Манипуляторы

1. Кинематический анализ манипулятора
Исходная схема плоского манипулятора с тремя степенями свободы приведена на рис. 1. Его структурная формула: [SПХ] + (ПYПX) + (ПYB) + (BC).
Исходные данные приведены в таблицах 1 и 2.
Y Y1
X2
X3
3
φ32
C
D
E
S21
2
1
A
X1
B
F
S10
RC
X
O
Рис. 1. Исходная схема плоского манипулятора с W = 3
ОЕ
L0
20
Таблица 1. Фиксированные параметры.
Угловые, градусы
Линейные, см
AF
BD
L1
L2
100
60
DC
L3
40
φ0
φ10
φ21
φ32
90
0
0
var
Направление стойки ОЕ - вдоль оси Y задано углом φ0 = 90°.
Конструктивный угол в поступательных парах
{0-1}: φ10 = 0° = const;
{1-2}: φ21 = 0° = const.
Обобщённые координаты являются некоторыми функциями времени t.
S10 = S10 (t); S21 = S21(t); φ32 = φ32 (t).
Их величины ограничены снизу (min) и сверху (max). Изменение всех
обобщённых координат от минимальных до максимальных значений происходит
одновременно за время tm = 4 с.
1
Исходные значения обобщённых координат в общем виде даны в таблице 2.
Численные значения их предельных (min и max) и средних (mid) значений
приведены в таблице 3.
Звено 1
№ пары
S10
см
(0,1 – 0,9)∙L0
1.
2.
3.
φ10
градус
0
Таблица 2. Обобщённые координаты манипулятора
Звено 2
Звено 3
S21
φ21
S32
φ32
см
градус
см
градус
(0,1 – 0,9)∙L1
+ 90
-80 - 0
Таблица 3. Предельные и средние значения обобщённых координат
Обобщённая координата
Кинематическая пара
S10,см
S21,см
φ32, градус
{№ - №}
min mid max min mid max min mid max
Поступательная – А
2
10
18
{0 - 1}
Поступательная – B
10
50
90
{1 - 2}
Вращательная – D
-80 -40
0
{2 - 3}
1.1. Предварительный анализ
1. Расчёт степени подвижности плоского механизма по формуле П.Л.
Чебышёва
W  3  n  2  p1  p2 ,
где W – степень подвижности системы;
n – количество подвижных звеньев кинематической цепи;
p1 - количество одноподвижных кинематических пар;
p2 - количество двухподвижных кинематических пар.
W  3 3  2  3  0  3.
Это значит, что необходимо задать три координаты каким-либо подвижным
звеньям механизма в системе координат, жестко связанной со станиной, чтобы
определить положения всех звеньев. Таким образом, для управления таким
манипулятором требуется три независимых привода.
2. Расчёт маневренности манипулятора. Условно закрепляем центр схвата
посредством шарнира С0 (рис. 2).
2
Y Y1
X2
X3
3
φ32
C0
D
E
S21
2
1
A
X1
F
B
RC
S10
X
O
Рис. 2. К расчёту маневренности манипулятора
Здесь число подвижных звеньев осталось прежнее, n = 3 {1,2 и 3};
число одноподвижных пар изменилось,
p1 = 4 {0-1, 1-2, 2-3 и 3-0};
число двухподвижных пар не изменилось,
p2 = 0.
Для полученной схемы рассчитываем число степеней свободы по формуле
П. Л. Чебышева
W М  3  n  2  p2  p1 ,
WМ  3  3  2  4  0  1 .
Полученный результат означает, что к заданной точке С0 центр схвата можно
подвести несколькими конфигурациями системы звеньев, но произвольно
изменять можно только одну из трёх обобщённых координат, например S10,
остальные же станут зависимыми от неё функциями: S21(S10) и φ32(S10).
Вывод: исходная модель имеет три степени свободы W = 3, а её
маневренность составляет Wм = 1.
1.2. Корректировка исходной схемы манипулятора
Схема на рис. 2 соответствует данным задачи и на ней показано фактическое
расположение звеньев манипулятора. Построим в масштабе по средним данным
векторный контур ОABDCO из отрезков схемы манипулятора (рис. 3).
3
Y, см
C
100
90
80
φ3
70
D
60
50
40
30
20
φ2
А
φ1 = 0
В
φ0
X, см
О
10
20
30
40
50
60
70
80
Рис. 3. Векторный контур.
4
1.3. Расчёт параметров положения звеньев
1. Расчёт средних значений обобщённых координат
S10  0,5  (S 10min  S 10max )  0,5  (2  18)  10 см
S21  0,5  (S 21min  S 21max )  0,5  (10  90)  50 см
 32  0,5  (  10min   10max )  0,5  (-80  0)  -40 О
2. Расчёт угловых координат в глобальной системе
φ0 = 90О;
φ1 = 0О;
φ2 = 90О;
φ3 = <φ32> + 90О = -40 + 90 = 50O.
Средние значения для дальнейших расчётов сведены в таблицу 4.
Кинематическая
пара
{№ звеньев}
пары
№
Таблица 4. Значения обобщённых координат и глобальные углы.
1. Поступательная
пара А {1-0}
2. Поступательная
пара B {2-1}
3. Вращательная
пара D {3-2},
S32 = L3
Параметр
min mid max Статус i φi,О sinφi cosφi
φ10, О
S10, см
φ21, О
S21, см
φ32,О
90
2
0
10
-80
90
10
0
50
-40
90
18
0
100
0
const
var
const
var
var
S32, см
40
40
40
const
1 0
1,0
0,0
2 90
0,0
1,0
3 50
0,77
0,64
3. Расчёт координат центра схвата С.
По методу замкнутого векторного контура (рис. 3) имеем
RС  O C  O A  A B  B D  DC
С учётом принятых обозначений в исходных данных (табл. 1) векторное
уравнение, определяющее положение точки С, можно записать в виде
RC  S10  S21  L2  L3
Используя разложение любого вектора на его проекции на оси X и Y, можем
записать следующие выражения
X C  S10  cos  0  S 21  cos  1  L2  cos  2  L3  cos  3 ;
YC  S10  sin  0  S 21  sin  1  L2  sin  2  L3  sin  3 ;
X C  10  cos90 O  50  cos0 O  60  cos90 O  40  cos50 O ;
YC  10  sin90O  50  sin0O  60  sin90O  40  sin50O ;
X C  10  0  50  1,0  60  0  40  0,643  75,712 см ;
5
YC  10  1,0  50  0  60  1,0  40  0,766  100,642 см .
4. Модуль радиус-вектора центра схвата С
RC 
X C2  YC2  75,7122  100,6422  125,941 см .
Угол α направления радиус-вектора RС с осью Х
cosα 
XC
75,712

 0,601 > 0
RC 125,941
sinα 
YC 100,642

 0,799 > 0
RC 125,941
Так как cosα и sinα больше 0, то угол α острый (0O<α<90O), и лежит в I-ой
четверти, а определяется через арксинус или через арккосинус
α  arccos(0,601)  53,05O
Окончательные результаты решения задачи положения центра схвата С
X C  75,712 см ;
YC  100,642 см ;
RC  125,941 см ;
α  53,05 O .
1.4. Расчёт скоростей
1. Расчёт средних значений относительных скоростей соседних звеньев в
кинематических парах
Поступательная пара А {1-0}
Угловая скорость звена 1 относительно стойки 0, ω10 = 0, так как φ10 = const.
Линейная скорость звена 1 относительно стойки 0:
S 10max  S 10min 18  2
см
V10 

 4,0
tm
4
с
Поступательная пара В {2-1}
Угловая скорость звена 2 относительно звена 1, ω21 = 0, так как φ21 = const.
Линейная скорость звена 2 относительно звена 1:
S 21max  S 21min 90  10
см
V21 

 20,0
tm
4
с
Вращательная пара D {3-2}
Угловая скорость звена 3 относительно звена 2:
- градусная мера  32 
О
 32max   32min
tm

0  ( 80)
угл.град
 20
;
4
с
6
- радианная мера  32   32
О
π
π
рад
О
.

20


0,349
180О
180О
с
Линейная скорость звена 3 относительно звена 2 V32 = 0, так как S32 = L3 =
= const
2. Расчёт абсолютных угловых скоростей звеньев относительно стойки:
рад
;
с
- звено 1: 1  10  0,0
- звено 2: 2  1  ω21  0,0  0,0  0,0
рад
;
с
- звено 3:  3   2  ω32  0,0  0,349  0,349
рад
.
с
Рассчитанные значения скоростей сведём в таблицу 5.
рад
с
ω10
0,0
ω1
0,0
ω21
ω32
0,0
0,349
ω2
ω3
Относит.
линейные
скорости
рад
с
Абсолютн.
угловые
скорости
φ1
0О
S10
10 см
φ2
90О
2. 2
S21
50 см
φ3
50О
3. 3
S32 = L3 60 см
1. 1
Относит.
угловые
скорости
Значения
Параметр
ы
№
п.
п.
Звенья
Таблица 5. Угловые и линейные параметры и скорости
см
с
V10
4,0
V21
20,0
V32
0,0
0,0
0,349
3. Проекции скорости VС центра схвата С.
Расчёт проекций скорости проводим для n = 3 по значениям из таблицы 5 по
следующим формулам
3
V XC   ( Vi ,i 1  cos  i   i  S i ,i 1  sin i ) ;
i 1
3
VYC   ( Vi ,i 1  sin i   i  S i ,i 1  cos  i ) .
i 1
VXC  V10  cos  1  V21 cos  2  V32  cos  3 
 ( 1  S10  sin 1  2  S21  sin 2   3  S32  sin 3 )
VYC  V10  sin 1  V21 sin 2  V32  sin 3 
 ( 1  S10  cos  1   2  S 21  cos  2   3  S 32  cos  3 )
Подставим данные из таблицы 5 и выполним вычисления
7
V XC  V10  cos 1  0,0  0,0 
 (0,0  0,0  ω3  L3  sin 3 ) 
 V10  cos  1   3  L3  sin 3
VXC  4,0  cos0 О  0,349  40  sin50 О ) 
 4,0  1,0-0,349  40  0,766  6,696
см
;
с
VYC  0,0  V21 sin 2  0,0 
 (0,0  0,0  ω3  L3  cos 3 ) 
 V21  sin 2   3  L3  cos  3
VYC  20,0  1,0  0,349  40  0,643  28,975
см
.
с
4. Модуль вектора скорости центра схвата С
VC  VXC2  VYC2  (-6,696)2  28,9752  29,739
см
.
с
Угол β направления вектора VС с осью Х
cos 
VXC - 6,696

 0,225 < 0
VC
29,739
sin 
VYC 28,975

 0,974 > 0
VC
29,739
Так как cosβ<0, а sinβ > 0, то угол β тупой (90O < β < 180O), и лежит во II-ой
четверти, а определяется через арккосинус (но не через арксинус)
  arccos(-0,459)  103,00O .
Окончательные результаты решения задачи скоростей центра схвата С
VXC  6,696
см
;
с
VYC  28,975
см
;
с
VC  29,739
см
;
с
  103,00 O .
8
1.5. Расчёт ускорений
Исходными данными при расчёте ускорений служат результаты решения
задачи скоростей. Для средних значений обобщённых координат исходные
параметры сведены в таблицу 6.
№
п.п.
1.
2.
3.
Линейные
параметры
Углы
S, см
φ, угл. град.
S10 = 10
S21 = 50
S32 = 40
φ1 = 0
φ2 = 90
φ3 = 50
Относительные
скорости
см
V,
с
V10 = 4,0
V21 = 20,0
V32 = 0,0
Таблица 6.
Угловые
скорости
рад
ω,
с
ω1 = 0,0
ω2 = 0,0
ω3 = 0,349
1. Проекции ускорения аС центра схвата С.
Расчёт проекций ускорения проводим для n = 3 по значениям из таблицы 6
по следующим формулам
3
а XC   {  ωi  (2  Vi,i 1  sin i  ωi  S i,i 1  cos i ) } ;
i 1
3
aYC   {  i  ( 2  Vi ,i 1  cos  i   i  S i ,i 1  sin i )} .
i 1
Рассчитываем каждую сумму по отдельным i-м слагаемым
a XC  a XC 1  a XC 2  a XC 3 ;
aYC  aYC 1  aYC 2  aYC 3 ;
Подставим численные значения и вычислим проекцию ахс
При i = 1:
a XC1   ω1  (2  V10  sin 1  S10  ω1  cos 1 ) ;
a XC1  0,0 .
При i = 2:
a XC2   ω2  (2  V21  sin  2  S 21  ω2  cos 2 ) ;
a XC2  0,0 .
При i = 3:
a XC3   ω3  (2  V32  sin  3  S 32  ω3  cos 3 ) ;
a XC3  0,349 (2  0,0  sin50О  40  0,349 cos50 О ) ;
a XC3  3,132
см
.
с2
Суммируя полученные результаты, находим
a XC  0,0  0,0  ( 3,132) 3,132
см
.
с2
9
Подставим численные значения и вычислим проекцию аyс
aYC1   ω1  (-2  V10  cos 1  S 10  ω1  sin  1 ) ;
При i = 1:
aYC1  0,0 .
aYC2   ω2  (-2  V21  cos 2  S 21  ω2  sin  2 ) ;
При i = 2:
aYC2  0,0 .
aYC3   ω3  (-2  V32  cos 3  S 32  ω3  sin  3 ) ;
При i = 3:
aYC3  0,349 (-2  0,0  cos50О  40  0,349 sin50О ) ;
см
.
с2
Суммируя полученные результаты, находим
aYC3  3,732
aYC  0,0  0,0  ( 3,732) 3,732
см
.
с2
2. Модуль вектора ускорения центра схвата С
2
2
aC  a XC
 aYC
 (-3,132)2  (-3,732)2  4,872
см
.
с2
Угол γ направления вектора ac с осью Х
cos 
a XC - 3,132

 0,643 < 0
aC
4,872
sin 
aYC - 3,732

 0,766 < 0
aC
4,872
Так как cosγ<0 и sinγ < 0, то угол γ тупой (-90O<α<-180O), и лежит в III-ей
четверти, а определяется через арккосинус (а не через арксинус)
  arccos(-0,643)  130,00O
Окончательные результаты решения задачи ускорений центра схвата С
а XC  3,132
см
;
с2
аYC  -3,732
см
;
с2
аC  4,872
см
;
с2
  130,00 O .
Итоговые результаты кинематического анализа сведём в таблицу 7
Обобщённые
координаты
φ0 =
90O
S10 =
10 см
S21 =
50 см
φ32 =
-40О
Таблица 7. Характеристики центра схвата манипулятора.
см
см
Положение
Скорость,
Ускорение, 2
схвата, см
с
с
XC =
75,712
VXC =
-6,696
aXC =
-3,132
YC =
100,648
VYC =
28,975
aYC =
-3,732
RC =
125,941
VC =
29,739
aC =
4,872
α=
53,05О
β=
103,00О
γ=
130,00О
10
2. Моделирование манипулятора на ЭВМ
Кинематический анализ манипулятора выполним путём его моделирования
на ЭВМ с помощью программы “Манипуляторы 3 степени свободы v0.2.2”.
Графические
результаты
моделирования
представлены
в
файлах
“Манипулятор – среднее положение”, “Манипулятор – зона обслуживания” и
“Манипулятор – зона обслуживания -1”.
Данные моделирования представлены в таблице 8 в сравнении с данными,
полученными расчётным путём.
Обобщённые
координаты
Таблица 8. Сравнительные характеристики центра схвата.
см
Скорость,
Положение схвата, см
с
Расчёт
ЭВМ
Расчёт
ЭВМ
φ0 =
90O
XC =
75,712
75,71
VXC =
-6,696
-6,7
S10 =
10 см
YC =
100,648
100,64
VYC =
28,975
12,98
S21 =
50 см
RC =
125,941
125,94
VC =
29,739
14,61
φ32 =
-40О
α=
53,05О
-
β=
103,00О
-
Путём
моделирования
получена
геометрическая
конфигурация
зоны
обслуживания (рис. 4). Задание предельных координат положения звеньев
манипулятора позволило определить координаты характерных точек зоны
обслуживания (таблица 9).
11
Y, см
2
120
3
110
100
C
1
90
4
80
70
6
5
60
50
40
30
20
10
X, см
0
20
10
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120 130
Рис. 4. Геометрическая конфигурация зоны обслуживания
Таблица 9. Координаты характерных точек зоны обслуживания.
2
3
4
5
6
i
1
Xi, см
10,00
10,00
90,00
129,39
129,39
49,39
Yi, см
102,00
118,00
118,00
84,95
68,95
68,95
3. Графоаналитический метод планов
1. Построение плана механизма (рис. 5).
Принимаем произвольно АВ = 150 мм. Тогда масштабный коэффициент
плана будет:
kL 
L1
100 2 см


.
AB 150 3 мм
Размеры изображений на плане составляют (показаны длины звеньев)
12
OA 
1
3
 L0   20  30 мм ;
kL
2
О
AВ 
А
1
3
 L1   100  150 мм ;
kL
2
А
В
ВD 
1
3
 L2   60  90 мм ;
kL
2
В
D
DC 
1
3
 L3   40  60 мм .
kL
2
D
C
Построим в масштабе план манипулятора (рис. 5) для средних значений
обобщённых координат, указанных в таблице 4. Красной линией показан радиусвектор центра схвата ОС. Его длина, измеренная на распечатке рисунка, ОС =
=189,5 мм.
RC  OC  k L  189 
2
 126,0 см ,
3
измеренный угол α = 53О, что совпадает с аналитическим решением.
2. Построение плана механизма (рис. 6).
На плане механизма (рис. 5) дуговой стрелкой показана абсолютная угловая
скорость звена 3. Направление выбрано в сторону возрастания обобщённой
угловой координаты φ32.
ω32  0,349
рад
.
с
Линейными стрелками показаны относительные скорости поступательного
движения в парах А и В и вращательного движения в паре D. Масштаб векторов
скоростей на рис. 5 kV 5
 см 
 
с
 0,5   .
мм
13
V32
V32Y
β32
aCX V32X
С
Измерено: ОС = 189 мм; α = 53О.
Rc = ОС∙kL = 189∙(2/3) = 126 см.
aC
ω32
aCY
D
RC
В
А
V10
О
α
V21
Рис. 5. План механизма
2. Построение плана скоростей
Построим план скоростей (рис. 6). Произвольно выберем масштаб скоростей
kV 6
 см 


с 

 0,125
.
мм
Определим величину образов векторов скоростей
pA 
1
1
 V10 
 4  32 мм
kV6
0,125
14
pВ 
1
1
 V21 
 20  32 мм
kV6
0,125
Определим относительную линейную скорость точки С от вращательного
движения звена 3 относительно точки D
V32  ω32  L3  0,349 40  13,963
см
с
Направление вектора скорости V 32 перпендикулярно направлению звена 3,
т.е. угол этого вектора
β32   3  90О  50О  90О  140О .
Найдём проекции этого вектора
V32X  V32  cosβ32  13,963 cos140O  10,696
V32X  V32  sinβ32  13,963 sin140O  8,975
см
с
см
с
Определим величину образов векторов скоростей
pC 
1
1
 V32 
 13,963  112 мм
kV6
0,125
pCX 
1
1
 V32X 
 10,696  86 мм
kV6
0,125
pCY 
1
1
 V32Y 
 8,975  71 мм
kV6
0,125
3. Построение плана ускорений
Исходные данные, необходимые для построения плана ускорений.
Длина LDC = L3 = 40 см.
Скорость ω3 = 0,349
рад
.
с
Угловые ускорения ε0 = ε1 = ε2 = ε3 = 0.
Относительные ускорения а10 = а21 = 0.
Точка С вращающегося звена 3 движется по окружности с центром D с
постоянной угловой скоростью ω3. Тангенциальное ускорение отсутствует, так
как ε3∙L3 = 0. Вектор полного ускорения а С содержит только нормальную
15
составляющую. Она направлена к центру D независимо от направления вращения
(ω3), а модуль ускорения имеет величину:
аС  32  L3  0,3492  4,874
рад
.
с2
Ввиду простоты плана ускорений построим его на рис. 5 (сиреневый цвет).
 рад 
 2 
с 
Произвольно выберем масштаб ускорений kа  0,1 
.
мм
Направление вектора ускорения а С противоположно направлению звена 3,
т.е. угол этого вектора
   3  180О  50О  180О  130О .
Найдём проекции этого вектора
аCX  aC  cos  4,874 cos(-130 O )  3,133
рад
;
с2
аCY  aC  sin  4,874  sin(-130O )  3,734
рад
.
с2
Определим величину образов вектора ускорений
с 
1
1
 аС 
 4,874  49,0 мм ;
kа
0,1
с X 
1
1
 аСX 
 3,133  31,0 мм ;
kа
0,1
сY 
1
1
 аСY 
 3,734  37,0 мм .
kа
0,1
16
cy
c
a
b
Измерено: ос = 128 мм; α = 54,5О.
Vc = oc∙kV6 = 128∙0,125 = 16 см/c;
Vcx = ocx∙kV6 = 74∙0,125 = 9,25 см/c;
Vcy = ocy∙kV6 = 103∙0,125 = 12,875 см/c.
β
cx
o
X
Рис. 6. План скоростей
В таблице 10 произведено сравнение величин компонент скорости центра
схвата определённых 4 способами.
Таблица 10. Сравнительные скорости центра схвата.
см
Скорость,
Компонента
с
скорости
Исправленный
центра
Расчёт, стр. Моделирование
План
расчёт, стр.
схвата
8
на ЭВМ
скоростей
18
VXC
-6,696
-6,7
9,25
9,304
VYC
28,975
12,98
12,875
12,975
VC
29,739
14,61
16,0
15,966
β, угл. град.
103,00О
--54,5О
54,36О
Расчёт на стр. 8 и моделирование на ЭВМ выполнены с ошибками, т.к.
основаны на ошибочных формулах, приведённых в МУ на стр. 9 (16) и (17) и на
стр. 17 без номеров.
Исправленные формулы приведены в файле “МУ – стр 8 - исправление”
Ниже на стр. 18 приведён исправленный расчёт со стр. 8 настоящего файла.
17
Исправленный расчёт со стр. 8
VXC  V10  cos  0  V21 cos  1  V32  cos  2 
 ( 0  S10  sin 0  1  S21  sin 1  2  L2  sin 2   3  L3  sin 3 )
VYC  V10  sin 0  V21 sin 1  V32  sin 2 
 ( 0  S10  cos  0  1  S21  cos  1  2  L2  cos  2   3  L3  cos  3 )
Подставим данные из таблицы 5 и выполним вычисления
VXC  0,0  V21  cos 1  0,0 
 (0,0  0,0  0,0  ω3  L3  sin 3 ) 
 V21  cos  1   3  L3  sin 3
V XC  20,0  cos0 О  0,349  40  sin50О ) 
 20,0  1,0 - 0,349  40  0,766  9,304
см
с
VYC  V10 sin 0  0,0  0,0 
 (0,0  0,0  0,0  ω3  L3  cos 3 ) 
 V10  sin 0   3  L3  cos  3
VYC  4,0  1,0  0,349 40  0,643  12,975
см
с
4. Модуль вектора скорости центра схвата С
VC  VXC2  VYC2  9,3042  12,9752  15,966
см
.
с
Угол β направления вектора VС с осью Х
cos 
VXC
9,304

 0,583 > 0
VC
15,966
sin 
VYC 12,975

 0,813 > 0
VC 15,966
Так как cosβ>0 и sinβ > 0, то угол β острый (0O<β<90O), и лежит в I-ой
четверти, а определяется через арккосинус или через арксинус
  arccos(0,583)  54,36O
Окончательные результаты решения задачи скоростей центра схвата С
VXC  9,304
см
;
с
VYC  12,975
см
;
с
VC  15,966
см
;
с
  54,36 O .
18