АННОТАЦИЯ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

АННОТАЦИЯ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Направление подготовки 010200.62 математика и компьютерные науки (математическое и компьютерное моделирование)
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Общая трудоемкость дисциплины 288 ч.
1. Цели освоения дисциплины.
Целями освоения дисциплины (модуля) "Дифференциальные уравнения" являются:
1) фундаментальная подготовка в области дифференциальных уравнений;
2) овладение методами решения основных типов дифференциальных уравнений и их
систем;
3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.
Дисциплина «Дифференциальные уравнения» входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части.
Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, линейная алгебра, абстрактная алгебра.
Освоение дисциплины «Дифференциальные уравнения» необходимо при последующем изучении дисциплин «Уравнения в частных производных» («Уравнения математической физики»), «Дифференциальная геометрия и топология» и ряда других.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля): ОК-5, ОК-6, ОК-8, ОК-11, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8,
ПК-9, ПК-10, ПК-11, ПК-12, ПК-15, ПК-16, ПК-19, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-23, ПК-24, ПК25, ПК-27, ПК-29.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) знать: основные понятия теории дифференциальных уравнений, определения и
свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений;
2) уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области дифференциальных уравнений;
3) владеть: математическим аппаратом дифференциальных уравнений, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области.
4. Структура и содержание дисциплины (модуля).
Разделы дисциплины
1. Понятие дифференциального уравнения. Геометрическая интерпретация: расширенное фазовое пространство, поле направлений, интегральные кривые, изоклины. Элементарные методы интегрирования.
2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для систем и
уравнений произвольного порядка. Теорема о продолжении решений. Непрерывная зависимость решений от начальных значений.
3. Общая теория линейных систем и уравнений. Определитель Вронского, формула
Лиувилля – Остроградского. Метод вариации постоянных. Линейные уравнения и системы с
постоянными коэффициентами. Уравнения и системы со специальной правой частью. Экспонента матрицы.
4. Нули решений, теоремы сравнения (Штурма)*. Краевые задачи: теорема об альтернативе, функция Грина, задача Штурма – Лиувилля*.
5. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Критерий устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами. Теорема Ляпунова об устойчивости
по первому приближению. Функция Ляпунова: леммы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости, теорема Четаева о неустойчивости*.
6. Фазовая плоскость. Топология фазовых кривых. Классификация линейных особых
точек на плоскости: узел, седло, фокус, центр предельного цикла, мультипликатор.
7. Дифференцируемость решения по параметру и начальным значениям. Уравнение в
вариациях.
8. Первые интегралы автономной системы. Существование полной системы первых
интегралов.
9. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.
Характеристики. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи
Коши.
Автор: доцент кафедры МАиМ Т.В. Труфанова.