Document 4929971

В практических применениях
математики очень часто встречается
такая задача:
Зависимость между переменными
величинами выражается в виде
таблицы, полученной опытным путем.
Это могут быть результаты
эксперимента, данные наблюдений
или измерений, статистической
обработки материала и т.п.
Требуется выразить эту зависимость
между переменными аналитически.,
т.е. дать формулу, связывающую
между собой соответствующие
значения переменных.
Такая формула очень облегчает
анализ изучаемой зависимости.
Формулы, служащие для
аналитического представления
опытных данных, принято называть
эмпирическими формулами.
Чаще всего при подборе эмпирических
формул пользуются так называемым
принципом наименьших квадратов.
Он основан на том, что из данного
множества формул вида y=f (x)
наилучшим образом изображающей
данные значения считается та, для
которой сумма квадратов отклонений
наблюдаемых значений от
вычисленных является наименьшей.
Подбор параметров функции f (x),
основанный на этом принципе,
называют способом
наименьших квадратов.
Необходимо помнить,
что способ наименьших
квадратов применяется
для подбора параметров
после того, как вид ф-ии
y=f (x) определен.
Пусть задана таблица значений
переменных и соответствующие точки
располагающиеся вблизи прямой линии.
В этом случае нужно подбирать
коэффициенты линейной функции
y=ax+b так, чтобы сумма квадратов
Отклонений вычисленных значений
axi+b от наблюдаемых значений yi ,
т. е. величина:
S  (ax1  b  y1 )  (ax2  b  y2 )  ...  (axn  b  yn )
2
2
принимала наименьшее значение.
2
n
Сумма
S   (axi  b  yi )
2
i 1
является функцией двух переменных
a и b, а потому она принимает
минимальное значение при тех
значениях a и b, при которых
обращаются в нуль частные
произведения этой функции по
каждой переменной, т.е. когда :
S
0
a
и
S
0
b
Преобразуем:
S
 2 (axi  b  yi )xi 
a
i 1
n

2 a xi  b xi   yi xi
2
S
 2 (axi  b  yi ) 
b
 2 a  xi  bn   yi



Приравниваем к нулю:
a  xi  b xi   xi yi
2
a  xi  bn   yi
(нормальная система)
Задача:
Дана таблица измерений:
Xi
Yi
1
1
3
2
5
3
7
6
(*)
Найти «подходящую» линейную
функцию
 ( x)  ax  b
наиболее точно описывающую
приведенную опытную зависимость
Для нахождения коэффициентов
a и b удобнее расширить таблицу(*):
Xi
1
3
5
7
16
Yi
1
2
3
6
12
Xi2
1
9
25
49
84
Xi Yi 1
6
15
42
64
n
Найденные суммы 
i 1
подставляем в систему:
64  84a  16b  0
12  16a  4b  0
Решение этой системы:
4
1
a  ,b  
5
5
Откуда:
4
1
 ( x)  x 
5
5
Для построения этой прямой можно взять
такие точки:
X
-1
4
Y
-1
3
Построение: На координатную плоскость
xOy наносим также точки (xi, yi)из таблицы (*).
Здесь:
-точки из опыта;
-точки для построения прямой.
4
1
y  x .
5
5
Y
4
1
y  x .
5
5
6
3
-1
0
-1
4
5
7
X
Анализ чертежа показывает, что с
учетом обязательных ошибок
измерений формула
4
1
y  x
5
5
достаточно близка к опытной
зависимости и позволяет
приближенно находить значения
величины y для тех x, которые в
опыте не рассмотрены.