05.Законы распределения случайных величин

Законы распределения
случайных величин
• Опр. Законом распределения
дискретной случайной величины
называется всякое соотношение,
устанавливающее связь между
возможными значениями
случайной величины и
соответствующими вероятностями.
• Закон распределения
случайной величины можно
задать, как и функцию:
табличным, графическим и
аналитическим способами.
• Опр. Две случайные величины
называются независимыми,
если закон распределения
вероятностей одной из них не
зависит от того какие
возможные значения приняла
другая.
Табличный способ
X  x1
• Пусть
X  x3
X  xn
P( X  x1 )  p1 ;
X  x2
тогда
P( X  x2 )  p2 ;
тогда
P ( X  x3 )  p 3 ;
тогда
P ( X  x n )  p n.
n
p
i 1
i
 1.
xi
x1
x2
x3
pi
p1
p2
p3
n
p
i 1
i
 1.
……
xn
……
pn
Графический способ
xi
1
2
3
4
5
pi
0,1
0,3
0,2
0,3
0,1
pi
0,3
0,2
0,1
1
2
3
4
5
xi
Аналитический способ
Функция распределения
вероятностей
• Опр. Функцией распределения
вероятностей случайной величины X
называется функция F (x) , задающая
вероятность того, что случайная
величина X принимает значение,
меньшее x , т.е.
.
F ( x)  P( X  x)
• 1. 0  F ( x )  1 ;
Т.к F ( x)  P( X  x) , а 0  p  1.
• 2. F (x ) - неубывающая функция и для
  
P(  X   )  F ( )  F (  );
A:
X  ;
B:
X  ;
C:
  X  .
B  AC
P( A)  P( X   )  F ( );
P( B)  P( X   )  F (  );
P(C )  P(  X   ).
P( B)  P( A)  P(C ),
F (  )  F ( )  P(  X   ),
P(  X   )  F (  )  F ( ),
• Т.к.
P(  X   )  0  F (  )  F ( )  0,
F (  )  F ( ).
Отсюда
F (x ) - неубывающая.
3. Если F (x ) - функция распределения,
lim F x   1
то lim F x   0
x
x
4.Если X - непрерывная случайная
величина, то
.
P( X   )  0
P(  X   )  P(  X   ) 
 P(  X   )  P(  X   ).
• Если X - дискретная случайная величина,
F ( x) 
то
 P( X  x ).
i
xi  x
xi
x1
x2
x3
pi
p1
p2
p3
in
p
i 1
i
 1.
……..
……..
xn
pn
x  x1 ,
F ( x)  P( X  x1 )  0;
x1  x  x2 ,
x2  x  x3 ,
F ( x)  P( X  x2 )  P( X  x1 )  p1;
F ( x)  P( X  x3 )  P( X  x1 )  P( X  x2 )  p1  p2 ;
…………………………………………...........
xn1  x  xn , F ( x)  P( X  xn )  P( X  x1 )  P( X  x2 )  ...  P( X  xn1 ) 
 p1  p2  ...  pn1;
x  xn ,
F ( x)  P( X  xn )  p1  p2  ...  pn  1.
x  x1 ;
0,
p ,
;
x

x

x
2
1
1

 p1  p2 ,
x2  x  x3 ;
F ( x)  
..........
..........

 p1  p2  ...  pn 1 , xn 1  x  xn ;

1,
x  xn .
F (x )
1
p1  p2  ...  pn1
...............
p1  p2
p1
x1 x 2 x3 ........ x n
pi
Плотность распределения
вероятностей
• Пусть X -непрерывная случайная
величина.
Рассмотрим вероятность попадания
значений случайной величины в
элементарный участок ( x; x  x) :
P( x  X  x  x)  F ( x  x)  F ( x),
P( x  X  x  x) F ( x  x)  F ( x)

,
x
x
P( x  X  x  x)
F ( x  x)  F ( x)
 lim
 F ( x).
lim
x
x
x 0
x 0
Обозначим
F ( x)  f ( x).
• Опр. Дифференциальной функцией
распределения или плотностью
распределения вероятностей наз.
первая производная интегральной
функции распределения F (x ).
• График дифференциальной функции
распределения f (x) наз. кривой
распределения:
f (x )
x
Свойства плотности
распределения
вероятности.
• 1.Для x f ( x)  0.
• 2.Для f (x ) имеет место равенство

P(  X   )   f ( x)dx.


• 3.
 f ( x)dx  1.

x
• 4.
F ( x) 
 f (t )dt

Виды распределения
Равномерное
распределение
0,
 1

f ( x)   ,
a

b

0,
x  a;
a  x b;
x  b.
f (x )
1
ba
a
ba
MX 
,
2
b
x
(b  a)
DX 
,
12
2
A  0, E  0.
Нормальное
распределение
f ( x) 
1
  2
e

( xa )
2
2
2
.
MX  a,
• Если СВ
X~
DX   ,
2
A  0,
E  0.
N ( a,  ) , то
   a    a 
P(  X   )  Ф
  Ф
.
     
• Если СВ
X
~
N ( a,  ) , то

P ( X  a   )  2  Ф


.

• Обозначим

z

, тогда
P( X  a    z)  2  Фz .
• Пусть
z  1,
P( X  a   )  2Ф(1)  0,6437;
z  2,
P( X  a  2 )  2Ф(2)  0,9545;
z  3,
P( X  a  3 )  2Ф(3)  0,9973.
• Правило «трёх сигм»: если СВ X
распределена по нормальному закону, то
отклонение этой величины от её MX по
абсолютной величине практически не
превышает утроенного среднего
квадратического отклонения.
• Если СВ X ~ N (0;1) , т.е.
СВ X - стандартная, то
P( X   )  2  Ф .
Биномиальное
распределение
xi
pi
x1
x2
…………
xn
p1
p2
…………
pn
in
p
i 1
pi  Pn (k )  C  p  q
k
n
MX  np,
k
i
nk
 1.
,
DX  npq.
Распределение Пуассона
xi
pi
x1
x2
…………
xn
p1
p2
…………
pn
in
p
i 1
i
 1.
pi  Pn (k ) 
MX   ,

k
k!

e ,
DX  .