Тема: Дифференциальные уравнения Задание. Решить

advertisement
Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru.
c
МатБюро
— Решение задач по высшей математике
Тема: Дифференциальные уравнения
Задание. Решить уравнение y 2 y 2 − 2xyy + 2y 2 − x2 = 0.
Решение. Разрешаем уравнение относительно y :
√ 2 x2 − y 2
x
±
y =
.
y
Интегрируем эти уравнения:
y dy = (x ±
√ 2 x2 − y 2 ) dx,
√
x dx − y dy
= 2dx,
± x2 − y 2
√
x2 − y 2 = ( 2x + C)2 ,
√
∓ x2 − y 2 = 2x + C,
откуда
√ 2
x + C 2 + y2 = C 2.
Это общий интеграл уравнения, он представляет собой семейство окружностей. Особыми
решениями являются прямые y = x и y = −x (были потеряны при делении на y 2 − x2 ).
1
Download