дз

СТАРООСКОЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. А.А.УГАРОВА
(ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО АВТОНОМНОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
Кафедра АИСУ
ДОМАШНЯЯ РАБОТА
по дисциплине «Организация эксперимента»
на тему: «Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов»
Вариант 7
Выполнила: ст. гр. ЭТ-18-1д
Лазарева Ольга
Проверила: д.ф.-м.н., профессор
Половинкин И.П.
Старый Оскол, 2019
Задание №1
Аппроксимировать функцию, заданную таблицей, с помощью линейной модели
варианта по методу наименьших квадратов.
Данные эксперимента считывать из текстового файла, в котором значения
функции задаются в последнем столбце. Количество экспериментальных точек и
количество переменных подсчитывать программно. В соответствии с моделью
сформировать регрессионную матрицу и составить систему линейных уравнений
относительно неизвестных коэффициентов. Решить систему уравнений методом
Гаусса. Вывести найденные коэффициенты модели, а также таблицу экспериментальных значений функции и значений вычисленных по модели.
Вариант 7
y  a0  a1  x1  a2  x2  a3  x
2
3
x1
5.00
5.20
5.30
5.50
5.70
6.00
6.20
6.50
6.60
6.80
7.00
7.50
x2
2.00
2.50
2.80
3.10
3.50
3.30
3.00
2.90
2.60
2.40
2.10
1.80
y
x3
1.00
0.80
0.70
0.50
0.40
0.20
0.10
0.30
0.60
0.90
1.10
1.50
8.556
8.360
8.817
8.654
9.189
7.860
6.964
6.720
6.860
8.040
8.640
11.520
Решение:
Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least
Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.
Рис. 1 Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов
Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из
условия минимума суммы квадратов отклонений ( i ) расчетной аппроксимирующей
функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:
N
N
i 1
i 1
2
 i2   F ( xi )  yi   min
F ( xi ) - значения расчетной аппроксимирующей функции в узловых точках xi ,
yi - заданный массив экспериментальных данных в узловых точках xi .
Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.
В нашем случае задача заключается в нахождении коэффициентов a0 , a1 , a2 , a3 :
N

i 1
N
2
i
 S (a0 , a1 , a2 , a3 )   (( a0i  a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x32i )  yi ) 2
i 1
Необходимым условием существования минимума функции является равенство
нулю ее частных производных по неизвестным переменным a j (j=0,…,3).
S (a0 , a1 , a2 , a3 )

a0

S (a0 , a1 , a2 , a3 )

a1


S (a0 , a1 , a2 , a3 )

a2

S (a0 , a1 , a2 , a3 )

a3
0
0
0
0
В результате получим следующую систему уравнений:
 N
2   (( a0i
 i 1
 N
2   (( a0i
 i 1
 N
2  (( a
0i
 
i 1
 N
2  (( a
0i
 
i 1
 a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x33i )  yi )  0
 a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x33i )  yi )  x1i  0
 a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x33i )  yi )  x2i  0
 a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x33i )  yi )  x32i  0
Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и
перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем
виде:
N
N
N
N

2
a

N

a

x

a

x

a

x

yi




0
1
1
i
2
2
i
3
3
i

i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N

2
2
a

x

a

x

a

x

x

a

x

x

yi  x1i

1  1i
2  1i
2i
3  1i
3i
 0  1i

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N
a  x  a  x  x a  x 2  a  x  x 2 
yi  x2i

2i
1  1i
2i
2  2i
3  2i
3i
 0 
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N
a  x 2  a  x  x 2 a  x  x 2  a  x 4 
yi  x32i

3i
1  1i
3i
2  2i
3i
3  3i
 0 
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана
в матричном виде:
12a0  73,30  a1  32,00  a2  7,31  a3  100,18
73,30  a  454,61  a  193,77  a  47,33  a  613,80

0
1
2
3

32,00  a0  193,77  a1  88,42  a2  16,20  a3  264,02
7,31  a0  47,33  a1  16,20  a2  9,06  a3  68,21
Решим ее методом Гаусса в MathCad:
 12

73.3
A  
 32.00
 7.31



454.61 193.77 47.33 
193.77 88.42 16.2 

47.33 16.2 9.06 
73.3
32.0
 12

73.3
C  augment ( A b )  
 32.0
 7.31

 100.18 


613.80 

b 
 264.02 
 68.21 


7.31
73.3
32.0
7.31 100.18 


193.77 88.42 16.2 264.02 

47.33 16.2 9.06 68.21 
454.61 193.77 47.33 613.8
 1.0

0
D  rref ( C)  
0
0



1.0 0.0 0.0 0.55377843003612101954 
0 1.0 0.0 2.9071568716978356501 

0 0 1.0 3.9594134454256896872 
0.0 0.0 0.0
1.5666355617712615264
 1.5666355617712615264 


0.55377843003612101954 

a  submatrix( D 0 3 4 4) 
 2.9071568716978356501 
 3.9594134454256896872 


Отсюда, искомое уравнение имеет следующий вид:
y  1.567  0.554  x1  2.907 x2  3.959  x32
Y экспер
8.556
8.36
8.817
8.654
9.189
7.86
6.964
6.72
6.86
8.04
8.64
11.52
Y теор
8,57
8,49
8,71
8,52
9,22
8,00
6,89
6,75
6,90
7,99
8,59
11,55
Задание №2
Аппроксимировать функцию, заданную таблицей, с помощью нелинейной модели варианта по методу наименьших квадратов.
y  a0  x1a  x2a  x3a 3
1
2
x1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
x2
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
y
x3
0,97
0,94
0,91
0,88
0,85
0,82
0,79
0,76
0,73
0,7
0,67
0,64
61,6
68,37
75,5
82,02
87,58
93,03
3,6
3,8
3,83
3,93
3,96
3,98
Решение:
Для применения метода наименьших квадратов степенная функция линеаризуется:
ln( y )  ln( a0 )  a1 ln( x1 )  a2 ln( x2 )  a3 ln( x3 )
Поиск неизвестных коэффициентов осуществляется по методу наименьших квадратов в соответствии со следующей системой уравнений.
N
N
N
N

ln(
a
)

N

a

ln(
x
)

a

ln(
x
)

a

ln(
x
)

ln( yi )




0
1
1i
2
2i
3
3i

i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N

2
ln(
a
)

ln(
x
)

a

ln(
x
)

a

ln(
x
)

ln(
x
)

a

ln(
x
)

ln(
x
)

 1i
 ln( yi )  ln( x1i )
0
1 
1i
2 
1i
2i
3 
1i
3i


i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N
ln( a )   ln( x )  a   ln( x )  ln( x ) a   ln( x ) 2  a   ln( x )  ln( x )   ln( y )  ln( x )
0
2i
1
1i
2i
2
2i
3
2i
3i
i
2i

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N
ln( a )   ln( x )  a   ln( x )  ln( x ) a   ln( x )  ln( x )  a   ln( x ) 2   ln( y )  ln( x )
0
3i
1
1i
3i
2
2i
3i
3
3i
i
3i

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана
в матричном виде:
12 ln( a0 )  5.736  a1  6.592  a2  2.704  a3  34.167
5.736  ln( a )  3.301  a  1.925  a  1.626  a  13,109

0
1
2
3

6.592  ln( a0 )  1.925  a1  7.242  a2  0.742  a3  28.654
 2.704  ln( a0 )  1,626  a1  0.742  a2  0.812  a3  5,731
Решим ее методом Гаусса в MathCad:
 12

5.736
A  
 6.592
 2.704

5.736
6.592
2.704 

3.301 1.925 1.626 
1.925 7.242 0.742 

1.626 0.742 0.812 
 12

5.736
C  augment( A B)  
 6.592
 2.704

 1.0

0
D  rref ( C)  
0
0

 34.167 


13.109 

B 
 28.654 
 5.731 


5.736
6.592 2.704 34.167 
3.301
1.925 1.626 13.109 
1.925

7.242 0.742 28.654 

1.626 0.742 0.812 5.731 
0.0 0.0 0.0 0.68088721986745274023 


0 1.0 0.0 2.9897138464612504478 

0 0 1.0 2.4403186142200655085 
1.0 0.0 0.0 2.2466494453572282602
 0.68088721986745274023 


2.2466494453572282602 

a  submatrix( D 0 3 4 4) 
 2.9897138464612504478 
 2.4403186142200655085 


ln( x)
0.68088721986745274023 solve  1.9756297728781127109
Отсюда, искомое уравнение имеет следующий вид:
y  1,976  x12, 247  x22,990  x32, 440
Y экспер
61,6
68,37
75,5
82,02
87,58
93,03
3,6
3,8
3,83
3,93
3,96
3,98
Y теор
60,65621
68,30893
75,54406
82,22049
88,21381
93,41701
3,661179
3,787569
3,876425
3,926488
3,937191
3,908649