МЕТОДИЧКА ПОГРЕШНОСТИ

Практическое занятие №1
Вычисление погрешностей результатов арифметических действий над
приближёнными числами.
Цель: сформировать у студентов
знания, умения и навыки
работы с
приближенными числами в применении формул погрешностей элементарных
действий и функций, нахождения значений выражений по способу границ и
методом строгого учета абсолютных погрешностей после каждой операции.
Норма времени: 2 часа
Порядок выполнения работы
Теоретические сведения
ех – абсолютная погрешность.
δх – относительная погрешность.
х – точное значение величины.
х - приближенное значение величины (приближение)
ех = |х - х |
х 
ех
х
Пример 1. Дано число х=0,00006 и его приближение
абсолютную и относительную погрешности приближения.
Решение: ex = | 0,00006-0,00005| = 0,00001

х =0,00005. Найти
0,00001
 0,2  20%
0,00005
Ответ:
абсолютная погрешность 0,00001 и относительная
приближения равна 20%
погрешность
Пример 2. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа х
= 984,6, если оно имеет только верные цифры в строгом смысле.
Решение: Цифры числа верны в строгом смысле, если абсолютная погрешность
данного числа не превосходит половины единицы разряда, в котором записана
последняя верная цифра числа.
0,1
 0,05 ( т.к. 6 –последняя верная цифра, стоит в разряде десятых)
2
е
0,05
 х  х  100% 
 100%  0,0051%
х
984,6
ех 
Ответ: абсолютная погрешность для числа х ех=0,05
относительная погрешность числа х δх=0,0051
Пример 3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа х
=2,364, если оно имеет только верные цифры в широком смысле.
Решение: Цифры числа верны в широком смысле, если абсолютная погрешность
данного числа не превосходит единицы разряда, в котором записана последняя
верная цифра числа.
ех = 0,001 (последняя цифра 4 - разряд тысячных)
х 
ех
0,001
 100% 
 100%  0,0423%
х
2,364
Ответ: абсолютная погрешность для числа х ех = 0,001
относительная погрешность числа х δх = 0,0423%.
Погрешность округленного числа.
Пример 4: Округляя число х=1,1426 до четырех значащих цифр, определить
абсолютную и относительную погрешности полученных приближений. Цифры
верны в широком смысле.
Решение:
По определению верной цифры в широком смысле абсолютная погрешность
ех=0,0001
Округлим число х до четырех значащих цифр: х1=1,143
Погрешность округленного числа равна сумме погрешности исходного числа и
погрешности округления:
Δокр=| 1,143-1,1426| = 0,0004
ех1= 0,0004+0,0001=0,0005
х 
1
е х1
х1

0,0005
 0,000437  0,04%
1,143
Пример5: Число х, все цифры которого верны в строгом смысле округлить до
трех значащих цифр после запятой. Для полученного результата х 1 вычислить
границу абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х1 указать
количество верных цифр погрешности. х=1,1426
Решение:
ех 
0,0001
 0,00005
2
х1=1,143
ех1= ех + Δокр
Δокр= | 1,143-1,1426| = 0,0004
ех1= 0,00005+0,0004=0,00045<0,0005 
0,001
2
Значит в числе 1,143 цифры верны в строгом смысле до тысячных по абсолютной
погрешности.
х 
1
е х1
х1

0,00045
 0,00039  0,039%  0,04
1,143
Вычислительная погрешность
1. Погрешность суммирования чисел х ± ех, у±еу
Абсолютная погрешность:
z =( х ± ех)+ (у±еу)=(x + y) ± ( ех + еу)
Относительная погрешность:
z 
ex  e y

x y
ey y
x
y
ex x


x 
y
x y x x y y
x y
x y
2. Погрешность вычитания чисел х ± ех, у±еу
Абсолютная погрешность:
z =( х ± ех)- (у±еу)=(x - y) ± ( ех + еу)
Относительная погрешность:
z 
ex  e y

x y
ey y
x
y
ex x


x 
y
x y x x y y
x y
x y
3. Погрешность умножения чисел х ± ех, у±еу
Абсолютная погрешность:
z =( х ± ех)* (у±еу)=ху±уех±хеу±ехеу ≈ ху±уех±хеу
Относительная погрешность:
z 
у ex  х e y
x y

ex e y

 x y
x
y
4. Погрешность деления чисел х ± ех, у±еу
Абсолютная погрешность:
z
x  ex ( x  ex )  ( y  e y ) x y  ex  x  e y

 
y  ey ( y  ey )  ( y  ey ) y
y2
Относительная погрешность:
я 
y  ex  x  e y
x
y

y  ex  x  e y
y2 
x
y

ex e y

 x y
x
y
Погрешности элементарных функций.
Погрешность функции, зависящей от одной переменной.
Абсолютная погрешность:
f(х ± ех) ≈ f(x) ± f ’(x)ex
Δf = f(х ± ех) - f(х)=| f ’(х)|ex
Относительная погрешность:
f ' ( x)
f
f 

ex
f
f ( x)
Пример 6: Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами,
верными в строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности
функции f(x)=cos(0,47). Определить количество верных цифр в строгом смысле по
относительной погрешности. В ответе сохранить
сомнительную.
Решение:
Найдем значение функции f(x)=cos(0,47)=0,891568
абсолютная погрешность:
Δf = | f ’(х)|ex
1) | f ’(х)| = sin(0,47)=0,452886285
2) e0,47 
верные цифры и одну
0,01
=0,005
2
3) Δf=0,452886285*0,005=0,00226443.
Относительная погрешность:
f ' ( x)
f
f 

ex
f
f ( x)
f 
sin(0,47)
0,01
 0,005  tan( 0,47)  0,005  0,50796589 0,005  0,00253983 0,005 
cos(0,47)
2
Значит в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле.
Ответ: 0,892
Пример 7. Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета
границ абсолютных погрешностей после каждой операции, цифры верны в строгом
смысле.
А
а b
, если а = 12,34, b= 14,3
b  ln(a)
Решение:
Для получения значения величины А необходимо выполнить 6 действий.
Будем вычислять абсолютную погрешность после каждого действия с целью
определения количества верных цифр в промежуточных результатах.
a
b
ln(a)
b+ln(a) A
a
b
a b
12,34
14,3
3,513
3,78
7,29
2,5128
16,8
0,434
eln(a )
ebln(a )
е а
е b
e a b
ea
eb
еА
0,005
0,05
0,00071 0,0066
0,0073
0,00041 0,050
0,0017
При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после
округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины
погрешности) и их погрешности заносят в таблицу
Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по
избытку и тоже занесем в таблицу.
Цифры даны верными в строгом смысле, значит еа=0,005, ев=0,05
Найдем 12,34  3,51283
Абсолютная погрешность равна еа 
ех
2 х

0.005
2  12,34
 0,0007117  0,005 
Из полученного значения погрешности видно, что в результате
значащие цифры после запятой, т.е.
12,34  3,51283  3,513 ( сохраняем одну сомнительную цифру)
0,01
2
верны две
Найдем
14,3  3,781534
Абсолютная погрешность равна еb 
ех
2 х

0,05
2  14,3
 0,00661107 0,05 
Из полученного значения погрешности видно, что в результате
значащая цифра после запятой, т.е.
14,3  3,781534  3,78 ( сохраняем одну сомнительную цифру)
0,1
2
верна одна
Найдем a  b
z =( х ± ех)+ (у±еу)=(x + y) ± ( ех + еу)= (3,513+3,78) ± (0,00071+0,0066) = 7,293
± 0,00731
т.к. 0,00731<=0,05, то в числе 7,293 одна верная цифра после запятой, т.е.
7,293 ≈ 7,29( сохраняем одну сомнительную цифру)
Найдем ln(a)= ln(12,34)=2,51285
Абсолютная погрешность:
еln a 
ea 0,005
0,001

 0,000405  0,0005 
a 12,34
2
В числе 2,512846 верны три значащие цифры после запятой, т.е.
ln(12,34)=2,512846 ≈ 2,5128( сохраняем одну сомнительную цифру)
Найдем b + ln(a ) = (14,3 + 2,5128 ) ± (0,05+0,00041) = 16,8128 ± 0,050405
Т.к. 0,050405  0,5 
1
, то в числе 16,8128 верны цифры до единиц 16,8128 ≈
2
16,8 (сохраняем одну сомнительную цифру)
Найдем А
А
еА 
а  b 7,29

 0,4339285714
b  ln(a) 16,8
y  ex  x  e y
y
2

16,8  0,0073  7,30  0,05 0,48764
0,01

 0,0017  0,005 
2
282,24
2
16,8
Округлим результат А до двух верных цифр после запятой, получим
окончательный ответ: А=0,434 (сохраняем одну сомнительную цифру)
Ответ: А = 0,434 ± 0,002
Погрешности значений элементарных функций.
Функция
Абсолютная погрешность
Таблица 1
Относительная погрешность
ех
х
1
х
2
2 х
ех
х2
1
х
ех
х
sin(x)
cos(x)
tg(x)
|cos(x)| ex
|sin(x)| ex
|ctg(x)| ex
|tg(x)| ex
ex
cos2 ( x)
2e x
sin(2 x)
ln(x)
ex
x
x
lg(x)
ln(x )
x
ex
x  ln(10)
x
lg( x)  ln(10)
x
e
10x
xy
e ex
х  х
10  ln(10)  ex
ln(10)  e x
e


x y  y  x  ln( x)  e y 
x


ex
y ln( x)   y  y   x
1 x2
arcsin(x)  1  x 2
ex
1 x2
ex
arctg ( x)  (1  x 2 )
х
arcsin(x)
arctg(x)
ex
Задания для практического занятия №1.
Задание №1.
Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они
имеют только верные цифры: а) в строгом смысле; б) в широком смысле.
№
а)
варианта
1
11,445
2
8,345
3
0,374
4
41,72
5
18,357
6
14,862
7
0,3648
8
0,5746
9
5,634
10
20,43
11
12,45
12
2,3445
б)
2,043
0,288
4,348
0,678
2,16
8,73
21,7
236,58
0,0748
0,576
3,4453
0,745
№
а)
варианта
16
112,5
17
0,576
18
25,613
19
0,4223
20
112,45
21
2,4516
22
5,6432
23
12,688
24
15,644
25
16,383
26
18,275
27
3,75
б)
0,04453
2,5008
0,0748
0,57
3,4
0,863
0,00858
4,636
6,125
5,734
0,00644
6,8343
13
14
15
0,5746
3,4
2,4342
42,884
0,078
0,57004
28
29
30
26,3
43,813
3,643
4,8556
0,645
72,385
Задание №2.
Число х, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех
значащих цифр. Для полученного результата х1≈х вычислить границы абсолютной
и относительной погрешностей. В записи числа х1 указать количество верных
цифр по погрешности.
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
х
3549
32,147
0,0002568
7,544
198,745
37, 4781
0,183814
0,009145
11,3721
0,2538
10,2118
4,394
0,8437
129,66
48,847
№ варианта
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
х
9,2038
2,3143
0,012147
0,86129
0,1385
23,394
0,003775
718,21
9,73491
11,456
0,1495
6,2358
4,4005
2,3078
3,2175
Задание № 3
Вычислить значение величины Z при заданных значениях чисел a,b,c используя
систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также
с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и
определить по ним количество верных цифр в z, если цифры a,b,c верны в строгом
смысле.
№
Задание
Исходные
№
Задание
Исходные
вариант
данные
вариант
данные
а
а
ln(
b

c
)
1
a = 0,0399
16
z = a2+sin(b- a =8,317
z
b  ac
b = 4,83
ln(c))
b = 13,521
c = 0,0721
c = 6,123
2
ab
2
a =5,52
17
a = 0,038
b  ln(c)
z
z
cos(c  a)
b =3,27
b = 3,9353
ca
c =14,123
c = 5,75
ln(a)  b
3
a =2,258
18
a = 7,345
sin(a  b)
z
z
ab  c
b =0,027
b = 0,31
a  sin(c)
c =9,87
c
=
0,09871
z
ab
ac
5
z
a  tg (b)
cb
6
z
4
7
8
z
z
ac  3b
bc
ln(a  b)
bc
a2  b
ab  c
9
z
b  cos(c)
ba
10
z
(b  c)
ab
11
z
ln(b)  a
a2  c
12
z
13
14
15
ln(c)  a
bc
z
c b
a2  b
z
bc
ln(a)  b
z
ab
ab  c
a =1,0574
b =1,40
c =1,1236
a =3,49
b =0,845
c =0,0037
a =0,0976
b =2,371
c =1,15887
a =82,3574
b =34,12
c =7,00493
a =3,71452
b =3,03
c =0,756
a =0,11587
b =4,256
c =3,00971
a = 4,05
b = 6,723
c = 0,03254
a = 0,7219
b = 135,347
c =0,013
a = 0,113
b = 0,1056
c = 89,4
a = 1,247
b = 0,346
c = 0,051
a = 18,035
b = 3,7251
c = 0,071
a = 0,317
b = 3,27
c = 4,7561
19
20
21
22
23
z
tg (a  b)
a 2c  b
z
ac
ab  c
z
z
sin(a  b)
c  ln(b)
a ln(b)
sin( a  c)
z
0,8 ln(b)
z
a
bc  ln(c)
z
ab
bc
26
z
a  sin(c)
b2  c
27
z
b  sin(a)
ac
z
ab
a
c
24
25
28
29
30
z
z
a  bc
ab
a bc
ab  4c
ln(a)  b
a =0,2471
b =0,0948
c =4,378
a = 1,284
b = 4,009
c = 3,2175
a = 18,407
b = 149,12
c = 2,3078
a = 29,49
b = 87,878
c = 4,403
a = 74,079
b = 5,3091
c = 6,234
a =3,4
b =6,22
c =0,149
a =5,387
b =13,527
c =0,7565
a = 1,75
b = 1,215
c = 0,041
a =3,672
b =4,63
c =0,0278
a =0,317
b =13,57
c =0,751
a =0,317
b =33,827
c =14,85
a =12,72
b =0,34
c =0,0290
Вопросы по теме:
1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?
2. Как классифицируют виды погрешностей?
3. Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах?
4. Как находится погрешность округленного числа?
5. Как определить количество верных цифр по абсолютной погрешности.