Дисциплина «Математика»

Дисциплина «Математика»
–Основные разделы: теория вероятностей; математическая статистика; дифференциальное исчисление.
Рекомендуемая литература:
•Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
статистика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2007. – 573 с.
•Краткий курс высшей математики: Учебное пособие
для вузов/ Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.: ООО
«Издательство Астрель», 2003.
•Мединцева И.П. Математика для психологов: учебнометодическое пособие . – Волгоград: ВАГС, 2008.
1
Лекция 3
Тема: Случайные величины (СВ)
1. Понятие случайной величины
Стремление использовать числа при анализе
различных явлений привело к появлению этого понятия
в теории вероятностей.
Опр. Случайная величина – переменная величина,
принимающая в зависимости от обстоятельств
различные числовые значения при разных
наблюдениях одного и того же опыта.
2
Примеры:
1. Результаты бросания кубика.
2. Рост и вес каждого человека в некоторой группе
людей.
3. Остаток вклада по выбранному лицевому счету.
4. Число уличных происшествий в течение суток в
городе.
Для одного и того же опыта можно
рассматривать разные случайные величины,
которые могут принимать различные значения из
разных множеств.
3
Пример.
Проводится тестирование студентов по
курсу. Результатом может быть:
• оценка от 1 до 5;
• средняя оценка;
• кол-во правильных ответов;
• кол-во неправильных ответов.
Это будут разные случайные величины для
одного и того же опыта.
4
Обозначения
Опр. Значения, которые принимает СВ, называют
возможными значениями СВ.
СВ – это некоторая функция, которая определена на
множестве исходов опыта.
Обозначения СВ: X, Y, Z, ...
Обозначение значений СВ: xi , yi , zi , …
Для полноты информации о СВ необходимо знать:
1) множество значений СВ;
2) как часто СВ принимает каждое из своих
значений.
5
Пример:
Два стрелка А и В имеют разные спортивные
разряды. При каждом выстреле по мишени они
могут выбить 8, 9 или 10 очков.
Если рассмотреть случайные величины X и Y
равные количеству очков, выбиваемых стрелком
А и В соответственно, то множество значений
этих СВ будет одинаково {8, 9, 10}, но каждое из
значений принимается с разной частотой:
X
Частота
8 9 10
0,2 0,5 0,3
Y
Частота
8 9 10
0,3 0,6 0,1
6
2. Типы случайных величин
В зависимости от типа множества значений, которые может
принимать СВ, различают дискретные и непрерывные СВ.
Опр. Дискретной СВ называется СВ, принимающая
конечное или бесконечное счетное (т.е. можно
пересчитать) множество значений.
Опр. Непрерывной СВ называется СВ, которая может
принимать любые значения из некоторого конечного или
бесконечного интервала.
Из определений следует, что дискретная СВ –
изолированные значения (результаты счета);
непрерывная СВ – все значения из интервала
(результаты измерения).
7
Примеры:
1.
•
•
•
Дискретные СВ:
число присутствующих на лекции;
число рассмотренных жалоб;
число кандидатов на выборах.
2. Непрерывные СВ:
• ошибки при измерениях;
• время безотказной работы устройства;
• рост и вес .
8
3. Закон распределения СВ
При изучении дискретных СВ используют таблицы
значений и вероятностей принятия этих значений.
Опр. Рядом распределения СВ Х называют
таблицу вида:
Х
x1
x2
x3
…
xn
Р
p1
p2
p3
…
pn
x1 < x2 < x3 … < xn ,
p1 =P(X=x1) – вероятность того, что СВ Х
принимает значение x1.
9
Алгоритм построения ряда
распределения:
1. Определить все возможные различные значения СВ.
2. Расположить их в возрастающем порядке и
записать в первую строку таблицы.
3. Вычислить вероятности каждого значения xi (при
подсчете использовать классическое определение
вероятности или другие формулы).
4. Занести найденные pi во вторую строку таблицы.
Замечание. Если ряд распределения построен
правильно, то выполнено
i =1
∑p
10
n
i
= 1.
Опр. Законом распределения СВ называется
соответствие (заданное таблично или при
помощи формулы) между всеми возможными
значениями СВ и их вероятностями.
Замечание. Число появлений k события А при
n независимых испытаниях можно рассматривать
как СВ Х со значениями 0, 1, 2,…, n.
Закон распределения этой величины задается
биномиальной формулой:
k
n
k
pk = P ( X = k ) = C p q
n−k
, p = P( A), q = 1 − p.
и называется биномиальным распределением.
11
4. Функция распределения СВ
Опр. Функцией распределения СВ Х называется
функция F(x), определенная на множестве всех
чисел х и задающая вероятность того, что СВ Х
примет значение меньшее, чем х:
F(x)=P{X<x}, х∈(-∞; ∞) .
1.
2.
3.
4.
Свойства F(х):
0 ≤F(х) ≤ 1.
F(х) неубывающая функция.
F(х) =1, х→∞ ; F(х) =0, х→-∞ ;
P{a ≤ X<b}= F(b) –F(a).
Определяя функцию F для каждого значения х,
можно построить ее график.
12
Пример
Построим F(х) для СВ Х:
Х -1 0
2
3
Р 0,3 0,2 0,4 0,1
Решение.
0, x ≤ −1
0.3, − 1 < x ≤ 0

F ( x) = 0.5, 0 < x ≤ 2
0.9, 2 < x ≤ 3

1, x > 3
13
5. Числовые характеристики СВ
Опр. Математическим ожиданием М(Х)
дискретной СВ называется сумма парных
произведений всех возможных ее значений на их
вероятности:
n
m = M ( X ) = ∑ xi pi .
i =1
Свойства М(Х):
1) М(С)=С, C=const;
2) М(С · Х)=С·М(Х);
3) M(X+Y)=M(X)+M(Y);
4) M(X · Y)=M(X) · M(Y) для независимых X и Y.
14
Опр. Дисперсией (рассеянием) D(Х) СВ
называется математическое ожидание квадрата
отклонения этой величины от ее математического
ожидания:
n
D( X ) = M ( X − m) = M ( X ) − m = (∑ xi ⋅ pi ) − m .
2
2
2
2
2
i =1
Свойства D(Х):
1) D(Х)≥0;
2) D(С)=0, C=const;
3) D(СХ)=С2·D(Х);
4) D(X+C)=D(X);
5) D(X+Y)=D(X)+D(Y);
15
Опр. Cредним квадратичным (или
стандартным) отклонением СВ называется
корень из дисперсии: σ(x) = σ = D(X).
Пример. Найдем M(X), D(X), σ для СВ Х:
Х
Р
-1 0
2
3
0,3 0,2 0,4 0,1
Решение.
М(Х)=-1*0,3+0*0,2+2*0,4+3*0,1=0,8
D(X)= 1*0,3+0*0,2+4*0,4+9*0,1-0,64=2,16
σ=1,47.
16
Опр. Модой Mo(Х) СВ называется ее наиболее
вероятное значение (для которого вероятность
достигает максимума).
Если вероятность достигает максимума в нескольких
точках, то распределение называется полимодальным.
Опр. Полигоном распределения вероятности
называется ломаная, соединяющая точки (xi, pi) на
плоскости.
0.4
Pi
0.3
0.2
0.1
Xi
Mo
0
-1
0
1
2
3
4
5
17