Часть 7.

ИДЕНТИФИКАЦИЯ
СТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОБЪЕКТОВ
Общие понятия
Идентификация – это процесс построения моделей объектов различной
природы. Теория идентификации имеет в своем арсенале достаточно
эффективные методы и алгоритмы, на базе которых разработаны и широко
используются программные комплексы.
Процесс идентификации складывается из двух взаимосвязанных этапов:
идентификации структуры моделей и идентификации параметров в моделях
выбранной структуры. При построении структуры модели (или набора
конкурирующих либо взаимодополняющих структур) используется априорная
информация об объекте. Для каждого класса объектов формируются банки
структур с сопутствующей информацией.
Модели делятся на статические и динамические. Первые из них описывают
объекты в стационарных режимах их работы. Динамические модели
описывают переходные процессы в объектах, например, возникающие при
переходе с одного стационарного режима работы объекта на другой.
Постановка задачи подстройки
параметров нелинейных моделей
u
*
Объект
  (u, a)  
Модель
  (u , )
Считаем, что выход объекта состоит из полезного сигнала η(u, a) и
центрированной помехи ξ.
Сигнальная часть выхода представляет собой известную функцию от входа с
неизвестными параметрами a. В структуру функции η(u, a) . Все, что не
удается описать в объекте, относят к помехе.
Модель объекта берем в виде функции η(u, α). Основная задача теперь
сводится к расчету параметров α модели.
Алгоритмы расчета будем строить, используя
критерий наименьших
квадратов и близкие к нему критерии, например наименьших модулей
невязок. В зависимости от свойств помехи критерий наименьших квадратов
приобретает различные формы – от простейшей до самой общей.
Критерий наименьших квадратов
Считаем, что в каждый момент времени ti (момент измерения входа и
выхода объекта) помехи ξi, являются центрированными случайными
величинами с дисперсиями σi2. Если дисперсии различны, то измерения
называются неравноточными.
Тогда критерий наименьших квадратов имеет вид:
1 *
I   2 (i  i ) 2  min
,

i 1  i
n
i  (ui , )
При равноточных измерениях весовые коэффициенты 1/σi2, характеризующие
информативность измерений, одинаковы. Тогда критерий имеет вид:
1 n *
I  2  (i  i ) 2  min

 i 1
Критерий наименьших квадратов
Если все помехи ξi коррелированны, т. е:
 12 k12 k1n 
 1 


 
K     M {T },   , K 1  (cij )

 
2
k
k

 n
 n1 n 2 n 
то критерий наименьших квадратов базируется на элементах cij матрицы,
обратной корреляционной:
n
n
I ( )   ( *i  i )cij ( *j   j )  min
i 1 j 1

Это общая форма критерия. Она включает в себя (при соответствующих
упрощениях) все предыдущие формы. Запишем критерий в матричной форме.
 1* 
 (u1 , )   1 
 1 






 
H *   , H ( )   


,


  
 
 *
 (u , )    
 
n

  n
 n
 n 
I ( )  ( H *  H ( ))T K 1 ( H *  H ( ))  min

Метод наименьших квадратов
при линейной параметризации модели
Модель объекта задана в виде линейной комбинации известных
(базисных) функций φ1(u),…, φm(u):
 1 
 1 (u ) 
m
 


T
T



,

(
u
)


(u, )    j (u ) j   (u )   (u ),
 


j 1
 
  (u ) 
 m
 m 
  T (u1 )    T (u1 ) 
 1 (u1 )  2 (u1 )   m (u1 ) 

 



H ( )           

   
 T
  T

  (u )  (u )   (u ) 

(
u
)


(
u
)
m
n 
 1 n 2 n
n
n 

 
Параметры α находим по критерию наименьших квадратов:
I ( )  ( H *   ) T K 1 ( H *   )  min

Метод наименьших квадратов
при линейной параметризации модели
Пример расчета параметров:
*


(
u
,

)

c
D
( u ,  )

(u , )  c D(u , )
*
1
(u , )  1   2 (u  u )
u1
u
u
Метод последовательной линеаризации
при подстройке параметров
на основе критерия наименьших квадратов
Построим
итерационную
процедуру
расчета
параметров
α
модели
в соответствии с критерием наименьших квадратов. Так как функционал квадратичный,
то первая стадия метода не реализуется и на каждой итерации используется только
линейная аппроксимация выхода модели по параметрам:
dH (l ) l 1
H ()  H ( ) 

d
l
 l 1     l
dH (l ) l 1 T 1 *
dH (l ) l 1
l
I (  )  ( H  H ( ) 
 ) K ( H  H ( ) 
 )  min

d
d
l 1
*
l
l 1
Необходимое условие минимума приводит к системе линейных алгебраических
уравнений:
 dH  T 1 dH  l 1  dH  T 1 *
l
 K
 K ( H  H (  ))

   
d 
 d 
 d 
 l 1   l   l  l 1 , l  0, 1, 2, 
Робастные оценки параметров
Параметры модели (которые являются оценками параметров объекта),
полученные на основе критерия наименьших квадратов, сильно реагируют на
выбросы помех. Аномальные отклонения в измерениях очень редки, но
амплитуда их велика.
n
I1 ()   | *i   | min

i 1
Так же существуют другие критерии вида:
n
I ( )   pi1( ei )  min ,
i 1
Примеры функции ψ(e):

a
ei  *i  (ui , )
б
(e)
0
e
(e)
  0.8
0
e
в
(e)
 0 
e
Простейший адаптивный алгоритм
подстройки параметров
Линейная параметризация модели:
(u, )  T (u )
На каждой итерации, например n и n-1, параметры модели находим из условия
равенства выходов модели и объекта:
*n  T (un ) n , *n 1  T (un 1 )n 1
Каждому уравнению в пространстве параметров соответствует своя линия
2
n
|| n ||2  min
n
n 1
 n 1
a
1
( *n  T (un ) n 1 )
 n   n 1 
(un )   n 1  ( *n  T (un ) n 1 )( T (un )) 
T
 ( u n ) ( u n )
n
n    a  T
(un )
n 
 (un )(un )
 n   n 1  n 1 (  n   n 1 ), n  1, 2, ... .
Простейший адаптивный алгоритм
подстройки параметров
Нелинейная модель: На каждом шаге линеаризуем модель и
приращения параметров отыскиваем из равенства выхода
модели и линеаризованной модели:
  (u n ,  n 1 )   (u n ,  n 1 )  n
*
n
T

В итоге получаем алгоритм перестройки параметров
нелинейной модели:
( *n  (un , n 1 ))
n  n 1  T
(un , n 1 )
 (un , n 1 )(un , n 1 )
ВОПРОСЫ ?