Лекция 8 1. Постановка задачи аппроксимации 2. Метод наименьших квадратов
advertisement
1. Постановка задачи аппроксимации 2. Метод наименьших квадратов 3. Линейная аппроксимация Лекция 8 Постановка задачи аппроксимации • Пусть задана функциональная зависимость y=f(x) , полученная в эксперименте x X1 X2 X3 … xn Y Y1 Y2 Y3 … yn Если аналитическое выражение функции f(x) неизвестно , то возникает задача: найти такую непрерывную зависимость Y f x значения которой при x=xi были близки к опытным данным yi (i=1, 2, … , n). Постановка задачи аппроксимации Геометрически задача аппроксимации состоит в проведении кривой, как возможно ближе примыкающей к системе экспериментальных точек Общий вид аппроксимирующего полинома задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между x и y полиномом заданной степени m и определении наилучших параметров эмпирической зависимости методом наименьших квадратов m Pm ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... am x m k 0 a0 a1 am ak x k Метод наименьших квадратов • Пусть в результате эксперимента получена таблица значений функции yi (i=1,...,n). Задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между x и y эмпирической формулой : ^ ^ y( x) f ( x; a0 , a1 ,..., am ) где m – число параметров; a0…am – неизвестные коэффициенты. Требуется • Определить искомые коэффициенты аj зависимости таким образом, чтобы этот полином наилучшим образом описывал экспериментальные данные, а сумма квадратов отклонений экспериментальных значений yi от соответствующих значений, вычисленных по аппроксимирующему многочлену, была минимальной. 2 ^ F ( a0 , a1 ,..., am ) yi f ( xi ; a0 , a1 ,..., am ) min i 1 n • где F(a0, a1, …, am) – функция коэффициентов. • В точке минимума функции F ее частные производные обращаются в нуль. Полиномиальная зависимость P(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm • Дифференцируя по параметрам , получаем математическое условие минимума квадратичной функции: • В результате решения системы линейных уравнений получим коэффициенты а0,а1,...,аm искомого • полинома Линейная аппроксимация При обработке экспериментальных данных возможно построить линейный аппроксимирующий полином, т.е. описать закон изменения x линейным уравнением P1(x)=a0+a1x Необходимо найти коэффициенты a0, a1 МНК Расчет неизвестных коэффициентов a0 и a1 Преобразование системы Выражения для коэффициентов a0 и a1. 𝑛 𝑆1 = 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑆2 = 𝑛 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖2 𝑆3 = 𝑖=1 𝑆2 𝑆3 − 𝑆1 𝑆4 𝑎0 = 𝑛𝑆3 − 𝑆12 𝑆4 = 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 𝑖=1 Коэффициенты 𝑛𝑆4 − 𝑆1 𝑆2 𝑎1 = 𝑛𝑆3 − 𝑆12 • Определитель системы • Определение коэффициентов a0 и a1 возможно, если определитель системы 0. Если определитель D=0, то система или не имеет единственного решения Пример: Дана табличная зависимость теплоемкости оксида углерода от температуры T, K CP , Дж моль К 300 400 500 600 700 800 900 1000 6.97 7.01 .12 7.28 7.45 7.62 7.79 7.93 Необходимо построить аппроксимирующий полином в виде y=a0+a1x . Введем обозначения T 300 x h , где h=100, Ср=y. Для вычисления коэффициентов составим таблицу: Таблица xiyi р э р СP i / СP i CP i / Ti xi 1 300 0 6.97 0 0 6.90 0.07 2 400 1 7.01 1 7.01 7.03 0.02 3 500 2 7.12 4 14.24 7.17 0.05 4 600 3 7.28 9 21.84 7.32 0.04 5 700 4 7.45 16 29.8 7.46 0.01 6 800 5 7.62 25 38.1 7.62 0.00 7 900 6 7.79 36 46.74 7.76 0.03 8 1000 7 7.93 49 55.51 7.91 0.02 28 59.17 140 213.24 yi э I (C P i ) x i2 8 a0 28 a1 59.17, 28 a0 140 a1 213.24. 59.17 28 213.24 140 a0 6.884, 8 28 28 140 8 59.17 28 213.24 a1 0.146. 8 28 28 140 y=6.884+0.146x. T 300 Сp 6.884 0.146 6.445 0.146 10 2 T . 100 CP 6.445 0.146 102 T • Разность между исходными данными и результатами расчета по полученному выражению определяет погрешность аппроксимации. • Выполненная проверка показала, что полученное уравнение (линейное) соответствует эксперименту. • Если погрешность велика, то выбирают другой вид аппроксимирующего полинома.
