Практичне робота №1

Практичне робота №1
за темою
Векторний аналіз. Диференціальні оператори, що використовуються в
механіці і фізиці. Теорема Гельмгольца.
Мета роботи: ознайомлення із явним виглядом основних операторів
векторного аналізу та їх застосуванні у механіці суцільного середовища.
Оператор градієнту у декартових прямокутних координатах.
grad   



i
j
k
x
y
z
Дивергенція (=розбіжність) векторного поля у декартових координатах.
divF    F 
Fx Fy Fz


x
y
z
Так, наприклад для поля швидкості, маємо:
divV   V 
Vx Vy Vz


,
x
y
z
V  Vx i  Vy j  Vz k
Ротор векторного поля у декартових координатах
i
rotF    F 
j
k
 F Fy   Fz Fx 
 Fy Fx 
  
 z 
i


j


 

k

x y z
z   x
z 
y 
 y
 x
Fx Fy Fz
2
2
2
Лапласіан або оператор Лапласу
f  2   f 
 f  f  f
 2  2
2
x
y
z
Обернена задача теорії поля:
Щойно ми познайомились із основними операторами. Нагадаємо, що будь яке векторне
поле (= або поле векторної величини) можна представити, згідно із теоремою
Гельмгольца, як векторну суму градієнта деякого потенціального поля і ротора
соліноідального поля:
F   A
 A  0
Так от, обернена задача полягає в тому, що знаючи дивергенцію та ротор деякої
векторної величини, потрібно відтворити (= знайти) саму цю величину.
Стосовно задач механіки рідини та газу, у якості невідомого поля слугує поле швидкості.
Отже, задача зводиться до відшукання поля швидкості за відомими дивергенцією та
ротором цієї швидкості. Звичайно, потрібно враховувати граничні умови задачі.
Завдання додому: повторити тему “ Інтеграл із змінною верхньою межею ”.
Іншими словами, як функція знаходиться за її похідною.
Застосування теорем векторного аналізу (та теоретичної механіки ) до виводу
рівнянь, що описують рух рідини та газу
Застосування формули Остроградського.
1. Рівняння нерозривності.


Нехай зміна густини
за проміжок часу dt є dt . Тоді маса елементу об’єму тіла
t

змінюється на  dtdV , а маса усього тіла на
.
dt  dV
t
V
t
Така кількість рідини повинна протекти за проміжок часу dt крізь тіло. Змінивши
знак, отримаємо кількість рідини, що витікає із назовню. Якщо віднести цю
кількість до одиниці часу, то будемо мати:

Q   dV
t
V
З іншого боку, зміну кількості рідини у даному об’ємі , можна порахувати через потік
цієї рідини крізь поверхню, що її обмежує (поверхневий інтеграл другого роду)
Q   V ds
S n
Перетворивши, за формулою Остроградського, поверхневий інтеграл на об’ємний маємо:

 
  t
V 

+div  V  dV  0

 

Оскільки ця рівність виконується для будь якої під області в межах усієї області, що
розглядається, то із цього випливає диференціальне рівняння
 +div  V   0


t


яке носить назву рівняння нерозривності
2. Основне рівняння руху ідеальної (без урахування в’язкості) рідини.
Нехай на рідину у загальному випадку діють як зовнішні сили, так і внутрішні.
Вважаємо зовнішні сили пропорційні масі, так якщо F -- сила, що діє на одиницю
маси, то на елемент рідини dV  буде діяти сила   dV  F .
Що стосується внутрішніх сил, тобто сил, що діють на виділений із рідини об’єм V
з
боку решти рідини, то ідеальна рідина характеризується саме тим, що ці сили
приводяться до нормального, по відношенню до поверхні, тиску, що напрямлений
усередину тіла (об’єму). Таким чином, на елемент поверхні  dS  діє, проекції котрої на
вісі рівні:
 pdS cos ,
 pdS cos ,
 pdS cos
де cos , cos , cos -- напрямні косинуси зовнішньої нормалі до поверхні.
На все тіло (об’єм) буде діяти сила, що визначається проекціями
  p cos  ds,   p cos  ds,   p cos ds,
S 
S 
S 
Або, якщо знову застосувати формулу Остроградського,
  p dV ,
x
V








  p dV ,
y
V








  p dV ,
z
V








Сила, що приходиться на елемент  dV  рідини, буде мати проекції
 p dV ,  p dV ,  p  dV 
x
y
z
І отже як вектор, представляється у вигляді
 dV  grad  p 
Якщо тепер за
представити прискорення, що відповідає елементу
законом Н’ютона
 dV  a  F    dV  dV  gradp
, то, за другим
 dV 
1
a 

F

gradp

dt



Це і є основне рівняння руху рідини у векторній формі.
Звідки
Завдання: отримати рівняння Ойлера Нав’є-Стокса. В класі.
dV y V y
V y
V y
V y
dVx Vx
Vx
Vx
Vx

Vx
V y
Vz

Vx
V y
Vz
t
x
y
z
dt
t
x
y
z
dt
dVz Vz
V
V
V

Vx z V y z V z z
t
x
y
z
dt
dVx Vx
V
V
V
1 p

V x x V y x V z x  F 
t
x
y
z
dt
x  x
dV y V y
V y
V y
V y
1 p

Vx
V y
V z
F 
t
x
y
z
dt
y  y
dVz Vz
V
V
V
1 p

V x z V y z V z z  F 
t
x
y
z
dt
z  z
Рівняння Ойлера
  2V  2V  2V 

Vx
Vx
Vx
Vx
1 p 
x
x
x
Vx
V y
Vz
F 



t
x
y
z
x  x  x 2 y 2 z 2 




  2V  2V  2V 
V y
V y
V y
V y
y
y
y
1 p 
Vx
V y
V z
F 
 



t
x
y
z
2
y  y  x 2 y 2
z 




(1)
(2)
  2V  2V  2V 
Vz
V
V
V
1 p 
z
z
z
V x z V y z V z z  F 
 

(3)
t
x
y
z
2
2
2
z  z
y
z 
 x









 V   V   V 
 +div  V   0  +div  V      x    y    z   0




t
t


t


x
y
z
(4)
Рівняння (1-4) носять назву рівнянь Нав’є-Стокса і описують рух в’язкої як стисливої,
так і нестисливої рідини.