Линейные пространства

ЛЕКЦИЯ (от 02.02.2022).
§1. Линейные пространства
(продолжение)
Теор. 2 (неравенство Минковского)
Пусть f  x   Lp  a, b  , g  x   L p  a, b  ,  p  1

f  x   g  x  - суммируемая функция со степенью p и
b

p
  f  x   g  x  dx 
a

Док-во (теор. 2):
1
p
b

p
   f  x  dx 
a

1
b

p
   g  x  dx 
a

p
1
p
- неравенство Минковского
пусть p  1

b
b
b
a
a
a
 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
f  x  g  x  f  x  g  x и
Здесь применяем неравенство   ка :
теорему о монотонности интеграла Римана (см. 2-ой семестр).
пусть p  1
f  x   L p   a , b   , g  x   L p   a , b    f  x   g  x   L p  a, b 
q   :
1 1
 1
p q
Рассмотрим
g  x  на

b

p
f  x  g  x

теор.
 L p  a , b 
1,
f  x  g  x
f  x  f  x  g  x
q
p
p
q
при
заменим
dx 
p
a

f  x  dx  q
p
a
Аналогично, заменим
f  x  на
f  x ,
в неравенстве Гёльдера:
b
q
этом
b
 f  x  g  x
p
dx
a
f  x  на g  x  ,
g  x  на
f  x  g  x
p
q
в
неравенстве Гёльдера:
b
 g  x  f  x  g  x
a

p
b
q
dx 
p
 g  x
a
p
b
dx 
q
 f  x  g  x
p
dx
a
1 1
 1
p q
p
p  1
q
1
p
f  x  g  x  f  x  g  x  f  x  g  x
p



 f  x  g  x  f  x  g  x
 f  x  f  x  g  x
p
q
p
q
q


 g  x  f  x  g  x
p
q
 по теор. о монотонности интеграла Римана
b

a
b
f  x   g  x  dx   f  x   f  x   g  x 
p
p
b
q
a
dx   g  x   f  x   g  x 
p
q
dx 
a
b
 b
 b
p
p
p
p
p

  f  x  dx   g  x  dx   q  f  x   g  x  dx
 a

a
a

 

 0  т.к . f  x   g  x L p 
1
b

p
   f  x   g  x  dx 
a

b


p
f  x   g  x  dx 
p
a
1
q
b

p

f  x  dx 
p
a
b
p

b
p
 g  x
p
dx
a
f  x  dx  p
p
a
b
 g  x
p
dx
a
■
Следствие (th 1 и 2):
a b

a
 bk
k k
p
Опр. 2
k
p
a
p
k
p

p
b
q
k
a
p
k
q
1 1
 1
p q
,
 p  bk ,
p
p 1
- линейное пространство, u   , 
Пусть 
uk  :
uk 
u
k 

u  uk 
 0 (сходимость по норме).
k 
 u   c1 , c2 ,  , cN  , u   N
u
S
 sup ck - супремум-норма  
k
Опр. 3
- линейное пространство, u   , две нормы
Пусть 
эквивалентны




 , если 
c1 и c2 :

1
и

0
u 0  c0  u 1
u 1  c1  u 0
Такие эквивалентные нормы определяют сходящиеся последовательности.
0
1
Утверждение (об эквивалентности норм конечномерного линейного
пространства):
Если   - конечномерное линейное пространство, dim   N ,  на 
любые две нормы эквивалентны.
2
Док-во (утв.):
1.
пусть uk k 1 - базис в  ,  две нормы
N

0
и

1
Рассмотрим разложение элемента 
v   по базису uk k 1 :
N
N
v   ck  uk
нер  во  ка

k 1
опр . 
N
v   ck  uk

k 1
N
N
ck  uk  sup ck   uk

k
k 1
k 1


C ( const )

v  C  sup ck
k
v

S
по  
v C v
S
Если  uk k 1 : uk  u по
N


S

при этом, если uk  u по
неравенству
u k  u  C  uk  u S  0


2.
uk  u
S

 uk  u  C  u k  u
uk  u
S
0 
S
,
согласно
uk  u

-непрерывное по
 S  u
u
S

S
отображение
 :  
 1 - ограниченный и замкнутый шар в    N   N  и
на этом множестве достигается max
 min 
значение.
 Напоминание :



 множество S - замкнутое, если оно содержит все свои предельные точки, 
 множество S - ограниченное, если S  S



Пусть
u  m  min  , так как u  0, положим u
  u  :
  v: u 


v  m v
v C v
v  m v
S
u
S
S
1
 1 получаем, что u  m
1
1
v  u 
 v m
vS
vS
S
 Опр. 3
v

v
S
S
■
Опр. 4
Пусть  - линейное пространство, u   - внутренняя точка, если  шар
радиусом  с центром в точке u  B  u,      :
 u* : u  u *    u*  
3

B  u,    
 u*
u
Опр. 5
Множество M  
точек.
- открыто, если оно состоит только из внутренних
Опр. 6 Множество M   - замкнуто, если его дополнение до  : 
\ M - открыто
B  u,    M
Опр.6  Множество M   - замкнуто, если  uk   M : uk  u  u  M
§2. Полнота линейного пространства. Банаховы пространства
Опр.
1
Пусть
uk 
-
последовательность
Коши
последовательность, сходящаяся в себе), если k , j   :
Линейное пространство  - полное, если для 
Опр. 2
uk 
(фундаментальная
uk  u j 
0 .
k , j 
- последовательности
Коши ее предел является элементом пространства  :  lim uk  u  
k 
Пусть  - конечномерное пространство, M   , M - линейное подпространство.
Утверждение (о замкнутости линейных подпространств
конечномерных пространств):
Все линейные подпространства M   , где dim   N , замкнуты.
Док-во (утв.):
N
Пусть uk k 1  M . Надо доказать uk  u (в силу опр.6  )
M
Фиксируем базис в  , так как  - конечномерно  dim   N  :
u1 , u2 ,  , uk  , uk 1 ,  , uN 

базис M



u

k 1
базис 
- линейно независимый вектор с предыдущими в  .
k
 ui  : ui   c j i   u j  
j 1
N
 c   u
j  k 1

i
j
j
4
Если ui  M 
N
 c   u

i
j
j  k 1
j
0
Сходимость последовательности ui  равносильна сходимости  j c j i   c j
j 
k
Если u  lim ui  u   c j  u j   M так как u j   M
i 
j 1
 M - замкнуто.
■
u
Опр. 3 uk    
k
- абсолютно сходится, если
k
u
k
  , то есть ряд
k
u
k
k
- сходится.
Теор. 1 (о полноте линейного пространства)
 - полное пространство 
сходящаяся в  

последовательность
uk  :  uk
- абсолютно
k
n
 uk - сходится в  (то есть  lim  uk в  )
n 
k
k 1
Док-во (теор. 1):
   (опр. 1 + опр. 2)
 
 последовательность Коши 
uk   
: uk  u j 
0
k , j 
n
Надо доказать, что  lim  uk - конечный в  .
n 
k 1
N
Пусть u N   vk - абсолютно сходится
k 1

  lim u N   vk (опр. 3)
N 
k 1
N 1
v1  u1
N 2
vN  u N  u N 1
vN  u N  u N 1  0 (опр. 1)
Фиксируем ряд
1
2
k


б . у . ГП
1
 2 1
1 1 2

uk  j  uk 
 0 , то есть
k 
j
   0  N :  k  N j
uk  j  uk  
 N k : uNk  j  uNk 
1
2k
5
k
u Nk   v j ,
j
vj
определены
j 1
(подпоследовательность
последовательности Коши)
v1  u N1
vk  u N k  u N k 1
Рассмотрим абсолютную сходимость:
1
vk  u Nk  u Nk 1  u N k 1  j  u N k 1  k 1
2
 ряд  vk - абсолютно сходится 
семестр)
v
- сходится (мат. анализ 3-ий
k
k
  lim  vk  lim uNk  u 
k 
k 
j 1
 сходится подпоследовательность последовательности Коши.
Проверим, что uk  u 
(то есть, что    0  k0 :  k  k0
uk  u    ):
так как подпоследовательность последовательности Коши также сходится в
себе, то
   0  k1   :  k  k1
uk  u j 

2
так как  lim u N k  u 
k 
   0  k 2   :  k  k2
uNk  u  
  k0 : k0  k2 , k0  N k1 


2
 нер  во   ка 

uk  u   
  uk  u N k  u N k  u  

u
 

Nk

 





2

2
uk  u  

uk 
- абсолютно сходится,
  lim uk  u   
k 
  - полное (опр. 2)
■
Примеры полных пространств:

Пространство функций, непрерывных на  a, b  : C  a, b 
u  x   C   a, b   
u  sup u  x 
 a ,b 
 uk  - фундаментальная последовательность
 u  C  a, b  :

uk  u j 
0
k , j 
u  uk 
0
k 
Пространство Лебега Lp    ,    n
6


p
u  x   Lp   , d    u    u  x  dx 


Lp    - полное пространство

1
p
  , 1  p  
Пространство L    ,    n (почти непрерывных функций)
u  x  , определенные на  , - измеримы и для почти всех x в 
u  x  M  
inf M  u
L
M
Выкинутые
точки
M
Если не принимать во внимание точки, перенесенные в другое место, график
функции лежит в наименьшей полосе (это inf ).
inf M  ess sup u  x 
u  x   M для почти всех x
- существенная верхняя грань (наименьшая мажоранта)
Элементами пространства L    являются классы эквивалентности функций,
которые почти всюду совпадают с u  x  .
u  - класс эквивалентности.
u   v  x  v  x   u  x   0 для почти всех x  
Если
v1  x  , v2  x   u 
 ess sup v1  ess sup v2  u
L
7