Лекция 1-9 линейная алгебра

1
Лекция 1. Матрицы. Действия с матрицами.
1.1 Понятие матрицы.
Определение 1. Матрицей А размера m  n называется прямоугольная
таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных
математических выражений aij (называемых элементами матрицы), i =
1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
Am n  
, или А  aij , i  1,2,3,..., m, j  1,2,3,..., n.
...
... ... ... 


a
a
...
a
mn 
 m1 m 2
Определение 2. Две матрицы A  aij и B  bij одного размера
 
 
 
называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. aij = bij ,
i
= 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
С помощью матриц легко записывать некоторые экономические
зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым
отраслям экономики.
Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее
столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n, а в
противном случае прямоугольной.
Определение 4. Переход от матрицы А к матрице Ат , в которой строки и
столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется
транспонированием матрицы.
 1 6  2


Виды матриц: квадратная (размера 33) -  2 3 0  ,
3 5 1 


 1 4 6 8 0
прямоугольная (размера 25) - 
 ,
2
3
5
7
9


1 0 0
1 0 0
 0 0 0






диагональная -  0 7 0  , единичная -  0 1 0  , нулевая -  0 0 0  ,
 0 0 3
0 0 1
 0 0 0






1
 
 2
матрица-строка - 1 2 3 4 , матрица-столбец -   .
3
 
 4
Определение 5. Элементы квадратной матрицы порядка n с одинаковыми
индексами называются элементами главной диагонали, т.е. это элементы:
a11 , a22, a33 , ..., ann .
2
Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются
элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это
элементы: an1 , an 1 2, an  2 3 , ..., a1n .
1.2. Операции над матрицами.
1 . Суммой двух матриц A  aij и B  bij одинакового размера
называется матрица С = (сij), элементы которой определяются равенством сij
= aij + bij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).
Свойства операции сложения матриц.
Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:
1) А + В = В + А (коммутативность),
2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С ( ассоциативность).
0
 
 
20. Произведением матрицы A  aij
 
 
на число  называется матрица
B  bij того же размера, что и матрица А, причем bij =  aij (i = 1,2,3,…,m, j =
1,2,3,…,n).
Свойства операции умножения матрицы на число.
1. (А) = ()А (ассоциативность умножения);
2. (А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно
сложения матриц);
3. (+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно
сложения чисел).
Определение 7. Линейной комбинацией матриц
одинакового размера называется выражение вида
произвольные числа.
 
A  aij
и
 
B  bij
А+В, где  и  -
30. Произведением АВ матриц А и В соответственно размеров mn и nk
называется матрица С размера mk, такая, что элемент сij равен сумме
произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В,
т.е. сij = ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj.
Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов
матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Свойства операции умножения матриц:
1. (АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);
2. (А+В)С = АС+ВС
(дистрибутивность относительно сложения
матриц);
3. А(В+С) = АВ+АС
(дистрибутивность относительно сложения
матриц);
4. АВ  ВА
( не коммутативность).
Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются
коммутирующими или перестановочными.
3
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую
единичную матрицу не меняет матрицу.
Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются
следующие операции:
1. Перемена местами двух строк (столбцов).
2. Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от
нуля.
3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих
элементов другой строки (столбца).
Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью
элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается
ВА).
Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если
 1 8
  1  7




A   0 9 , B   0
1 .
  7 1
 6  1




Решение:
21 
 2 16 
 3




2A   16 18  ,  3B   0
 3 ,
  14 2 
  18 3 




21   5
37 
 2 16   3

 
 

2 A  3B  2 A  (3B)   16 18    0
 3   0
15  .
  14 2    18 3    32 5 

 
 

Пример 1.2. Найти произведение матриц A B , если
0 7


1 1 0
, B   3 4  .
A  
 3  1 5
 1 0


Решение: т.к количество столбцов первой матрицы совпадает с
количеством строк второй матрицы, то произведение матриц существует. В
c 
c
результате получаем новую матрицу A  B  C2 2   11 12  , где
 c21 c22 
c11  1  0  1  3  0  1  3;
c12  1  7  1  4  0  0  11;
c21  3  0  (1)  3  5  1  2; c22  3  7  (1)  4  5  0  17.
 3 11 
В результате получим A  B  C2 2  
 .
2
17


4
Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего
порядка. Свойства определителей n-го порядка.
2.1. Понятие определителя 2-го и 3-го порядков
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:
a12 
a
 .
A   11
(1.1)
a
a
 21
22 
Определение 1. Определителем или детерминантом второго порядка,
соответствующим матрице (1.1), называется число, равное разности
произведений элементов стоящих на главной диагонали, и элементов,
стоящих на побочной диагонали (определитель обозначается A или detA).
det A 
Пример 1.3.
1)
2 3
4 6
а11
a12
а21
a22
 а11a22  а21a12 .
 2  6  4  3  0 , 2)
3 2
4
7
 3  7  4  (2)  29 .
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов:
 a11 a12 a13 


(1.2)
А   a21 a22 a23 
a

 31 a32 a33 
Определение 2. Определителем
или
детерминантом
третьего
порядка, соответствующим матрице (1.2), называется число равное
a11 a12 a13
det A  A  a21 a22 a23  a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23 
a31 a32 a33
 a13 a22 a31  a21a12 a33  a11a32 a23 .
Структура этого выражения помогает понять наглядное правило Саррюса.
Припишем к элементам определителя справа первый и второй столбцы
определителя. Три произведения, соответствующие прямым, параллельным
главной диагонали, надо взять со знаком плюс, а остальные три
произведения, соответствующие прямым, параллельным побочной
диагонали, надо взять его со знаком минус.
Пример 1.
1 3 2
2 8 1  (1)  8  2  3  1  1  2  2  1  2  8  1  (1)  1  1  3  2  2 
1 1 2
 16  3  4  16  1  12  36.
5
Свойства определителей
10. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы
поменять местами.
a11 a12 a13 a11 a21 a31
а11 a12 а11 a21
А

,
A  a21 a22 a23  a12 a22 a 32
а21 a22 а12 a22
a31 a32 a33 a13 a23 a33
20. Перестановка двух строк или столбцов определителя равносильна
умножению его на (-1).
30. Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых
столбца, то он равен нулю.
40. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на любое
число  равносильно умножению определителя на это число .
a11 a12 a13
a11 a12 a13
а11 a12
а11 a12

,
a21 a22 a23    a21 a22 a 23
а21 a22
а21 a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
50. Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны
нулю, то и сам определитель равен нулю.
60. Если элементы двух строк или двух столбцов определителя
пропорциональны, то определитель равен нулю.
70. Если каждый элемент любого столбца или любой строки определителя
представлен в виде двух слагаемых, то определитель можно представить в
виде суммы двух определителей.
a11  b11
a12
a13
a11
a12
a13
b11
a12
a13
a21  b21 a22
a23  a21 a22
a 23  b21 a22
a23 , аналогично для
a31  b31
a33
a33
a33
a32
a31
a32
b31
a32
определителей 2-го порядка.
80. Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить
соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на
любой общий множитель , то величина определителя не изменится.
Определение 3. Минором M ij элемента aij определителя называется
определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и
6
столбца, на пересечении которых расположен этот элемент, т.е.
строки и j – го столбца.
Определение 4. Алгебраическим
дополнением
Aij
i – ой
элемента
aij
определителя называется минор этого элемента, умноженный на (1)i  j , т.е.
Aij  (1) i  j M ij .
Для вычисления алгебраических дополнений элементов определителей
  
третьего порядка знаки легко запомнить по следующей схеме:    .
  
 4 7  2


Например: A   3  1 5 
5 0
7 

M12 
3 5
5 7
 3  7  5  5  21  25  4 ;
A12  (1)1 2  M12  (1)  (4)  4.
90. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь
строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Например:   a11 A11  a12 A12  a13 A13 =
3
 a1 j A1 j .
j 1
100. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или строки
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов
другого столбца или строки равна нулю.
Например: a12 A21  a12 A22  a13 A23  0 или
3
 a1 j A2 j  0 .
j 1
7
Лекция 3. Методы вычисления определителей
n – го порядка.
Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца.
Примеры вычисления определителей путём разложения по элементам
строк или столбцов.
?????????????
1. Методы вычисления определителей n – го порядка.
Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков,
можно аналогично ввести понятие определителя порядка n. Определители
порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств
определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для
определителей любого порядка.
Используя свойство определителей номер 90 введем определение
определителя 4-го порядка:
a11 a12 a13 a14
4
a21 a22 a23 a24
 a11 A11  a12 A12  a13 A13  a14 A14 
a1 j A1 j .
a31 a32 a33 a34
j 1
a41 a42 a43 a44

Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.
2 3 4 1
3 4 1
2 4 1
2 3 1
2 3 4
4 2 3 2
 a   2 3 2  b  4 3 2  c  4  2 2  d  4  2 3  8a  15b  12c  19d
a b c d
1 4 3
3 4 3
3 1 3
3 1 4
3 1 4 3
.
Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка.
Значит определитель порядка n :
a11 a12 ... a1n
n
a21 a22 ... a2n
 a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n 
a1 j A1 j .
...
... ... ...
j 1
an1 an 2 ... ann
Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее,
справедливы и для определителей n-го порядка.

Рассмотрим основные методы вычисления определителей n-го порядка.
8
Метод понижения порядка определителя основан на следующем
1.
А
соотношении (i фиксированное число):
n
 aik Aik ,
где Аik
k 1
алгебраические дополнения к aik (разложение определителя по i-ой
строке). Либо А 
n
 akj Akj (разложение по j-тому столбцу).
k 1
Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя
основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного,
элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного
понижения порядка)
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком
преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по
одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом
случае определитель равен произведению элементов его главной
диагонали.
2.
Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.
1
2
3
4
5
1 2 3
4
5
1
0
3
4
5  1ст.
0 2 6
8
10
0
4
5  1ст.  0 0 3 12 15  1 2  3  4  5  120
0
5  1ст.
0 0 0
4
20
 1  2  3  4 0  1ст.
0 0 0
0
5
1  2
1  2  3
Пример 4.
порядка
Вычислить, используя метод эффективного понижения
20 40  10 20
А
1
2
3
1
2
5
1
4
.
1 2
0
3
Решение: по свойству 4 определителей из первой строки вынесем
множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2,
на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой
строками (свойство 80).
0
9
2
А  10 
4  1 2  2стр  2
1 2
3
1
2
1
4  2стр  2
5
0
 10 
8 5 4
1 2 3 1
0
9 7 6
.
1 2 0 3  2стр  1
0 4 3 4
Полученный определитель можно разложить по элементам первого
столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который
вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).
8 5 4
А  10  (1)  (1) 2 1  9 7 6 
4 3 4
 10  (1)  (1)  (8  7  4  5  6  4  4  9  3  4  7  4  8  6  3  5  9  4) 
 10  (224  120  108  112  144  180 )  160 .
Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.
1
2
3
4
5
1 2 3
4
5
1
0
3
4
5  1ст.
0 2 6
8
10
0
4
5  1ст.  0 0 3 12 15  1  2  3  4  5  120 .
0
5  1ст.
1  2
1  2  3
0 0 0
4
20
 1  2  3  4 0  1ст. 0 0 0 0 5
Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.
a
ab
0
...
0
1
ab
ab
...
0
0
1
...
...
...
...
0
0
0
... a  b
a  b ...
a
n3
ab
a
0
0
0
ab
 a (a  b)  ab  a 2 .
ab
0
1 a  b ab
0
1
ab
n4
1 ab
ab  1c(1 / a )  ...  a 3
1
ab
ab
0
1 ab
0
a
n2
0 ,
0  1c(1 / a) 0

ab
0
ab
1
a
ab
0
...
0
1
ab
ab
...
0  1c(1 / a)
0
1
...
...
...
...
0
0
0
... a  b
a  b ...
a ab
0
ab
0
0
a
1
ab
ab
0
1
 ...  a n .
0
0
 ...  a 4 .
ab
ab
10
Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.
1. Понятие обратной матрицы
Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется
невырожденной, если ее определитель |A| ≠ 0. В случае, когда |A| = 0,
матрица А называется вырожденной.
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие
обратной матрицы А-1.
Определение 2. Матрица А-1 называется обратной для квадратной
невырожденной матрицы А, если А-1А = АА-1 = Е, где Е – единичная
матрица порядка n.
A*
Определение 3. Матрица
называется
присоединенной,
ее
элементами являются алгебраические дополнения Aij транспонированной
матрицы AT .
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной
матрицы.
1. Находим определитель исходной матрицы. Если определитель
равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель
отличен от нуля, то матрица А невырожденная и обратная матрица
существует.
2. Находим присоединенную матрицу А*, элементы которой являются
алгебраическими дополнениями элементов транспонированной
матрицы А.
 A11

A   А12
А
 13
*
A21
А22
А23
A31 

А32 .
А33 
3. Вычислим обратную матрицу по формуле
 A11 A21

A22
1
A
A1   A* , где A*   12
...
...
А

 A1n A2n
An1 

... An 2 
.
... ... 

... Ann 
...
4. Проверяем правильность вычисления А-1А = АА-1 = Е. (Е –
единичная матрица)
Матрицы А и А-1 взаимообратные. Если |A| = 0, то обратная матрица не
существует.
11
Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти
обратную матрицу A 1 .
 1 2 1


A   2 1 1.
 1 3 1


1 2 1
Решение: А  2 1 1  1  2  6  1  3  4  1  0 . Следовательно матрица
1 3 1
невырожденная.
Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения
элементов матрицы А.
A11  (1)11 
1 1
A21  (1) 21 
2 1
A31  (1)31 
2 1
 2, A12  (1)1 2 
3 1
3 1
1 1
Получаем A
2 1
1 1
 1,
A22  (1) 2  2 
1 1
 1,
A32  (1)3 2 
1 1
1
1 1
2 1
 1, A13  (1)13 
2 1
1 3
 0,
A23  (1) 2 3 
1 2
 1,
A33  (1)3 3 
1 2
1 3
2 1
 5,
 1,
 3.
1   2 1
1 
 2 1
 

1 
   1 0
1    1 0
1 .
1 
 

 5  1  3  5  1  3
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом элементарных
преобразований (метод Гаусса)
1. Приписываем справа к матрице А размера n n единичную
матрицу того же размера, получим прямоугольную матрицу
Г  ( А | E ) размера n  2n .
2. С помощью элементарных преобразований над строками матрицы
Г сначала приведем ее к ступенчатому виду Г1  ( А1 | B) , где
матрица А1 – треугольная.
3. Затем, так же, с помощью элементарных преобразований приведем
Г1 к виду Г 2  ( E | A1 ) .
12
Пример 2. Найти матрицу, обратную к данной методом Гаусса:
 1 2 1


А   1 1 1 
 1 1 2


 1 2 1 1 0 0


1. Г    1 1 1 0 1 0  .
 1 1 2 0 0 1


1 2 1 1 0 0
1



2. Г1   0 3 2 1 1 0    0
 0 1 1 1 0 1 
0



 1 2 1 1 0 0   5 10

 
3. Г 2   0 3 2 1 1 0    0 15
 0 0 5  2 1 3  0 0

 

1

1 0 0 5
3
 0 1 0

5
0 0 1 2


5

0 0 1
 
3 2 1 1 0  0
 3 3  3 0 3   0
0 7  1  3  15
 
0 9
3  6   0
52 1
3   0
2
1 1
0 0

3 2 1 1 0 .
0 5  2 1 3 
2 1 1
30 0 21
3
30 0 18
6
52
1
0
9 

 12 
3 
3 1 

5 5 
 1 3 1 

1
1
2
1


А   3
1  2 .
5
5
5
3 
1
3 
 2 1

5
5 

2. Ранг матрицы. Совместность систем.
Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  h1,
a x  a x  ...  a x  h ,
 21 1 22 2
2n n
2
(1)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,

am1x1  am 2 x2  ...  amn xn  hm .
Определение 4. Если h1  h2  ...  hm  0 , то система (1) называется
однородной. Если же хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля, то система
неоднородная.
Для исследования данной системы составим матрицу Am n из
коэффициентов при неизвестных. Для решения многих задач важное
значение имеет понятие ранга матрицы.
Определение 5. В матрице Amn вычеркиванием каких-либо строк и
столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где
kmin(m;n). Определители таких матриц называются минорами k-го порядка
матрицы Amn.
13
Определение 6. Рангом матрицы Amn называется наивысший порядок
ненулевых миноров этой матрицы.
Обозначается rang A или r(A).
Из определения следует:
1) ранг матрицы Amn не превосходит меньшего из её размеров;
2) r(A) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны
нулю, т.е. А нулевая матрица.
3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда,
когда матрица А имеет определитель отличный от нуля.
Определение 7. Базисным минором матрицы называется всякий
отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной
матрицы.
 4 0  8 0


 2 0  4 0
Пример 2. Вычислить ранг матрицы А  
и указать какой3 0  6 0


1
0

2
0


либо ее базисный минор.
Решение: матрица имеет четвертый порядок, но detА = 0. Все миноры 3го порядка тоже равны нулю, так как содержат хотя бы один нулевой столбец
(свойство 50 определителя). Все миноры 2-го порядка тоже равны нулю, тек
как содержат либо нулевой столбец, либо пропорциональные столбцы
(свойство 60). Значит r(A) = 1, т.к. есть элементы отличные от нуля. Любой
такой элемент можно принять за базисный минор, к примеру, a11  4 .
1 3 0 4 


Пример 3. Вычислить ранг матрицы А   3 2 0 1  и указать
 2  1 0  3


какой-либо ее базисный минор.
Решение: А34 значит r(A)  3. Среди миноров третьего порядка лишь
один не содержит нулевого столбца. Вычислим его:
1
3
4
3
2
1  6  6  12  16  1  27  0
2 1  3
Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Среди миноров второго
1 3
порядка есть ненулевые, например,
 2  9  7  0 . Следовательно, r(A)
3 2
= 2.
14
Для облегчения нахождения ранга матрицы используются элементарные
преобразования матриц, которые сохраняют её ранг. Напомним, что к
элементарным преобразованиям матриц относятся:
1) Умножение всех элементов строк или столбцов матрицы на число,
отличное от нуля.
2) Изменение порядка строк или столбцов матрицы.
3) Прибавление к каждому элементу одной строки или столбца
соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на
любое число.
С помощью элементарных преобразований строк и перестановки
столбцов можно привести матрицу к трапециевидному или ступенчатому
виду, когда определение её ранга не составляет труда.
Определение 8. Трапециевидной
вида:
 t11 t12 t13 ... t1r t1, r 1

 0 t22 t 23 ... t 2 r t 2, r 1
0
0 t33 ... t3r t3, r 1

...
 ... ... ... ... ...
T 
0
0
0 ... t rr t r , r 1

0
0
0 ... 0
0

...
 ... ... ... ... ...
0
0
0 ... 0
0

где tii  0 (i  1,2,3,..., r ), r  n.
или ступенчатой называется матрица
... t1n 

... t 2n 
... t3n 

... ... 
,
... t rn 

... o 

... ... 
... 0 
Ранг трапециевидной или ступенчатой матрицы равен количеству
ненулевых строк.
Пример 4. Найти ранг матрицы
15
 0 1

 2 4
А
4 5

 2 1
2
 0 1 3


1
5
3
2  4 1
~
7  10 0   2стр  (2)  0  3 9


8  5 3   2стр.
0  3 9
3
2  4 1 5

 0 1 3 0
~
0 3 9 0

0 0 0 0
0
3
2  4 1 5


2
 0 1 3 0
~
6   2стр  (3)  0 0 0 0


0 
0 0 0 0
0 2 

5 3 
0 6

0 6   3стр.
3

2
 rang( A)  2.
0

0 
16
Лекция 5. Матричные уравнения. Системы линейных уравнений.
1. Матричные уравнения.
Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х
записываются следующим образом АХ=В, ХА=В, АХС=В.
В этих уравнениях А, В, С, Х – матрицы таких размеров, что все
используемые операции возможны, и с обеих сторон от знаков равенства
находятся матрицы одинаковых размеров.
Если в этих уравнениях матрицы А, В, С – невырожденные, то решения
этих уравнений можно записать следующим образом:
1. АХ=В  А-1АХ=А-1В  ЕХ=А-1В  Х=А-1В.
2. ХА=В  ХАА-1=ВА-1  ХЕ=ВА-1  Х=ВА-1
3. АХС=В  А-1АХСС-1=А-1ХС-1  ЕХЕ=А-1ХС-1  Х=А-1ХС-1
Пример 1. Решить уравнение АХ=Н
 1 2 1
1


 
A   2 1 1, H    1.
 1 3 1
2


 
-1
Решение Х=А Н
1 2 1
А  2 1 1  1  2  6 1  3  4  1  0 .
Следовательно
матрица
1 3 1
невырожденная.
Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения
элементов матрицы А.
A11  (1)11 
1 1
A21  (1) 21 
2 1
A31  (1)31 
2 1
3 1
3 1
1 1
 2, A12  (1)1 2 
2 1
1 1
 1,
A22  (1) 2  2 
1 1
 1,
A32  (1)3 2 
1 1
1 1
2 1
 1, A13  (1)13 
2 1
1 3
 0,
A23  (1) 2 3 
1 2
 1,
A33  (1)3 3 
1 2
1   2 1
1 
 2 1




1
1    1 0
1 .
Получаем A1     1 0
1 
 

 5  1  3  5  1  3
1 3
2 1
 5,
 1,
 3.
17
1   1    2  1  2    1
 2 1

   
  
Следовательно X    1 0 1     1    1  0  2    1 
 5  1  3  2   5  1  6   0 

   
  
Теория матриц и определителей произвольного порядка строится
аналогично изложенной теории матриц и определителей третьего порядка.
2. Системы линейных неоднородных уравнений
Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  h1,
a x  a x  ...  a x  h ,
 21 1 22 2
2n n
2
(1)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,

am1x1  am 2 x2  ...  amn xn  hm .
Если h1  h2  ...  hm  0 , то система (1) называется однородной. Если
же хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля, то система неоднородная.
Запишем систему вида (1) в матричном
 a11 a12

a22
a
коэффициентов при неизвестных А   21
... ...

 am1 am 2
виде, обозначив матрицу
... a1n 

... a2 n 
, матрицу столбец
... ... 

... amn 
 h1 
 x1 
 
 
h
 
x 
H   2  , матрицу столбец неизвестных X   2  .
свободных членов
...
...
 
 
 hm 
 xm 
Умножая матрицы АХ, получаем новую матрицу, элементами которой
являются левые части уравнений системы (1). На основании равенства матриц
систему (1) можно записать систему (1) в виде АХ=В.
Определение 1. Решением системы линейных уравнений вида (1),
называется такая совокупность n чисел (k1, k2, …, kn), при подстановке
которых каждое уравнение обращается в тождество.
Определение 2. Система уравнений называется совместной, если она
имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Определение 3. Совместная
система
уравнений
называется
определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной,
если она имеет более одного решения.
18
Вопрос о разрешимости системы
рассматривается в следующей теореме.
уравнений
в
общем
виде
Теорема Кронекера – Капели:
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда,
когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой
системы.
 a11 a12

a
a
 A | H    21 22
...
...

 am1 am 2
...
a1n
... a2n
...
...
... amn
h1 

| h2 
- расширенная матрица.
| ... 

| hm 
|
Для определения рангов обеих матриц достаточно привести
расширенную матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований строк и перестановки столбцов (кроме последнего).
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие
утверждения:
1)
Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных,
т.е. r(A) = n, то система уравнений (1) имеет единственное
решение.
2)
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа
переменных, т.е. r(A) < n, то система (1) неопределенная и имеет
бесконечное множество решений.
Схема исследования системы m уравнений с n неизвестными
Система совместная,
если r(A) = r(B) = r.
Система определена,
если r = n.
Ответ: единственное решение.
Система несовместная
Если r(A)  r(B).
Ответ: нет решений.
Система неопределенна,
Если r < n.
Ответ: бесконечное множество решений.
19
Пример 2. Дана система линейных уравнений
 2 x1  x2  x3  2

 3x1  x2  2 x3  2 .
5x  3x  4 x  4
2
3
 1
Доказать ее совместность.
Доказательство: Запишем расширенную матрицу системы
 2  1 1 2
~ 
A  3  1 2 2


5  3 4 4
~
и найдем ее ранг. Элемент матрицы A , стоящий в левом верхнем
~
углу,отличен от нуля, следовательно r A   1 среди миноров второго порядка,
окаймляющих (включающих в себя) этот элемент, также есть отличные от
нуля, например,
M2 
2 1
3 1
 
~
 2  3  1 , т.е. r A  2 .
Из миноров третьего порядка, окаймляющих M 2 , возьмем минор
M 3   A :
2 1 1
1 2
3 2
3 1
M3  3 1 2  2 
 1
 1

3 4
5 4
5 3
5 3 4
 2   4  6  12  10   9  5  4  2  4  2.
~
~
Т.к. M 3  0 то r A  3 , а т.к. у матрицы A миноров 4-го порядка не
~
существует, то r A  3 . Так как  A  M 3  0 , то и r A  3 . Таким образом,
~
r  A  r A , и совместность доказана.
 
 
 
Пример 3. Исследовать систему линейных уравнений
 х1  х2  х3  4,

 х1  2 х2  3х3  0,
 2 х
 2 х3  3.
1

 1 1 1  4 
 1 1 1  4 




Решение:  1 2  3 0   ...   0 1  2 4  , т.к. r ( A)  2, r ( A | B)  3 , то
 2 0  2 3 
 0 0 0  13 




система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке
полученной расширенной матрицы соответствует уравнение
0  х1  0  х2  0  х3  13 , не имеющее решений.
Пример 4. Определить совместность системы уравнений:
 x1  2 x2  2 x3  3x4  4,

2 x1  5 x2  x3  4 x4  9,
 x  3x  x  x  5.
2
3
4
 1
Решение:
20
Лекция 6. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной
матрицы.
1. Системы линейных уравнений с квадратной невырожденной
матрицей
В случае системы линейных уравнений с квадратной невырожденной
матрицей возможно также решение средствами матричного исчисления.
Пусть число уравнений системы равно числу переменных, т.е.
(1)
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ;
a x  a x  ...  a x  b ;
 21 1 22 2
2n n
2

............................................
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn .
Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель  = |A|
называется определителем системы. Запишем систему вида (1) в матричном
виде,
обозначив
матрицу
коэффициентов
при
неизвестных
 a11 a12

a22
a
А   21
... ...

a
 n1 an 2
... a1n 
 b1 

 
... a2 n 
b
, матрицу столбец свободных членов B   2  , матрицу

... ...
...

 

b 
... ann 
 n
 x1 
 
x
столбец неизвестных X   2  . Умножая матрицы АХ, получаем новую
...
 
x 
 n
матрицу, элементами которой являются левые части уравнений системы (1).
На основании равенства матриц систему (1) можно записать систему (1) в
виде АХ=В.
Предположим, что матрица системы А невырожденная, т.е. ее
определитель отличен от нуля. Тогда существует обратная матрица А-1.
Следовательно решение системы (1) имеет вид Х = А-1 В. Т.е., чтобы найти
решение системы, нужно обратную матрицу умножить на столбец свободных
членов справа.
Пример 1. Дана система линейных уравнений
 2 x1  x2  x3  2

 3x1  x2  2 x3  2 .
5x  3x  4 x  4
2
3
 1
Доказать ее совместность и решить средствами матричного исчисления.
РЕШЕНИЕ
Докажем совместность. Запишем расширенную матрицу системы
21
 2  1 1 2
~ 
A  3  1 2 2


5  3 4 4
~
и найдем ее ранг. Элемент матрицы A , стоящий в левом верхнем
~
углу,отличен от нуля, следовательно r A   1 среди миноров второго порядка,
окаймляющих (включающих в себя) этот элемент, также есть отличные от
нуля, например,
M2 
2 1
3 1
 
~
 2  3  1 , т.е. r A  2 .
Из миноров третьего порядка, окаймляющих M 2 , возьмем минор
M 3   A :
2 1 1
1 2
3 2
3 1
M3  3 1 2  2 
 1
 1

3 4
5 4
5 3
5 3 4
 2   4  6  12  10   9  5  4  2  4  2.
~
~
Т.к. M 3  0 то r A  3 , а т.к. у матрицы A миноров 4-го порядка не
~
существует, то r A  3 . Так как  A  M 3  0 , то и r A  3 . Таким образом,
~
r  A  r A , и совместность доказана.
 
 
 
1) Применяем матричный метод к решению системы. Формируем матрицы,
состоящие из элементов системы:
2  1 1
A   3  1 2,


5  3 4
 x1 
 2


X  x2 , B  2.
 
 
 x3 
4
а) Определитель системы  A  2  0 , значит, матричный метод применим.
б) Запишем систему в матричном виде A  X  B :
2  1 1  x1  2
 3  1 2   x   2.

  2  
5  3 4  x3  4
в) Вычисляем алгебраические дополнения Aij .
A11 
1 2
 2;
3 4
A21  
A31 
1 1
 1;
3 4
1 1
 1;
1 2
A12  
A22 
3 2
 2;
5 4
2 1
 3;
5 4
A32  
A13 
A23  
2 1
 1;
3 2
3 1
 4;
5 3
2 1
 1;
5 3
A33 
2 1
 1.
3 1
Подставляя найденные значения Aij в формулу (6.3), получим:
 2 1  1
1 
A    2 3  1.

2 
 4 1 1 
1
22
г) воспользуемся формулой (6.4).
 x1 
 2 1  1 2
 x   1   2 3  1.2,
 2 2 
 
 x3 
 4 1 1  4
получим:
x1  4  2  4 / 2  1; x2   4  6  4 / 2  1;
x3   8  2  4 / 2  1.
Итак, решение системы: x1  1, x2  x3  1.
Пример 2. Решить систему уравнений матричным методом.
 x1  2 x2  x3  1,

2 x1  x2  x3  1,
 x  3x  x  2.
2
3
 1
 1 2 1
1


 
Решение: A   2 1 1, H    1.
 1 3 1
 2


 
Находим обратную матрицу (самостоятельно)
1 
 2 1

1 
A   1 0
1  . Следовательно, по формуле Х = А-1Н, получаем
 5  1  3


1   1    2  1  2    1
 2 1

   
  
X   1 0
1     1    1  0  2    1  ,
 5  1  3  2   5  1  6   0 

   
  
т.е. x1  1, x2  1, x3  0.
Ответ: x1  1, x2  1, x3  0.
23
Лекция 7. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
1. Решение систем по формулам Крамера.
Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя переменными:
(3)
a11 x1  a12 x2  b1 ;

a21 x1  a22 x2  b2 .
в которой хотя бы один из коэффициентов при
переменных отличен от нуля.
Для решения этой системы исключим переменную х2, умножив первое
уравнение на a22, второе — на (-a12) и сложив их. Затем исключим
переменную х1, умножив первое уравнение на (-a21 ), второе — на a11 и также
сложив их. В результате получим систему:
(a11a22  a21a12 ) x1  b1a22  b2 a12 ;

(a11a22  a21a12 ) x2  a11b2  a21b2 .
системы
  a11a22  a12 a21 
Обозначив 1  b1a22  b2 a12 
Выражение в скобках есть определитель
a11
a12
a21 a22
b1
a12
b2
a22
.
,  2  a11b2  a21b1 
a11
b1
a21 b2
, система примет
  x1  1 ,
Из полученной системы следует, что если определитель
  x2   2 .
вид: 
системы  = 0, то система имеет единственное решение, определяемое по
формулам:
x1 
1
,

x2 
2
.

Если  = 0, a 1 0 (или 2  0), то система (3) несовместная, так как в
0  x1  1 ,
0  x2   2 .
этом случае приводится к виду: 
Если  = 1 = 2 = 0 , то система (2) неопределенная и имеет бесконечное
0  x1  0,
0  x2  0.
множество решений, так как в этом случае приводится к виду: 
Для получения решения системы (2) в общем виде предположим, что
квадратная матрица системы Аnn невырожденная, т.е. ее определитель |A| 
0. В этом случае существует обратная матрица А-1.
Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу А-1, получим
A-1(AX)=A-1 В. Так как A-1(AX)=(A -1 A)B= ЕХ = X , то
Теорема Крамера. Пусть  — определитель матрицы системы A, a j —
определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца
столбцом свободных членов. Тогда, если   0, то система имеет единственное
решение, определяемое по формулам:
xj 
j

( j  1,2,3,...).
24
Эти формулы получили название формул Крамера.
Доказательство: решением системы методом обратной матрицы будет
матрица-столбец X=A-1B. Обратная матрица A-1=
1 *
A , , где A* —
A
матрица, присоединенная к матрице А. Так как элементы матрицы А* есть
алгебраические дополнения элементов матрицы АT , транспонированной к
А, то запишем данное равенство в развернутой форме:
 A11 A21 ... An1   b1 
 x1 

  
 
 x2  1  A12 A22 ... An 2   b2 
 ...   A  ..............................    ... . Учитывая, что A   , получим после

  
 
x 
A
  
A
....
A
2n
nn   bn 
 n
 1n
 A11b1  A21b2  ...  An1bn 
 x1 


 
 x2  1  A12b1  A22b2  ...  An 2bn 
умножения матриц    
. Откуда следует, что
...
 ..............................


 
x 
 A b  A b  ....  A b 
n
2n 2
nn n 
 
 1n 1
1
для любого j (j = 1,2,3,4,...,n) x j  (b1 A1 j  b2 A2 j  ....  bn Anj ) .

На основании свойств определителей b1 A1 j  b2 A2 j  ....  bn Anj   j , где j –
определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-го столбца столбцом
свободных членов. Следовательно, x j 
x1 

1

, x2  2 , ... xn  n .



j

.(j = 1,2,3,4,....n) , т.е.
 x1  x2  x3  3,

2 x1  x2  x3  11,
 x  x  2 x  8.
2
3
 1
Пример 1. Решить систему уравнений
по формулам
Крамера.
Решение. Найдем определитель системы  = |А| = 5 . Так как   0,
то по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Вычислим определители матриц  1 ,  2 ,  3 , полученных из
матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего
столбцов столбцом свободных членов:
3
1  11
8
1 1
1
1
1
3
1 1 3
1
1  20;  2  2 11 1  10;  3  2
2
1 8 2
1
1
1
11  5.
8
Теперь по формулам Крамера получаем
x1 
1 20

 4;

5
x2 
 2 10
  2;

5
x3 
5
 1,
5
т.е. решение системы (4; 2; 1).
25
В конце решения системы (любым способом) рекомендуем сделать
проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться
в том, что они обращаются в верные равенства.
Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.
2 x1  4 x2  x3  9,

 x1  5 x2  3x3  10,
 x  x  x  4.
2
3
 1
 2  4 1
9


 
Решение. Составим A   1  5 3, H  10 .
 1  1 1
4


 
Вычислим определитель этой системы:
2 4 1
  А  1  5 3  8  0 .
1 1 1
Последовательно заменяя в определителе ∆ первый, второй и третий
столбцы столбцом свободных членов, получим:
9
4 1
2
9
1
1  10  5 3  16 ,  2  1 10 3  8 ,
4 1 1
1 4 1
2 4
9
 3  1  5 10  8 .
1
1
4
Подставим значения определителей в формулы Крамера.



 16
8
8
x1  1 
 2, x2  2 
 1, x3  3 
 1.

8
 8
 8
Ответ: x1  2, x2  1, x3  1.
Существенным недостатком решения систем n линейных уравнений с n
переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является
их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и
нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее
теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для
решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с
большим числом уравнений и переменных.
26
Лекция 8. Общее решение систем линейных уравнений.
1. Решение произвольных систем уравнений. Метод Гаусса.
Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  h1,
a x  a x  ...  a x  h ,
 21 1 22 2
2n n
2
(1)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,

am1x1  am 2 x2  ...  amn xn  hm .
Рассмотрим один из самых простых методов решения систем уравнений,
заключающийся в последовательном исключении неизвестных и называемый
методом Гаусса. Данный метод заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы
уравнений, она приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из
которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных,
находятся все остальные. Метод Гаусса имеет ряд преимуществ:
1) значительно менее трудоёмкий;
2) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в
случае её совместности найти её решения (единственное или
бесконечное множество);
3) дает возможность определить ранг матрицы системы.
С помощью элементарных преобразований над строками приведем
расширенную матрицу системы (2.1) (А|В) к ступенчатому виду (А`|Н`):
 a11 a12 ... a1r a1,r 1 ... a1n | h1 


 0 a22 ... a2 r a2 ,r 1 ... a2 n | h2 
 ... ... ... ...
... ... ...
... 

 A`| Н `   0 0 ... arr ar ,r 1 ... arn | hr  ,
0 ... 0
... 0 | hr1 
0
0
 ... ... ... ...
... ... ...
... 



0
0
...
0
0
...
0
|
h

m 
где aii  0 при i  r .
Полученной расширенной матрице (А`|Н`) соответствует система
линейных уравнений, эквивалентная системе (2.1). При этом r(A) = r(A`),
r(A`|Н`) = r(A|Н), и утверждения о том, что полученная система совместна
(несовместна) и определена (неопределенна) верны и для системы (2.1).
 отлично от нуля, то система
Если хотя бы одно из чисел hr 1,..., hm
линейных уравнений несовместна.
  0 , то система совместна, ее ранг равен r.
Если же hr 1  ...  hm
Очевидно, что минор, стоящий на пересечении первых r строк и r столбцов,
не равен нулю, следовательно, его можно принять за базисный. Назовем
переменные x1, x2 , ..., xr базисными, а xr 1, xr  2 , ..., xn - свободными.
27
Отбрасывая строки с нулевыми элементами, получаем систему из r
уравнений:
 x1  a12
 x2  ...  a1r xr  a1, r 1xr 1  ...  a1n xn  h1 ,
a11

 x2  ...  a2 r xr  a2 , r 1xr 1  ...  a2 n xn  h2 ,
a22

(1)

..........
..........
.........


 xr  ar , r 1xr 1  ....  arn
 xn  hr .
arr

Если r = n , то матрица этой системы треугольная, все переменные –
базисные, и их значения определяются однозначно.
Если r < n, то из системы легко выразить базисные переменные через
свободные переменные. Придавая свободным переменным произвольные
значения:
xr 1  c1, xr  2  c2 , ..., xn  cn  r ,
последовательно получаем выражения для базисных переменных
x1 (c1, c2 ,..., cn  r ), x2 (c1, c2 ,..., cn  r ), ... , xr (c1, c2 ,..., cn  r ) .
Определение . Решение, задаваемое формулами
x1  x1 (c1, c2 ,...,cn  r ), x2  x2 (c1, c2 ,...,cn  r ), ... , xr  xr (c1, c2 ,...,cn  r ),
xr 1  c1, ... , xn  cn  r ,
где c1, c2 , ... , cn  r - любые действительные числа, называется общим
решением системы (2.1).
Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений
2 x1  x2  x3  x4  5,

 x1  2 x2  2 x3  3x4  6,
3x  x  x  2 x  1.
2
3
4
 1
Составим расширенную матрицу
и с помощью
преобразований приведем ее к ступенчатому виду
элементарных
 2  1 1  1 | 5   2стр  (2)


A | Н    1 2  2 3 |  6
~
 3 1  1 2 |  1   2стр  (3)


1 2  2 3 |  6
1 2  2 3 |  6




~  0  5 5  7 | 17 
~  0  5 5  7 | 17  .
 0  5 5  7 | 17   2стр  0 0
0
0 | 0 



r(A) = r(A|Н) = 2 < 4, следовательно, система имеет бесконечное множество
решений.
Исходная система равносильна системе:
28
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  6,

  5 x2  5 x3  7 x4  17.
Решим ее.
1 2
M
 5  0 , этот минор можно принять за базисный. Тогда, x1, x2 –
0 5
базисные переменные, а остальные x3, x4 – свободные переменные.
Задавая свободным переменным произвольные значения x3 = c1, x4 = c2
найдем бесконечное множество решений.
 x1  2 x2  6  2c1  3c2 ,



5
x

17

5
c

7
c
.

2
1
2
 x2  c1  7 / 5c2  17 / 5,

 x1  6  2с1  3с2  2(с1  7 / 5c2  17 / 5)  4 / 5  1 / 5c2 .
Ответ: x1  4 / 5  1 / 5c2 ,
x2  c1  7 / 5c2  17 / 5,
x3  c1,
x4  c2 .
Второй способ применения метода Гаусса.
Применение метода Гаусса для решения систем линейных уравнений
заключается в последовательном исключении неизвестных в уравнениях
системы (6.1) с целью приведения ее к треугольному виду:
c11 x1  c12 x2  c13 x3  d1

c22 x2  c23 x3  d 2


c33 x3  d 3

(2)
При этом допускаются следующие элементарные преобразования системы,
приводящие к эквивалентным системам уравнений:
а) перестановка уравнений в системе;
б) умножение обеих частей уравнений на одно и то же число неравное
нулю;
в) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей
другого уравнения, умноженных на одно и то же число;
г) исключение уравнений вида 0 = 0.
В полученной системе (2) x3 вычисляется из 3-го уравнения и его значение
подставляется во 2-е уравнение, затем из 2-го уравнения вычисляется x 2 и
подставляется вместе с x3 в 1-ое уравнение, после чего из 1-го уравнения
вычисляется x1 .
 2 x1  x2  x3  2

Пример 2. Дана система линейных уравнений  3x1  x2  2 x3  2 .
5 x  3x  4 x  4
2
3
 1
Решить методом Гаусса.
Решение: Применим метод Гаусса к решению данной системы.
29
ШАГ 1: умножим 1-ое уравнение системы на 1/ 2, чтобы коэффициент при x1
стал равен единице
ШАГ 2: члены первого уравнения, во-первых, умножим на (-3)
и прибавим к членам второго уравнения, во-вторых, умножим на
(-5) и прибавим к членам третьего уравнения. В результате
получим систему:
 x1  x2 / 2  x3 / 2  1

x2 / 2  x3 / 2  1

  x / 2  3x / 2  1.
2
3

ШАГ 3: к членам третьего уравнения прибавим члены второго уравнения.В
результате получим:
 x1  x2 / 2  x3 / 2  1

x2 / 2  x3 / 2  1


2 x3  2.

Таким образом, исходная система приведена к эквивалентной системе
треугольного вида. Как известно, она имеет единственное решение. Решаем
эту систему, начиная с последнего уравнения:
x3  1; x2  2 1  x3 / 2   2 1  1 / 2   1;
x1  x2 / 2  x3 / 2  1  1 / 2  1 / 2  1  1.
Следовательно, решение системы: x1  1; x2  x3  1.
Пример 3. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий
трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье
трех типов: Sl, S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви
и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:
Вид
сырья
Нормы расхода сырья на одну пару,
усл.ед.
Сапоги
Кроссовки
Расход сырья на 1
день,
Ботинки
S1
5
3
4
2700
S2
2
1
1
900
S3
3
2
2
1600
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.
Р е ш е н и е . Пусть ежедневно фабрика выпускает х пар сапог, y пар
кроссовок и z пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого
вида имеем систему:
30
5 x  3 y  4 z  2700 ,

2 x  y  z  800,
3 x  2 y  2 z  1600 .

Решая систему любым способом, находим x = 200, y = 300, z = 200, т.е.
фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 — кроссовок и 200 пар ботинок.
Рассмотрим, например, решение системы методом Гаусса:
5 3 4

2 1 1
3 2 2

2700   5 3 4
 
900  ~  2 1 1
1600   1 1 1
0 0 1

~ 0 1 1
1 1 1

2700   0  2  1
 
900  ~  0  1  1
700   1 1 1
 800 

 500  ~
700 
200 

 500  
700 
 x  y  z  700,
 x  200,


 y  z  500,   y  300,

 z  200.
z  200,


Ответ: ежедневный объем выпуска каждого вида обуви составляет 200
пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.
31
Лекция 9. Системы линейных однородных уравнений.
1. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная
система решений.
Система m линейных уравнений с n переменными называется системой
линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны
нулю. Такая система имеет вид:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0;
a x  a x  ...  a x  0;
 21 1 22 2
2n n

............................................
am1x1  am 2 x2  ...  amn xn  0.
(1)
Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как
она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0;
0; …; 0).
Если в системе (1) m = n , а ее определитель отличен от нуля, то такая
система имеет только нулевое решение, как это следует из формул Крамера.
Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем
линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше
числа переменных, или при их равенстве, когда определитель системы равен
нулю.
Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения
тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных
меньше числа переменных, т.е. при rang(A) < n.
Обозначим решение системы (1) х1 = k1, х2 = k2,….,xn = kn в виде
строки
е1 = (k1,k2,…,kn ).
Решения системы линейных однородных уравнений обладают
следующими свойствами:
1. Если строка е1 = (k1,k2,…,kn) — решение системы (1), то
и строка е1 = (k1, k2,…, kn )— также решение этой системы.
2. Если строки е1 = (k1,k2,…,kn ) и е2 = (l1,l2,…,ln ) —решения
системы (1), то при любых с1 и с2 их линейная комбинация
c1 e1 +c2 e2 = (c1 k1 +c2 l1 ,c1 k2 + c2 l2 ,…., c1 kn +c2 ln )
также решение данной системы.
Убедиться в справедливости указанных свойств решений системы
линейных однородных уравнений можно непосредственной подстановкой
их в уравнения системы.
Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная
комбинация решений системы линейных однородных уравнений также
является решением этой системы. Поэтому представляет интерес найти
32
такие линейно независимые решения системы (1), через которые
линейно выражались бы все остальные ее решения.
Решения е1, е2, …, еk называются линейно независимыми, если их
линейная комбинация 1е1 + 2е2 +…+ кек равна нулю, только при условии
что 1 = 2 =….= к = 0.
Определение 2.9. Система линейно независимых решений
е1, е2, …, еk
называется фундаментальной, если каждое решение системы (1) является
линейной комбинацией решений е1, е2, …, еk .
Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы
линейных однородных уравнений (1) меньше числа переменных n, то всякая
фундаментальная система решений системы (1) состоит из n – r решений.
Общим решением системы (1) линейных однородных уравнений
называется множество всех ее решений, записанных в виде: с1е1 + с2е2 + …
+ с k е k , где е1, е2, … , еk — любая фундаментальная система решений, с1,
с2, … , сk — произвольные числа и k = n – г .
Общее решение неоднородной системы m линейных уравнений с n
переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы
однородных линейных уравнений и произвольного частного решения этой
системы.
Пример 1. Решить однородную систему линейных алгебраических
уравнений
2 x1  4 x2  5 x3  0,

 x1  2 x2  3x3  0,
3x  x  2 x  0.
3
 1 2
2 4 5
Решение: Определитель системы   1 2  3  11  0 , поэтому
3 1 2
система имеет единственное нулевое решение: x = y = z = 0.
Пример 2. Найти общее решение системы линейных алгебраических
уравнений и записать фундаментальную систему решений
3x1  4 x2  x3  0,

 x1  3x2  5 x3  0,
4 x  x  4 x  0.
2
3
 1
3 4 1
Решение: Определитель системы   1  3 5  0 , поэтому система
4 1
4
имеет бесконечное множество решений. Так как определитель из
коэффициентов при неизвестных x1 и х2 не равен нулю
33
3
4
 9  4  13  0 , то этот минор можно принять за базисный.
1 3
Поскольку rang A = 2, n = 3, возьмем первые два уравнения системы и
найдем ее общее решение.
3 x1  4 x2  x3  0,

 x1  3 x2  5 x3  0.
В качестве базисных неизвестных возьмем x1 и х2 и переместим члены с
х3 в правые части уравнений:
3 x1  4 x2  x3 ,

 x1  3 x2  5 x3.
Решая эту систему по формулам Крамера и задав свободной переменной
х3 значение х3 = c1 (с1 – произвольное число), получаем
с
4
3
с1
1  1
 3с1  20с1  17 с1 ;  2 
 15с1  с1  16с1.
 5с1  3
1  5с1
Отсюда находим, что
 17с1 17
 16с1 16
x1 
 с1,
x2 
 с1,
x3  с1.
 13 13
 13с1 13
17
16
Итак x1  с1,
x2  с1,
x3  с1 - общее решение.
13
13
17
16
Полагая с1 = 1, получим частное решение x1  , x2  , x3  1.
13
13
17 / 13  c1 
17 / 13 




Или в матричном виде X  16 / 13  c1   c1  16 / 13  . Таким образом,


 1 
c1




фундаментальная система решений состоит из единственного вектора
17 / 13 


e1  16 / 13  .
 1 


17
16
Ответ: общее решение x1  с1,
x2  с1,
x3  с1 ,
13
13
 17 16 
где c1 - произвольное число. e1   ; ; 1 - фундаментальная система
 13 13 
решений.
Пример 3. Решить однородную систему линейных алгебраических
уравнений
34
3x1  9 x2  15 x3  0,

 x1  3x2  5 x3  0,
 x  3x  5 x  0.
2
3
 1
3
 9 15
Решение: Определитель системы   1  3 5  0 , поэтому система
1 3  5
имеет бесконечное множество решений. Поскольку все строки матрицы
пропорциональны, то rang A = 1. Возьмем любое (например, второе)
уравнение системы и найдем ее решение. Так как rang A = 1, n = 3, то
базисная переменная одна, остальные две свободные. Фундаментальная
система решений состоит из k = n – r = 3 = 1 = 2 решений.
x1  3x2  5 x3  0, x1  3x2  5 x3 , полагая х2 = с1, х3 = с2 получаем
x1  3с1  5с2 ,
x2  с1,
x3  с2 , где с1 и с2
решение системы
произвольные числа.
Ответ: общее решение x1  3с1  5с2 , x2  с1, x3  с2 , где с1 и с2
произвольные числа.