   
 x1 f   x 2 f 
 x n f
2

 .

(2)
Порядок выполнения работы
Задание 1. Требуется определить плотность вещества, из которого состоит параллелепипед с размерами граней х1, х2, х3 и массой
m
m:   , V = х1 х2 х3. Берется прямой параллелепипед с гранями
V
х2
приблизительно равными друг другу и массой около 10 г (рис. 1).
Погрешность в опыте будет определяться в основном погрешностью
х3
взвешивания. Для этого необходимо пользоваться аналитическими
х1
весами, дающими ошибку около 1 мг. Тогда для определения длин
Рис. 1
граней необходимо использовать прибор более точный, чем штангенциркуль, только в этом случае погрешность измерения длин граней будет меньше погрешности
взвешивания.
Измеряем массу тела на аналитических весах, абсолютная погрешность m которых обычm
но указывается на приборе, тогда относительная погрешность - m 
.
m
Измеряем длину каждой грани. Здесь абсолютная погрешность тоже задается прибором, и
обычно составляет половину цены деления, которую надо будет определить и
x
x
x
x1  x 2  x 3  x , но x 1  
, x 2  
, x 3  
.
x1
x2
x3
Рассчитаем относительную погрешность измерения объема по формуле (2):
2
2
2
 dV x   dV x   dV x 
 = 
  
  
 V   
 dx1 V   dx 2 V   x 3 V 
2
2
2
2
2
 x 2 x 3 x   x1 x 3 x   x 2 x1x 

  
  
 =
 x1x 2 x 3   x1x 2 x 3   x1x 2 x 3 
2
 x   x   x 
 =  x12  x 22  x 32
  
  
=  
 x1   x 2   x 3 
(3)
С другой стороны,  V 
V
, следовательно, V   V V , тогда результат запишется в виде:
V
V  V  V .
Рассчитаем абсолютную и относительную погрешности измерения плотности.
2
2
2
2
2
2
 d
  d

 m   m

 m   m

   
m   
V    
    2 V    
   2 V  .
 dm
  dV

 V   V

 V  V

2
2
2
2
 mV   mV

 m   V 
2
2
   
   2 V    
   2    m  V .
 Vm   V m

 m  V 
Результат измерения записывается в виде:      .
Задание: рассчитать плотность тела согласно своему варианту.
Вариант
масса, г
длина х1, мм
1
4
20
2
6
15
3
5
22
4
7
18
5
9
17
Для каждого варианта m = 1 мг, x = 0,05 мм.
(4)
длина х2, мм
15
15
20
20
19
(5)
Таблица 1
длина х3, мм
16
13
18
18
16
Задание 2. Для взвешивания параллелепипеда воспользуемся более грубыми весами - техническими, абсолютная погрешность которых равна половине цены деления. В этом случае для
измерения длин можно использовать штангенциркуль, абсолютная погрешность которого 0,01 мм.
Но так как используются менее точные приборы, то могут возникнуть существенные случайные
погрешности, поэтому необходимо определить средние квадратичные отклонения результатов измерения массы и геометрических размеров. Для этого надо провести опыты несколько раз, например, 5, для массы и длины. В этих случаях для систематизации удобно пользоваться следующими
таблицами.
Таблица 2
2
№ опыта
mi
S

m
m i
m
m i
1
...
5
 = 2,776 – коэффициент Стьюдента для n = 5 измерений и доверительной вероятности Рд
= 0,95, S – среднее квадратичное отклонение.
Заполняем таблицы 3 – 5 для геометрических параметров.
Таблицы 3 - 5
2
№ опыта
х1i
S

xi
x1i
x1
x 1i
x1
1
...
5
Заполнив таблицы 2 – 5, пользуясь таблицей вариантов 6, а также формулами (3) – (5), рассчитать  и  . Результат записать в виде:      .
Таблица 6
Вариант
1
2
3
4
5
масса, г
15,4
14,5
15,3
15,5
16,1
13,1
12,5
13,2
13,5
12,4
16,3
15,9
15,6
16,5
15,8
17,0
16,9
16,8
17,1
16,9
14,0
14,3
13,9
14,1
13,8
Варианты задания 2
длина х1, мм
длина х2, мм
14,3
12,3
13,5
12,5
14,5
11,5
13,6
11,8
13,5
12,2
15,7
11,9
15,5
12,1
14,8
11,6
14,9
12,5
15,3
11,5
13,4
13,5
13,2
13,6
13,3
13,4
13,0
13,7
13,5
14,0
12,9
15,1
13,0
14,9
12,7
14,8
13,4
15,0
12,9
14,9
13,5
14,6
13,6
14,5
13,4
14,3
13,5
14,7
13,7
14,4
длина х3, мм
13,8
13,5
12,9
12,9
13,2
12,8
13,0
12,7
13,4
13,1
12,3
12,2
12,4
12,3
12,0
13,6
13,8
14,0
13,9
13,7
12,5
12,5
12,6
12,6
12,4
Контрольные вопросы
1. Что называется прямыми и косвенными измерениями?
2. Как определяется абсолютная погрешность измерений функции многих переменных?
3. Как определяется относительная погрешность измерений функции многих переменных?
4. Что такое среднее квадратичное отклонение результата при прямых измерениях?
5. Что такое среднее квадратичное отклонение результата при косвенных измерениях? Как
оно определяется?
6. Для чего необходимо определять среднее квадратичное отклонение результата измерений?
7. Как правильно записываются результаты измерений?