Методические указания и индивидуальные контрольные задания для студентов заочной формы обучения по всем направлениям подготовки агроинженерного факультета
advertisement
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет
имени императора Петра I»
Агроинженерный факультет
Кафедра высшей математики и теоретической механики
Методические указания
и индивидуальные контрольные задания
для студентов заочной формы обучения
по всем направлениям подготовки
агроинженерного факультета
Воронеж
2013
Составители: доценты кафедры высшей математики и теоретической механики ВГАУ Дементьев С.Н., Федулова Л.И.
Рецензент:
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию
на заседании кафедры высшей математики и теоретической механики ВГАУ (протокол №
от
20 г.)
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию
на заседании методической комиссии агроинженерного факультета ВГАУ (протокол №
от
20 г.)
ПРОГРАММА КУРСА
«МАТЕМАТИКА»
I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
1. Система координат на прямой, плоскости и в пространстве. Пространства R 2 и R 3 . Векторы. Линейные операции над
векторами. Проекция вектора на ось, направляющие косинусы и
длина вектора. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике (диаграммы сил, моментов сил, электрических токов, напряжений и т.п.). Координаты центра масс.
2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина
вектора и угол между векторами в координатной форме. Условие
ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного
произведения.
3. Определители второго и третьего порядков, их свойства.
Миноры и алгебраические дополнения. Определитель n -го порядка. Вычисление определителя разложением по элементам
строки (столбца).
4. Векторное произведение двух векторов, его свойства.
Условие коллинеарности двух векторов. Простейшие приложения
векторного произведения в науке и технике: момент силы, сила,
действующая на проводник с током в магнитном поле, скорость
точки вращающегося тела, направление распространения электромагнитных волн, понятие о явлении гироскопии.
5. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический
смысл определителя третьего порядка. Условие компланарности
трех векторов.
6. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от
точки до прямой.
7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола,
парабола. Их геометрические свойства и уравнения. Технические
приложения геометрических свойств кривых (использование фо-
кальных свойств, математические модели формообразования
биологических, технических и других объектов).
8. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол
между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью.
9. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические
поверхности. Сфера. Конусы. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений. Технические приложения геометрических свойств поверхностей (использование фокальных
свойств, модели строительных конструкций, модели физических
элементов).
10. Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда.
11. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве.
12. Матрицы, действия с ними. Понятие обратной матрицы.
13. Системы двух и трех линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы. Правило Крамера. Системы n
линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Метод
Гаусса.
14. Пространство R n . Линейные операции над векторами в
R n . Различные нормы в R n . Скалярное произведение в R n .
15. Линейные и квадратичные формы в R n . Условие знакоопределенности квадратичной формы.
16. Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор
как элемент линейного пространства. Линейные операторы.
Примеры линейных операторов. Применение линейных операторов для моделирования различных процессов.
II. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
17. Элементы математической логики; необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Бином Ньютона. Формулы сокращенного умножения.
18. Множество вещественных чисел. Функция, область ее
определения. Способы задания функций. Основные элементарные
функции, их свойства и графики.
19. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Предел числовой последовательности. Стабилизация десятичных знаков у членов последовательности, имеющей
предел. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.
20. Сложные и обратные функции, их графики. Класс элементарных функций.
21. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций.
22. Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных функций.
23. Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.
24. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, существование промежуточных значений. Метод бисекции.
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
25. Понятие функции, дифференцируемой в точке, его геометрический смысл. Дифференциал функции. Общее представление о методах линеаризации.
26. Производная функции, ее смысл в различных задачах.
Правила нахождения производной и дифференциала.
27. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
28. Точки экстремума функции. Теорема Ферма.
29. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.
30. Производные и дифференциалы высших порядков.
31. Правило Лопиталя.
32. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и
форме Лагранжа. Представление функций
e x , sin x, cos x, ln(1 x), (1 x)
по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в вычислительной математике.
33. Понятие об интерполяции и аппроксимации.
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ
34. Условия монотонности функции. Экстремумы функции,
необходимое условие. Достаточные условия экстремумов. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.
35. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
36. Асимптоты графика функции. Понятие об асимптотическом разложении.
37. Общая схема исследования функции и построения ее
графика.
38. Понятие кривой. Примеры. Уравнения касательной и
нормали к кривой в заданной точке.
V. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
39. Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного
числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Корни из комплексных чисел.
40. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.
Разложение многочлена с действительными коэффициентами на
линейные и квадратичные множители.
41. Разложение рациональных дробей на простейшие.
VI. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
42. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
43. Методы интегрирования. Использование таблиц интегралов.
44. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его
свойства.
45. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов.
46. Приближенное вычисление определенных интегралов по
формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона.
47. Несобственные интегралы первого и второго рода, их
основные свойства.
VII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
48. Понятие функции нескольких переменных. Область
определения. Предел функции. Непрерывность.
49. Частные производные. Полный дифференциал, его связь
с частными производными. Инвариантность формы полного
дифференциала. Уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
Использование полного дифференциала в теории погрешностей
при вычислениях.
50. Частные производные и полные дифференциалы высших
порядков. Формула Тейлора.
51. Неявные функции. Дифференцирования неявных функций.
52. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Метод наименьших
квадратов.
53. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Примеры поиска оптимальных решений.
VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
54. Физические задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в
квадратурах. Приложения дифференциальных уравнений первого
порядка в различных областях науки и практики.
55. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача
Коши. Понятие краевых задач для дифференциальных уравнений.
Уравнения, допускающие понижение порядка. Приложения к решению задач о второй космической скорости, о движении маятника, об изгибе стержня.
56. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Понятие общего решения; его
структура.
57. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения со специальными
правыми частями, отыскание их решений. Приложения к описанию линейных моделей.
58. Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Векторная запись нормальной системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость),
фазовая кривая. Приложения в динамике систем материальных
точек, в теории автоматического управления, в биологии (модель
«хищники-жертвы») и т.д.
59. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
60. Метод исключения для решения нормальных систем
дифференциальных уравнений. Простейшие численные методы.
61. Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений. Решение систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
62. Понятие о качественных методах исследования систем
дифференциальных уравнений.
IX. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
63. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое
условие сходимости. Действия с рядами.
64. Методы исследования сходимости числовых рядов.
65. Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее
определения.
66. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
67. Ряды Фурье по тригонометрическим системам. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Условия поточечной сходимости и сходимости «в среднем». Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях.
X. ОБЩАЯ СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
68. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.
69. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление
кратных интегралов повторным интегрированием.
70. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов, их свойства, примеры вычисления.
71. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства, примеры вычисления.
XI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
72. Предмет теории вероятностей.
73. Классификация событий. Пространство элементарных
событий. Алгебра событий.
74. Понятие случайного события. Относительные частоты.
Закон устойчивости относительных частот.
75. Классическое и геометрическое определения вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей.
76. Методы исчисления вероятностей.
77. Схема Бернулли.
78. Дискретные случайные величины. Ряд распределения.
Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание
и дисперсия дискретной случайной величины.
79. Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое
ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
80. Нормальный закон распределения случайной величины,
его свойства.
81. Понятие о различных формах закона больших чисел.
Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема
Ляпунова.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии /Н.В.
Ефимов.– М.: Наука, 2002.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: в 2 т. /Н.С. Пискунов. – М.: ИНТЕГРАЛПРЕСС, 2002.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика /В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2
ч. /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 Век»: Мир и Образование, 2003.
ТЕМА 1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В ЗАДАЧАХ 1.1 - 1.20 решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
1.1.
x 2 y 4 z 31,
5x y 2 z 29,
3x y z 10.
1.2.
4 x 3 y 2 z 15,
2 x 5 y 3z 8,
5 x 6 y 2 z 6.
1.3.
2 x y z 4,
3x 4 y 2 z 11,
3x 2 y 4 z 11.
1.4.
5 x 8 y z 4,
x 2 y 3z 2,
2 x 3 y 2 z 7.
1.5.
x 2 y z 4,
3x 5 y 3z 1,
2 x 7 y z 8.
1.6.
3x 2 y z 5,
2 x 3 y z 1,
2 x y 3z 11.
1.7.
x y 2 z 1,
2 x y 2 z 4,
4 x y 4 z 2.
1.8.
5,
3x y
2 x y z 0,
2 x y 4 z 15.
1.9.
1.10.
x y z 2,
2 x y 6 z 1,
3 x 2 y 8
1.11.
x 2 y 5 z 4,
- x 2 y 4 z 7,
3 x 4 y 5 z 6.
1.12.
2 x 4 y 4 z 2,
x y 2 z 2,
3 y z 2.
1.13.
x y 3 z 1,
2 x y 2 z 1,
x y z 3.
1.14.
x y z 1,
x y 2 z 2,
x y 4 z 4.
1.15.
x y z 3,
x 2 y 3 z 4,
x 3 y 6 z 1.
3x y z 4,
2 x 5 y 3z 17,
x y z 0.
1.16.
3 x 2 y z 5,
2 x 3 y z 1,
2 x y 3 z 11.
1.17.
x 2 y 4 z 31,
5 x y 2 z 29,
3 x y z 10.
1.19.
x y z 1,
2 x y 5 z 4,
3 x 2 y z 3.
1.20.
6 x 3 y 4 z 5,
2 x 2 y z 10,
7 x y 5 z 14.
1.18.
x y 2 z 1,
2 x y 2 z 4,
4 x y 4 z 2.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.
используя формулы Крамера, решить систему
Пусть требуется,
x 2 y z 4,
2 x y 3z 5,
3x 4 y z 2.
Решение. Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления
определителей третьего порядка :
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11
a31 a32 a33
a22 a23
a32 a33
a12
a21 a23
a31 a33
a13
a21 a22
a31 a32
.
У нас
1 2 1
2
1 3 1 (1 12 ) ( 2 ) (2 9 ) 1 (8 3 ) 20.
3 4 1
Так как 0 , делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители x , y , z :
4
x
2 1
1 3 4 (1 12 ) ( 2 ) (5 6 ) 1 (20 2 ) 0;
5
2
4
1
1
4
1
y 2
5
3 = 1 (5 6 ) 4 (2 9 ) 1 ( 4 15 ) 20;
3 2
1 2
z 2
1
3
4
1
4
5 1 ( 2 20 ) ( 2 ) ( 4 15 ) 4 (8 3 ) 40.
2
Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим
y
x x 0, y
1, z z 2.
Осуществим проверку правильности полученного решения,
подставив его в левую часть каждого уравнения заданной системы:
0 2 ( 1) 2 4,
2 0 ( 1) 3 2 5,
3 0 4 ( 1) 2 2.
Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения x 0, y 1, z 2.
ТЕМА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
В ЗАДАЧАХ 2.1 - 2.20 даны координаты вершин треугольника ABC .
Найти: 1) длину стороны AB ; 2) уравнения сторон AB и
BC , их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол при вершине
B в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы AE ; 5)
уравнение и длину высоты CD ; 6) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно прямой AB и точку M ее пересечения с высотой CD .
Треугольник и все полученные линии построить в системе координат xOy .
A ( 2; 2), B (5; 6),
C (6; 4).
2.1.
A ( 4; –2), B (7; 2),
C (8; 0).
2.2.
A ( 0; 2), B (3; 6),
C (4; 4).
2.3.
A ( 4; 1), B (7; 5),
C (8; 3).
2.4.
A ( 3; 2), B (6; 6),
C (7; 4).
2.5.
A (–2; 1), B (1; 5),
C (2; 3).
2.6.
A ( 4;–3), B (7; 1),
C (8; –1).
2.7.
A (–2; 2), B (1; 6),
C (2; 4).
2.8.
A ( 5; 0), B (8; 4),
C (9; 2).
2.9.
C (6; 5).
2.10. A ( 2; 3), B (5; 7),
C (5; 5).
2.11. A ( 1; 3), B (4; 7),
C (7; 0).
2.12. A ( 3; –2), B (6; 2),
C (5; 4).
2.13. A ( 1; 2), B (4; 6),
C (7; 3).
2.14. A ( 3; 1), B (6; 5),
C (6; 6).
2.15. A ( 2; 4), B (5; 8),
C (3; 3).
2.16. A (–1; 1), B (2; 5),
C (7; –1).
2.17. A ( 3; –3), B (6; 1),
C (3; 4).
2.18. A (–1; 2), B (2; 6),
2.19.
2.20.
A ( 4; 0),
A ( 3; 3),
B (7; 4),
B (6; 7),
C (8; 2).
C (7; 5).
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Пусть A ( 1; 2), B (5; 1), C ( 4; 5 ).
1. Расстояние между точками A ( x 1; y1 ) и B ( x 2 ; y2 ) определяется по формуле
d x 2 x1 y2 y1 ,
воспользовавшись которой находим длину стороны AB :
2
AB
5 12 1 2 2
2
(1)
45 3 5.
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
плоскости A ( x 1; y1 ) и B ( x 2 ; y2 ), имеет вид
y y1
x x1
(2)
.
y2 y1 x 2 x1
Подставляя в (2) координаты точек A и B , получаем уравнение
стороны AB :
y 2 x 1
y 2 x 1
y 2 x 1
1 2 5 1
3
6
1
2
2 y 4 x 1 x 2 y 3 0 ( AB).
Угловой коэффициент k A B прямой AB найдем, преобразовав
полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом y kx b .
1
3
1
У нас 2 y x 3 , то есть y= x , откуда k A B = .
2
2
2
Аналогично получим уравнение прямой BC и найдем ее угловой коэффициент:
y 1
x 5
y 1 x 5
9 y 9 4 x 20
5 1 4 5
4
9
4 x 9 y 29 0 (BC ).
Далее
4
29
4
x
ò.å. kBC .
9
9
9
3. Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника
воспользуемся формулой:
k k AB
(3)
tgB BC
.
1+k BC k AB
Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых AB и BC . Подумайте, как бы Вы стали искать внутренние углы A и С треугольника ABC ?
Подставив ранее вычисленные значения k A B и k BC в (3),
находим:
4 1
17
9
2
tgB
1,2143.
1
4
14
1
2 9
9 y 4 x 29 y
Теперь, воспользовавшись таблицами В.М. Брадиса или инженерным микрокалькулятором, получаем B 0 .88 рад .
4. Для составления уравнения медианы AE найдем сначала
координаты точки E , которая лежит на середине отрезка BC :
x x C 5 ( 4) 1
xE B
;
2
2
2
y yC ( 1) ( 5)
yE B
3.
2
2
Подставив в уравнение (2) координаты точек A и E , получаем уравнение медианы:
y 2 x 1
y 2 x 1
3
y 2 5 x 1
3
3 2 1 1
5
2
2
2
3 y 2 10 x 1 10 x 3 y 4 0 ( AE ).
5. Для составления уравнения высоты CD воспользуемся
уравнением прямой, проходящей через заданную точку
M 0 ( x 0 ; y0 ) с заданным угловым коэффициентом k , которое имеет вид
(4)
y y0 k x x 0 ,
и условием перпендикулярности прямых AB и CD , которое вы1
ражается соотношением k AB kCD 1, откуда kCD
2.
k AB
Подставив в (4) вместо k значение k CD 2 , а вместо x 0 , y0 соответствующие координаты точки C , получим уравнение высоты
CD :
y 5 2 x 4 y 5 2 x 8 2 x y 3 0 (CD).
Для вычисления длины высоты CD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки M 0 ( x 0 ; y0 ) до заданной прямой с уравнением Ax By C 0 , которая имеет вид
A x 0 By0 C
d
.
(5)
2
2
A B
Подставив в (5) вместо x 0 , y0 координаты точки C , а вместо A , B , C коэффициенты уравнения прямой AB , получаем
4 2(5) 3 17
d CD
.
2
2
5
1 2
6. Так как искомая прямая EF параллельна прямой AB , то
1
k EF k A B . Подставив в уравнение (4) вместо x 0 , y0 коор2
динаты точки E , а вместо k значение k EF , получаем уравнение
прямой EF :
1
1
1
y 3 x 2 y 6 x
2
2
2
4 y 12 2 x 1 2 x 4 y 11 0 ( EF ).
Для отыскания координат точки M решаем совместно уравнения прямых EF и CD :
23
x
;
2 x 4 y 11 0;
10
2
x
y
3
0
.
y 8 .
5
23 8
Таким образом, M ; .
10 5
Треугольник ABC , высота CD , медиана AE , прямая EF и
точка M построены в системе координат xOy на рис. 1.
Рис. 1
ТЕМА 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
В ЗАДАЧАХ 3.1 - 3.20 даны координаты вершин пирамиды
ABCD .
Требуется: 1) записать векторы AB , AC , AD в системе орт
i , j , k и найти модули этих векторов; 2) найти угол между
векторами AB , AC ; 3) найти проекцию вектора AD на вектор
AB ; 4) найти площадь грани ABC ; 5) найти объем пирамиды
ABCD ; 6) составить уравнение ребра AC ; 7) составить уравнение грани ABC .
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
A (2; 1; 2),
A (2; 3; 0),
A (2; 2; 1),
A (1; 2; 1),
A (2; 3; 2),
A (0; 3; 2),
A (1; 3; 1),
A (1; 2; 2),
A (2; 3; 1),
A (2; 2; 2),
A (1; 1; 0),
B (0; 4; 2),
B (0; 6; 0),
B (0; 5; 1),
B (–1; 5; 1),
B (0; 6; 2),
B (–2; 6; 2),
B (–1; 6; 1),
B (–1; 5; 2),
B (0; 6; 1),
B (0; 5; 2),
B (–1; 4; 0),
C (0; 1; 8),
C (0; 3; 6),
C (0; 2; 7),
C (–1; 2; 7),
C (0; 3; 8),
C (–2; 3; 8),
C (–1; 3; 7),
C (–1; 2; 8),
C (0; 3; 7),
C (0; 2; 8),
C (–1; 1; 6),
D (2; 4; 10).
D (2; 6; 8).
D (2; 5; 9).
D (1; 5; 9).
D (2; 6; 10).
D (0; 6; 10).
D (1; 6; 9).
D (1; 5; 10).
D (2; 6; 9).
D (2; 5; 10).
D (1; 4; 8).
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
A (1; 2; 3),
A (1; 4; 1),
A (3; 2; 1),
A (0; 2; 3),
A (1; 1; 3),
A (1; 4; 0),
A (3; 2; 0),
A (0; 1; 1),
A (0; 2; 0),
B (-1; 5; 3),
B (–1; 7; 1),
B (1; 5; 1),
B (-2; 5; 3),
B (-1; 4; 3),
B (–1; 7; 0),
B (1; 5; 0),
B (-2; 4; 1),
B (-2; 5; 0),
C (-1; 2; 9),
C (–1; 4; 7),
C (1; 2; 7),
C (-2; 2; 9),
C (-1; 1; 9),
C (–1; 4; 6),
C (1; 2; 6),
C (-2; 1; 7),
C (-2; 2; 6),
D (1; 5; 11).
D (1; 7; 9).
D (3; 5; 9).
D (0; 5; 11).
D (1; 4; 11).
D (1; 7; 8).
D (3; 5; 8).
D (0; 4; 9).
D (0; 5; 8).
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Пусть A (0; 0; 1), B (2; 3; 5), C (6; 2; 3), D (3; 7; 2).
1. Известно, что произвольный вектор a представляется в
системе орт i , j , k по формуле
(1)
a ax i ay j az k ,
где ax , ay , az – координаты вектора a в системе координат xOy ,
порожденной ортами, причем
ax прOx a, ay прOx a, az прOx a.
Если заданы точки M 1 ( x 1; y1; z1 ) и M 2 ( x 2 ; y2 ; z2 ) , то
(2)
M1M 2 ( x2 x1 ) i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 ) k .
Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных
точек, получим
AB (2 0) i (3 0) j (5 1) k 2i 3 j 4k ;
AC (6 0) i (2 0) j (3 1) k 6i 2 j 2k ;
AD (3 0) i (7 0) j (2 1) k 3i 7 j k .
Если вектор a задан формулой (1), то его модуль вычисляется следующим образом:
a ax2 ay2 az2 .
(3)
Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:
A B 2 2 32 4 2 29;
A C 2 32 12 12 2 11;
A D 32 7 2 12 59.
2. Известна формула
^
cos( a, b )
a b
,
ab
где a b – скалярное произведение векторов a и b , которое можно вычислить следующим образом:
a b ax bx ay by az bz .
У нас
^
cos cos( AB , AC )
AB AC 2 6 3 2 4 2
0,7279,
2 29 11
AB AC
то есть 430 .
3. Известно, что
пр b a
a b
,
b
то есть в нашем случае
пр A B AD
AB AD 2 3 3 7 4 1
5,76.
29
AB
4. Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника, построенного на векторах a и b ,
1
a b,
2
где a b – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:
S
i
j
k
a b ax
ay
bx
by
az .
bz
j
1
A B A C , причем
2
k
AB AC 2 3
4 2 ( i 10 j 7 k ).
В нашем примере S A BC
i
6 2 2
Таким образом,
S A BC
1
2 ( 1)2 10 2 ( 7 )2 5 6 (кв. ед.).
2
5. Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных
векторах a, b, c , можно найти по формуле
1
V (a b) c ,
6
где ( a b ) c – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:
ax
ay
az
( a b ) c bx
by
cx
cy
bz .
cz
1
У нас V ( A B A C ) A D , где
6
2 3 4
( A B A C ) A D 6 2 2 2 (2 14 ) 3 (6 6 ) 4 ( 42 6 ) 120, т
3 7 1
1
о есть V 120 20 (куб. ед.).
6
6. Известно, что уравнения прямой, проходящей через две
заданные точки пространства M 1 ( x 1; y1; z1 ) и M 2 ( x 2 ; y2 ; z2 ) ,
имеют вид
x x1
y y1
z z1
.
(4)
x 2 x 1 y2 y1 z2 z1
Подставив в (4) координаты точек A и C , получаем
x 0 y 0 z 1
,
6 0 2 0 31
то есть уравнение ребра AC окончательно запишется следующим
образом:
x y z 1
x y z 1
или
.
6 2
2
3 1
1
7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки A ( x 1; y1; z1 ), B ( x 2 ; y2 ; z2 ), C ( x 3 ; y3 ; z3 ), можно записать в виде
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1 z2 z1 0 .
x 3 x 1 y3 y1 z3 z1
Подставляя в него координаты точек A , B , C , получаем
x 0 y 0 z 1
x y z 1
2 0 3 0 5 1 0; 2 3
4 0.
6 0 2 0 3 1
2
6 2
Отсюда
x (2) y (20) ( z 1) (14) 0 2 x 20 y 14 z 14 0
x 10 y 7z 7 0.
ТЕМА 4. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В ЗАДАЧАХ 4.1 - 4.20 найти указанные пределы.
4.1. 1) lim
x x 0
2x 2 x 1
x 2 3x 4
; a ) x 0 2; b ) x 0 1; c ) x 0 .
tg2 x
.
x 0 sin 3x
2) lim
4.2. 1) lim
x 2 3x 2
2
4 x 3x
sin 4 x
.
2) lim
x 0 2 x cos 3x
x x 0
4.3. 1) lim
; a ) x 0 1; b ) x 0 1; c ) x 0 .
2 x 2 x 10
; a ) x 0 2; b ) x 0 2; c ) x 0 .
x 2 3x 2
x tg3x
2) lim
.
x 0 sin 2 2 x
x x 0
4.4. 1) lim
x x 0
2) lim
x 2 3x 2
14 x 3x
sin 5x tg3x
x 0
x
; a ) x 0 1; b ) x 0 2; c ) x 0 .
2
2
.
x 2 5x 4
4.5. 1) lim
; a) x0 2; b) x0 1; c) x0 .
x x0 2 x 2 3x 5
sin 6x
.
2) lim
x 0 tg2 x
4.6. 1) lim
4 x 2 5x 1
2
3x x 2
3x cos 5x
.
2) lim
x 0 sin 3x
x x 0
4.7. 1) lim
; a ) x 0 1; b ) x 0 1; c ) x 0 .
x 2 5x 6
2
3x x 14
2 x tg 4 x
2) lim
.
x 0 sin 2 6x
x x 0
4.8. 1) lim
x x 0
2) lim
x 0
2x 2 7x 6
6 x x2
sin 2 x tg 4 x
x
2
.
; a ) x 0 2; b ) x 0 2; c ) x 0 .
; a ) x 0 1; b ) x 0 2; c ) x 0 .
4.9. 1) lim
x 2 6x 7
2
3x x 2
sin 8x
.
2) lim
x 0 tg5x
x x 0
4.10. 1) lim
; a ) x 0 2; b ) x 0 1; c ) x 0 .
3x 2 x 4
2
4x x 3
4 x cos 7 x
.
2) lim
x 0
sin 2 x
x x 0
4.11. 1) lim
; a ) x 0 1; b ) x 0 1; c ) x 0 .
x 2 3x 10
3x 5 x 2
4tg 3 x
.
2) lim
x 0 sin 2 x
x x0
4.12. 1) lim
2
; a) x0 1; b) x0 2; c) x0 .
2 x 2 5x 7
; a) x0 1; b) x0 1; c) x0 .
3x 2 x 4
sin 5 x
.
2) lim
x 0 10 x cos 4 x
x x0
4.13. 1) lim
3x 2 10 x 3
x 2 2 x 15
x sin 2 x
2) lim
.
x 0 tg 2 3 x
x x0
4.14. 1) lim
2 x 2 11x 5
x 3x 10
sin 3x tg 5 x
2) lim
.
2
x 0
x
x x0
4.15. 1) lim
2
x 2 4 x 12
x x6
tg 2 x
.
2) lim
x 0 4 sin 6 x
x x0
2
; a) x0 2; b) x0 3; c) x0 .
; a) x0 2; b) x0 5; c) x0 .
; a) x0 2; b) x0 2; c) x0 .
3x 2 7 x 2
4.16. 1) lim
; a) x0 2; b) x0 2; c) x0 .
x2 2x 8
7 x cos 2 x
.
2) lim
x 0 sin 14 x
x x0
2x2 x 3
4.17. 1) lim
; a) x0 3; b) x0 1; c) x0 .
3x 2 3x 6
4 x tg 6 x
2) lim
.
x 0 sin 2 4 x
x x0
3x 2 2 x 1
4.18. 1) lim
x2 4x 3
tg 2 x sin 4 x
2) lim
.
2
x 0
2x
x x0
; a) x0 2; b) x0 1; c) x0 .
3x 2 5 x 2
4.19. 1) lim
2x 7 x 6
2 sin 5 x
.
2) lim
x 0 tg 8 x
x x0
4.20. 1) lim
2
; a) x0 1; b) x0 2; c) x0 .
3x 2 7 x 10
2x x 3
8 x cos 9 x
.
2) lim
x 0 sin 4 x
2
x x0
; a) x0 2; b) x0 1; c) x0 .
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1) lim
x 2 6x 5
x 2 2x 2
2) lim
x 3
x 1
2 x 2 3x 9
x2 x 6
22 6 2 5
3
1
.
2
9
3
22 2 1
2 32 3 3 9
32 3 6
0
.
0
При подстановке вместо переменной x ее предельного зна 0
чения 3 получается неопределенность вида . Для избавления
0
от этого типа неопределенности в нашем случае представим
квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведений линейных сомножителей, воспользовавшись известной
формулой
ax 2 bx c a ( x x 1 ) ( x x 2 ) ,
где x 1, x 2 – корни квадратного трехчлена ax 2 bx c .
3
У нас 2 x 2 3x 9 2 ( x 3 ) ( x ), так как дискрими2
нант квадратного трехчлена D 81, а следовательно,
3
x 1 3, x 2 .
2
Аналогично x 2 x 6 ( x 3 ) ( x 2 ).
Теперь условие примера можно переписать в другом виде и
продолжить его решение:
3
2 (x 3) (x )
2
2 x 3x 9
2 lim 2 x 3 2 3 3 9 .
lim 2
lim
x 3 x x 6
x 3 ( x 3 ) ( x 2 )
x 3 x 2
32
5
2x 2 x 4
.
x 3x 2 2 x 5
3) lim
Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться
от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби переменной в старшей степени:
1 4
x 2 (2 2 )
2
2x x 4
2
x x
lim
lim
.
2 5
x 3x 2 2 x 5 x 2
3
x (3 2 )
x x
Объяснение. Вторые и третьи слагаемые скобок числителя и
знаменателя дроби при x являются бесконечно малыми величинами, т.е. стремятся к нулю.
4) lim
x 0
x sin 2 x
0
.
0
tg 2 4 x
В данном случае для освобождения от неопределенности
будем использовать первый замечательный предел и одно из его
очевидных следствий: lim
0
sin
1;
1.
0 tg
lim
Решение примера будет выглядеть следующим образом:
x sin 2 x
x sin 2 x
lim
lim
x 0 tg 2 4 x
x 0 tg 4 x tg 4 x
1 4 x sin 2 x 4 x 1 1
lim
.
x 0 4 tg 4 x
2 x tg 4 x 2 8
ТЕМА 5. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
dy
В ЗАДАЧАХ 5.1 - 5.20 найти производные
заданных
dx
функций, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
sin 2 x
3
2
;
b) y
4 )5 ;
5.1. a) y ( 4 x
cos 5x
x
c) y 34 x сtg2 x ;
d) y sin(ln 6x ).
5
4
3
5.2. a) y ( x x 1) ;
c) y e ctgx sin 4x ;
2
5.3. a) y (6x
2
x4
5 )2 ;
c) y 3tgx arcsin x 2 ;
5.4. a) y (3x 4 x 2 )4 ;
c) y cos 3x e sin x ;
b) y
1 4x 2
x
2 tgx
;
d) y ln(arccos 3x ).
b) y
cos 3x
2
;
3x 4
d) y sin(ln 7 x ).
4 x 2 tgx
;
b) y
3
x 9x
d) y ln( arctg2 x ).
3
5.5. a) y (3x 3 2 x 2 1)3 ;
c) y 23x tg2 x ;
1
2
4
5.6. a) y ( x 5 x ) ;
x
c) y etgx ln 2x ;
4
3
3
3
5.7. a) y ( x 4 x 2 ) ;
c) y e ctgx cos 6x ;
5.8. a) y ( x 2 25 x 4 )4 ;
c) y 4cos x arctg2 x ;
5
5
5
5.9. a) y (3x 3 2 ) ;
x
3
4
3
2
c) y 2sin x arcsin 2 x ;
5
9)7 ;
x
5.12. a) y ( x
3
;
1 8x
d) y cos(ln 5x ).
arctg7 x
b) y 4
;
x
x e
d) y cos x 2 3.
arctg 9 x
b) y
;
2 8x 2
d) y ln(arcsin 5x ).
x 3 ex
;
b) y
5
4 9x
b) y
3 5x 2
x
e ctgx
;
d) y cos(ln 12 x ).
arcsin 7 x
;
b) y
cos 9 x
c) y e x tg 5x;
12
2
d) y ln 1 x .
5.10. a) y ( x 2 x 4 ) ;
5.11. a) y (3x8
arcsin 3x
d) y cos(ln 6x ).
cos 6x
;
b) y
sin 3x
c) y e x tg7 x ;
4
b) y
d) y lg(ctg 2 x).
7 x 3) ;
2
4
c) y 9 2ctgx 3 sin 5 x;
2
4
3
5.13. a) y (7 x 5 8) ;
3x
c) y e ctgx arcctg (2 x)5 ;
b) y
x 2 x5
6 x cos x
;
d) y lg(arcsin 2 x).
arccos 5 x
b) y
;
3
6x 1
d) y sin(ln 5x).
5.14. a) y ( x 7 4 x 5) ;
6
b) y
c) y cos 5 x e sin 2 x ;
2x 7x
4
;
d) y ln( arctgx 3 ).
4
5.15. a) y (5 x 4 6 x3 3)8 ;
c) y 86 x ctg 2 x;
5.16. a) y ( x3
9 x 3 ctgx
b) y
arctg 5 x
3 2x
4
;
d) y cos(ln 7 x).
6
arcsin 6 x
5
7
14
x
)
;
b)
y
;
7
2x
x3
x e
c) y 9tg 2 x ln(6 x 5);
d) y cos x5 13.
arcctg 5 x
4 5
6
8
;
5.17. a) y (2 x 9 x 7 x) ; b) y
7 4 x3
c) y e ctg 4 x sin 7 x;
5
d) y ln 2 (arcsin x).
5.18. a) y (4 x 8 x 5) ;
2
2
5
c) y 5sin 3 x arctg 2 x;
8
5.19. a) y (9 x 4 7 4) 7 ;
x
2
5
5.20. a) y ( x 3x 9) ;
6
;
3 8x
d) y 3 cos(lg6 x).
b) y
3
arccos 4 x
;
sin( x 3)
d) y ln x 3x 4 .
c) y e3 x ctg 5 x;
7
b) y
x 7 5e x
12
cos 5 x
arcsin3x;
c) y 4
b) y
7 8x3
e sin 5 x
d) y ctg (ln 7 x).
2x
;
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
При решении всех последующих примеров будут использованы правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби, теорема о производной сложной функции и таблица
дифференцирования основных элементарных функций (приложение 1).
1) y (2 x 5 3 x 3 1)6 .
3
3
dy
Решение.
6 (2 x 5 3x 2 1)5 (2 x 5 3x 2 1)
dx
3
6 ( 2 x 5 3x 2
1
9
1)5 (10 x 4 x 2 )
2
9
6 (2 x 5 3 x 3 1)5 (10 x 4
x ).
2
cos 7 x
.
2) y
4
1 3x
4
4
dy cos 7 x 1 3x cos 7 x 1 3x
Решение.
2
dx
1 3x 4
sin 7 x 7 x 1 3x 4 cos 7 x
1
2
1 3x
4
1 3x 4
1 3x 4
cos 7 x
7 sin 7 x 1 3x 4
12 x 3
2 1 3x 4
tg x
3) y 3
1 3x 4
7 sin 7 x 1 3x 4 6x 3 cos 7 x
1 3x
4
1 3x
4
.
sin 5x .
dy
tg x
3
sin 5 x 3tg x sin 5 x
Решение.
dx
3tg x ln 3 (tg x) sin 5 x 3tg x cos 5 x (5 x)
1
3tg x ln 3
sin 5 x 3tg x 5cos 5 x.
cos 2 x
4) y lnarcsin6x .
dy
1
arcsin 6 x
dx arcsin 6 x
1
1
1
6
(6 x)
.
2
2
arcsin 6 x 1 (6 x)
arcsin 6 x 1 36 x
Решение.
ТЕМА 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
В ЗАДАЧАХ 6.1 - 6.20 исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
Исследование функции и построение графика рекомендуется
проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции D( y) ;
2) исследовать функцию на непрерывность, найти точки
разрыва функции и классифицировать их;
3) найти точки экстремума функции и определить интервалы
ее монотонности;
4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;
5) найти асимптоты графика функции;
6) построить график, используя результаты предыдущих исследований;
7) для функции из пункта a) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке [ ; ].
a ) y 2 x 3 9x 2 12 x 5,
6.1.
x2 1
b) y =
.
x
= 1, = 3;
a ) y x 3 6x 2 9x 1,
6.2.
x2
b) y =
.
x 1
a ) y x 3 3x 2 9x 10,
6.3.
= -3, = 1;
x2 5
b) y =
.
x 2
a ) y 2 x 3 15x 2 36x 32,
6.9.
= -3, = 1;
x2 3
b) y =
.
x 1
a ) y 2 x 3 9x 2 12 x 7,
6.8.
= -2, = 3;
x2 4
b) y =
.
x
a ) y 2 x 3 3x 2 12 x 7,
6.7.
= 0, = 4;
x2 9
b) y =
.
x 4
a ) y 2 x 3 3x 2 12 x 5,
6.6.
= 0, = 4;
x2 3
b) y =
.
x 2
a ) y x 3 6x 2 9x 2,
6.5.
= 2, = 4;
x2 8
b) y =
.
x 3
a ) y x 3 3x 2 9x 10,
6.4.
= -1, = 2;
x2 5
b) y =
.
x 3
= 1, = 4;
a ) y 2 x 3 3x 2 36x 20,
6.10.
x 2 15
b) y =
.
x 4
a ) y x 3 9 x 2 21x 12,
6.11.
6.12.
x 2 10
b) y =
.
x4
1
a ) y x3 x 2 8 x 7 ,
3
= -3, = 0;
= -3, = 0;
x2 9
b) y =
.
x4
a ) y 2 x 3 6 x 2 48x 9,
6.17.
= 0, = 3;
x2 4
b) y =
.
x
a ) y x 3 6 x 2 15x 8,
6.16.
= -2, = 1;
x2 3
b) y =
.
x 1
a ) y 2 x 3 15x 2 24 x 2,
6.15.
= 0, = 3;
x2 5
b) y =
.
x2
a ) y x 3 3x 2 24 x 9,
6.14.
= -2, = 1;
x2 5
b) y =
.
x3
a ) y 2 x 3 21x 2 36 x 10,
6.13.
= -1, = 4;
x2 3
b) y =
.
x2
= 1, = 4;
a ) y x 3 9 x 2 24 x 17,
6.18.
x2 8
b) y =
.
x3
a ) y x 3 3x 2 24 x 26,
6.19.
= -3, = 0;
x2
b) y =
.
x 1
a ) y x 3 9 x 2 15x 9,
6.20.
= -3, = 0;
= -2, = 1;
x2 1
b) y =
.
x
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1. y
1 3
( x 9 x 2 15x 9 ) .
4
Решение.
1) Областью определения данной функции являются все
действительные значения аргумента x , то есть D( y ) ( , ) , а
это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и
ее график не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем производную функции и приравняем
ее к нулю:
1
y ( 3x 2 18x 15);
x 2 6x 5 0 .
4
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о
том, что функция имеет две критические точки 1-го рода
x1 5, x2 1. Разбиваем область определения этими точками
на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
x
f (x )
(;5)
+
5
0
(5;1)
–
1 (1;)
0
+
f (x )
max
min
1
y max y (5) [(5) 3 9 (5) 2 15(5) 9 ] 4 ;
4
1
y min y (1) [(1) 3 9 (1) 2 15(1) 9 ] 4 .
4
3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы
его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
1
y ( 6x 18);
x 3 0; x 3 .
4
Итак, функция имеет одну критическую точку 2-го рода
x 3. Разобьем область определения полученной точкой на интервалы, в каждом из которых установим знак второй производной:
( 3; )
( ; 3 )
3
x
f (x )
–
0
+
точка
f ( x)
перегиба
Значение x 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки
1
y(3) [(3) 3 9 (3) 2 15(3) 9 ] 0 .
4
4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты
y kx b воспользуемся формулами
f ( x)
k lim
b lim ( f ( x) kx) .
;
x x
x
Имеем
1 3
( x 9 x 2 15 x 9)
1
9
k lim 4
= lim ( x 2 9 x 15 ) .
x
x
x
x 4
Таким образом, у графика заданной функции наклонных
асимптот нет.
5) Для построения графика в выбранной системе координат
изобразим точки максимума A( 5; 4 ) , минимума B( 1;4 ) , пере9
гиба C ( 3; 0 ) и точку D(0; ) пересечения графика с осью
4
Oy . С учетом результатов предыдущих исследований построим
кривую (см. рис. 2).
6) Найдем наибольшее и
наименьшее значения заданной функции на отрезке [-3,0]. Для этого
посчитаем
значения
функции на концах этого
отрезка, в критических
точках 1-го рода, попавших на отрезок и сравним
результаты:
f (3) 0;
f (1) 4;
f (0)
.
Отсюда
min f ( x) f (1) 4;
[ 3; 0]
max f ( x) f ( 3) 0 .
[ 3; 0]
x 2 20
2. y
.
x4
Решение.
1) Область определения D( y) ( ,4) ( 4,) .
2) Исследование на непрерывность и классификация точек
разрыва.
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x 4 .
Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
x 2 20
lim f ( x) lim
;
x 4 0
x 4 0 x 4
9
4
x 2 20
lim f ( x) lim
.
x 4 0
x 4 0 x 4
Таким образом, точка x 4 является для заданной функции
точкой разрыва второго рода, а прямая x 4 – вертикальной
асимптотой графика.
3) Исследование функции на экстремум и промежутки монотонности.
2 x ( x 4) ( x 2 20) x 2 8x 20
y
;
2
2
( x 4)
( x 4)
x 2 8 x 20
2
0
;
x
8 x 20 0; x1 2, x2 10 .
( x 4) 2
x
( ;2 )
2
(2; 4)
4
(4; 10)
10
(10; )
f (x )
+
0
–
не
сущ.
–
0
+
f (x )
max
ymax y (2) 4;
min
ymin y (10) 20.
4) Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
( 2x 8)( x 4 ) 2 2( x 4 )( x 2 8x 20)
y
4
( x 4)
2( x 4)[( x 4) 2 ( x 2 8 x 20)]
72
.
( x 4) 4
( x 4)3
Так как y 0 , то график заданной функции точек перегиба
не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:
x
f ( x)
( ; 4 )
–
4
не сущ.
( 4; )
+
f (x)
5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.
20
x 2 1 2
f (x )
x 20
x 1;
k lim
lim 2
lim
4
x x
x x 4 x
x 2
x 1
x
x 2 20
b lim ( f ( x ) kx ) lim
x 4 .
x
x x 4
Таким образом, прямая
y x 4 – наклонная асимптота
графика.
2
6) Построение графика.
Очевидно, график заданной
функции пересекает ось Oy в
точке ( 0; 5 ) и на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид,
представленный на рис. 3.
ТЕМА 7. ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛ ОТЫСКАНИЯ
НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ
ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
РЕШИТЬ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАЧИ
7.1. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная
поверхность равна S 24 (м2).
7.2. Найти наибольший объем конуса, образующая которого
равна l 3 (м).
7.3. Турист идет из пункта A , находящегося на шоссейной
дороге, в пункт B, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от
A до B по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт B,
если его скорость передвижения по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?
7.4. Каковы должны быть размеры прямоугольника
наибольшей площади, вписанного в круг радиуса 6 см?
7.5. Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?
7.6. Канал, ширина которого 27 м, под прямым углом впадает в другой канал шириной 64 м. Какова наибольшая длина бревен, которые можно сплавлять по этой системе каналов?
7.7. Объем правильной треугольной призмы равен
V=16 (м3). Какова должна быть длина стороны основания призмы, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?
7.8. Открытый чан
имеет форму цилиндра
объема
V 27 (м3). Каковы должны быть радиус основания и высота
чана, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество
материала?
7.9. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее
объем был наибольшим?
7.10. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого
был бы равен 72 (см3), причем стороны основания относились как
1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?
7.11. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма длин его катета и гипотенузы постоянна и равна 4 см.
7.12. Число 8 разбить на 2 таких слагаемых, чтобы сумма их
квадратов была наименьшей.
7.13. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
7.14. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение канала
будет иметь наибольшую площадь?
7.15. Требуется изготовить шатер, имеющий форму кругового конуса заданной вместимости V 4,5 (м3). Каковы должны
быть размеры конуса, чтобы на шатер ушло наименьшее количество материала?
7.16. Из прямоугольного листа жести размером 24х9 см требуется изготовить открытую коробку, вырезая по углам листа
равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов,
чтобы вместимость коробки была наибольшей?
7.17. Число 8 разбить на 2 таких слагаемых, чтобы сумма их
кубов была наименьшей.
7.18. Деталь листового железа имеет форму равнобедренного треугольника с боковой стороной 10 см. Каким должно быть
основание треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
7.19. Огород прямоугольной формы огорожен изгородью,
длина которой 72 м. Каковы должны быть размеры огорода, чтобы его площадь была максимальной?
7.20. Требуется огородить забором прямоугольный участок
земли площадью 294 м2 и разделить затем этот участок забором
на две конгруэнтные (равные) части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?
РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ
Задача. Среди цилиндров, полная поверхность которых
равна S 6 (м2), найти цилиндр, имеющий наибольший объем.
Решение. Пусть радиус основания цилиндра равен x , а высота y . Тогда полная поверхность
S 2x 2 2xy ,
откуда
S 2x 2
1 S
y
2x ,
2x
2 x
то есть объем цилиндра может быть выражен следующим образом:
1 S
S
3
V x 2
2x x x .
2
2 x
Исследуем полученную функцию на максимум при x 0 .
dV S
3x 2 0 . Решая уравнение, получаем
Имеем
dx 2
S
6
x
1.
6
6
Так как при x 1 выполнено условие
d 2V
dx
2
6 0 , то
объем имеет наибольшее значение. При этом
S 2 6 2
y
2,
2
2
поэтому искомые значения радиуса основания и высоты цилиндра равны соответственно 1 и 2.
ТЕМА 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В ЗАДАЧАХ 8.1-9.20 найти неопределенные интегралы
способом подстановки (методом замены переменной).
8.1.
8.2.
cos x
3 sin x dx.
e
x2
xdx.
x
9.1.
x
e
9.2.
3
1 2
x dx.
x3
1 2x
arcsin 2 x
8.3.
2 x 4 dx.
9.3.
8.4.
9.4.
(ln x 3)
cos x sin x dx .
dx
8.5. (ln x) .
x
arctg x
8.6
dx.
2
1 x
dx
8.7. ln x .
x
x
8.8.
dx.
2
1 2x
x
8.9.
dx.
4
5 2x
dx
.
8.10.
x ln x
8.11. 4
8.12. e
8.13.
sin x
dx.
cos x
3x 2 5
x
4 2x
4
dx.
4
1 x
dx.
2
dx
.
x
x2
9.5.
3 2 x3 dx.
9.6.
9.7.
5 x 4 3 x 3 dx.
x
3 2 x 2 dx.
arctg x
1 x 2 dx.
6 ln x 4
dx.
9.9.
x
9.8.
9.10.
1 2 x 2 x dx.
9.11. 5 x
xdx.
9.12.
dx.
9.13.
4
6 3
x dx.
x7
5 2x
arcsin 3 2 x
8
1 4x
2
dx.
dx.
8.14. cos 3x sin 3x dx
dx
.
8.15. (ln x 12)
x
2
8.16
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
arcctg 3x
dx.
1 9x2
dx
ln 5 x .
x
x3
dx.
4
1 5x
x2
dx.
6
7 x
dx
.
x ln 4 x
9.14. (ln x 3)5
9.15.
x6
9 2x
7
dx
.
x
dx.
9.16. 4 x 6 9 x 5 dx.
9.17.
9.18.
9.19.
x
dx.
9 5x
arctg 7 x
2
1 49 x
2
dx.
5 ln 3 x 6
dx.
x
9.20. 8 5 x 2 x dx.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
(ln x)8
1.Найти неопределенный интеграл
dx .
x
Решение. Применим подстановку t ln x . Тогда dt
dx
и
x
t9
(ln x)9
(ln x)8
8
x dx t dt 9 C 9 C .
2. Найти неопределенный интеграл e2 x
3
3
x 2dx .
Решение. Применим подстановку t 2 x 3 3 .
dt
dt 6 x 2 dx ,
x 2 dx . Отсюда
6
1 t
1 2 x 3 3
et
2 x 3 3 2
e
C
e
C.
=
=
=
e
x
dx
dt
6 6
6
Тогда
В ЗАДАЧАХ 10.1-10.20 найти неопределенные интегралы,
используя метод выделения полного квадрата.
10.1.
10.3.
10.5.
10.7.
10.9.
11x 3
x 2 8x 20
10 x 7
10.15.
10.17.
10.19.
10.2.
x 2 16 x 68
dx.
10.4.
x 2 10 x 28
dx.
10.6.
8x 7
7x 3
x 2 6 x 10
7x 3
x2 4x 5
10.11.
10.13.
dx.
9x 1
dx.
dx.
dx.
x 2 12 x 7
4x 1
dx.
2
x 4x 1
7x 6
dx.
2
x 10 x 11
x8
dx.
2
x 2 x 12
4x 3
dx.
2
x 8 x 11
10.8.
10.10.
3x 2
x 2 4 x 10 dx.
4x 1
x 2 4 x 8 dx.
5x 8
x 2 4 x 8 dx.
3x 11
x 2 16 x 68 dx.
5 x 16
x 2 4 x 18 dx.
10.12.
10.14.
10.16.
10.18.
10.20.
12 x 3
dx.
x 2 14 x 58
11x 5
dx.
2
x 8 x 32
16 x 9
dx.
2
x 6x 4
7 x 15
dx.
2
x 16 x 18
12 x 7
dx.
2
x 6 x 18
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
3x 1
Найти неопределенный интеграл 2
dx .
x 4x 8
Решение. Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под
знаком интеграла, следующим образом:
x 2 4 x 8 x 2 4 x 4 4 ( x 2) 2 22 .
Тогда после подстановки t x 2 получим
3x 1
x2 4x 8
dx =
3x 1
2
dx =
2
3(t 2) 1
2
2
dt =
3t 5
2
2
dt =
( x 2) 2
t 2
t 2
3
5
x2
3t
5
2
ln(
t
4
)
arctg
C=
= 2
+
=
dt
dt
t 2 22 2
2
2
t 22
3
5
x2
C.
= ln(t 2 4) arctg
2
2
2
3t
ЗАМЕЧАНИЕ. При вычислении интеграла 2
dt ис2
t 2
пользована замена переменной (подстановка) z t 2 4 . Тогда
dz 2t dt , откуда
3
3 dz 3
3
3t
2t
2
t 2 22 dt = 2 t 2 22 dt = 2 z = 2 ln z C1 = 2 ln(t 4) C1 .
В ЗАДАЧАХ 11.1-11.20 найти неопределенные интегралы,
применяя метод интегрирования по частям.
11.1.
11.3.
11.5.
11.7.
11.9.
(3x 4) cos 5 x dx.
(12 x 1) sin 4 x dx.
3
x ln x dx.
2x
( x 4)e dx.
arctg 2 x dx.
11.11. ln 6 x dx.
11.13. (2 4 x) sin 7 x dx.
11.2.
11.4.
11.6.
11.8.
11.10.
( x 1)e dx.
ln x dx.
(2 x 1) sin 3x dx.
arcsin 2 x dx.
(3x 2) ln x dx.
2x
11.12. x5 ln 4 x dx.
11.14. (4 5 x) cos 4 x dx.
11.15. (8x 7)e5 x dx.
11.17. (5 x)e 4 x dx.
11.16. (7 3x) sin 6 x dx.
11.18. arccos 3 x dx.
11.19. arcctg 2 x dx.
11.20. (6 x5 2 x) ln x dx.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1. Найти неопределенный интеграл (2 x 8) cos 7 x dx .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям
u dv u v v du .
Положим
u 2x 8 ,
dv cos 7 x dx .
Тогда
du 2dx ,
1
v cos 7 xdx = sin 7 x .
Следовательно,
(2 x 8) cos 7 x dx =
7
1
2
1
2
= (2 x 8) sin 7 x sin 7 xdx = (2 x 8) sin 7 x + cos 7 x C .
7
7
7
49
2. Найти неопределенный интеграл arctg3 x dx .
Решение. Положим здесь u arctg 3x , dv dx . Тогда v x ,
3
3
arctg3
x
dx
x
arctg
3
x
и
=
du
dx
dx .
2
2
1 9x
1 9x
Применяя в последнем интеграле подстановку t 1 9 x 2 ,
3
3 1
получаем dt 18dx , следовательно,
=
dt =
dx
2
18
t
1 9x
3
3
ln t C1 = ln 1 9 x 2 C1 . Отсюда окончательно имеем
18
18
3
arctg3
x
dx
x
arctg
3
x
ln 1 9 x 2 C .
=
18
В ЗАДАЧАХ 12.1-12.20 найти неопределенные интегралы,
пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие
дроби.
3x 1
2x 5
12.1.
12.2.
dx
.
x(1 x 2 ) dx.
2 x x3
3x 1
x
12.3.
12.4.
dx
.
dx.
3
3
3x x
1 x
5 x 11
x 20
12.5.
12.6.
dx
.
x3 8 dx.
x(1 x 2 )
x2
x
12.7.
12.8.
dx
.
(3 x 2 )( x 2) dx.
1 x3
x
x 20
12.9. 3
12.10.
dx.
dx.
2
(10 x )( x 3)
x 8
12.11.
12.13.
12.15.
x2 2
dx.
2
x x
x 10
3
x 4x
5x 3
3
dx.
dx.
x( x 9)
x2
12.17. 3
dx.
x 4x
x
12.19. 3
dx.
x 16 x
2
12.12.
7x 5
dx.
x(4 x 2 )
x
12.14. 3
dx.
x 27
4x 1
12.16.
dx.
3
6x x
x3
12.18.
dx.
x( x 2 4 x 4)
x
12.20.
dx.
2
( x 1) ( x 2)
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
x
Найти неопределенный интеграл 3 dx .
x 1
Решение. Разложим знаменатель подынтегральной дроби на
множители: x 3 1 ( x 1)( x 2 x 1) .
A
x
x
Bx C
Тогда имеем 3 =
=
+
.
2
2
x
1
x 1 ( x 1)( x x 1)
x x 1
Поскольку знаменатели последних двух частей равенств
равны между собой, то приравниваем их числители:
x A( x 2 x 1) ( Bx C )( x 1) .
Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :
при x 2 0 A B ( A B );
при x1
1 A B C;
при x 0
0 A C ( A C ).
1
Из второго уравнения получаем 1 A A A 3 A ; A .
3
1
1
1
Теперь имеем A , B , C . Следовательно,
3
3
3
1
1
1
x
x
3 dx +
3
3 dx = 1 ln x 1 + 1 x 1 dx .
=
dx
x3 1 x 1 x 2 x 1 3
3 x2 x 1
Далее воспользуемся равенством (выделение полного квадрата)
1
1 3
1 3
x 2 x 1= x2 2 x = ( x ) .
2
4 4
2 4
1
1
После замены переменной t x , dt dx , x t полу2
2
1
t 1
1 x 1
1
1
x 1
2 dt =
чим
=
=
dx
dx
2
2
3 x x 1
3 t2 3
3
1 3
x
4
2 4
1
t
1
1
=
dt +
dt =
3 t2 3
2 t2 3
4
4
1
3 1 2
2t
= ln(t 2 ) +
arctg
C=
6
4 2 3
3
1
1
2x 1
= ln( x 2 x 1) +
arctg
C.
6
3
3
Итак, окончательно имеем
1
1
1
2x 1
2
ln
x
1
ln(
x
x
1
)
=
+
dx
arctg
C.
x3 1 3
6
3
3
x
ТЕМА 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В ЗАДАЧАХ 13.1-13.20 вычислить площадь, ограниченную
графиками заданных функций.
13.1.
y 2x2 6x 3 ;
y x2 x 5.
13.2.
y 3 x 2 5 x 1;
y x 2 2 x 1.
13.3.
y 2 x 2 6 x 1;
y x 2 x 1.
1 2
x x 1;
2
1
y x2 x 2 ;
2
1
y x 2 3x 2 ;
3
y x2 5x 3 ;
1
y x 2 3x 6 .
2
1
y x 2 3x 7 .
2
2
y x2 2x 4 .
3
y 3x 2 2 x 1.
13.14.
y x2 2x 5;
1
y x2 2x 5;
4
1
y x2 2x 4 ;
3
1
y x 2 3x 2 ;
2
y x 2 5 x 1;
1
y x2 2x 4 ;
3
y x 2 2 x 3;
y x2 x 1
3
y x2 x 1.
4
2
y x2 x 6 .
3
1
y x2 7 x 3 .
2
y x 2 2 x 1.
2
y x2 x 2.
3
y x2 x 5.
13.15.
y x 2 4 x 6;
y 2 x 2 x 4 .
13.16.
y x2 x 3 ;
y x 2 4 x 1.
13.17.
y 2x2 6x 4 ;
y x2 x 6 .
13.18.
y x2 2x 4 ;
1
y x 2 3x 1;
2
1
y x 2 3x 4 ;
3
y x2 x 2 .
1
y x2 x 2 .
2
2
y x 2 x 1.
3
13.4.
13.5.
13.6.
13.7.
13.8.
13.9.
13.10.
13.11.
13.12.
13.13.
13.19.
13.20.
y
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Вычислить
площадь,
ограниченную
y 2 x 2 x 2 и y x 2 x 1 (рис. 4).
Решение.
параболами
1. Находим абсциссы точек пересечения заданных парабол.
Для этого приравняем правые части их уравнений:
2 x 2 x 2 = x 2 x 1 3x 2 2 x 1 0 . Отсюда
24
24
1
1, x2
.
6
6
3
Далее ищем ординаты точек пересечения парабол M1, M 2 ,
воспользовавшись, например, вторым из заданных уравнений
4
( y1 12 1 1 1; y2 1 ), строим эти точки на координатной
9
плоскости, проектируем их на ось Ох и в пределах полученного
коридора проектирования изображаем схематически искомую
площадь, указав на чертеже yâåðõ и yí èç :
x1
Рис. 4
2. Площадь фигуры вычисляем по формуле
b
S ( yâåðõ yí èç ) dx ,
a
где yâåðõ ( x), yí èç ( x) ( yâåðõ yí èç ) кривые, ограничивающие
фигуру, а [a, b] отрезок оси Ox, в который она проектируется.
В нашем случае
1
S
(( x
2
x 1) (2 x 2 x 2)) dx =
1
3
1
x3
x2
32
2
(3x 2 x 1)dx 3 2 x .
1 27
3
2
1
1
3
3
В ЗАДАЧАХ 14.1-14.20 найти объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ox фигуры, расположенной в первом
квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью
Ox .
14.1. y 2 x 2 , y 2 x 4.
14.2. y x 2 , y x 2.
1
14.3. y 3x 2 , y x 4.
14.4. y x 2 , y x 3.
4
1
1
14.5. y x 2 , y 3 x 8.
14.6. y x 2 , y 3 x 12.
2
3
1
1
14.7. y 4 x 2 , y 2 x 2.
14.8. y x 2 , y x 2.
4
2
14.9. y 4 x 2 , y 2 x 6.
14.10. y x 2 , y x 3.
14.11. y 2 x 2 , y 2 x 4.
14.13. y 3x 2 , y x 4.
14.15. y
1 2
x , y 3 x 8.
2
14.17. y 4 x 2 , y 2 x 2.
14.19. y 4 x 2 , y 2 x 6.
14.12. y x 2 , y 2 x 2.
1
14.14. y x 2 , y x 3.
4
1
14.16. y x 2 , y 3 x 12.
3
1
1
14.18. y x 2 , y x 2.
4
2
14.20. y x 2 , y 2 x 3.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox
фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой y 8x 2 , прямой y 6 x 14 и осью Ox (рис. 5).
Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте.
Для этого решим уравнение 8x 2 = 6 x 14 , т.е.
7
4 x 2 3x 7 0 . Легко убедиться, что x1 ,
4
x2 1. Первому квадранту соответствует корень
x2 1.
Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ox , решив уравнение
7
6 x 14 0 . Получаем x .
3
Таким образом, тело ограничено при 0 x 1 поверхностью,
образованной вращением параболы y 8x 2 вокруг оси Ox , а при
7
1 x вращением прямой y 6 x 14 .
3
Искомый объем находим по формуле
b
VOx f ( x ) dx
2
a
1
7
3
0
1
В нашем случае V (8 x 2 ) 2 dx + (6 x 14) 2 dx .
Первый интеграл вычисляется просто:
1
x 5 1 64
4
.
64 x dx = = 64 =
0
5
5
0
Для вычисления второго интеграла используем подстановку
t 6 x 14 . Тогда dt 6 dx , dx (1 / 6)dt . При этом из условия
x [1; 7/3] следует, что t меняется от 8 до 0 и
7
3
0
1
t 3 0 256
.
=
(6 x 14) dx = t ( )dt =
9
6
8
6
3
8
2
2
1
Следовательно,
V=
64
256
1856
+
=
.
5
9
45
ТЕМА 10. ФУНКЦИИ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
В ЗАДАЧАХ 15.1 - 15.20 вычислить частные производные
первого и второго порядков от заданных функций.
15.1. z 3 sin( x 3 y 2 ) 5 x 3 y 7 .
15.2. z 8 ln( xy 2 ) 10 xy 2 8 x .
2
15.3. z 2e3 x y 2 x 2 y 2 9 y .
15.4. z 8 cos( xy ) 3x 12 x 4 y .
15.5. z 3 x 2 y 2 5 xy 3 8 y .
15.6. z x sin( xy ) 8 x 2 y 2 7 x .
15.7. z 0,5 ln( x 3 y 2 ) 9 x 3 y 2 x .
15.8. z x 2 y 3x 4 y 8x 2 .
3
15.9. z 8e x y 3xy3 7 x 3 .
15.10. z 8 ln( x 2 y 2 ) 6 x 2 y 3 8 x 1 .
15.11. z sin( 3x 3 2 y 2 ) 4 xy 2 7 x .
15.12. z 3x 2 2 y 2 xy 4 9 x .
15.13. z e3x
2
2 y
5 x3 y y .
15.14. z ln( 2 x 3 9 y 2 ) 8 x 2 y 3 7 x .
15.15. z cos(3x 2 6 y ) x 2 y 4 6 y .
15.16. z sin( x 3 8 y ) 7 x 3 y 2 2 y .
15.17. z 2 x 4 y 2 9 x 2 y 3 9 x .
15.18. z ln( 4 x 5 y 3 ) 8 xy x .
15.19. z cos( x 2 y 2 ) 9 x 3 y 8 y .
15.20. z e2 x
3
y
6x2 y 4 7 x .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Пусть z 3e x
2
y2
3x 2 y 8 .
При вычислении частной производной z x переменную y
рассматриваем как постоянную величину. Пользуясь правилами
дифференцирования сложной функции, получаем
2
2
2
2
z x 3e x y ( x 2 y 2 )x 6 xy 6 xe x y 6 xy .
Аналогично поступаем при вычислении z y . Считая x постоянной величиной, получаем
x2 y 2
z y 6 ye
3x 2 .
Используя те же правила, вычисляем частные производные
второго порядка:
zxx 6e x
zxy 12 x y e x
2
2
y2
y2
zyy 6e x
2 x2 y 2
12 x e
6y,
6 x zyx (проверьте!),
2
y2
12 y 2e x
2
y2
.
В ЗАДАЧАХ 16.1 - 16.20 исследовать на экстремум заданную функцию.
z x 2 xy y 2 3x 6 y 2 .
16.1.
16.2.
z 2 x 2 xy y 2 3x y 1.
16.3.
z 3x 2 2 xy y 2 2 x 2 y 3 .
16.4.
z 2 x 2 xy y 2 7 x 5 y 2 .
16.5.
z x 2 3xy y 2 2 x 6 y 1.
16.6.
z 3x 2 xy 6 y 2 6 x y 9 .
16.7.
z x 2 3xy 2 y 2 4 x 6 y 2 .
16.8.
z 4 x 2 2 xy y 2 2 x 4 y 1 .
16.9.
z 0,5 x 2 xy y 2 x 2 y 8 .
16.10.
z 8 x 2 xy 2 y 2 16 x y 1 .
16.11. z x 2 xy y 2 7 x 8 y 10 .
16.12. z 2 x 2 2 xy 3 y 2 2 x 16 y 3 .
16.13. z x 2 xy y 2 8 x 4 y 15 .
16.14. z 2 x 2 3xy y 2 2 x 7 y 6 .
16.15. z x 2 4 xy 2 y 2 2 x 4 y 1.
16.16. z 2 x 2 2 xy 3 y 2 8 x 10 y 6 .
16.17. z 3x 2 2 xy 2 y 2 18x 4 y 1 .
16.18. z 2 x 2 2 xy 3 y 2 4 x 16 y 2 .
16.19.
z 5 x 2 2 xy 3 y 2 18x 10 y 4 .
16.20. z 2 x 2 2 xy 3 y 2 10 x 16 y 7 .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Пусть z 2 x 2 xy 3 y 2 2 x 11y 1 .
Находим частные производные функции:
z x 4 x y 2 ;
zy x 6 y 11.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума,
находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений:
4 x y 2 0,
x 6 y 11 0,
откуда x 1; y 2 . Таким образом, стационарной является точка
M (1; 2) . Находим значения частных производных второго порядка в точке M :
A ( z xx ) M 4 ; B ( zxy ) M 1 ; C ( zyy ) M 6 .
Составляем выражение:
A C B 2 4 6 (1) 2 23 .
Так как 0 и A 0 , делаем вывод о наличии минимума в
точке M (1; 2) . При этом минимальное значение функции
zmin 2 12 1 2 3 22 2 1 11 2 1 11.
В ЗАДАЧАХ 17.1 - 17.20 с помощью двойного интеграла
вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной
единице).
17.1. x 2 25 y 2 1;
x 5 y 1.
17.2 4 x 2 25 y 2 1;
2x 5 y 1 0.
17.3. x 2 y 2 4 ;
x y 2 0.
17.4. x 2 4 y 2 1;
x 2 y 1.
17.5. 9 x 2 16 y 2 1 ;
3 x 4 y 1.
17.6. x 2 y 2 9 ;
x y 3 0.
17.7. y 2 9 x 9 ;
y2 x 9.
17.8. y 2 2 x 16 ;
y 2 x 16 .
17.9. x 2 2 y 4 ;
x2 y 4 .
17.10. x 2 16 y 1 ;
x 2 y 1.
17.11. x 2 9 y 2 1;
x 3y 1.
17.12. 16 x 2 9 y 2 1;
4 x 3 y 1.
17.13. x 2 y 2 49 ;
y x 7 .
17.14. 4 x 2 y 2 1;
y 2 x 1.
17.15. 25x 2 9 y 2 1 ;
5x 3 y 1 0 .
17.16. x 2 y 2 16 ;
x y 4 0.
17.17. y 2 4 x 4 ;
y2 x 4.
17.18. y 2 16 8 x ;
y 2 2 x 25 .
17.19. x 2 3 y 9 ;
x2 y 9 .
17.20. x 2 8 y ;
x2 y .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
линиями y 2 x 9 , y 2 3 x 9 (рис. 6) (поверхностную плотность считать равной единице).
Решение. Поскольку фигура симметрична относительно оси Ox , то yc 0 . Вычислим первую координату
центра тяжести:
1
xc xdxdy .
SD
3
S dxdy 2 dy
D
0
xc
1
(9 y 2 )
3
3
2
2
dx 2 3 (9 y ) ( y 9) dy 48 .
0
y 2 9
1
(9 y 2 )
0
3
1
2 dy
48 3
1
xdx
2
y 9
3
1
2
2 3 (9 y )
x
1
24 0 2
dy
2
y 9
1 3 1
1 3 8 4
2 2
2
2
(
9
y
)
(
y
9
)
dy
y
16
y
72
dy
48 0 9
48 0 9
3
1 8 5
y3
12
y
16
72
y
.
48 9 5
3
5
0
В ЗАДАЧАХ 18.1 -18.20 вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями и расположенного в первом октанте.
18.1. x 2 y 2 z 2 10 ; x 2 y 2 4 0 .
18.2. x 2 y 2 0,5 ; x y z 1; z 0 .
18.3. x 2 y 2 z 2 36 ; y 0 ; z 0 ; x 0 .
18.4. x 2 y 2 z 10 ; x 2 y 2 1; y x ; y 0 ; z 0 .
18.5. x 2 y 2 z 2 16 ; x 2 y 2 4 .
18.6. x 2 y 2 2 ; x y z 2 ; z 0 .
18.7. x 2 y 2 4 ; z 1 x 2 y 2 .
18.8. x 2 y 2 5 ; z x 2 y 2 .
18.9. x 2 y 2 z 2 4 ; x 2 y 2 3 .
18.10. x 2 y 2 18 ; y x ; y 0 ; x y z 6 ; z 0 .
18.11. z x 2 y 2 ; x 2 y 2 1; z x 2 y 2 2 .
18.12. x 2 y 2 2 z 2 ; x 2 y 2 z 1 ; x 2 y 2 1.
18.13. x 2 y ; 2 y z 0 ; z 2 .
18.14. x 2 z 1; x 2 y 2 1 0 ; z 0 .
18.15. x 2 y 2 4 ; x y z 4 ; z 0 .
18.16. x 2 4 y 2 3z 9 ; z 0 .
18.17. x 2 y 2 36 ; z y ; z 0 .
18.18. x 2 4 y 2 5 z 25 ; z 0 .
18.19. x 2 y 2 z 2 9 ; x 2 y 2 2 .
18.20. z 2 x 2 y 2 ; x 2 y 2 2 ; z 3 .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
x2 y2 8 ; x 0 ; z 0 ; x y z 4
и расположенного в первом октанте.
Решение.
Заданное
тело ограничено круговым
цилиндром x 2 y 2 8 , координатными плоскостями
и плоскостью x y z 4
(рис.7).
Объем цилиндрического тела, ограниченного
сверху поверхностью z f ( x, y) , снизу плоскостью z 0 и по
бокам прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на
плоскости xOy область D , вычисляется по формуле
V f ( x, y )dxdy .
D
В данном случае область D это часть круга радиуса 8 ,
расположенного в первом квадранте, поэтому рассматриваемый
интеграл удобно вычислить, используя переход к полярным координатам. При этом x r cos , y r sin , dxdy rdrd .
Таким образом,
V (4 x y )dxdy
D
0,5
8
d (4 r cos r sin )rdr
0
0
8
2
3
3
r
r
r
4 cos sin d
2
3
3
0
0
0,5
16 2
16
(cos sin )d
3
0
0,5
0,5
16 2
16 2
16
sin
cos
3
3
0
8
32 2
.
3
ТЕМА 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЗАДАЧАХ 19.1 – 19.20 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
x 8y
.
8x y
x y
19.3. y
.
xy
y
19.5. xy y ln 0 .
x
19.7. xyy x 2 y 2 .
19.1. y
19.2. xyy x 2 y 2 .
x
y.
y
y
y
19.6. y sin .
x
x
19.8. (x y) y 2x y .
19.4. xy xtg
y
0.
x
y
19.11. xy y 2 xctg .
x
y
19.13. xy y 3 x sin 2 .
x
y
19.15. y 2 .
x
19.9. xy y ln 2
19.10. xy ln
y
y
x y ln .
x
x
19.12. x 2 y y 2 xy x 2 .
19.14. xy x y .
19.16. xy cos
y
y
y cos x .
x
x
y
xe x .
19.17. 5 xy y xy 0 .
19.18. xy y
19.19. xy y x 2 y 2 .
19.20. x 2 y y 2 xy 0 .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциально2xy
го уравнения y 2
.
2
x y
2xy
Решение. Правая часть уравнения f ( x , y ) 2
обладаx y2
2( tx )( ty )
f ( x , y ) . Поэтому заданное
ет свойством f ( tx , ty )
2
2
( tx ) ( ty )
уравнение является однородным дифференциальным уравнением
первого порядка. Совершим замену y ux , где u - некоторая
функция от аргумента x . Отсюда y ux u . Исходное уравнение приобретает вид:
2x ux
2u
.
u x u 2
2 2
2
x u x
1 u
Продолжаем преобразования:
2u
2u u u 2 u (1 u 2 )
u x
u
;
1 u2
1 u2
1 u2
du
u (1 u 2 )
x
.
2
dx
1 u
Производим разделение переменных:
(1 u 2 ) du dx
.
2
x
u (1 u )
После интегрирования обеих частей уравнения получаем
1 u 2 2u 2
du
2u 2 du
2udu
u(1 u 2 ) du u u(1 u 2 ) ln u 1 u 2
dx
ln x .
ln u ln(1 u 2 ) ln C ;
x
Таким образом,
u
ln C
ln u ln(1 u 2 ) ln C ln x ;
ln x .
1 u2
y
C u
x x, C x y x.
Отсюда
,
x
C
y2
1 u2
x2 y2
1 2
x
Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид
Cy x 2 y 2 , где C произвольная постоянная.
В ЗАДАЧАХ 20.1 – 20.20 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.
2
20.1. y 2xy 3x 2 e x ,
20.2. xy y y 2 sin x ,
2
20.3. y 2xy x ln xe x ,
20.4. y yctgx (sin x ) 1 ,
y(0) 0 .
y .
2 2
y(1) 0 .
y 0 .
2
20.5. xy y x 2 sin x ,
y .
2 2
20.6. y cos2 x y tgx ,
y(0) 1 .
1
y(1) 1.
y xy 2 ,
x
20.8. (1 x 2 ) y y y 2 arctgx , y(0) 1.
20.7. y
3
20.9. y 3x 2 y x3e x ,
20.10. y 3 y tg 3x sin 6 x ,
20.11. y y tgx cos x ,
ln x
20.12. xy y
,
x
2y
x2 ,
20.13. y
x
20.14. y sin x y cos x 1,
y(0) 0 .
1
y(0) .
3
y(0) 1.
y1 2 .
y(3) 1.
y 0 .
2
20.15. xy 2 y x 3 cos x ,
1
20.16. y y x ,
e
3y
x,
20.17. y
x
20.18. x 2 y xy 1 0 ,
y 1 .
1
y (0) .
2
20.19. y cos x 2 y sin x 2 ,
y(0) 3 .
20.20. y
2y
( x 1) 2 ,
x 1
y(1) 3 .
y(1) 2 .
1
y (0) .
2
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Найти частное решение дифференциального уравнения
2
y
y ( x 1) 3 e x 1 y 2 ,
x 1
удовлетворяющее начальному условию y(0) 1.
Решение. Заданное дифференциальное уравнение является
уравнением Бернулли. Положим y uv , где u , v неизвестные
функции от x , y u v uv . Подставляя в исходное уравнение
вместо y и y соответствующие объекты, будем иметь
2
u v uv
y ( x 1) 3 e x 1 u 2 v 2 ,
x 1
2
3 x 1 2 2
u v u v
(x 1) e u v .
x 1
Подберем функцию v v(x) так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. Тогда для
определения v(x) имеем дифференциальное уравнение с раздеdv
2
dv
2
v 0 , откуда
ляющимися переменными
.
dx x 1
v
x 1
После
интегрирования
получаем
т.е.
ln v 2 ln(x 1) ,
v (x 1) 2 .
Для определения функции u(x ) имеем
u v (x 1) 3 e x1u 2 v 2
или
1
u ( x 1) 3 e x1u 2
( x 1) e x 1u 2 .
2
( x 1)
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u(x ) . Разделяя переменные, получаем
du
x 1
(
x
1
)
e
dx .
2
u
Интегрируя обе части равенства, имеем
1
( x 1)e x 1dx .
u
Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по
частям, в результате чего
1
( x 1) e x 1 e x 1 C ,
u
откуда
1
.
u
x 1
x 1
( x 1) e e C
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет
вид
1
y uv
2 x 1
.
x 1
( x 1) e ( x 1) e C
Используя начальное условие, вычисляем соответствующее
ему значение постоянной C :
1
1
y (0)
1, т.е. C 1 .
1(e e C)
C
Отсюда частное решение исходного дифференциального
уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию,
имеет вид
y ( x 1) 2 e x 1 ( x 1) e x 1 1
1
.
В ЗАДАЧАХ 21.1 – 21.20 найти
а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям;
б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
21.1.
a) y 7y 10y 0;
y(0) 2 ; y (0) 1;
б) y 2 y 3x 2 1 .
21.2.
a) y 6 y 9 y 0 ;
y(0) 1;
y (0) 0;
б) y 8 y ( x 1) e2x .
21.3.
a) y 8y 7y 0 ;
y(0) 2 ; y (0) 1;
б) y 6 y 8 y 3e4 x .
21.4.
a) y 9 y 0 ;
y( ) 0 ; y ( ) 1;
б) y 2 y 3 y xe x .
21.5.
a) y 7y 12y 0;
y(0) 2 ; y (0) 2 ;
б) y y 2 y ( x 2) e 2x .
21.6. a) y 9 y 0 ;
y(0) 1;
y (0) 3 ;
б) y 2 y 8y (3x 1) e2x .
21.7.
a) y 3y 2y 0 ;
y(0) 0 ; y (0) 1;
б) y 7 y 2x 2 x .
21.8.
a) y 5y 6y 0 ;
y(0) 5 ; y (0) 0;
б) y y 8x 2 e x .
21.9.
a) y 2y 5y 0 ;
y(0) 1 ; y (0) 0;
б) y 3y 10 y 2x 2 e x .
21.10. a) y 4 y 4 y 0;
y(0) 1;
y (0) 3;
б) y 2 y 3 y 2e3x .
21.11. a) y 3 y 0 ;
y(0) 1;
б) y 4 y 4 y 3e 2 x .
21.12. a) y 4 y 17 y 0 ;
y(0) 2 ;
y ( ) 0 ; y( ) 1;
2
2
x
б) y 4 y 3 y e (2 x 2) .
21.13. a) y 2 y y 0 ;
y(1) 0 ;
б) y y 6 y xe 3 x .
y(1) 2 ;
y(0) 1;
21.14. a) y y 6 y 0 ;
б) y 3 y e3 x (2 x 1) .
y (0) 3;
21.15. a) y 7 y 6 y 0 ;
y(0) 2 ; y(0) 0 ;
б) y 4 y 5 y e x (2 x) .
21.16. a) y 6 y 5 y 0 ;
y(0) 3 ; y(0) 0 ;
б) y 3 y 2 y e x (4 x 2) .
21.17. a) y 2 y 3 y 0 ;
б) y 5 y 2 x x 2 .
y(0) 0 ; y(0) 2 ;
21.18. a) y 4 y 0 ;
y ( ) 1;
2
y( ) 0 ;
2
б) y 2 y y 2e x .
21.19. a) y 2 y 10 y 0 ;
y ( ) 0 ; y( ) 1;
2
2
б) y 8 y 12 y 5 xe 2 x .
21.20. a) y 10 y 25 y 0 ; y(0) 1;
б) y 7 y 12 y 3xe 3 x .
y (0) 3;
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1. Найти частные решения следующих дифференциальных
уравнений второго порядка при заданных начальных условиях:
1)
2)
3)
y 6y 8y 0 ;
y 8y 16y 0;
y 4 y 13y 0;
y(0) 1;
y(0) 2 ;
y( ) 0 ;
y (0) 2;
y (0) 5;
y( ) 1.
Решение.
1) Характеристическое уравнение k 2 6k 8 0 имеет два
различных вещественных корня k1 2 , k 2 4 , поэтому общее
решение этого дифференциального уравнения записывается в виде
y C1 e2x C2 e4 x ,
где C1 , C2 произвольные постоянные. Отсюда
y ( x ) 2C1e2x 4 C2 e2x ,
поэтому, основываясь на начальных условиях, получаем
C1e20 C2 e40 1 ,
т.е.
C1 C2 1
и
2C1e20 4 C2 e40 2 , т.е. 2C1 4C2 2 .
Решая систему уравнений
C1 C2 1,
C1 2C2 1,
получаем C1 1, C2 0 . Частное решение исходного уравнения,
удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает
вид
y e 2x .
2) Характеристическое уравнение
k 2 8k 16 0
имеет два равных корня k1 k 2 4 , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в
виде
y C1e4 x C2 xe4 x ,
откуда
y ( x ) 4 C1e4 x C2 e4 x 4 C2 xe4 x .
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений
для определения C1 , C2 :
C1 C2 2,
4C1 C2 5.
Отсюда C1 1; C2 1, поэтому искомое частное решение имеет
вид
y e4 x xe4 x e4 x ( x 1) .
3) Характеристическое уравнение
k 2 4k 13 0
не имеет вещественных корней. В этом случае общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде
y C1ex cos x C2 ex sin x ,
p
p2
где , q
( p , q коэффициенты характеристи2
4
ческого уравнения).
У нас 2 , 3 , поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид
y C1e2x cos 3x C2 e2x sin 3x .
Отсюда
y ( x ) 2C1e2x cos 3x 3C1e2x sin 3x 2C2 e2x sin 3x 3C2 e2x cos 3x .
Таким образом, для определения значений C1 , C2 , исходя из
начальных условий, получаем систему уравнений
2
C1e 0,
2
2
2C1e 3C2e 1,
1
решая которую, имеем C1 0, C2 e 2 .
3
Итак, искомое частное решение приобретает вид
1
1
y ( x ) e 2 e2x sin 3x e2( x ) sin 3x .
3
3
2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
y y 6 y (2x 1) e3x .
Решение. Найдем общее решение yî î линейного однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части
заданного:
y y 6 y 0.
Так как корни его характеристического уравнения
k 2 k 6 0 действительны и различны ( k1 2 ; k 3 ), то общее решение однородного уравнения записывается в виде
yî î C1e2 x C2e3x ,
где C1 , C2 произвольные постоянные.
Подбираем теперь частное решение исходного неоднородного уравнения в виде
y֒ x( Ax B)e3x ( Ax 2 Bx)e3x .
Отсюда
(2 Ax B)e3x ( Ax2 Bx) 3e3x .
y֒
2 Ae3x (2 Ax B) 3e3x (2 Ax B) 3e3x
y֒
( Ax 2 Bx ) 9e3x .
, y֒
в исходное уравнение и сокращая
Подставляя y÷í , y÷í
все слагаемые на множитель e 3x 0 , получаем
2 A 6(2 Ax B ) 9( Ax 2 Bx ) (2 Ax B ) 3( Ax 2 Bx )
6( Ax 2 Bx ) 2x 1
или, после упрощения,
10 Ax 2 A 5B 2x 1 .
Отсюда следуют равенства
1
7
10 A 2 , 2 A 5B 1 , т.е. A , B .
5
25
Таким образом, общее решение y(x) заданного неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид
7
1
y( x) yî î y÷í C1e2 x C2e3x x 2 x e3x .
25
5
ТЕМА 12. РЯДЫ
В ЗАДАЧАХ 22.1 – 22.20 вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
0, 25
x
x sin dx .
2
22.1.
0
1
22.2.
x sin( x
0,11
2
)dx .
22.4.
22.7.
x sin 4 xdx .
22.6.
0
0,25
0,25
x cos 2xdx .
22.8.
0
x sin 3xdx .
22.10.
x sin( x ) dx .
2
2
0
22.12.
22.17.
22.19.
x
x sin dx .
3
0,25
22.14.
x
3
0,2
x sin x dx .
22.16.
1
22.18.
ln(1 x )dx .
0
0, 5
0, 4
22.20.
0,5x2
dx .
2
0,1x
e dx .
0
x sin 5 x dx .
2
xe
0,33
x arctgx dx .
2
xe x dx .
0
0
0
x 2e x dx .
0
dx .
0
0, 25
22.15.
x e
1
0
22.13.
3 x2
x )dx .
0
0, 25
0,11
0, 2
0
22.11.
dx .
0
0, 25
22.9.
x
x ln(1
0
xe
0,33
0, 25
0
0
22.5.
1
x2
e 2 dx .
0
0, 5
22.3.
x
4
x ln(1 x
2
)dx .
0
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
0,5
Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
2
x 2 e x dx путем
0
предварительного разложения подынтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Решение. В разложении функции e x в степенной ряд, которое имеет вид
ex 1
1
1
1
x x 2 ... x n ... ( x ) ,
1!
2!
n!
заменим x на x 2 . Тогда получим
2
e x 1
1
1
1
( x 2 ) ( x 2 ) 2 ... ( x 2 ) n ...
1!
2!
n!
Умножая этот ряд почленно на x 2 , будем иметь
2
x 2 e x x 2
1 4 1 6 1 8
x x x ...
1!
2!
3!
Следовательно,
0,5
0
2 x2
x e
0,5
dx
0
2 1 4 1 6 1 8
x 1! x 2! x 3! x ... dx
0,5
x3 1 x5 1 x 7
1
1
1
...
...
3
1
!
5
2
!
7
24
160
1729
0
Полученный числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Третий член этого ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Поэтому для обеспечения требуемой точности нужно просуммировать лишь первые два члена
ряда, округлив итоговый результат в соответствии с заданной
точностью:
0,5
2
x 2 e x dx
0
1
1
0,048 .
24 160
В ЗАДАЧАХ 23.1 - 23.20 разложить заданную функцию
f ( x ) в ряд Фурье по косинусам на отрезке 0, .
23.2.
f ( x ) 1 2x .
23.3. f ( x ) 3x .
23.4.
f ( x ) 2x 1 .
23.5. f ( x ) x 2.
23.6. f ( x ) x 2 .
23.1.
f (x ) x 2 .
23.7.
f (x ) x .
23.8.
23.9.
f ( x ) 3x 8 .
23.10. f ( x ) 2x .
f ( x ) 7x 1 .
23.11. f ( x) 2 x 2 .
23.12. f ( x) 1 3x .
23.13. f ( x) 3x 1.
23.14. f ( x) 2 x .
23.15. f ( x) x 3 .
23.17. f ( x) x .
2
23.19. f ( x) 4 x 8 .
23.16. f ( x) x 4 .
23.18. f ( x) 5x 1.
23.20. f ( x) 4 x .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Разложить функцию f ( x )
1
x в ряд Фурье по косину4 2
сам на отрезке 0, .
Решение.
Так как по условию ряд должен содержать только косинусы
кратных дуг, то следует продолжить заданную функцию на отрезок ; 0 четным образом. Для определения коэффициентов
ряда Фурье применяем формулы
a0
2
f (x)dx ,
0
an
2
f (x) cos nxdx ,
(n 1,2,...) .
0
Отсюда
2 1
2
x2
a0 x dx x 0 ,
0 4 2
4
2
0
2 1
a n x cos nxdx ,
0 4 2
(n 1,2,...) .
Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по
частям
b
udv
a
b
uv a
b
vdu .
a
Полагаем u 2x , dv cos nxdx . Отсюда
1
du 2dx , v cos nxdx sin nx .
n
1
sin nx
2
Следовательно, a n
sin nxdx
( 2x
2
n 0 0
0,
если n четное,
1 2
1
2 cos nx 2 (1 cos nx ) 2
0 n
2 n
2 , если n нечетное.
n
Таким образом, искомое разложение имеет вид
1
2
cos 3x cos 5x
x cos x 2 2 ... .
4 2
3
5
ТЕМА 13. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В ЗАДАЧАХ 24.1 - 24.20 найти вероятности указанных событий, пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей.
24.1. В ящике имеется 12 деталей, из которых 5 деталей нестандартные. Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Какова вероятность того, что все они будут нестандартны?
24.2. Студент знает 15 из 20 вопросов программы. Какова
вероятность того, что он знает все три вопроса, предложенные экзаменатором.
24.3. Техническое устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа этих элементов соответственно равны 0,05; 0,07; 0,09. Найти вероятность того, что техническое устройство не сработает, если для этого достаточно,
чтобы отказал хотя бы один элемент.
24.4. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй сигнализатор срабатывает с вероятностью 0,80. Найти вероятность того,
что сработает только один сигнализатор.
24.5. Отдел технического контроля проверяет изделия на
стандартность. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 0,15. Проверено три изделия. Какова
вероятность того, что два из них бракованные?
24.6. В группе студентов 12 юношей и 8 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Какова вероятность того, что все они будут юношами?
24.7. Для поражения цели достаточно хотя бы одного попадания. По цели произведено три выстрела с вероятностями попадания 0,75; 0,85; 0,90 соответственно. Найти вероятность того,
что цель будет поражена.
24.8. Вероятность попадания в мишень в каждом выстреле
равна 0,6. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень при четырех выстрелах.
24.9. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу выбранное изделие окажется высшего сорта равна 0,3. Найти вероятность того, что из
трех проверенных изделий только два будут высшего сорта.
24.10. Исследователь разыскивает нужные ему сведения в
трех справочниках. Вероятности того, что эти сведения находятся
в первом, во втором и в третьем справочнике равны соответственно 0,7; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что требуемые сведения находятся только в одном справочнике.
24.11. В урне находятся 15 шаров, пять из которых красные,
а остальные белые. Наудачу друг за другом извлекаются три шара. Какова вероятность того, что все они будут красными?
24.12. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика наудачу
вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?
24.13. Три стрелка производят выстрел по цели. Вероятность
попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго –
0,8, для третьего – 0,9. Какова вероятность того, что произойдет
не менее двух попаданий?
24.14. Наладчик обслуживает три станка с ЧПУ. Вероятность того, что первый из них в течении смены потребует переналадки, равна 0,1. Для второго и третьего станков эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. Вычислить вероятность
того, что в течении смены потребуется переналадка только одного станка.
24.15. Вероятность того, что электролампочка неисправна,
равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из четырех
лампочек исправна?
24.16. В группе из 18 студентов имеется 5 отличников. Выбираются наудачу три студента. Какова вероятность того, что все
они отличники?
24.17. В ящике находятся 15 деталей, пять из которых бракованные. Наудачу отобраны три детали. Какова вероятность, что
все они не окажутся бракованными?
24.18. Имеются два ящика, в первом из которых 5 белых и 8
красных шаров, а во втором 3 белых и 2 красных шара. Из каждого ящика вынимается наудачу по одному шару. Какова вероятность того, что один из них будет красным, а другой белым?
24.19. Вероятность выхода из строя станка в течение одного
рабочего дня равна 0,01. Какова вероятность того, что за три рабочих дня станок ни разу не выйдет из строя?
24.20. Вероятность обнаружения цели при одном цикле обзора радиолокационной станцией равна 0,3. Какова вероятность
обнаружения цели хотя бы один раз при четырех циклах обзора?
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
Пример 1. Три стрелка производят по одному выстрелу в
цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для
каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок; б) в цель
попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.
Решение.
а) Рассмотрим следующие события:
A1 {первый стрелок попал в цель};
A2 {второй стрелок попал в цель};
A3 {третий стрелок попал в цель};
A1 {первый стрелок не попал в цель};
A2 {второй стрелок не попал в цель};
A3 {третий стрелок не попал в цель}.
По условию
P A1 0,7; P A2 0,8; P A3 0,9; P A1 1 0,7 0,3;
P A2 1 0,8 0,2; P A3 1 0,9 0,1.
Пусть событие B {в цель попал только один стрелок}. Тогда
B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3.
Отсюда, в силу несовмеcтности событий-слагаемых и независимости событий-сомножителей, имеем
PB P A1 P A2 P A3 P A1 P A2 P A3 P A1 P A2 P A3
0,7 0,2 0,1 0,3 0,8 0,1 0,3 0,2 0,9 0,092.
б) Пусть событие C {в цель попадут только два стрелка}.
Тогда
C A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ,
откуда
PC 0,7 0,8 0,1 0,3 0,2 0,9 0,3 0,8 0,9 0,398.
в) Пусть событие D {в цель попал хотя бы один стрелок}.
Тогда противоположное событие D {не попал ни один из них},
т. е. D A1 A2 A3. Поэтому
PD 0,3 0,2 0,1 0,006.
Отсюда
PD 1 PD 1 0,006 0,994.
Пример 2. Среди 15 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные бывшие
в употреблении. Наугад взято 3 микрокалькулятора. Какова вероятность, что все они окажутся новыми?
Решение. Рассмотрим события:
A {первый из взятых микрокалькуляторов новый};
B {второй микрокалькулятор новый};
C {третий микрокалькулятор новый}.
6
.
15
Вероятность того, что второй микрокалькулятор будет новый, при условии, что первым уже был отобран новый микрокалькулятор, т. е. условная вероятность события B , равна
5
PA B .
14
Вероятность того, что третьим будет отобран новый микрокалькулятор, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т. е. условная вероятность события C , равна
Тогда P A
4
.
13
Искомая вероятность того, что все три отобранных микрокалькулятора окажутся новыми, равна
PA B C
P A B C P A PA B PA B C
6 5 4
4
.
15 14 13 91
В ЗАДАЧАХ 25.1 – 25.20 заданы законы распределения
двух независимых случайных величин X и Y . Требуется найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Z 3 X 2Y .
25.1.
X
p
-6
0,3
-3
0,3
2
0,2
1
0,2
Y
p
-2
0,2
8
0,8
25.2.
X
p
-4
0,1
-2
0,3
-1
0,2
3
0,4
Y
p
-3
0,4
-1
0,6
25.3.
X
p
-2
0,5
-1
0,1
1
0,2
4
0,2
Y
p
1
0,8
3
0,2
25.4.
X
p
-6
0,1
8
0,1
9
0,6
10
0,2
Y
p
-8
0,4
2
0,6
25.5.
X
p
-2
0,2
-1
0,5
0
0,1
3
0,2
Y
p
-3
0,3
2
0,7
25.6.
X
p
-5
0,1
-4
0,5
-2
0,2
3
0,2
Y
p
-8
0,7
-1
0,3
25.7.
X
p
-7
0,4
-5
0,4
-2
0,1
3
0,1
Y
p
-3
0,1
4
0,9
25.8.
X
p
-1
0,2
2
0,5
4
0,1
8
0,2
Y
p
-2
0,2
1
0,8
25.9.
X
p
-8
0,5
-6
0,1
-1
0,2
5
0,2
Y
p
3
0,6
7
0,4
25.10.
X
p
-3
0,1
-7
0,2
1
0,3
2
0,4
Y
p
2
0,3
4
0,7
25.11.
X
p
-1
0,1
4
0,1
7
0,7
10
0,1
Y
p
-7
0,4
3
0,6
25.12.
X
p
-7
0,2
-3
0,4
0
0,1
2
0,3
Y
p
-4
0,3
1
0,7
25.13.
X
p
-3
0,2
-2
0,5
-1
0,1
2
0,2
Y
p
-5
0,7
-4
0,3
25.14.
X
p
-4
0,3
-1
0,4
2
0,2
1
0,1
Y
p
-6
0,2
7
0,8
25.15.
X
p
-3
0,1
-1
0,2
0
0,3
7
0,4
Y
p
-4
0,4
-2
0,6
25.16.
X
p
-2
0,4
2
0,1
3
0,3
5
0,2
Y
p
2
0,8
4
0,2
25.17.
X
p
-4
0,4
-1
0,4
0
0,1
2
0,1
Y
p
-5
0,2
5
0,8
25.18.
X
p
-1
0,2
1
0,1
5
0,5
7
0,2
Y
p
-4
0,2
2
0,8
25.19.
X
p
-7
0,4
-5
0,2
-1
0,2
4
0,2
Y
p
2
0,6
9
0,4
25.20.
X
p
-5
0,1
-3
0,2
1
0,3
4
0,4
Y
p
5
0,3
8
0,7
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Пример. Заданы законы распределения двух независимых
случайных величин X и Y :
-5
0,4
X
p
-2
0,3
3
0,1
4
0,2
Y
p
2
0,2
4
0,8
Требуется найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины Z 2 X 7Y .
Решение. Найдем сначала математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y (для вычисления дисперсии
воспользуемся универсальной формулой):
n
M ( X ) xi pi (5) 0, 4 (2) 0,3 3 0,1 4 0, 2 1,5;
i 1
n
M ( X 2 ) xi2 pi (5)2 0, 4 (2)2 0,3 32 0,1 42 0, 2 15,3;
i 1
m
M (Y ) y j p j 2 0, 2 4 0,8 3, 6;
j 1
M (Y )
2
m
y 2j p j
2 2 0,2 4 2 0,8 13,6;
j 1
D( X ) M ( X 2 ) ( M ( X )) 2 15,3 (1,5) 2 13,05;
D(Y ) M (Y 2 ) ( M (Y )) 2 13,6 (3,6) 2 0,64.
Теперь, воспользовавшись свойствами математического
ожидания и дисперсии, а также условием независимости случайных величин X и X , получаем
M (Z ) M (2 X 7Y ) 2M ( X ) 7M (Y ) 2 (1,5) 7 3,6 28,2;
D( Z ) D(2 X 7Y ) 4 D( X ) 49 D(Y ) 4 13,05 49 0,64 83,56.
В ЗАДАЧАХ 26.1 – 26.20 предполагается, что случайные
отклонения контролируемого размера детали, изготовленной
станком-автоматом, от проектного размера подчиняются нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением (мм) и математическим ожиданием a 0 . Деталь
считается годной, если отклонение ее контролируемого размера
от проектного по абсолютной величине не превышает m (мм).
Сколько процентов годных деталей изготовляет станок?
26.1.
26.2.
26.3.
m = 15,
m = 40,
m = 18,
= 7.
= 22.
= 10.
26.11.
26.12.
26.13.
m = 50,
m = 6,
m = 35,
= 30.
= 3.
= 17.
26.4.
26.5.
26.6.
26.7.
26.8.
26.9.
26.10.
m = 60,
m = 20,
m = 16,
m = 30,
m = 28,
m = 55,
m = 22,
= 35.
= 11.
= 8.
= 15.
= 12.
= 32.
= 10.
26.14.
26.15.
26.16.
26.17.
26.18.
26.19.
26.20.
m = 8,
m = 45,
m = 25,
m = 10,
m = 38,
m = 9,
m = 48,
= 5.
= 20.
= 11.
= 4.
= 16.
= 5.
= 22.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА
Пример. Станок-автомат изготавливает шарики. Шарик
считается годным, если отклонение X его диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,9 мм. Считая, что
случайная величина X распределена нормально с нулевым мате-
матическим ожиданием и средним квадратическим отклонением
= 0,5 мм, найти, сколько процентов годных шариков изготовляет станок?
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины X от ее математического ожидания
P( X a ) 2 ,
где a M ( X ), D( X ) , ( x) функция Лапласа (см. приложение 3).
По условию задачи a 0; 0,5; 0,9, поэтому
P( X 0,9 2(1,8) 2 0,4641 0,9282.
Таким образом, станок-автомат изготовляет 92,8 % годных
шариков.
Учебное издание
Составители: Дементьев Сергей Николаевич,
Федулова Людмила Ивановна
МАТЕМАТИКА
Методические указания
и индивидуальные контрольные задания
для студентов заочной формы обучения по всем направлениям подготовки
агроинженерного факультета
Издается в авторской редакции
Подписано в печать
. Формат 60 80 1 16
Бумага кн.-журн. П. л. 6,06. Гарнитура Таймс.
Тираж
экз. Заказ №
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет
имени К.Д.Глинки».
Типография ФГОУ ВПО ВГАУ
394087 Воронеж, ул. Мичурина, 1.
