Загрузил Valenvlad32

Производная функции

реклама
Занятие 18. Определение производной функции.
Производные основных элементарных функций.
1. Определение производной функции.
2. Таблица производных основных элементарных функций.
3. Правила дифференцирования функций.
Определение производной
Производная функции − одно из основных понятий математики, а в
математическом анализе производная наряду с интегралом занимает
центральное место. Процесс нахождения производной называется
дифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по
известной производной – называется интегрированием.
Производная функции в некоторой точке характеризует скорость
изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить,
вычислив отношение изменения функции Δy к соответствующему изменению
аргумента Δx. В определении производной такое отношение рассматривается в
пределе при условии Δx → 0. Перейдем к более строгой формулировке:
Определение производной
Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит
некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является
дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой.
Для производной используются обозначения:
Для нахождения производной функции f(x) в
определения следует выполнить следующие действия:
точке x0 на
основе
Записать отношение
;
 Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δx;

Найти производную
, вычисляя предел дроби. Если данный предел
существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x = x0.

Таблица производных основных элементарных функций
1. с  0
2. x  1
3.
( x n )  n  x n 1
10) (sin x)  cos x
11) (cos x)   sin x
1
(tg x) 
cos2 x
12)
1
1
( x ) 
2 x
1
 1 
   2
x
5.  x 
x
x
6. (e )  e
4.
7. (a )  a ln a
x
x
(ctg x)  
13)
(arcsin x) 
1  x2
1
(arccos x)  
1  x2
1
(arctg x) 
1  x2
1
(ar cctg x)  
1  x2

u v  v  u v 1  u   u v  ln u  v
14)
15)
16)
(ln x) 
8.
1
x
1
(loga x) 
x ln a
9.
1
sin2 x
1
17)
 
18)
Нахождение производных многих других элементарных функций (более
сложных, не входящих в эту таблицу) осуществляется на основе следующих
правил вычисления производных (правил дифференцирования функций).
Правила дифференцирования функций. Пусть С  R — постоянная, и =
и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.
1. (Си)' =С ∙ u' .
3. (u ∙ v) ' =u' ∙ v + u ∙ v' .
2. (u ± v)' = и' ± v'.

4. uv  u v2uv  .
v

Здесь u=u(x) и ν=ν(x) – любые две дифференцируемые функции, а С –
любая константа.
Пример 1: Вычислить производную функции
Решение:
[Используем второе правило дифференцирования
]
[ Для первого и второго слагаемого следуем применить первое правило
дифференцирования
]
[ для третьего слагаемого используем правило
второго - табличную производную
, для первого и
]
Пример 2:
2
Вычислить производную функции
Решение:
[Используем второе правило дифференцирования
]
[Применим первое правило дифференцирования
[Применим табличную производную
]
]
Пример 3:
Вычислить производную функции
Решение:
[Используем формулу дифференцирования произведения
[Применим табличные производные
и
]
]
Пример 4:
Вычислить производную функции z 
arctg2t
.
1  4t 2
Решение:
3
arctg2t  (arctg2t )(1  4t 2 )  (arctg2t )(1  4t 2 )

z  


2 
(1  4t 2 ) 2
 1  4t 
(2t )
(1  4t 2 )  arctg2t (0  4·2t )
2
2  8t arctg2t
 1  4t

.
2 2
(1  4t )
(1  4t 2 ) 2
Задачи для самостоятельного выполнения
1. Вычислить производные следующих функций:
а) y  3х 2 ;
б) y 
3
д) у  x4  5x2  7 ;
4
1;
x
в) y 
х;
г) у  3 x ;
е) y  х 2  4x  3 .
2. Найти производные следующих степенных функций:
а) у  ( х3 1)(x 2  x 1) ;
x 2 1
б) у 
;
2
x 1
1
в) у  4
;
3
x
7 5
x x
г) у 
;
3
x
д) у  ( х 2 1)(x3  x) ;
3 9
ё) у  x  
;
x x2
е) у  x  ( x5  x  2) ;
4
13 2
ж) у  8  x3 
.

4
3
x
x
3. Найти производные тригонометрических функций:
а)
в)
1  sin x
;
1  sin x
1
у
;
cos x3
у
б) у  sin 2x
г) у 
;
1
.
2
tg 5x
4. Найти производные показательных функций:
а)
у  2  5 x  3e x ;
в)
e x  e x
у
;

x
x
e e
e x 1
б) у 
;
x
e 1
x
x

3
3
).
г) у  3(e  e
5. Вычислить производные следующих функций:
а) y  3x / ln x ;
б) y  cos х  ln x ;
в) y  1  x  3x 2  log2 4;
г) y 
x cos x .
4
Скачать