Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение
высшего образования
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт управления бизнес-процессами
Кафедра «Бизнес-информатики и моделирования бизнес-процессов»
ОТЧЕТ О ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ
Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
Вариант №Х
Преподаватель
__________
подпись, дата
Студент
Х.Х. ХХХХ
инициалы, фамилия
ХХ ХХ-ХХ
__________
Х.Х. ХХХХ
номер группы
подпись, дата
инициалы, фамилия
Красноярск 20ХХ
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3
Теоретическая часть .................................... Ошибка! Закладка не определена.
Практическая часть ................................................................................................. 7
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 11
2
ВВЕДЕНИЕ
Модель – объект-заместитель объекта-оригинала, наделенный какимито его свойствами, в соответствии с цель моделирования.
Моделирование -
это процесс создания моделей. Так же это
использование моделей для определения или уточнения определенных
характеристик оригинала.
Целью данной работы является ознакомление с аппроксимацией
функции
методом
наименьших
квадратов.
Провести
аппроксимацию
функции методом наименьших квадратов.
Цель данной работы: изучение аппроксимации функции методом
наименьших квадратов и применение на практике.
3
Теоретическая часть
Аппроксимация – подбор функции, максимально приближенной к
зависимости исходных данных.
Функция f(x), в зависимости от специфики задачи, может отвечать
различным требованиям:
1.
Функция 𝛽(х) должна проходить через точки (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), т. е. 𝛽(𝑥𝑖 ) =
= 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1. . . 𝑛. В этом случае говорят об интерполяции данных функцией
𝛽(х) во внутренних точках между 𝑥𝑖 , или экстраполяции за пределами
интервала, содержащего все 𝑥𝑖 .
2.
Функция 𝛽(х) должна некоторым образом (например, в виде
определенной аналитической зависимости) приближать 𝑦(𝑥𝑖 ), не обязательно
проходя через точки (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ). Такова постановка задачи регрессии, которую во
многих случаях также можно назвать сглаживанием данных.
3.
Функция
𝛽(х)
должна
приближать
экспериментальную
зависимость 𝑦(𝑥𝑖 ), учитывая, к тому же, что данные (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) получены с
некоторой погрешностью. При этом функция 𝛽(х), с помощью того или
иного алгоритма уменьшает погрешность, присутствующую в данных (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ).
Существует
множество
методов
аппроксимации.
Наиболее
распространенные из них:
1. Метод интерполяции
Пусть функция 𝑓(𝑥) задана набором точек (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) на интервале [𝑎; 𝑏]:
𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ), 𝑖 = 0,1 … , 𝑛, 𝑎 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏.
Задача
интерполяции –
найти
функцию 𝛽(х),
принимающую
в
точках 𝑥𝑡 те же значения 𝑦𝑡 . Тогда условие интерполяции можно представить
в виде: 𝛽(𝑥𝑖 ) = 𝑦𝑖 .
4
Задача нахождения интерполяционной функции 𝛽(х) имеет много
решений, так как через заданные точки 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 можно провести бесконечно
много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой
выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай
интерполяции функции многочленами:
𝐹(𝑥) = 𝑃𝑚 (𝑥𝑡 ) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 ∙ 𝑥 𝑚 , 𝑖 = 0,1, … , 𝑚 ,
при этом искомый полином называется интерполяционным полиномом.
2. Метод Лагранжа
Интерполяционный полином Лагранжа — многочлен минимальной
степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для 𝑛 + 1
пар чисел (𝑥0 , 𝑦0 ), (𝑥1 , 𝑦1 )… (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), где все 𝑥𝑗 различны, существует
единственный многочлен 𝐿(𝑥) степени не более 𝑛, для которого 𝐿(𝑥𝑗 )= 𝑦𝑗 .
Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:
𝑛
𝐿𝑛 (𝑥) = ∑
𝑦𝑖 ∙ 𝑙𝑖 (𝑥),
𝑖=0
где 𝑙𝑖 (𝑥) – базисные многочлены степени n.
3. Метод Ньютона
Это
численный
заданной функции. Поиск
метод нахождения
решения
осуществляется
корня
путём
(нуля)
построения
последовательных приближений. Разделенные разности нулевого порядка
совпадают со значениями функции в узлах. Разделенные разности первого
порядка определяются через разделенные разности нулевого порядка:
𝑓(𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ) =
𝑓(𝑥𝑖+1 )−𝑓(𝑥𝑖 )
𝑥𝑖+1 −𝑥𝑖
.
5
4. Метод Тейлора
Это ряд Тейлора по одной точке и многим производным в ней:
𝑦 = 𝑦0 + (𝑥 − 𝑥0 )𝑦0 ′⁄1! + (𝑥 − 𝑥0 )2 ∙ 𝑦0 ′′⁄2! + (𝑥 − 𝑥0 )3 ∙ 𝑦0 ′′⁄3! + … .
Считается,
аппроксимация,
что
чем
тем
больше
точнее
членов
этого
найденный
ряда,
тем
точнее
приближенный
корень
аппроксимации к реальному корню функции.
В результате, чтобы аппроксимировать кривую (комбинацию точек) в
ряд Тейлора, необходимо, согласно приведенной формуле, знать не ряд
точек, а ряд производных в этой точке.
5. Метод наименьших квадратов
Это
наиболее
экспериментальных
распространенный
данных.
Метод
метод
позволяет
аппроксимации
использовать
аппроксимирующие функции произвольного вида и относится к группе
глобальных методов.
Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является
аппроксимация прямой линией. Критерием близости при использовании
метода наименьших квадратов является требование минимальности суммы
квадратов
отклонений
экспериментальных
от
точек.
аппроксимирующей
Для
аппроксимации
функции
функции
до
методом
наименьших квадратов существует следующая формула (1):
∑𝑛𝑖=1(𝑦i − ŷi )2 → min.
Для
нахождения
минимума
потребуется
функцию, тем самым составив систему уравнений:
6
продифференцировать
𝜕 ∑𝑛𝑖=1(𝑦i − ŷi )2
= 0,
𝜕𝐾1
2
𝜕 ∑𝑛𝑖=1(𝑦i − ŷi )
= 0,
𝜕𝐾2
.
.
.
2
n
𝜕 ∑i=1(𝑦i − ŷi )
= 0,
{
𝜕𝐾𝑛
где K1, K2,…,Kn – искомые для математической модели коэффициенты,
а 𝑦̂𝑖 – данная для аппроксимации функция.
Практическая часть
𝐾 (𝑠) = 𝐴𝑠 𝑏
Дана функция и исходные данные:
Таблица 1 – Исходные данные
s
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
K
1,65
2,1
2
2,1
2,3
2,4
2,22
2,59
Приведем
исходную
функцию
к
линейному
виду.
Для
это
прологарифмируем левую и правую части уравнения:
𝑙𝑛(𝐾) = 𝑙𝑛(𝐴𝑠 𝑏 ),
𝑙𝑛(𝐾) = 𝑙𝑛(𝐴) + 𝑏 𝑙𝑛(𝑠).
Пусть 𝑙𝑛(𝐾) = 𝑦, 𝑙𝑛(𝐴) = 𝑎, 𝑙𝑛(𝑠) = 𝑥. Тогда 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥.
По методу наименьших квадратов ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 )2 → 𝑚𝑖𝑛, то есть
∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖 )2 → 𝑚𝑖𝑛 .
7
Поиск параметров аппроксимирующих функций сводится к решению
системы линейных уравнений:
𝜕 ∑(𝑦𝑖 − a − b𝑥𝑖 )2
= 0,
𝜕𝑎
𝜕 ∑(𝑦𝑖 − a − b𝑥𝑖 )2
= 0.
{
𝜕𝑏
Находим частные производные функции по переменным 𝑎 и 𝑏, затем
приравняем эти производные к нулю.
𝜕 ∑(𝑦𝑖 − a − b𝑥𝑖 )2
= 2∑(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖 ) ∗ (−1) = 0,
𝜕𝑎
𝜕 ∑(𝑦𝑖 − a − b𝑥𝑖 )2
= 2∑(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖 ) ∗ (−𝑥𝑖 ) = 0.
{
𝜕𝑏
−∑𝑦𝑖 + 𝑎𝑛 + 𝑏∑𝑥𝑖 = 0,
{
−∑𝑥𝑖 𝑦𝑖 + 𝑎∑𝑥𝑖 + 𝑏∑𝑥𝑖2 = 0.
𝑎𝑛 + 𝑏∑𝑥𝑖 = ∑𝑦𝑖 ,
{
𝑎∑𝑥𝑖 + 𝑏∑𝑥𝑖2 = ∑𝑥𝑖 𝑦𝑖.
Приведем систему к матричному виду:
𝑛
(
∑𝑥𝑖
∑𝑥𝑖 𝑎
∑𝑦𝑖
2 ) (𝑏 ) = (∑𝑥 𝑦 )
∑𝑥𝑖
𝑖 𝑖
Для того чтобы мы смогли рассчитать коэффициенты данной
математической модели, нам необходимо знать следующие данные (табл. 2):
Таблица 2 – Данные для расчёта
№
x
y
x^2
xy
1
0,69
0,50
0,48
0,35
2
0,00
0,74
0,00
0,00
3
0,41
0,69
0,16
0,28
4
0,69
0,74
0,48
0,51
5
0,92
0,83
0,84
0,76
6
1,10
0,88
1,21
0,96
8
7
1,25
0,80
1,57
1,00
8
1,39
0,95
1,92
1,32
Сумм
5,06
6,14
6,66
4,49
Обозначим матрицы через М, K и L соответственно, то есть M*K=L.
Для того, чтобы найти матрицу K, умножим обе части на 𝑀−1 . Для
нахождения 𝑀−1 воспользуемся функцией МОБР в MS Excel. Получаем:
𝑀−1 = (
0,24 −0,18
).
−0,18 0,29
При:
8
5,06
𝑀=(
),
5,06 6,66
6,14
𝐿=(
),
4,49
Получаем:
𝐾=(
0,66
).
0,18
Таким образом, коэффициент 𝑎 = 0,66, а 𝑏 = 0,18.
Таким образом, коэффициент 𝑎 = 0,66, а 𝑏 = 0,18. Так как 𝑎 = 𝑙𝑛(𝐴),
тогда 𝐴 = 𝑒 𝑎 = 𝑒 0,66 = 1,926.
Уравнение в общем виде: 𝐾(𝑠) = 1,926𝑠 0,18 .
Для проверки достоверности правильности решения и выбора
параметров, необходимо построить график полученной функции на
основании промежуточных значений (таблица 3; Рисунок 1):
Таблица 3 – Найденные значения по новой функции
s
K
0,66
1,76
0,9
1,89
1,3
2,04
2,1
2,2
9
2,7
2,28
3,1
2,35
3,8
2,41
3,99
2,46
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
исходные данные
2
2,5
3
3,5
4
4,5
Аппроксимирующая функция
Рисунок 1 – График функции.
При оценке полученных результатов необходимо отметить, что исходные
значения незначительно отличаются от рассчитанных. Значит подобранная
функция подходит для описания зависимости исходных данных.
10
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Я изучила метод аппроксимации функции методом наименьших
квадратов. Также были рассмотрены метод интерполяции, метод Лагранжа,
метод Ньютона и метод Тейлора.
Выполняя работу, я уяснила, что метод наименьших квадратов удобен
и прост в использовании. Он позволяет найти неизвестные параметры
аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму
квадратов отклонений аппроксимирующей функции от ее исходных данных.
11
