Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова филиал в г. Ташкенте, кафедра Прикладной математики и информатики УТВЕРЖДАЮ (указать должность) ______________/____________ / «___» ________________20 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Наименование дисциплины (модуля): Дифференциальные уравнения код и наименование дисциплины (модуля) Уровень высшего образования: бакалавриат указывается: бакалавриат, магистратура или специалитет Направление подготовки (специальность): 010400.62 "Прикладная математика и информатика" (код и название направления/специальности) Направленность (профиль) ОПОП: (если дисциплина (модуль) относится к вариативной части программы) Форма обучения: очная очная, очно-заочная Рабочая программа рассмотрена и одобрена Методической комиссией факультета, на заседании кафедры и т.п. (протокол №__________, дата) Ташкент 2020 Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки / специальности «_____________» (программы бакалавриата, магистратуры, реализуемых последовательно по схеме интегрированной подготовки; программы специалитета; программы магистратуры) в редакции приказа МГУ от 30 декабря 2016 г. Год (годы) приема на обучение___________________________ 2 1. Место дисциплины (модуля) в структуре ОПОП ВО: дисциплина Дифференциальные уравнения является базовой частью учебного плана и читается на 3-4 семестре обучения и требует углубленных знаний по всем изученным раннее предметам. 2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля), предварительные условия (если есть):для изучения курса Дифференциальные уравнения необходимо усвоение следующих дисциплин: высшая алгебра, математический анализ, аналитическая геометрия. 3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников. Компетенции выпускников, формируемые (полностью или частично) при реализации дисциплины (модуля): научить формулировать математически и решать аналитическими методами физические и математические проблемы. ПК-1.М: демонстрировать возможности решения задач физики и геометрии с помощью дифференциальных уравнений; иметь высокий уровень знаний по дифференциальным уравнениям, достаточный для понимания и создания математических моделей; получить навыки к ведению исследовательской деятельности (в частности, для написания курсовой и выпускной квалификационной работ) в областях, использующих математические модели процессов и объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, а также к разработке эффективных математических методов решения задач физики, техники, экономики и управления; ОПК-2.М: развитие логического мышления; повышение уровня математической культуры; овладение современным математическим аппаратом, необходимым для изучения естественнонаучных, общепрофессиональных и специальных дисциплин; освоение методов математического моделирования; освоение приемов постановки и решения математических задач. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю): Знать: Основные классические методы интегрирования дифференциальных уравнений первого и высших порядков, разрешенных и неразрешенных, относительно производной, систем дифференциальных уравнений. Теоремы существования и функциональные свойства решений, элементы теории устойчивости, как составлять дифференциальные уравнения различных физических и геометрических задач. Уметь: o применять методы исследования уравнений для решения типовых профессиональных задач; o ориентироваться в справочной математической литературе; o приобретать новые математические знания, используя современные образовательные и информационные технологии; o использовать математическую логику для формирования суждений по профессиональным проблемам. Владеть: o методами построения простейших математических моделей типовых профессиональных задач; o методами анализа содержательной интерпретации полученных результатов. Иметь опыт в выявлении типа дифференциальных уравнений и подборе способов их решения, а также в сведении физических или геометрических задач 3 к дифференциальным уравнениям и их решении. 4. Формат обучения: _очная_______ (отметить, если дисциплина или часть ее реализуется с использованием электронного обучения и (или) дистанционных образовательных технологий) 5. Объем дисциплины (модуля) составляет __6___ з.е., в том числе ___144__ академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 72 академических часа на самостоятельную работу обучающихся. 6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля), В том числе Контактная работа Всего (часы) 4 Самостоятельная работа (работа во взаимодействии с преподавателем) Виды контактной работы, часы Занятия семинарского типа* Тема 1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Частное, общее, особое решение. Тема 2. Уравнение с разделяющимися переменными Однородные уравнения. Тема 3. Обобщенно однородные уравнения и приводящиеся к ним. Тема 4. Линейные уравнения первого порядка, метод Лагранжа. Тема 5. Уравнения Бернулли и Риккати. Тема 6. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель, его свойства. Практическое нахождение интегрирующего множителя. Тема 7 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Тема 8 Уравнения, не разрешенные относительно обучающегося, часы (виды самостоятельной работы – эссе, реферат, контрольная работа и пр. – указываются при необходимости) Занятия лекционного типа* Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю) Всего 4 2 2 4 6 2 2 4 2 8 2 4 6 2 8 2 4 6 2 6 2 2 4 2 12 4 4 8 4 6 2 2 4 2 12 4 4 8 4 5 производной. Методы интегрирования. Особые решения. Первый текущий контроль. Тема 9. Дифференциальные уравнения высших порядков. Нормальные системы. Теорема существования и единственности Тема 10. Типы уравнений п–го порядка, разрешаемые в квадратурах Тема 11. Общая теория линейных дифференциальных уравнений. Определение и общие свойства. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля. Тема 12. Однородные линейное уравнение с постоянными коэффициентами Тема 13. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Применение тригонометрических рядов к нахождению частного решения. Уравнение Эйлера Второй текущий контроль Тема 14. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов. Линейные уравнения второго порядка. Уравнение Бесселя Тема 15. Построение решения краевой задачи с помощью формулы Грина. Существование функции Грина. Тема 16. Задача Штурма-Лиувилля и ее свойства Тема 17. Системы линейных дифференциальных уравнений. Тема 18. Понятие продолжаемости решений. Непрерывная зависимость решений от начальных данных, правой части, параметра. Свойства 8 2 4 6 2 10 2 4 6 4 12 4 4 8 4 6 2 2 4 2 12 4 4 8 4 8 2 4 6 2 8 2 4 6 2 6 2 2 4 2 8 2 4 6 2 12 4 4 8 4 6 дифференцируемости. Тема 19. Устойчивость по Ляпунову. Первый и второй метод Ляпунова. Теорема об устойчивости 12 по первому приближению. Третий текущий контроль Тема 20. Линейное однородное уравнение в частных 8 производных первого порядка Тема 21. Линейные неоднородные уравнения с 8 частными производными первого порядка Тема 22. Функционал и его вариация. Постановка 8 вариационной задачи. Тема 23. Необходимое условие экстремума. 10 Основная лемма вариационного исчисления. Уравнения Эйлера. Тема 24. Многомерные вариационные задачи. Уравнение Эйлер–Остроградского. Вариационные 10 задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа Четвертый текущий контроль Промежуточная аттестация: контрольные 8 карточные работы 216 Итого 4 4 8 4 2 4 6 2 2 4 6 2 2 4 6 2 2 4 6 4 2 4 6 4 8 *Внимание! В таблице должно быть зафиксировано проведение текущего контроля успеваемости, который может быть реализован, например, в рамках занятий семинарского типа. ** Часы, отводимые на проведение промежуточной аттестации, выделяются из часов самостоятельной работы обучающегося 7 7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю) 7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости. Тематика заданий текущего контроля 1) Решение уравнений 1-го порядка. 2) Решение уравнений 1-го порядка неразрешенных относительно производных. 3) Классификация уравнений высших порядков. 4) Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 5) Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 6) Решение вопросов устойчивости по первому приближению. 7) Решение уравнений первого порядка в частных производных. 8) Решение вариационных задач. 7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации. Примерный перечень вопросов для промежуточной аттестации: Дифференциальные уравнения первого порядка. 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. 2. Уравнения, разделенные относительно производной первого порядка. Понятие решения. Постановка задачи Коши. 3. Теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. 4. Дифференциальные уравнения, разделяющимися переменными. 5. Однородные уравнения и уравнения, приводящие к однородным уравнениям. 6. Линейные дифференциальные уравнения. 7. Уравнение Бернулли, понятие особого решения. 8. Уравнение Риккати. 9. Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующие множители. 10. Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Понятие решение и общего решения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. 8 11. Способы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка, неразрешенных относительно производной. 12. Понятие огибающей. Огибающая как особое решение дифференциального уравнения первого порядка. 13. Уравнения Лагранжа и Клеро. Дифференциальные уравнения высокого порядка. 1. Понятие системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы в нормальной форме. 2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения n-го порядка. 3. Дифференциальные уравнения допускающие понижение порядка. 4. Линейные дифференциальные уравнения n- го порядка и их общие свойства. 5. Однородные линейные дифференциальные уравнения n- порядка. 6. Определитель Вронского и его свойства. 7. Формула Остроградского – Лиувилля. Применение формы для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка. 8. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами. 9. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Системы дифференциальных уравнений. 1. Лемма Гронуолла-Белмана. 2. Система линейных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности для линейных систем дифференциальных уравнений. 3. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений. 4. Формула Остроградского – Лиувилля. 9 5. Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений и его свойства. 6. Линейные системы однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 7. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. 8. Системы линейных дифференциальных уравнений в матричной форме. Интегральная формула Коши. 9. Экспонента матрицы. 10. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений в матричной форме. Свойства решений дифференциальных уравнений. 1. Продолжаемость решений. 2. Непрерывная зависимость решений от начальных данных 3. Непрерывная зависимость решений от параметров. 4. Теорема о дифференцируемости решений по начальным данным и параметрам. Автономные системы. 1. Автономные системы. Основное свойство траектории автономной системы. Фазовое состояние автономной системы. Свойства группы решений автономной системы. 2. Классификация особых точек автономных систем. Теория устойчивости. 1. Устойчивость по Ляпунову. Устойчивость решения. Устойчивость и не устойчивость тривиального решения, а также асимптотическая устойчивость. 2. Первый метод Ляпунова. Устойчивость по первому приближению. Краевые задачи. 1. Понятие краевых задач. Их отличие от задачи Коши. 2. Функция Грина. Существование и единственность функции Грина. Свойства функции Грина. 10 3. Понятие собственных функций и собственных чисел. 4. Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка с помощью рядов. Уравнения в частных производных первого порядка. 1. Понятие дифференциальных уравнений в частных производных. Характеристическое уравнение. Понятия решения, общего решения и частного решения. Теорема существования и единственности. Теорема Коши-Ковалевской. 2. Линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. 3. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Основные понятия вариационного исчисления 1. Понятие функционала. Необходимое условие экстремума в задаче с закрепленными концами 2. Достаточные условия Вейерштрасса существования экстремума в задаче с закрепленными концами. 3. Достаточные условия Лежандра существования экстремума в задаче с закрепленными концами. Оценка РО и соответствующие виды оценочных средств Знания (виды оценочных средств: устные и письменные опросы и контрольные работы, тесты, и т.п. ) Умения (виды оценочных ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине 2 3 4 5 Отсутствие знаний Фрагментарные знания Общие, но не структурированные знания Сформированные систематические знания Отсутствие умений В целом успешное, но не систематическое умение В целом успешное, но содержащее отдельные Успешное и систематическое умение 11 средств: практические контрольные задания, написание и защита рефератов на заданную тему и т.п.) Навыки (решения задач) (виды оценочных средств: выполнение и защита курсовой работы, отчет по практике, отчет по НИР и т.п.) пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера) Отсутствие навыков (владений, опыта) Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта) В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач 8. Ресурсное обеспечение: Перечень основной и дополнительной литературы, Основная литература 1. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: учебник. Изд. 4-е. М.: ЛЕНАНД, 2015.-240с. 2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1969. 3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гиз.Физ- мат. литература.1958. 4. Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариаионное исчисление. М.: Наука. 1965. 5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: учебное пособие. изд. 8-е. М.: ЛЕНАНД, 2019-240с. Дополнительная литература 1. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1991. 314 с. 2. Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Минск, “Высшая школа”, 1977. 3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: изд- во Моск. Ун-та. 1984. 4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987. 5. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука.1980. 6. Самойленко А.М. и др. Дифференциальные уравнения. М., 1989. 384 с. 7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1967. 565 с. 12 8. Амелькин В.В. Дифференциальное уравнение в приложениях. М.: Наука. 1987. 9. Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инж.тех задач. М.: Изд. министерства просвещения РСФСР, 1962 Перечень лицензионного программного обеспечения (при необходимости) Перечень профессиональных баз данных и информационных справочных систем Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» (при необходимости) сайт университета www.isu.ru, электронные библиотеки www.lib.homelinex.org/math, www.eknigu.com/lib/Mathematics/, www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC, www.elibrary.ru. Описание материально-технического обеспечения. В учебном процессе используются стандартно оборудованные лекционные аудитории для проведения лекций и семинарских занятий, аудитория с мультимедийным оборудованием. 9. Язык преподавания. Русский 10. Преподаватель (преподаватели). кандидат физ.-мат. наук Юлдашева А.В. 11. Автор (авторы) программы. кандидат физ.-мат. наук Юлдашева А.В. 13
