Тема: Основные понятия ТВ 1. Предмет ТВ

Лекция 1
Тема: Основные понятия ТВ
1. Предмет ТВ
Теория вероятностей (ТВ) – раздел математики,
изучающий закономерности, присущие массовым
случайным явлениям. При этом изучаемые явления
рассматриваются в абстрактной форме, независимо
от их конкретной природы.
Предмет ТВ – математические модели
случайных явлений (случайных событий).
Цель ТВ – осуществление прогноза в области
случайных явлений, контроль их, ограничение
сферы действия случайности.
1
Опр. Событие – результат наблюдения или опыта.
Опр. Случайное событие – событие, наступление
которого мы не можем в точности предвидеть из-за
незнания причин, вызывающих его, или
невозможности считаться со всеми причинами.
Примеры (случайных событий):
1. Длительность произвольного разговора по телефону.
2. Кол-во присутствующих на лекции.
3. Результат бросания игральной кости.
4. Точное кол-во голосов «за» некоторого кандидата на
выборах.
2
Можно ли изучать случайные события?
Если рассматривать случайные события в
совокупности, при их массовом повторении,
то можно наблюдать определенную
закономерность.
Примеры (классические):
1. Подбрасывание монеты.
2. Извлечение шара из ящика с одинаковым
количеством черных и белых шаров.
3
Относительная частота имеет конечный
mn
предел:
lim hn = lim
n→∞
n→∞
n
= p.
Это число р - вероятность события А.
Опр. Вероятность события –
количественная оценка степени объективной
возможности этого события.
Примеры:
1. Р(выпадение герба)=1/2.
2. Р(извлечение белого шара)=1/2.
4
2. Классификация событий
Опр. События называются несовместными, если наступление
одного из них исключает наступление любого другого
(АВ=∅). В противном случае события называются
совместными (АВ≠∅).
Опр. Два несовместных события, из которых одно должно
обязательно произойти, называются
противоположными: A + A = Ω и A⋅ A = ∅.
Опр. Несколько событий называются единственно
возможными, если в результате испытания обязательно
должно произойти хотя бы одно из них: А+В+С=Ω.
Опр. Несколько событий образуют полную группу, если они
являются единственно возможными и несовместными
исходами: А+В+С=Ω и АВС=∅.
5
Опр. Элементарные события – все мыслимые
взаимоисключающие исходы опыта.
В результате опыта обязательно происходит одно
и только одно из элементарных событий.
Примеры:
1. Бросание кубика:
Еi={выпадение i-очков}.
2. Бросание монеты:
Е1={выпадение герба} и Е2={выпадение решки} .
6
Опр. Составные события – события, которые
появляются при наступлении хотя бы одного из
нескольких определенных для него элементарных
событий.
Пример:
A={выпало четное число очков}
A={Е2 , Е4 , Е6}.
Опр. Равновозможные события , если появление
какого-либо события из них не более возможно, чем
появление любого другого из них.
7
3. Классическое определение вероятности
Если общее число элементарных событий в данном
опыте конечно и все они равновозможны, то
вероятность события А вычисляется по формуле:
m
P( A) = ,
n
где n – число всех исходов опыта,
m - число всех тех элементарных исходов опыта,
при которых наступает событие А (т.е. число
благоприятствующих исходов).
8
Свойства вероятности:
1. 0 ≤ P( A) ≤ 1 ∀A;
2. P(Ω) = 1;
3. P(∅) = 0.
9