Тело на поверхности вращающегося конуса

На тіло діють два матеріальних об’єкти – Земля через силу тяжіння 𝑚𝑔 і поверхня
конуса через силу реакції опори 𝑁 і силу тертя 𝐹𝑡 Роздивимось пока задачу в системі
відліку Землі, тобто в нерухомій системі. Щоб тіло не ковзало вниз і равнодійна цих
трьох сил була напрямлена до центра, потрібно, щоб сила тертя була напрямлена
вгору паралельно поверхні.
Силу тертя можна записати як
𝐹𝑡 = 𝜇𝑁
Другий закон Ньютона для тіла буде мати вигляд:
⃗⃗ + 𝐹𝑡
𝑚𝑎⃗ = 𝑚𝑔⃗ + 𝑁
(1)
Спроектуємо це рівняння на вісь 𝑥 , яка напрямлена до ценра кола, по якому
обертається тіло. В результаті одержимо рівняння:
𝑚𝜔2 𝑅 = 𝐹𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑁𝑐𝑜𝑠 𝛼
(2)
Для знаходження сили реакції опори спроектуємо (1) на вісь 𝑦 , напрямлену
вертикально вгору. Вздовж ції осі тіло не рухається за умовою.
0 = 𝑁𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝐹𝑡 cos 𝛼 − 𝑚𝑔
(3)
Виразивши силу тертя як 𝜇𝑁, одержимо
𝑚𝑔 = 𝑁𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝜇𝑁 cos 𝛼
𝑚𝑔 = 𝑁(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝜇 cos 𝛼)
𝑁=
𝑚𝑔
(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝜇 cos 𝛼)
Тепер одержану силу реакції опори підставимо в рівняння (2)
𝑚𝜔2 𝑅 = 𝐹𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑁𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑚𝜔2 𝑅 = 𝜇𝑁𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑁𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑚𝜔2 𝑅 = 𝑁(𝜇𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
𝑚𝜔2 𝑅 =
𝑚𝑔
(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝜇 cos 𝛼)
𝜔2 𝑅 =
(𝜇𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
𝑔(𝜇𝑠𝑖𝑛 𝛼
− 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝜇 cos 𝛼)
𝜔2 𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝜇 cos 𝛼) = 𝑔(𝜇𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
𝜔 𝑅𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝜇𝜔2 𝑅 cos 𝛼 = 𝑔𝜇 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝜇𝜔2 𝑅 cos 𝛼 − 𝑔𝜇 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = −𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝜔2 𝑅𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝜇(𝜔2 𝑅 cos 𝛼 − 𝑔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼) = −𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝜔2 𝑅𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝜇(𝑔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝜔2 𝑅 cos 𝛼) = 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝜔2 𝑅𝑠𝑖𝑛 𝛼
2
𝜇=
𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝜔2 𝑅𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝜔 2 𝑅 cos 𝛼
𝜇=
𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝜔2 𝑅𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝜔 2 𝑅 cos 𝛼
Відповідь1: