фс-обзор

Этапы формирования сигнала в аналоговой системе радиосвязи
Размеры антенны, обеспечивающей достаточную мощность излучения,
должны быть, как минимум, порядка 0,1 длины волны
(f = 30 МГц, λ = c/f = 10 м)
Для передачи по радиоканалу выполняется «полосовая» модуляция: первичный
аналоговый сигнал изменяет амплитуду, частоту или фазу высокочастотного «несущего» колебания.
Формирование сигналов с амплитудной модуляцией
U1
U2=A(1+MU1)sint
модулятор
sint
Г
линия
связи
U3
ПФ
детектор
U4
ФНЧ
Пример осциллограммы сигналов
t
Переданное несущее колебание
Принятый сигнал слабый,
усиливается резонансной системой с
большой добротностью. Частота
несущего колебания должна быть
много больше частоты
передаваемого сигнала
1
Основные этапы формирования сигнала в цифровой системе связи
1. Кодирование источника (форматирование и сжатие данных)
2. Кодирование канала (избыточное помехоустойчивое кодирование)
3. Модуляция (в том числе модуляция с расширением спектра)
4. Демодуляция (детектирование)
5 Декодирование.
6. Организация многоканальной связи.
7. Шифрование и дешифровка сообщения
Состав цифровой системы связи
Система связи
Источник
сообщения
Кодер
источника
Канал связи
Кодер
канала
модулятор
передатчик
Линия
связи
приемник
Получатель
сообщения
Декодер
источника
Декодер
канала
помеха
демодулятор
кодек
модем
Линия связи – среда распространения сигнала.
Канал связи – часть системы, определяющая ее технические характеристики
Основные требования к системе связи:
- высокая скорость передачи сообщений и узкая частотная полоса,
- низкая мощность передатчика и малая вероятность ошибки передачи
- многоканальность,
- защита от несанкционированного доступа,
- простая аппаратная реализация.
2
Этапы кодирования источника:
1. «Примитивное» кодирование (форматирование)
Буквенно-цифровые символы текста представляют двоичными кодовыми комбинациями по международным стандартам (ASCII, EBCDIC, ZIP и т.д.)
Аналоговый сигнал подвергают компрессии, дискретизации по времени и аналого-цифровому преобразованию с квантованием по уровню.
Первичный x(t)
сигнал
x(t)
t
компрессор
y(t)
yi
дискретизатор
выборки yi
y
АЦП
биты
двоичный код
t
010 011 011 010 101 110
0
0
yi 00
1
1
1
Какая частота выборки?
Вид кода ?
x
011
010
001
000
001
010
011
Компрессия
– неравномерное квантование по уровню для уменьшения
влияния «шума квантования».
Дискретизация – представление сигнала отдельными «выборками», отсчетами
Кодер источника выдает сообщение в виде последовательности двоичных знаков
2. «Экономное» кодирование (сжатие данных)– сокращение числа двоичных
знаков в тексте сообщения без потери информации.
Кодирование канала:
«избыточное» помехоустойчивое кодирование, позволяющее обнаружить и исправить ошибку в принятом сообщении
Последовательности бит:
после форматирования
10100011010111001……1001
после сжатия
11001011….11
(меньше бит)
после канального кодирования
101100010….1001101 (больше бит)
разделение битовой последовательности на канальные символы:
двоичные
1 0 1 1 0 0 0 1 0….1
10110001
двухбитовые
трехбитовые
101100010
Цифровая модуляция (манипуляция)
импульсная
модуляция
БВН
1
0
1
ВН
полосовая
модуляция
расширение
спектра
1
2ФМ
0
2ЧМ
коды канала
волновые сигналы
3
псевдослучайный код
Спектр периодического сигнала
Периодический сигнал можно представить рядом Фурье – суммой гармоник, образующих дискретный (линейчатый) спектр, представляемый в амплитуднофазовой, квадратурной или комплексной форме:


ao 
a
  An cos(n1t   n )  o   an cos n1t  bn sin n1t   Cn e jn t
2 n 1
2 n 1
n  
T
T
T /2
2
2
1
an   s(t ) cos(n1t )dt, bn   s(t ) sin( n1t )dt, Cn 
s(t )e  jn t dt,

T0
T0
T T / 2
где ао/2 - постоянная составляющая, 1=2/T - частота первой гармоники, T и n период сигнала и номер гармоники.
Ряд значений амплитуд An и фаз n – это спектры амплитуд и фаз,
«односторонний спектр», представляющий сигнал в области положительных частот. Спектр фаз зависит от выбора начала отсчета времени.
Комплексные амплитуды Сn, содержащие информацию об амплитудах и
фазах гармоник, называют двусторонним комплексным спектром, представляющим сигнал в области положительных и отрицательных частот. В этом спектре
амплитуды составляющих в 2 раза меньше, чем в одностороннем спектре.
s(t ) 
1
1
Im
sinφ
1
φ
cosφ
sinφ(t)
ω<0
Aejφ(t)
A
A/2
Re
A3
φ0
-φ0
cosφ(t)
A/2
4
A2
Acos(ωt-φ0)
ω>0
A1
Спектр последовательности прямоугольных импульсов
Cn
τ
Uo τ/T
U0/π
1/T
U0
f
t
T =2 τ
0
1/τ
│Cn│
τ
U0
f
t
T =5τ
–2/τ
–1/τ
0
1/τ
2/τ
При  = T/2 в спектре присутствуют только нечетные гармоники:
Cn 
U0
n
sin
:
n
2
Периодический сигнал s(t) имеет бесконечную длительность и бесконечную
энергию. Поэтому его характеризуют средней за период мощностью:
P

1 T /2 2
1  2
 An   C n
 s (t ) dt 
n  
T T / 2
2 n 0
2
При этом предполагается, что сигнал представлен напряжением или током, действующим на сопротивлении в 1 Ом.
Значения
Cn
2
составляют спектр мощности сигнала.
Спектр периодического сигнала линейчатый,
состоит из отдельных гармоник
5
Спектр непериодического сигнала конечной длительности
Спектр описывается преобразованием Фурье:
прямое S ( ) 


s(t )e
 jt
1
s(t ) 
2
dt ,


 S ()e
jt
d – обратное

Физический смысл функции S() можно пояснить, сравнив спектр одиночного
прямоугольного импульса длительности τ амплитуды U:
 /2
S ( ) 
Ue
 jt dt  (2U /  ) sin( / 2).
 / 2
со спектром периодической последовательности импульсов.
Cn
τ
Cn 
Uo τ/T
U0/π
U0
n
sin
n
2
1/T
U0
t
T =2 τ
0
f
1/τ
При Т последовательность превращается в один импульс, спектральные линии
сливаются (n1   ) и линейчатый спектр заменяется непрерывной комплексной
спектральной функцией S().
S(f)
AΣ =N Cn
–1/τ
Δf
0
f
2/τ
1/τ
N = ΔfТ гармоник
Вид функции S(ω) и огибающей комплексных амплитуд спектра последовательности импульсов Cn одинаков, они отличаются множителем: S ( )  TC n .
S(ω) – отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала, заменяющего все спектральные составляющие в малом частотном интервале Δf, к
длине интервала Δf, или плотность амплитуд, спектральная плотность, спектральная функция, спектр сигнала s(t). Размерность [А/Гц] или [А с].
Непериодический сигнал имеет конечную энергию, поэтому его называют
«энергетическим». Энергия сигнала (P = U2/R, E = Pt, R = 1)
E
T /2

T / 2
1
s (t )dt 
2
2



2
S ( ) d 
1


0
2
S ( ) d.
Физический смысл функции  S() 2 - спектральная плотность энергии.
6
Спектр произведения сигналов
Из тождества: cost cos t  0.5[cos(  )t  cos(  )t ] следует
Спектр произведения сигналов можно получить, заменив каждую спектральную линию ωi одного сигнала, имеющую амплитуду Аi, спектром другого сигнала, расположенным симметрично относительно частоты ωi и взятым с весовым коэффициентом Аi
Сигнал s1(t)
Спектр
Сигнал s2(t)
Спектр
-ω2
- ω1
ω1
0
ω2
-Ω2 –Ω1 0 Ω1 Ω2
Сигнал s1(t) s1(t) Cпектр
Спектр радиоимпульса:
S(f)
t
s1(t)
f
0
f0
полоса
s2(t)
τ
полоса
s1 s2
f0 –1/τ
0
f0
f0+1/τ
Спектр пачки импульсов:
Бесконечная последовательность
s1(t)
t
S(f)
Т=2τ
1/T
0
1/τ
s2(t)
Пачка импульсов
s1 s2
При модуляции высокочастотного гармонического сигнала (несущего колебания) спектр модулирующего сигнала переносится в область высоких частот
(в окрестность несущей частоты) с расширением полосы в два раза.
7
«Транспонирование» частот при диcкретизации сигнала по времени
Сигнал с частотой 6 Гц, восстановленный по выборкам с частотой 5 Гц, воспринимается как сигнал частоты 1 Гц. Это эффект «транспонирования», или «поглощения», частот.
1с
«Псевдочастота» fpf восстановленного сигнала зависит от соотношения частоты f исходного непрерывного сигнала и частоты дискретизации fd
f pf / f d
0,5
f
0
1
/ f
d
2
Высокочастотные составляющие спектра, транспонируясь, суммируются с низкочастотными составляющими, изменяя вид спектра.
Спектр дискретного сигнала
При «идеальной» дискретизации отсчеты – это δ-импульсы. Дискретный сигнал
– произведение непрерывной функции x(t) (а) и последовательности
δфункций xδ(t) (в).
x(t)
X(f)
а
б
f
t
xδ(t)
-fm 0 fm
г
в
Δ
t
1/Δ
-2/Δ -1/Δ
0 1/Δ 2/Δ
f
Спектр дискретного сигнала состоит из последовательности бесконечно повторяющихся, с частотой дискретизации, спектров исходного непрерывного сигнала.
а
б
-2/Δ
-1/Δ
0 fm 1/Δ
2/Δ
-fm
8
0
fm 1/Δ
Автокорреляционная функция
Rx ( ) 



x(t ) x(t   )dt,
(длительность сигнала конечна) –
мера сходства сигнала x(t) со своей копией, сдвинутой на время τ
Функция Rx(τ) четная , физический смысл Rx(0) – энергия сигнала.
Интервал корреляции
k 
1 
 Rx ( ) d – нормированная Rx(τ)
Rx (0) 0
Автокорреляционная функция прямоугольного импульса:
x(t)
│X(ω)│
t
T
x(t – τ)
τ*
Rx(τ)
ω
τ
-T
τ*
0
0
2π/T
T
Шире спектр сигнала – уже автокорреляционная функция.
Спектральная плотность энергии E(ω) и автокорреляционная функция R(τ)
связаны между собой преобразованием Фурье:
R( ) 
R( ) 
1
2
1





E ( )e j d ,
E ( ) 



R( )e  j d .

E ( ) cos( )d , E ( )  2  R( ) cos( )d .
0
0
Для периодического сигнала Rx ( ) 
1 T /2
 x (t ) x (t   ) dt
T T / 2
Функция взаимной корреляции Rxy(τ) – мера сходства сигналов x(t) и y(t)
Rxy ( ) 



x(t ) y (t   )dt.
Функция взаимной корреляции прямоугольного и треугольного импульсов:
x(t)
t
y(t)
t
Rxy(τ)
τ
9
Основные характеристики случайных величин
Функция распределения F(x) = P(X < x) – вероятность того, что значение случайной величины Х меньше х.
Плотность вероятности p(x) = dF(x)/dx, p(x)dx = P(x < X <x+dx) – вероятность попадания случайной величины в интервал dx в окрестности значения х.
Математическое ожидание – оценка среднего значения непрерывной и дискретной величины:
m( x )  x 



x
xp ( x)dx,
1 N
 xi
N i 1
Дисперсия D и среднеквадратичное отклонение (СКО) σ:

1 N
2
 (x  x) .
Dx   ( x  x ) 2 p( x)dx,
 x  Dx ,
Dx 
i

N i 1
Характеристики случайных сигналов (процессов)
Математическая модель случайного сигнала – cлучайная функция.
Выборочная функция – конкретная реализация случайной функции.
Ансамбль – воображаемое множество выборочных функций, полученных от бесконечного множества одинаковых систем на одном и том же интервале времени.
Сечение случайной функции – значения всех выборочных функций ансамбля в некоторый момент времени.
X1(t)
X2(t)
x1
x2
t
t
x3
x4
Сечение случайного процесса характеризуется случайными величинами: средним значением, дисперсией и т.д., которые могут быть функциями времени.
Случайный процесс, статистические характеристики которого не зависят от
времени, называется стационарным.
Случайный процесс, статистические характеристики которого одинаковы при
усреднении по ансамблю и по одной реализации случайного процесса на бесконечном интервале времени, называется эргодическим.
Амплитудный состав случайного сигнала, порожденного эргодическим процессом, описывается функцией распределения вероятностей случайной величины, частотный состав – корреляционной функцией или спектральной
плотностью мощности.
10
Примеры плотностей распределения вероятностей
Равномерное распределение
p(x)
x  ( x1  x2 ) / 2, Dx  ( x  x ) 2 / 12
0
x1
x2
x
p(x) = 1/(x2–x1).
Распределение Пуассона
( ) m 
a
pm 
e
 e a .
m!
m!
pm
a=0,5
Это вероятность появления m событий за время τ при
появлении в среднем λ событий в единицу времени.
a=1
a=2
a=3,5
Гауссово (нормальное) распределение
m
0
2
4
pm 
6
1
 2
p(x)
p( x) 
σ
 0,6 pm
 ( x  x) 2 
1
exp 

 2
2 2 

x – среднее значение, σ2– дисперсия,
 0,13 pm
2σ
x
x
Наиболее часто используется для описания «аддитивных» случайных помех.
Распределение случайной величины – суммы взаимно независимых случайных величин с любым распределением вероятностей, при увеличении числа слагаемых
стремится к нормальному распределению.
Распределение Релея
Характеризует амплитуду узкополосного колебания со случайной медленно меняющейся амплитудой и фазой.
0,606/σ
p(u)
u
0
σ
u2
p (u )  2 exp( 2 ).

2
u
11
Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности
случайного сигнала
Центрированная случайная функция – разность случайной функции и ее математического ожидания (среднего значения).
Автокорреляционные функции:

Rx ( )   x(t ) x(t   )dt детерминированного сигнала конечной длительности,
Rx ( ) 

1 T /2
T

x(t ) x(t   )dt периодического сигнала,
T / 2
1 T /2
 x(t ) x(t   )dt случайного сигнала
T   T T / 2
Rx ( )  lim
вычисляют для центрированных случайных функций. Аналогичные функции, вычисленные для не центрированных функций, называются ковариационными
(в иностранной литературе – наоборот)
Спектральный состав случайного сигнала описывают спектральной плотностью
мощности Р(ω). Средняя мощность реализации случайного процесса
1
P
2

S ( ) 2

T

d ,
Согласно теореме Винера – Хинчина (1934 г)
Р( ) 



R( )e  j d , R( ) 
1
2



Р( )e j d ,
Функции R(τ), Р(ω) четные, поэтому

Р( )  2  R( ) cos( )d .
R( ) 
0
1


Р( ) cos( )d ,
0
Понятие белого шума
Белый шум – случайный процесс с равномерным энергетическим спектром. Его
характеризуют односторонней спектральной плотностью мощности N0.
Автокорреляционная функция белого шума R(τ) = 0,5N0δ(τ).
R(τ) = 0 при всех τ ≠ 0, R(0) = σ2 = ∞. Эта бесконечность объясняется идеализацией процесса, предполагающей постоянство спектральной плотности мощности на
всех частотах, в том числе бесконечно больших. На выходе реальных устройств
дисперсия σ2 белого шума конечна. Считается, что σ2 = 0,5 N0.
12
Понятие модуляции
Модуляция – процесс изменения одного или нескольких параметров сигнала,
переносящего информацию, в зависимости от параметров первичного сигнала от
источника сообщения. Метод модуляции выбирается с учетом характеристик канала связи.
модуляция
в основной
полосе
полосовая
цифровая
аналоговая
импульснокодовая
амплитудная
импульсная
частотная
расширение
спектра
частотная
амплитуднофазовая
угловая
многочастотная
амплитуднофазовая
фазовая
При цифровом модулирующем сигнале, который изменяется скачкообразно,
процесс модуляции часто называют манипуляцией.
При модуляции в основной полосе частота модулированного сигнала соответствует частоте первичного сигнала от источника сообщения (высокочастотное несущее колебание не используется).
Модуляция в основной полосе применяется при магнитной записи, передаче
сигналов по проводу, является одним из этапов модуляции сигналов, передаваемых
по радиоканалу.
При полосовой модуляции ширина спектра модулированного сигнала много
меньше несущей частоты.
13
Импульсная модуляция
Преобразование аналогового сигнала в последовательность видеоимпульсов с
изменением:
- амплитуды импульсов (амплитудно-импульсная модуляция АИМ),
- длительности импульсов (широтно-импульсная модуляция, ШИМ),
- временного сдвига относительно тактовых импульсов (фазоимпульсная модуляция, ФИМ),
- частоты следования импульсов (частотно-импульсная модуляция, ЧИМ).
t
t
t
АИМ
ШИМ
ФИМ
АИМ выполняется при оцифровке аналогового сигнала: значение «выборки» запоминается на время аналого-цифрового преобразования, т.е. сигнал заменяется
последовательностью прямоугольных импульсов разной амплитуды, следующих с
частотой дискретизации.
Пример применения ШИМ – управление скоростью вращения двигателя постоянного тока. Длительность импульсов, подаваемых на двигатель, пропорциональна
управляющему напряжению U.
U
t
Пример применения ЧИМ – управление перемещением рабочего механизма по
заданной траектории. Механизм поворачивается на угол, пропорциональный количеству управляющих импульсов.
φ(t)
Δφ3
Δφ2
Δφ1
14
Импульсно-кодовая модуляция (ИКМ)
Значения выборок сигнала, в результате дискретизации по времени и квантования по уровню, преобразуются в двоичные кодовые слова.
Биты кодовых слов преобразуются в видеоимпульсы. Различные варианты такого представления называют кодами канала (line code) или модуляцией в основной
полосе частот.
Отсчеты с периодом Ts
5
4
3
Уровни 2
сигнала 1
0
Ts
010
011 101 010
001
010 010
100 101 100 011
б
а
Код без возврата к нулю (БВН)
Код с возвратом к нулю (ВН)
Влияние характеристик канала на вид цифрового сигнала демонстрирует «глазковая» диаграмма,
Закрытие глазка
момент
отсчета
t
Джиттер (дрожание)
К кодам канала предъявляются требования:
- отсутствие постоянной составляющей,
- способность к самосинхронизации – формированию тактовых (символьных)
импульсов по фронтам принятого сигнала,
- минимальная ширина частотной полосы,
- высокая помехоустойчивость и возможность обнаружения ошибок без введения избыточности.
15
Примеры кодов канала
+
1 –
1
0
1
1
0
0
2 +
–
3 +
–
4 +
0
+
5 0
–
6 +0
–
7 +
–
8 +
–
Коды 1, 2, 3 без возврата к нулю, БВН (nonreturn-to-zero, NRZ).
В коде 1 высокий уровень – «1», низкий уровень – «0».
В коде 2 уровень изменяется при появлении «1».
В коде 3 уровень изменяется при появлении «0».
Кодирование 2, 3 называют дифференциальным: уровень сигнала зависит от того,
совпадает ли бит с предыдущим битом или не совпадает.
Коды 4, 5, 6 с возвратом к нулю (RZ).
4 – униполярное кодирование. Импульс формируется при появлении «1».
5 – биполярное кодирование. «1» и «0» – импульсы разной полярности.
6 – кодирование ЧПИ (alternate mark inversion, AMI) – с чередованием полярности
импульса при появлении каждой следующей «единицы». При «нуле» сигнал не меняется. В ряде кодов вводится ограничение на число следующих друг за другом нулей.
Коды 7, 8 - фазовое кодирование.
7. Манчестерский код. «1» – импульс выдается в первой половине такта, «0» – во
второй половине.
8. Код CMI (coded mark inversion). «1» – изменяется уровень сигнала по отношению
к предыдущей единице. «0» – подается пара из отрицательного и положительного
импульсов.
16
Аналоговая амплитудная модуляция
1
S(t)
М
Σ
U1
UАМ(t)
U3
U2
U0cos(ωt+φ)
модулятор
демодулятор (детектор)
Г
Модулирующий сигнал S (t )  sin 10t  0,5 sin 20t
М – коэффициент глубины модуляции
U1
UАМ
U2
U3
Принцип работы детектора
SAM(t)
(Uвх)
C
S(t)
(Uвых)
R
Um
U0
Uвых
ωt
Uвх
2θ
i
ωt
Θ – угол отсечки
17
Перемодуляция
1
S(t)
М
Σ
U1
UАМ(t)
U2
U3
U0cos(ωt+φ)
модулятор
демодулятор (детектор)
Г
U1
UАМ
U2
U3
18
Спектр сигнала с амплитудной модуляцией
UAM(t) = [1 + McosΩt]cosωt = cosωt + 0,5Mcos(ω + Ω)t + 0,5Mcos(ω - Ω )t
1
1
1
0,5
0,5М
0 Ω
0
ω
0 ω-Ω ω ω+Ω
0,25М
-ω-Ω -ω -ω+Ω 0 ω-Ω ω ω+Ω
При сложном модулирующем колебании, спектр которого занимает полосу с
максимальной частотой Ωm, весь спектр модулирующего сигнала переносится
в область высоких частот с расширением полосы до 2 Ωm
0
m
полоса
0

-
полоса 2m
0

полоса 2m
Недостатки амплитудной модуляции:
– удвоенная частотная полоса,
– на информационную часть сигнала приходится малая доля мощности всего
сигнала
19
Принцип построения АМ-модулятора
iK
R1
SАМ(t)
cosω0t
Ucм
S(t)
t
ik
ik0
t
SAM
t
S(t)
R2
0
C
R3
Uб
Амплитудный модулятор:
а – схема,
б – характеристика транзистора при малых сигналах,
в – осциллограмма сигналов.
При большом сигнале характеристику транзистора можно считать
кусочно-линейной
iк
Uсм
iк
t
Uб
SАМ
t
20
Амплитудная модуляция с подавлением несущей
(балансная модуляция)
синхронный детектор
S(t)
U1
UАМ
cos(ωt+φ)
СВН
Г
U2
cos(ωt+φ)
UАМ(t) = cosΩt cosωt = 0,5cos(ω + Ω)t + 0,5cos (ω - Ω)t.
При отрицательном модулирующем сигнале знаки огибающей модулированного сигнала и модулирующего сигнала противоположны, но противоположны и знаки опорного и несущего колебания. Благодаря этому первичный сигнал восстанавливается правильно, несмотря на то, что огибающая модулированного сигнала отличается по форме от первичного сигнала.
Модулирующий сигнал S(t)
Модулированный сигнал
Сигнал U1
Выход ФНЧ U2
21
UАМ
Амплитудная модуляция с передачей
одной боковой полосы (ОБП, SSD – single side band)
U1
U2
sinωt
Г
U3
U4
Σ
U5
U6
U3
U7
U8
sinωt
bsinωt
СВН
СВН
Модулятор
детектор
детектор
В аналоговой системе сложение выполняется проще, чем умножение
Модуляция
U1 (t )  A1соst ,
U 2 (t )  A2 cost sin t  0,5 A2 sin(  )t  0,5 A2 sin(  )t.
U 3 (t )  A3 sin(   )t.
Квадратичное детектирование
U 4 (t )  a sin(  )t  b sin t  a[sin t cos t  cost sin t ]  b sin t 
 (b  a cos t ) sin t  (a sin t ) cost  a1 (t ) sin t  a2 (t ) cost ,
a1 (t )  b  a cos t , a2 (t )  a sin t.
U 5 (t )  U 42 (t )  a12 (t ) sin 2 t  a22 (t ) cos2 t  a1a2 sin 2t 
 0,5a12 (t )(1  cos 2t )  0,5a22 (t )(1  cos 2t )  a1a2 sin 2t.
U 6 (t )  0,5[a12 (t )  a22 (t )] 
 0,5[(b  a cos t ) 2  a 2 sin 2 t ]  0,5[a 2  b 2  2ab cos t ].
«Линейное» детектирование
U 4 (t )  a1 (t ) sin t  a2 (t ) cos t  A(t ) sin( t   (t ))
A(t )  a12 (t )  a22 (t )  (b  a cost ) 2  a 2 sin 2 t  b 1  a 2 / b 2  2(a / b) cost .
Если опорный сигнал много больше принимаемого сигнала (b>>a),
A(t )  b(1  a 2 /( 2b 2 )  (a / b) cos t ) ,
переменная составляющая сигнала A(t) повторяет модулирующий сигнал.
Детектирование с умножением принятого сигнала на опорный:
U 7 (t )  U 3 sin t  A3 sin(   )t sin t  0,5 A3[cos t  cos( 2  )t ].
22
Однополосный модулятор с квадратурным фильтром
(модулятор Вивера)
S(t)
КФ
S*(t)
sin ω0t
cosω0t
+
Σ
–
+
Σ
U1= Sнбп(t)
U2= Sвбп(t)
+
Квадратурный фильтр (КФ) выполняет преобразование Гильберта: изменяет фазы всех спектральных составляющих модулирующего сигнала S(t) на
π/2.
В результате формируется сигнал S*(t), «сопряженный» по отношению к входному сигналу S(t).
Если S(t) = acosΩt, то S*(t) = bsinΩt, и
U1 (t )  ai Si (t ) cost  ai Si * (t ) sin t 
 ai cos i t cost  ai sin i t sin t  ai cos(t  i )t ,
U 2 (t )  ai Si (t ) cost  ai Si * (t ) sin t 
 ai cos i t cost  ai sin i t sin t  ai cos(t  i )t.
Аналогичным образом преобразуются все спектральные составляющие входного
сигнала. На одном выходе схемы будет получен сигнал Sвбп(t), составленный из
гармоник верхней боковой полосы амплитудно-модулированного сигнала, на другом выходе – сигнал Sнбп(t), составленный из спектральных составляющих нижней
боковой полосы.
Квадратурный фильтр реализуют аппаратно или программно. При программной
реализации используют быстрое преобразование Фурье. Спектры исходного и сопряженного сигналов связаны соотношением
S * ( )   j sgn(  ) S ( ) .
23
Угловая модуляция
Угловая модуляция реализуется как фазовая или частотная. Пропорционально модулирующему сигналу s(t) вводится добавка к угловой частоте или к
начальной фазе:
  0   (t )  0  ks(t ),    0   (t )   0  ks(t ).
Частота – скорость изменения полной фазы:
  d / dt ,
t
t
0
0
    ( )d  const   0 t    ( )d   0 ,
Сигналы с фазовой и частотной модуляцией:
S фм (t )  A cos[0 t   (t )   0 ]  A cos[0 t  ks(t )   0 ],
t
t
0
0
S чм (t )  A cos[ 0 t    ( )d   0 ]  A cos[ 0 t  k  s ( )d   0 ].
Поправка к фазе несущего колебания пропорциональна модулирующему
сигналу при фазовой модуляции и интегралу от модулирующего сигнала при
частотной модуляции.
Максимальные поправки к частоте и к фазе немодулированного колебания
называют девиацией частоты (ωd) и девиацией фазы (φd).
Сигналы с частотной и фазовой модуляцией однотональным гармоническим
сигналом по своему виду неразличимы:
если    0   d cos t , то ЧМ-сигнал с девиацией частоты ωd можно представить как ФМ-сигнал с девиацией фазы φd = ωd/Ω:
t
S чм (t )  A cos[ 0 t    d cos  d   0 ]  A cos( 0 t 
d
sin t   0 ).

Если  (t )   0 t   0   d sin t , то   0   d  cos t и ФМ-сигнал (де0
виация фазы φd) можно представить как ЧМ-сигнал (девиация частоты φdΩ).
Параметр m = ωd/Ω (девиация фазы) называют индексом однотональной угловой
модуляции.
Сигналы с однотональной гармонической модуляцией (ЧМ, ФМ) описывают
одним и тем же выражением S ум (t )  A cos(0t  m sin t ) .
ФМ
ЧМ
d
d
φd=ωd/ Ω
ωd=φdΩ


24
Примеры сигналов с угловой модуляцией
S ум (t )  A cos (t )  A cos(t   )
1
4
S(t)
2
5
3
6
Рис. 2, 3, 5, 6 – где частотная и где фазовая модуляция?
Модулирующий сигнал дает добавку к частоте или к фазе, но не абсолютное значение частоты или фазы
25
Спектр сигнала с угловой модуляцией
Однотональная модуляция, m << 1
S ум (t )  A cos(0t  m sin t )  A cos(m sin t ) cos0t  A sin( m sin t ) sin 0t 
 A cos0t  Am sin t sin 0t  A cos0t  0,5 Am cos(0  )t  0,5 Am cos(0  )t.
Амплитудная
модуляция
Угловая
модуляция
0,5Aсos(t
Acosω0t
0,5Aсos(t
Acosω0t
0,5Aсos(t
0,5Aсos(t
Однотональная модуляция, m – любое
S ум (t )  cos(0t  m sin t )  Re e j (0t  m sin t ) 
J k (m) –


k  
J k (m) cos(0  k)t.
функции Бесселя, коэффициенты ряда Фурье:
e jmsin x 


k 
J k (m)e jкк .
J0
Ω
J1
J2
0,5
J3
m
3
m=1
6
m=10
9
22 Ω
Ширину спектра оценивают как 2 (m+1) = 2( ωd/ + 1) ≈ 2ωd
Спектр сигнала с многотональной угловой модуляцией содержит
частоты 0  ki j,
ki – целые числа от 1 до ∞,
j – частоты гармоник модулирующего сигнала.
При передаче звукового сигнала с частотной модуляцией
m = 5, ωd = 75 кГц, П = 150 кГц, разнос каналов 200 кГц
26
Принципы формирования сигналов с угловой модуляцией
Частотный модулятор – управляемый генератор.
Фазовый модулятор на основе амплитудного модулятора
SAM(t) = S(t)cosω0t
S(t)
SAM(t)
Г
Σ
Sфм(t)
Δφ=kS(t)
cosω0t
U=sinω0t
90◦
U=sinω0t
Sфм(t)
Фазовый модулятор на основе частотного модулятора
Δφ=kS(t)
Δω=kdS/dt
d/dt
ЧМ
Sфм (t)
Частотный модулятор на основе фазового модулятора
Δω=kS(t)
∫
Δφ=∫S(t)dt
27
ФМ
Sчм (t)
Фазовое детектирование
Фазу определяют, сравнивая принимаемый сигнал с опорным
Принцип работы синхронного детектора
S (t ) Sоп (t )  A sin( t   (t )) cos t  0,5[sin  (t )  sin( 2t   (t )],
Asin(ωt+φ(t))
sinφ(t)
cosωt
СВН
Опорный сигнал формируют, используя принимаемый сигнал (восстановление
несущей частоты).
В аналоговых системах сигналы умножают, используя суммирующее
устройство, нелинейный элемент и ФНЧ:
(a sin( t   )  cos t ) 2  2a sin( t   ) cos t
Балансный фазовый детектор
D1
U1
U2
i1
R1
C1
Uвх
Uвых
U1
Uоп
i2
R2
E1
E2
C2
U1

U2
D2
E1 = U1+U2, E2 = U1–U2,
E1  U12  U 22  2U1U 2 cos , E2  U12  U 22  2U1U 2 cos ,
Если одно из напряжений U1, U2 много меньше другого,
2U U cos
U U cos
E  (U12  U 22 )(1  12 2 2 )  U12  U 22 (1  1 2 2 2 ),
U1  U 2
U1  U 2
знак + для Е1, знак – для Е2. С точностью до постоянного множителя, зависящего от
коэффициента детектирования, при U1<<U2
2U U cos
U вых  E1  E2  1 2
 2U1 cos.
U12  U 22
Опорный сигнал формируется со сдвигом по фазе на 90˚ относительно не модулированного несущего колебания. При этом Uвых ≈ 2U1sinφ ≈ 2U1φ. При любой схеме
фазового детектора опорный сигнал должен быть синхронизован по частоте и фазе
с немодулированным несущим колебанием принимаемого сигнала.
28
Примеры частотных детекторов
ЧД на основе управляемого генератора с системой ФАПЧ
U=kΔω
Acos(ω0+Δω)
ФАПЧ
t
УГ
ω0 при U=0
ЧД с колебательными контурами
АЧХ
ΔA
f1
Δf
U2
Uвых
Sчм
Δφ
f2
U1
ФЧХ
f1 f0 f2
Колебательные контура настроены на частоты, равноудаленные от немодулированной несущей частоты. Недостатки схемы – сложность выполнения условия
f2 – f0 = f0 – f1 и чувствительность выходного сигнала к паразитной амплитудной
модуляции.
U2
U/2
U0
Sчм
U/2
U0
U1
Uвых
U/2
U1
U0
U/2
U2
U1
U1
U2
U2
f = f0
f < f0
f > f0
Uвых = k (│U2│ - │U1│)
контур настроен на немодулированную несущую частоту. При резонансе сопротивление контура чисто активное, напряжение U на контуре сдвинуто относительно напряжения U0 на первичной обмотке на 90◦. Напряжения U1 и U2
равны по модулю и выходное напряжение равно 0.
При увеличении или уменьшении частоты входного сигнала относительно резонансной частоты сопротивление контура становится емкостным или индуктивным, фазовый сдвиг между напряжениями U и U0 изменяется в сторону отставания или опережения и появляется выходное напряжение.
29
Квадратурный детектор сигналов с угловой модуляцией
Частотный демодулятор
U2
U4=0.5sin(t)
ФНЧ
cos0t
U1
d/dt
-
d/dt
+
U6
Г
sin0t
U3
ФНЧ
U5=0.5cos(t)
Необходимо выделить модулирующий сигнал Ω(t).
t
t
0
0
U1 (t )  sin( 0t   (t ))  sin  (0  (t )) dt ,  (t )   (t )dt ,
U 2  sin( 0t   (t )) cos 0t  0.5[sin  (t )  sin( 20t   (t ))],
U 3  sin( 0t   (t )) sin 0t  0.5[cos  (t )  cos( 20t   (t ))],
d
d
d
0.5 sin  (t )  0.5 cos  (t )
0.5 cos  (t )  0.25
 0.25(t )
dt
dt
dt
(несущая частота 0=20, модулирующий сигнал =4sin2t+4sint)
U 6  0.5 sin  (t )
(t)
U1
U2
U3
U5
U6
30
Квадратурный детектор сигналов с угловой модуляцией
Фазовый демодулятор
U2
U1
ФНЧ
U4=0.5sin(t)
cos0t
Im
U6
arg
Г
Re
sin0t
U3
ФНЧ
U5=0.5cos(t)
Необходимо выделить сигнал φ(t).
U1 (t )  sin( 0t   (t )),
U 2  sin( 0t   (t )) cos 0t  0.5[sin  (t )  sin( 20t   (t ))],
U 3  sin( 0t   (t )) sin 0t  0.5[cos  (t )  cos( 20t   (t ))],
U 6  arg 0.5[cos  (t )  j sin  (t )]  arg 0.5 e j (t )   (t ).
Модулирующий сигнал  (t )  1.5(sin 2t  sin t ), несущая частота 0=20:
(t)
U1
U2
U3
U5
U6
31
Амплитудно – фазовая манипуляция
Последовательность бит разделяется на группы по m бит. Каждой из 2m кодовых комбинаций ставится в соответствие гармонический сигнал, отличающийся от
других амплитудой и фазой.
При квадратурной манипуляции любой сигнал формируется как сумма двух базовых сигналов I =±A1 sinωt и Q=±A2 cosωt.
Примеры сигнальных диаграмм
BPSK
(2ФМ)
0
1
01
Q
Двоичный код – код Грея
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
11
4ФМ
(QPSK)
I
00
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
10
1011
1010
1001
1000
Q
0010
0011
0000
0001
16-QAM
I
1101
1100
0100
0101
А1
1111
А2
1110
А2
0110
0111
Детектирование:
когерентное или автокорреляционное с использованием:
– синхронного детектора,
– корреляционного приемника,
– согласованного фильтра
Сигналы равной частоты когерентны, если их начальные фазы априорно известны
32
Корреляционный приемник
Корреляционный приемник обнаруживает и идентифицирует сигнал s(t), сравнивая его с опорным (образцовым) сигналом или с набором образцовых сигналов
soi(t), представляющих различные символы сообщения. При случайной помехе типа
белого гауссова шума вероятность ошибочного решения минимальна, если сигналы
сравниваются по критерию минимума среднеквадратичного отклонения (СКО):
Ts
Ts
Ts
Ts
0
0
0
0
min  ( s(t )  soi (t )) 2 dt  min (  s(t ) 2 dt   soi (t ) 2 dt  2  s (t ) soi (t )dt),
S(t)
интегратор
сброс
Soп(t)
Коэффициент взаимной корреляции сигналов
Ts
  (1 / Es )  si (t )s j (t )dt.
0
принимает значения от –1 до 1. При идентичных сигналах ρ = 1.
Сигналы противоположны, если ρ = –1, и ортогональны, если ρ = 0.
Примеры противоположных и ортогональных сигналов
s1
s2
t
t
s3
s4
s1s1
s3s4
s2s1
33
π/ω
Понятие согласованного фильтра
Согласованный фильтр применяется для обнаружения сигнала известной формы
x(t). Отклик СФ на сигнал x(t), с которым он согласован, принимает в момент окончания сигнала x(t) максимально возможное значение, пропорциональное энергии
сигнала Ex, и не зависит от формы сигнала.
Выходной сигнал фильтра y (t ) 



x( )h(t   )d 



x( )kx[t0  (t   )]d ,
Интеграл от произведения двух функций максимален, если эти функции пропорциональны друг другу. Условие максимума в момент времени t0
h(t0   )  kx ( ), или h(t )  kx(t0  t ), h(t   )  kx[t0  (t   )], т.е.
импульсная характеристика СФ – зеркальная копия входного сигнала x(t).
y (t ) 



x( )h(t   )d 



x( )kx[t0  (t   )]d ,
т.е. отклик на сигнал x(t) пропорционален его автокорреляционной функции.
y (t0 ) 



x( )kx ( )d  k



x 2 ( )d .
т.е. максимальное значение сигнала на выходе СФ в момент t0, пропорционально энергии сигнала x(t).
Комплексный коэффициент передачи СФ
H сф ( j )  k X ( j ) e  j ( x ( ) t 0 ) ,
СФ усиливает мощные гармоники сигнала сильнее, чем слабые гармоники.
СФ добавляет к каждой гармонике сигнала фазовый сдвиг сф   x ( )  t0 . Добавка – φS устраняет разброс начальных фаз гармоник входного сигнала, добавка
ωt0 сдвигает все гармоники на одно и то же время t0.
x(t)
h(t)
x(τ)
h(t0–τ)
t
0
τ
t0/2
τ
34
Ts
t0
Фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом
U1
U2
∫
1
U4
Σ
+
2
U1
t
T
U2
– U3
T
U3
Выходной сигнал СФ U4
имеет вид функции
автокорреляции сигнала U1
Т
U4
Импульсная характеристика СФ- зеркальная копия сигнала U1
Фильтр, согласованный с радиоимпульсом
t
U1
+
U1
U2
Σ
1
2
–
T
U2
T
Сигнал U2 обычно подают на амплитудный детектор
Пример реализации фильтра с заданной импульсной характеристикой
U1
Δ
c0
c1
Δ
1
Δ
c2
U1
cn
U2 c0 c1 c2 …. cn
U2
Σ
35
ФНЧ
t
Система с двоичной фазовой модуляцией (2ФМ, BPSK)
и когерентной демодуляцией
U1
данные
U2
sinωt
Г
модулятор
Линия
связи
U4
+
∫
U3
свнч
Tb
Σ
–
U5
СФ
U7
U6
свтч
демодулятор
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
Требуется время на синхронизацию
36
Восстановление несущей частоты
в системе 2ФМ
U1
U2
U3
U4
2
U5
U1
U2
U3
U4
U5
U6
Требуется время на восстановление несущей частоты
37
U6
Система 2ФМ с автокорреляционным демодулятором
U1
U2
U3
Линия
связи
U4
U6
U5
Г
СВТЧ
Tb
модулятор
U1
0
1
0
0
демодулятор
1 1 1
0 1
0 1 1 0
Эти знаки должен выдать детектор
0 1
1
1
1
1
U2
U3
U4
U5
U6
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
Сиг
нал правильно детектируется после завершения синхронизации
При совпадении текущего бита с предыдущим U6 =1, при несовпадении U6 =–1
38
Система с квадратурной фазовой модуляцией
(4ФМ, QPSK – quaternary phase shift keying)
U3
SI(t)
I
U1
К
Q
Г
SQ(t)
I I
cos0t
U2
Σ
U5
СВНЧ
ЛС
СВТЧ
sin0t
U4
U6
Q
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
Система 4ФМ работает как две системы 2ФМ.
39
U7
Относительное (дифференциальное) кодирование
Относительное кодирование применяется в системах с амплитудно-фазовой манипуляцией при когерентной и автокорреляционной демодуляции для уменьшения
количества ошибок, вызванных неоднозначностью фазовой синхронизации опорного и принимаемого сигналов.
Алгоритм относительного кодирования в системе 2ФМ:
di
xi
кодер
модулятор
xi=di+xi-1
yi
демодулятор
декодер
di *
di*=yi+yi-1
1
2
3
4
5
6
7
8
di 0 1 1 1 1 0 1 0 ошибок
xi 0 1 0 1 0 0 1 1
нет
yi 0 1 0 1 0 0 1 1
d i* 0 1 1 1 1 0 1 0
yi 0 1 0 0 1 1 0 0 инверсия
d i* 0 1 1 0 1 0 1 0
yi 0 1 0 0 0 0 1 1 ошибка бита
d i* 0 1 1 0 0 0 1 0
известный опорный бит
При инверсии битовой последовательности на выходе демодулятора (5y)
декодер дает единичную ошибку (6d*).
При одиночной ошибке на выходе демодулятора (7y) декодер дает 2
ошибочных бита (8d*).
40
Частотная манипуляция (FSK)
При М-ичной частотной манипуляции каждому символу соответствует своя частота передаваемого сигнала.
Частоту изменяют:
– перестройкой генератора, – переключением генераторов,
– использованием синтезатора частоты.
Сигналы различных частот могут быть ортогональными и не ортогональными, фаза
– непрерывной или изменяющейся скачком на границе символов.
Сигнал детектируют с использованием:
– полосовых фильтров и амплитудных детекторов,
– частотного детектора, определяющего разность частот,
– процессора БПФ, определяющего частоту,
– корреляционного приемника с разными опорными сигналами. Этот способ самый
помехоустойчивый, сигналы должны быть ортогональными.
Условие ортогональности сигналов разных частот:
t0  Ts

t0
t0  Ts
 0,5

t0
cosi t cos( j t   )dt 
t0  Ts
cos[(i   j )t   ]dt 0,5

t0
cos[(i   j )t   ]dt  0,
Первый интеграл от высокочастотного сигнала пренебрежимо мал.
Значение второго интеграла зависит от to, Т и φ - фазы сигнала разностной частоты cos[(ωi – ωj)t+φ], показанного на рисунке, в момент начала интегрирования.
t
t0
-
Ts = 0,5/Δf
Ts = 1/Δf
Этот интеграл обращается в 0 в следующих двух случаях:
– длительность символа кратна периоду сигнала разностной частоты, интегрирование можно начинать в любой момент, демодуляция некогерентная.
– длительность символа равна полупериоду сигнала разностной частоты, а момент
начала интегрирования соответствующим образом синхронизован с принимаемым
сигналом, демодуляция когерентная.
При М>2 демодуляция некогерентная. При М=2 когерентно детектируют сигналы в системах с минимальным частотным сдвигом и в системах с гауссовой фильтрацией.
41
Некогерентная демодуляция
в системе с двоичной частотной манипуляцией
(FSK –binary frequency shift keying),
∫
Г
–
+
cos0t
sin0t
∫
U2
∫
Г
Тв
Тв
Тв
cos1t
sin1t
–
+
Σ
_
+
–
+
Σ
∫
Тв
канал «0»
U4
U5
U6
Σ
U3
канал «1»
–
+
СФ
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U1– передаваемые символы в коде БВН,
U2– частотно-модулированный сигнал
42
Частотная манипуляция с минимальным частотным сдвигом
(MSK – minimum frequency shift keying)
Модуляция MSK – – это двоичная частотная модуляция. Согласно тождеству
s(t )  A cos( 0   d )t  A cos  d t cos  0 t  A sin  d t sin  0 t (1)
сигнал с двоичной частотной модуляцией можно получить в результате квадратурной модуляции, если прямоугольные модулирующие сигналы заменить гармоническими сигналами AI = Acosωdt и
AQ = Asinωdt. Параметр ωd – девиация частоты, отклонение частоты от не модулированного значения ω0.
Ортогональность сигналов, представляющих знаки 1 и 0, обеспечивается при
минимальной разности частот Δf = 0,5/Tb (ωd = π Δf = 0,5 π/Tb), если детектирование когерентное. Подставив значение ωd в (1), получим
t
t
s(t )  A cos 2 ( f 0  f d )t  A cos
cos 2f 0t  A sin
t sin 2f 0t ,
2Tb
2Tb
I =Acosωdt и Q =A sinωdt.– модулирующие сигналы.
Частота и фаза сигнала MSK зависит от содержания двух соседних бит bI, bQ:
bI
1(+)
1(+)
0(-)
0(-)
bQ
1(+)
0(-)
1(+)
0(-)
S(t)
Acos(ω0 -ωd)
Acos(ω0 +ωd)
-Acos(ω0 +ωd)
-Acos(ω0 -ωd)
43
частота
ω0 -ωd
ω0 +ωd
ω0 +ωd
ω0 -ωd
фаза
0
0
π
π
Модулятор системы с минимальным частотным сдвигом
U3 = A I
U1
bI
U0
U2=cosπt/(2Tb)
cos0t
Г
К
bQ
U4
U6=sinπt/(2Tb)
М U5
sin0t
U7 = A Q
U0
U1
Σ
U8
Tb
2Tb
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
44
U9
Когерентная демодуляция сигналов с МЧС
U2
∫
U3
cosωdt cosωt
U1
Г
БВНЧ
ЛС
БВТЧ
U6
sinωdt sinωt
U4
∫
U5
Tb
U0
U1
U2
U3
*
*
*
*
U4
U5
*
*
*
U6
* – моменты опроса сигналов U3, U5
45
*
Оценка частотной полосы сигнала в системах BPSK, QPSK, MSK, FSK
по ширине первого лепестка спектра
BPSK
1/Tb
1/Tb
f
f0
QPSK
1/Ts , Ts=2 Tb
0,5/Tb
1/Tb
(формально)
MSK
f0–fd
f0+fd
1,5/Tb
Δf=1/Ts
FSK, M=4
f1
Эти компоненты
интерферируют
f2
f3
f4
П = 5/Ts (M/Ts)
Сигнал MSK можно представить как две последовательности радиоимпульсов с
разными несущими частотами. Спектры этих последовательностей показаны пунктиром. Вследствие интерференции гармоник частотная полоса становится уже (показана сплошной линией).
Замена прямоугольных модулирующих импульсов (в системе QPSK) на синусоидальные (в системе MSK) расширяет основной лепесток спектра на 50%. В то же
время уровень боковых лепестков в системе MSK, благодаря отсутствию скачков
фазы, спадает с ростом частоты намного быстрее, чем у системы QPSK
46
Модуляция с минимальным частотным сдвигом
и гауссовой фильтрацией (GMSK)
Гауссовый фильтр сглаживает фронты модулирующих импульсов, представляющих биты сообщения, придавая импульсам колоколообразную (гауссову) форму.
Степень сглаживания зависит от отношения ширины полосы пропускания
фильтра В, оцениваемой по уровню 0,7, к ширине полосы входного сигнала (1/T),
т.е. от значения ВT. Значение ВТ выбирают с учетом требований к ширине спектра
и допустимому уровню ошибок. В стандарте GSM ВТ = 0,3.
cosψ(t) AI
di
ГФНЧ
Ω(t) интегратор
Данные
в коде БВН
cosωot
Ψ(t)
Г
sinω0t
sinψ(t)
AQ
ВТ= ∞
Выход фильтра ГФНЧ
ВТ= 0,2
ВТ= 0,1
Т
В отличие от систем с модуляцией QPSK, MSK сигналы AI и AQ взаимосвязаны
Демодуляция может выполняться когерентным способом с восстановлением несущей, автокорреляционным способом или с использованием частотных дискриминаторов. В последнем случае требование к ортогональности сигналов, представляющих 1 и 0, отпадает. Индекс модуляции может выбираться в широком диапазоне
(0,1…1).
Теорема Котельникова
47
Любой сигнал, спектр которого не содержит частот выше f m , может
быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через интервалы времени Δ ≤ 1/(2fm).
Доказательство теоремы основано на представлении непрерывного сигнала, в
любой момент времени, как суммы базисных функций Котельникова:

s(t ) 

k 
s(k)
sin  (t /   k )
1
, 
,
 (t /   k )
2 fm
где s(kΔ) – дискретные значения сигнала в моменты выборок с шагом Δ.
t
Δt
Спектр сигнала имеет бесконечную ширину, поэтому представление рядом Котельникова приблизительно.
Синусоида как сумма функций Котельникова при двух отсчетах на периоде:
t
Δt
Теорема отсчетов неоднократно переоткрывалась в связи с ее актуальностью:
Коши 1841 г., Карсон, Найквист 1924 г., Хартли 1928 г., Котельников 1933 г..
Габор 1946 г., Шеннон 1949г.
Требования к частотной характеристике цифрового канала связи
48
В цифровой системе надо определить символ, восстанавливать форму сигнала не
надо.
Теорема Найквиста. Если синхронные короткие импульсы с частотой следования
fs подаются в канал, имеющий прямоугольную АЧХ с частотой среза fN = fS/2, или в
канал, у которого АЧХ симметрична относительно частоты fN (фильтр Найквиста),
то отклики на эти импульсы можно наблюдать независимо, т.е. без межсимвольных
искажений.
Сигналы в канале Найквиста с прямоугольной АЧХ (α = 0)
1
0
1
Двоичные знаки в коде БВН
t
Двоичные знаки представлены δ-импульсами
Тs
Реакция канала с прямоугольной АЧХ
на δ-импульсы
моменты опроса в детекторе
│H(f)│
h(t)
α=0
α fN
α = 0.5
α = 0,3
t
f
0
fN
0 T
α fN
α=0
fN – частота Найквиста, α – коэффициент сглаживания.
Теорема Котельникова: при какой частоте опросов можно восстановить
сигнал с ограниченной полосой fmax по дискретным отсчетам,
Теорема Найквиста: как ограничить полосу канала fmax, чтобы только отсчет был точным.
Чтобы применить теорему Найквиста при определении требований к характеристикам канала, надо преобразовать сигналы в коде БВН в δ-импульсы, введя
корректирующий фильтр с АЧХ, обратной к амплитудному спектру прямоугольного импульса и скорректировать АЧХ, как показано на рисунке пунктиром.
Симметричную характеристику фильтра Найквиста аппроксимируют разными
функциями. Наиболее известна аппроксимация АЧХ всего канала – «приподнятый
косинус». Фильтры ставятся в передатчике и в приемнике, поэтому в качестве аппроксимации АЧХ одного из этих фильтров используют функцию «корень квадратный из приподнятого косинуса».
Основные показатели эффективности цифровой системы связи
49
Спектральная эффективность Rb/П – отношение скорости передачи
(бит/c) к ширине полосы (Гц).
Rb=log2M/Ts (M – объем алфавита символов, Ts – длительность символа), полоса
П =1/Ts при амплитудно-фазовой манипуляции и П =M/Ts при частотной манипуляции, следовательно, спектральная эффективность:
Rb
 log 2 M ( АФМ )
П
Rb log 2 M

П
M
и
(ЧМ )
Удельные энергетические затраты Eb / N0 при заданной вероятности ошибки – отношение энергии Eb, затраченной на передачу одного бита, к односторонней спектральной плотности аддитивного белого гауссова шума N0.
Вероятность битовой ошибки рb
pb 


0.5( a1  a 2 )
p( x)dx  Q(
a2  a1
),  2  N 0 / 2.
2
Функция Q табулирована, значение (a2 - a1)/(2 ) зависит от способа формирования сигнала. Чтобы сравнивать различные способы формирования сигналов по вероятности ошибок, безразмерную величину (a2 - a1)/(2 ) выражают через удельные энергетические затраты.
p( x / s) – вероятность принять сигнал х при переданном символе s.
P1(x s1)
P2(x s2)
pb
1
Увеличение М
10
2σ
x
a1
-2
10-4
2ФМ
a* a2
2 Eb
2 Eb
а1 – а 2
а1 а 2
а1 – а2
а1
10-6
2 Eb
a 2  a1
,

N0
2
Eb /N0, дБ
0
а2
2 Eb
a 2  a1


2
2 0,5 N 0
2ЧМ
4
8
12 16
Eb
N0
Максимальная пропускная способность канала
50
Максимальной спектральной эффективностью Rbm/П = log2 M обладает система
с амплитудно-фазовой модуляцией.
Максимальное значение Mмакс= (S+N)/N = 1+S/N – числу различимых, при
наличии шума, градаций сигнала.
Соотношение между максимально возможной спектральной эффективностью и энергетическими затратами дает теорема Шеннона – Хартли: максимальная скорость передачи информации Rbm (бит/с) по каналу с белым гауссовым шумом (пропускная способность канала) равна
E /T
E R
S
Rbm  П log 2 (1  )  П log 2 (1  b bm )  П log 2 (1  b bm ),
N
N0 П
N0 П
S и N – средняя мощность сигнала и шума, П – полоса пропускания.
Минимально допустимое значение Eb/N0 можно найти при предельном переходе Rb/П→0:
Eb 2 Rb / П  1
R
Е

, при b  0 lim b  lim 2 Rb / П ln 2  ln 2  0,693  1,6дБ
N0
Rb / П
П
N0
Значение Eb/N0 = 0,693 = -1,6 дБ называют пределом Шеннона.
16
Rb/П, бит/(c Гц)
Недоступная область
64
8
16
4
8
4
2
–1,6
Eb/N0,
–0,25
дБ
2
12
2
–0,5 4
8
36
24
ФМ
ЧМ
2, 4, 8, 16, 64 = М
На рисунке указано соотношение параметров Rb/П и Eb/N0 при разных способах
модуляции без помехоустойчивого кодирования (демодуляция сигналов с АФМ когерентная, ортогональных сигналов с ЧМ – некогерентная).
51
Расширение спектра прямой последовательностью
Расширение спектра прямой последовательностью – это модуляция сигнала
двоичной псевдослучайной последовательностью (ПСП), выполняемая независимо
от вида информационного сигнала. Такая модуляция может проводиться на разных
этапах формирования сигнала.
Исходная информационная последовательность данных суммируется с ПСП:
d+g
d(t)
S(t)
модулятор
демодулятор
g(t)
g(t)
Генератор
ПСП
d(t)
Генератор
несущей
Генератор
ПСП
t
эс
g(t) 1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
d+g 0
π 0
0
0
π π
0
0
0
1 0
π
1
0
0 π 0
1
0
π 0
S(t)
g(t)
Sg
g1
Sg1
Расширение спектра S(f) сигнала и N(f) помехи
52
1
1
π π
Преимущества систем с расширением спектра:
- высокая помехоустойчивость,
- конфиденциальность связи,
- возможность многоканальной связи на одной несущей частоте,
- возможность передачи маломощного сигнала,
- высокая разрешающая способность по времени
Расширение спектра скачкообразным изменением несущей частоты
Пs = M/Ts
f
Полоса перестройки (hopping band) центральной частоты (Пss)
коэффициент расширения спектра Gp= Пss / Пs,
В системе с расширением прямой последовательностью
Пs= 1/Ts, Пss = 1/Tэс,
коэффициент расширения спектра Gp= Ts /Tэс,
Расширение спектра сигналов в системе GPS
53
Код свободного доступа
С/А (clear acquisition)
Период 1 мс, 1.023 МГц
Источник данных
Генератор
Код селективного
доступа S/A
(selective availability)
BPSK
(QPSK)
Защищенный точный
Р-код, период 7 суток
10.23 МГц
R1
R2
Закрытый P(Y) код
Период 267 суток
А
В
R3
С
Один бит данных, 20 мс, 20 периодов ПСП
1
2
3
.. ……………………..
20
Один период ПСП = 1023 элементарных символа
эс0
эс1
1500 периодов (эс 0)
1500 периодов (эс1)
Основные понятия помехоустойчивого (канального) кодирования
54
Выявление и устранение ошибок в принятом сообщении основано на введении
избыточности в сообщение путем:
– многократной передачи сообщения,
– повторной передачи по запросу приемника,
–применения корректирующих кодов для обнаружения и исправления ошибки.
При блочном кодировании к каждому блоку данных из k символов добавляют
(n – k) избыточных (контрольных) символов, зависящих от содержания k «информационных» символов данного блока. Набор из всех таких n – разрядных блоков
составляет блоковый (n, k) код (block code).
В «систематическом» коде проверочные символы приписываются к концу
информационной последовательности.
При непрерывном кодировании исходная информационная последовательность
символов полностью преобразуется в процессе введения избыточности. Разделения
на информационные и проверочные символы нет.
Примерами непрерывного кодирования являются
сверточные коды и турбокоды
– Кодовое (хемминговое) расстояние d между двумя словами – это число одноименных разрядов с разными символами. Оно равно числу единиц в кодовой комбинации, образованной суммированием по модулю 2 сравниваемых слов.
10111001 d = 5
10001110
– Минимальное кодовое расстояние – минимальное расстояние, взятое по всем
парам разрешенных кодовых комбинаций.
– Кратность ошибки – число искаженных символов кодовой комбинации.
Исходное слово 10111001,
принятое слово 10001011 – ошибка кратности 3.
– Вес кодовой комбинации – число единиц в двоичной кодовой комбинации.
10111001– вес 5
– Вектор ошибки – кодовая комбинация с единицами в искаженных разрядах и
нулями в остальных разрядах.
– Скорость кодирования – k/n.
– Относительная избыточность – (n-k)/n.
Оценка корректирующей способности кода
55
2k разрешенных слов
А
2n–kслов
А
с
n–kе
2 слов
2n–kслов
2n–k слов
Все 2n возможных слов делим на 2k групп слов.
В каждой группе – только одно из 2k разрешенных слов.
Ошибка обнаруживается, если при передаче слова А принимается
одно из 2n –2k запрещенных слов.
Доля обнаруживаемых ошибок
(2n –2k) / 2n.
Ошибка исправляется, если при передаче слова А принимается
запрещенное слово из одной группы со словом А.
Доля исправляемых ошибок (2n–k –1) / (2n –2k) = 2–k.
d
з
Корректирующая способность кода зависит от минимального кодового расстояния.
Условие обнаружения ошибок кратности r: d  r + 1,
Условие исправления ошибки кратности s: d  2s + 1,
Условие одновременного обнаружения ошибок кратности r и исправления
ошибок кратности s:
d  r + s + 1 (r  s).
Оценка (Хемминга) необходимой избыточности:
2n-k–1  Cn1 + Cn2 +…+ Cns.
(число кодовых комбинаций в контрольных разрядах должно быть больше числа
исправляемых ошибок).
Перемешивание символов
56
Перемешивание символов (чередование, перемежение, interleaving), является
эффективным способом исправления пакетов ошибок без введения избыточности.
Применяется блочное и сверточное перемешивание.
Пример блочного перемешивания
Исходная последовательность данных
a1 a2 a3 a4 a5 ; b1 b2 b3 b4 b5 ; c1 c2 c3 c4 c5 ; d1 d2 d3 d4 d5; e1 e2 e3 e4 e5
записывается в таблицу по строкам,
a1 a2 a3 a4 a5 ;
b1 b2 b3 b4 b5:
c1 c2 c3 c4 c5
d1 d2 d3 d4 d5;
e1 e2 e3 e4 e5
а выдается в канал по столбцам
a1 b1 c1 d1 e1 a2 b2 c2 d2 e2 a3 b3 c3 d3 e3 a4 b4 c4 d4 e4 a5 b5 c5 d5 e5.
В приемнике прежняя последовательность восстанавливается:
a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 c1 c2 c3 c4 c5 d1 d2 d3 d4 d5 e1 e2 e3 e4 e5.
При «пакетной» ошибке ошибочные символы распределятся по различным кодовым комбинациям.
Число строк в матрице называют глубиной перемежения. Это число определяет
размер пакета ошибок, исправляемого благодаря применению перемешивания.
Принцип формирования линейного блокового кода
57
Порождающая и проверочная матрицы
Блоковый (n,k) код можно представить матрицей, строки которой – «разрешенные» кодовые слова, или векторы, состоящие из знаков 0 и 1. Порождающая матрица G – это набор из любых k линейно независимых векторов (базисных). Любое
разрешенное слово можно получить суммированием некоторых базисных слов.
Матричная операция В = А G (А – исходное безызбыточное слово) дает слово
В помехоустойчивого кода:
g11 …g1j…g1n
g21 …g2j…g2n
G = ……………. ,
gk1 …gkj…gkn
g11 …g1j…g1n
g21 …g2j…g2n
……………. = b1 b2…bj…bn ,
gk1 …gkj…gkn
a1 a2.. ai..ak
bj = a1 g1j + a2 g2j + … + ak gkj,
j =1,.., n.
Принятое слово проверяется на наличие ошибки умножением его на проверочную
матрицу
Формирование слова
помехоустойчивого кода
1010
1000
0100
0010
0001
110
101
0 1 1 =1010101
111
Проверка принятого слова
на наличие ошибки
B 10 10101
B1 0 0 1 0 1 0 1
B2 1 1 1 0 1 0 1
110
101
011
000=S
111
1 0 0 = 110=S1
101=S2
010
001
ошибка
В рассмотренном примере кода с исправлением одиночной ошибки результат
умножения принятого слова на проверочную матрицу указывает номер искаженного разряда в принятом слове
Принцип формирования циклического кода
58
Представление двоичного слова многочленом
A  01101
a( x)  x 3  x 2  x 0  x 3  x 2  1.
(х– формальная переменная)
Сдвиг числа влево – умножение многочлена на х:
3
2
4
3
11010
xa( x)  x( x  x  1)  x  x  x,
Циклический сдвиг с приведением по модулю xn + 1:
10101
x( x 4  x 3  x)  x 5  1  x 4  x 2  1
Циклический сдвиг описывается умножением соответствующего числу многочлена a(x) на переменную х с записью единицы в младший разряд, если при сдвиге числа происходит переполнение разрядной сетки. Последнее действие над многочленом xa(x), называемое «приведением по модулю xn + 1», эквивалентно делению на многочлен (xn + 1), прибавлению или вычитанию многочлена xn + 1.
Порождающая матрица циклического кода:
Первая строка – порождающий многочлен g(x).
Вторая строка – xg ( x)  c( x n  1), с = 1 или 0.
Порождающий многочлен g(x) выбирается так, чтобы на него без остатка делился многочлен xn + 1. Тогда
n
xg( x)  c( x  1)  g ( x)m( x),
т.е. все строки порождающей матрицы и все разрешенные слова циклического
кода делятся без остатка на порождающий многочлен.
Ошибка обнаруживается при появлении остатка от деления принятого
слова на порождающий многочлен. Схема деления выполняется на сдвиговом
регистре с обратными связями.
nk
a ( x) x
g ( x)
Формирование слова циклического кода:
r ( x)
 p( x) 
, или a( x) x n  k  p ( x) g ( x)  r ( x), или
g ( x)
a ( x) x n  k  r ( x)  p( x) g ( x).
Многочлен a( x) x n  k  r ( x) представляет n – разрядное слово циклического кода,
делящееся без остатка на порождающий многочлен. Это слово получается приписыванием к исходному k- разрядному слову кодовой комбинации остатка r(x) со
стороны младших разрядов.
Сверточное кодирование
59
Способы описания кодера
1
x
Схема кодера.
Кодовая скорость k/n = 0,5
Длина кодового ограничения
(память кодера) К = 3.
Порождающие многочлены (7, 5)
Первый триггер можно убрать
x2
?
1
x2
00
11
10
01
00
11
10
00
11
01
01
Диаграмма состояний–
граф переходов при
подаче 1 (
) или 0 (---)
У переходов показаны
выходные кодовые
комбинации
10
Импульсная характеристика
реакция на один бит:
1
111011
на последовательность:
вход: 1 0 1
выход: 111011
+ 000000
111011
1110001011
После кодирования массива данных необходима очистка кодера
Решетчатая диаграмма сверточного кодера
60
позволяет наблюдать процесс изменения состояния кодера и выходные сигналы в
зависимости от времени. Каждой входной последовательности соответствует свой
путь в решетке и своя выходная последовательность.
Для выявления ошибки необходимо сравнить принятую последовательность с
теми, которые могут появляться при всех возможных путях
t1
00
t2
00
t3
00
t4
00
t5
00
11
11
01
00
10
10
01
10
11
01
Примеры сверточных кодеров (система IS-95 и цифровое ТВ)
g0 = 557(101 101 111), g1= 663(110 110 011), g2 = 711(111 001 001)
g0 = 171(001 111 001), g1 = 133(001 011 011)
61
Принципы многоканальной связи
(многостанционного, или множественного, доступа, уплотнения, мультиплексирования, разделения каналов)
Частотное разделение (frequency division multiply access, FDMA): каждому
пользователю отводится определенный частотный поддиапазон.
Временное разделение (time division multiply access, TDMA): пользователю периодически выделяются временные интервалы для передачи сообщения.
Кодовое разделение (code division multiply access, CDMA): каждому пользователю системы связи с расширением спектра присваивается индивидуальный псевдослучайный код (pseudonoise – PIN).
Пространственное разделение (space division multiply access, SDMA): в системе используются узконаправленные антенны.
Поляризационное разделение (polarization division multiply access, PDMA):
применяются ортогонально поляризованные сигналы
Каналы закрепляются за абонентами или предоставляются по требованию
(demand-assignment multiple access – DAMA).
Частотное разделение каналов в аналоговой системе телефонной связи
62
Спектр сигнала абонента до
f, кГц модуляции
0,3 3,4
Δfp Однополосный спектр
после модуляции
fн
Первичная группа
fн1
fн2
60
64
fн12
108 кГц
68
Вторичная группа
312-360
f, кГц
420
468
516
564
612
552
240 кГц
М
передатчик
Д
Σ
fнi
fнi
приемник
Формируются также третичная и четвертичная группы в полосе 8516 –12388 кГц
Формирование сигналов в системе сотовой связи GSM
63
Разделение каналов по частоте:
прямые каналы 935-960 МГц
обратные каналы 890-915МГц
Номера
1 2
124
1 2
124
каналов
Разделение времени на «окна»
1
2
2047 2048
1 2
51/26
26
1 2
51/26
51
1 2
51/26
51
1 2
51/26
26
гиперкадр (3,5 часа)
2048 суперкадров
суперкадры (6,2 с)
26 или 51 мультикадров
мультикадры
51 или 26 кадров
кадр (576,9 мкс)
8 окон (слотов)
Окна всех типов имеют одинаковую длительность. При переходе к другому
кадру несущая частота может скачкообразно изменяться. Данные, речь, команды,
синхросигналы распределяются по разным логическим каналам и передаются порциями в окнах – физических каналах. Примеры окон:
0
1
2
3
4
5
6
7
Окно типа NB (Normal burst) – передача информации.
ТВ
57 бит
1бит 26 бит обучающей 1бит
57 бит
ТВ GP
3бита информация SF последовательности SF информация 3 бита
Окно типа FB (Frequency correction burst)–
передача немодулированного несущего колебания
ТВ
3бита
142 нулевых бита
ТВ
GP
3 бита
ТВ (tail bits) – знаки начала и конца окна.
GP (guard period) – защитный временной интервал.
SF (steering flag) – указатель типа информации
Модуляция – частотная с гауссовой фильтрацией.
Кодирование – циклическое и сверточное с перемешиванием.
Псевдослучайная обучающая последовательность передается для идентификации
характеристики канала, знание которой необходимо детектору для ослабления влияния межсимвольных искажений.
Формирование сигналов системы связи стандарта IS-95
64
Прямой канал (БС– МС)
8/9,6/19,2
I
1/64
Кодеры канала
и источника
cost
Σ
КМ
1,23 Мб
Q
Код Уолша
Длинная ПСП
(№ канала) ПСП I ПСП Q
(код абонента)
(адрес БС)
512 адресов
sint
Код абонента – фрагмент ПСП периода 41 день (242-1 эс).
15
ПСП I и ПСП Q имеют период 2/75 с (2 -1 эс), каждая БС
формирует их со своим сдвигом по времени и выдает по
пилотному каналу для синхронизации любых МС.
g1=x15+x13+x9+x8+x7+x5+1, g2=x15+x12+x11+x8+x6+x5+ x4+x3+1
Частота элементарных символов всех ПСП 1, 2288 МГц.
Коды Уолша одинаковые у всех БС.
ФНЧ ограничивает полосу частотой 1, 2288/2 МГц
Модуляция – квадратурная
Обратный канал (МС– БС)
28.8 кб х4х64/6=1,23 Мб
Кодеры
канала и
источника
I
КМ
Q
Код Уолша
Длинная ПСП ПСП I ПСП Q
(расширение
(код абонента)
(адрес БС)
спектра)
Модуляция – квадратурная со сдвигом
65
cost
τ
sint
Σ
Принцип формирования последовательностей Уолша
00
H1=
01
0
0
0
0
H3=
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
11
10
H 1=
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
H H
H2N = N N
HN HN
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
H 2=
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Последовательности Уолша – ортогональные сигналы
66
0
1
1
0
Сигналы обратного канала трафика системы связи стандарта IS-95
пакет
010101
21=16+4+1
кадр = 96 пакетов по 6 бит (20 мс)
пакет
Символ Уолша W21 Символ Уолша W21 Символ Уолша W21 Символ Уолша W21
64 элементарных символа Уолша
часть символа (8 эс)
1 эс
фрагмент длинной ПСП
последовательность на входе коммутатора
модуляция синфазного несущего колебания
модуляция квадратурного несущего колебания
I
Кодеры
канала и
источника
Σ
Σ
cost
Σ
КМ
Q
Σ
Код Уолша
Длинная ПСП ПСП I ПСП Q
(расширение
(код абонента)
(адрес БС)
спектра)
67
τ
sint
Σ
Управление доступом к каналу связи
В системах с предоставлением канала по требованию возникает конфликтная
ситуация при одновременном обращении нескольких абонентов к каналу связи.
Сигналы, поступающие от разных источников, искажаются вследствие взаимного
наложения.
Оценка эффективности системы АЛОХА (доступ не контролируется)
Предполагается, что сообщения передаются пакетами
Интервал уязвимости 2τ
Вероятность появления k пакетов за интервал
времени τ
pk  ( ) k e   / k!,
λ– средняя частота поступления пакетов.
Пакет будет успешно передан, если на периоде уязвимости 2 τ не будет других
обращений к каналу. Вероятность успешной передачи,
p0  (2 )0 e 2 / 0! e 2  S / G, где
G = λτ – среднее число пакетов, поступающих за интервал времени τ,
S (G )  Ge 2  Ge 2G
S – среднее число успешных передач за τ.
пакет
maxS = 1/(2e) ≈ 0,187 при dS / dG  e2G  2Ge2G  0, т.е. при G = 0,5.
Пропускная способность систем с управляемым доступом
0.8
S
0.6
При свободном канале передачу
начинают с вероятностью р,
зависящей от загрузки системы
р-настойчивая
синхронная с
контролем несущей
0.4
синхронная
0.2
G
Простая ALOHA
0
0.1
1
10
Управление доступом в системе IS-95
Последовательности
пробных запросов
t
TA RT
RS
Случайное время
PD
пробные запросы
случайное время с учетом загрузки
Передачу начинают: в синхронной системае сразу после синхросигнала, в
синхронной с контролем несущей–при свободном эфире, в ненастойчивой – через
случайное время.
68
Понятие количества информации
Характеристика источника информации
 x1 x2 .....xm 

 ,
p
p
....
p
1
2
m


m
p
i 1
i
 1,
x1, x2,…, xm – набор знаков (алфавит Х объема m),
pi – вероятности появления знаков (i =1,..., m).
Количество информации, приходящейся в среднем на один знак алфавита
источника:
m
H ( X )   p( xi ) log 2 p( xi ) .
1
Единицей информации считается «бит» – энтропия источника с двумя равновероятными знаками x1, x2 :
p( x1 )  p( x2 )  0,5,
H ( X )  (0,5 log 2 0,5  0,5 log 2 0,5)  1 (бит).
При равных вероятностях знаков энтропия источника максимальна
m 1
1
H ( X )    log  log 2 m.
i 1 m
m
Если 32 буквы русского алфавита считать равновероятными, Н = log232= 5.
Если учесть частоту появления букв в тексте, Н  4,42.
Если учесть корреляцию соседних букв, Н  3,53.
Если учесть дальние связи букв между словами, Н  1,5.
0.08
0.04
а б в г д е ж з и к л м но п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
Производительность источника, выдающего знаки со скоростью
Vи= 1/τи
(τи – длительность одного знака) – это количество информации, выдаваемое в единицу времени:
I ( X )  Vu H ( x).
69
Теоремы Шеннона о кодировании
Существует способ кодирования, позволяющий передать всю информацию
источника по каналу без помех, если выполняется условие:
Vslog2m > VbH(X)
(пропускная способность канала выше производительности источника).
Vs – скорость передачи канальных символов,
m – объем алфавита символов,
Vb– скорость выдачи знаков источником,
H(X)–энтропия источника (количество информации на один знак).
При высокой скорости выдачи знаков источником в них может быть мало информации. Надо кодировать канальными символами равновероятные последовательности знаков источника. Тогда на каждый символ будет приходиться максимальное количество информации.
Существует способ кодирования, позволяющий передать всю информацию
источника по каналу с помехами со сколь угодно малой вероятностью ошибок,
если пропускная способность канала С выше производительности источника:
С > VbH(X)
Согласно теореме Шеннона – Хартли, пропускная способность канала
E R
S
C  F log 2 (1  )  F log 2 (1  b b ),
N
N0 F
F – ширина полосы пропускания канала (F = 1/Vs),
S – средняя мощность сигнала,
N – средняя мощность шума,
Eb– энергия, приходящаяся на один бит,
Rb– битовая скорость,
N0 – спектральная плотность мощности шума.
При m = 1 + S/N «расстояние» между сигналами, соответствующими разным
символам, сравнимо с уровнем шума, так что вероятность символьной ошибки
очень велика. Однако, применяя помехоустойчивое кодирование, можно исправить
большинство ошибок.
Есть ограничение на скорость, но не на точность передачи информации.
70
Эффективное кодирование
Задача эффективного кодирования – представить сообщение минимальным
количеством канальных символов. Если кодировать отдельные знаки алфавита
источника, то наиболее вероятные знаки следует представлять самыми короткими
кодовыми комбинациями.
Пример кодирования блоков знаков с независимым появлением:
x2 
x
 , энтропия Н = – (0,9 log20,9 + 0,1 log20,1) = 0,47,
Источник  1
 0,9 0,1 
для передачи одного знака требуется один двоичный символ (1 бит).
Кодируем блоки из двух знаков (методом Шеннона –Фано)
блоки
вероятности
разделение
кодовые
знаков
на группы
слова
а = x1
b = x1
c = x2
d = x2
x1
x2
x1
x2
0,81
0,09
0,09
0,01
1
0 01
0 00 001
0 00 000
1
01
001
000
Для передачи блока в среднем требуется
1*0,81 + 2*0,09 + 3(0,09 + 0,01) = 1,29 бит, а для передачи знака – 0,65 бит.
блоки
знаков
a =x1 x1 x1
b= x2 x1 x1
c =x1 x2 x1
d =x1 x1 x2
e =x2 x2 x1
f =x2 x1 x2
g =x1 x2 x2
h =x2 x2 x2
Кодируем блоки из трех знаков
вероятности
разделение на группы
0,729
0,081
0,081
0,081
0,009
0,009
0,009
0,001
1
0
0
0
0
0
0
0
01
00
011
010
001
000
0001 00011
00010
0000 00001
00000
кодовые
слова
1
011
010
001
00011
00010
00001
00000
Для передачи блока в среднем требуется
1*0,729 + 3*(3*0,081) + 5*(3*0,009 + 0,001) = 1,598 бит,
а для передачи одного знака – 0,53 бит.
Использование слов разной длины осложняет символьную синхронизацию. При
одиночной ошибке длина кодового слова может быть определена неверно, а это
приведет к ошибкам декодирования последующих кодовых слов.
Для однозначного декодирования ни одно кодовое слово не должно совпадать
с началом более длинного кодового слова, иначе между словами придется ставить
избыточные разделительные символы.
71
Кодирование звуковых сигналов
Основные классы звуковых сигналов
вид звукового сигнала
диапазон
частот, кГц
частота
опросов, кГц
Бит/
опрос
Скорость
кбит/c
Телефонная речь
Широкополосная речь
Широкополосное аудио
0,3…3,4
0,06…7
0,01…20
8
16
48
8
14
16
64
224
768
Кодируется форма сигнала, спектр или параметры источника сигнала.
При кодировании формы сигнала (waveform coding) передается, разными способами, последовательность дискретных отсчетов сигнала.
При импульсно-кодовой модуляции ИКМ (pulse code modulation, PCM) цифровые значения отсчетов передаются без каких-либо преобразований.
При дельта-модуляции ДМ (DM, delta modulation) выдается один бит на отсчет, означающий увеличение или уменьшение сигнала на один шаг (речь передается со скоростью 32 кбит/c). Существуют адаптивные методы дельта-модуляции с
переменным шагом.
При дифференциальной импульсно-кодовой модуляции ДИКМ (DPCM) в канал передается разность между текущей выборкой сигнала x(k) и ее предсказанным
значением x*(k), вычисляемым «N-отводным предсказателем» (кодером с памятью)
как линейная комбинация N предыдущих выборок сигнала:
x * (k )  a1 x(k  1)  a 2 x(k  2)  ...  a N x(k  N ).
В адаптивных кодерах с ДИКМ оптимальные значения параметров аi определяются по автокорреляционной функции передаваемого сигнала и передаются вместе с ошибкой предсказания.
Кодек с предсказанием (LPC, linear predictive codec):
` x(k) +
–
Σ
e(k)
+
Σ
+
N- отводный
x*(k) предсказатель
Вычисление
параметров аi
+ Σ
+
Линия
связи
x(k)
N- отводный
x*(k) предсказатель
ai
предсказател
Характеристики
речи меняются через 50-100мс, для предсказателя с 10-12 отводами параметры меняют через 20 мс.
72
Кодирование спектра сигнала
При кодировании спектра используются особенности слуха человека: нечувствительность к фазовым сдвигам спектральных компонент и к компонентам, слабым по сравнению с соседними по частоте сильными компонентами.
В канал передаются текущие значения амплитуд спектральных составляющих
сигнала. Гармоники с амплитудами ниже порога слышимости, зависящего от уровня соседних гармоник, не кодируются.
Звуковой сигнал источника
1
200400
Гц
400600
Гц
2
16
20Гц
20Гц
20Гц
32003400
Гц
АЦП и мультиплексор
линия связи
Демультиплексор и ЦАП
400-600Гц
200-400Гц
АМ
АМ
3200-3400Гц
АМ
активизатор
фильтров
сумматор
Восстановленный звуковой сигнал
Ши
рина частотных полос, частоты дискретизации и разрядности двоичных чисел,
представляющих отсчеты огибающих в полосах, могут быть разными. Обычное
число разрядов – 3…5 бит. При частоте дискретизации 50 Гц (характеристики речи
сохраняются 20 мс), 16-ти полосах по 200 Гц и разрядности АЦП в 3 бита скорость
передачи 50*16*3 = 2,4 кбит/c.
Минимальная скорость передачи, при которой речь правильно воспринимается,
составляет 1 кбит/c.
73
Основные причины искажения сигналов
Вредные факторы
Ослабление сигнала:
расширение луча,
рассеяние,
поглощение
помехи
искажения
мультипликативные
Линейные:
изменения
ЧХ
Нелинейные:
комбинационные
частоты, подавление
слабого сигнала
сильной помехой
детерминированные
аддитивные:
атмосферные
промышленные
тепловой шум
Случайные:
замирания из-за
отражений, рассеяния,
дифракции
Интерференция сигналов, приходящих в приемник разными путями, вызывает
замирания – случайные изменения уровня и вида принимаемого сигнала. Эти изменения можно считать результатом умножения на случайную передаточную
функцию канала, поэтому вносимые каналом искажения называют мультипликативными. При большом временном разбросе многолучевых компонент сигнала в
цифровой системе возникают межсимвольные искажения. Канал, в котором вид
принимаемого сигнала зависит от принятого ранее сигнала, называют каналом с
памятью.
Основные проявления замираний
А
«пальцы»
U(t)
λ/2
t
d
d
τa
τm
Замирания огибающей (несущего колебания) – мелкомасштабные и крупномасштабные– изменения амплитуды несущего колебания
Временное рассеяние– искажения огибающей сигнала из-за наложения сигналов,
приходящих с разной задержкой по времени.
Доплеровский сдвиг частоты
74
Временное рассеяние делает АЧХ неравномерной:
АЧХ
Разные гармоники сигнала
интерферируют по-разному.
Δl – разность длин путей лучей,
Δf – расстояние между ближайшими
максимумами,
С – скорость распространения волн
Δf
Δf
f
l  n 
nc (n  1)c

, откуда
f
f  f
f 
f
c 1

 ,
n l 
Характеристики замираний
Амплитудные
Частотно-селективные
АЧХ
Fs=1/Ts
Fs=1/Ts
f
f
Ts > τm,
Ts<τm,
1/ τm
1/ τm
Полоса когерентности – интервал частот, в котором усиление почти одинаковое.
«Время когерентности» Т0 = 0,5 λ/v – интервал времени, на котором характеристика канала существенно не меняется (в основном из-за перемещения).
Замирания быстрые (Ts > T0 ) и медленные (Ts < T0), надо τm<< Ts<< Т0.
Доплеровский сдвиг частоты fd = vf/c = v/λ, T0 = 0,5/fd
Доплеровское «расширение частоты» происходит в результате суммирования
многолучевых компонент с разным доплеровским сдвигом.
При суммировании сигналов с противоположными фазами (x, y) незначительное
изменение фазы одного сигнала (x, y) может вызвать большой скачок фазы суммарного сигнала (s) и его мгновенной частоты – производной фазы, намного превышающий доплеровский сдвиг.
s1
x1
s
x
y
75
Средства борьбы с замираниями
Наиболее опасны частотно-селективные и быстрые замирания.
Влияние частотно-селективных замираний ослабляют:
– расширением спектра (если τэс < τm, то запаздывающий сигнал воспринимается как шум). RAKE – приемник суммирует многолучевые сигналы,
– увеличением длительности символов, превращающим частотно-селективные
замирания в амплитудные замирания (например, при модуляции OFDM),
– разнесением (пространственным, угловым, по времени, по частоте). Одновременное появление глубоких замираний в разных сигналах маловероятно,
– выравниванием характеристики канала специальным фильтром – эквалайзером, компенсирующим амплитудно-фазовые искажения в канале. В многолучевом
канале цель выравнивания – ослабление межсимвольных искажений.
Влияние быстрых замираний снижают:
– применяя методы модуляции без фазовой синхронизации,
– помехоустойчивое кодирование и чередование,
– многоканальную связь с временным уплотнением, отличающуюся от других
способов уплотнения более короткой длительностью символа.
76