Понятов. Методические указания к решению задач типовых расчетов по математическому анализу.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией экономического факультета
для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки
080500 «Менеджмент», 080100 «Экономика», 081100 «Государственное и
муниципальное управление»
Нижний Новгород
2012
УДК 517
ББК 22.11
Т-43
Т-43 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТИПОВЫХ
РАСЧЕТОВ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Составитель: Понятов А.А. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский
госуниверситет, 2012. – 63 с.
Рецензент: к.э.н., доцент А.Д. Пчелинцев
Данные методические указания предназначены для оказания помощи
студенту в самостоятельном овладении методами решения задач из курса высшей математики по разделу «Математический анализ». Все задачи соответствуют представленным в «Типовых расчетах по математическому анализу» для
студентов экономических специальностей. В каждом параграфе содержатся
краткие теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач, а
также подробно разобранные задачи с пояснениями методов их решения.
Ознакомление с методическими указаниями позволяет студенту самостоятельно овладеть основными методами решения задач данного раздела.
Ответственный за выпуск:
председатель методической комиссии экономического факультета ННГУ,
к.э.н., доцент М.Л. Шилов
УДК 517
ББК 22.11
2
Оглавление
Оглавление ......................................................................................................... 3
1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ .................................................................................... 4
1.1. Основные понятия .................................................................................. 4
1.2. Вычисление пределов ............................................................................ 5
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ............................................... 11
2.1. Основные понятия ................................................................................ 11
2.2. Основные правила дифференцирования. .......................................... 12
2.3. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей {0/0} и{/}... 13
2.4. Исследование функции ........................................................................ 14
2.5. Функции нескольких переменных ..................................................... 20
3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ........................................................... 22
3.1. Неопределённый интеграл .................................................................. 22
3.1.1. Основные понятия......................................................................... 22
3.1.2. Табличное интегрирование .......................................................... 23
3.1.3. Интегрирование методом подстановки (замены переменной). 24
3.1.4. Метод интегрирования по частям ............................................... 27
3.1.5. Интегрирование рациональных дробей ...................................... 28
3.1.6. Интегрирование простейших иррациональных функций ......... 34
3.1.7. Интегрирование тригонометрических функций ........................ 35
3.2. Определённый интеграл ...................................................................... 37
3.3. Несобственные интегралы .................................................................. 40
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................................. 42
4.1. Основные понятия ................................................................................ 42
4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУПП) .............. 43
4.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными ............................ 43
4.2.2. Однородные дифференциальные уравнения.............................. 45
4.2.3. Линейные дифференциальные уравнения .................................. 46
4.3. Дифференциальные уравнения второго порядка (ДУВП) ............... 48
4.3.1. Неполные ДУВП, допускающие понижение порядка .............. 48
4.3.2. Линейные дифференциальные уравнения .................................. 49
4.4. Системы дифференциальных уравнений........................................... 53
5. РЯДЫ ............................................................................................................ 56
5.1. Числовые ряды ..................................................................................... 56
5.2. Степенные ряды ................................................................................... 60
Литература ....................................................................................................... 63
3
1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1.1. Основные понятия
Число A называется пределом функции f(x) приx, стремящемся к бесконечности(х), если для любого числа > 0 существует такое число >0, что
для всех х, удовлетворяющих условию|х| > выполняется неравенство
f ( x)  А   . В этом случае пишут lim f ( x)  A .
x
Смысл понятия предела в данном случае в том, что при увеличении |х|
разница f ( x)  А между значением функции и числомА становится очень маленькой, т.е. значение функции приближаются к А (рис. 1).
Число А называется пределом функции f (x) приx, стремящемся к аили в
точке а (ха), если для любого числа > 0 существует такое число > 0, что
для всех х, х-а< выполняется неравенство f ( x)  А   (рис. 2). В этом слу-
f ( x)  A
чае пишут lim
xa
Смысл понятия предела в данном случае в том, что при приближении х к
а разница f ( x)  А между значением функции и числомА становится очень маленькой, т.е. значение функции приближается к Ас обеих сторон (рис. 2).
y
y
y = f(x)
A+
A
A+ 
A
0
y = f(x)
A-

0
x
a- a a+
x
Рис. 2
Рис. 1
Важно! Для существования предела не требуется, чтобы функция была
определена в самой точке х = а, или ее значение было равно А.
ЧислоА также называют – конечным пределом функции f(x).Если функция неограниченно возрастает (убывает) при х или ха, то вместоА пишут
f ( x)  , lim f ( x)   и т.д. В этом случае
знаки + (–), например, lim
xa
x
функцию называют бесконечно большой при ха и говорят о бесконечном
пределе. Также приналичии конечного предела говорят, что предел функции
существует, а в случае бесконечно большой функции предел функции не существует. То, к чему стремится х, называютпредельным значением аргумента.
4
f ( x)  0 , то функцию называют бесконечно малой при ха.
Если lim
xa
Если x<a и ха, то употребляют запись ха–
0 (х стремится ка слева). Если при этом f(x)А1, то
А1 называют левымпределом функции f(x) в точке
f ( x)  A1 . Аналогично при x>a и
х=аи пишут xlim
a0
y
А2
А1
y = f(x)
а
ха пишут ха+0 (х стремится к а справа). Если
f ( x)  A2 , называют прапри этом f(x)А2, то xlim
a0
x
вымпределом функции f(x) в точке х = а(рис. 3). А1
и А2 называют также одностороннимипределами
функции f(x) в точке х = а.Для существования
предела функции в точке х = анеобходимо и достаточно, чтобы А1 = А2.
Вычисление пределов основывается на следующих теоремах. Если с– пос  с ), и существуют пределы lim f ( x) и lim g ( x) , то
стоянное число( lim
xa
xa
xa
Рис. 3
 f ( x)  g(x)  lim
f ( x)  lim g ( x) ;
1. lim
xa
xa
xa
с  f ( x)  с  lim f ( x) ;
2. lim[ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x) ,следствие: lim
xa
xa
xa
xa
xa
f ( x)
f ( x) lim
xa

g( x)  0 ;
3. lim
, если lim
xa g ( x)
xa
lim g ( x)
xa


[ f ( x)]g ( x)  lim f ( x)
4. lim
xa
xa
lim g ( x)
xa
lim g ( x)
с g ( x)  с xa
, следствие: lim
xa
.
Используются также стандартные пределы:
sin x
 1.
x
x
 1
1x
Второй замечательный предел: lim1    lim1  x  e  2,71828....
x
x  x0
с
с
 0 , а lim р   при любых p>0 и с, lim ln x   ,
Полезно знать: lim
р
x х
x0 х
x0
lim с x   , lim с x  0 при с> 1, lim с x  0 , lim с x   при 0<с< 1.
Первый замечательный предел: lim
x0
x
x
x
x
Следует понимать, что вместо х в этих пределах может стоять функция от х.
1.2. Вычисление пределов
Для элементарных функций вычисление предела при ха заключается в
подстановке значениях= ав выражение для функции, если при этом функция
определена.
f ( x)  2x2  5x  4  2  32  5  3  4  7 ,
Пример 1.а) lim
x3
5
cos2x cos 3
0.5 1

 22  5
x2  5
3



lim


б) lim
,
в)
.
2
2
x2 log 1  40x
ctg2  6
6




log
1

40

2
4
x ctg x
3
3
3
6
 
Если при подстановке х= аполучим дробь, где числитель не равен нулю, а
знаменатель равен нулю (деление на нуль), то функция при хабудет бескоf ( x)   . Для наглядности в примерах эта формальная
нечно большой lim
xa
дробьбудет указываться в фигурных скобках.Для определения знака бесконечности необходимо проанализировать знак функции при х<аих>авблизи от х= а.
Если знак одинаков, то его надо поставить перед, если разный, тоследует перейти к вычислению односторонних пределов. Для облегчения анализа части
функции, несвязанные с делением на нуль, можно вычислить.
x2  1  5 
    .
Пример 2. xlim
2 x  22
0 
Решение. Определим знак. Числитель при х –2 стремится к 5 и его можно заменить на 5.Итак, числитель дроби положителен.Знаменатель представляет собой квадрат числа, следовательно, положителен как при х<–2,так их>–2.Вывод:
дробь положительна при х –2. Получаем:
x2  1  5 
5
lim
    lim
2
2   .
x2 x  2
 0  x2 x  2
x2  1  5 
 
Пример 3. xlim
2 x  2
0 
Решение. Пример похож на предыдущий, но теперь при х<–2 знаменатель отрицателен, а при х>–2 положителен. Знак функции различен, и следует вычислить односторонние пределы: предел слева (х<–2) и предел справа (х>–2).
x2  1
5
x2  1
5
 lim
  и lim
 lim
 
x20 x  2
x20 x  2
x20 x  2
x20 x  2
lim
Если функция задана формулой, которая приподстановке предельного
значения аргумента теряет смысл, а именно переходит в одно из выражений
0   

0

 ,  ,   , 1 , 0 , 0 ,  0  ,
0   
по которым предел без специального исследования вычислить невозможно, то
говорят, что имеет место неопределенностьсоответствующего вида. Методы
вычисления таких пределов называют раскрытие неопределенности. Рассмотрим некоторые из них (правило Лопиталя будет рассмотрено в 2.3).
Метод 1. Для нахождения предела дробно-рациональной функции (частное многочленов), имеющей неопределенность {0/0} при ха, необходимо
числитель и знаменатель поделить на (х–а).Этотметод основан на известном из
алгебры следствии из теоремы Безу, согласно которому, если многочлен обра-
     
6
щается в нуль при х = а, то он делится без остатка на (х–а). Можно непосредственно делить многочлены уголком (см. пример 44), а можно числитель и знаменатель разложить на множители одним из известных способов.
Примечание. Неопределенность{0/0} возникает, если при подстановке х=а получается дробь, числитель и знаменатель которой равны нулю. Функция в точке х=а не определена (деление на нуль). Но для существования предела при ха не обязательно, чтобы функция была определена в точке х = а. Предел вычисляется при ха, но х  а, (х – а) 0. В этом
случае числитель и знаменатель будут бесконечно малыми величинами неравными нулю.
x2  6x  8  0 
  .
Пример 4. Найти предел lim
x2 3x2  5x  2
0 
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби и сократим дробь на (х–2).
x2  6x  8  0 , D   62  4 1 8  4 ,
x1  6  2/ 2  2, x2  6  2/ 2  4 ;
1
3x2  5x  2  0 , D   52  4  3  2  49 , x1  5  7/ 6   , x2  5  7/ 6  2 ;
3
2
x  6x  8
( x  2)(x  4)
x4 2
2
lim

lim

lim



Тогда x2 3x 2  5x  2 x2
x2 3x  1
1
7
7.
3( x  )(x  2)
3
16 
 2
 2

    .
Пример 5. Найти предел lim
x4 x  4
x 16 

Решение .Здесь х 4приводит к неопределенности вида – (см. пример
3). Для вычисления предела приведем дроби к общему знаменателю, получив
неопределенность {0/0}, которую раскроем разложением на множители.
16 
2x  4 16
2x  4
2
2 1
 2
lim
 2
 lim
 lim
 lim
 

x4 x  4
x4 x  4x  4
x4 x  4
8 4
x 16  x4 x  4x  4

Метод 2. Для нахождения предела дробно-иррациональной функции,
имеющей неопределенность {0/0}при ха, необходимо иррациональность из
числителя перевести в знаменатель или наоборот, используя формулу
(c–b)(c+b) = c2 –b2, а затем упростить. Если иррациональность имеется и в числителе и в знаменателе, то операцию необходимо проделать для каждой.
1  x  x2  1  x  x2  0 
  .
Пример 6. Найти предел lim
x0
x2  x
0 
Решение. Умножаем и делим на сопряженное выражение. После упрощений сокращаем х и избавляемся от неопределенности.
1  x  x2  1  x  x2
1  x  x2  1  x  x2 1  x  x2  1  x  x2
lim

lim


2
2
x0
x0
x2  x
xx  1
1 x  x  1 x  x
7
 lim

1 x  x2  1 x  x2

2x
 lim
x( x 1)( 1  x  x  1  x  x )
x( x 1)( 1  x  x  1  x  x )
2
2
 lim

 1.
x0
( x 1)( 1  x  x 2  1  x  x 2 ) 1 ( 1  1)
x0
2
2
x0
2
2

Метод 3. Для нахождения предела дробно-рациональной функции,
имеющей неопределенность {/}при х необходимо в числителе и знаменателе вынести за скобку xв наивысшей степени (если степени одинаковы, то
можно просто поделить числитель и знаменатель на xв наивысшей степени).А
с
 0 при любых p> 0 и с.
хр
2x3  2x2  5x  6  
  .
Пример 7. Найти предел lim
x
3x3  7x 1
 
затем учесть, что lim
x
Решение. Выносим за скобку в числителе и знаменателе x 3 и сокращаем
с
х
с
с

lim
0
х 2 x х3
 2 5 6
2 5 6
x3  2   2  3 
2

 2 3 2
3
2
2 x  2 x  5x  6
x x x 

x
x x 
lim
 lim
 lim
.
3
x
x


x


7
1
7 1
3x  7 x 1
3
3
3 2  3
x 3  2  3 
x x
 x x 
 lim
(делим числитель и знаменатель на x 3 ). Учитываем lim
x
x
7x5  3x3  x  8  
  .
8x4  5x2  4
 
Решение. Выносим за скобку в числителе x5 , а в знаменателе x 4 , имеем
3 1 8

x5  7  2  4  5 
5
3
7 x  3x  x  8
7
x x x 
lim
 lim 
 lim x    .
4
2
x 8x  5x  4
x
x
5 4
8

x4  8  2  4 
 x x 
Пример 8. Найти предел lim
x
Для нахождения предела дробно-рациональной функции, имеющей неопределенность {–} при х, надо, как и в примере 5, привести дроби к общему знаменателю и получить неопределенность {/}.
Для нахождения предела иррациональной функции, имеющей неопределенность {–} при х, надо, как и в примере 6, иррациональность из числителя перевести в знаменатель и получить неопределенность {/}.


9x4  2x3  3  x2    .
Пример 9. Найти предел xlim

Решение. Умножаем и делим на сопряженное выражение. В полученном
после упрощений выражении выносим наивысшую степень x 2 .
8
lim  x  2x  3  x   lim
x 4  2x 2  3  x 2 x 4  2x 2  3  x 2


x
x
1
x 4  2x 2  3  x 2
3
3


x2  2  2 
2  2 
4
2
4
x  2x  3  x
2
 x 
 x 
lim
 lim
 lim

 1.
x
x 4  2x 2  3  x 2 x x 2 1  2  3  x 2 x 1  2  3  1 1  1
x2 x4
x2 x4
4
2
2
Метод 4.Для нахождения предела функции, имеющей неопределенность
{0/0} и представляющей собой дробь, содержащую отношение тригонометрических функций и многочленов, можно путем преобразований привести его к виду, содержащему первый замечательный предел: zlim
( x )0
sin z( x)
 1.
z( x)
sin 8x  0 
sin 8x 8 8
sin 8x 8
8
    lim
   lim
 1  ,
7x
7
7
 0  x0 7 x 8 7 x0 8x
sin z( x)
sin x 2 1 0 
lim
 1, где z  x 2 1.
lim


1
б) x1
,
т.к.
предел
имеет
вид


2
z
(
x
)

0
z( x)
x 1
0 
sin 8x  0 
sin 8x
1 8
    lim
 lim      .
Пример 10. lim
2
x0 7 x
 0  x0 7 x x0 x 7
cos2x  sin 8x  0 
 .
Пример11.Найти предел lim
x0
sin 7 x
0 
cos2x  sin 8x
sin 8x
 lim cos2x  lim

Решение. lim
x0
x0
x0 sin 7 x
sin 7x
sin 8x 8x 7x
8
sin 8x
7x
8
8
 cos0  lim
   1  lim
 lim
  1 1  .
x0 sin 7 x 8x 7 x
7 x0 8x x0 sin 7x 7
7
Пример 9.а) lim
x0


Примечание. Для сокращения записи можно lim cos 2x отдельно не выписывать, а сразу подx0
cos 2x  sin 8x
sin 8x
.
 lim
x0
x0 sin 7 x
sin 7x
ставлять его значение 1 в исходную функцию: lim
Пример 12. Найти предел lim
x0
1  cos4x  0 
  .
x2
0 
1 cos4x
2 sin 2 2x
 sin 2x 
 sin 2x 2 
 sin 2x 
lim
 lim
 2 lim 
 2 lim 
   8  lim
8
2
2

x0
x0
x0 
x0 
x
x
x 
x 2
 x0 2x 
2
2
2
Метод5. Для нахождения предела функции, имеющей неопределенность
1 , можно путем преобразований привести его к виду, содержащему второй
 

9

1 
1

замечательный предел: z (lim
x )
 z( x) 
z ( x)
 lim 1 z( x)1 z ( x)  e .
z ( x )0
x3
 
 x  3
 1 .


Пример 13. Найти предел lim
x x 1 
x3
x3
x3
4 
 x 3
 x 1  4 


  lim

  lim
1
 
Решение. lim
x x 1
x
x


 x 1 
 x 1 


  x3  x1 4
 x1



4
4 x1

1
1

 
 lim 1 
 lim 1 
x
x 
x 1 
x

1
 





4 
4  

4 x3
x1
 
 x1 xlim


4 
 
1 
 lim 1 

x x 1  
 
4  
4 x3
x1
 e4
Учтено, что в квадратных скобках стоит второй замечательный предел и
4x  3
4x 1  3 x
lim
 lim
 4 (см. пример 7). Для упрощения записи можно
x x  1
x x 1  1 x
делать замену переменной. Например, в данном случае
x 1
 x  3
z
, x  4z  1 , тогда lim

x x  1 
4
x3
x3
4 z 4
4 

 1
 lim1 
 lim1  

x
z
x 1
z
4
4
4
z 4
 1  z 
 1    1     1 
 lim 1    lim1    lim1    lim1    e4 14  e4 .
z 
z   z z   z z    z z 


Предел с неопределенностью надо отличать от похожих примеров, где
неопределенности нет.
 x 3 


Пример 14. lim
x 2x 1


4 x3
x1
lim
  x  3  x
 lim

x 2x 1 
10
4 x3
x1
4
1
1
   .
 2  16
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.1. Основные понятия
Производной y  функции y  f (x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции y  f ( x  x)  f ( x) к вызвавшему его приращению аргумента x , при стремлении приращения аргумента к нулю:
f ( x  x)  f ( x)
y
 lim
x0
x0 x
x
Если существует конечный предел, то функция y  f (x) называется дифференy  lim
цируемой в точке х (имеющей производную).Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.
df ( x) d
dy
 f ( x) .
, или
dx
dx
dx
Пример 15. Найти производную функции y  sin x по определению.
y
sin( x  x)  sin x
2 cos(x  x / 2) sin(x / 2)
 lim
 lim

Решение. y  lim
x0 x
x0
x0
x
x
sin(x / 2)
 lim cos(x  x / 2)  lim
 cos x 1  cos x.
x0
x0
x / 2
Производная обозначается y  , или f (x) , или
На практике используют таблицу производных основных элементарных функций.
Таблица 2.1.
I
x   nx
VI
II
 x   2 1 x
VII
III

1
1
   2
x
 x
VIII
IV
e   e
IX
V
n1
n
x
a   a
x
x
x
ln a
X
ln x  1
XI
ctgx 
XII
arcsin x 
sin x  cos x
XIII
arccosx  
cos x   sin x
XIV
arctgx 
XV
arcctgx  
x
loga x 
tgx 
1
x ln x
1
cos2 x
11
1
sin 2 x
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
Геометрически производная f ( x0 ) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)), т.е. f ( x0 )  tg , где  - угол
наклона касательной. Уравнение касательной имеет вид y  y0  f ( x0 )(x  x0 )
Физический смысл производной функции f(t), где t– время, а f(t)– закон
движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Обобщая,
можно сказать, что производная – есть скорость изменения функции в точке х.
Производной второго порядка(второй производной) называют произ-
d2y
 ( y) . Аналогично рекуррентно определяют
dx2
( n)
n 1
все производные высших порядков y  ( y ) .
водную от производной y 
Дифференциалом (первого порядка) функции называют произведение
производной на дифференциал аргумента dy  ydx , принято dx  x .
Дифференциальное исчисление– есть изучение производных и дифференциалов функций и их применение к исследованию функций.
2.2. Основные правила дифференцирования.
Пусть u=u(x), v=v(x)– функции, имеющие производную, c–постоянная.
1) c  0 ; 2) x  1;
3) (u  v)  u  v ;
4) (u  v)  u  v  u  v ;

u  uv  vu

5) (c  u)  c  u ;
6)   
, если v 0.
v2
v
x
x
x
x
Пример16. (3e  x  9)  3  (e )  x  9  3e  1  0  3e  1 ;
(7x  sin x)  (7x )  sin x  7x  (sin x)  7x ln 7  sin x  7x  cos x ;

1
 sin x  (sin x)  cos x  sin x  (cos x) cos cos x  sin x  ( sin x)

tgx  


.
 
cos2 x
cos2 x
cos2 x
 cos x 
7) Производная сложной функции. Пусть y= f(u),u = u(x), то yx  yu  ux
Если функция y = f(u) элементарная, то в соответствии с таблицей произ-
 
u
u
водных 2.1 получим un  nun1  u , (sin u)  cos u  u , (e )  e  u , и т.д.


Пример17. Найти производную функции y  ln x  2x  5 .
Решение: обозначим u  x3  2x  5 , тогда, y  ln u и по правилу 7 получаем
3

1
1
3x2  2

3




y  ln u   u  3
 x  2x  5  3
.
u
x  2x  5
x  2x  5


На практике обычно замену наu, приводящую функцию к элементарному виду,
делают в уме, и записывают результат сразу для х.
12
8) Логарифмическое дифференцирование. Заключается в том, что сначала находят производную от логарифма функции (ln f ( x)) , а затем производную самой функции по формуле f ( x)  (ln f ( x))  f ( x) , поскольку в соответст-

вии с правилом 7, можно записать ln f ( x) 
f ( x)
. Обычно его применяют
f ( x)
v
для функций вида y  u (функция в основании и показателе степени).
Пример18. Найти производную функции y  x .
Решение. Находим производную от логарифма функции ln y  sin x  ln x
sin x  sin x

1
 x .
(ln y)  cos x  ln x  sin x  , тогда y  (ln y)  y   cos x  ln x 
x 

x
sin x
9) Дифференцирование неявной функции. В общем виде неявную
функцию можно записать в виде F(x,y) = 0. Продифференцировав по х обе части
этого уравнения получим уравнение для y , откуда и найдем y .
Пример 19. Найти производную y из уравнения y  x  x sin y  8  0 .
Решение. Дифференцируем обе части уравнения, считая y сложной функцией:
2
3
3x2  sin y
2 yy  3x  sin y  x cos y  y  0 , откуда y  
.
2 y  x cos y
2
10) Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Еслиx = x(t), y = y(t), то yx 
yt
dy dy dt

или
.
xt
dx dx dt
4
3
2
Пример20. Найти производную yx , если y  2t  3t  5 и x  t  7t .
8t 3  3
Решение. Находим yt  8t  3 , xt  3t 14t . Следовательно, yx  2
.
3t 14t
3
2
2.3. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей {0/0} и{/}
Пусть функции f(x) иg(x) дифференцируемы в окрестности точки х0, и
g(x) 0. Если lim f ( x)  lim g( x)  0 или lim f (x)  lim g(x)   , то
xx0
xx0
xx0
lim
xx0
f ( x)
f ( x)
 lim
,
g ( x) xx0 g( x)
если предел в правой части равенства существует.
13
xx0
Если xlim
x
0
f ( x)
0 
 
снова дает неопределенность   и   , и f(x) и g(x)
g( x)
0 
 
удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению
вторых производных и т.д. Перед взятием вторых производных и т.д. надо произвести все возможные упрощения выражения.
Неопределенности 0   и    путем преобразований могут быть
сведены к неопределенностям 0 0 или  , что позволит воспользоваться
правилом Лопиталя. В случае неопределенностей 00 , 1 и 0 следует найти предел логарифма функции.
    

sin x  0 
sin x
cos x cos0
    lim
 lim

 1;
Пример21. lim
x0
x0
x
1
1
 0  x0 x

x2   
x2
2x   
x
1
    lim

lim


lim

lim
 0.
Пример 22. xlim


2
x
2
x
2x
 e
  x e2 x  x 2e
  x e2 x  x 2e
1 
1
 x     .

Пример23.Найти предел lim
x0  x
e 1 
Решение. Сведем неопределенность    к 0 0, приведя дроби к общему
знаменателю. Затем применим дважды правило Лопиталя.

1 
ex  1  x 0 
ex  1  x
1
lim  x       lim
   lim

x 0 x
x 0 x e x  1
e 1
 0  x 0 xex  x 
;

ex  1
ex  1
ex
1
0 
 lim x
   lim

  lim
x 0 e  xex  1  0 
x 0
x 0 e x  e x  xex
x
x
2
e  xe  1
 
 
 










2.4. Исследование функции
Порядок полного исследования функции.
I. Общая характеристика функции
1) Нахождение области определения функции (ООФ).
2) Нахождение точек пересечения графика с осями Ох (у = 0) и Оу (х= 0) и
интервалов знакопостоянства.
3) Выяснение вопроса о четности, нечетности, периодичности функции.
4) Нахождение и классификация точек разрыва функции.
5) Нахождение асимптот функции
II. Исследование функции с помощью первой производной:
6) Определение интервалов возрастания и убывания функции.
7) Нахождение точек экстремума.
III. Исследование функции с помощью второй производной:
8) Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.
14
9) Нахождение точек перегиба.
IV. Построение графика функции.
Функция f (x) называется четной, если f (x)  f ( x) , график такой
функции симметричен относительно оси ординат (Оу). Функция f (x) называется нечетной, если f (x)   f ( x) , график такой функции центральносимметричен относительно начала координат. Остальные функции называются
функциями общего вида. Они тоже могут иметь симметрию, но другого вида.
Функция f (x) называется периодической с периодом Т 0, если
f ( x  Т )  f ( x) . Практически периодом называют наименьшее из положительных чисел Т, тогда любой другой период имеет вид nT, где n = 1,
2,…Значения и график периодической функции повторяются через Т, следовательно, такую функцию достаточно исследовать на одном периоде. Из элементарных функций периодическими являются только чистотригонометрические.
Остальные функции являются непериодическими.
Исследование на непрерывность.
Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в
f ( x)  f ( x0 ) или
некоторой окрестности точки x0 и существует предел xlim
x
lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) .
xx0 0
xx0 0
0
(1)
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области.
Точка x0 называется точкой разрыва функции f (x) , если функция определена в некоторой окрестности точки x0 , и для нее нарушается условие непрерывности (1). Точка разрыва называется точкой разрыва I рода, если односторонние пределы в (1) существуют и конечны. Если они при этом равны между собой, но не равны f ( x0 ) , то x0 точка устранимого разрыва, если различны, то точка неустранимого разрыва. В последнем случае разность правого и
левого пределов называется скачком функции. Точка разрыва называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов в (1) равен
бесконечности или не существует.
Теорема. Все элементарные функции непрерывны в своей ООФ. Сумма и
произведение непрерывных функций есть также функция непрерывная. Частное
от деления двух непрерывных функция – есть функция непрерывная во всех
точках, где нет деления на нуль.
Это означает, что у элементарной функции разрывы могут быть только в
точках, где функция не существует, в граничных точках ООФ. Например, в
точках деления на нуль. Для составных функций подозрительными на разрыв
являются точки стыковки элементарных частей.
15
Если расстояние между точкой кривой и некоторой прямой стремится к
нулю при удалении от начала координат, то эта прямая называется
а
кривой.
1. Прямая х = а является вертикальной асимптотой, если функция неогf ( x)   и/или lim f ( x)   . Точка а
раниченно возрастает при ха, т.е. xlim
a0
xa0
является точкой разрыва II рода.
2. Прямая у = b является горизонтальной асимптотой, если существует
f ( x)  b
конечный и равный b предел функции f (x) при х, т.е. если xlim

f ( x)  b .
и/или xlim

3. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx +b, где
f ( x)
 f ( x)  kx(при необходимости надо отдельно рассматривать
k  lim
, b  lim
x
x x
х+ и х –). Наклонная асимптота существует, если пределы для k иb конечны. При k= 0 и конечном значенииb асимптота получается горизонтальной.
Поэтому на практике поиск горизонтальной асимптоты отдельно можно не
проводить, сразу начиная с наклонной асимптоты (нахождения k).
Функция f (x) называется возрастающей, если из неравенства x2  x1
следует неравенство f (x2 )  f (x1) . Если же из неравенства x2  x1 следует
неравенство f (x2 )  f (x1) , то функция f (x) называется убывающей.
Если во всех точках некоторого интервала f ( x)  0 , то функция f (x)
возрастает, если f ( x)  0 , то f (x) убывает в этом интервале
Функция f (x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке x0 , если значение функции в этой точке f ( x0 ) является наибольшим или наименьшим
значением функции в некоторой окрестности этой точки.
Следует помнить: 1) Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, принимаемым функцией. Вне рассматриваемой окрестности точки x0 функция может принимать большие (меньшие)
значения, чем в этой точке. 2) Функция может иметь несколько максимумов и
минимумов.
Необходимое условие экстремума. Если функция f (x) имеет экстремум
в точке x0 , то её производная в этой точке равна нулю f ( x0 )  0 (дифференцируемая функция)или не существует.
Это означает, что точки экстремума следует искать только среди точек,
где f ( x0 )  0 или производная не существует, их называют критическими
точками первого рода(точки с f ( x0 )  0 называют стационарными). Другие
точки исследовать не нужно. Следует понимать, что это условие не достаточное, поскольку производная может быть равна нулю f ( x)  0 или не существо16
вать не только в точках экстремумов. Поэтому после нахождения критических
точек каждую из них надо исследовать на основании достаточных условий.
Первое достаточное условие существования экстремума (по первой
производной).Пусть точка x0 является критической точкой функции f (x) . Если при переходе слева направо через x0 : 1) f (x) меняет свой знак с + на–, то
точка x0 - точка максимума; 2) f (x) меняет свой знак с – на +, то точка x0 - точка минимума; 3) f (x) не меняет знака, то экстремума нет.
В качестве примера функции, у которой в точке экстремума производная
не существует, приведем y  x . В точке х = 0 эта функция производной не
имеет (не дифференцируема), но по первому условию - это точка минимума.
Второе достаточное условие существования экстремума (по второй
производной). Пусть в точке x0 f ( x0 )  0 . Тогда x0 – точка максимума, если
f ( x)  0 , и минимума, если f ( x)  0 . Если же f ( x)  0 , то для заключения о
наличии экстремума требуется дополнительное исследование (например, по
первому условию).
График функции f (x) называется выпуклым в интервале (а, b), если он
расположен ниже касательной, проведенной в любой точке интервала, и вогнутым, если выше. Достаточным условием выпуклости (вогнутости) является
f ( x)  0 ( f ( x)  0 ) в (а, b).
Точки, где f ( x)  0 или f (x) не существует, называют критическими
точками второго рода. Если при переходе слева направо через такую точку
f (x) меняет свой знак, то эта точка является точкой перегиба, т.е. по одну
сторону от нее кривая выпукла, по другую – вогнута.
x4
Пример 24.Исследовать функцию y  3 ;
x 1
Решение. I. ООФ D( y)   ,1  1,   ;
Пересечение с осями у=0 при х=0. Интервалы знакопостоянства покажем на
оси, отметив на ней точки пересечения с осями и разрыва функции.
–
(-, 0)
–
0
+
1
(0, 1)
(0, +)
f(x)
x

 x4
x4
y(x) 

 y( x) и  y( x) , следовательно, общего вида. Функция
 x3 1  x3 1
непериодична, поскольку является элементарной нетригонометрической.
Функция является элементарной, следовательно, она непрерывна везде,
кроме точки х = 1, где не существует. Определяем тип точки разрыва.
17
x4
1
lim 3  lim 3   ,
x10 x 1
x10 x 1
x4
1
lim 3  lim 3  
x10 x 1
x10 x 1
точка х = 1 – точка разрыва второго рода; прямая х = 1 – вертикальная асимптота. Ищем наклонные асимптоты:
k  lim
x
f ( x)
x4
x3
1
 lim 3
 lim 3  lim
1,
x x x 1
x x 1
x 1 1/ x3
x


 x4

 x4  x4  x 
 x 
 1 
b  lim f ( x)  kx  lim  3  x  lim 

lim

lim

3
3
 x  x2 1/ x   0 .
x
x x 1
x
x 
x

1
x

1





Таким образом, прямаяy = kx +b = х, двусторонняя наклонная асимптота.
II. Исследование функции с помощью первой производной:

 x 4  4x3 x3  1  x 4 3x 2 x6  4x3 x3 x3  4
y   3  
 3
 3
2
2
2
x3  1
x 1
x 1
 x 1
Находим критические точки первого рода:
3 3
— стационарные точки y = 0 или x x  4  0 . x1  0, x2  3 4  1,59
— производная не существует в точке х = 1.
Определяем интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции
и точки экстремума. Результаты сведем в таблицу.






(-, 0)
0
(0,1)
1
y
+
0
–
Не сущ.
Max
y=0




x
y


(1,
3
3
4)
–
(0, +)
4
0
Min
Не сущ.
+
y  43 4 3  2,18
III. Исследование функции с помощью второй производной:

 x6  4x3  6x5 12x 2 x3 1 2  x6  4x3  2  3x 2 x3 1
6x 2 x 3  2


y 


4
3
3
 x 3 1 2 
x

1
x 3 1






 
 







Находим критические точки второго рода:
2 3
— y = 0 или x x  2  0 . x1  0, x2  3 2  1,26
— вторая производная не существует в точке х = 1.
Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции точек перегиба Результаты сведем в таблицу.


18
(-,  2 )
+
y
x
y
 2
3
3
0
т. перегиба
y = -0,84
(  2 ,0)
–
3
0
(0, 1)
1
(1, +)
0
Нет перегиба
y=0
–
Не сущ.
Нет перегиба
Не сущ.
+
График функции приведен на рисунке слева. Пунктиром показаны
асимптоты. При его построении
следует соблюдать несколько
правил. Масштаб по осям надо
y=x
3
выбрать так, чтобы максимальные
 2
характерные значения х и у (экс3
4
тремумы, точки перегиба и т.д.)
x
располагались от начала отсчета
x=1
не далее, чем середина полуоси.
Построение следует начинать с
асимптот и характерных значений. График строится поэтапно
для каждого интервала между характерными значениями, правильно строя поведение функции в этих точках.
y
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке всегда
имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения.
Этих значений функция достигает либо в точках экстремума, принадлежащих
отрезку, либо на концах отрезка. В соответствии с этим, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке надо:
1) Определить критические (стационарные) точки функции, принадлежащие отрезку (заметим, что исследовать на экстремум не нужно, поскольку потом нужные точки будут отобраны по значению).
2) Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах
отрезка [a, b] (т.е. при х = а или х = b).
3) Наибольшее и наименьшее из найденных значений и будут соответственно наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке.
Пример 25.Найти наибольшее и наименьшее значение функции
x4 2 3 3 2
y   x  x  2 на отрезке [–4/3,2].
4 3
2
Решение. 1) Находим критические (стационарные) точки функции y  0 :
19


y  x3  2x2  3x  x x2  2x  3  0 , откуда x1  0; x2  2x  3  0, x2  1, x3  3 .
Критические точки x1  0 и x2  1 принадлежат отрезку [-4/3, 2], а x3  3 – не
принадлежит. 2) Вычисляем значения функции для х1 и х2 и на концах отрезка.
y(0) = 2, у(–1) = 17/12 1,42, у(–4/3) =46/27 1,42, у(2) = –16/3 -5,33.
3) Наименьшим из найденных значений является –16/3, а наибольшим 2. Это
означает, что наибольшего значения 2 функция достигает в критической точке
х = 0, а наименьшего –16/3 – на правом краю отрезка х = 2.
2.5. Функции нескольких переменных
Частной производной от функции z = f(x, y) по независимой переменной х
f ( x  x, y)  f ( x, y) z
  zx  f x( x, y) , вычисназывается конечный предел lim
x0
x
x
ленный при постоянном у. Частной производной по у называется конечный
f ( x, y  y)  f ( x, y) z
  zy  f y( x, y) , вычисленный при постоянпредел lim
y0
y
y
ном х. Аналогично определяются частные производные от функции большего
числа независимых переменных.
Вычисление частных производных производится по тем же правилам, что
и производных функции одной переменной при соблюдении правила:
При взятии производной по одной независимой переменной все остальные считаются постоянными (константами).
Полный дифференциал функции z = f(x, y) вычисляется по формуле
dz 
z
z
dx  dy .
x
y
Частные производные второго порядка, также как и ранее, есть производные от производной. Но, поскольку второе дифференцирование для функции
z=f(x, y)проводится от двух частных производных по двум переменным, это
приводит к появлению четырех частных производных второго порядка:
 z    2 z
 z    2 z
 z    2 z   z    2 z






 z xy ,    2  z yy ,   
 zyx .
   2  z xx ,   

x

x

x

y

y

y

y

x

x

y
 x
 y
 y
 x
Аналогично определяются частные производные высших порядков.
Производные zxy и zyx , в которых дифференцирование происходит по
обеим переменным в разном порядке, называются смешанными. Справедлива
теорема: если частные производные непрерывны, то они не зависят от порядка
 , zxyy
  zyxy
  zyyx
 и т.д.
дифференцирования, т.е. zxy  zyx
Дифференцирование сложных функций z = f(u,v),гдеu=u(x,y), v=v(x,y):
20
z z u z v z z u z v
    ,
    .
x u x v x y u y v y
Градиентом скалярной функции z = f(x, y) называется вектор, проекции
которого на координатные оси Ох и Оу соответственно равны
z  z 
grad z  i  j ,
x y
z z
и
, т.е.
x y
2
 z   z 
grad z      
 x   y 
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке, а его модуль grad z наибольшую скорость роста.
2
Пример 26. Найти для функции z( x, y)  sin x  y 2  2x5 y7  2 все частные
производные первого и второго порядков, полный дифференциал и градиент.
Решение.
z
 cos x 10x4 y7 (у=const);
x


2 z
 cos x 10x4 y7 x   sin x  40x3 y7 ;
2
x

z
 2 y 14x5 y6 (х=const);
y


2 z
 2 y 14x5 y6 y  2  84x5 y5 ;
2
y


2 z
 cos x 10x4 y7 y  70x4 y6 ;
xy

2 z
 2 y 14x5 y6 x  70x4 y6 .
yx
2 z
2 z

Видно, что действительно
xy yx
z
z
4 7
5 6
Полный дифференциал dz  dx  dy  cos x 10x y dx  2 y 14x y dy .
x
y


4 7
5 6
Градиент grad z  cos x 10x y i  2 y 14x y j .


 






5 7
Пример 27. Найти для сложной функции z( x, y)  arcsin x y частные
производные первого порядка.
5 7
Решение. Обозначив u( x, y)  x y , получим z(u)  arcsinu , и по правилу
дифференцирования сложной функции




z z u z z u
  ,
  получаем
x u x y u y
z z u
1
5x4 y7

5 7 
4 7
   arcsinuu  x y x 
 5x y 
,
5 7 2
x u x
1 u2
1 x y


z z u
1
7 x5 y 6
5 6
   arcsinu u  x5 y7 y 

7
x
y

,
2
2
5
7
y u y
1 u
1 x y

21

3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. Неопределённый интеграл
3.1.1. Основные понятия
Напомним, дифференцирование – это операция нахождения производной
функции или её дифференциала. Операцию, обратную к операции дифференцирования, т.е. операцию нахождения функции F(x) по ее производной f (x) или
дифференциалу f(x)dx называют интегрированием функции или нахождением
неопределенного интеграла и обозначают
 f (x)dx .
Функция F(x), удовлетворяющая условию f (x) = F(x), называется перводля f (x).Таким образом, интегрирование есть нахождение первообразной. Поскольку (F(x) + C) = F(x) = f (x), то выражение (F(x) + C), где C –
любая постоянная, тоже является первообразной. Поэтому можно записать
 f (x)dx  F (x)  С
Итак, если F(х) есть первообразная для f(х), то выражение F(x) + C, называется неопределенным интегралом. При этом знак называют знаком интеграла,
х– переменной интегрирования, f(х) – подынтегральной функцией, f(х)dx – подынтегральным выражением.
Например, (x5) = 5x4, следовательно, функция F(x) = x5 является первообразной для f(х) = 5x4, и (x5 + С) является неопределенным интегралом от 5x4, т.е.
4
5
 5x dx  x  С .
Основные свойства неопределённого интеграла:

1)  f ( x)dx  f ( x) ;
2) d  f ( x)dx  f ( x)dx ; 3)  dF  F ( x)  C ;




4)  Af ( x)dx  A f ( x)dx , где A – постоянная;
 f (x)  g(x)dx   f (x)dx   f (x)dx ;
6) Если  f ( x)dx  F ( x)  С и t  t (x) , то  f (t )dt  F (t )  С .
5)
Отметим, что свойство 6 является основой интегрирования с помощью
замены переменных (подстановки).
Для вычисления интегралов также используется таблица основных неопределённых интегралов от элементарных функций (их часто так и называют табличными):
22
Таблица 3.1
I
 0 dx  C
II
n
 x dx 
III
 dx  x  C
IV
x
V
VI
VII
VIII
dx
IX
 cos x  tg x  C
X
 sin
XI
x
XII
x
ax
 a dx  ln a  C
XIII

x
x
 e dx  e  C
XIV
dx
xn1
 C, n  1
n 1
 ln | x | C
x
 sin x dx   cos x  C
 cos x dx  sin x  C
XV
XVI
2
dx

2
2
2
x
 ctg x  C
dx
1
x
 arctg  C
2
a
a
a
dx
1
xa
 ln
C
2
2a x  a
a
dx
x

arcsin
C
a
a2  x2
dx
x a
2
 ln x  x 2  a  C
 tg x dx   ln cos x  C
 ctg x dx  ln sin x  C
Примечания: 1) во всех формулах а – некоторое число; 2) переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (см. свойство 6).
Основные методы интегрирования
3.1.2. Табличное интегрирование
Данный метод заключается в том, что путём тождественных преобразований подынтегрального выражения и применения свойств неопределённого
интеграла исходный интеграл сводится к табличным интегралам.
Пример28. Производим деление слагаемых числителя на знаменатель
3
1

35 x 4  5 3 x
3x 4 / 5  5 x1/ 3
x4/ 5
x1/ 3
10
dx  
dx   3 1/ 2  5 1/ 2 dx  3 x dx  5 x 6 dx 
1/ 2

x
x
x
x
3
1
10
1
 1
6
13
10
5
6
x
x
x
x
30
 5
 C  3
 5
 C   x 10 x3  6 6 x5  C.
3
1
13
5
13
1
 1
10
6
10
6
Пример 29.Производим раскрытие скобок
x5
x3
2
2
4
2
4
2
 (x  3) dx   x  6x  9 dx   x dx  6 x dx  9 dx  5  6 3  9x  C
 3
23
Пример 30. Вынос множителя, подведение под табличный интегралXI.
dx
1 dx
1
dx
1 1
x
  2
 
 
arctg
 C.
2
2
 6 3 x  2 3 x2  2
3 2
2
 3x
 
3.1.3. Интегрирование методом подстановки (замены переменной)
Данный метод заключается в том, что вводится новая переменная интегрирования t = (х), которая сводит исходный интеграл по х к табличному или
более удобному для интегрирования интегралу по новой переменнойt. После
вычисления интеграла по tнужно вернуться к переменной x. Не существует
универсального правила для выбора подстановки в каждом конкретном случае,
можно только сформулировать следующие полезные подсказки.
При выборе подстановки следует учитывать, что dxнадо будет выразить
черезdt. Поскольку dt = (х)dx,то исходный интеграл должен содержать как
функцию (х), так и ее дифференциал(х)dx (с точностью до постоянного
множителя). Таким образом, исходный интеграл должен иметь вид
А f ( x)  ( x) dx  А f t dt
В соответствии с этим можно сформулировать более простые советы
1) Если под знаком интеграла стоит сложная функция f (x), то, как
правило, используется подстановка t = (х). Например, если там стоит функция
sin(x3), то стоит попробовать подстановку t = x3и т.д.
2) Если под знаком интеграла стоит дифференциал функции  (x) , т.е. выражение ( x) dx  d , то стоит попробовать подстановку t  (x)
.Целесообразно помнить дифференциалы основных элементарных функций:
1
x n dx 
d ( x n1 ) , например, x dx  1 d x 2 , 12 dx  d  1 ;
n 1
2
x
 x
1
1
dx  d (ax  b); sin x dx  d (cos x); cos x dx  d (sin x); dx  d (ln x),
а
x
1
1
e x dx  d (e x );
dx


d
(
c
tg
x
);
dx  d (tg x) и т.д.
sin 2 x
cos2 x
 
Пример 31.Найти интеграл  sin5x  3dx .

t  3
1
t 3

t

5
x

3
Введем
, x
, тогда dx  
 dt  dt .
5
5
 5 
1
1
1
1


sin
5
x

3
dx

sin
t

dt

sin
t
dt


cos
t

C


cos5x  3 C .

 5 5
5
5
Заметим, что для нахождения dх необязательно выражать х через t. Можно найти dt, и выразить dх из полученного выражения. В данном случае
24
1
t  5x  3 , dt  5x  3 dx  5dx или окончательно, как и ранее, dx  dt .
5
В подобных простых интегралах часто используется приём "подведение под знак дифференциала": ( x) dx  d , позволяющий сократить запись
за счет ввода новой переменной в уме. Например
1
d (3x  2)
dx
1 d (3x  2) 1
3

 
 ln | 3x  2 | C.
Пример 32. 
3x  2
3x  2
3 3x  2
3
1
В данном примере использован стандартный дифференциал dx  d (ax  b) , и
а
замена переменной t  3x  2 произведена в уме. Легко видеть, что если мысdt
ленно заменить 3х + 2 на t, то получим табличный интеграл   ln | t | C .
t
Проделав промежуточные действия в уме, сразу записываем ответ.Если в уме
вам трудно, то произведите полную запись указанной замены переменной.
Этот интеграл является частным случаем интегралов вида
Аf ( x)
df
dx

А
 f (x)
 f  Аln f (x)  C.
Здесь в числителе дроби стоит производная знаменателя с точностью до постоянного множителя. Для интегрирования надо внести знаменатель под знак
дифференциала или сделать замену знаменателя на новую переменную.


1
d 3x 2  5
xdx
1
6 2
 ln 3x 2  5  C.
Пример 33.  2
3x  5
3x  5
6
Легко видеть, что здесь (3х2 + 5) = 6х, т.е. числитель – есть производная знаменателя, умноженная на 6. Можно было найти этот интеграл заменой
1
t  3x2  5, dt  (3x2  5)dx  6x dx  x dx  dt 
6
1
dt
xdx
1 dt 1
1
6



ln
t

C

ln 3x 2  5  C.
 3x2  5  t 6  t 6
6
Обратите внимание, что здесь удобнонайти dt, и выразить через dt стоящую в
интеграле часть дифференциала заменяемой функции. В данном случае xdx.
25
Пример 34.
sin x dx
cos21 x
cos1 x
1
2
 cos2 x   cos x d (cos x)    2  1  C    1  C  cos x  C.
Здесь использован стандартный дифференциал sin x dx  d (cos x) , и произведе2
ны в уме замена переменной t  cos x , и вычисление интеграла  t dt .
Важно! Приведем примерный ход рассуждений, которым вы должны
руководствоваться при введении новой переменной.
Итак, интеграл
sin x
sin x dx
dx  
содержит функции sinx иcosx, каж2
x
cos2 x
 cos
дую из которых можно заменить на новую переменную t. При этом надо помнить, что интеграл должен содержать как саму заменяемую функцию, так и ее
дифференциал с точностью до постоянного множителя. Если t = sinx, то в интеграле должен присутствовать d(sinx) = cosxdx. Поскольку cosxdx в данном интеграле отсутствует, то такая подстановка невозможна. Если же t = cosx, то в
интеграле должен присутствовать d(cosx) = –sinxdx. Поскольку sinxdx в данном
интеграле присутствует (с точностью до множителя –1), то такая подстановка
возможна. Находим интеграл.
t  cos x, dt  (cos x)dx   sin x dx  sin x dx  dt
sin x
sin x dx
 dt
1
2
1
dx




t
dt

t

C

C
 cos2 x  cos2 x  t 2 
cos x
Здесь также удобно найти dt, и выразить через dt стоящую в интеграле часть
дифференциала заменяемой функции. В данном случае sinxdx.
Пример 35.Найти интеграл
x
x  3 dx .
1
2
2
2
Решение. Введем t  x  3  ( x  3) , x  3  t , x  t  3 , dx  2t dt .
x


x  3 dx   (t 2  3)  t  2t dt  2 t 4  3t 2 dt  2  t 4 dt  3 t 2 dt 
5
3
t5
t3
2
2
 2  6  C  ( x  3)  2( x  2) 2  C.
5
3
5
В некоторых случаях перед подстановкой необходимо провести определенные преобразования
26
Пример 36.
dx
dx
dx
 x2  3x  5   x2  3x  9 / 4  9 / 4  5   x  3 / 22  11/ 4 
d x  3 / 2
1
x  3/ 2
2
2x  3


arctg

C

arctg
C
2
2
11
/
2
11
/
2
11
11
x  3 / 2  11 / 2


В данном примере использован метод выделения полного квадрата, т.е.
выражения (х+ а)2 = х2 + 2ах +а2. В данном примере 2ах = 3х откуда а = 3/2 и а2
= 9/4. Использовано подведение под знак дифференциала и t = х+ 3/2.
Пример 37.
3x  7
3x  2  5
3x  2
5
5
 3x  2 dx   3x  2   3x  2  3x  2 dx  1  3x  2 dx 
dx
5 d (3x  2)
5
  dx 5
  dx  
 x  ln | 3x  2 | C.
3x  2
3 3x  2
3
3.1.4. Метод интегрирования по частям
Пусть u(x) иv(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда
справедливо равенство, называемое формулой интегрирования по частям:
 udv  uv   vdu .
Такое название связано с тем, что в исходном интеграле подынтегральное
выражение надо разбить на две части. Ту, которая не содержит dx, обозначают
u(x), а все остальное вместе с dx обозначают dv. Метод применяют в тех случаях, когда интеграл справа проще исходного или совпадает с ним.
В частности, этот метод применяют, когда под знаком интеграла стоит
произведение многочлена на одну из функций sin x, cos x, ax, еx, loga x, ln x,
arcsin x, arctg x.Если подынтегральная функция содержитsin x, cos x, ax,
еx,интеграл от которых является табличным, то за u(x) берут многочлен. Например, для Pn(x) sin (ax+b) dxберутu(x) = Pn(x), dv= sin (ax+b) dx. Если степень
многочленаn >1, то формулу интегрирования по частям применяют несколько
раз. При каждом применении степень многочлена в остающемся интеграле
уменьшается на единицу, и в результате многочлен исчезнет.
Если подынтегральная функция содержит loga x, ln x, arcsin x, arctg x, то
именно эти функции берутся за функцию u(x).
Примечание. При нахождении v(x) принимается С = 0.
x4
Пример 38. Найти интеграл  (2x  3) e dx
x 4
 (2x  3) e dx 
du  (2x  3)dx  2  dx
u  2x  3

v   e x4 dx  e x4 d ( x  4)  e x4 =
dv  e x4 dx
27
 uv   vdu  (2x  3) e x4   e x4  2dx  (2x  3) e x4  2e x4  C.
Пример 39. Найти интеграл
x
2
sin x dx .
du  2x dx
u  x2
x
sin
x
dx


 uv   vdu 

v

sin
x
dx


cos
x
dv  sin x dx

2
  x 2 cos x   ( cos x) 2xdx   x 2 cos x  2 x cos x dx.
После первого применения формулы интегрирования по частям получен
более простой интеграл. Для его вычисления применим метод ещё раз:
 x cos x dx 
du  dx
ux

 uv   vdu 
v   cos x dx  sin x
dv  cos x dx
 x  sin x   sin x dx  x sin x  cos x  C.
Окончательно получаем
x
2
sin x dx   x 2 cosx  2( x sin x  cosx)  C   x 2 cosx  2x sin x  2 cosx  C.
Пример 40.
 x ln x   x 
1
du  dx
u  ln x
x
 uv   vdu 
 ln x dx  dv  dx 
v   dx  x
dx
 x ln x   dx  x ln x  x  C.
x
3.1.5. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов, т.е.
P ( x)
R( x)  n
, где Pn(x) – многочлен степени n, Qm(x) – многочлен степени
Qm ( x)
m.Напомним, многочлен, это выражение вида Pn(x)=anxn +an-1xn-1 +…+a1x +a0.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в
числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. n < m, в противном
случае дробь называется неправильной.
Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя
на знаменатель (пример 44) приводится к виду
P( x)
R( x)
R( x)
 I ( x) 
,где
Q( x)
Q( x)
Q( x)
–
правильная рациональная дробь, многочлены I(x) –целая часть, R(x) – остаток
P( x)
R( x)
 Q(x) dx  I (x) dx   Q(x)dx . Поскольку  I ( x) dx всегда равен сумме табличных интегралов вида  x dx , то задача интегрирования непрапри делении. Тогда
n
28
вильной рациональной дроби сводится к интегрированию правильной рациональной дроби.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:
I.
A
,
xa
II.
A
,
( x  a)n
III.
Ax  B
,
x 2  px  q
IV.
Ax  B
,
( x 2  px  q)n
где A, B, a, p, q – действительные числа, n – целое число, большее единицы, и
квадратный трёхчлен x2 + px + q не имеет действительных корней (т.е. дискриминант квадратного трехчлена отрицателен:D = p2 – 4q < 0).
Интегралы от простейших дробей известны:
A
d ( x  a)
I. 
dx  A
 A ln x  a  C,
xa
xa
A
( x  a) n1
n
II. 
dx A ( x  a) d ( x  a)  A
 C, (n  1).
( x  a) n
 n 1
Интегрирование простейшей дроби типа III рассмотрено в примере 43.
Интегрирование простейшей дроби типа IVможно найти в литературе.
Интегрирование правильных рациональных дробей основано на том,
что их всегда можно представить в виде суммы простейших дробей (разложить на простейшие дроби). Эту сумму будем называть разложением.
Для этого нужно знаменатель правильной рациональной дроби
Q(x)разложить на неповторяющиеся линейные и квадратичные множители:
Q( x)  ( x  a1 )n1 ( x  a2 )n2 ... ( x 2  p1 x  q1 )k1 ( x2  p2 x  q2 )k2 ...,
где показатели степеней ni, kj – натуральные числа,Di = pi2 – 4qi < 0.
В разложении каждому множителю (x – a) соответствует дробь
,каждому множителю (x – a)n соответствует сумма n простейших дробей
A
xa
A
A1
A2
P
~

 ...  n ,
n
n1
Q ( x  a) ( x  a)
xa
каждому множителю (x2 + px + q) соответствует дробь
Bx  C
: каждому
x 2  px  q
множителю (x2 + px + q)k соответствует сумма k простейших дробей:
Bk x  Ck
B x  C1
B2 x  C2
P
~ 2 1


...

.
Q ( x  px  q)k ( x2  px  q)k 1
x2  px  q
Коэффициенты A1, … , An, B1… , Bk, C1… , Ck находятся методом неопределённых коэффициентов или частных значений (см. примеры).
Для интегрирования правильной рациональной дроби, надо разложить её на сумму простейших, а затем интегрировать каждое слагаемое.
29
x 2  2x  6
dx .
Пример 41. Найти интеграл  3
x  7x2  14x  8
Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие дроби, для чего разложим знаменатель на множители,
определив корни кубического уравнения x 3  7 x 2  14x  8  0 , например, проверкой делителей свободного члена 8. Получаем три корня x1 = 1, x2 = 2,x3 = 4.
3
2
Следовательно, x  7x 14x  8  ( x 1)(x  2)(x  4) .
По правилу разложения:
x 2  2x  6
x 2  2x  6
A
B
C




,
3
2
x  7x  14x  8 ( x  1)(x  2)(x  4) x  1 x  2 x  4
где А, В, С – неизвестные (неопределенные) коэффициенты, которые необходимо найти. Для этого приведем дроби справа к общему знаменателю
x 2  2x  6
A( x  2)(x  4)  B( x  1)(x  4)  C( x  1)(x  2)

,
( x  1)(x  2)(x  4)
( x  1)(x  2)(x  4)
и приравняем числители:
A( x  2)(x  4)  B( x  1)(x  4)  C( x  1)(x  2)  x2  2x  6
Нахождение А, В, Сможет быть сделано двумя методами.
Метод неопределенных коэффициентов основан на теореме: если многочлены в обеих частях равенства тождественно равны, то должны быть
равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Раскроем скобки, сгруппируем члены по степеням х и получим систему:
( A  B  С) x2  (6 A  5B  3C) x  (8A  4B  2C)  x2  2x  6
x2
A B  C 1
A3
x1  6 A  5B  3C  2  B  7
x 0 8 A  4B  2C  6
C 5
Примечания. Систему удобно записывать, указывая слева от черты, при каких степенях х
приравниваются коэффициенты справа. Обозначение х0 соответствует приравниванию слагаемых без х. Для сокращения записи скобки можно не раскрывать, вычисляя коэффициенты
в уме. Решать систему можно любым методом: исключения, Гаусса, Крамера.
Метод частных значений основан на теореме: если многочлены в обеих
частях равенства тождественно равны, то они должны быть равны при любых значениях х. Следовательно, уравнения для нахождения А, В, С можно получить подставляя в исходное равенство произвольные значения х. Выбор конкретных значений х производится, исходя из требования максимальной простоты получающегося уравнения. Например, желательно брать значения х, при которых как можно большее число слагаемых обращается в нуль. Назовем такие
значения «удобными». В нашем равенстве
A( x  2)(x  4)  B( x  1)(x  4)  C( x  1)(x  2)  x2  2x  6
удобными значениями являются 1, 2, 4. Подставляем и получим систему:
30
x  1 3A  9
A3
x  2  2B  14  B  7
x  4 6C  30
C 5
Таким образом, получаем разложение:
x 2  2x  6
3
7
5



3
2
x  7x  14x  8 x  1 x  2 x  4
Находим интеграл
x 2  2x  6
dx
dx
dx
 x3  7x2  14x  8 dx  3 x  1  7 x  2  5 x  4 
 3 ln x  1  7 ln x  2  5 ln x  4  C
x2  1
dx
Пример 42. Найти интеграл 
x  13 ( x  3) .
Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель уже разложен на множители. По правилу разложения множителю (х – 1)3
A
B
C


, а мно( x 1)3 ( x 1)2 x 1
D
жителю (х + 3) соответствует простейшая дробь
. Получаем:
x3
x2  1
A
B
C
D




3
3
2
x  1 ( x  3) ( x  1) ( x  1) x  1 x  3
соответствует сумма трех простейших дробей
Приведем дроби справа к общему знаменателю и приравняем числители:
A(x  3)  Bx 1(x  3)  Cx 12 (x  3)  Dx 13  x2  1
Поскольку удобных значений здесь только два 1 и –3, а найти нужно четыре неопределенных коэффициента A, B, C, D, можно использовать смешанный метод: два уравнения написать, используя удобные значения, а два других,
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (обычно удобно брать
наивысшую степень и слагаемые без х). Получим систему:
x 1
4A  2
A  1/ 2
x  3
 64D  10
D  10 / 64  5 / 32

x3
CD0
C  D  5 / 32
x 0 3A  3B  3C  D  1
B  A  C  D / 3  1/ 3  3 / 8
x2  1
1
dx
3
dx
5 dx
5
dx
 x  13 ( x  3) dx  2  ( x  1)3  8  ( x  1)2  32  x  1  32  x  3 
1 ( x  1) 2 3 ( x  1) 1 5
5
 
 
 ln x  1  ln x  3  C
2
2
8
1
32
32
31
3x  16
dx .
2
 2x  10)
Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель уже разложен на множители, причём квадратный трехчлен (x2 – 2x + 10)
не имеет действительных корней(D = –36 <0) и на множители разложен быть не
может. По правилу разложения множителю (х–2) соответствует простейшая
A
Bx  C
дробь
, а множителю (x2 – 2x + 10) простейшая дробь 2
. Получаx2
x  2x  10
ем разложение:
3x  16
A
Bx  C

 2
2
( x  2)(x  2x  10) x  2 x  2x  10
Приведем дроби справа к общему знаменателю и приравняем числители:
A( x2  2x  10)  (Bx  C)(x  2)  3x  16 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему:
x2 A  B  0
A  1
1
x  2 A  2B  C  3  B  1
x 0 10A  2C  16
C 3
3x  16
dx
x3
dx



2
2
 (x  2)(x  2x  10)
 x  2  x  2x  10 dx.
x3
dx .
Найдем интеграл от рациональной дроби III типа  2
x  2x  10
Метод ее интегрирования основан на разбиении этого интеграла на два интеграла с известным способом интегрирования. Сначала выделяем интеграл вида
f ( x)
df
dx

 f (x)  f  ln f (x)  C. Т.е. в числителе должна стоять производная зна2
менателя ( x  2x  10)  2x  2 . Запишем числитель таким образом, чтобы в
Пример 43. Найти интеграл
нем содержалось (2x  2) : x  3 
 (x  2)(x
1
2x  2  4 .
2
Совет: сначала надо написать (2х – 2), потом определить, на какое число надо умножить, чтобы получить при х тот же коэффициент, как и слева, а затем добавить
слагаемое, чтобы справа получался исходный числитель (х + 3).
Получающийся после этой операции второй интеграл берется методом выделения полного квадрата в знаменателе аналогично примеру 36. Итак, получаем:
32
1
1


2x  2
2
x

2

4
x3
4
2
2
dx

dx

dx

2
2
2
2
 x  2x  10  x  2x  10
 x  2x  10  x  2x  10 dx 
1
2x  2
dx
1 d x 2  2x  10
d ( x  1)
  2
dx  4
  2
 4

2
2 x  2x  10
x  1  9 2 x  2x  10
x  12  32
1
1
x 1
1
4
x 1
 ln x 2  2x  10  4  arctg
 C  ln x 2  2x  10  arctg
C
2
3
3
2
3
3
Окончательно имеем
3x  16
dx
x3
 ( x  2)(x2  2x  10) dx   x  2   x2  2x  10 dx 
1
4
x 1
  ln x  2  ln x 2  2x  10  arctg
C
2
3
3


3x3  2x
dx .
Пример 44. Найти интеграл  2
x  x6
3x 3  2x
Решение. Здесь подынтегральная функция 2
– неправильная раx  x6
циональная дробь, так как степень многочлена числителя n =3 больше степени
знаменателя m =2. Разделим числитель дроби на знаменатель.
Целая
часть
тогда
Остаток
Примечание. Деление многочленов производится по членам с наивысшей степенью.
Сначала 3x3 делим на х2 и записываем результат 3х. Затем x2 + x – 6 умножаем на 3х, и результат 3x3 + 3х2– 18х, вычитаем из 3x3– 2х, подписав снизу. Полученный многочлен –3x2–
16х делим аналогично и приписываем результат к 3х и т.д. Деление прекращается, когда степень многочлена-делимого станет меньше степени многочлена делителя. Здесь меньше 2.
Разложим правильную рациональную дробь
19x 18
на простейшие
x2  x  6
дроби. Для этогоопределив корни квадратного трёхчлена x2 + x – 6:x1 = –3,
x2 = 2, разложим его на множители
19x  18
19x  18
A
B



.
x 2  x  6 ( x  3) ( x  2) x  3 x  2
Приводим дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравниваем числители. Для нахождения А и В используем удобные значения
A( x  2)  B( x  3)  19x  18 .
33
x  3  5 A  75
A  15
19x  18
15
4

 2


x  2 5B  20
B4
x  x6 x3 x2
3x3  2x
15
4 
x2

 x2  x  6 dx   3x  3  x  3  x  2  dx  3 2  3x 15ln | x  3 | 4ln | x  2 | C.
3.1.6. Интегрирование простейших иррациональных функций
Интеграл вида
m
p
m/ n
p/r
 R x, n ax  b , r ax  b ,... dx   R ax  b , ax  b ,... dx ,
где R –рациональная функция своих аргументов, приводится к интегралу от
рациональной дроби с помощью подстановки ax  b  t k , где k – наименьший
общий знаменатель дробей m/n, p/r, …
x
Пример 45. Найти интеграл  4 3 dx .
1 x


Решение. Представим корни в виде степеней x  x1/ 2 , 4 x3  x3/ 4 . Наименьший общий знаменатель дробей 1/2 и 3/4 k =4, следовательно, делаем подстановку x = t4, откуда dx  4t 3dt , t  x1/ 4  4 x
x
x1/ 2
t2
t5
t2
3
2
 1  4 x3 dx   1  x3/ 4 dx   1  t 3 4t dt  4 1  t 3 dt  4 t  1  t 3 dt 


4 d 1 t3
t3 4
44 3 4
3

4


ln
1

t

C

x  ln 1  4 x3  C
3

3 1 t
3 3
3
3
Здесь учтено преобразование неправильной дроби
 4 t 2 dt 
тогда
Пример 46. Найти интеграл 
dx
.
2x  32  2x  3
2
2/ 3
1/ 2
Решение. 3 2x  3  2x  3 , 2x  3  2x  3 .
3
Наименьший общий
знаменатель дробей 2/3 и 1/2k =6, следовательно, делаем подстановку 2x+3= t6,
1/ 6
6
5
откуда x  t  3 / 2, dx  3t dt , t  2x  3  6 2x  3


34

dx
3t 5 dt
t 5 dt

 4 3 3 3

2/3
1/ 2
2x  32  2x  3  2x  3  2x  3  t  t  t t  1
dx
3
t  1t  1  1 dt  3 t  1  1 dt 
t 2 dt
t 2 1 1
 3
 3
dt  3

t 1
t 1
t 1
t 1
t 1
2
t

1

 3  t  ln t  1   C  3 3 2x  3  6 2x  3  ln 6 2x  3  1   C
2

2

3.1.7. Интегрирование тригонометрических функций
Во многих случаях интегралы от тригонометрических функций удаётся
соответствующей заменой переменной свести к интегралам от многочленов или
рациональных дробей. В ряде случаев выражения необходимо предварительно
упростить, применив тригонометрические формулы.
Рассмотрим наиболее типичные случаи.
I. Пусть подынтегральная функция зависит от sin x, cos x, над которыми
выполняются действия сложения, вычитания, умножения и деления. Принято
обозначать такую функцию R(sin x,cos x). Её называют рациональной функцией
от sin x, cos x.
Интеграл R(sin x,cos x)dx сводится к интегралу от рациональной дроби
при помощи универсальной подстановки:
x
2t
1 t 2
2dt
t  tg , sin x 
,
cos
x

,
x

2
arctg
t
,
dx

2
1 t 2
1 t 2
1 t 2
dx
Пример 47. Найти интеграл 
.
3cos x  4 sin x  5
Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой
2dt
dx
2dt
1 t 2

 3cos x  4 sin x  5  (1  t 2 ) 2t dt   3(1  t 2 )  8t  5(1  t 2 ) 
3
4
5
1 t 2
1 t 2
2dt
dt
1
1
 2

  (t  2) 2 d (t  2)  
C  
 C.
2
x
t 2
2t  8t  8
(t  2)
tg  2
2
Если степени sin x и cos x четные, то более удобна подстановка t  tg x .
При этом sin 2 x 
t2
1
dt
2
.
,
cos
x

,
x

arctg
t
,
dx

1 t2
1 t2
1 t2
Достоинством универсальной подстановки является то, что она позволяет
вычислить любой интеграл вида R(sin x,cos x), но во многих случаях она приводит к слишком громоздким вычислениям. Поэтому в ряде частных случаев
удобнее использовать другие подстановки. Рассмотрим их.
35

II. Для нахождения интегралов вида sin m x cosn x dx используется
1)если m – целое положительное нечётное число, подстановка t = cos x;
2)если n – целое положительное нечётное число, подстановка t = sin x;
Степень подставляемой функции может быть любой, в том числе и дробной.
Другая функция после выделения dt будет входить обязательно в четной степени, и для ее выражения через t используется тождество sin2x + cos2x = 1.
3) если m, n – целые положительные чётные числа, предварительное упрощение подынтегральной функции с помощью формул понижения порядка:
1
1  cos 2x
1  cos 2x
2
sin x cos x  sin 2x , cos2 x 
, sin x 
.(3.1)
2
2
2
Указанные преобразования применяются и в случае, когда под интегралом стоит только одна функция sinx или cosx (вторая имеет нулевую степень).
5
4
Пример 48. Найти интеграл  sin x cos x dx .
Решение. m = 5, что соответствует случаю1. Делаем подстановку t = cos x,
2
2
2
4
2 2
dt = –sin x dx или sin x dx = –dt, sin x  1  cos x  1  t , sin x  (1  t ) :
 sin
5
x cos4 xdx   sin 4 x cos4 x sin x dx   (1  t 2 ) 2 t 4 dt   t 4  2t 6  t 8 dt 
t5
t7 t6
1
2
1
   2   C   cos5 x  cos7 x  cos9 x  C.
5
7 9
5
7
9
7
cos x
dx .
Пример 49. Найти интеграл 
sin 4 x
Решение. n = 7, что соответствует случаю2. Делаем подстановкуt = sin x,
dt = cos x dx, cos2x = 1 – sin2x = 1 –t:, cos6x = (cos2x)3= (1 –t2)3:
cos7 xdx
cos6 x cos x dx
(1  t 2 )3
1  3t 2  3t 4  t 6
1


dt

dt

 sin 4 x  sin 4 x
 t4

 t4 
t4
3
1 3
t3
1
3
sin 3 x
2
 2  3  t dt   3   3t   C  

 3sin x 
 C.
3
3
t
3t t
3sin 3 x sin x
4
2
Пример 50. Найти интеграл  cos x sin x dx .
Решение. m = 2, n = 4 – положительные чётные числа, что соответствует
случаю3. Применяем формулы понижения порядка (3.1).
1 2
1  cos2x
4
2
2
2
cos
x
sin
x
dx

(cos
x
sin
x
)
cos
x
dx

sin
2
x

dx 


4
2
1
1
1 1  cos4x
1
  sin 2 2x dx   sin 2 2x cos2x dx  
dx   sin 2 2x d (sin 2x) 
8
8
8
2
16
3
1
1
sin 2x 1
1
1
  dx   cos4x dx 
 x  sin 4x  sin 3 2x  C.
16
16
48
16 64
48
36
1  cos6x
1
1
dx   dx   cos6x dx 
2
2
2
1
1 1
1
1
  dx    cos 6x d (6x)  x  sin 6x  C.
2
2 6
2 12

2
Пример 51. cos 3x dx 

При нахождении интеграла от произведения синусов и косинусов различных аргументов применяется одна из трех формул:
cos mx cos nx  0,5 cos(m  n)x  cos(m  n)x;
sin mx cosnx  0,5 sin(m  n)x  sin(m  n)x;
sin mx sin nx  0,5  cos(m  n)x  cos(m  n)x.
1
1
1
Пример 52.  sin 7x sin 2xdx    cos 9x  cos 5xdx   sin 9x  sin 5x  C.
2
18
10
3.2. Определённый интеграл
Пусть на отрезке [a,b] определена функцияf(x). Разобьём этот отрезок на n
произвольных частей (отрезков)точками a  x0  x1  x2  ...  xn  b .
xi
a
x0
1 x1 2
x2
…
b
xi –1 i
…
xi
xn–1
n
xn
x
Длины полученных отрезков xi  xi  xi 1 , i = 1,…,n. Обозначим  наибольшую длину из них   maxxi . Возьмём на каждом из отрезков [xi-1,xi] произ1in
вольным образом точку i : i [ xi1; xi ] и составим сумму
n
f (1 )  x1  f ( 2 )  x2  ... f ( n )  xn   f (i )  xi .
i 1
(3.2)
Сумма такого вида называется интегральной суммой функции f(x) на [a,b].
Если существует конечный предел интегральной суммы (3.2) при
  0 , не зависящий ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора точек
 i то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x)
по отрезку [a,b] и обозначается:
b
n
 f (x)dx  lim  f ( )x
a
0
i 1
i
i
.
Сама функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] подынтегральной
функцией, a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования, х – переменная интегрирования.
Справедлива теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то
она интегрируема на этом отрезке.
Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного (бесконечного) промежутка интегрирования и на некоторые классы не37
ограниченных функций (несобственные интегралы), а также на функции многих переменных (кратные, криволинейные, поверхностные интегралы).
Свойства определенного интеграла
1.
b
b
a
a
b
b
b
a
a
a
2.  ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx;
 Af ( x)dx  A f ( x)dx;
a
3.  f ( x)dx  0;
b
a
a
b
4.  f ( x)dx   f ( x)dx;
a
b
c
b
a
a
c
5.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , гдеa, b, cпроизвольные числа;
b
b
a
a
6. Если f(x) (x) на отрезке [a, b], то  f ( x)dx   ( x)dx ;
7. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции
b
f(x) на отрезке [a, b], то: m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
8. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на
b
этом отрезке существует точка  такая, что  f ( x)dx  (b  a) f ()
a
a
9. Еслиf(x) четная функция, то
a
 f ( x)dx  2 f ( x)dx .
a
0
a
Если f(x) нечетная функция, то
 f ( x)dx  0 .
a
Вычисление определённого интеграла
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона–Лейбница:

b
a
f ( x) dx  F ( x) a  F (b)  F (a) ,
b
где F(x) – любая первообразная функция функции f (x) на отрезке [a,
b].Поскольку первообразную можно взять любую, то ее берут без константы
интегрирования С (С = 0). Для нахождения первообразной используются все
методы нахождения неопределенных интегралов.
Замена переменной в определённом интеграле
При вычислении определённых интегралов методом замены переменной
интегрирования (метод подстановки), как правило, производится вычисление
новых пределов интегрирования (т.е. вычисляются значения новой переменной
в точках aиb) и возврата к старой переменной не производится.
38
Пример 53. Вычислить интеграл 1
9
dx
.
1 x
Решение. Производим подстановку t = x , x = t2, dx = 2t dt. Находим новые пределы интегрирования: x = 1t = 1 = 1; x = 9 t = 9 = 3. Получаем:
9
3
3 2t dt
3 t  1  1dt
dx
1 
3
2
2
1 1  x = 1 1  t = 1 t 1 = 1 1  t  1 dt  2t  ln | t  1 | 1
 23  ln | 3  1 |  1  ln | 1  1 |  4  2ln 2  ln 4  4  2 ln 2 .

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

u dv  uv a   v du, где uv a  u(b)v(b)  u(a)v(a) .
b
a
b
b
b
a
x
Пример 54. Вычислить интеграл 0 xe dx .
1

Решение.
1
0
xex dx 
du  dx
1
ux
1


uv

0 v du 
0
v   e x dx e x
dv  e x dx

 

 xex 0   e x dx  xex 0  e x 0  1  e1  0  e1  e0  1
1
1
1
1
0
Вычисление площадей плоских фигур
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная
сверху графиком функции y = f (x) (f (x) ≥ 0), слева и справа прямыми x = a,
x = b, снизу – отрезком [a, b] оси Ox. Ее площадь равна
S   f ( x) dx.
b
a
Это называется геометрическим смыслом определённого интеграла.
Если f (x) ≤ 0 при x  [a, b], то
S   | f ( x) | dx.   f ( x) dx.
y
2
y=x
x=2
b
b
a
a
Пример 55. Найти площадь фигуры, ограниченной
2
осью Ox, графиком функции y  x и прямой x = 2.
Решение. Роль неуказанной в условии левой границы криволинейной трапеции играет точка пересечения
2
графика функции y  x с осью Ox. Получаем:
2
x3
8
S   x dx 
 .
0
3 0 3
2 2
x
Пример 56. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 1,
y =cos x и осью Ox.
39
Решение. Разобьем фигуру на две части, являющиеся криволинейными трапециями.
y
y = cos x
y=x+1
S1
S2
0
 /2
1
0
S  S1  S 2   x  1dx  
x
0
 x2

   x   sin x
 2
 1
/2
 /2
0
cos x dx 
1
   1  1  1,5.
2
Пример 57. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ox, графиком
функции y  sin x и прямыми x = –/2и x = /2.
y
Решение. S 
y = sin x

–/2
 /2
0
/2
x
 /2

 /2
| sin x | dx  
0
 / 2
sin x dx 
 /2
sin x dx  cos x  / 2  cos x 0 
0
   

 cos 0  cos     cos  cos 0   1  0  0  1  2.
2
 2 

Если фигура ограничена прямыми x = a, x = b и кривыми y = f1(x), y = f2(x)
причём f1(x) ≤ f2(x), то её площадь вычисляется по формуле
S    f 2 ( x)  f1 ( x) dx.
b
a
Пример 58. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой x + y = 1 и
2
2
y
параболой y  x  1 .
y=x –1
Решение. Найдём абсциссы точек пересечения
2
графиков y = 1 –x и y  x  1 . Для этого решим относительно x систему уравнений:
x=1–x
x
 y  x2  1
 x 2  1  1  x, x 2  x  2  0,

y  1  x
получаем x1  2, x2  1.
1
 x3 x 2

2
2
S   1  x  ( x  1) dx    x  x  2 dx      2x   4,5
2
2
 3 2
 2
1
1
3.3. Несобственные интегралы
Несобственными интегралами называются 1) интегралы с бесконечными
пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
Несобственным интегралом первого рода от функции y  f (x) в преде40
b

лах от а до +называется предел при b   интеграла f ( x)dx :
a

b
 f (x)dx  lim  f (x)dx .
b
a
a
Аналогично определяются интегралы:
b
b
 f (x)dx  lim  f (x)dx
a


b

a
b a
 f (x)dx  lim  f (x)dx .
и
a
Если функция y  f (x) имеет бесконечный разрыв (второго рода) в точке х
= b, то несобственным интегралом второго рода называется предел (> 0)
b
b
 f ( x)dx  lim
 f ( x)dx

0
a
a
Аналогично определяются интегралы при разрыве в точке х = а и х = c(a, b)
b
b
 f ( x)dx  lim
 f ( x)dx ,

a
0
с
b
b
 f ( x)dx  lim
 f ( x)dx  lim
 f ( x)dx .


и
a
0
a
a
0
с
Если указанные пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует
или он равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

b
dx
2
  x1 b   lim   1  1  1
x
dx

lim
Пример 59.  2  blim
1
 
b
b
 b 
1 x
1
Данный несобственный интеграл первого рода сходится.
Пример 60.


2
2
dx
d ( x  1)

lim

lim
ln
x

1
 limln 2  ln    
1 x  1  0 1 x  1  0
1
 0
2
Данный несобственный интеграл второго рода (в точке х = 1подынтегральная
функция имеет деление на нуль –точку разрыва второго рода)расходится.
41
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Основные понятия
Дифференциальным уравнением(ДУ) называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные. Если искомая функция y  yx есть функция одной независимой переменной x ,
n 
то ДУ называется обыкновенным и имеет вид F x, y, y, y,, y  0. Если же
функция нескольких независимых переменных, то говорят о ДУ в частных производных. Далее будут рассматриваться только обыкновенные ДУ. ПорядкомДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Поиск решения ДУ называется его интегрированием. Общим решением
ДУ n -го порядка называется функция y   x, C1, C2 ,, Cn , зависящая от xи n
произвольных постоянных C1 , C2 , , Cn , обращающая это уравнение в тождество. Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при каких-либо определенных значениях произвольных постоянных С . Решение, записанное в неявном виде, называется соответственно общим или частным интегралом.


Пример 61.ДУ y + 9y = 0 является ОДУ второго порядка. Его общим
решением является функция y(x) = C1sin(3x) + C2cos(3x), зависящая от двух
произвольных постоянных C1 ,C2 . Проверку решения производят его подстановкой в ДУ:
y + 9y = (C1sin(3x) + C2cos(3x)) + 9(C1sin(3x) + C2cos(3x)) =
= –C19sin(3x) – C29cos(3x)) + 9C1sin(3x) + 9C2cos(3x) = 0
Получили тождество, следовательно, решение верное.
Функцииy(x) = 2sin(3x) + 5cos(3x), y(x) = sin(3x) и т.п. являются частными
решениями ДУ для {C1 =2; C2 = 5} и {C1 =1; C2 = 0}соответственно.
График частного решения ДУ называется интегральной кривой. Совокупность графиков частных решений, соответствующих различным значениям
постоянных называется семейством интегральных кривых.
Для нахождения конкретного частного решения данного ДУ, т.е. конкретных значений n произвольных постоянных C1 , C2 , , Cn , необходимо задание nусловий. Они образуют систему уравнений, из которых и находят
C1 , C2 ,, Cn . Такими условиями могут быть значения функции и ее (n – 1) производной в некоторой точке x0, называемые начальными условиями. Задача
решения ОДУ при наличии начальных условий называется задачей Коши. Такое решение ДУ называют частным решением, удовлетворяющим начальным
условиям. Кроме того, такими условиями могут быть значения на концах области поиска решения, называемые граничными условиями.
42
4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУПП)
Общий вид ДУПП: Fx, y, y  0.
ДУПП, разрешенное относительно производной y : y  f x, y .
Общее решение ДУПП зависит только от одной произвольной постоянной y  x, C .Начальное условие тоже одно, для значения функции y(x0) = y0.
4.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
y  f1 x  f 2  y,
в котором функция f x, y разделяется на множители, зависящие только от x
или только от y , называется уравнением с разделяющимися переменными.
Метод решения основан на представлении y 
dy
и так называемом
dx
разделении переменных, т.е. переносе всех множителей, содержащих х, в одну сторону, а всех множителей с у – в другую
dy
dy
 f1 x f 2  y  
 f xdx.
dx
f 2  y 1
ДУПП в таком виде называется уравнением с разделенными переменными. Взяв
интегралы от левой и правой части равенства, получают общий интеграл ДУ:
dy
 f 2  y   f1 x dx  С
Константа интегрирования записывается один раз обычно со стороны х. Если
один из интегралов содержит натуральный логарифм, то для упрощения вида
решения часто константу записывают в виде ln|C|.


Пример 61.Решить задачу Коши 1  e y y  e , y0  1.
Решение. Решить задачу Коши, означает найти частное решение ДУ
x
1  e y y  ex , удовлетворяющее начальному условию y0  1.
I.Сначала необходимо найти общее решение данного уравнения.
Проверяем ДУ на возможность разделения переменных. Признаком этого
является то, что правая и левая часть равенства состоят из сомножителей, зависящих только от x , или только от y . Приводить к виду y  f x, y не обязательно. Приходим к выводу, что данное ДУ является уравнением с разделяющимися переменными. Теперь подставим y  dy / dx и разделяем переменные,
для чего поделим обе части уравнения на 1  ex , и умножим на dx;затем записываем общий интеграл ДУ:

x
x




dy x
e x dx
1  e y  e  y dy 
dx
1  ex
x

e x dx
  y dy  
С
1  ex
Берем интегралы (константы интегрирования здесь можно не писать):
43


e x dx
d 1 e x
x
 1 e x   1 ex  ln 1 e .
y2
 y dy  2 ,
Таким образом, общий интеграл ДУимеет вид :






y2
 ln 1  e x  C  y 2  2 ln 1  e x  2C  y 2  2 ln 1  e x  C
2
Примечания. Поскольку С – обозначение неопределенной постоянной, а
2С тоже неопределенная постоянная, то в записи общего интеграла можно заменить 2С на С, что называется переобозначением неопределенной постоянной.
Можно также переобозначить постоянную как ln|C|, тогда общий интеграл бу-




y2
 ln 1 e x  ln | C | ln C 1 e x
дет иметь вид:
2
x
Общее решение имеет вид: y   2 ln1  e   C
II.Теперь найдем частный интеграл и частное решение ДУ, удовлетворяющие начальному условию y0  1, т.е. определим значение C при x  0, y  1
.Используя общий интеграл (в данном случае он проще), получаем


1  2 ln 1  e0  C  1  2 ln 2  C  C  1  2 ln 2
Подставив найденное значение C в общие выражения, получим частный
интеграл и частное решение данного ДУ:


y 2  2 ln 1 e x 1 2 ln 2 и y  2 ln 1  e x 1  2 ln 2 .
При извлечении корня учтено, что из начального условия следует y  0 (т. к.
y0  1), поэтому перед корнем берем знак плюс.
Дифференциальная форма ДУПП x, ydx  x, y dy будет уравнением с разделяющимися переменными, если коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y :
1 x2 ydx  1 x2 ydy
(4.1)
Путем деления на произведение 2 y  1 x оно приводится к уравнению с разделенными переменными и общему интегралу ДУ:
2  y
 x
dy  1 dx
2  y 
1 x

1  y
1 x
dy

 2 y  2 x dx  C .
Пример 62. Найти общее решение ДУ xy dx  x dy  xy dy  2 y dx .
Решение. Перенесем слагаемые с dx в одну сторону, ас dy в другую, и запишем данное уравнение в виде (4.1)
x y 1dy  y x  2dx
Разделив обе части равенства на произведение ху, получим уравнение с
разделенными переменными
44
 1
y 1
x2
 2
dy 
dx или 1   dy  1   dx .
y
x
 x
 y
Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл ДУ
 1
 2
 1 y  dy   1 x  dx  С  y  ln y  x  2 ln x  C .
Нахождение общего решения в аналитической форме здесь невозможно.
4.2.2. Однородные дифференциальные уравнения
Функция f x, y называется однородной функцией своих аргументов измерения n , если справедливо тождество f x, y   f x, y .При n  0 имеем
однородную функцию нулевого измерения f x, y  f x, y .
Дифференциальное уравнение вида y  f x, y называется однородным
относительно x и y , если f x, y есть однородная функция нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде y  f  y / x .
С помощью подстановки u  y / x или y = ux однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
n


Пример 63. Найти общее решение ДУ x  y y  xy .
Решение. Видно, что это не уравнение с разделяющимися переменными,
2
2
т.к. множитель x  y зависит и от х, и от у. Выразим производную:

2
2

y 
xy
x2  y 2
 f ( x, y) 
xy
x2  y 2
Проверим функцию f x, y на однородность.
x  y
2 xy
xy
f (x, y) 

 2
 f ( x, y)
2
2
2
2
2
x  y  x  y x  y 2


Вывод: f x, y является однородной функцией нулевого измерения, а ДУ является однородным. Производим подстановку u  y / x илиy = ux, y = ux + u.
y 
xy
x  y2
2
 ux  u 
x  ux
x 2  ux2
u
u  u  u3
u3
 ux 
u 

1  u2
1  u2
1  u2
 ux  u 
u
1  u2

du
u3

x
dx
1  u2
Разделяем переменные и находим общий интеграл ДУ:
du
u3
1 u 2
dx
1
dx
x

du 
  u 3  dy    ln C 
2
3
dx
x
u
x
1 u
u
2
u
1

 ln u  ln x  ln C   2  ln u  ln x  ln C  ln Cux
2
2u
45
Здесь использовано переобозначение постоянной как ln|C|. Подставляем
u  y / x , и получаем окончательный вид общего интеграла ДУ:
1
1
y
x2
 2  ln Cux  
 ln C   x   2  ln Cy
2u
x
2y
2 y / x2
4.2.3. Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
y  pxy  qx
называется линейным(ЛДУ), т.к.yи yвходят в первой степени и не перемножаются между собой. Здесь px и qx - непрерывные функции. Уравнение
y  pxy  0 называется линейным без правой части или линейным однородным (ЛОДУ). Соответственно уравнение с qx называют также неоднородным
ЛДУ. ЛОДУ является уравнением с разделяющимися переменными. Укажем
два метода решения линейного уравнения.
I. Метод Бернулли
Будем искать функцию y в виде произведения двух вспомогательных неизвестных функцийu(x) иv(x), т.е. положим y = uv, тогда y  u  v  u  v
y  py  q  u  v  u  v  puv  q  uv  u  v  pv  q .(4.2)
Так как y есть произведение двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая же должна определяться уравнением(4.2).
Выберем v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в
нуль, т.е. v  pv  0 . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решив
его, находим v(x), причем нас устраивает любое частное решение. Поэтому для
простоты положим C  0 .Для найденного v(x) решаем уравнение(4.2), которое
тоже теперь будет уравнением с разделяющимися переменными uv( x)  q( x) .
Из него находим общее решение u(x, С) и записываем ответ.
y(х)  ux, С  vx .
II. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
Сначала решается однородное уравнение y  pxy  0
Это уравнение с разделяющимися переменными и поэтому, разделив пе (x )
ременные, получим общее решение вида y  C  e :
dy
dy
  px dx     px dx  C  ln y   px dx  C 
y
y
 p  x dxC
 p  x dx
 p  x dx
 ye 
 ye 
 eC  y  Ce 
 C  e ( x)
Здесь произведено переобозначение постоянной С = еС.
46
Решение исходного уравнения y  pxy  qx ищем в том же виде
y  C  e (x) , полагая теперь, что С не постоянная, а некоторая неизвестная
функция С(х).Это и называется вариацией произвольной постоянной. Подста ( x)
вив y  C( x)  e в уравнение найдем С(х).
Пример 64. Найти общее решение ЛДУ x y  y  2x e .
Решение. Поделив уравнение на х2, приведем его к стандартному виду
y  x 2 y  2xe1/ x .
(4.3)
I. Метод Бернулли. Положим y = uv, тогда y  u  v  u  v и получим
2
3 1/ x


u  v  u  v  x2uv  2xe1/ x  uv  u  v  x2v  2xe1/ x .
(4.4)
Выберем v(x) так, чтобы v  x v  0 . Разделяем переменные, находим v(x):
dv
dv
dv
v  x 2v  0 
  x 2 v 
  x 2 dx     x 2 dx 
dx
v
v
1
 ln v  x 1  C  , C  0  v  e1/ x
x
Подставим значение v  e1/ x в уравнение (4.4). Найдем u(x):
2
ue1/ x  2xe1/ x  u  2x  u   2xdx  x 2  C
Окончательно общим решением данного уравнения будет
y  u  v  e1/ x x 2  C .


II. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
Сначала решается однородное уравнение
dy
dy
dy
y   x 2 y  0 
  x 2 y 
  x 2 dx     x 2 dx 
dx
y
y
1
 ln y  x 1  C   C  y  e1/ xC  e1/ x eC  y  Ce1/ x
x
2
1/ x
Решение исходного уравнения y  x y  2xe ищем в том же виде, полагая теперь, что С не постоянная, а некоторая неизвестная функция С(х), т.е.
y  C( x)e1/ x . Подставив это в уравнение (4.3)находим С(х).

y  x 2 y  2xe1/ x  C( x)e1/ x  x 2C( x)e1/ x  2xe1/ x 
Ce1/ x  Ce1/ x  x 2  x 2C( x)e1/ x  2xe1/ x  Ce1/ x  2xe1/ x 




 C  2x  C( x)   2xdx  x 2  C1
Окончательно общим решением данного ДУ будет


y  C( x)e1/ x  e1/ x x2  C .
Здесь использовано переобозначение постоянной C1 = C.
47
4.3. Дифференциальные уравнения второго порядка (ДУВП)
Fx, y, y, y  0
Общее решение ДУВП зависит от двух произвольных постоянных
y  x,C1, C2  .Начальных условий тоже два: для значения функции y(x0) = y0 и
для значения первой производной yx0   y0 .
4.3.1. Неполные ДУВП, допускающие понижение порядка
I. Уравнение не содержит искомой функцииy Fx, y, y  0 .
Порядок такого уравнения можно понизить до первого заменой:
y( x)  zx, тогда y  z и уравнение примет вид: Fx, z, z  0 . Из него находят
zx , а затем из уравнения y( x)  zx общее решение ДУВП.
Пример 65. Найти общее решение ДУ x y  x y  1
Решение. Это уравнение не содержит искомой функции y. Положим
y( x)  zx, тогда y  z и получим линейное дифференциальное уравнение
первого порядка относительно неизвестной функции zx :
3
2
x3 y  x 2 y  1  x3 z  x 2 z  1  z  x 1 z  x3
Решим его методом Бернулли. Положим z = uv, тогда z  u  v  u  v и


u  v  u  v  x 1uv  x 3  uv  u  v  x 1v  x 3 .
(4.5)
1
Выберем v(x) так, чтобы v  x v  0 . Разделяем переменные, находим v(x):
dv
v
dv
dx
dv
dx



   

dx
x
v
x
v
x
 ln v   ln x  C   ln x , C  0  ln v   ln x 1  v  x 1
v  x 1v  0 
Подставим значение v  x 1 в уравнение (4.5). Найдем u(x):
ux 1  x 3  u  x 2  u   x 2 dx  x 1  C1 .
Окончательно общим решением данного уравнения будет
z  u  v   x 1  C x 1  C1 x 1  x 2 .
Теперь находим y(x) :
y( x)  zx  y  C1 x 1  x 2  y   C1 x 1  x 2 dx


1
Окончательно общее решение ДУ: y  C1 ln | x |  x  C2 .
II. Уравнение не содержит независимую переменную х F y, y, y  0
Порядок такого уравнения можно понизить до первого заменой:
y(x)  dy / dx  z y.Обратите внимание, zрассматривается как неизвестная
функция от y . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем
48

dz 
dz dz dy dz
    z и уравнение примет вид: F  y, z,   0 . Из него нахоdy 
dx dy dx dy

дят z y , а затем из уравнения y(x)  z y общее решение ДУ.
y 
Пример 66. Найти общее решение ДУВП  y 1y  2 y .
Решение. Данное уравнение не содержит независимой переменной x .
Положим y(x)  z y, y  dz / dy  y и получим ДУ первого порядка с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции zx . Решаем:
 y  1 dz z  2z 2  dz  2dy   dz  2 dy 
dy
z y 1
z
y 1
.
2
2
 ln | z | 2 ln y  1  ln C1  ln | z | ln C1  y  1  z  C1  y  1
2
Теперь находим y(x) , также разделяя переменные:
dy
dy
y( x)  z y  
 C1  y  12 
 C dx 
dx
 y  12 1
dy
1
1
 
 C1  dx  
 C1 x  C2  y  1 
2
y 1
C1 x  C2
 y  1
Полученное выражение для y есть общее решение данного ДУ.
4.3.2. Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение второго порядка вида
y  p  y  q  y  f x
называется линейным неоднородным с постоянными коэффициентами
(ЛНДУ), т.к. y, yиy входят в первой степени и не перемножаются между собой, аpиq– числа (постоянные коэффициенты). Функцию f x называют правой
частью, соответственно и уравнение также называют линейным с правой частью (неоднородным). Уравнение y  p  y  q  y  0 называется линейным
без правой части или линейным однородным (ЛОДУ).
I. Решение однородного уравнения
y  p  y  q  y  0
Для нахождения общего решения этого уравнения составляют так называемое характеристическое уравнение, заменяя производные искомой функции на  в степени, равной порядку производной (т.е. y заменяем на 2,yна).
Саму функцию у заменяют на 1. Получаем:
2  p  q  0.
При решении этого квадратного уравнения возможны три случая, в каждом из которых записывается общее решение в соответствии с таблицей:
49
Дискриминант
D0
D0
D0
Корни характеристического урав- Общее решение однородного
нения
уравнения
Действительные различные 1  2 y  C1e1x  C2e2x
Действительные равные 1  2
Комплексные сопряженные
1     i, 2     i
y  e1x C1  C2 x
y  ex C1 cos x  C2 sin x
Запомните. В случае двух различных корней кратность каждого корня
равна s = 1, в случае равных корней (D = 0) кратность корня равна s = 2.
Пример 67. Решить задачу Коши y  7 y  6 y  0, y(0)  5, y(0)  15.
Решение. Решить задачу Коши означает найти частное решение ДУ,
удовлетворяющее начальным условиям. Найдем общее решение дифференциального уравнения. Составим характеристическое уравнение 2  7  6  0 и
решим его: D  0, 1  1, 2  6 . Следовательно, в соответствии с таблицей общее решение имеет вид: y  C1e  C2e .
Поскольку в начальные условия входит значение производной, найдем
x
6x
x
6x
производную найденного решения: y  (C1e  C2e )  C1e  C2 6e .
Записываем начальные условия:
C1  3
 y(0)  C1e0  C2e60  C1  C2  5


0
60
C2  2
 y(0)  C1e  C2 6e  C1  6C2  15
Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
x
6x
y  3e x  2e6 x
Пример 68. Найти общее решение ДУВП y  4 y 13y  0 .
Решение. Найдем общее решение ДУ. Составим и решим характеристическое уравнение 2  4  13  0 . D  16  4 13  36  0 , находим корни:
4   36 4   1  36 4  36   1 4  6i
1,2 



 2  3i .
2
2
2
2
Здесьi– мнимая единица ( i  1, i 2  1).
Таким образом, имеем третий случай из таблицы с   2,   3. Общее
2x
решение ДУ имеет вид: y  e C1 cos3x  C2 sin 3x .
II. Решение неоднородного уравнения
y  p  y  q  y  f x
Справедлива теорема о структуре общего решения ЛНДУ:
Общее решение ЛНДУ представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (yoo) и произвольного частного решения неоднородного уравнения (yчн): y  yoo  yчн .
50
Нахождение yoo рассмотрено выше. Здесь остановимся на поиске частного
решения ЛНДУ. В общем случае может быть применен метод вариации произвольных постоянных в yoo.Однако для правых частей специального вида
f x  ex Pn xcos x  Qm xsin x ,
где Pn x и Qm x - многочлены степени n и m , частное решение ЛНДУ находится значительно проще. В этом случае частное решение неоднородного
уравнения ищется в подобном f x виде
yчн  x s  ex  Ak xcos x  Bk xsin x,
где Ak x и Bk x - полные многочлены k - ой степени с неопределенными коэффициентами k  maxn, m , аsопределяется следующим образом. Если
   i является корнем характеристического уравнения, тоsравно кратности
этого корня, если    i не является корнем характеристического уравнения,
s
то s  0 . (т.е. множитель x в yчн отсутствует).
Примечания. Если f x не содержит ex , то считается  = 0, и частное
решение тоже не содержит ex . Если f x не содержит тригонометрических
функций, то считается  = 0, и частное решение тоже их не содержит. Термин
полный многочлен означает, что многочлен содержит все степени х. Например,
если в f x наивысшая степень х2, то независимо от того, есть ли другие слагаемые, имеем k  2 и A2 x  a2 x2  a1 x  a0 , B2 x  b2 x2  b1x  b0 , где
a2 , a1 , a0 , b2 , b1 , b0 – неопределенные коэффициенты, которые нужно найти,
подставляя yчн в исходное ЛНДУ и применяя метод неопределенных коэффициентов. Таким образом, задача поиска yчн сводится к нахождению значений неопределенных коэффициентов. В таблице приведены виды yчн для основных
случаев.
f x
Корни характеристического уравнения (ХУ)
Число  не является корнем ХУ,s = 0
ex  Pn x
Число  является корнем
ХУ кратности s
x
e [ Pn xcos x  Числа    i не являются
корнями ХУ,s = 0
 Qm sin x]
Числа    i являются
корнями ХУ,s = 1
Вид частного решения yчн
ex  An x
xs  ex  An x
ex  Ak xcosx  Bk sin x
x  ex [ Ak xcosx  Bk sin x]
x
Пример 67. Найти общее решение ЛНДУ y  2 y  y  e .
51
Решение. Общее решение ЛНДУ есть сумма y  yoo  yчн общего решения соответствующего ЛОДУ ( yoo ) и частного решения ЛНДУ ( yчн ).
I.Найдем общее решение ЛОДУ y  2 y  y  0 . Составим и решим характеристическое уравнение: 2  2  1  0 , D  0, 1  2  1 . Следовательно,
общее решение имеет вид: yoo  e
x
C1  C2 x .
x
II. Найдем частное решение ЛНДУ для правой части f ( x)  e специаль-
x
ного вида. Здесь правая часть имеет вид f ( x)  e  Pn x, где  = –1, P0 x  1
– многочлен степени 0 (n = 0). Число  = –1, является корнем характеристического уравнения кратности s = 2, A0 x  a0 , следовательно,
yчн  xs  ex  An x  x2ex a0 .
Найдем неопределенный коэффициент a0 , подставив yчн в исходное
ЛДНУ. Предварительно вычислим производные.
( yчн )  (a0 x 2e x )  a0 2xe x  x 2e x  a0e x 2x  x 2 ,



( y )  a  e 2x  x   e 2  2x  a e x  4x  2.
y  2 y  y  a e x  4x  2 2a e 2x  x  a x e  e
a e x  4x  2  4x  2x  x   e
 a e 2e

x
чн

x
2
x
0
x
x
2
0
x
2
2
0
2 x
2
0
2
2
0
x
x
0
x
0
x
,
a0  0,5.
2 x
Итак, частное решение ЛДНУ имеет вид yчн  0,5x e .
III.Запишем общее решение ЛНДУ y  yoo  yчн  e x C1  C2 x  0,5x2e x .
Пример 68. Найти общее решение ЛНДУ y  y  2 y  x  sin x.
Решение. I.Найдем общее решение ЛОДУ y  y  2 y  0. Составим и
решим характеристическое уравнение 2    2  0 , D  0, 1  1, 2  2 . Обx
щее решение имеет вид: yоо  C1e  C2e .
II. Найдем частное решение ЛНДУ для правой части специального вида
f ( x)  x  sin x  0  cos x  x  sin x . Т.е. f (x)  ex [Pn xcosx  Qm sin x] , где  =
0,  = 1, P0 x  0 – многочлен степени 0 (n=0), Q1 x  x – многочлен степени 1
2x
(m=1).Значит, yчн  xs  ex  Ak xcos x  Bk xsin x.
Здесь k  maxn, m  1, и A1 x  a1 x  a0 , B1 x  b1 x  b0 , где a1 , a0 , b1 , b0 –
неопределенные коэффициенты. Число    i  0  1 i  i не является корнем
характеристического уравнения, следовательно,s = 0, и окончательно:
yчн  a1 x  a0 cos x  b1 x  b0 sin x .
Найдем неопределенные коэффициенты, подставив yчн в исходное
ЛНДУ. Предварительно вычислим производные.
52
( yчн )  a1 cos x  a1 x  a0 sin x  b1 sin x  b1 x  b0  cos x 
 b1  a1 x  a0 sin x  b1 x  b0  a1  cos x,
( yчн )  a1 sin x  b1  a1 x  a0  cos x  b1 cos x  b1 x  b0  a1 sin x 
 2b1  a1 x  a0  cos x  b1 x  b0  2a1 sin x.
Подставляем и сгруппируем слагаемые по cosx и sin x , получим:
y  y  2 y  2b1  a1 x  a0 cos x  b1 x  b0  2a1 sin x  [b1  a1 x  a0 sin x 
 b1 x  b0  a1 cos x]  2[a1 x  a0 cos x  b1 x  b0 sin x]  x  sin x;
или
 3a1 x  b1 x  2b1  b0  a1  3a0 cos x  a1 x  3b1x  2a1  a0  b1  3b0 sin x 
 0  cos x  x  sin x;
Приравниваем коэффициенты при cosx и sin x справа и слева:
 3a1  b1 x  2b1  b0  a1  3a0  0  0  x  0

 a1  3b1 x  2a1  a0  b1  3b0  x  1 x  0
Если многочлены равны, то равны и их коэффициенты при одинаковых
степенях x . Приравниваем коэффициенты слева и справа в каждом равенстве.
Получаем систему относительно де a1 , a0 , b1 , b0 :
 3a1  b1   0
 2b  b  a  3a  0
11
1
1
3
 1 0 1
0
 a0   , a1  , b0   , b1   . .

50
10
25
10
a1  3b1  1
 2a1  a0  b1  3b0  0
11 
1
1
 3
Частное решение ЛНДУ имеет вид: yчн   x   cos x    x   sin x.
50 
25 
 10
 10
Общее решение ЛНДУ имеет вид:
11 
1
1
 3
y  yоо  yчн  C1e  x  C2 e 2 x   x   cos x    x   sin x.
50 
25 
 10
 10
4.4. Системы дифференциальных уравнений
Будем рассматривать системы ДУ (СДУ) первого порядка. СДУ называется нормальной, если ее уравнения имеют вид:
yi  fi (t, y1 , y2 ,..., yn ).
Здесь t – независимая переменная, yi(t) –искомые функции, yi  dyi / dt , i = 1,
2,…,n, n– количество искомых функций (уравнений).
Решением
СДУ
называется
набор
из
nфункцийy1(t),y2(t),…,
yn(t),обращающих все уравнения системы в тождество. Общее решение системы
содержит nпроизвольных постоянных C1 , C2 ,…, C n .Задача Коши для СДУ со-
53
стоит в том, чтобы найти такое решение, которое при t  t 0 принимало бы заданные значения (начальные условия) y1 t0   y10 , y2 t0   y20 ,..., yn t0   yn0 .
Нормальная СДУ называется линейной, если ее уравнения имеют вид:
yi  ai1 t y1  ai 2 t y2  ...  ain t yn  bi t .
Линейная СДУ называется однородной, если b1 (t )  b2 (t )  ...  bn (t )  0.
В ряде случаев для решения СДУ может быть использован метод исключения неизвестных, сводящий систему к одному ДУn –го порядка. Если метод
исключения применяется к линейной системе, то получается линейное ДУ.
Далее будем рассматривать однородную линейную СДУ с постоянными
коэффициентами ( aij  const )с двумя неизвестными функциями.
 y1  a11y1  a12 y2

 y2  a21y1  a22 y2
Ее общее решение содержит две произвольные постоянные C1 и C2 и геометрически определяет линию (интегральную кривую) на плоскости OY1Y2 . Если аргумент t играет роль времени, то указанная кривая будет служить траекторией точки, движущейся на плоскости OY1Y2 .
Для интегрирования однородных линейных СДУ с постоянными коэффициентами применяется также матричный метод (модифицированный метод Эйлера). В матричной форме СДУ имеет вид:
a 
y 
 y 
a
Y   AY, где Y   1 , Y    1 , A   11 12 .
 y2 
 y2 
 a21 a22 
Пусть 1 и 2– собственные значения матрицы А, которые находятся как
решения характеристического уравнения
a11  
a12
0
a21
a22  
ОбозначимU(u1,u2) и V(v1,v2) собственные векторы матрицы А, отвечающие
собственным значениям 1 и 2. Их координаты есть решения систем
a11  1  u1  a12u2  0 a11  2  v1  a12v2  0
, 

a21u1  a22  1  u2  0 a21v1  a22  2  v2  0
Заметим, что определитель этих однородных алгебраических систем равен нулю в силу характеристического уравнения, поэтому они имеют бесконечное
множество решений. Можно взять любое из них. Тогда общее решение СДУ
для действительных12может быть записано в виде:
Y  С1Ue1t  С2Ve2t
или y1  С1u1e1t  С2v1e2t , y2  С1u2e1t  С2v2e2t .
x  x  3 y
Пример 69. Найти общее решение СДУ  
y  x  y
54
Здесь для упрощения записи искомые функции обозначены разными буквами,
т.е. y1x, y2y, независимая переменная по-прежнему t, '  d dt  .
I.Используем метод исключения неизвестных, сводящий СДУ к линейному ДУ второго порядка для неизвестной функции у(t). Для этого дифференцируем уравнение для y и подставим в него выражение для х( x  x  3y ) из
первого уравнения, а затем выражение для х ( x  y  y ) из второго:
 y  x  y
 y  x  y  y  x  3 y  y  y  y  y  3 y  y
Окончательно получаем ЛОДУ с постоянными коэффициентами
y  4 y  0
Составим характеристическое уравнение, решим и запишем общее решение
2  4  0  1  2, 2  2  y  C1e2t  C2e2t



x  y  y  C1e2t  C2e2t  C1e2t  C2e2t  C1e2t  3C2e2t
II.Используем матричный метод(метод Эйлера).
Составим характеристическое уравнение
1  3
 1    1     1 3  2  4  0  1  2, 2  2 .
1 1  
Найдем собственный вектор U(u1,u2) матрицы А, отвечающий собственному значению 1 = –2 :
 1  1  u1  3u2  0
3 u  3u2  0
 u u  0
  1
  1 2

1u1   1  1  u2  0
 u1  u2  0
 u1  u2  0
Получили систему, имеющую бесчисленное множество решений. Для получения одного выразимu2 черезu1:u2=–u1 и положим u1 = –1, тогдаu2 = 1.
Найдем собственный вектор V(v1,v2) матрицы А, отвечающий собственному значению 2 =2 :
 1  2  v1  3v2  0
 v  3v2  0
 v  3v2  0
  1
  1

1v1   1  2  v2  0
 v1  3 v2  0
v1  3 v2  0
Получили систему, имеющую бесчисленное множество решений. Для получения одного выразимv1 черезv2:v1=3v2 и положим v2 = 1, тогдаv1 = 3.
Тогда общее решение СДУ может быть записано в виде:
x  С1u1e1t  С2v1e2t , y  С1u2e1t  С2v2e2t
x  С1e2t  3С2e2t , y  С1e2t  С2e2t .
55
5. РЯДЫ
5.1. Числовые ряды
Пусть u1 , u2 ,...,un ,... члены бесконечной числовой последовательности,
т.е. числа, вычисляемые по некоторой функции un  f (n) . Сумма

u1  u2  ...  un  ...   un называется числовым рядом, сами числа u1 , u2 ,...
n1
членами ряда, а un  f (n) – общим членом ряда.
Пример 70. Формула (общий член) un 
n
определяет числовую по3n  1
следовательность u1  1/ 2, u2  2 / 5, u3  3 / 8,... (значения получаем, подставляя в
формулу n = 1, 2, 3,…) и, соответственно, ряд:

n
1 2 3
n
    ... 
 ...

2 5 8
3n  1
n1 3n  1
Сумму первых n членов ряда S n  u1  u2  ... un называют частичной
суммой ряда. Ряд называется сходящимся, если частичная сумма при n
стремится к конечному пределу S, т.е. lim S n  S . Число S называют суммой
n

ряда. Часто пишут S   un . Если частичная сумма при n не стремится к
n1
конечному пределу, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
К сходящимся рядам относится, например, ряд, составленный из членов
убывающей геометрической прогрессии (геометрический ряд):
b  bq  bq  ...  bq
2
n1

 ...   bqn1
n1
 q  1.
Из школьного курса известно, что сумма первых n членов геометрической про-
b
1  qn
грессии Sn  b 
и соответственно сумма ряда S  lim Sn 
.
n
1 q
1 q
Свойства рядов
1) Сходимость или расходимость ряда не изменится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Если ряд un сходится и его сумма равна S, то ряд  Cun тоже сходится, и его сумма равна СS. (С – постоянное число, C 0).
3) Если ряды un и  vn сходятся и их суммы равны соответственно S и
, то ряд
(u
n
 vn ) тоже сходится и его сумма равна S + .
56
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на
сходимость и нахождение суммы ряда.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд
u
n
сходится, то
lim un  0 , т.е. общий член un стремится к нулю при n.
n
Важно! Это условие не является достаточным. Например, так называе
1
1 1
1
мый гармонический ряд   1    ...  ... является расходящимся (при2 3
n
n1 n
мер 78), хотя необходимый признак сходимости выполняется lim
n
1
 0.
n
Можно говорить только о том, что если необходимый признак сходимости не выполняется, то ряд точно расходится. Поэтому, как правило, исследование ряда надо начинать с проверки необходимого признака сходимости.

n
Пример 71. Исследовать сходимость ряда 
.
n1 3n  1
un  lim
Решение. Найдем lim
n
n
n
1
1
 lim
  0 – необходимый
3n 1 n 3 1/ n 3
признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Рассмотрим важнейшие достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами. Ряды с отрицательными членами можно получить простым умножением на –1 этих рядов.
u и v причем
unvn, начиная с некоторого n. Тогда из сходимости ряда  v следует сходимость ряда u , а из расходимости u следует расходимость  v .
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
n
n
n
n
n
n
Пример 72. Исследовать на сходимость ряд

1
1
1
1


 ... 
 ...

ln 2 ln 3
ln n
n2 ln n
1
1
 для всех n 2, и известно, что гармонический ряд
ln n n


1
1
расходится, то расходится и ряд 
.

n2 ln n
n1 n

1
Пример 73. Исследовать на сходимость ряд  n .
n1 n2
Решение. Т.к.
57
1
1
1
 n для всех n 1, а ряд  n сходится как убыn
n2
2
2

1
вающая геометрическая прогрессия, то ряд  n тоже сходится.
n1 n2
Решение. Т.к.
Второй (предельный) признак сравнения.
un
u и v . Если существует предел lim v  k ,
где k 0 – число, то ряды u и  v одновременно сходятся или расходятся.
n
.
Пример 74. Исследовать на сходимость ряд 
n 2
Пусть даны два ряда
n
n
n
n
n
n

4
n1
Решение. Сходимость подобных рядов определяют сравнением с рядом

1
v



n
p , сходимость которого известна (см. пример 78). Показатель стеn1
n1 n
пенир определяют, оставив в числителе и знаменателе общего члена un наи
высшие степени n. В данном случае un 
n
n4  2
~
n
1
  vn , т.е. р = 1, и
n4 n
будем сравнивать исходный ряд с гармоническим, который, как известно, рас-
un
n n
1
 lim
 lim
 1 – ненулевое число.
n v
n
n4  2 n 1 2 / n4
n
ходится. Находим lim
Вывод: Заданный ряд и гармонический одновременно расходятся.
u
Признак Даламбера. Если для ряда
n
существует предел
un1
 k , то при k< 1 ряд сходится, а при k> 1 – расходится. Если k = 1, то
n u
n
требуется дополнительное исследование другими методами.

3n
Пример 75. Определить сходимость ряда  n .
n1 4
un1
3n
3(n  1)
3(n  1)4n n  1 1  1 / n 1
un  n ; un1  n1 ; lim
 lim n1


 1
n u
n
4
4
4 3n
4n
4
4
n
Вывод: ряд сходится.
lim

Пример 76. Определить сходимость ряда
2n!  2!4!... 2n!...
n1
Решение. un  (2n)!; un1  2(n  1)!;
u
2n  2!  lim (2n)!2n 12n  2  lim2n 12n  2    1
lim n1  lim
.
n u
n (2n)!
n
n
(2n)!
n
Вывод: ряд расходится.
58
Признак Коши (радикальный признак). Если для ряда
u
n
существу-
n u k
ет предел lim
, то при k< 1 ряд сходится, а при k> 1 ряд расходится.
n
n
n
 2n3  4 
 .
Пример 77. Определить сходимость ряда  3
n1  5n  3 
2n3  4
2  4 / n3 2
n
un  lim 3
 lim
  1.
Решение. lim
n
n 5n  3
n 5  3 / n3
5
Ответ: ряд сходится.

Интегральный признак (Коши). Если f (х) при х 1 – непрерывная по
ложительная, убывающая функция, то ряд
u
n1
n
, где un  f (n) , и несобствен-

ный интеграл
 f ( х)dx одновременно сходятся или расходятся.
1
Пример 78. Определить сходимость ряда

1
1
1
1
 1  p  p  ...  p  ... , р> 0.

p
2
3
n
n1 n
1
1
f ( x)  p при х 1 – непрерывная положительная,
p .
n
x


1
убывающая функция. Рассмотрим несобственный интеграл  f ( х)dx   p dx .
1
1 x
 , p  1

b
1
x  p1 b
b  p1 1  1
p
x dx  lim
 lim

1) р 1.  p dx  lim
, p 1.
b 
b  p  1
b  p  1
x
1
1
1
 p 1

b
b
1
dx
 lim ln x  lim ln b  0   .
2) р = 1.  dx  lim
b  x
b
b
x
1
1
1
Решение. un 
Следовательно, несобственный интеграл и ряд сходятся при р> 1 и расходятся
при р 1. В частности, гармонический ряд (р = 1) – расходится
Знакочередующиеся ряды
Помимо рядов с членами одного знака существуют ряды с членами разного знака, которые называют знакопеременными. Среди них важную роль играют так называемые знакочередующиеся ряды

u1  u2  u3  u4  ...  (1) un  ...   (1) n1 un
n1
n1
un  0.
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница):
59
Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов un
un  0 .
убывают u1  u2  u3  ... , а общий член стремится к нулю lim
n

Любой знакопеременный ряд u1  u2  ...  un  ...  un , сходится, если
n1

сходится ряд u1  u2  ...  un  ...   un . В этом случае ряд
n1

u
n1
n
называется
абсолютно сходящимся (сумма ряда не зависит от перестановки его членов).

Поскольку ряд
u
n1
n
- ряд с положительными членами, то его исследование
проводится на основе вышеизложенных методов.

u
Сходящийся ряд
n1

n
называется условно сходящимся если ряд
u
n1
n
расходится (сумма ряда зависит от перестановки его членов).
Пример 79. Определить сходимость знакочередующегося ряда

 1n1  1  1  1  1  ...  1n1  ...
.

n
2 3 4
n
n1
Решение. Абсолютные величины членов ряда убывают 1 
un  lim
а общий член стремится к нулю lim
n
n

u
1 1 1
   ... ,
2 3 4
1
 0 . В соответствии с признаком
n
1 1 1
 1     ... представляет собой
2 3 4
n1
расходящийся гармонический ряд. Вывод: ряд сходится условно.
Лейбница данный ряд сходится. Ряд
n

Пример 80. Определить сходимость ряда
1
n1
n1

3n
.
4n

Решение. В соответствии с примером 75 ряд  un  
n1

довательно, ряд
1
n1
n1
3n
n сходится, слеn1 4
3n
сходится абсолютно.
4n
5.2. Степенные ряды

Если членами ряда будут не числа, а функции un(х), то ряд
u ( x) назыn1
n
вается функциональным. Функциональный ряд при подстановке конкретного
значения х превращается в числовой ряд, который при одних значениях пере60
менной х может сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению области сходимости
ряда, т.е.совокупности значений переменной х, при которых ряд сходится.
Важным видом функциональных рядов является ряд вида

a0  a1 x  a2 x  ...  an x  ...   an x n ,
2
n
n0
Называемый степенным рядом.
Основным свойством степенных рядов является то, что если степенной
ряд сходится при x = x0 , то он сходится и притом абсолютно для всех x  x0
(теорема Абеля). Следствием теоремы Абеля является то, что для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких,
что x  R (или –R<x<R), ряд абсолютно сходится, а при всех x  R ряд расходится.R называется радиусом сходимости. Интервал (–R, R) называется интервалом сходимости. Если R = 0, то степенной ряд сходится только при х =
0; если R = , то ряд сходится для всех значений х. На концах интервала сходимости в точках х = R сходимость ряда надо исследовать отдельно.
Для отыскания радиуса и интервала сходимости степенных рядов можно
использовать признаки Даламбера или Коши, применяемые к ряду из абсолютных величин членов исходного ряда.
Пример 81. Найти область сходимости степенного ряда

xn
x 2 x3
xn
 x    ...  ...

2 3
n
n1 n
xn
x n1
Решение. Применяем признак Даламбера: un ( x)  , un1 ( x) 
,
n
n 1
un1 ( x)
x n1n
xn
x
lim
 lim
 lim
 lim
x.
n
n u ( x)
n n  1x
n n  1
n 1  1/ n
n
Следовательно, ряд сходится при x  1 (–1<x<1) и расходится при x  1 , R=1.
Определим сходимость на концах интервала сходимости, в точках –1 и 1.
1 1 1
При х = –1 имеем ряд:  1     ... . Этот знакочередующийся ряд сходит2 3 4
ся по признаку Лейбница (см. пример 79).
1 1
1
При х = 1 имеем ряд: 1    ...  ... Это гармонический ряд, он расходится.
2 3
n
Вывод: область сходимости степенного ряда [-1, 1).
Записав условие сходимости ряда в общем виде для un ( x)  an xn , можно
выразить радиус сходимости ряда R через коэффициенты an .
61
un1 ( x)
an1 x n1
a
 lim
 lim n1  x  1 или
Признак сходимости Даламбера lim
n
n u ( x)
n a x
n a
n
n
n
an
an
, следовательно, R  lim
.
n a
n a
n1
n1
x  lim

xn
1
Например, для ряда  из предыдущего примера an  . Получаем
n
n1 n
a
n 1
1
R  lim n  lim
 lim 1   1 , что совпадает с R, полученным там.
n a
n n
n
n
n1
n a .
Аналогично из признака Коши можно получить R  1/ lim
n
n

xn
Пример 82. Найти область сходимости степенного ряда  .
n1 n!
1
1
Решение. an  , an1 
Находим радиус сходимости
(n  1)!
n!
a
(n  1)!
n!(n  1)
R  lim n  lim
 lim
 lim n  1   .
n a
n
n
n
n
!
n
!
n1
Вывод. Данный ряд сходится при любом значении х.
62
Литература
1.
Высшая математика для экономических специальностей: учебник и
практикум / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред.
проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Юрайт, 2011. –909 с.
2.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный
курс. – М.: Айрисс-пресс, 2006.–608 с.
3.
Красс М.С, Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.:
Питер, 2010. – 464 с.
4.
Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под
общ. ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2010. – 656 с.
5.
Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н. Лунгу,
Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 576
с.
6.
Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу и др.,
под ред. С.Н. Федина – М.: Айрис-пресс, 2007. – 592 с.
7.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах.– М.: Оникс, 2008. – 816 с.
63
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Составитель:
Алексей Александрович Понятов
Учебно-методическое пособие
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И Лобачевского».
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина,23
Подписано в печать
. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.
Усл. печ. л. 3,9. Уч.-изд. л.
Заказ №
Тираж
экз.
Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета
им. Н.И. Лобачевского
603600, г. Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37
Лицензия ПД № 18-0099 от 14.05.01.
64
65