Занятие 18. Определение производной функции. Производные основных элементарных функций. 1. Определение производной функции. 2. Таблица производных основных элементарных функций. 3. Правила дифференцирования функций. Определение производной Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по известной производной – называется интегрированием. Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции Δy к соответствующему изменению аргумента Δx. В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии Δx → 0. Перейдем к более строгой формулировке: Определение производной Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой. Для производной используются обозначения: Для нахождения производной функции f(x) в определения следует выполнить следующие действия: точке x0 на основе Записать отношение ; Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δx; Найти производную , вычисляя предел дроби. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x = x0. Таблица производных основных элементарных функций 1. с 0 2. x 1 3. ( x n ) n x n 1 10) (sin x) cos x 11) (cos x) sin x 1 (tg x) cos2 x 12) 1 1 ( x ) 2 x 1 1 2 x 5. x x x 6. (e ) e 4. 7. (a ) a ln a x x (ctg x) 13) (arcsin x) 1 x2 1 (arccos x) 1 x2 1 (arctg x) 1 x2 1 (ar cctg x) 1 x2 u v v u v 1 u u v ln u v 14) 15) 16) (ln x) 8. 1 x 1 (loga x) x ln a 9. 1 sin2 x 1 17) 18) Нахождение производных многих других элементарных функций (более сложных, не входящих в эту таблицу) осуществляется на основе следующих правил вычисления производных (правил дифференцирования функций). Правила дифференцирования функций. Пусть С R — постоянная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные. 1. (Си)' =С ∙ u' . 3. (u ∙ v) ' =u' ∙ v + u ∙ v' . 2. (u ± v)' = и' ± v'. 4. uv u v2uv . v Здесь u=u(x) и ν=ν(x) – любые две дифференцируемые функции, а С – любая константа. Пример 1: Вычислить производную функции Решение: [Используем второе правило дифференцирования ] [ Для первого и второго слагаемого следуем применить первое правило дифференцирования ] [ для третьего слагаемого используем правило второго - табличную производную , для первого и ] Пример 2: 2 Вычислить производную функции Решение: [Используем второе правило дифференцирования ] [Применим первое правило дифференцирования [Применим табличную производную ] ] Пример 3: Вычислить производную функции Решение: [Используем формулу дифференцирования произведения [Применим табличные производные и ] ] Пример 4: Вычислить производную функции z arctg2t . 1 4t 2 Решение: 3 arctg2t (arctg2t )(1 4t 2 ) (arctg2t )(1 4t 2 ) z 2 (1 4t 2 ) 2 1 4t (2t ) (1 4t 2 ) arctg2t (0 4·2t ) 2 2 8t arctg2t 1 4t . 2 2 (1 4t ) (1 4t 2 ) 2 Задачи для самостоятельного выполнения 1. Вычислить производные следующих функций: а) y 3х 2 ; б) y 3 д) у x4 5x2 7 ; 4 1; x в) y х; г) у 3 x ; е) y х 2 4x 3 . 2. Найти производные следующих степенных функций: а) у ( х3 1)(x 2 x 1) ; x 2 1 б) у ; 2 x 1 1 в) у 4 ; 3 x 7 5 x x г) у ; 3 x д) у ( х 2 1)(x3 x) ; 3 9 ё) у x ; x x2 е) у x ( x5 x 2) ; 4 13 2 ж) у 8 x3 . 4 3 x x 3. Найти производные тригонометрических функций: а) в) 1 sin x ; 1 sin x 1 у ; cos x3 у б) у sin 2x г) у ; 1 . 2 tg 5x 4. Найти производные показательных функций: а) у 2 5 x 3e x ; в) e x e x у ; x x e e e x 1 б) у ; x e 1 x x 3 3 ). г) у 3(e e 5. Вычислить производные следующих функций: а) y 3x / ln x ; б) y cos х ln x ; в) y 1 x 3x 2 log2 4; г) y x cos x . 4