4722 f 41 1-kurs-2-semestr-matematicheskii-analiz.-daishev-r-a

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт физики
Р. А. Даишев, А. Ю. Кузнецова,
Р. К. Мухарлямов, С. В. Сушков
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Конспект лекций
II семестр
Учебно-методическое пособие
Казань – 2020
2
УДК 517
Печатается по решению Учебно-методической комиссии
Института физики КФУ
Протокол № ? от ? февраля 2020 г.
Рецензент – д.ф.-м.н., профессор Григорян С. А.
Даишев Р. А., Кузнецова А. Ю., Мухарлямов Р. К.,
Сушков С. В.
Математический анализ. Конспект лекций. II семестр: учебно-методическое пособие / Р. А. Даишев, А. Ю.
Кузнецова, Р. К. Мухарлямов, С. В. Сушков – Казань: Казан.
ун-т, 2020. – 121 с.
Пособие предназначено для студентов института физики
Казанского федерального университета и является методическим обеспечением курсов: Математический анализ, Математика.
c Казанский университет, 2020
c Р. А. Даишев, А. Ю. Кузнецова, Р. К. Мухарлямов, 2020
c С. В. Сушков, 2020
Оглавление
1 Дифференциальное исчисление функций n переменных
1.1 n - мерное декартово пространство . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Окрестности и последовательности точек . . . . . . . . . .
1.3 Функция n переменных. Непрерывность функции n переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Дифференцируемость функции n переменных . . . . . . .
1.6 Дифференцирование сложных функций. Инвариантность
формы первого дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Производные и дифференциалы высших порядков . . . . .
1.8 Формула Тейлора для функции n переменных . . . . . . .
1.9 Понятие неявной функции и теорема существования для
F (x, y) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Обобщение на систему функций, заданных неявно . . . . .
1.11 Система функций, заданных неявно . . . . . . . . . . . . .
1.12 Функциональная зависимость функций . . . . . . . . . . .
2 Геометрические приложения функций многих переменных
2.1 Локальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Условный экстремум. Необходимые условия. Метод Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Достаточные условия для условного экстремума . . . . . .
2.4 Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства кривых на плоскости . . . . . . . . . . . .
2.5 Касательная плоскость к поверхности
F (x, y, z) = 0. Вектор нормали к поверхности . . . . . . .
2.6 Поверхность уровня. Градиент. Производная по направлению
3
5
5
7
10
12
15
19
22
25
27
29
30
31
33
33
35
39
43
47
48
Оглавление
2.7
2.8
Соприкосновение кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Соприкасающаяся окружность . . . . . . . . . . . . . . . .
4
49
51
3 Теория числовых и функциональных рядов
53
3.1 Основные определения теории числовых рядов. Критерий
Коши сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Ряды с положительными членами . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Абсолютно и условно сходящиеся ряды . . . . . . . . . . . 60
3.4 Признаки сходимости рядов, члены которых имеют произвольные знаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Функциональная последовательность и
равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Функциональные ряды и равномерная сходимость функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7 Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
74
3.8 Степенные ряды и их абсолютная сходимость . . . . . . . . 80
3.9 Интервал и радиус сходимости степенного ряда . . . . . . 81
3.10 Равномерная сходимость степенного ряда . . . . . . . . . . 82
3.11 Дифференцирование и интегрирование степенных рядов . 83
3.12 Основные теоремы о разложении функций в степенные ряды 85
3.13 Разложение простейших элементарных функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.14 Некоторые приложения степенных рядов . . . . . . . . . . 90
3.15 Некоторые сведения о периодических
функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.16 Ряд Фурье и коэффициенты ЭйлераФурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.17 Основная теорема о сходимости тригонометрического ряда 98
3.18 Ряд Фурье для чётных и нечётных функций . . . . . . . . 101
3.19 Разложение функций, заданных на сегменте [0, l] в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам . . . . . . 102
3.20 Комплексная форма записи ряда Фурье . . . . . . . . . . 103
3.21 Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.22 Интеграл Фурье в комплексной форме. Интегральное преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Глава 1
Дифференциальное
исчисление функций n
переменных
ЛЕКЦИЯ 23
1.1
n - мерное декартово пространство
Пусть n – натуральное число. Под n- мерным вещественным пространством <n мы будем понимать множество всех упорядоченных наборов
(x1 , x2 , ..., xn ) вещественных чисел xk , k = 1, 2, ..., n. Каждый такой набор будем обозначать так: x = (x1 , x2 , ..., xn ) и называть точкой. В <n
можно ввести структуру векторного пространства, если под суммой элементов x = (x1 , x2 , ..., xn ) и y = (y1 , y2 , ..., yn ) понимать элемент x + y =
(x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ), а под элементом λx (λ – вещественное число)
понимать λx = (λx1 , λx2 , ..., λxn ). Как известно из курса линейной алгебры, в результате мы получили пространство строк (столбцов), элементы
которого называются уже не точкой, а вектором.
Можно построить наглядную модель <2 (или <3 ), аналогичную представлению множества вещественных чисел < в виде числовой прямой.
Для этого на плоскости построим оси oX1 , oX2 и любому элементу (x1 , x2 )
из <2 поставим точку с координатами (x1 , x2 ). Тем самым, между элементами <2 и всеми элементами плоскости установлено взаимно-однозначное
соответствие, поскольку возможно и обратное сопоставление: любой точ5
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
6
ке плоскости можно поставить в соответствие элемент (x1 , x2 ) ∈ <2 . Совершенно аналогично строится модель <3 .
Заметим, что геометрические модели и построения, которые мы проделали, не были нами строго определены. Поэтому те интуитивные модели, которыми мы оперировали, не могут служить средством доказательства. Они лишь облегчают нам восприятие тех или иных результатов.
Введём понятие скалярного произведения векторов x и y из <n . Под
скалярным произведением x = (x1 , x2 , ..., xn ) и y = (y1 , y2 , ..., yn ) мы поn
n
P
P
нимаем число
xk · yk и пишем символ x · y =
xk · yk . Легко видеть,
r=1
r=1
что:
1) x · y = y · x,
2) (x + y) · z = x · z + z · x,
3) (λx) · y = λ(x · y),
4) x2 = x · x > 0, если x 6= 0, и x · x = 0 ⇔ x = 0.
ло
Определение 1. Нормой вектора x = (x1 , x2 , ..., xn ) называется чисq
√
x2 = x21 + x22 + ... + x2n
и обозначается
v
u n
uX
kxk = t
x2 .
k
k=1
Отметим, что в <n можно ввести и другие определения нормы вектора. Например, за норму вектора x = (x1 , x2 , ..., xn ) можно взять число
kxk = max |xk | , k = 1, 2, ..., n.
Определение 2. Расстояние между точками x ∈ <n и y ∈ <n – это
число
v
u n
uX
kx − yk = t
(xk − yk )2
k=1
и обозначается
v
u n
uX
ρ(x, y) = t
(xk − yk )2 .
k=1
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
7
Нетрудно доказать, что:
1) ρ(x, y) > 0 ⇔ x 6= y, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) ρ(x, y) = ρ(y, x),
3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) для всех x, y и z из <n .
Если x и y из <n считать переменными точками, то ρ(x, y) – есть вещественная двухточечная функция и носит название метрической функцией, а пространство <n , в котором задана метрическая функция, называется метрическим пространством. Метрика, введённая выше, носит
название евклидовой метрики, поэтому пространство <n часто в алгебре
называют евклидовым пространством.
1.2
Окрестности и последовательности точек
◦
◦
◦
◦
Определение 1. Пусть x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ <n и ε > 0. ε-окрестностью
◦
точки x называется множество вида
n
o
◦
◦
uε (x) = x − x < ε ,
то есть множество, все точки которого удовлетворяют неравенству
◦
max xk − xk < ε, k = 1, 2, ..., n.
◦
◦
Очевидно, что uε (x) – есть n-мерный куб с центром в точке x и рёбрами длины 2ε. (Множество точек, лежащих на рёбрах и гранях куба не
◦
включаются в рассматриваемую ε- окрестностью точки x .)
◦
Замечание. Иногда за ε-окрестность точки x берут n-мерный шар
◦
◦
x − x < ε, (или ρ(x, x) < ε,) причём, множество точек поверхности (n◦
мерная сфера) не включаются в ε-окрестность точки x .
◦
Определение 2. Пусть множество M ⊂ <n . Точка x ∈ M называется внутренней точкой множества M, если существует такое ε > 0, что
◦
uε (x) ⊂ M.
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
8
Определение 3. Окрестностью u(x) точки x назовём любое множество точек из <n , содержащее точку x как внутреннюю точку. В частности, всякая ε- окрестность точки x – есть её окрестность.
Определение 4. Множество M ⊂ <n называется открытым множеством, если каждая точка этого множества является его внутренней
точкой.
Определение 5. Пусть M ⊂ <n . Множество всех точек x из <n не
принадлежащих множеству M, называется дополнением множества M и
обозначается символом M 0 .
Определение 6. Множество M ⊂ <n называется замкнутым, если
его дополнение M 0 открыто.
◦
Например: M = {x : x − x < a}. Множество M 0 – открыто, следовательно, M – замкнуто.
Определение 7. Множество M ⊂ <n называется ограниченным, если
существует такое r > 0, что M ⊂ Qr = {x : |x| ≤ r}. Иначе говоря,
множество M содержится в кубе с центром в начале координат и ребром,
равным 2r.
Определение 8. Если каждому натуральному числу l поставлена в
(l)
(l) (l)
(l)
соответствие некоторая точка x = (x1 , x2 , ..., xn ) из <n , то говорят, что
(l)
задана последовательность, точек { x } ∈ <n . Каждая отдельная точка
(l)
называется элементом последовательности, { x }. Два элемента последовательности могут совпадать как точки, но их, в качестве элементов
последовательности, необходимо рассматривать как разные элементы.
(l)
Каждая последовательность { x } определяет в <n некоторое множе(l)
Q
ство, которое мы обозначим
= {x, x ∈ { x }}.
(l)
Определение
9. Последовательность точек { x } называется ограниQ
ченной, если
– ограниченное множество.
(l)
Определение 10. Последовательность точек { x } называется сходящейся к точке a = (a1 , a2 , ..., an ), если в каждой окрестности точки
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
9
a содержатся все элементы последовательности, за исключением, может
быть, конечного их числа.
Другими словами, для каждой окрестности uε (a) найдётся такой но(l)
мер L, что для всех номеров l ≥ L, x ∈ uε (a). (Заметим, что номер L за(l)
висит от выбора окрестности uε (a)). В этом случае мы пишем lim x = a.
l→∞
Это же определение можно сформулировать так: для любого ε ≥ 0
(l)
существует номер L(ε) такой, что при l ≥ L выполнится x ∈ uε (a).
(l)
(l) (l)
(l)
Теорема. Пусть x = (x1 , x2 , ..., xn ) – элементы последовательности
(l)
{ x } и a = (a1 , a2 , ..., an ). Для того, чтобы точка a была пределом после(l)
довательности { x } необходимо и достаточно, чтобы
(l)
lim x = ak , k = 1, 2, ..., n.
l→∞ k
(l)
Необходимость. Пусть lim x = a. Зададимся ε > 0, тогда найдётся
l→∞
(l)
номер L(ε) такой, что как только l ≥ L(ε), так сразу x ∈ uε (a), то
(l)
(l)
есть выполнится x −a < ε, или max xk −ak < ε. При этом, тем более
выполнятся неравенства
(l)
(l)
(l)
x1 −a1 < ε, x2 −a2 < ε, ..., xn −an < ε,
что и требовалось доказать.
(l)
Достаточность. Пусть lim xk = ak . Зададимся ε > 0, тогда найl→∞
(l)
дётся номер L1 (ε), что при l ≥ L1 (ε) выполнится x1 −a1 < ε, найдётся
(l)
такой номер L2 (ε), что при l ≥ L2 (ε) выполнится x2 −a2 < ε, и так
далее. Окончательно, найдётся такой номер Ln (ε), что при l ≥ Ln (ε) вы(l)
полнится xn −an < ε. Взяв за L = max(L1 , L2 , ..., Ln ), мы получим, что
при при l ≥ L(ε) все неравенства выполнятся одновременно. Это озна(l)
(l)
чает, что при l ≥ L(ε) выполнится x −a < ε, то есть a = lim x , что и
l→∞
требовалось.
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
10
Очевидно, что данная теорема вопрос об исследовании предела последовательности точек <n сводит к вопросу об исследовании обычного
предела последовательности точек числовой прямой.
Поэтому, на основании этой теоремы, можно утверждать, что
(l)
(l)
(l)
(l)
1. lim ( x ± y ) = lim x ± lim y ,
l→∞
l→∞
(l)
l→∞
(l)
2. lim (λ · x ) = λ · lim x .
l→∞
1.3
l→∞
Функция n переменных. Непрерывность
функции n переменных
Определение 1. Если каждой точке x множества M ⊂ <n однозначdef
но поставлено в соответствие определённое число f (x) ∈ < = < ∪
(−∞, +∞), то говорят, что на множестве M задана функция f со значениями из <.
Множество M называется областью определения функции f. Функцию f называют функцией n переменных и пишут f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ),
если x = (x1 , x2 , ..., xn ). Если для всех точек x ∈ M всегда f (x) ∈ <, то f
называют вещественной функцией n переменных.
Пример. Рассмотрим функцию z = ln(1 − x2 − y 2 ). Функция z – это
функция двух переменных, M = x2 + y 2 < 1 – открытый круг единичного радиуса – есть область определения данной функции, а функция
принимает значения −∞ < z < +∞. График функции можно представить как некоторую поверхность в <3 . Аналогично этому функция
u = f (x1 , x2 , ..., xn ) рассматривается как некоторая гиперповерхность в
n + 1- мерном пространстве <n+1 .
Определение 2. Если для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0,
что как только выполнится условие ||x − a|| < δ, так сразу выполнится
неравенство |f (x) − A| < ε (или, подробнее, |f (x1 , x2 , ..., xn ) − A| < ε), то
говорят, что число A – есть предел функции f (x) при x → a и пишут
lim f (x) = A.
x→a
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
11
Как и в случае одного переменного, имеет место следующая
Теорема. Для того, чтобы число A было пределом функции
f (x1 , x2 , ..., xn ) при x → a необходимо и достаточно, чтобы для любой
(l)
последовательности
к a, последовательность зна( точек { x }, сходящейся
)
(l)
чений функции
(l) (l)
(l)
f = f (x1 , x2 , ..., xn )
сходилась к A.
Доказательство этой теоремы слово в слово повторяет доказательство
теоремы для функции одной переменной, поэтому здесь мы его приводить не будем. Однако ясно, что вследствие этой теоремы все свойства
пределов последовательностей в <n , автоматически переносятся на пределы функций.
Определение 3. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется непре◦
◦
◦
◦
рывной в точке x = (x1 , x2 , ..., xn ), если она определена в этой точке и
◦
◦
◦
◦
lim f (x) = f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ).
◦
x→x
Определение 4. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется непрерывной на множестве M, если она непрерывна в каждой точке этого
множества.
◦
На языке " − δ" пределение непрерывности в точке x функции f (x)
читается так: если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что как
◦
только выполнится условие ||x − x|| < δ, так сразу же выполнится неравенство
◦
◦
◦
f (x1 , x2 , ..., xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn ) < ε.
◦
Если через ∆xk обозначить разность xk − xk = ∆xk и назвать при◦
◦
◦
◦
ращением аргумента в точке x, а ∆u = f (x1 , x2 , ..., xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn )
◦
– полным приращением функции в точке x, то непрерывность функции
◦
f (x) в точке x, будет читаться так: если для любого ε > 0 существует
δ > 0 такое, что как только выполнится условие max |∆xk | < δ, так сразу
k=1,2,...,n
же выполнится неравенство |∆u| < ε.
Теорема. Если f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) и g(x) = g(x1 , x2 , ..., xn ) непре◦
рывны в точке x, то непрерывны также
.
◦
h(x) = f (x) ± g(x), h(x) = f (x) · g(x), h(x) = f (x) g(x), g(x) 6= 0.
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
12
Как мы знаем, непрерывная на сегменте функция одного переменного обладает рядом замечательных свойств: она ограничена, достигает своего наибольшего и наименьшего значения и так далее. Когда же
мы рассматриваем функцию n переменных, являющейся непрерывной на
множестве M, то спрашивается, какое множество в этом случае играет
роль сегмента?
Оказывается, что если множество M ограничено и замкнуто, иными
словами компактно, то непрерывная на нём функция f (x) = f (x1 , ..., xn )
обладает следующими свойствами:
1. Она ограничена на этом множестве, то есть найдётся такое число
K, что |f (x)| ≤ K для любой точки x ∈ M.
2. Она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, то есть
найдётся такая точка x0 ∈ M, что f (x0 ) = sup f (x) (f (x0 ) = inf f (x)).
Определение 5. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется равномерно непрерывной на множестве M (множество M не обязательно
компактно), если ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, что для любых точек x0 и x00
из множества M, удовлетворяющих условию ||x0 − x00 || < δ, имеет место
неравенство |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.
Теорема Кантора. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ), непрерывная на
компактном множестве M, равномерно непрерывна на этом множестве.
1.4
Отображение
Определение 1. Если каждой точке x ∈ M ⊆ <n однозначным образом поставлена в соответствие точка y = F (x) ⊆ <m , то говорят, что
задано отображение F множества M в пространство <m и обозначают
так: F : M → <m . В подробной записи это выглядит так: поскольку
y = (y1 , y2 , ..., ym ), имеем

y1 = f1 (x1 , x2 , ..., xn ),



y2 = f2 (x1 , x2 , ..., xn ),
..................................



ym = fm (x1 , x2 , ..., xn ).
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
13
то есть на множестве M задаётся n функций m переменных. Наоборот,
если задано n функций m переменных, то соответствие
x → F (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fm (x))
определяет некоторое отображение F : M → <m .
Для отображений можно образовать композицию отображений. Пусть
M ⊂ <n , N ⊂ <m , а F : M → <m и G : N → <q – отображения. Если
def
F (M ) ⊂ N, то каждой точке x ∈ M соответствует точка G(F (x)) = (G ◦
q
F )(x). Тем самым определено отображение G ◦ F : M → < , называемое
композицией отображений. В подробной записи это выглядит так:


z1 = h1 (y1 , y2 , ..., ym ),
y1 = f1 (x1 , x2 , ..., xn ),






z2 = h2 (y1 , y2 , ..., ym ),
y2 = f2 (x1 , x2 , ..., xn ),
G:
F :
.................................
...............................






zq = hq (y1 , y2 , ..., ym ),
ym = fm (x1 , x2 , ..., xn ),

z1 = h1 (f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn )),



z2 = h2 (f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn )),
G◦F :
.................................



zq = hq (f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn )).
В частном случае, когда <q = <, то есть когда q = 1, мы получаем
G ◦ F : z = h(f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn )).
В этом случае мы говорим, что задана сложная функция на множестве
M.
Определение 2. Отображение F называется непрерывным в точке
◦
x ∈ M, если в точке x непрерывны функции
◦
f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ... , fm (x1 , x2 , ..., xn ).
◦
Теорема. Если отображение F непрерывно в точке x, а отображе◦
ние G непрерывно в точке F (x), то композиция отображений G ◦ F –
◦
непрерывное отображение в точке x ∈ M. Доказательство этой теоремы очевидно самого построения композиции отображений, приведённого
выше.
В заключение этого раздела рассмотрим один важный и особенно
n
P
простой класс отображений. Пусть fi (x) =
aik xk + bi , где aik и bi
k=1
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
14
– вещественные числа. У матрицы A = (aik ) – n столбцов и m строк.
Кратко это отображение можно записать так: F (x) = A · x + b, если


 
 
a11 a12 ...a1n
x1
b1
a21 a22 ...a2n 
x2 
b2 

 
 
A=
...................  , x = ...  , b = ...  .
an1 an2 ...ann
xn
bn
Такое отображение называется линейным отображением.
Очевидно, что все линейные отображения непрерывны на <n , а композиция линейных отображений – снова линейное отображение.
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
15
ЛЕКЦИЯ 24
1.5
Дифференцируемость функции n переменных
Пусть на множестве M ⊆ <n задана функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) и
◦
◦
◦
◦
◦
точка x = (x1 , x2 , ..., xn ) из множества M. Пусть u(x) – окрестность точки
◦
x.
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Рассмотрим точку x = (x1 , x2 , ..., xk−1 , xk +∆xk , xk+1 , ..., xn ) ∈ u(x).
Разность
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
f (x) − f (x) = f (x1 , x2 , ..., xk−1 , xk +∆xk , xk+1 , ..., xn )−
◦
◦
◦
◦
◦
◦
−f (x1 , x2 , ..., xk−1 , xk , xk+1 , ..., xn )
◦
назовём частным приращением функции f (x) в точке x по аргументу xk
и обозначим ∆xk f.
Определение 1. Предел отношения частного приращения функции
◦
f (x) в точке x к соответствующему приращению аргумента xk , когда
∆xk → 0 произвольным образом, называется частной производной функ◦
∂f
или
ции f (x) по аргументу xk в точке x и обозначается символом ∂x
k
0
символом fxk . Иначе:
lim
∆xk →∞
Пример. z = exy .
∆x k f
∂f
=
= fx0 k .
∆xk
∂xk
∂z
∂z
= y · exy ,
= x · exy .
∂x
∂y
Дадим геометрическую интерпретацию для частной производной в
случае функции двух переменных. Геометрически, функция z = f (x, y) –
это некоторая поверхность в трёхмерном пространстве <3 . Плоскость x =
◦
x – плоскость, параллельная оси OY . Она высекает некоторую кривую
∆yk z
∂z
на нашей поверхности. Тогда lim ∆y
= ∂y
= tg α, где α – это угол
k
∆xk →∞
◦ ◦ ◦
наклона между касательной к этой кривой, проведённой в точке (x, y , z =
◦ ◦
f (x, y )), и прямой, проведённой параллельно оси OY .
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
16
Определение 2. Если аргументы x1 , x2 ,..., xn функции
◦
◦
◦
f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке (x1 , x2 , ..., xn ) имеют приращения ∆x1 ,
◦
◦
∆x2 ,..., ∆xn , не выводящие нас из некоторой окрестности u(x) точки x,
то разность
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
∆f = f (x) − f (x) = f (x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 , ..., xn + ∆xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn )
называется полным приращением функции f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке
◦
◦
◦
(x1 , x2 , ..., xn ).
Определение 3. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется диф◦
◦
◦
ференцируемой в точке (x1 , x2 , ..., xn ), если её полное приращение ∆f
может быть представлено в виде
∆f = A1 ·∆x1 +A2 ·∆x2 +...+An ·∆xn +α1 ·∆x1 +α2 ·∆x2 +...+αn ·∆xn =
=
n
X
Ak ·∆xk +
k=1
n
X
αk ·∆xk ,
k=1
где αk – бесконечно малые функции, зависящие, вообще говоря, от всех
∆xk (k = 1, 2, ..., n), и стремящиеся к нулю, когда все ∆xk стремятся к
нулю, а Ak – постоянные, не зависящие от ∆xk .
◦ ◦
Обозначим ρ(x, x +∆x) =
p
∆x21 + ∆x22 + ... + ∆x2n . Тогда
|α1 ∆x1 + α2 ∆x2 + ... + αn ∆xn | ≤ |α1 | |∆x1 | + |α2 | |∆x2 | + ... |αn | |∆xn | =
|∆x2 |
|∆xn |
|∆x1 |
+ |α2 | ·
+ ... + |αn | ·
ρ ≤ (|α1 |+|α2 |+...+|αn |)ρ.
= |α1 | ·
ρ
ρ
ρ
Отсюда очевидно, что (
n
P
αk ·∆xk ) → 0, когда ρ → 0.
k=1
Теорема 1. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема
◦
◦
◦
в точке (x1 , x2 , ..., xn ), то она имеет частные производные в этой точке,
◦
x)
(
причём ∂f
∂xk = Ak .
Доказательство. Пусть функция функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn )
◦
◦
◦
дифференцируема в точке (x1 , x2 , ..., xn ). Поскольку приращения аргументов произвольны, рассмотрим частный случай, когда ∆x1 6= 0, ∆x2 =
∆x 1 f
=
0, ..., ∆xn = 0. Тогда ∆f = ∆x1 f = A1 ∆x1 + α1 ∆x1 . Отсюда ∆x
1
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
17
∆x1 f
lim
∆x1 →∞ ∆x1
= A1 .
A1 + α1 . Поскольку при ∆x1 → 0 и α1 → 0, получим
С другой стороны,
∆x1 f
lim
∆x1 →∞ ∆x1
◦
=
∂f (x)
∂x1 .
◦
Следовательно,
∂f (x)
∂x1
= A1 . Рас◦
суждая аналогично, покажем, что при любом k выполнено
◦
n
n
P
P
∂f (x)
Таким образом, ∆f =
αk · ∆xk .
∂xk ·∆xk +
k=1
∂f (x)
∂xk
= Ak .
k=1
Теорема 2. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема
◦
◦
◦
в точке (x1 , x2 , ..., xn ), то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Действительно, из определения дифференцируеn
n
P
P
мости ∆f =
Ak ·∆xk +
αk ·∆xk видим, что ∆f → 0, когда все
k=1
k=1
∆xk → 0 одновременно. Иначе говоря, бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.
Итак, если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема в точ◦
◦
◦
ке (x1 , x2 , ..., xn ), то она непрерывна в этой точке и имеет в этой точке
частные производные. Верно ли обратное утверждение? Пусть функция
◦
y = f (x) имеет в точке x частные производные. Дифференцируема ли
◦
эта функция в точке x?
Рассмотрим показательный пример:
xy
2
2 , (x, y) ∈ <\{0, 0}
z = (x +y )
0,
(x, y) = {0, 0}.
Вопрос: как ведёт себя эта функция в точке (x0 , y0 ) = {0, 0}? Видим:
(0+∆x)·0
∂z
∆x z = (0+∆x)
2 +0 = 0, следовательно, ∂x = 0. Аналогично покажем, что
∂z
1
∂y = 0. При ∆x = ∆y, ∆z = 2 . Поскольку для дифференцируемой
◦
2
2
P
P
∂z(x)
функции должно быть выполнено ∆z =
αk · ∆xk , и
∂xk ·∆xk +
k=1
k=1
при стремлении ∆x и ∆y к нулю произвольным образом, ∆z тоже должна
стремиться к нулю, а она явно к нулю не стремится, ясно, что данная
функция в точке (x0 , y0 ) = {0, 0} не дифференцируема. Более того, она
в данной точке даже не непрерывна.
Таким образом, наличие частных производных в точке не гарантирует
дифференцируемости функции в этой точке.
Теорема 3. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) имеет частные про◦
изводные по всем аргументам в окрестности u(x), причём все эти частные
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
18
◦
производные непрерывны в точке x, то функция f (x) дифференцируема
◦
в точке x .
Доказательство. Для простоты проведём доказательство только для
функции двух переменных. Для функции большего числа переменных
доказательство аналогично. Пусть задана функция z = f (x1 , x2 ). Тогда
◦
◦
◦
◦
∆z = f (x1 +∆x1 , x2 +∆x2 ) − f (x1 , x2 ) =
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
= f (x1 +∆x1 , x2 +∆x2 ) − f (x1 , x2 +∆x2 ) + f (x1 , x2 +∆x2 ) − f (x1 , x2 ) =
◦
◦
◦
◦
= fx0 1 (x1 +θ1 ∆x1 , x2 +∆x2 )∆x1 + fx0 2 (x1 , x2 +∆x2 )∆x2 .
Мы можем применить здесь формулу конечных приращений Лагранжа,
так как по условию теоремы все частные производные существуют в
◦
окрестности u(x). В силу непрерывности этих частных производных в
◦
точке x, имеем:
◦
◦
◦
◦
fx0 (x1 +θ1 ∆x1 , x2 +∆x2 ) = fx0 1 (x1 , x2 ) + α1 ,
◦
◦
◦
◦
fx0 2 (x1 , x2 +∆x2 ) = fx0 2 (x1 , x2 ) + α2 ,
где α1 и α2 – бесконечно малые функции, которые стремятся к нулю, ко◦
◦
гда стремятся к нулю ∆x1 и ∆x2 . Вследствие этого, ∆z = fx0 1 (x1 , x2 )∆x1 +
◦
◦
fx0 2 (x1 , x2 )∆x2 + α1 ∆x1 + α2 ∆x2 , что и требовалось доказать.
Определение 4. Дифференциалом df функции f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn )
◦
в точке x называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращения аргументов:
df =
n
X
∂f
dxk ,
∂xk
k=1
def
где dxk = ∆xk .
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
1.6
19
Дифференцирование сложных функций.
Инвариантность формы первого дифференциала
Теорема. Пусть функции

x1 = x1 (t1 , t2 , ..., tm )



x2 = x2 (t1 , t2 , ..., tm )
................................


xn = xn (t1 , t2 , ..., tm )
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
дифференцируемы в точке t = (t1 , t2 , ..., tm ), а функция f (x) =
= f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема в точке
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
x = (x1 (t1 , t2 , ..., tm ), x2 (t1 , t2 , ..., tm ), ..., xn (t1 , t2 , ..., tm )).
Тогда сложная функция
f (x(t)) = f (x1 (t1 , t2 , ..., tm ), x2 (t1 , t2 , ..., tm ), ..., xn (t1 , t2 , ..., tm ))
◦
◦
◦
◦
дифференцируема в точке t = (t1 , t2 , ..., tm ) и частные производные равны
n
X
∂f
∂f ∂xk
=
·
.
∂ts
∂xk ∂ts
k=1
Доказательство. Поскольку функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) диф◦
◦
◦
ференцируема в точке (x1 , x2 , ..., xn ), то её полное приращение в этой
◦
n
n
P
P
∂f (x)
точке может быть записано в виде: ∆f =
αk · ∆xk .
∂xk · ∆xk +
k=1
k=1
Поскольку x(t) – тоже дифференцируемые функции, то
∆xk =
m
X
∂xk
s=1
∂ts
· ∆ts +
m
X
βs(k) ·∆ts .
s=1
Подставим:
◦
∆f =
n
X
∂f (x)
k=1
+
n
X
k=1
∂xk
αk
m
X
∂xk
s=1
∂ts
m
X
∂xk
s=1
∂ts
◦
!
∆ts
+
k=1
!
∆ts
n
X
∂f (x)
+
n
X
k=1
αk
m (k)
X
β ∆ts
∂xk
s=1
m (k)
X
β ∆ts
s=1
s
s
!
=
!
+
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
20

◦
n
X
∂f
(
x)
∂x
k

·
· ∆ts +
=
∂x
∂t
k
s
s=1
k=1


!
!
◦
n
m
n
n
(k)
(k)
X
X
X
X
∂f (x) 
∂xk

+
αk
+
αk β  · ∆ts =
β +
∂x
∂ts
s
s
k
s=1
k=1
k=1
k=1


◦
m
m
n
X
X
X
∂x
∂f
(
x)
k


γs · ∆ts .
·
· ∆ts +
=
∂xk
∂ts
s=1
s=1
m
X

k=1
Таким образом, полное приращение сложной функции f (x(t)) имеет
m
m
n
P
P
P
∂f
∂f
∂f
∂xk
вид ∆f =
·∆t
+
=
γ
·∆t
,
где
s
s
s
∂ts
∂ts
∂xk · ∂ts . Это и означает,
s=1
s=1
k=1
◦
что сложная функция f (x(t)) дифференцируема в точке t, а её частные
◦
◦
n
P
x)
∂xk ( t)
∂f
производные в этой точке равны ∂f∂t(s =
·
∂xk
∂ts . Именно это и
k=1
требовалось доказать.
Из определения дифференциала как главной части полного приращения функции, линейной относительно приращения аргументов, следует
что
!
!
m
n
m
n
m
X
X
X
X
X
∂f ∂xk
∂f
∂f ∂xk
df =
·
· ∆ts ≡
·
· dts =
· dts .
∂xk ∂ts
∂xk ∂ts
∂ts
s=1
s=1
s=1
k=1
k=1
С другой стороны
m
n
X
X
∂f ∂xk
df =
·
∂xk ∂ts
s=1
k=1
!
· dts =
n
X
k=1
Но в силу определения дифференциала,
df =
n
P
k=1
!
m
∂f X ∂xk
· dts .
∂xk s=1 ∂ts
m
P
s=1
∂f
∂xk
∂xk
∂ts
· dts = dxk . Поэтому
· dxk , то есть первый дифференциал сохраняет свою форму,
хотя x и не является независимой переменной, а является функцией t:
xk = xk (t1 , t2 , ..., tm ). Таким образом нами доказано свойство инвариантности формы первого дифференциала функции многих переменных.
Это свойство позволяет заключить, что если функции
◦
u = u(x1 , x2 , ..., xn ) и v = v(x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируемы в точке x,
то:
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
21
1. d(c · u) = c · du,
2. d(u ± v) = du ± dv,
3. d(u · v) = u · dv + vdu,
4. d
u
v
=
vdu − udv
, если v 6= 0.
v2
Докажем, например, справедливость третьей формулы. Рассмотрим
функцию ω = u · v двух переменных u и v. Дифференциал этой функции
∂ω
∂ω
∂ω
равен dω = ∂ω
∂u ·du+ ∂v ·dv. Так как ∂u = v, ∂v = u, то dω = u·dv+v·du. В
силу инвариантности формы первого дифференциала, выражение u·dv +
v · du будет дифференциалом функции u · v и в случае, когда u и v сами
являются дифференцируемыми функциями каких-либо переменных.
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
22
ЛЕКЦИЯ 27
1.7
Производные и дифференциалы высших
порядков
Пусть f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) – дифференцируемая в окрестности точки
◦
∂f
x функция. Тогда, как известно, возникает n функций ∂x
– частных
k
производных. Каждая из них – суть снова функция n переменных и,
◦
если эти функции дифференцируемы в окрестности точки x, то от них
снова можно брать частные производные:
∂
∂f def ∂ 2 f
=
(s, k = 1, 2, ..., n).
∂xs ∂xk
∂xs ∂xk
Затем:
∂
∂xj
∂2f
∂xs ∂xk
def
=
∂3f
,
∂xj ∂xs ∂xk
и так далее.
2
00
00
Пример. Найти zx0 , zy0 , zxy
, zyx
функции z = ex
zx0 = 2x · ex
2
+y 3
2
00
zxy
= (zx0 )0y = 6xy 2 · ex
2
, zy0 = 3y 2 · ex
+y 3
+y 3
+y 3
.
.
00
, zyx
= (zy0 )0x = 6xy 2 · ex
2
+y 3
.
00
00
В данном случае мы видим, что zxy
= zyx
, то есть смешанные производные равны. Вопрос: всегда ли это так?
◦
Теорема о смешанных производных. Если в окрестности u(x)
2
f
,
функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) имеет смешанные производные ∂x∂s ∂x
k
∂2f
∂xk ∂xs ,
◦
которые непрерывны в точке x, то тогда эти смешанные производные равны между собой:
∂2f
∂2f
=
.
∂xs ∂xk
∂xk ∂xs
Доказательство. Доказательство этой теоремы проведём на примере функции двух переменных. В случае функции большего числа переменных доказательство будет полностью аналогично уже рассмотренному.
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
23
Рассмотрим выражение
I = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 + ∆x, y0 ) + f (x0 , y0 ).
Обозначим
def
ϕ(y0 + ∆y) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y),
def
ϕ(y0 ) = f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ).
Тогда исходное выражение примет вид
I = ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0 ).
Применим к нему формулу конечных приращений Лагранжа:
I = ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0 ) =
= ϕ0y (y0 +θ1 ∆y)·∆y = fy0 (x0 + ∆x, y0 + θ1 · ∆y) − fy0 (x0 , y0 + θ1 · ∆y) ·∆y
К выражению в квадратных скобках опять применим формулу конечных
приращений Лагранжа, тогда
00
I = fyx
(x0 + θ2 · ∆x, y0 + θ1 · ∆y) · ∆y · ∆x.
Обозначим теперь
ψ(x0 + ∆x) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 + ∆x, y0 ),
ψ(x0 ) = f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ).
Тогда, рассуждая аналогично, получим
I = ψ(x0 + ∆x) − ψ(x0 ) = ψx0 (x0 + θ3 · ∆x) · ∆x =
= [fx0 (x0 + θ3 · ∆x, y0 + ∆y) − fx0 (x0 + θ3 · ∆x, y0 )] · ∆x =
00
= fxy
(x0 + θ3 · ∆x, y0 + θ4 · ∆y) · ∆ · x∆y.
В результате:
00
fyx
(x0 + θ2 · ∆x, y0 + θ1 · ∆y) · ∆y · ∆x =
00
= fxy
(x0 + θ3 · ∆x, y0 + θ4 · ∆y) · ∆y · ∆x.
Сокращая на ∆y · ∆x, рассмотрим предел, когда ∆x → 0, ∆y → 0, и,
пользуясь непрерывностью смешанных производных – для непрерывных
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
24
функций знак предела можно заносить под знак функции – получим ис00
00
(x0 , y0 ), что и требовалось доказать.
(x0 , y0 ) = fxy
комый результат: fyx
При рассмотрении дифференциалов высших порядков необходимо рассматривать две ситуации.
(I.) u = f (x1 , x2 , ..., xn ), где x1 , x2 , ..., xn – n независимых аргументов.
(II.) u = f (y1 , y2 , ..., ym ), где


y1 = y1 (x1 , x2 , ..., xn ),

y2 = y2 (x1 , x2 , ..., xn ),
...................................



ym = ym (x1 , x2 , ..., xn ).
Иначе говоря, мы, в этом случае, имеем дело со сложной функцией n
переменных x1 , x2 , ..., xn .
Для первой ситуации всё просто:
du =
n
X
def
∂f
∂
∂
∂
dxk =
dx1 +
dx2 + ... +
dxn f,
∂xk
∂x1
∂x2
∂xn
k=1
d2 u =
n
X
s,k=1
def
∂2f
dxk dxs =
∂xk ∂xs
∂
∂
∂
dx1 +
dx2 + ... +
dxn
∂x1
∂x2
∂xn
и так далее.
Для второй ситуации мы имеем:


n
m
m
X
X
X
∂f
∂y
∂f
j

du =
·
dxs =
· dyj .
∂yj ∂xs
∂yj
s=1
j=1
j=1
d2 u =
m
X
m
X ∂f
∂2f
·dyi · dyj +
d2 yj .
∂y
∂y
∂y
i
j
j
i,j=1
j=1
2
f,
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
1.8
25
Формула Тейлора для функции n переменных
Вывод проведём сначала для функции двух переменных, а затем мы сможем обобщить формулу Тейлора для функции любого числа переменных.
Пусть z = f (x, y) – функция, дифференцируемая в окрестности точки
(x0 , y0 ) до k + 1 порядка включительно, то есть существуют
dz, d2 z, ..., dk z, dk+1 z.
Соединим точки M и M0 прямой x̄ = x0 + t∆x, ȳ = y + t∆y. При t = 0
имеем точку M0 , при t = 1 имеем точку M.
def
Обозначим F (t) = f (x0 + t∆x, y + t∆y). Очевидно, что функция F (t)
дифференцируема до k+1 порядка включительно. Представим F (t) формулой Маклорена:
(k)
F (t) = F (0)+
(k+1)
F k (0) k Ftk
(θt) k+1
Ft0 (0) Ftt00 (0) 2
t+
t +...+ t
t +
t
, 0 < θ < 1.
1!
2!
k!
(k + 1)!
Видим, что
F (0) = f (x0 , y0 ),
def
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
∂
∂
0
=
Ft (0) =
·∆x+
·∆y
· ∆x +
· ∆y f (x0 , y0 ),
∂x
∂y
∂x
∂y
Ft002 (0) =
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 )
∂ 2 f (x0 , y0 ) 2 def
∆x2 + 2
∆x∆y +
∆y =
2
∂x
∂x∂y
∂y 2
2
def
∂
∂
=
· ∆x +
· ∆y f (x0 , y0 ).
∂x
∂y
Продолжая аналогично:
(k)
Ftk (0)
=
=
∂
∂
∆x +
∆y
∂x
∂y
∂
∂
∆x +
∆y
∂x
∂y
k
f (x0 , y0 ), F (k+1) (θt) =
k+1
f (x0 + θt∆x, y0 + θt∆y).
Положим t = 1 и учтём, что
F (1) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≡ f (x, y), ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 .
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
Тогда:
f (x, y) = f (x0 , y0 ) +
1
1!
∂
∂
(x − x0 ) +
(y − y0 ) f (x0 , y0 )+
∂x
∂y
2
∂
∂
(x − x0 ) +
(y − y0 ) f (x0 , y0 ) + ...
∂x
∂y
k
1
∂
∂
... +
(x − x0 ) +
(y − y0 ) f (x0 , y0 )+
k! ∂x
∂y
k+1
1
∂
∂
+
(x − x0 ) +
(y − y0 )
f (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y).
(k + 1)! ∂x
∂y
+
1
2!
Это и есть формула Тейлора для функции двух переменных.
Часто эту формулу записывают в форме дифференциалов:
∆z ≡ f (x, y) − f (x0 , y0 ) =
+
1 k
d z
k!
+
M0
1
dz
1!
+
M0
1
dk+1 z
(k + 1)!
1 2
d z
2!
+ ...
M0
.
M̃
Теперь легко записать формулу Тейлора для функции n переменных:
◦
◦
◦
f (x1 , x2 , ..., xn ) = f (x1 , x2 , ..., xn )+
s
k
X
1
∂
∂
◦
◦
◦
◦
◦
+
(x1 − x1 ) + ... +
(xn − xn ) f (x1 , x2 , ..., xn )+
s! ∂x1
∂xn
s=1
+
1
(k + 1)!
∂
∂
◦
◦
(x1 − x1 ) + ... +
(xn − xn )
∂x1
∂xn
◦
◦
k+1
×
◦
×f (x1 + θ(x1 − x1 ), x2 + θ(x2 − x2 ), ..., xn + θ(xn − xn )).
26
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
27
ЛЕКЦИЯ 28
1.9
Понятие неявной функции и теорема существования для F (x, y) = 0
В приложениях часто приходится сталкиваться с такими задачами, когда функция u(x), являющаяся по смыслу задачи функцией аргументов
x1 , x2 , ... , xn , задаётся посредством функционального уравнения
F (u, x1 , x2 , ..., xn ) = 0.
Например, z −sin(x+y +z) = 0 – такое соотношение задаёт неявно z(x, y)
как функцию двух независимых аргументов.
Возникает вопрос: при каких условиях уравнение
F (u, x1 , x2 , ..., xn ) = 0
однозначно определяет функцию u(x1 , x2 , ..., xn ), когда и на каком множестве эта функция непрерывна, и так далее.
Ниже, мы получим ответы на эти вопросы сначала в простейшем случае неявной функции одного аргумента. Для самой же общей ситуации
сформулируем лишь конечный результат и примем его без доказательства.
Теорема. Пусть:
1. F (x, y) определена и непрерывна в прямоугольнике x ∈ [x0 − a, x0 +
a], y ∈ [y0 − b, y0 + b];
2. F (x0 , y0 ) = 0;
3. Fx0 (x, y) и Fy0 (x, y) непрерывны в заданном прямоугольнике;
4. Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0.
Тогда:
1. В некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) уравнение F (x, y) = 0 определяет y как однозначную функцию x: y = f (x), причём f (x0 ) = y0 ;
2. f (x) – функция;
3. f (x) – имеет непрерывную производную.
Доказательство. Поскольку функция Fy0 (x, y) – непрерывная функция и Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0, то существует окрестность точки (x0 , y0 ), а именно
x ∈ [x0 − ā, x0 + ā], y ∈ [y0 − b̄, y0 + b̄], где Fy0 сохраняет свой знак (для
определённости положим Fy0 (x, y) > 0). Зафиксировав x = x0 , видим,
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
28
что F = F (x0 , y) растёт, поскольку производная Fy0 > 0. Но так как
F (x0 , y0 ) = 0, то при y < y0 , F (x0 , y) < 0, а при y > y0 , F (x0 , y) > 0. В
частности, F (x0 , y0 − b̄) < 0, F (x0 , y0 + b̄) < 0.
Рассмотрим сейчас две функции одной переменной x:
I(x) = F (x, y0 − b̄), II(x) = F (x, y0 + b̄).
Обе они непрерывны по x и, следовательно, сохраняют свой знак в некоторой окрестности точки x0 : I(x) = F (x, y0 − b̄) < 0, при x ∈ [x0 −δ, x0 +δ]
и II(x) = F (x, y0 + b̄) > 0, при x ∈ [x0 − δ, x0 + δ]. (Здесь надо бы писать
δ1 и δ2 , но мы сразу берём δ = max(δ1 , δ2 )).
Рассмотрим, далее любую точку x̂ ∈ (x0 −δ, x0 +δ) и функцию III(y) =
F (x̂, y). Функция III(y) на концах сегмента y0 − b̄ и y0 + b̄ имеет разные
знаки. Но тогда найдётся такая точка ŷ ∈ (y0 − b̄, y0 + b̄), что F (x̂, ŷ) = 0,
причем точка ŷ – единственная, поскольку III(y) – растущая функция. В
итоге каждому x ∈ (x0 −δ, x0 +δ) ставится в соответствие ŷ ∈ (y0 −b̄, y0 +b̄).
Тем самым на интервале (x0 −δ, x0 +δ) определяется единственная функция y = f (x). При этом из F (x0 , y0 ) = 0 следует, из-за однозначности
сопоставления x̂ → ŷ, что y0 = f (x0 ).
Докажем теперь, что f (x) – имеет непрерывную производную, тем
самым автоматически будет утверждение, что f (x) – непрерывная функция. С этой целью для (x, y) ∈ (x0 − δ, x0 + δ), (y0 − b̄, y0 + b̄) придадим
приращения ∆x и ∆y, не выводящие нас из указанной выше области.
Тогда
F (x + ∆x, y + ∆y) = 0, F (x, y) = 0.
Рассмотрим
F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x, y) = Fx0 (x, y)∆x + Fy0 (x, y)∆y + α1 ∆x + α2 ∆y = 0.
Отметим здесь, что в силу непрерывности Fx0 и Fy0 функция F (x, y) дифF 0 (x,y)+α
∆y
ференцируема в точке (x, y). Отсюда ∆x
= − Fx0 (x,y)+α21 . Переходя к преy
делу при ∆x → 0 и учитывая, что при этом α1 → 0 и α2 → 0, получим
yx0 = −
Fx0 (x, y)
.
Fy0 (x, y)
Полученная производная – непрерывная функция, поскольку является отношением двух непрерывных функций. Вследствие этой формулы,
функция y = f (x) непрерывна для ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Доказательство
завершено.
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
1.10
29
Обобщение на систему функций, заданных неявно
Сначала, обобщая теорему, доказанную в предыдущем пункте, сформулируем теорему для функции z от двух переменных.
Теорема (без доказательства). Пусть:
1. Функция F (x, y, z) дифференцируема в окрестности точки (x0 , y0 , z0 );
2. F (x0 , y0 , z0 ) = 0;
3. ∂F
∂z x0 ,y0 ,z0 6= 0.
Тогда найдётся такая окрестность точки M0 (x0 , y0 ) ∈ <2 , что в пределах
этой окрестности существует единственная функция z = f (x, y), которая является решением уравнения F (x, y, z) = 0, в окрестности точки
M0 (x0 , y0 ) она является дифференцируемой и, поэтому, заведомо непрерывной функцией.
Как находить частные производные zx0 и zy0 для функции z = z(x, y),
заданной неявно? Проведём рассуждения, аналогичные тем, что мы провели в предыдущем пункте для функции F (x, y):
0 = F (x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z) − F (x0 , y0 , z0 ) =
= Fx0 (x0 , y0 , z0 )∆x+Fy0 (x0 , y0 , z0 )∆y+Fz0 (x0 , y0 , z0 )∆z+α1 ∆x+α2 ∆y+α3 ∆z.
Отсюда, при ∆y = 0:
пределе имеем:
∆z
∆x
F 0 +α
= − Fx0 +α31 , а при ∆x = 0:
z
∆z
∆y
F 0 +α2
= − Fy0 +α3 . В
z
Fy0
F 0 ∂z
∂z
= − x0 ,
=− 0.
∂x
Fz ∂y
Fz
На практике можно рассуждать следующим образом. Поскольку функцию z = z(x, y) мы считаем решением уравнения F (x, y, z) = 0, то
F (x, y, z(x, y)) ≡ 0. Рассматривая это тождество как сложную функцию
и дифференцируя его по x и y, получим: Fx0 + Fz0 · zx0 = 0, Fy0 + Fz0 · zy0 = 0,
F0
F0
откуда сразу следует: zx0 = − Fx0 , zy0 = − Fy0 .
z
z
Аналогично можно рассуждать и для функции большего числа пере∂u
менных. В частности, если F (u, x1 , x2 , ..., xn ) = 0, то Fu0 · ∂x
+ Fx0 k = 0,
k
следовательно,
F0
∂u
= − x0k , k = 1, 2, ..., n.
∂xk
Fu
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
1.11
30
Система функций, заданных неявно
Пусть задано k функциональных соотношений относительно k + n переменных u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn :


F1 (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) = 0,

F2 (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) = 0,
(∗)
..................................................



Fk (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) = 0.
Изучим вопрос о разрешимости этой системы относительно неизвестных
u1 , u2 , ..., uk как однозначных функций n переменных x1 , x2 , ..., xn . С этой
целью рассмотрим определитель матрицы Якоби относительно переменных u1 , u2 , ..., uk :
∂F1
∂u1
∂F2
∂u1
∂F1
∂u2
∂F2
∂u2
∂F1
... ∂u
k
∂F2 def
D(F1 , F2 , ..., Fk ) def
... ∂u
k
≡
≡ J.
∆=
......................
D(u1 , u2 , ..., uk )
∂Fk ∂Fk
∂Fk
∂u1 ∂u2 ... ∂uk
Теорема. Пусть функции Fi (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) (i = 1, 2, ..., k)
◦ ◦
∂Fi
–
– дифференцируемы в окрестности точки (u, x) ∈ <k+n , причем ∂u
s
◦ ◦
непрерывны в точке (u, x) ∈ <k+n и
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Fi (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) = 0,
◦ ◦
D(F1 , F2 , ..., Fk )
6= 0
D(u1 , u2 , ..., uk )
◦
в точке (u, x) ∈ <k+n . Тогда существует такая окрестность u(x) ∈ <n ,
◦
точки x, что в её пределах существует k однозначных функций
u1 = f1 (x1 , x2 , ..., xn ), u2 = f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ... , uk = fk (x1 , x2 , ..., xn ),
которые являются решениями k функциональных соотношений (∗) и эти
функции дифференцируемы в указанной окрестности.
∂ui
могут быть найдены следующим образом:
Частные производные ∂x
s
продифференцируем систему (∗) по xs :
 ∂F1 ∂u1
∂F1 ∂u2
∂F1 ∂uk
∂F1

∂u1 ∂xs + ∂u2 ∂xs + ... + ∂uk ∂xs + ∂xs = 0,

 ∂F
∂F2 ∂u2
∂F2 ∂uk
∂F2
2 ∂u1
∂u1 ∂xs + ∂u2 ∂xs + ... + ∂uk ∂xs + ∂xs = 0,

...................................................................

 ∂Fk ∂u1
∂Fk ∂u2
∂Fk ∂uk
∂Fk
∂u1 ∂xs + ∂u2 ∂xs + ... + ∂uk ∂xs + ∂xs = 0.
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
31
Рассмотрим полученную систему как неоднородную алгебраическую си∂ui
. Поскольку основной опрестему относительно частных производных ∂x
s
делитель этой системы ∆ 6= 0, по формулам Крамера найдем единственное решение этой системы:
∂ui
∆i
∆i
≡
.
=
∂xs
∆
J
1.12
Функциональная зависимость функций
Пусть на множестве M ⊆ <n определены k функций
yi = yi (x1 , x2 , ..., xn ) ≡ ϕi (x1 , x2 , ..., xn ), i = 1, 2, ..., k.
Определение. Мы скажем, что в M одна из функций, например
yp (x), зависит от остальных, если для всех x ∈ M выполнено:
yp (x) = Φ (y1 (x), y2 (x), ..., yp−1 (x), yp+1 (x), ..., yk (x)) ,
где Φ – некоторая функция указанных аргументов, относительно которых, мы предполагаем, эта функция дифференцируема в области изменения своих аргументов.
Пример. y1 = x21 + x22 + x23 + x24 , y2 = x1 + x2 + x3 + x4 , y3 = 2(x1 x2 +
x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ). Видим, что y1 = y22 − y3 , то есть y1
зависит от y2 и y3 .
Теорема 1. Пусть функции yi (x) (i = 1, 2, ..., k), определены и диф◦
D(y1 ,y2 ,...,yk )
ференцируемы в окрестности точки x, а якобиан J = D(x
6= 0 в
1 ,x2 ,...,xk )
◦
◦
точке x . В этом случае функции независимы в окрестности точки x .
Доказательство. Предположим противное: пусть функции зависимы, например yk = Φ (y1 , y2 , ..., yk−1 ) . Видим:
∂Φ ∂y1
∂Φ ∂y2
∂Φ ∂yk−1
∂yk
=
+
+ ... +
.
∂xs
∂y1 ∂xs
∂y2 ∂xs
∂yk−1 ∂xs
Тогда в якобиане
∂y1
∂x1
∂y2
∂x1
∂y1
∂x2
∂y2
∂x2
∂y1
... ∂x
k
∂y2
... ∂x
k
J=
......................
∂yk ∂yk
∂yk
∂x1 ∂x2 ... ∂xk
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций N переменных
32
последняя строка – есть линейная комбинация остальных строк. Вслед◦
ствие этого J = 0 в точке x . Противоречие, которое доказывает теорему.
Теорема 2. Пусть ранг матрицы Якоби
kJk =
◦
∂y1
∂x1
∂y2
∂x1
∂y1
∂y1
∂x2 ... ∂xk
∂y2
∂y2
∂x2 ... ∂xk
......................
∂yk
∂yk ∂yk
∂x1 ∂x2 ... ∂xk
равен r в точке x, а все миноры r + 1 порядка равны нулю в некоторой
◦
окрестности точки x . Тогда r функций, входящих в базисный минор,
независимы, а остальные k − r функций могут быть выражены через r
◦
базисных функций в окрестности точки x .
Глава 2
Геометрические
приложения функций
многих переменных
ЛЕКЦИЯ 29
2.1
Локальный экстремум
◦
Определение. Функция u = f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) имеет в точке x локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки
◦
x, что для любой точки x из этой окрестности выполняется неравенство
◦
◦
f (x) ≤ f (x) f (x) ≥ f (x) .
◦
Теорема 1. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке x имеет
◦
локальный экстремум, и если в этой точке x существуют частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю.
◦
◦
◦
Доказательство. Зафиксируем все x2 , x3 , ... , xn , кроме x1 – её мы
◦
◦
будем изменять. Тогда функция f (x1 , x2 , ..., xn ) – это функция одного пе◦
ременного. Но, поскольку при x1 = x1 имеем экстремум, то выполняется
необходимое условие достижения экстремума функцией одного перемен-
33
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 34
ного:
∂f
∂x1
◦
= 0. Рассуждая аналогично, покажем, что
x1
∂f
∂x2
◦
= 0, ... ,
x2
∂f
∂xn
◦
= 0.
xn
Тем самым мы получили необходимое условие достижения локального
экстремума функцией n переменных.
Если мы дополнительно потребуем дифференцируемости функции
◦
f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке x, то необходимое условие может выглядеть так: du|x◦ = 0.
Действительно:
∂f
∂f
∂f
du|◦ =
dx1 +
dx2 + ... +
dxn
= 0,
◦
∂x1
∂x2
∂xn
x
x
что и требовалось.
Но полученное необходимое условие, очевидно, ещё не является достаточным условием достижения функцией локального экстремума.
Пример. z = xy. zx0 |(0,0) = zy0 (0,0) = 0, тогда как в окрестности этой
точки функция может иметь как положительные, так и отрицательные
значения. Следовательно, экстремума в этой точке нет, хотя необходимое
условие выполнено.
Теорема 2 (для функции двух переменных). Пусть в окрестности точки (x0 , y0 ) функция z = f (x, y) дважды дифференцируема и все
вторые частные производные непрерывны в точке (x0 , y0 ). Тогда, если в
точке (x0 , y0 ), подозрительной на экстремум, величина
00
00
00 2
I = fxx
· fyy
− (fxy
) > 0,
то экстремум есть; если же
00
00
00 2
I = fxx
· fyy
− (fxy
) < 0,
то экстремума в этой точке нет.
Доказательство.
∆z = dz|x0 ,y0 +
1 00
00
00
fxx (x0 , y0 )∆x2 + 2fxy
(x0 , y0 )∆x∆y + fyy
(x0 , y0 )∆y 2 +
2!
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 35
1
α11 ∆x2 + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 .
2!
Поскольку считаем выполненным необходимое условие достижения функцией экстремума, то первый дифференциал в подозрительной на экстремум точке полагаем равным нулю. Далее, проводя очевидные преобра00
6= 0, получим:
зования в квадратной скобке и полагая fxx
+
∆z =
1 h 00 2 2
00 00
00 2
00 2
(fxx ) ∆x + 2fxy
fxx ∆x∆y + (fxy
) ∆y 2 − (fxy
) ∆y 2 +
00
2fxx
i 1
00 00
+fyy
fxx ∆y 2 +
α11 ∆x2 + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 =
2!
i
2
1 h 00
00
00 00
00 2
fxx ∆x + fxy
∆y + fyy
fxx − (fxy
) ∆y 2 +
= 00
2fxx
1
+
α11 ∆x2 + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 ≡
2!
i 1
2
1 h 00
00
≡ 00
fxx ∆x + fxy
∆y + I · ∆y 2 +
α11 ∆x2 + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 .
2fxx
2!
1
2
Ясно, что 2! α11 ∆x + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 – это бесконечно малая по
сравнению с первыми слагаемыми величина, не влияющая на знак всего выражения. Если I > 0, то знак ∆z устойчив и определяется только
00
знаком второй производной fxx
. Если же I < 0, то знак всего выражения
определяется величинами ∆x и ∆y, то есть тем, в какую сторону мы отступаем от точки (x0 , y0 ). Так, если ∆x = 0, а ∆y 6= 0, то ∆z имеет один
знак, а если ∆x 6= 0, а ∆y = 0 – другой. Это и говорит о том, что в этой
точке экстремума нет. Теорема доказана.
2.2
Условный экстремум. Необходимые условия. Метод Лагранжа
Определение. Пусть задана функция u = f (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn )
от n + m переменных и n независимых условий связи между этими переменными:

F1 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0,



F2 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0,
(∗)
...................................................



Fn (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 36
Говорят, что функция f (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) при наличии связей
(∗) имеет условный максимум в точке
◦ ◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
(x, y ) = (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ),
координаты которой удовлетворяют условиям связи (∗), если существует
такая окрестность этой точки, в пределах которой значения функции не
превосходят значения функции
◦ ◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
f (x, y ) = f (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn )
в этой точке.
Пример.
u = x2 + y 2 ,
x + y − 1 = 0.
Ясно, что поскольку должны выполняться оба этих соотношения, то мы
имеем дело с пересечением параболоида u = x2 + y 2 с плоскостью x + y =
1, параллельной оси u. Поэтому в этом примере экстремум ищется не
на всей поверхности параболоида, а только на кривой, высекаемой на
поверхности параболоида этой плоскостью.
Как решать задачу на отыскание условного экстремума? Есть два
пути.
Путь первый: разрешаем (∗) относительно переменных y1 , y2 , ..., yn :
ys = Φs (x1 , x2 , ..., xm ) и подставим в u = f (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ). После этого условный экстремум сводится к безусловному.
Пример.
u = x2 + y 2 ,
x + y − 1 = 0.
y = 1 − x, u = x2 + (1 − x)2 = 2x2 − 2x + 1,
u0x = 4x − 2 = 0, x0 =
1
1
, y0 = , u00xx = 4 > 0;
2
2
следовательно, в точке ( 12 , 12 ) – минимум.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 37
Путь второй состоит в следующем. Если в точке M0 с координатами
(x, y ) имеется локальный экстремум, то
∂f
∂f
∂f
∂f
dx1 + ... +
dxm +
dy1 + ... +
dyn
= 0.
(α) du =
∂x1
∂xm
∂y1
∂yn
M0
◦ ◦
Но dy1 , ..., dyn зависят от dx1 , ..., dxm , так как из уравнений связи (∗)
имеем:

∂F1
∂F1
∂F1
∂F1
∂F1
∂F1


∂x1 dx1 + ∂x2 dx2 ... + ∂xm dxm + ∂y1 dy1 + ∂y2 dy2 ... + ∂yn dyn = 0,

 ∂F2
∂F2
∂F2
∂F2
∂F2
∂F2
∂x1 dx1 + ∂x2 dx2 ... + ∂xm dxm + ∂y1 dy1 + ∂y2 dy2 ... + ∂yn dyn = 0,
(β)

........................................................................................................


 ∂Fn dx + ∂Fn dx ... + ∂Fn dx + ∂Fn dy + ∂Fn dy ... + ∂Fn dy = 0.
1
2
m
1
2
n
∂x1
∂x2
∂xm
∂y1
∂y2
∂yn
В связи с независимостью функций, J = DF
Dy 6= 0. По формулам Крамера
можно dy1 , dy2 , ..., dyn можно выразить через dx1 , dx2 , ..., dxm и подставить их в (α). Эти dy1 , dy2 , ..., dyn линейно выражаются через dx1 , dx2 ,...,
m
P
dxm : dys =
Ais dxi . Подставив в (α), имеем
i=1
du|M0 = (P1 dx1 + P2 dx2 + ... + Pm dxm )|M0 = 0.
Отсюда, в силу независимости дифференциалов dx1 , dx2 , ..., dxn , получим
P1 |M0 = 0, P2 |M0 = 0, ... , Pm |M0 = 0.
Таким образом, чтобы найти точки, подозрительные на экстремум,
необходимо найти вид функций P1 , P2 , ..., Pm , приравнять их нулю и
учесть условия связи. Иначе говоря, мы должны записать и решить систему (m + n) уравнений с (m + n) неизвестными:


P1 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ) = 0,


...................................................



Pm (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ) = 0,
F

1 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ) = 0,



....................................................


Fn (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ) = 0.
Решая эту систему, определим все точки
1 1
s s
s
s s
s
1
1 1
1
x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ..., x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ,
подозрительные на экстремум.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 38
Однако, этот способ нахождения точек, подозрительных на экстремум, очень громоздок – из-за формул Крамера вычисления утомительны.
Существует другой метод – метод неопределённых множителей Лагранжа, который заметно упрощает дело отыскания подозрительных на экстремум точек.
С этой целью умножим каждое равенство из (β) на свой неопределённый множитель λ1 , λ2 , ..., λn , сложим их, и сложим с равенством (α).
Получим:
!
!
n
n
X
X
∂f
∂f
∂Fk
∂Fk
+
λk
dx1 + ... +
+
λk
dxm +
∂x1
∂x1
∂xm
∂xm
k=1
+
∂f
+
∂y1
n
X
k=1
k=1
∂Fk
λk
∂y1
!
n
dy1 + ... +
X ∂Fk
∂f
+
λk
∂yn
∂yn
!
dyn = 0,
k=1
или, вводя в рассмотрение вспомогательную функцию Φ = f +
n
P
λk Fk ,
k=1
имеем:
m
n
X
X
∂Φ
∂Φ
dxs +
dyk = 0.
∂xs
∂yk
s=1
k=1
Неопределённые множители подберём так, чтобы все
то есть

n
P
∂f
k

+
λk ∂F

∂y
∂y1 = 0,

1

k=1


n

 ∂f + P
k
λk ∂F
∂y
∂y2 = 0,
2
(I).
k=1


.................................



n
P

∂f

k
 ∂y
+
λk ∂F
∂yn = 0.
n
∂Φ
∂yk
= 0 (k = 1, ..., n),
k=1
Тогда
m
P
s=1
∂Φ
∂xs dxs
переменные,
∂Φ
∂xs
= 0. Но, поскольку все xs (s = 1, 2, ..., m) – независимые
= 0, или

n
P
∂f
k

+
λk ∂F

∂x
∂x1 = 0,

1

k=1


n

 ∂f + P
k
λk ∂F
∂x
∂x2 = 0,
2
(II).
k=1


.................................



n
P

∂f

∂Fk
 ∂x
λk ∂x
+
= 0.
m
m
k=1
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 39
Вспомним, что плюс ко всему должны выполняться условия связи


F1 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0,

F2 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0,
(∗)
......................................................



Fn (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0.
В итоге имеем систему (2m + n) уравнений (I (II) и (∗) на (2m + n) переменных (x1 , x2 , ..., xm ), (y1 , y2 , ..., yn ), и (λ1 , λ2 , ..., λn ). Решая эту систему,
находим точки, подозрительные на экстремум.
Пример.
u = x2 + y 2 ,
x + y − 1 = 0.
Составим вспомогательную функцию:
Φ(x, y) = x2 + y 2 + λ(x + y − 1),
тогда
 0
Φx = 2x + λ = 0,
Φ0 = 2y + λ = 0,
 y
x + y − 1 = 0.
Решая эту систему, найдем: λ = −1, и подозрительную на экстремум точку x = 12 , y = 12 .
2.3
Достаточные условия для условного экстремума
Мы рассмотрим следующие частные случаи:
1. z = f (x, y), ϕ(x, y) = 0;
2. u = f (x, y, z), ϕ(x, y, z) = 0, ψ(x, y, z) = 0;
3. u = f (x, y, z, ), ϕ(x, y, z) = 0.
1. Φ(x, y) = f (x, y) + λϕ(x, y).
 0
Φx = fx0 (x, y) + λϕ0x (x, y) = 0,
Φ0 = fy0 (x, y) + λϕ0y (x, y) = 0,
 y
ϕ(x, y) = 0.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 40
Решая эту систему, найдем значения λ и точки, подозрительные на экстремум: (λ0 , (x0 , y0 )), (λ1 , (x1 , y1 )), ... и так далее. Поскольку ϕ(x0 , y0 ) =
0, ϕ(x, y) = 0, находим
∆Φ = Φ(x, y) − Φ(x0 , y0 ) = f (x, y) − f (x0 , y0 ) = ∆f.
Поэтому
1
∆f = ∆Φ = Φ0x (x0 , y0 )dx+Φ0y (x0 , y0 )dy+ (a11 dx2 +2a12 dxdy+a22 dy 2 )+α.
2
Здесь Φ0x (x0 , y0 ) = 0 и Φ0y (x0 , y0 ) = 0 вследствие выполнения необходимых условий,
a11 = Φ00xx (x0 , y0 ), a12 = Φ00xy (x0 , y0 ), a22 = Φ00yy (x0 , y0 ),
а α – бесконечно малая величина более высокого порядка.Из ϕ(x, y) = 0
ϕ0
следует: ϕ0x |(x0 ,y0 ) dx + ϕ0y (x ,y ) dy = 0, то есть dy = − ϕx0
dx.
0
0
y
Подставив в ∆Φ, получим:
(x0 ,y0 )
∆f = ∆Φ =

1
= a11 dx2 + 2a12
2
ϕ0x
− 0
ϕy
dx2 + a22
(x0 ,y0 )
ϕ0
− x0
ϕy

2
dx2  + α =
(x0 ,y0 )
1
Kdx2 + α.
2
Поскольку α – бесконечно малая величина более высокого порядка, знак
приращения функции определяется знаком величины K. Следовательно,
достаточные условия состоят в следующем: если K > 0 – достигается
условный минимум, если K < 0 – максимум, а если K = 0 – необходимо
дополнительное исследование.
=
2. Φ(x, y, z) = f (x, y, z) + λϕ(x, y, z) + µψ(x, y, z).
 0
Φx = fx0 + λϕ0x + µψx0 = 0, ϕ(x, y, z) = 0,
Φ0 = fy0 + λϕ0y + µψy0 = 0, +
ψ(x, y, z) = 0.
 0y
0
0
0
Φz = fz + λϕz + µψz = 0,
Решая эту систему, как и в предыдущем случае, найдём все λ, µ и все
подозрительные на экстремум точки:
(λ0 , µ0 , (x0 , y0 , z0 )), (λ1 , µ1 (x1 , y1 , z1 )), ...
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 41
и так далее. Считая выполненными необходимые условия достижения
экстремума, имеем:
∆f = ∆Φ =
1
(a11 dx2 +2a12 dxdy+2a13 dxdz+a22 dy 2 +2a23 dydz+a33 dz 2 )+α,
2
где α – величины, бесконечно малые по сравнению с приведёнными,
a11 = Φ00xx (x0 , y0 , z0 ), a12 = Φ00xy (x0 , y0 , z0 ), a22 = Φ00yy (x0 , y0 , z0 ), ...
и так далее. Из условий связи ϕ(x, y, z) = 0 и ψ(x, y, z) = 0 следует:
( 0
ϕx dx + ϕ0y dy + ϕ0z dz = 0 (x ,y ,z ) ,
0 0 0
ψx0 dx + ψy0 dy + ψz0 dz = 0 (x ,y ,z ) .
0
0
0
Разрешая относительно dy и dz, получим выражения вида:
dy = A(x0 , y0 , z0 )dx, dz = B(x0 , y0 , z0 )dx.
Подставив их в ∆f = ∆Φ получим: ∆f = 12 K̃dx2 +α. Поскольку α – бесконечно малая величина, знак приращения функции определяется знаком
величины K̃. Следовательно, достаточные условия и в этом случае состоят в следующем: если K̃ > 0 – достигается условный минимум, если
K̃ < 0 – максимум, а если K̃ = 0 – необходимо дополнительное исследование.
3. Φ(x, y, z) + λϕ(x, y, z).
 0
0
0

Φ0x = fx0 + λϕ0x ,

Φy = fy + λϕy ,
Φ0 = fz0 + λϕ0z ,


 z
ϕ(x, y, z) = 0.
Как и в предыдущих двух случаях, решая эту систему, найдем значения λ
и точки, подозрительные на экстремум: (λ0 , (x0 , y0 , z0 )), (λ1 , (x1 , y1 , z1 )), ...
и так далее. Считая выполненными необходимые условия, имеем:
∆f = ∆Φ =
1
(a11 dx2 +2a12 dxdy+2a13 dxdz+a22 dy 2 +2a23 dydz+a33 dz 2 )+α,
2
где α – величины, бесконечно малые по сравнению с приведёнными,
a11 = Φ00xx (x0 , y0 , z0 ), a12 = Φ00xy (x0 , y0 , z0 ), a22 = Φ00yy (x0 , y0 , z0 ), ...
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 42
и так далее. Из условия связи имеем: ϕ0x dx + ϕ0y dy + ϕ0z dz = 0|(x0 ,y0 ,z0 ) ,
откуда
0
ϕ0y (x0 , y0 , z0 )
ϕx (x0 , y0 , z0 )
dz = −
dx + 0
dy .
ϕ0z (x0 , y0 , z0 )
ϕz (x0 , y0 , z0 )
Подставив, получим выражение вида:
∆f =
1
(ã11 dx2 + 2ã12 dxdy + ã22 dy 2 ) + α.
2
По теореме, доказанной нами для безусловного экстремума, мы знаем,
что если I = (ã11 · ã22 − ã212 ) > 0, экстремум есть, если I < 0, экстремума
нет.
Пример.
u = x2 + y 2 ,
x + y − 1 = 0.
Составим вспомогательную функцию
Φ(x, y) = x2 + y 2 + λ(x + y − 1),
тогда
 0
Φx = 2x + λ = 0,
Φ0 = 2y + λ = 0,
 y
x + y − 1 = 0.
Решая эту систему, найдем: λ = −1, и подозрительную на экстремум
точку x = 12 , y = 12 . Найдём d2 Φ = 12 (2dx2 + 2dy 2 ). Но dy = −dx, поэтому
d2 Φ = 12 (2dx2 + 2dx2 ) = 2dx2 . В этом примере K = 2 > 0 – минимум.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 43
ЛЕКЦИЯ 30
2.4
Огибающая и дискриминантная кривая
однопараметрического семейства кривых
на плоскости
Рассмотрим кривую на плоскости F (x, y) = 0. Точка M0 (x0 , y0 ) называ2
2
ется обыкновенной точкой, если (Fx0 (x0 , y0 )) + Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0, и особой
2
2
точкой, если (Fx0 (x0 , y0 )) + Fy0 (x0 , y0 ) = 0.
Аналогично, если кривая задана параметрически
x = x(t),
y = y(t),
то точка M0 (x0 , y0 ) = M0 (t0 ) называется обыкновенной точкой, если
[ẋ(t0 )]2 + [ẏ(t0 )]2 6= 0, и особой точкой, если [ẋ(t0 )]2 + [ẏ(t0 )]2 = 0.
Если M0 – обыкновенная точка, то, как следует из теоремы существования неявной функции, в окрестности точки M0 , при условии, что
Fx0 (x, y) и Fy0 (x, y) – непрерывные функции, определяется однозначная
кривая y = y(x) (при Fy0 (x, y) 6= 0), или x = x(y) (при Fx0 (x, y) 6= 0).
Определение 1. Говорят, что соотношения вида F (x, y, C) = 0 определяют однопараметрическое семейство кривых. Здесь C – параметр, меняющийся в некотором интервале (может быть от −∞ до +∞).
Пример. Соотношение (x − C)2 + y 2 = 1 определяет однопараметрическое семейство окружностей единичного радиуса, центры которых
лежат на оси x.
Определение 2. Точка M0 (x0 , y0 ), удовлетворяющая системе уравнений
F (x0 , y0 , C) = 0,
∂F (x0 ,y0 ,C)
= 0,
∂C
называется характеристической точкой семейства кривых.
Определение 3. Геометрическое место характеристических точек семейства F (x, y, C) = 0 называется дискриминантной кривой этого семейства.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 44
Пример. В предыдущем примере характеристическими точками семейства (x − C)2 + y 2 = 1 являются точки, удовлетворяющие системе
(x − C)2 + y 2 = 1,
2(x − C) · (−1) = 0,
или точки
x = C,
y = ±1.
Дискриминантными кривыми являются в данном примере прямые y =
±1. Это прямые, параллельные оси O − X.
Чтобы узнать, какие кривые включаются в класс дискриминантных
кривых данного семейства плоских кривых, введём понятие огибающей
семейства кривых на плоскости.
Определение 4. Огибающей семейства F (x, y, C) = 0 называется
кривая, которая в каждой точке касается только одной кривой семейства
и в разных точках касается разных кривых указанного семейства.
Чтобы прояснить смысл определения, вспомним, что если две кривые
касаются друг друга в обыкновенной точке M0 и если в этой точке у
каждой кривой существуют касательные, совпадающие одна с другой,
то есть существует общая касательная.
Аналитически, это означает следующее. Пусть первая кривая имеет
уравнение F (x, y) = 0, а вторая кривая задана в параметрической форме
x = x(t),
y = y(t).
Пусть точка M0 определена координатами (x0 , y0 ) для первой кривой и
dy
=
значением параметра (t0 ) для второй. Для первой кривой имеем: dx
F 0 (x ,y )
− Fx0 (x00 ,y00 ) ; для второй кривой:
y
dy
dx
=
ẏ(t0 )
ẋ(t0 ) .
Поскольку касательная общая,
значения этих производных должны совпадать:
ẏ(t0 )
ẋ(t0 )
F 0 (x ,y )
= − Fx0 (x00 ,y00 ) , или
y
Fx0 · ẋ|M0 + Fy0 · ẏ M = 0 – это условие касания двух наших кривых. На
0
это же соотношение можно посмотреть как на скалярное произведение
двух векторов:
~ = ~i · Fx0 + ~j · Fy0 , ~τ = ~i · ẋ + ~j · ẏ,
N
~ · ~τ )
то есть (N
= 0. Поскольку скалярное произведение равно нулю,
M0
~ ⊥~τ , то есть вектор N
~ ортогонален вектору ~τ . Но так как вектор
то N
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 45
~ – суть нор~τ – это касательный вектор к нашим кривым, то вектор N
мальный вектор, который можно построить в каждой точке исследуемой
нами кривой F (x, y) = 0.
Обратимся к дискриминантной кривой, определяемой как геометрическое место точек, удовлетворяющее системе
F (x, y, C) = 0,
FC0 (x, y, C) = 0.
Согласно теореме существования неявных функций, если F (x, y, C) и
FC0 (x, y, C) дифференцируемы в точке (x0 , y0 , C0 ), причём
00
00
00
Fx0 , Fy0 , FC0 , FCx
, FCy
, FCC
0
C)
непрерывны в окрестности точки (x0 , y0 , C0 ), а якобиан J ≡ D(F,F
D(x,y) 6= 0,
то в окрестности точки C0 , существует однозначная функция
x = x(C),
y = y(C).
Это и есть искомая дискриминантная кривая (или, по крайней мере, её
часть, когда параметр C принадлежит окрестности C0 .
Пусть выполнены два условия:
(а) (Fx0 (x0 , y0 , C0 ))2 + (Fy0 (x0 , y0 , C0 ))2 6= 0 – условие того, что точка
(x0 , y0 , C0 ) – обыкновенная точка и, в силу непрерывности частных производных, в некоторой окрестности этой точки выполнено (Fx0 (x, y, C))2 +
(Fy0 (x, y, C))2 6= 0,
00
(б) FCC
(x0 , y0 , C0 ) 6= 0.
Подставим параметрическое уравнение дискриминантной кривой
x = x(C),
y = y(C).
в систему
F (x, y, C) = 0,
FC0 (x, y, C) = 0,
и продифференцируем получившееся тождество по C:
0 dx
dy
Fx · dC + Fy0 · dC
+ FC0 = 0,
dy
dx
00
00
00
FCx · dC + FCy · dC + FCC
= 0.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 46
Поскольку FC0 (x, y, C) = 0, получим:
dy
dx
Fx0 · dC
+ Fy0 · dC
= 0,
dx
00
00
00
· dC
·
= −(FCx
+ FCy
FCC
dy
dC ).
dx
00
Из второго уравнения следует, что поскольку FCC
6= 0, то и dC
6= 0
dy
и dC 6= 0 одновременно, сумма их квадратов также отлична от нуля, а
значит и все точки дискриминантной кривой – обыкновенные точки.
Первое же соотношение полученной системы – есть условие касания
кривой
x = x(C),
y = y(C).
и кривых нашего семейства и, следовательно, представляет огибающую
этого семейства. Таким образом, нами доказана следующая теорема.
Теорема. Если все кривые семейства и дискриминантная кривая не
имеют особых точек, то дискриминантная кривая – суть огибающая семейства кривых.
Как мы видели раньше, аналитически это означает, что (Fx0 )2 +(Fy0 )2 6=
00
00
00
00
. Если эти
, FCC
, FCy
6= 0, при непрерывности Fx0 , Fy0 , FC0 , FCx
0, FCC
условия нарушаются, то дискриминантная кривая не является огибающей и представляет собой, например, геометрическое место особых точек
семейства F (x, y, C) = 0.
Пример. F (x, y) = −(x − C)2 + y = 0. FC0 = 2(x − C) = 0.
x = C,
y = 0,
– дискриминантная кривая совпадает с осью 0x.
00
Fx0 = −2(x − C), Fy0 = 1, (Fx0 )2 + (Fy0 )2 = 02 + 12 = 1 6= 0, FCC
= −2 6= 0.
Следовательно, ось y = 0 – огибающая семейства парабол y = (x − C)2 .
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 47
2.5
Касательная плоскость к поверхности
F (x, y, z) = 0. Вектор нормали к поверхности
Всякое соотношение вида F (x, y, z) = 0 определяет поверхность в <3 .
Точку M0 (x0 , y0 , z0 ) называют обыкновенной точкой поверхности, если
(Fx0 (M0 ))2 + (Fy0 (M0 ))2 + (Fz0 (M0 ))2 6= 0
и особой точкой, если
(Fx0 (M0 ))2 + (Fy0 (M0 ))2 + (Fz0 (M0 ))2 = 0.
Пусть M0 – обыкновенная точка поверхности F (x, y, z) = 0. Зададим
на этой поверхности кривую ~r = ~r(t) или

x = x(t),
y = y(t),

z = z(t),
так, что F (x(t), y(t), z(t)) = 0. Пусть точке M0 отвечает значение параметра t0 .
0 dy
0 dz
Видим: Fx0 · dx
dt +Fy · dt +Fz · dt = 0 для любой кривой, проходящей через
~ = ~i · F 0 (M0 ) + ~j · F 0 (M0 ) + ~k · F 0 (M0 ) и
точку M0 . Рассмотрим векторы N
x
y
z
d~
r
~τ ≡ dt = ~i · ẋ(t0 ) + ~j · ẏ(t0 ) + ~k · ż(t0 ). В терминах этих векторов для любой
кривой, проходящей через точку M0 , предыдущее равенство имеет вид
~ · ~τ ) = 0. Вектор d~r – вектор, касательный к кривой ~r(t), тогда N
~ –
(N
dt
вектор, ортогональный к касательной к любой кривой, проведённой на
~ –
поверхности F (x, y, z) = 0 через точку M0 . Следовательно, вектор N
вектор, нормальный к поверхности F (x, y, z) = 0 в точке M0 .
~ · (~r − ~r0 )) = 0, или, в других терминах,
Плоскость (N
Fx0 (M0 ) · (x − x0 ) + Fy0 (M0 ) · (y − y0 ) + Fz0 (M0 ) · (z − z0 ) = 0
называют касательной плоскостью к поверхности F (x, y, z) = 0 в точке
M0 . Тогда вектор нормали к поверхности в точке M0 , вспоминая курс
аналитической геометрии, можно записать в виде:
y − y0
z − z0
x − x0
= 0
= 0
.
Fx0 (M0 )
Fy (M0 )
Fz (M0 )
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 48
ЛЕКЦИЯ 31
2.6
Поверхность уровня. Градиент. Производная по направлению
Пусть Ω – некоторая область в <3 (может быть, совпадающая с <3 ), и
пусть задана функция u = f (x, y, z), где точка (x, y, z) ∈ Ω. Рассмотрим геометрическое место точек (x, y, z), где функция постоянна, то есть
f (x, y, z) = C. Такое соотношение определяет поверхность уровня в Ω.
Если C меняется в некотором интервале, то говорят, что заданы поверхности уровня функции f (x, y, z) в области Ω.
Пример. u = x2 + y 2 + z 2 . Поверхностями уровня этой функции
являются сферы x2 + y 2 + z 2 = C 2 с центрами в начале координат.
Через каждую точку M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω проходит только одна поверхность уровня, так как f (x0 , y0 , z0 ) = C и, следовательно, f (x, y, z) =
f (x0 , y0 , z0 ) – единственная поверхность.
Запишем поверхность уровня в виде
F (x, y, z) ≡ f (x, y, z) − f (x0 , y0 , z0 ) = 0
~ , нормальный к этой поверхности уровня. Как мы
и построим вектор N
только что показали в предыдущем пункте, искомый вектор нормали
~ = ~i · ∂f + ~j · ∂f + ~k · ∂f .
имеет вид: N
∂x
∂y
∂z
Определение 1. Вектор, нормальный в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) к поверхности уровня f (x, y, z) = f (x0 , y0 , z0 ) функции u = f (x, y, z), называется
градиентом функции u = f (x, y, z), и обозначается символом
~ = ~i · ∂u + ~j · ∂u + ~k · ∂u
grad~ u ≡ ∇u
∂x
∂y
∂z
или
grad~ u =
∂u ∂u ∂u
,
,
∂x ∂y ∂z
.
Пусть, далее, в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) задан единичный вектор ~e, указывающий направление оси, проходящей через точку M0 . Выберем на этой
оси произвольную точку M ∈ Ω, где задана функция u = f (x, y, z).
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 49
Определение 2. Предел отношения
u(M ) − u(M0 )
,
|M M0 |
где |M M0 | – длина направленного от M к M0 отрезка, когда M → M0
двигаясь по оси ~e, называется производной по направлению от функции
u = f (x, y, z) и обозначается символом ∂u
∂e .
Согласно этому определению
f (x0 + tex , y0 + tey , z0 + tez ) − f (x0 , y0 , z0 )
∂u
= lim
=
t→0
∂e
t
=
∂f (M0 )
∂f (M0 )
∂f (M0 )
· ex +
· ey +
· ez = (grad~ u · ~e).
∂x
∂y
∂z
Покажем,что градиент функции u = f (x, y, z) в точке M0 характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке
M0 .
Действительно,
∂u
= (grad~ u · ~e) = grad~ u · |~e| · cos ϕ = grad~ u · cos ϕ.
∂e
Здесь ϕ – угол между градиентом и единичным вектором ~e. Очевидно, что максимальное значение производной по направлению достигается при ϕ = 0, то есть когда направление оси ~e совпадает с направлением
градиента функции u = f (x, y, z).
2.7
Соприкосновение кривых
Определение. Пусть кривые y = f1 (x) и y = f2 (x) касаются в точке
M0 (x0 , y0 ), где y0 = f1 (x0 ) = f2 (x0 ). Будем говорить, что данные кривые в точке M0 имеют соприкосновение n-го порядка, если существует
конечный предел
lim
∆x→0
|f1 (x + ∆x) − f2 (x + ∆x)|
|∆x|
n+1
6= 0.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 50
Пример. y = x2 , y = 2x2 .
Найдём предел
(0 + ∆x)2 − 2(0 + ∆x)2
lim
|∆x|
∆x→0
n+1
2
= lim
∆x→0
|∆x|
n+1 .
|∆x|
Очевидно, что мы получим конечный, отличный от нуля предел только
при n = 1. Следовательно, эти кривые имеют соприкосновение первого
порядка.
Теорема (о достаточных условиях соприкосновения). Пусть
функции y = f1 (x) и y = f2 (x) дифференцируемы n + 1 раз в некоторой
окрестности точки x0 , причём производная n + 1-го порядка непрерывна
в точке x0 . Тогда если
f1 (x0 ) = f2 (x0 ), f10 (x0 ) = f20 (x0 ), ... ,
(n)
(n)
(n+1)
f1 (x0 ) = f2 (x0 ), f1
(n+1)
(x0 ) 6= f2
(x0 ),
то кривые y = f1 (x) и y = f2 (x) имеют в точке M0 (x0 , y0 ) соприкосновение n-го порядка, где y0 = f1 (x0 ) = f2 (x0 ).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) =
f1 (x) − f2 (x). Поскольку
F (x0 ) = 0, F 0 (x0 ) = 0, ... , F (n) (x0 ) = 0,
то по формуле Тейлора
F (x) ≡ F (x0 + ∆x) =
1
F (n+1) (x0 + θ · ∆x)∆xn+1 .
(n + 1)!
Рассмотрим
lim
|f1 (x0 + ∆x) − f2 (x0 + ∆x)|
n+1
|∆x|
∆x→0
=
= lim
∆x→0
|F (x0 + ∆x)|
|∆x|
n+1
=
F (n+1) (x0 + θ · ∆x)∆xn+1
1
F (n+1) (x0 )
lim
=
=
n+1
(n + 1)! ∆x→0
(n + 1)!
|∆x|
=
1
(n+1)
(n+1)
f
(x0 ) − f2
(x0 ) 6= 0,
(n + 1)! 1
что и требовалось доказать.
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 51
2.8
Соприкасающаяся окружность
Рассмотрим кривую, описываемую функцией y = f (x) и проходящую
через точку M0 (x0 , y0 ). Найдём окружность, проходящую через точку
M0 и имеющую в этой точке соприкосновение с данной кривой не ниже
второго порядка. Пусть уравнение окружности, которую мы ищем, есть
(X − ξ)2 + (Y − η)2 = ρ2 .
Продифференцируем это уравнение дважды (нам нужны вторые производные этой кривой в точке M0 ):
00
2(X − ξ) + 2(Y − η)Yx0 = 0, 2 + 2(Yx0 )2 + 2(Y − η)Yxx
= 0.
В точке M0 имеем:

y(x0 ) = Y (x0 ) ⇒ (x0 − ξ)2 + (y0 − η)2 = ρ2 ,
y 0 (x0 ) = Yx0 (x0 ) ⇒ (x0 − ξ) + (y0 − η)yx0 (x0 ) = 0,
 x00
00
00
yxx (x0 ) = Yxx
(x0 ) ⇒ 1 + (yx0 (x0 ))2 + (y0 − η)yxx
(x0 ) = 0.
Найти окружность – это значит указать координаты центра (ξ, η) окружности и её радиус ρ.
Решая относительно указанных величин предложенную систему, получим:
3
1 + (yx0 )2 2
1 + (yx0 )2
1 + (yx0 )2
0
y0 − η = −
, x 0 − ξ = yx ·
, ρ=
.
00
00
00 |
yxx
yxx
|yxx
В итоге получим:
ξ = x0 −
yx0
1 + (yx0 )2
·
00
yxx
1 + (yx0 )2
, η = y0 +
00
yxx
M0
1 + (yx0 )2
, ρ=
00 |
|yxx
M0
32
.
M0
Определение. Радиус соприкасающейся окружности ρ, вычисленный в точке M0 (x0 , y0 ) кривой y = f (x) называется радиусом кривизны
кривой y = f (x) в точке M0 , а обратная ему величина K = 1/ρ – кривизной кривой y = f (x) в точке M0 .
Таким образом,
K|M0 =
00
|yxx
|
.
3
[1 + (yx0 )2 ] 2
M0
Глава 2. Геометрические приложения функций многих переменных 52
Если кривая задана в параметрическом виде
x = x(t),
y = y(t),
то yx0 =
ÿ ẋ − ẍẏ
ẏ 00
, y =
. Поэтому
ẋ xx
ẋ3
K|M0 =
ÿ ẋ − ẍẏ
.
3
(ẋ2 + ẏ 2 ) 2
M0
Глава 3
Теория числовых и
функциональных рядов
ЛЕКЦИЯ 32
3.1
Основные определения теории числовых
рядов. Критерий Коши сходимости числового ряда
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность
a1 , a2 , a3 , ..., an , ...
и из членов этой последовательности составим бесконечную сумму
∞
X
ak =a1 + a2 + a3 + ... + an + ...,
k=1
которую назовём числовым рядом. Обозначим, далее
S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , ..., Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an , ...,
которые будем называть первой, второй, третьей, ..., n- ой частичной
суммой ряда.
Определение 1. Если существует конечный предел n- ой частичной
суммы ряда при n → ∞, то есть существует lim Sn = S ∈ <, то говорят,
n→∞
53
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
54
что ряд сходится; если же предел не существует, или он равен бесконечности, говорят, что ряд расходится. Предел S называют суммой ряда и
пишут
∞
X
ak =S.
k=1
Пример 1.
∞
P
(−1)k =1 − 1 + 1 − 1 + ... .
k=0
Находим
S1 = 1, S2 = 0, S3 = 1, ..., S2n−1 = 1, S2n = 0,
то есть предел частичных сумм не существует. Данный ряд расходится.
Пример 2.
∞
P
q k−1 =1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n + ....
k=1
Находим
Sn = 1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n =
Видим, что если |q| < 1, то lim Sn =
n→∞
1
1−q ,
1 − q n−1
.
1−q
ряд сходится. Если же
q = 1, Sn = n + 1, lim Sn = ∞, и если |q| > 1, то конечного предеn→∞
n−1
ла частичных сумм lim Sn = lim 1−q
n→∞
n→∞ 1−q
случаях ряд расходится.
не существует, в обоих этих
Поскольку вопрос о сходимости ряда сводится к сходимости последовательности частичных сумм {Sn }, то к этой последовательности применим критерий Коши.
Критерий Коши (сходимости ряда). Для того, чтобы ряд
∞
P
ak
k=1
сходился, необходимо и достаточно чтобы для ∀ ε > 0 ∃ N (ε) : n > N (ε)
и для всех натуральных p, было выполнено
|Sn+p − Sn | < ε,
или
|an+1 + an+2 + an+3 + ... + an+p | < ε,
или
n+p
X
k=n+1
ak < ε.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
∞
P
55
Необходимый признак сходимости ряда. Для того, чтобы ряд
ak сходился, необходимо чтобы
k=1
lim an = 0.
n→∞
Доказательство. Действительно, критерий Коши при p = 1 даёт:
для ∀ ε > 0 ∃ N (ε) : n > N (ε) выполняется |an+1 | < ε, а значит и |an | < ε,
и, следовательно, lim an = 0, что и утверждается.
n→∞
Из этой теоремы следует, что если lim an 6= 0, или же этот предел не
n→∞
существует, то ряд расходится. Но если lim an = 0, то можно ли утверn→∞
ждать, что ряд сходится? Достаточно ли этого условия для сходимости
ряда? Ответ: нет, не достаточно. В этом нас убеждает простой пример:
∞
X
1
1 1
1
=1 + + + ... + + ....
k
2 3
n
k=1
Этот ряд называется гармоническим рядом. Ясно, что lim n1 = 0. Но,
n→∞
по критерию Коши, при p = n имеем
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
+
+ ... +
= .
>
=n
n+1 n+2
n+n
2n 2n
2n
2n
2
Видим: |Sn+p − Sn | > 12 и никогда не может быть выполнено
|Sn+p − Sn | < ε для ∀ ε > 0. Таким образом, гармонический ряд – расходящийся ряд, несмотря на то, что необходимое условие выполнено.
3.2
Ряды с положительными членами
Ряды с положительными членами – это ряды вида
∞
P
ak , где все ak ≥ 0.
k=1
Теорема 1. Для того, чтобы ряд с положительными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных
сумм была ограничена.
Доказательство. Действительно, последовательность
{S1 , S2 , ..., Sn , ...} – неубывающая, и если она ограниченна, то она имеет
предел.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
56
Обратно, если ряд с положительными членами сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена сверху суммой этого ряда.
Теорема 2. Если начиная с некоторого номера k0 члены рядов с по∞
∞
P
P
ложительными членами
ak и
bk связаны неравенствами ak ≤ c · bk
k=1
k=1
(c − const, c > 0), то из сходимости большего (второго) ряда следует сходимость меньшего (первого) ряда. Из расходимости меньшего (первого)
ряда следует расходимость большего (второго) ряда.
(b)
(a)
(b)
(a)
Доказательство. Видим, что Sn ≤ c · Sn , где Sn и Sn составлены из рядов, у которых отброшены первые k0 членов. Если второй ряд
(b)
сходится, то {Sn } – ограниченная последовательность, следовательно,
(b)
ограниченной является последовательность {c · Sn }, тем более, является
(a)
ограниченной последовательность {Sn }. Тогда, на основании теоремы 1,
∞
∞
P
P
(a)
ряд
ak – сходится. Если же первый ряд
ak – расходится, то {Sn }
k=1
k=1
– неограниченная последовательность, вследствие этого неограниченной
∞
P
(b)
bk расхоявляется последовательность {Sn }, и поэтому второй ряд
k=1
дится.
Пример 1.
∞
P
k=1
√1 .
k
Очевидно, что
√1
k
>
1
k;
но ряд
∞
P
k=1
1
k
расходится.
Следовательно, расходится и исследуемый ряд.
Пример 2.
∞
P
k=1
1
k!
=1+
1
1·2
+
1
1·2·3
+
1
1·2·3·4
+ ... . Но
1
1
1
<
= k−1 .
1 · 2 · 3 · 4 · ... · k
1 · 2 · 2 · 2 · ... · 2
2
∞
P
1 k−1
Поскольку ряд
сходится (это сумма членов бесконечно убы2
k=1
вающей геометрической прогрессии со знаменателем q =
исходный ряд сходится.
1
2
< 1), то и
Теорема 3. (Признак сходимости Даламбера). Если
ak+1
lim
= L,
k→∞ ak
∞
P
то ряд с положительными членами
ak сходится, если L < 1 и расхоk=1
дится, если L > 1.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
57
Доказательство. Разберём случай, когда L < 1. Нам дано, что
= L. Это означает, что для ∀ ε > 0 ∃ N (ε) такое, что как только
lim aak+1
k
k→∞
n > N (ε), так сразу выполнится неравенство
an+1
an
− L < ε, или, что то
an+1
ak n
же, L − ε <
< L + ε.
Зададимся ε > 0 так, что бы L + ε < 1. Поскольку величина ε выбирается произвольно, этого всегда можно добиться (положим, например,
1−L
2 = ε). Обозначим L + ε = q. Для заданного ε > 0 найдём такой номер
< L+ε = q. Иначе
N0 , что для всех n > N0 выполнится неравенство aan+1
n
говоря, для всех n > N0 одновременно выполнятся неравенства
aN0 +1
aN0 +2
aN0 +3
an+1
< q,
< q,
< q, ... ,
< q.
aN0
aN0 +1
aN0 +2
an
Перемножим эти неравенства. Получим, что начиная с номера N0 и для
всех номеров превосходящих этот номер, выполнится неравенство aan+1
<
N0
∞
P
aN0
. Поскольку ряд
q n+1−N0 , или an+1 < q n+1 · qN
q n при |q| < 1 сходится,
0
n=0
то, по теореме 2, сходится и исследуемый ряд.
Разберём теперь случай, когда L > 1. Зададимся ε > 0 так, что бы
L − ε > 1. Для заданного ε > 0 найдём такой номер N0 , что для всех
n > N0 выполнится неравенство aan+1
> L − ε = q, то есть для всех
n
n > N0 одновременно выполнятся неравенства
aN0 +2
aN0 +3
an+1
aN0 +1
> q,
> q,
> q, ... ,
> q.
aN0
aN0 +1
aN0 +2
an
Перемножим эти неравенства. Получим, что начиная с номера N0 и
для всех номеров превосходящих этот номер, выполнится неравенство
∞
P
aN0
an+1
n+1−N0
, или an+1 > q n+1 · qN
q n при |q| > 1
. Но так как ряд
0
aN > q
0
n=0
расходится, то, по теореме 2, расходится и исследуемый ряд. Теорема
доказана.
Теорема 4. (Радикальный признак сходимости Коши). Если
lim
k→∞
√
k
ak = L,
то то ряд с положительными членами
∞
P
k=1
расходится, если L > 1.
ak сходится, если L < 1 и
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
58
Доказательство. Пусть L < 1. Нам дано, что lim
√
k
k→∞
ak = L. Это
означает, что для ∀ ε > 0 ∃ N (ε) такое, что как только n > N (ε), так
√
сразу выполнится неравенство k ak − L < ε, или, что то же,
L−ε<
√
k
ak < L + ε.
Зададимся ε > 0 так, что бы L + ε < 1. Для заданного ε > 0 найдём
√
такой номер N0 , что для всех n > N0 выполнится неравенство k ak <
∞
P k
L + ε = q, или ak < q k . Поскольку ряд
q при |q| < 1 сходится, то, на
k=1
основании теоремы 2, ряд, исследуемый нами, сходится.
Пусть теперь L > 1. Зададимся ε > 0 так, что бы L − ε > 1. Для
заданного ε > 0 найдём такой номер N0 , что для всех n > N0 выполнится
∞
P
√
неравенство k ak > L − ε = q, или ak > q k . Но так как ряд
q k при
k=1
|q| > 1 расходится, то, на основании теоремы 2, исследуемый нами ряд
так же расходится. Теорема доказана.
Теорема 5. (Интегральный признак сходимости Коши). Пусть
∞
P
f (x) > 0 – невозрастающая функция при x > 0. Тогда ряд
f (n) сходится, если сходится несобственный интеграл первого рода
Доказательство. Пусть интеграл
R∞
n=1
R∞
f (x)dx.
0
f (x)dx сходится. Видим, что
0
Z2
f (2) ≤
Z3
f (x)dx, f (3) ≤
1
Zn
f (x)dx, ... , f (n) ≤
2
f (x)dx, ... .
n−1
Тогда
Z3
Z2
Sn = f (2) + f (3) + ... + f (n) ≤
f (x)dx + ...+
f (x)dx+
2
1
где K = const, так как интеграл
R∞
0
Zn
f (x)dx < K,
n−1
f (x)dx сходится. Частичные суммы
исследуемого ряда с положительными членами ограничены и, следовательно, по теореме 1, ряд сходится.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
Пример.
∞
P
k=1
1
kλ
59
– обобщённый гармонический ряд.
f (k) =
1
1
, f (x) = λ ,
kλ
x
Z∞
1
1
x1−λ
dx =
λ
x
1−λ
∞
.
1
Очевидно, что интеграл, а вместе с ним и ряд, сходится, если λ > 1 и
расходится, если λ ≤ 1.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
60
ЛЕКЦИЯ 33
3.3
Абсолютно и условно сходящиеся ряды
∞
P
Пусть нам дан числовой ряд
ak .
k=1
Определение 1. Ряд
∞
P
ak (ak – вещественные числа любого знака)
k=1
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
∞
P
|ak |, состав-
k=1
ленный из абсолютных значений членов этого ряда.
Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство. Действительно, для заданного числового ряда
∞
P
ak
k=1
признак Коши сходимости ряда даёт:
|Sn+p − Sn | = |an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ |an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε
при n > N (ε) и для любого натурального p, так как ряд
∞
P
|ak | сходится.
k=1
Таким образом, |Sn+p − Sn | < ε, критерий Коши выполнен, ряд сходится.
Определение 2. Ряд
∞
P
сходится, а ряд
∞
P
ak называется условно сходящимся, если он
k=1
|ak | расходится.
k=1
Пример.
∞
P
k=1
ak =
(−1)k−1
,
k
(−1)k−1
k
=1−
|ak | = k1 ,
∞
P
k=1
1
k
1
2
+
1
3
−
1
4
+ ... .
– это гармонический ряд, он расходится.
Покажем, что исследуемый знакопеременный ряд сходится. Для этого
рассмотрим частичные суммы Sn этого ряда. Если n – чётное, то есть
n = 2m, то
1
1 1
1
1
S2m = 1 −
+
−
+ ... +
−
.
2
3 4
2m − 1 2m
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
61
Ясно, что последовательность частичных сумма растёт. С другой стороны
1 1
1
1
1
1 1
−
−
−
− ... −
−
−
< 1,
S2m = 1 −
2 3
4 5
2m − 2 2m − 1
2m
то есть данная последовательность частичных сумм ограничена сверху.
Следовательно существует конечный предел lim S2m = S. Если n =
m→∞
1
1
2m − 1, то S2m−1 = S2m + 2m
; lim S2m−1 = lim S2m + lim 2m
=
m→∞
m→∞
m→∞
S + 0 = S. Следовательно, lim Sn = S. Тем самым мы доказали, что
n→∞
∞
P
(−1)k−1
знакопеременный ряд
сходится, и сходится условно.
k
k=1
Какие арифметические операции можно проводить с условно сходящимися рядами? Одним из важнейшим свойств суммы конечного числа слагаемых является переместительное свойство: от перестановки мест
слагаемых сумм не меняется. Сохраняется ли это свойство для бесконечных рядов?
Ответ: для абсолютно сходящихся рядов – да, для условно сходящихся рядов – нет. Чтобы доказать, что для условно сходящихся рядов, если
переставить местами члены ряда, переместительное свойство не выполняется, достаточно привести хотя бы один пример.
Рассмотрим ряд
∞
X
(−1)k
k=1
k
=1−
1 1 1
1
1
+ − + ... +
−
+ ... .
2 3 4
2k − 1 2k
Мы знаем, что этот ряд сходится, его сумму мы выше обозначили через S.
Переставим сейчас члены ряда так, чтобы после положительного члена
стояли два отрицательных:
1
1
1
1 1 1 1 1
−
−
+ ... .
1 − − + − − + ... +
2 4 3 6 8
2k − 1 4k − 2 4k
Покажем, что этот ряд сходится, но имеет сумму S ∗ = 12 S. Действительно,
X
m m X
1
1
1
1
1
∗
−
−
=
−
=
S3m
=
2k − 1 4k − 2 4k
4k − 2 4k
k=1
k=1
=
m
X
k=1
1
2
1
1
−
2k − 1 2k
=
1
S2m ,
2
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
62
1
1
1
= S2m +
,
4m
2
4m
1
1
1
1
∗
= S3m−1
+
= S2m +
+
.
4m − 2
2
4m − 2 4m
∗
∗
S3m−1
= S3m
+
∗
S3m−2
Таким образом,
∗
lim S3m
=
m→∞
1
1
1
∗
∗
S, lim S3m−1
= S, lim S3m−2
= S,
m→∞
m→∞
2
2
2
то есть lim Sn∗ = 12 S. Тем самым мы показали, что в результате укаn→∞
занной выше перестановки членов ряда сумма условно сходящегося ряда
изменилась.
Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то каково бы ни было
число R ∈ <, можно так переставить члены ряда, что сумма преобразованного ряда будет равна R.
Теорема Коши. Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного перестановкой членов, сходится абсолютно и имеет
ту же сумму, что и данный ряд.
Таким образом, переместительное свойство сохраняется лишь для абсолютно сходящихся рядов.
Теорема 2. Если ряды
∞
P
и S(b), то ряд
∞
P
ak и
k=1
∞
P
bk сходятся и имеют суммы S(a)
k=1
(ak ± bk ) тоже сходится и его сумма S = S(a) ± S(b).
k=1
Доказательство. Составим частичные суммы Sn (a), Sn (b), и Sn =
Sn (a) ± Sn (b). Переходя к пределу при n → ∞, получим:
lim Sn = lim Sn (a) ± lim Sn (b) = S(a) ± S(b) = S,
n→∞
n→∞
n→∞
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если ряды
∞
P
k=1
ak и
∞
P
bk сходятся абсолютно, то ряд со-
k=1
ставленный из всех произведений вида ap ·bq (p = 1, 2, 3, ... , q = 1, 2, 3, ... ),
называется произведением указанных выше рядов. Он так же сходится
абсолютно и его сумма равна S = S(a) · S(b).
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
63
Доказательство.
!
!
∞
∞
X
X
bk = (a1 + a2 + ... + ak + ...)(b1 + b2 + ... + bk + ...) =
ak ·
k=1
k=1
= a1 b1 + a2 b1 + ... + ak b1 + ... + a1 b2 + a2 b2 + ... + ak b2 + ... + ap bq + ... .
∞
P
Обозначим через ck произведения вида ap bq и рассмотрим ряд
|ck |.
k=1
Пусть S̃N – частичная сумма этого ряда и пусть наибольший номер членов, входящих в S̃N , равен m. Тогда
S̃N ≤ (|a1 | + |a2 | + ... + |am |) · (|b1 | + |b2 | + ... + |bm |) =
= S̃m (|a|) · S̃m (|b|) < S(|a|) · S(|b|),
то есть частичная сумма S̃N – ограничена, и, следовательно, ряд
сходится. Первая часть теоремы доказана. Поскольку ряд
∞
P
∞
P
|ck |
k=1
ck , как
k=1
мы только что доказали, сходится абсолютно, его сумма не зависит от
порядка суммирования его членов. Поэтому какую бы последовательность его частичных сумм не брать, она сходится к числу S. Рассмотрим
Sn2 = Sn (a) · Sn (b). Переходя к пределу при n → ∞, получим:
lim Sn2 = lim Sn (a) · lim Sn (b) = S(a) · S(b) = S.
n→∞
n→∞
n→∞
Теорема доказана.
3.4
Пусть
Признаки сходимости рядов, члены которых имеют произвольные знаки
∞
P
ak – ряд, члены которого имеют какие угодно знаки. Для уста-
k=1
новления абсолютной сходимости этого ряда, строим ряд с положитель∞
P
ными членами
|ak | и применим любой из признаков сходимости (Даk=1
ламбера, радикальный или интегральный признаки Коши и так далее.)
Если же ряд сходится условно, то эти признаки бессильны. Здесь нужны более тонкие признаки сходимости. Такими признаками являются, в
частности, признак Абеля и признак Дирихле.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
64
Для их рассмотрения проведём полезную для дальнейшего исследования оценку, указанную Абелем. Рассмотрим частичные суммы
(a)
S1
(a)
= a1 , S2
(a)
= a1 +a2 , S3
= a1 +a2 +a3 , ... , Sn(a) = a1 +a2 +a3 +...+an .
Выражая через множители ak эти суммы,
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
a1 = S1 , a2 = S2 − S1 , a3 = S3 − S2 , ... , an = Sn(a) − Sn−1 ,
сумму Sn можно записать в виде
Sn =
n
X
ak · bk =
k=1
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
= S1 · b1 + (S2 − S1 ) · b2 + (S3 − S2 ) · b3 + ... + (Sn(a) − Sn−1 ) · bn .
Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать члены, то и получим окончательную формулу
Sn =
n
X
(a)
(a)
(a)
ak · bk =S1 · (b1 − b2 ) + S2 · (b2 − b3 ) + S3 · (b3 − b4 ) + ...+
k=1
(a)
+Sn−1 · (bn−1 − bn ) + Sn(a) · bn =
n−1
X
(a)
Sk · (bk − bn+1 ) + Sn(a) · bn .
k=1
Основываясь на полученной формуле, выведем теперь следующую
оценку для сумм указанного вида.
Лемма Абеля. Если множители bk не возрастают (или не убывают),
(a)
а все суммы Sk все ограничены по абсолютной величине числом M :
n
P
(a)
Sk ≤ M (k = 1, 2, ..., n), то |Sn | =
ak · bk ≤ M · (|b1 | + 2 |bn |).
k=1
Действительно, поскольку все разности в полученной выше формуле одного знака, имеем:
n−1
n−1
P (a)
P (a)
(a)
(a)
|Sn | ≤
Sk · (bk − bn+1 ) + Sn · bn ≤
Sk · |bk − bn+1 | + Sn ·
|bn | ≤
k=1
n−1
P
k=1
M · |bk − bn+1 | + M · |bn | ≤ M (|b1 − bn | + |bn |) ≤ M (|b1 | + 2 |bn |).
k=1
Нетрудно видеть, что если множители bk не возрастают и положительны, то оценку можно упростить: |Sn | ≤ M · b1 .
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
Признак Абеля. Пусть дан ряд
ряд
∞
P
∞
P
65
ak · bk . Этот ряд сходится, если:
k=1
ak сходится, а числа bk – образуют монотонную и ограниченную
k=1
последовательность (то есть, для любых k выполнено |bk | ≤ K).
∞
P
Доказательство. Покажем, что для ряда
ak · bk , при указанных
k=1
в теореме условиях, выполнен критерий Коши
|Sn+p − Sn | = |an+1 · bn+1 + an+2 · bn+2 + ... + an+p · bn+p | < ε.
Поскольку ряд
∞
P
ak сходится, для него выполнен критерий сходи-
k=1
мости Коши: по заданному εa > 0 найдётся такой номер N , что при всех
n > N неравенство |an+1 + an+2 + ... + an+p | < εa будет выполняться, каково бы ни было p. Следовательно, за число M, фигурирующее в лемме,
можно принять εa . Имеем тогда при n > N :
n+p
X
def
ak · bk ≤ εa · (|bn+1 | + 2 |bn+p |) ≤ 3K · εa = ε,
k=n+1
что и доказывает сходимость исследуемого ряда.
Признак Дирихле. Пусть дан ряд
∞
P
ak · bk . Этот ряд сходится,
k=1
(a)
если частичные суммы Sk
(a)
ограничены по абсолютной величине Sk
≤
K (k = 1, 2, ..., n), а числа bk – образуют монотонную последовательность,
стремящуюся к нулю: lim bn = 0.
n→∞
Доказательство. Поскольку числа bk – образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю, то по заданному εb > 0 найдётся такой номер N, что при всех n > N будет выполнено неравенство
|bn | < εb . Кроме того, очевидно, что
(a)
|an+1 + an+2 + ... + an+p | = Sn+p − Sn(a) ≤ 2K,
и можно в лемме положить M = 2K. Тогда при всех n > N и при любых
p:
n+p
X
def
ak · bk ≤ 2K · (|bn+1 | + 2 |bn+p |) ≤ 6K · εb = ε.
k=n+1
Сходимость ряда доказана.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
66
Замечание. Признак Абеля вытекает из признака Дирихле. Ведь из
предложений Абеля следует, что последовательность чисел bk имеет конечный предел b. Если переписать исследуемый ряд в виде суммы рядов
∞
∞
P
P
ak · (bk − b) + b ·
ak , то второй из них сходится по предположению,
k=1
k=1
а к первому уже применим признак Дирихле.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряду
∞
P
(−1)k−1 · bk
k=1
числа bk образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю, то ряд сходится, а его сумма S < b1 .
Доказательство. Очевидно, что для данного ряда условия признака Дирихле выполнены. Следовательно, этот ряд сходится. Вторая часть
утверждения следует из того, что S = b1 − (b2 − b3 ) − (b3 − b4 ) − ... < b1 .
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
67
ЛЕКЦИЯ 34
3.5
Функциональная последовательность и
равномерная сходимость
Рассмотрим последовательность функций
{fn (x)} = f1 (x), f2 (x), f3 (x), ..., fn (x), ...
определённых на множестве X. Если зафиксировать точку x0 ∈ X, функциональная последовательность превратится в числовую:
{fn (x0 )} = f1 (x0 ), f2 (x0 ), f3 (x0 ), ..., fn (x0 ), ... .
Определение 1. Функциональная последовательность {fn (x)} называется сходящейся в точке x0 , если сходится последовательность {fn (x0 )}.
Точка x0 называется точкой сходимости последовательности {fn (x)}.
Определение 2. Если последовательность {fn (x)} сходится в каждой точке множества X, то говорят, что последовательность {fn (x)} сходится на множестве X и пишут lim fn (x) = f (x).
n→∞
На языке ε÷N это определение читается так: функциональная последовательность {fn (x)} называется сходящейся к функции f (x) на множестве X, если при каждом фиксированном x ∈ X для любого сколь
угодно малого ε > 0 существует такой номер N (ε, x), что неравенство
|fn (x) − f (x)| < ε выполнится сразу, как только выполнится n > N (ε, x).
Отметим, что номер N зависит и от ε, и от x: значения функций fn (x)
и f (x) меняются от точки к точке, поэтому, при заданном ε, неравенство
|fn (x) − f (x)| < ε начинает выполняться, в зависимости от выбора точки,
при разных значениях N.
Однако, среди всех сходящихся функциональных последовательностей особое значение имеют функциональные последовательности, сходящиеся равномерно на сегменте [a, b].
Определение 3. Последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к функции f (x) на сегменте [a, b], если для любого сколь
угодно малого ε > 0 существует такой номер N (ε), что неравенство
|fn (x) − f (x)| < ε выполнится сразу для всех x ∈ [a, b], как только выполнится n > N (ε).
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
68
Пример 1. fn (x) = n1 sin nx. Видим, что fn (x) → 0 при n → ∞. Эта
сходимость равномерная, так как n1 sin nx − 0 < n1 < ε для n > 1ε и для
всех x ∈ (−∞, +∞) сразу.
Пример 2. fn (x) =
2nx
1+n2 x2 ,
2nx
2 2
n→∞ 1+n x
x ∈ [0, +∞). lim
= 0, то есть
последовательность сходится к функции f (x) = 0. Но эта сходимость
неравномерная, поскольку при фиксированном x за счёт увеличения n
2nx
2nx
мы можем добиться выполнения неравенства 1+n
2 x2 − 0 = 1+n2 x2 < ε
для любого сколь угодно малого ε > 0. Однако, положив после этого
x = n1 , получим |fn (x)| = 1 < ε. Это противоречие показывает, что независимо от x ∈ [0, +∞) добиться выполнения неравенства
невозможно.
2nx
1+n2 x2
−0 <ε
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной
последовательности. Для равномерной сходимости функциональной
последовательности {fn (x)} к функции f (x) на сегменте [a, b] необходимо
и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого ε > 0 существовал
такой номер N (ε), что при всех n > N (ε) и для любого натурального p неравенство |fn+p (x) − fn (x)| < ε выполнялось бы сразу для всех
x ∈ [a, b].
Доказательство. Необходимость. В этом случае нам дано, что функциональная последовательность {fn (x)} равномерно сходится к функции f (x). Таким образом,
для любого ε > 0 существует число N = N (ε), такое, что для всех n > N (ε) и для
всех x ∈ [a, b], имеем |fn (x) − f (x)| < ε/2. Но тогда при n > N (ε) и n + p > N (ε) имеем
|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| < ε/2 + ε/2 = ε,
что и требовалось доказать.
Достаточность. При каждом фиксированном x ∈ [a, b] функциональная последовательность {fn (x)} превращается в числовую и для неё выполняется критерий Коши.
Это значит, что она имеет предел f (x), то есть предельная функция существует на
всём сегменте [a, b]. Далее, каково бы ни было число ε > 0, по условию найдётся номер
N1 = N1 (ε/2) такой, что при всех n > N1 и n + p > N1 имеем |fn+p (x) − fn (x)| < ε/2.
Снова произвольно зафиксируем x ∈ [a, b], и устремим p к бесконечности. Получим неравенство |fn (x) − f (x)| ≤ ε/2 < ε. Но тогда, полагая N = N (ε) = N1 (ε/2), при
всех n > N и всех x ∈ [a, b] будем иметь |fn (x) − f (x)| < ε, то есть функциональная
последовательность {fn (x)} равномерно сходится к функции f (x). Теорема доказана.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
3.6
69
Функциональные ряды и равномерная сходимость функциональных рядов
Если на множестве X задана функциональная последовательность {un (x)} ,
то из элементов этой последовательности мы можем образовать функциональный ряд
∞
X
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... .
k=1
Определение 1. Функциональный ряд
∞
P
uk (x) называется сходя-
k=1
щимся, если сходится последовательность его частичных сумм
Sn (x) =
n
X
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x).
k=1
Предел lim Sn (x) = S(x) называют суммой ряда и пишут S(x) =
n→∞
Определение 2. Функциональный ряд
∞
P
∞
P
uk (x).
k=1
uk (x) называется равно-
k=1
мерно сходящимся к своей сумме S(x), если к функции S(x) равномерно
сходится последовательность его частичных сумм Sn (x), то есть если для
любого сколь угодно малого ε > 0 существовал такой номер N (ε), что
при всех n > N (ε) неравенство |S(x) − Sn (x)| < ε выполнялось бы сразу
для всех x ∈ X.
Так как S(x) = Sn (x)+
∞
P
def
uk (x) = Sn (x)+rn (x), то это определение
k=n+1
эквивалентно следующему: ∀ ε > 0 ∃ N (ε) : n < N (ε), |rn (x)| < ε сразу
для всех x ∈ X.
Пример.
∞ X
sin(k + 1)x
sin kx
=
k+2
k+1
k=1
sin 2x sin x
sin 3x sin 2x
sin 4x sin 3x
=
−
+
−
+
−
+ ... .
3
2
4
3
5
4
sin 2x sin x
sin 3x sin 2x
sin 4x sin 3x
Sn (x) =
−
+
−
+
−
+ ...
3
2
4
3
5
4
−
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
+
70
sin(n + 1)x sin nx
sin(n + 1)x sin x
sin nx sin(n − 1)x
−
+
−
=
−
.
n+1
n
n+2
n+1
n+2
2
sin x
.
2
1
sin(n + 1)x
<
<ε
|Sn (x) − S(x)| =
n+2
n+2
S(x) = lim Sn (x) = −
n→∞
– ряд сходится равномерно для всех x ∈ (−∞, +∞).
Поскольку равномерная сходимость ряда сводится к равномерной сходимости последовательности частичных сумм, то критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда формулируется так:
Критерий Коши равномерной сходимости функционально∞
P
го ряда. Для равномерной сходимости ряда
uk (x) на множестве X
k=1
необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого ε > 0
существовал такой номер N (ε), что при всех n > N (ε) и для любого
n+p
P
натурального p неравенство |Sn+p (x) − Sn (x)| =
uk (x) < ε выполk=n+1
нялось бы сразу для всех x ∈ X.
Определение. Если для всех x ∈ X выполнено неравенство |uk (x)| <
∞
P
ak = const, то ряд
ak называется мажорирующим рядом или мажоk=1
рантой для функционального ряда
∞
P
uk (x).
k=1
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если мажо∞
∞
P
P
рантный ряд
ak для функционального ряда
uk (x) сходится, то
k=1
функциональный ряд
∞
P
k=1
uk (x) сходится равномерно.
k=1
Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием Ко∞
P
ши. Поскольку мажорантный ряд
ak сходится, критерий сходимости
k=1
Коши для него выполнен. Следовательно,
n+p
X
k=n+1
uk (x) ≤
n+p
X
k=n+1
|uk (x)| ≤
n+p
X
k=n+1
ak < ε
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
71
сразу для всех x ∈ X, а это означает, что критерий Коши равномерной
сходимости функционального ряда выполнен. Функциональный ряд сходится равномерно, что и требовалось доказать.
Если к исследуемому ряду
∞
P
uk (x) признак Вейерштрасса оказался
k=1
применим, то этот ряд необходимо абсолютно сходящийся. Более того,
одновременно с этим рядом будет равномерно сходящимся и ряд, состав∞
P
ленный из абсолютных величин его членов:
|uk (x)|.
k=1
Между тем возможны случаи, когда функциональный ряд сходится равномерно, будучи неабсолютно сходящимся. Подобные случаи заведомо не охватываются признаком Вейерштрасса. Для их исследования
нужны более тонкие признаки.
Сейчас мы установим признаки, относящиеся к функциональным рядам вида:
∞
X
ak (x) · bk (x) = a1 (x) · b1 (x) + a2 (x) · b2 (x) + .. + an (x) · bn (x) + ... ,
k=1
где ak (x) и bk (x) (k = 1, 2, 3, ...) – суть функции от x ∈ X.
Признак Абеля. Пусть ряд
∞
X
ak (x) = a1 (x)+a2 (x) + ... + an (x) + ...
k=1
сходится равномерно на множестве X, а функции bk (x) при каждом
x ∈ X образуют монотонную последовательность и в совокупности –
∞
P
при любых x и n – ограничены: |bn (x)| ≤ M. Тогда ряд
ak (x) · bk (x)
k=1
сходится равномерно X.
Доказательство. Доказательство аналогично прежнему (см. предыдущую лекцию). Покажем, что для исследуемого ряда, при указанных в
теореме условиях, выполнен критерий Коши. Ввиду равномерной сходи∞
P
мости ряда
ak (x), номер N (ε) находится независимо от x, а затем с
k=1
помощью леммы Абеля получаем, как и выше, при n > N (ε) оценку:
n+p
X
k=n+1
ak (x) · bk (x) < ε (|bn+1 (x)| + 2 |bn+p (x)|) ≤ 3M ε
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
72
сразу для всех x ∈ X. Утверждение доказано.
(a)
Признак Дирихле. Пусть частичные суммы Sn (x) ряда
∞
X
ak (x) = a1 (x)+a2 (x) + ... + an (x) + ...
k=1
(a)
в совокупности – при любых x и n – ограничены: Sn (x) ≤ K, а функции
bk (x) при каждом x ∈ X образуют монотонную последовательность, ко∞
P
торая сходится к нулю равномерно на множестве X. Тогда ряд
ak (x) ·
k=1
bk (x) сходится равномерно на множестве X.
Доказательство. Доказательство проводится полностью аналогично тому, как это было сделано при доказательстве признака Дирихле в
прошлой лекции. Отметим только, что номер N (ε) можно выбрать независимо от x именно ввиду равномерного стремления bk (x) к нулю.
Пример. Рассмотрим ряды
∞
P
ak · sin kx и
k=1
∞
P
ak · cos kx, где числа
k=1
ak (x), монотонно убывая, стремятся к нулю при k → ∞. Покажем, что
оба ряда сходятся при любом значении x 6= 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...).
Действительно,
n
X
sin kx =
k=1
n
X
sin kx · sin x
2
k=1
sin x2
=
n
1 Xh
1
1 i
cos(k
−
)x
−
cos(k
+
)x =
2 sin x2
2
2
k=1
(n − 32 )
(n − 21 )
1 h
1
3
3
5
x−cos
x+
x cos x−cos x+cos x−cos x+...+cos
2 sin 2
2
2
2
2
2
2
(n − 21 )
(n + 12 ) i
(n + 21 ) i
x
1 h
1
,
+ cos
x − cos
x =
− cos
x ≤
x cos
2
2
2 sin 2
2
2
sin x2
=
(n+ 1 )
так как и cos x2 ≤ 1, и cos 2 2 x ≤ 1.
Совершенно аналогично покажем, что
n
X
cos kx =
k=1
1 h
1
1 i
1
.
x sin(n + )x − sin x ≤
2 sin 2
2
2
sin x2
Если, по условию задачи, 2πk +ε < x < 2π(k +1)−ε (k = 0, ±1, ±2, ...),
n
P
то sin1 x < sin1 ε . Тем самым мы показали, что частичные суммы
sin kx
2
2
k=1
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
и
n
P
k=1
cos kx по абсолютной величине ограничены числом
73
1
sin 2ε
≡ K. А
поскольку числа ak (x), монотонно убывая, стремятся к нулю при k → ∞,
оба условия признака Дирихле выполнены. Ряды сходится равномерно.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
74
ЛЕКЦИЯ 35
3.7
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
Теорема 1. Если члены ряда uk (x) определены на сегменте [a, b] и непре∞
P
рывны в точке x0 ∈ [a, b], а ряд
uk (x) сходится равномерно на сегменте
[a, b], то сумма ряда S(x) =
∞
P
k=1
uk (x) – непрерывная функция в точке x0 .
k=1
Доказательство. Очевидно, что сумму ряда S(x) для любого x0 ∈
[a, b] всегда можно представить в виде
S(x) = Sn (x) +
∞
X
def
uk (x) = Sn (x) + rn (x).
k=n+1
Зададимся любым, сколь угодно малым ε > 0.
|S(x) − S(x0 )| = |Sn (x) + rn (x) − Sn (x0 ) − rn (x)| ≤
≤ |Sn (x) − Sn (x0 )| + |rn (x)| + |rn (x0 )| ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε,
так как в силу непрерывности функций uk (x) конечная сумма Sn (x) так
же непрерывна в точке x0 ∈ [a, b], а это значит, что любого заданного
ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что как только выполнится неравенство
|x − x0 | < δ, так сразу выполнится неравенство |Sn (x) − Sn (x0 )| < ε/3.
А в силу равномерной сходимости ряда, |rn (x)| < ε/3 и |rn (x0 )| < ε/3
при всех n > N (ε). Тем самым мы показали, что бесконечно малому приращению аргумента |x − x0 | = ∆x в точке x0 соответствует бесконечно
малое приращение функции в этой же точке: |S(x) − S(x0 )| = ∆S. Определение непрерывности функции в точке выполнено. Теорема доказана.
Следствие. Если члены ряда uk (x) – непрерывные функции на сег∞
P
менте [a, b], а ряд
uk (x) сходится равномерно на сегменте [a, b], то
k=1
сумма ряда S(x) – непрерывная функция для всех x0 ∈ [a, b].
Замечание. Если ряд
∞
P
uk (x) сходится неравномерно на множестве
k=1
X, то не означает, что его сумма обязательно будет разрывной функцией.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
75
Действительно, рассмотрим пример:
∞ X
(k − 1)x
kx
−
.
1 + k 2 x2
1 + (k − 1)2 x2
k=1
Для него:
nx
, S(x) = 0.
1 + n2 x2
Ряд на сегменте [0, 1], сходится неравномерно, так как |Sn (x) − S(x)| =
1
1
nx
1+n2 x2 = 2 при x = n . То есть независимо от x только за счёт увеличения n эту разность сделать меньше любого наперёд заданного числа
невозможно. Тем не менее, функция S(x) = 0 – то есть прямая – ось x –
есть непрерывная функция.
Sn (x) =
Теорема 2. Пусть функции uk (x) определены в некоторой окрестно∞
P
сти точки x0 и ряд
uk (x) сходится равномерно в данной окрестности.
k=1
Пусть также lim uk (x) = ak . Тогда
x→x0
A) ряд
∞
P
ak сходится;
k=1
B) lim
∞
P
x→x0 k=1
uk (x) =
∞
P
lim uk (x) =
k=1 x→x0
∞
P
ak .
k=1
Доказательство. Зададимся любым, сколь угодно малым ε > 0. По∞
P
скольку ряд
uk (x) сходится равномерно в окрестности точки x0 , то
k=1
для всех x сразу из этой окрестности выполнится критерий Коши:
|un+1 (x) + un+2 (x) + ... + un+p (x)| < ε
для любого натурального p. Перейдём в этом неравенстве к пределу при
x → x0 . Получим:
|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε.
∞
P
В силу выполнения критерия Коши, ряд
ak сходится. Первое утвер-
k=1
ждение теоремы доказано. Обозначим числом A сумму этого ряда: A =
∞
P
ak , а числом An – частичную сумму этого ряда:
k=1
An =
n
X
k=1
ak , A = An +
∞
X
k=n+1
def
a k = An + q n ,
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
76
здесь qn – остаток ряда. Оценим
|S(x) − A| = |Sn (x) + rn (x) − An − qn | ≤ |Sn (x) − An | + |rn (x)| + |qn | .
Так как n – конечно, то для конечной суммы выполнено lim Sn (x) =
x→x0
An , то есть для заданного ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что как только
выполнится неравенство |x − x0 | < δ, так сразу выполнится неравенство
|Sn (x) − An | < ε/3. В силу равномерной сходимости ряда |rn (x)| < ε/3
∞
P
при n > N1 (ε) для всех x сразу, а в силу сходимости ряда
ak , |qn | < ε/3
k=1
при n > N2 (ε). Тогда при n > max(N1 (ε), N2 (ε)) и при x → x0 имеем
окончательно:
∞
X
uk (x) −
k=1
∞
X
k=1
lim uk (x) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.
x→x0
Тем самым доказано второе утверждение теоремы.
∞
P
Теорема 3. Если функции uk (x) непрерывны на сегменте [a, b], а ряд
uk (x) сходится равномерно на этом сегменте, то
k=1
Zx
∞
X
x0
k=1
!
uk (x) dx =
∞
X
 x

Z
 uk (x)dx,
k=1
x0
где x ∈ [a, b] и x0 ∈ [a, b] – две произвольные точки сегмента [a, b]. Последний ряд сходится раномерно на указанном сегменте.
Смысл этой теоремы очевиден: возможно почленное интегрирование
равномерно сходящегося ряда.
∞
P
Доказательство. Поскольку uk (x) – непрерывные функции, а ряд
uk (x) сходится равномерно, то сумма ряда S(x) по теореме 1 – непре∞
Rx
Rx P
рывная функция и, следовательно, S(x)dx =
uk (x) dx – суще-
k=1
x0
x0
k=1
ствует. Но S(x) = Sn (x) + rn (x). Поэтому
Zx
Zx
S(x)dx =
x0
Zx
Sn (x)dx +
x0
Zx
rn (x)dx =
x0
x0
n
X
k=1
!
Zx
un (x) dx +
rn (x)dx =
x0
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
=
n
X
77
 x

Z
Zx
 uk (x)dx + rn (x)dx.
k=1
x0
x0
Вследствие равномерной сходимости ряда, для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такой номер N (ε), что при всех n > N (ε) выполнится
неравенство |rn (x)| < ε для всех x ∈ [a, b]. Тогда
Zx
Zx
x0
def
|rn (x)| dx ≤ ε · (x − x0 ) < ε · (b − a) = ε1 .
rn (x)dx ≤
x0
Следовательно,
Zx
S(x)dx −
n
X
 x

Z
Zx
def
 uk (x)dx =
rn (x)dx < ε · (b − a) = ε1
k=1
x0
x0
x0
Rx
при n > N (ε) и для всех x ∈ [a, b]. Это означает, что S(x)dx – есть
x0
!
x
n
R
P
сумма ряда
uk (x)dx и этот ряд сходится равномерно.
k=1
x0
Замечание. Как и раньше, эта теорема не утверждает, что если ряд
сходится неравномерно, то почленное интегрирование невозможно.
Теорема 4. Пусть функции uk (x) непрерывны на сегменте [a, b] и
имеют на этом сегменте производные u0k (x), включая правосторонние и
∞
P
левосторонние производные в точках a и b. Пусть ряд
uk (x) сходится
на сегменте [a, b], а ряд
∞
P
k=1
u0k (x)
k=1
∞
P
Тогда сумма ряда S(x) =
сходится равномерно на этом сегменте.
uk (x) дифференцируема на сегменте [a, b] и
k=1
выполнено равенство
0
S (x) =
∞
X
k=1
!0
uk (x)
=
∞
X
u0k (x).
k=1
(Иначе говоря, возможно почленное дифференцирование ряда).
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
∞
P
Доказательство. Рассмотрим ряд
k=1
78
u0k (x) = S ∗ (x). В силу теоремы
3, имеем:
=
∞
X
Zx
∞
X
a
k=1
!
u0k (x) dx =
∞
X
 x

Z
 u0k (x)dx =
k=1
∞
X
(uk (x) − uk (a)) =
k=1
a
uk (x) −
k=1
Таким образом, S(x) − S(a) =
Rx
∞
X
uk (a) = S(x) − S(a).
k=1
S ∗ (x)dx. Дифференцируя последнее ра-
a
∞
P
венство по x, получим Sx0 (x) = S ∗ (x) =
k=1
доказать.
Пример 1. Найти сумму ряда I =
тельный ряд II =
∞
P
k=0
∞
P
k=0
(−1)k 2k+1
.
2k+1 ·x
u0k (x), что и требовалось
(−1)k
2k+1 .
Рассмотрим вспомога-
Этот ряд сходится равномерно в силу
признака Абеля-Дирихле для любого x ∈ [0, α], где α < 1 – вещественное
число. Видим, что в силу теоремы 2,
I=
∞
∞
X
X
(−1)k 2k+1
(−1)k
lim x2k+1 = lim
·x
= lim II.
x→1−0
x→1−0
2k + 1 x→1−0
2k + 1
k=0
k=0
Но, в силу теоремы 3,
x
x
Z
Z
∞
∞
X
(−1)k 2k+1 X
II =
·x
=
(−1)k x2k dx =
2k + 1
k=0
k=0
Zx
2
4
0
0
Zx
6
(1 − x + x − x + ...)dx =
=
0
∞
X
1
dx = arctg x.
1 + x2
В таком случае, I = lim II = lim arctg x = π/4.
x→1−0
I=
x→1−0
∞
X
k=0
(−1) x
k=0
0
Ответ:
!
k 2k
(−1)k
= π/4.
2k + 1
dx =
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
Пример 2. Найти сумму ряда
Рассмотрим ряд II =
∞
P
k=1
∞
P
k=1
(−1)k−1
·xk .
k
(−1)k−1
k
= 1−
1
2
79
+
1
3
−
1
4
+
1
5
Он сходится равномерно на сегменте
x ∈ [0, α], где α < 1 – вещественное число. I =
lim II. Составим ряд
x→1−0
III из производных ряда II:
III = (II)0x =
∞
X
(−1)k−1 xk−1 = 1 − x + x2 − x3 + ... =
k=1
Zx
II =
1
,
1+x
dx
= ln |1 + x| , I = lim ln |1 + x| = ln 2.
x→1−0
1+x
0
Ответ:
∞
X
(−1)k−1
k=1
k
− ... .
= ln 2.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
80
ЛЕКЦИЯ 36
3.8
Степенные ряды и их абсолютная сходимость
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
∞
X
ck (x − a)k = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + ... + cn (x − a)n + ... ,
k=0
где ck – постоянные числа, a = const. Если положить x − a = x̃, то наш
ряд будет выглядеть так:
∞
X
ck x̃k = c0 + cx̃1 + c2 x̃2 + ... + cn x̃n + ... .
k=0
В дальнейшем мы тильду над x̃ опускаем и будем рассматривать только
∞
P
ряды вида
ck xk . Областью сходимости степенного ряда может быть
k=0
сегмент, полусегмент, интервал, он может выродиться в одну точку или
∞
P
xk
совпасть со всей числовой прямой. Например, ряд
k! по признаку
k=0
Даламбера сходится на всей числовой оси, при любом значении x, а ряд
∞
P
xk сходится только при |x| < 1.
k=0
Как же определить область сходимости? Ответим сначала на вопрос
об абсолютной сходимости степенного ряда.
Теорема. Если степенной ряд
∞
P
ck xk сходится при x = α, то он
k=0
сходится абсолютно для любого x ∈ (− |α| , |α|).
Доказательство. Нам дано, что числовой ряд
∞
P
ck αk . Это означа-
k=0
ет, что выполнено необходимое условие сходимости ряда: lim cn αn = 0,
n→∞
то есть последовательность {cn αn } – это бесконечно малая последовательность, а любая бесконечно малая последовательность – ограничена:
|cn αn | ≤ M = const при всех n = 0, 1, 2, 3, ... . Пусть |x| < |α| . Положим
|x|
x k
n
n
≤ M · qk .
|α| = q. Очевидно, что 0 ≤ q < 1. Тогда |cn x | = |cn α | · α
∞
P
M · q k сходится, так как q < 1. Следовательно, степенной ряд
Но ряд
k=0
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
∞
P
81
ck xk сходится по признаку сравнения рядов. Что и требовалось дока-
k=0
зать.
3.9
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Теорема 1. Если область сходимости степенного ряда не вырождается в
точку x = 0 и не совпадает со всей числовой осью, то существует конечный интервал (−R, +R), называемый интервалом сходимости, в каждой
внутренней точке которого ряд сходится абсолютно, а в каждой точке
вне сегмента [−R, +R] расходится.
Доказательство. Рассмотрим множество {|x0 |}, где x0 пробегает множество всех точек сходимости степенного ряда. Обозначим через R =
sup{|x0 |}. Очевидно, что R < ∞, так как иначе, в силу теоремы из предыдущего пункта, наш ряд сходился бы абсолютно на всей числовой оси. В
силу определения числа R как точной верхней грани, при |x| > R наш
ряд расходится. Легко видеть, что при |x| < R ряд сходится абсолютно.
Действительно, по определению точной верхней грани найдётся x0 такое,
что |x| < |x0 | < R. Но тогда, в силу предыдущего пункта, в точке x ряд
сходится абсолютно, что и утверждалось. Число R называется радиусом
сходимости.
Замечание. На концах интервала сходимости степенные ряды могут
вести себя по разному. Например ряды
I=
∞
X
k=0
xk , II =
∞
X
(−1)k
k=0
∞
∞
k=0
k=0
X xk
X
xk
xk
, III =
, IV =
k+1
k+1
(k + 1)2
имеют интервал сходимости −1 < x < +1, но для ряда IV область сходимости – [−1, +1], для ряда III – [−1, +1), для ряда II – (−1, +1], а для
ряда I – область сходимости x ∈ (−1, +1).
Укажем сейчас некоторые способы вычисления радиуса сходимости
произвольного степенного ряда.
Теорема 2. (Способ Даламбера). Если существует предел
lim
n→∞
cn+1
= l (0 ≤ l < ∞),
cn
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
82
то радиус сходимости R = 1l , причём при l = ∞ полагают R = 0, при
l = 0 полагают R = +∞.
Доказательство. Применим к исследованию сходимости степенного
∞
P
xn+1
= |x| · l. Если l = 0, то
ряда
ck xk признак Даламбера: lim cn+1
cn xn
n→∞
k=0
|x| · 0 = 0 и ряд сходится абсолютно при любом вещественном x, то есть
R = +∞. Если l = ∞ и |x| =
6 0, то |x| · l = ∞ и ряд расходится при любом
x 6= 0, то есть R = 0. Если 0 ≤ l < ∞, то при |x| · l < 1 ряд сходится
абсолютно при |x| < 1l = R, а при |x| · l > 1 ряд расходится.
Теорема 3. (Способ Коши). Если существует предел
p
lim n |cn | = l (0 ≤ l < ∞),
n→∞
то R = 1l . При этом R = 0, когда l = ∞, и R = ∞, если l = 0.
Доказательство. Применим к исследованию сходимости степенного
∞
p
P
ряда
ck xk признак Коши: lim n |cn · xn | = |x| · l. Если |x| · l < 1, ряд
n→∞
k=0
сходится, если |x| · l > 1, ряд расходится. Если l = 0, то |x| · 0 = 0 и ряд
сходится абсолютно при любом вещественном x, то есть R = +∞. Если
l = ∞ и |x| =
6 0, то |x| · l = ∞ и ряд расходится при любом x 6= 0, то есть
R = 0. Если 0 ≤ l < ∞, то при |x| · l < 1 ряд сходится абсолютно при
|x| < 1l = R, а при |x| · l > 1 ряд расходится.
3.10
Равномерная сходимость степенного ряда
Теорема. (О равномерной сходимости степенного ряда). Степен∞
P
ной ряд
ck xk сходится равномерно на каждом замкнутом интервале,
k=0
лежащем строго внутри интервала сходимости степенного ряда.
Доказательство. Пусть −R < −α ≤ x ≤ β < R. Покажем, что
на сегменте [α, β] степенной ряд сходится равномерно. Возьмём x0 =
max{|α| , |β|}, x0 ∈ (−R, +R). Тогда для всех x ∈ [α, β] выполнено нера∞
P
венство |x| < |x0 | , |cn xn | < |cn xn0 | . Но числовой ряд
ck xk0 сходится
и сходится ряд
∞
P
k=0
k=0
ck xk0
, который является мажорантой. По признаку
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
Вейерштрасса ряды
номерно.
∞
P
k=0
ck xk и
∞
P
83
ck xk0 сходятся на сегменте [α, β] рав-
k=0
Замечание 1. Часто в теореме рассматривают случай,когда α =
−r, β = r, где 0 < r < R. Сегмент равномерной сходимости в таком
случае есть [−r, r].
Замечание 2. Если степенной ряд сходится на конце интервала сходимости x = R, а при x = −R расходится, то сегментом равномерной
сходимости является сегмент [−r, R]. Если степенной ряд сходится при
x = −R, а при x = R расходится, то сегментом равномерной сходимости является сегмент [−R, r]. Наконец, если степенной ряд сходится на
концах сегмента при x = ±R, то сегмент равномерной сходимости – суть
сегмент [−R, R].
Теорема. (О непрерывности суммы степенного ряда). Сумма
степенного ряда непрерывна в каждой точке внутри интервала сходимости.
Доказательство. Если точка x лежит внутри интервала сходимости
(−R, R) (естественно, предполагается, что интервал сходимости не вырождается в точку), то её всегда можно включить в замкнутый интервал
[−r, r], где 0 < r < R. Но так как степенной ряд сходится равномерно в
данном сегменте, то сумма ряда S(x) – непрерывная функция в точке x.
Аналогично дело обстоит и в случаях, когда интервал сходимости – суть
[−r, R], [−R, r] или [−R, R].
3.11
Дифференцирование и интегрирование
степенных рядов
Теорема. (О почленном дифференцировании степенного ряда).
∞
P
Пусть степенной ряд сходится S(x) =
ck xk в интервале сходимости
k=0
(−R, R). Тогда его можно почленно дифференцировать во внутренних
∞
P
точках интервала сходимости: S 0 (x) =
k · ck xk−1 . Интервал сходимоk=1
сти ряда производных остаётся тем же – (−R, R).
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
84
Доказательство. Действительно, какое бы ни взять x, где |x| < R,
существует такое r < R, что |x| < r < R и на сегменте [−r, r] степен∞
P
ной ряд
k · ck xk−1 сходится равномерно. Тогда, по свойству о почленk=1
ном дифференцировании
сходящихся функциональных ря0
∞ равномерно
∞
P
P
ck xk =
kck xk−1 . Радиус сходимости продов, имеем S 0 (x) =
k=0
дифференцированного ряда
∞
P
k=1
k · ck xk−1 равен:
k=1
R∗ = lim
n→∞
n
cn
n · cn
cn
= lim
· lim
= lim
=R
n→∞ (n + 1) n→∞ cn+1
n→∞ cn+1
(n + 1) · cn+1
– радиус сходимости исходного степенного ряда. Таким образом, R∗ = R.
Теорема доказана.
Замечание. Процесс дифференцирования, очевидно, можно продолжать сколько угодно раз. Следовательно, степенной ряд имеет производные любого порядка.
Теорема. (О почленном интегрировании степенного ряда).
∞
P
Степенной ряд S(x) =
ck xk можно почленно интегрировать в интервале сходимости:
Rx
k=0
S(x)dx =
∞
P
k=0
0
ck ·
xk+1
k+1 .
проинтегрированного степенного ряда
сти исходного степенного ряда.
Доказательство. Действительно,
ствует такое r < R, что |x| < r < R и
∞
P
S(x) =
ck xk сходится равномерно.
Интервал сходимости почленно
совпадает с интервалом сходимодля любого x, где |x| < R, сущена сегменте [−r, r] степенной ряд
Тогда его можно почленно инте-
k=0
грировать:
!
Zx
Z∞ X
Zx
∞
∞
∞
X
X
xk+1
k
S(x)dx =
ck x dx =
ck xk dx =
ck ·
.
k+1
0
0
k=0
k=0
0
k=0
Радиус сходимости получившегося ряда равен
R∗ = lim
n→∞
cn · (n + 2)
cn
n+2
cn
= lim
· lim
= lim
=R
n→∞ cn+1
n→∞ n + 1
n→∞ cn+1
cn+1 · (n + 1)
– радиус сходимости исходного степенного ряда. Таким образом, R∗ = R.
Теорема доказана.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
85
ЛЕКЦИЯ 37
3.12
Основные теоремы о разложении функций в степенные ряды
Определение. Говорят, что функция f (x) разлагается в степенной ряд
∞
∞
P
P
ck xk на интервале (−R, R), если на этом интервале ряд
ck xk схоk=0
дится и его сумма равна f (x), то есть f (x) =
∞
P
k=0
k
ck x .
k=0
Докажем, прежде всего, что одна и та же функция f (x) не может
∞
P
иметь два различных разложения вида f (x) =
ck xk .
k=0
Теорема 1. Степенной ряд
∞
P
ck xk = f (x), сходящийся на интервале
k=0
(−R, R), является рядом Тейлора - Маклорена своей суммы, то есть коэффициенты ck разложения функции f (x) в степенной ряд однозначно
определяются по формуле
ck =
1 (k)
f (0), k = 0, 1, 2, 3, ... .
k!
Доказательство. Имеем:
f (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn + cn+1 xn+1 + ... .
Как мы знаем, этот ряд можно дифференцировать сколько угодно раз,
то есть справедливо:
f 0 (x) = c1 + 2 · c2 · x + 3 · c3 · x2 + ... + n · cn · xn−1 + (n + 1) · cn+1 · xn + ... ,
f 00 (x) = 1·2·c2 +2·3·c3 x+...+n·(n−1)·cn ·xn−2 +(n+1)·n·cn+1 ·xn−1 +... ,
........................................................................................................................
f (k) (x) = k! · ck + (k + 1) · k · (k − 1) · ... · 2 · 1 · ck · x + ... .
Положим в этих равенствах x = 0, получим:
f (0) = c0 , f 0 (0) = c1 , f 00 (0) = 1 · 2 · c2 , ... , f (k) (0) = k! · ck , ... ,
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
86
откуда
c0 = f (0), c1 = f 0 (0), c2 =
f (k) (0)
f 00 (0)
, ... , ck =
, ...,
2!
k!
а это и есть коэффициенты разложения функции f (x) в ряд Тейлора Маклорена.
Вопрос: если функция f (x) бесконечное число раз дифференцируема
на интервале (−R, R) и для неё формально построен ряд
f (0) +
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (k) (0) k
x+
x + ... +
x + ... ,
1!
2!
k!
то будет ли его сумма равна f (x)? Ответ: вообще говоря, нет!
Поучительный пример. Рассмотрим функцию
−1
e x2 , x 6= 0,
f (x) =
0,
x = 0.
Эта функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси, причем f (0) = 0, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 0, ... , f (n) (0) = 0, ... . Следовательно, все
коэффициенты формального ряда Тейлора - Маклорена для этой функции раны нулю, а сам ряд сходится на всей числовой оси и его сумма
равна нулю, в то время, как сама данная функция равна нулю только
при x = 0. Иначе говоря, S(x) 6= f (x).
Спрашивается, когда же функцию f (x) можно разложить в ряд Тейлора - Маклорена, сходящийся к самой этой функции?
Теорема 2. Для того, чтобы функцию f (x) на интервале (−R, R)
можно было представить степенным рядом
S(x) =
∞
X
ck xk
k=0
необходимо и достаточно, чтобы функция f (x) на интервале (−R, R) имела производные всех порядков, и чтобы остаточный член Rn (x) в формуле Тейлора - Маклорена
f (x) = f (0) +
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x+
x + ... +
x + Rn (x)
1!
2!
n!
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
87
стремился к нулю при n → ∞ для всех x ∈ (−R, R).
∞
P
Необходимость. Дано: f (x) =
ck xk . Но тогда, по теореме 1,
k=0
f (x) = f (0) +
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
f 0 (0)
x+
x + ... +
x + ... .
1!
2!
n!
Отсюда ясно, что
|f (x) − Sn (x)| =
= f (x) − f (0) +
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x+
x + ... +
x
1!
2!
n!
= |Rn (x)| → 0
при n → ∞.
Достаточность. Дано:
f (x) = f (0) +
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x+
x + ... +
x + Rn (x),
1!
2!
n!
где Rn (x) → 0 при n → ∞. Это означает, что
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
f (x) − f (0) +
=
x+
x + ... +
x
1!
2!
n!
= |f (x) − Sn (x)| → 0
при n → ∞ для всех x ∈ (−R, R). Следовательно, ряд
f (0) +
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x+
x + ... +
x + ...
1!
2!
n!
сходится и его сумма S(x) равна f (x). Теорема доказана.
Эта теорема при практических решениях задач не особенно эффективна. Следующая теорема, дающая достаточные условия разложения
функции в степенной ряд, гораздо удобнее.
Теорема 3. Для того, чтобы функцию f (x) на интервале (−R, R)
∞
P
ck xk достаточно,
можно было представить степенным рядом S(x) =
k=0
чтобы функция f (x) на интервале (−R, R) имела производные любого
порядка, равномерно ограниченные на интервале (−R, R), то есть достаточно, чтобы f (n) (x) ≤ M для всех n > N и всех x ∈ (−R, R).
Достаточность. Пусть функция f (x) на интервале (−R, R) имеет
производные любого порядка, равномерно ограниченные на интервале
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
88
(−R, R). Оценим остаточный член разложения этой функции в ряд Тей(n+1)
n+1
(θx) n+1
R
x
< M
лора - Маклорена: |Rn (x)| = f (n+1)!
(n+1)! . Поскольку чис∞
P
M Rn+1
ловой ряд
(n+1)! сходится (по признаку Даламбера, например), то
n=0
необходимое условие сходимости этого ряда выполнено – его (n + 1)- й
Rn+1
член M
(n+1)! → 0 при n → ∞. Тем самым мы показали, что остаточный
член в формуле Тейлора - Маклорена стремится к нулю при n → ∞.
Следовательно, по тереме 2, функция f (x) на интервале (−R, R) может
∞
P
быть представлена степенным рядом S(x) =
ck xk . Терема доказана.
k=0
3.13
Разложение простейших элементарных
функций в степенные ряды
1. y = ex . (ex )(k)
x=0
= 1.
∞
ex = 1 +
X xk
x2
xn
x
+
+ ... +
+ ... =
.
1!
2!
n!
k!
k=0
2. y = sin x. sin(k) x
= sin(x +
x=0
sin x = x −
πk
2 ) x=0
.
∞
X
x3
x5
x2k+1
x2k+1
+
+ ... + (−1)k
=
(−1)k
.
3!
5!
(2k + 1)!
(2k + 1)!
k=1
3. y = cos x. cos(k) x
x=0
= cos(x +
πk
2 ) x=0
.
∞
cos x = 1 −
X
x2
x4
x2k
x2k
+
− ... + (−1)k
+ ... =
(−1)k
.
2!
4!
(2k)!
(2k)!
k=0
4. y = ln(1 + x).
∞
y0 =
X
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − ... + (−1)k xk + ... =
(−1)k xk .
1+x
k=0
Zx
ln(1 + x) =
0
∞
X
k=0
!
k k
(−1) x
dx =
∞
X
k=0
(−1)
k
Zx
0
xk dx =
∞
X
k=0
(−1)k
xk+1
.
k+1
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
89
Таким образом,
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)k
k=0
xk+1
.
k+1
Область сходимости – (−1, 1].
5. y = arctg x.
∞
y0 =
X
1
2
4
6
k 2k
=
1
−
x
+
x
−
x
+
...
+
(−1)
x
+
...
=
(−1)k x2k .
1 + x2
k=0
Zx
∞
X
0
k=0
arctg x =
!
(−1)k x2k dx =
∞
X
(−1)k
k=0
Таким образом,
arctg x =
∞
X
k=0
(−1)k
Zx
x2k dx =
0
∞
X
k=0
(−1)k
x2k+1
.
2k + 1
x2k+1
.
2k + 1
Область сходимости – (−1, 1].
6. y = (1 + x)α , где α – любое вещественное число. Докажем, что
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x + ...+
2!
3!
α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) n
x + ... = S(x).
n!
Легко показать, пользуясь, например, признаком Даламбера, что радиус
сходимости этого ряда R = 1, интервал сходимости – (−1, 1).
Подсчитаем:
α(α − 1)
α(α − 1)(α − 2) 2
(1 + x)S 0 (x) = (1 + x) α +
x+
x + ...
1!
2!
α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) n−1
α(α − 1)
+
x
+ ... = α +
x+
(n − 1)!
1!
+
+
α(α − 1)(α − 2) 2
α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) n−1
x + ... +
x
+ ...
2!
(n − 1)!
+αx +
α(α − 1) 2
α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) n
x + ... +
x + ... =
1!
(n − 1)!
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
90
α(α − 1) 2
α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) n
α
x + ... +
x + ... =
=α 1+ x+
1!
2!
n!
= αS(x).
Получили дифференциальное уравнение (1 + x)S 0 (x) = αS(x). Решаем:
dS(x)
S(x) dS(x)
dx
=α
,
=α
, d ln |S(x)| = αd ln |1 + x| ,
dx
(1 + x) S(x)
(1 + x)
ln |S(x)| = α ln |1 + x| + ln C, S(x) = C(1 + x)α .
Но из исходного выражения видно, что S(0) = 1, 1 = C(1 + 0)α = C,
C = 1. Следовательно, S(x) = (1 + x)α .
Таким образом
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2
α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) n
x + ... +
x + ... .
2!
n!
Прямым вычислением легко доказать следующие две формулы:
7. sh x =
x2k+1
,
k=0 (2k + 1)!
8. ch x =
∞ x2k
P
.
k=0 (2k)!
3.14
∞
P
Некоторые приложения степенных рядов
1. Приближённые вычисления. С помощью приведенных выше разложений можно, например, с любой точностью вычислить числа e, π, приближённые значения функций, таких, например, как y = sin x, y = cos x,
y = sh x, y = ch x, y = ln(1 + x) и других.
К примеру:
e = e1 =
∞
X
1
1
1
1
1
= 1 + + + + ... +
+ ... .
k!
1! 2! 3!
n!
k=0
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
Известно, что arctg 1 =
π = 4 · arctg 1 = 4 ·
π
4.
91
Следовательно,
∞
X
(−1)k
1 1 1
= 4 · 1 − + − + ... .
2k + 1
3 5 7
k=0
2. Использование в интегралах, не берущихся в элементарных функциях.
Интегральный синус, к примеру, мы можем представить в виде ряда:
def
Zx
Si x =
sin t
dt =
t
0
Zx
!
∞
∞
2k+1
X
t
x2k+1
1X
(−1)k
(−1)k
dt =
.
t
(2k + 1)!
(2k + 1)2 · k!
k=0
0
Таким образом,
Si x =
∞
X
k=0
k=0
(−1)k
x2k+1
.
(2k + 1)2 · k!
3. Формула Эйлера.
(iα)2
(iα)3
(iα)4
+
+
+ ... =
2!
3!
4!
α2
α4
α3
α5
+
− ... + i α −
+
− ... = cos α + i sin α.
= 1−
2!
4!
3!
5!
eiα = 1 + (iα) +
Таким образом,
eiα = cos α + i sin α.
4. Использование степенных рядов при интегрировании дифференциальных уравнений. Посмотрим, для примера, как с помощью степенных
рядов ищется решение уравнения Бесселя
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0.
Решение ищем в виде
y = xσ (a0 + a1 x + a2 x2 + ...an xn + ...) =
= a0 xσ + a1 xσ+1 + a2 xσ+2 + ... + an xσ+n + ... ,
где a0 6= 0, σ – любое вещественное число, пока неизвестное.
Находим
y 0 = σa0 xσ−1 + (σ + 1)a1 xσ + (σ + 2)a2 xσ+1 + ... + (σ + n)an xσ+n−1 + ... ,
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
92
y 00 = σ(σ − 1)a0 xσ−2 + (σ + 1)σa1 xσ−1 + (σ + 2)(σ + 1)a2 xσ + ...
+(σ + n)(σ + n − 1)an xσ+n−2 + ... .
Подставим y, y 0 , y 00 в уравнение Бесселя:
σ(σ − 1)a0 xσ + (σ + 1)σa1 xσ+1 + (σ + 2)(σ + 1)a2 xσ+2 + ...
+(σ + n)(σ + n − 1)an xσ+n + ... + σa0 xσ + (σ + 1)a1 xσ+1 + (σ + 2)a2 xσ+2 + ...
+(σ +n)an xσ+n +...(x2 −ν 2 )(a0 xσ +a1 xσ+1 +a2 xσ+2 +...+an xσ+n +...) = 0.
Поскольку любой многочлен равен нулю при любых значениях переменной x тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю,
соберём члены при одинаковых степенях x и коэффициенты при них
приравняем нулю:
xσ : (σ 2 − ν 2 )a0 = 0, → σ = ±ν.
Из этого равенства видно, что величина σ, ранее неизвестная, оказалась
связанной с параметром ν, фигурирующим в уравнении Бесселя. Далее,
xσ+1 : [(σ + 1)2 − ν 2 ]a1 = 0, → a1 = 0,
−a0
,
(σ + 2 − ν)(σ + 2 + ν)
..........................................................................................................
−an−2
xσ+n : [(σ + n)2 − ν 2 ]an + an−2 = 0, → an =
.
(σ + n − ν)(σ + n + ν)
xσ+2 : [(σ + 2)2 − ν 2 ]a2 + a0 = 0, → a2 =
Получили рекуррентную формулу, связывающую коэффициенты ak и
ak−2 . Из этой формулы видно, что поскольку a1 = 0, то и a3 = 0, a5 =
0, a7 = 0, ..., то есть все нечётные коэффициенты равны нулю:
a2m+1 = 0.
Положим, далее, σ = ν, альтернативный случай рассматривается аналогично. Тогда чётные коэффициенты a2m можно выразить в виде:
a2m = (−1) ·
a2m−4
a2m−2
= (−1)2 · 2 2
= ...
22 m(m + ν)
2 · 2 m(m − 1)(m + ν)(m − 1 + ν)
= (−1)m ·
22m m!(m
a0
.
+ ν)(m − 1 + ν)...(1 + ν)
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
Таким образом, решение уравнения Бесселя имеет вид
y=
∞
X
a2m x2m+ν ,
m=0
где
a2m = (−1)m ·
a0 – свободный параметр.
22m m!(m
a0
,
+ ν)(m − 1 + ν)...(1 + ν)
93
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
94
ЛЕКЦИЯ 38
3.15
Некоторые сведения о периодических
функциях
Определение. Функция F (x) называется периодической, если существует такое число T 6= 0, называемое периодом функции, что F (x+T ) = F (x)
для всех x ∈ (−∞, +∞).
В физике простейшим примером является "гармоника":
f (x) = A sin(ωx + ϕ),
где A – амплитуда, ω – частота, ϕ – начальная фаза гармоники. Видно,
2π
что f (x + 2π
ω ) = f (x) и, следовательно, T = ω – период гармоники.
Для любой периодической функции
F (x + kT ) = F (x + (k − 1)T + T ) = F (x + (k − 1)T ) =
= F (x + (k − 2)T + T ) = F (x + (k − 2)T ) = ... = F (x),
так что kT, где k > 1 – целое число, также период нашей функции.
Аналогично, F (x − T ) = F ((x − T ) + T ) = F (x) и, следовательно, −kT,
где k > 1 – целое число, тоже период той же функции. Пусть теперь T1
и T2 являются периодами для функции F (x). Но тогда T1 ± T2 – так же
период функции F (x).
Можно доказать (мы этого делать не будем), что если F (x) – непрерывная периодическая функция, отличная от тождественной константы,
то она имеет наименьший положительный период, который и называется
периодом данной периодической функции F (x).
Пусть на сегменте [a, a + T ] задана непериодическая функция f (x).
Построим из неё периодическую функцию с периодом T, совпадающую с
функцией f (x) на отрезке [a, a + T ]. С этой целью достаточно сделать перенос графика функции f (x) вправо и влево на расстояние T, 2T, 3T, ..., и
так далее. Этот процесс называется периодическим продолжением функции f (x) за пределы сегмента [a, a + T ] с периодом T. При этом, функция
F (x) не получает, вообще говоря, однозначного определения в точках
a ± kT.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
95
Вычислим, наконец, интеграл от периодической с периодом T функции F (x):
a+T
a+T
Z
ZT
Z
F (x)dx = F (x)dx +
F (x)dx =
a
a
T
(во втором интеграле сделаем замену переменных: x − T = ξ )
ZT
=
Za
F (ξ)dξ ≡
F (x)dx +
a
ZT
Za
F (ξ)dξ +
a
0
ZT
F (ξ)dξ =
0
F (ξ)dξ.
0
Таким образом, интеграл от периодической с периодом T функции по
любому отрезку длины T имеет одно и тоже значение:
a+T
Z
ZT
F (x)dx =
a
3.16
F (x)dx.
0
Ряд Фурье и коэффициенты ЭйлераФурье
Перейдём к формулировке нашей основной цели. Для этого рассмотрим
счётное множество простейших гармоник вида Ak sin( 2πk
T x + ϕk ), k =
1, 2, 3, ..., с частотами ωk = 2πk
–
то
есть
набор
гармоник
с кратными
T
частотами. Составим следующий функциональный ряд:
A0 +
∞
X
k=1
Ak sin(
2πk
x + ϕk ).
T
Если этот ряд сходится, к функции S(x), то очевидно, что эта функция
является периодической функцией с периодом T. Целесообразно преобразовать ряд к следующему виду:
2πk
2πk
2πk
x + ϕk ) = Ak sin ϕk cos
x + Ak cos ϕk sin
x.
T
T
T
Введём обозначения: A0 = a2 ; ak = Ak sin ϕk ; bk = Ak cos ϕk ; T = 2l, тогда
∞ a0 X
πk
πk
S(x) =
+
ak cos
x + bk sin
x
2
l
l
Ak sin(
k=1
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
96
– разложение функции S(x) в тригонометрический ряд.
Необходимо ответить на следующие два вопроса:
1◦ . Какую периодическую функцию с периодом 2l можно разложить в
тригонометрический ряд?
2◦ . Как по заданной функции S(x) найти коэффициенты разложения
a0 , ak , bk , если это разложение возможно?
Ответим сначала на второй вопрос. С этой целью рассмотрим следующую систему функций
1
π
π
2π
2π
3π
3π
, cos x, sin , cos
x, sin
, cos
x, sin
, ...,
2
l
l
l
l
l
l
которая называется основной тригонометрической системой. Докажем,
что основная тригонометрическая система ортогональна на отрезке [−l, l],
то есть интеграл от произведения любых двух различных функций этой
системы равен нулю, а интеграл от квадрата функции отличен от нуля.
В самом деле:
Zl
1
πk
1 l
πk
· cos
xdx = ·
· sin
x
2
l
2 πk
l
−l
Zl
= 0,
−l
1
πk
1 l
πk
· sin
xdx = − ·
· cos
x
2
l
2 πk
l
−l
Zl
l
πk
πn
1
cos
x · sin
xdx =
l
l
2
−l
Zl h
sin
l
= 0,
−l
π(n + k)
π(n − k) i
x+sin
x dx = 0, n 6= k.
l
l
−l
Аналогично покажем, что
Zl
πk
πn
cos
x · cos
xdx = 0,
l
l
−l
Zl
sin
πk
πn
x · sin
xdx = 0, n 6= k.
l
l
−l
Если n = k, то
Zl
−l
πk
1
cos
xdx =
l
2
2
Zl
(1 + cos
−l
2πk
)dx = l,
l
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
Zl
Zl
1
πk
xdx =
sin
l
2
2
Z l 2
l
1
dx = .
2
2
2πk
)dx = l,
(1 − cos
l
−l
−l
97
−l
После этого решим вопрос о коэффициентах a0 , ak , bk . Если данный
тригонометрический ряд сходится равномерно, его можно почленно интегрировать. Его можно почленно интегрировать и тогда, когда он умножается на любую интегрируемую функцию.
Имеем:


Zl
Zl
Zl
Zl
∞
X
a0
πk
πk
ak cos
S(x)dx =
dx +
xdx + bk sin
xdx = a0 · l.
2
l
l
−l
k=1
−l
−l
−l
Отсюда
1
a0 =
l
Zl
S(x)dx.
−l
Zl
πk
a0
S(x) · cos
xdx =
·
l
2
−l
Zl
Zl
∞
X
πk
πk
πn
cos
xdx +
ak cos
x · cos
xdx +
l
l
l
k=1
−l
−l
|
{z
}
|
{z
}
=0
+
∞
X
k=1
Zl
bk ·
sin
−l
|
=0, if n6=k;
kπ
kπ
x · cos
xdx .
l
l
{z
}
=0
Отсюда
1
ak =
l
Zl
S(x) · cos
πk
dx.
l
−l
Аналогично:
Zl
−l
πk
a0
S(x) · sin
xdx =
·
l
2
Zl
πk
xdx +
l
{z
}
sin
−l
|
=0
=l, if n=k
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
+
∞
X
k=1
Zl
ak ·
−l
|
98
Zl
∞
X
πk
πn
πn
πk
bk sin
x · sin
xdx +
x · cos
xdx .
cos
l
l
l
l
k=1
−l
{z
}
{z
}
|
=0
=0, if n6=k;
=l, if n=k
Отсюда
1
bk =
l
Zl
S(x) · sin
πk
dx.
l
−l
Найденные числа a0 , ak , bk называются коэффициентами Эйлера-Фурье.
Рассмотрим сейчас любую интегрируемую на сегменте [−l, l] функцию f (x). Тогда по приведённым выше формулам мы можем вычислить
интегралы и найти коэффициенты Эйлера-Фурье для любой интегрируемой функции f (x). После того как мы вычислим a0 , ak , bk , мы можем
∞
P
πk
составить тригонометрический ряд a2 +
ak cos πk
l x + bk sin l x . Этот
k=1
ряд назовём рядом Фурье и символически мы запишем это так:
∞ πk
πk
a X
ak cos
x + bk sin
x .
f (x) ∼ +
2
l
l
k=1
Знак соответствия "∼" мы пока не можем заменить на знак равенства,
так как мы ещё не знаем, любую ли интегрируемую функцию (а кроме требования интегрируемости мы никаких требований не выдвигали)
можно разложить в ряд Фурье.
3.17
Основная теорема о сходимости тригонометрического ряда
Определение 1. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на сегменте [a, b], если она непрерывна на этом сегменте всюду за исключением
конечного числа точек разрыва первого рода. Такая функция в каждой
точке x ∈ [a, b] имеет конечные правые и левые предельные значения:
f (x + 0) = lim f (x + ε), f (x − 0) = lim f (x − ε).
ε→0
ε>0
ε→0
ε>0
В каждой точке непрерывности f (x + 0) = f (x − 0) = f (x). На концах
отрезка существуют конечные f (a + 0) и f (b − 0).
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
99
Определение 2. Кусочно-непрерывную на сегменте [a, b] функцию
f (x) называют кусочно-гладкой на сегменте [a, b], если производная f 0 (x)
существует и непрерывна всюду, за исключением может быть конечного
числа точек, в которых, однако, существуют конечные правые и левые
предельные значения
f 0 (x + 0) = lim f 0 (x + ε), f 0 (x − 0) = lim f 0 (x − ε),
ε→0
ε>0
ε→0
ε>0
а также конечные f 0 (a + 0) и f 0 (b − 0). Это означает, что в каждой точке
x ∈ [a, b] существуют конечные правосторонние и левосторонние производные:
f 0 (x + 0) = lim
t→0
t>0
f (x + t) − f (x + 0) 0
f (x − t) − f (x − 0)
, f (x − 0) = lim
.
t→0
t
t
t>0
Сформулируем основную теорему о сходимости тригонометрических
рядов Фурье (без доказательства).
Теорема. Если функция f (x) является кусочно-гладкой на сегменте
[−l, l], то её тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке
x ∈ [−l, l], причём для суммы ряда
∞ a X
πk
πk
S(x) = +
x + bk sin
x
ak cos
2
l
l
k=1
выполняются следующие условия:
1. S(x) = f (x), если x ∈ (−l, l) и точка x является точкой непрерывности функции f (x);
f (x + 0) − f (x − 0)
, если x ∈ (−l, l) и точка x является
2
точкой разрыва функции f (x);
2. S(x) =
3. S(−l) = S(l) =
f (−l + 0) − f (l − 0)
.
2
Пример 1. Разложить функцию y = x в ряд Фурье на сегменте
[−π, π].
Функция f (x) = x – это нечетная функция, легко показать прямым
вычислением, что
a0 = an = 0, n = 1, 2, 3, ... ,
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
и
1
bn =
π
Zπ
2
x sin nxdx =
π
−π
100
Zπ
x sin nxdx =
0
Zπ
π
2
2 x
+
cos nxdx =
=
− cos nx
π
n
πn
0
0
2 π
2
2
=
− cos nπ = − (−1)n = (−1)n+1 .
π
n
n
n
Таким образом,
∞
X
f (x) = x, x ∈ (−π, π)
2
k+1
S(x) =
(−1)
sin kx = f (−π+0)+f (π−0)
= −π+π
= 0, x = −π; +π.
k
2
2
k=1
S(x) – периодическая с периодом 2π, функция, причём S(x) = x только при x ∈ (−l, l). В точках (2k + 1)π, k = 0, ±1, ±2, ... сумма ряда S(x)
терпит разрыв первого рода.
Пример 2. Разложить на сегменте [−π, π] в ряд Фурье функцию
y = x2 .
Прямым вычислением легко показать, что
a0 =
2 2
4
π , an = 2 (−1)n , bn = 0.
3
n
Следовательно,
∞
X (−1)k
π2
+4
= x2 , x ∈ [−π, π].
S(x) =
3
k 2 cos kx
k=1
S(x) – непрерывная функция в точках (2k + 1)π, k = 0, ±1, ±2, ... .
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
101
ЛЕКЦИЯ 39
3.18
Ряд Фурье для чётных и нечётных функций
Легко показать, что
Rl
Rl
f (x)dx = 2 f (x)dx для чётных функций и
−l
Rl
0
f (x)dx = 0 для нечётных функций. В самом деле,
−l
Z0
Zl
f (x)dx =
−l
Zl
f (x)dx +
−l
f (x)dx =
0
(в первом интеграле сделаем замену x = −ξ)
Z0
=
Zl
f (−ξ)d(−ξ)+
Zl
f (x)dx =
0
l
f (x)dx ≡
f (−ξ)dξ+
0
Zl
≡
Zl
0
Zl
f (−x)dx+
0
f (x)dx.
0
Если функция чётная, то есть выполнено f (−x) = f (x), то интегралы
складываются, а если функция нечётная, f (−x) = −f (x), то интегралы
уничтожаются.
kπ
Ясно, что { 12 , cos kπ
l x} – множество чётных, а {sin l x} – множество
нечётных функций. Пусть f (x) – чётная функция, тогда и f (x) · cos kπ
l x
l
R
kπ
– чётная функция, ak = 2l f (x) · cos kπ
l xdx, а поскольку f (x) · sin l x –
0
нечётная функция, bk = 0. Таким образом, для чётной функции тригонометрический ряд Фурье имеет вид
∞
f (x) =
a0 X
kπ
ak · cos
+
x,
2
l
k=1
где
2
ak =
l
Zl
f (x) · cos
0
kπ
xdx, k = 0, 1, 2, 3, ... .
l
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
102
Пусть f (x) – нечётная функция, тогда и f (x) · cos kπ
l x – нечётная
kπ
функция и a0 = 0, ak = 0. Тогда f (x) · sin l x – чётная функция, bk =
Rl
2
f (x) · sin kπ
l
l xdx. Следовательно, для нечётной функции тригономет0
рический ряд Фурье имеет вид
f (x) =
∞
X
bk · sin
k=1
kπ
x,
l
где
2
bk =
l
Zl
f (x) · sin
kπ
xdx, k = 0, 1, 2, 3, ... .
l
0
3.19
Разложение функций, заданных на сегменте [0, l] в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам
Пусть кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая функция задана на сегменте [0, l]. На сегмент [−l, l] её можно продолжить либо чётным, либо
нечётным образом.
При первой ситуации на сегменте [−l, l] нам будет задана чётная
Rl
Rl
функция, для неё a0 = 2l f (ξ)dξ, an = 2l f (ξ) · cos kπ
l ξdξ, bn = 0 и
0
0
ряд Фурье на сегменте [−l, l] принимает вид f (x) =
a0
2
+
∞
P
k=1
ak · cos kπ
l x.
Во второй ситуации на сегменте [−l, l] при продолжении получается
Rl
нечётная функция. Для неё a0 = 0, ak = 0, bk = 2l f (ξ) · sin kπ
l ξdξ, а ряд
Фурье имеет вид: f (x) =
∞
P
k=1
0
bk · sin
kπ
l x.
Согласно основной теореме о сходимости тригонометрических рядов,
на отрезке (0, l) каждый из этих рядов сходится к функции f (x) в точках
непрерывности этой функции.
Пример. Рассмотрим функцию f (x) = x, заданную на сегменте [0, π].
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
103
При нечётном продолжении получим функцию f (x) = x, определённую на сегменте [−π, π]. Разложение такой функции мы уже рассматривали выше (см. пример 1 прошлой лекции).
При чётном продолжении получим функцию f (x) = |x| , определённую на сегменте [−π, π]. Разлагая функцию f (x) = x в ряд по косинусам
на сегменте [0, π] имеем, согласно приведённым выше формулам:
Zπ
2
a0 =
π
2
xdx = π, an =
π
0
2 x
sin nx
π n
x · cos nxdx =
0

=
Zπ
π
−
0
1
n

Zπ
sin nxdx = −
2
πn
−
1
cos nx
n
0
2
[(−1)n − 1] =
=
πn2
π
=
0
0,
n = 2m,
− πn4 2 , n = 2m − 1.
Таким образом,
∞ X
π
4
x= +
−
cos(2m − 1)x =
2 m=1
π(2m − 1)2
=
π
4
1
1
− (cos x + 2 cos 3x + 2 cos 5x + ...)
2
π
3
5
при x ∈ [0, π].
3.20
Комплексная форма записи ряда Фурье
Пусть f (x) =
a0
2
∞
P
+
k=1
kπ
ak cos kπ
l x + bk sin l x .
По формуле Эйлера
ei
kπ
l x
= cos
kπ
kπ
kπ
kπ
kπ
x + i sin
x, e−i l x = cos
x − i sin
x.
l
l
l
l
Отсюда
cos
kπ
kπ
kπ
1 i kπ x
kπ
i i kπ x
x=
e l + e−i l x , sin
x=
−e l + e−i l x .
l
2
l
2
Подставим эти выражения в тригонометрический ряд Фурье. Получим:
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
f (x) =
a0
2
+
∞
P
k=1
k
( ak −ib
· ei
2
kπ
l x
)+
∞
P
k=1
k
( ak +ib
· e−i
2
kπ
l x
104
).
Обозначим коэффициенты следующим образом:
a0
ak − ibk
ak + ibk
, ck =
, c−k =
.
2
2
2
c0 =
Тогда имеем:
f (x) = c0 +
∞
X
ck · e i
kπ
l x
+
k=1
∞
X
c−k · e−i
kπ
l x
k=1
=
∞
X
ck · e i
kπ
l x
k=−∞
– это и есть ряд Фурье, записанный в комплексной форме.
Как вычислить коэффициенты ck ? Имеем
ak − ibk
1
ck =
=
2
2l
Zl
Zl
kπ
kπ
1
kπ
ξ − i sin
ξ dξ =
f (ξ) cos
f (ξ)·e−i l ξ dξ,
l
l
2l
−l
c−k
ak + ibk
1
=
=
2
2l
Zl
−l
Zl
kπ
kπ
1
kπ
ξ + i sin
ξ dξ =
f (ξ) cos
f (ξ)·ei l ξ dξ.
l
l
2l
−l
−l
Следовательно, при любом целом k = 0, ±1, ±2, ±3, ... имеем:
Zl
1
ck =
2l
f (ξ)·e−i
kπ
l ξ
dξ.
−l
Таким образом, комплексная форма записи ряда Фурье имеет вид:
f (x) =
∞
X
ck · e i
kπ
l x
,
k=−∞
где
1
ck =
2l
Zl
f (ξ)·e−i
kπ
l ξ
dξ.
−l
В ряде случаев полученные формулы разложения функции f (x) в
ряд очень удобны, так как позволяют сразу найти все коэффициенты
разложения.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
105
Пример. Рассмотрим функцию f (x) = eax , заданную на отрезке
[−π, π].
Находим
ck =
1
2π
Zπ
eaξ ·e−i
kπ
π ξ
dξ =
1
2π
−π
=
Zπ
e(a−ik)ξ dξ =
1
1
·
e(a−ik)ξ
2π (a − ik)
−π
1
1
1
1
·
eaπ · e−ikπ − e−aπ · eikπ = ·
sh aπ.
2π (a − ik)
π (a − ik)
Таким образом,
eax =
∞
shaπ X (−1)k eikx
.
π
a − ik
k=−∞
π
−π
=
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
106
ЛЕКЦИЯ 40
3.21
Интеграл Фурье
Частоты гармоник
n ряда Фурьеoна сегменте [−l, l] представлены после3π
довательностью 0, πl , 2π
l , l , ... . Это – арифметическая прогрессия со
π
знаменателем α = l . При увеличении числа l разность между частотами соседних гармоник уменьшается, то есть гармоники начинают идти
всё более густо. Положение дел качественно изменяется, если сегмент
разложения функции, неограниченно расширяясь в обе стороны, охватывает всю вещественную прямую, превращаясь в интервал (−∞, +∞).
В этом случае разность между частотами соседних гармоник будет убывать до нуля и последовательность частот из дискретной превратится
в непрерывное множество всех вещественных неотрицательных чисел и
мы вправе ожидать превращения ряда Фурье в некоторый интеграл, к
выводу которого мы сейчас приступаем.
Пусть f (x) определена на всей вещественной оси (−∞, +∞) и удовлетворяет следующим условиям:
R∞
1◦ . Существует несобственный интеграл
|f (x)dx| = Q (иначе гово−∞
ря, f (x) – абсолютно интегрируема).
2◦ . На любом конечном сегменте функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье, то есть соблюдено так называемое "условие
Дирихле".
Зафиксируем некоторое произвольное значение l и запишем на сегменте [−l, l] разложение функции f (x) в ряд Фурье:
∞ kπ
kπ
a0 X
f (x) =
+
ak cos
x + bk sin
x .
2
l
l
k=1
Коэффициенты Эйлера - Фурье разложения функции f (x) в ряд Фурье
имеют вид:
1
a0 =
l
Zl
−l
1
f (ξ)dξ, ak =
l
Zl
−l
kπ
1
f (ξ) · cos
ξdξ, bk =
l
l
Zl
f (ξ) · sin
−l
kπ
ξdξ.
l
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
107
Подставляя эти коэффициенты в разложение, получим:
Zl
1
f (x) =
2l
f (ξ)dξ+
−l
+
∞
X
k=1

 1
l

Zl
f (ξ) · cos

kπ
kπ
1
ξdξ  cos
x+
l
l
l
−l
=

Zl
f (ξ) · sin

kπ
kπ 
ξdξ  sin
x
l
l
−l
1
2l
Zl
f (ξ)dξ+
π1
πl
−l
∞ Zl
X
def kπ
l
Zl
f (ξ) · cos
k=1−l
Введём переменную αk =
итоге:
1
f (x) =
2l
kπ
(ξ − x)
l
и положим αk+1 − αk =
dξ.
π def
=
l
∆αk . В
 l

Z
∞
1 X
f (ξ)dξ+
f (ξ) · cos [αk (ξ − x)]dξ  · ∆αk .
π
k=1
−l
−l
По мере возрастания l, интеграл
+l
R
f (ξ) · cos [αk (ξ − x)]dξ всё меньше
−l
отличается от несобственного интеграла
+∞
Z
def
f (ξ) · cos [αk (ξ − x)]dξ = F (αk ),
−∞
∞
P
Rl
k=1
∞
P
−l
а сумма
!
f (ξ) · cos [αk (ξ − x)]dξ
· ∆αk напоминает интегральную
F (αk )∆αk , и в пределе при l → ∞ стремится к интегралу по
!
R∞
R∞ +∞
R
переменной α: F (α)dα =
f (ξ) · cos α(ξ − x)dξ dα, а первое сласумму
k=1
0
гаемое
1
2l
Rl
f (ξ)dξ ≤
−l
0
1
2l
Rl
−∞
|f (x)| dx ≤
−l
Q
2l
→ 0 при l → ∞.
Таким образом,
1
f (x) =
π
Z∞
0
 +∞

Z

f (ξ) · cos α(ξ − x)dξ dα
−∞
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
108
– интегральная формула Фурье. Поскольку в интеграле Фурье подинтегральная функция по переменной α чётная, то эту формулу удобно
переписать так:
 +∞

Z∞ Z
1

f (ξ) · cos α(ξ − x)dξ dα.
f (x) =
2π
∞
−∞
Эту же формулу иногда удобно представлять в виде
+∞
Z
f (x) =
[a(α) cos αx + b(α) sin αx]dα,
0
где
a(α) =
1
π
+∞
+∞
Z
Z
1
f (ξ) cos αξdξ, b(α) =
f (ξ) sin αξdξ.
π
−∞
−∞
Указанное равенство имеет место в точках непрерывности функции
f (x). В точках же разрыва функции f (x) необходимо писать
 +∞

Z∞ Z
1
f (x + 0) + f (x − 0)

=
f (ξ) · cos α(ξ − x)dξ dα.
2
2π
∞
−∞
Все приведённые выше рассуждения проведены нами на уровне "физической строгости." Строгое изложение материала приведено, например, в учебнике "Кратные интегралы и ряды" , авторы: Будак Б.М., Фомин С.В.
3.22
Интеграл Фурье в комплексной форме.
Интегральное преобразование Фурье
Воспользуемся формулой Эйлера: cos α(ξ − x) = 12 eiα(ξ−x) + e−iα(x−ξ) .
Подставляя в интегральную формулу Фурье, получим:
 +∞

 +∞

+∞ Z
+∞ Z
Z
Z
1
1


f (x) =
f (ξ) · eiα(ξ−x) dξ dα+
f (ξ) · e−iα(ξ−x) dξ dα.
4π
4π
−∞
−∞
−∞
−∞
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
109
Во втором интеграле сделаем замену z = −α, dz = −dα. Тогда
f (x) =

 +∞


+∞ Z
+∞ Z
+∞
Z
Z
1
1


f (ξ) · eiα(ξ−x) dξ dα +
f (ξ) · eiz(ξ−x) dξ dz =
=
4π
4π
−∞
−∞
−∞
−∞
 +∞

+∞ Z
Z
1
iα(ξ−x)

=
f (ξ) · e
dξ dα.
2π
−∞
−∞
Таким образом,
1
f (x) =
2π
 +∞

+∞ Z
Z
iα(ξ−x)

f (ξ) · e
dξ dα
−∞
−∞
– интеграл Фурье в комплексной форме.
Существует ещё одна форма этого интеграла:


+∞
+∞
Z
Z
1
1
iαξ
√
f (x) = √
f (ξ) · e dξ  · e−iαx dα.
2π
2π
−∞
−∞
Положим
1
F (α) = √
2π
+∞
Z
f (ξ) · eiαξ dξ.
−∞
Функция F (α) называется образом Фурье функции f (x), а сама формула
– преобразованием Фурье функции f (x). Тогда
1
f (x) = √
2π
+∞
Z
F (α) · e−iαx dα
−∞
– обратное преобразование Фурье.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
110
ЛИТЕРАТУРА
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах) / Г.М. Фихтенгольц – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. т.1 –
616 с.; т.2 – 810 с.; т.3 – 662 с.
2. Ильин В.А. Основы математического анализа (в 2-х томах) / В.А.
Ильин, Э.Г. Позняк – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. т.1 – 644 с.; т.2 – 464 с.
3. Будак Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин –
М.: Наука, 1967. – 608 c.
4. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов,
В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.: Высшая школа, 1999. – 695 c.
Глава 3. Теория числовых и функциональных рядов
Даишев Ринат Абдурашидович
Кузнецова Алла Юрьевна
Мухарлямов Руслан Камилевич
Сушков Сергей Владимирович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Конспект лекций
II семестр
Учебно-методическое пособие
Подписано в печать ...
111