МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ I НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРНІГІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ННІ ЕЛЕКТРОННИХ ТА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ТА ПРОГРАМНОЇ ІНЖЕНЕРІЇ
КОМП’ЮТЕРНІ ЧИСЛЕННЯ
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ І МЕТОДИ ЙОГО ОБЧИСЛЕННЯ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до самостійної роботи
студентів напряму
121 – «Інженерія програмного забезпечення»
123 – «Комп’ютерна інженерія»
Чернігів НУ «Чернігівська політехніка» 2020
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ I НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРНІГІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ННІ ЕЛЕКТРОННИХ ТА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ТА ПРОГРАМНОЇ ІНЖЕНЕРІЇ
КОМП’ЮТЕРНІ ЧИСЛЕННЯ
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ І МЕТОДИ ЙОГО ОБЧИСЛЕННЯ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до самостійної роботи
студентів напряму
121 – «Інженерія програмного забезпечення»
123 – «Комп’ютерна інженерія»
Обговорено і рекомендовано
на засіданні кафедри ІТтаПІ
Протокол №2
від 14.10.20
Чернігів НУ «Чернігівська політехніка» 2020
Комп’ютерні числення. Методичні вказівки до самостійної роботи
студентів
напряму 121 – «Інженерія програмного забезпечення», 123 – «Комп’ютерна
інженерія» / Укл. О.В. Трунова, А.Г. Гребенник – Чернігів: НУ «Чернігівська
політехніка», 2020. – 23 с., укр. мовою.
Укладачі: Войцеховська Марія Михайлівна, асистент кафедри інформаційних
технологій та програмної інженерії Білоус Ірина Володимирівна, к.т.н., доцент
кафедри інформаційних технологій та програмної інженерії Задорожній Артем
Олександрович, к.т.н., доцент кафедри інформаційних технологій та програмної
інженерії Дорош Марія Сергіївна, д.т.н., професор кафедри інформаційних
технологій та програмної інженерії
Відповідальний за випуск: Литвинов Віталій Васильович, завідувач кафедри
інформаційних технологій та програмної інженерії, доктор технічних наук,
професор
Рецензент: Зайцев Сергій Васильович, професор кафедри інформаційних та
комп’ютерних систем, д.т.н., професор
1. Первісна і невизначений інтеграл
У багатьох питаннях науки й техніки виникає необхідність відновлювати функцію по її
відомій похідній.
Будемо говорити, що функція F (x) в інтервалі (a, b) називається первісною функцією для
функції f (x) , якщо
 x  ( a, b) :
F ' ( x)  f ( x) .
(1.1)
Нехай F (x) — первісна для f (x) , тоді будь-яка ( x)  F ( x)  c , де c  const , також буде
первісною для f (x) . Дійсно,
' ( x)  F ( x)  c'  F ' ( x)  c'  f ( x) .
Таким чином, якщо функція має первісну, то вона має безліч первісних, до того ж всі ці первісні
відрізняються лише на сталу.
Основна теорема інтегрального числення. Нехай функція f (x) визначена і неперервна на
(a, b) . Тоді f (x ) має первісну на цьому інтервалі.
Скрізь далі довільну сталу будемо позначати c .
Множина усіх первісних для функції f (x) називається невизначеним інтегралом для
f (x ) і позначається
 f ( x)dx :
 f ( x)dx  F ( x)  c ,
де F (x) — одна з первісних функції f (x) , c  const .
2. Властивості невизначеного інтеграла
Нехай функції f (x) , f1 ( x) , f 2 ( x) визначені на (a, b) , а F (x) , F1 ( x) , F2 ( x) — їх
відповідні первісні на (a, b) . Через df ( x), dF ( x) будемо позначати диференціали відповідних
функцій. Тоді
1.
 dF ( x)  f ( x)dx  F ( x)  c ;
2. d  f ( x) d F ( x)  c   dF ( x)  f ( x)dx ;
3.
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx ,
4.
  f ( x)  f
1
2
де k  const , k  R ;
( x) dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx  F1 ( x)  F2 ( x)  c .
Таблиця основних невизначених інтегралів (ТОНІ)
1.
 0 dx  c ;
2.  dx  x  c ;
3.

 x dx 
5.
e
x  1
 c , де   const ,   1 ;
 1
1
 x dx  ln x  c, x  0 ;
ax
6.  a dx 
 c,
ln a
dx  e  c ;
x
4.
x
x
a  0, a  1 ;
7.
 cos x dx  sin x  c ;
8.  sin x dx   cos x  c ;
9. 
dx
 tgx  c ;
cos 2 x
10. 
dx
 ctgx  c ;
sin 2 x
11.
1 x
12. 
dx
1
x
 arctg  c , a  const , a  0 ;
2
a
a
a x
13.

15.

16.

17.
x
2
18.
x
2
dx
2
 arctgx  c  arcctgx  c ;
dx
1 x2
dx
x 1
2
 arcsin x  c   arccos x  c ;
x a
dx
a2  x2
 arcsin
x
 c , a  const , a  0 ;
a
 ln x  x 2  1  c ;
dx
2
14. 
2
2
 ln x  x 2  a 2  c , a  const , a  0 — довгий логарифм;
dx
1 x 1
 ln
c;
1 2 x 1
dx
1
xa

ln
 c — високий логарифм.
2
2a x  a
a
При обчисленні невизначеного інтеграла легко перевіряється правильність отриманого
результату за допомогою формули (1.1): похідна від знайденої первісної F (x) повинна
співпадати з поданою функцією f (x) .
Перевіримо, наприклад, правильність формули 18 в ТОНІ. Для цього знайдемо похідну від
1
правої частини і порівняємо її з підінтегральною функцією f ( x)  2
:
x  a2
'
 1 xa 
1  x  a  ( x  a)  ( x  a)
2a ( x  a )
1
 ln 

 2
 f ( x) .
  c  


2
2
x  a2
x  a 
2 a ( x  a ) x  a 
 2a  x  a   2a  x  a 
При користуванні ТОНІ треба бути уважними при використанні формул 12, 14, 16, 18, де
dx
присутній параметр a . Наприклад, інтеграл 
має вигляд 12 в ТОНІ, а стала 3
3  x2
розглядається як a 2 , тому a  3 , а
dx
 3 x
2

dx
 3
2
x

2
1
3
arctg
x
3
c.
3. Найпростіші правила інтегрування
1.За властивістю 3 невизначеного інтеграла отримуємо перше правило інтегрування:
постійний множник можна виносити з-під знака інтеграла.
2. З властивостей 3,4 невизначеного інтеграла витікає друге правило: невизначений
інтеграл від суми (різниці) функцій f1 ( x) , f 2 ( x) дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих
функцій (тут припускається, що первісні для функцій f1 ( x) , f 2 ( x) існують).
3. Не існує загального правила обчислення інтеграла від складної функції. Винятком є
лише випадок, коли складна функція h(x) містить лише два рівні вкладеності, до того ж
внутрішня функція є лінійною, тобто
h( x)  f (ax  b) ,
де f (t ) — зовнішня, а t  ax  b — внутрішня функції. Тоді
1
 f (ax  b) dx  a F (ax  b)  c ,
 f (t ) dt  F (t )  c .
де
Дійсно:
'
1
1
1
 1
'
 F (ax  b)  c   F (ax  b)   c'  F ' (ax  b)( ax  b)'  f (ax  b)  a  f (ax  b) .
a
a
a
 a
Таким чином, для обчислення первісної у цьому випадку треба:
а) знайти первісну F (t ) для зовнішньої функції f (t ) ;
б) замінити аргумент t в первісній F (t ) на внутрішню лінійну функцію t  ax  b ;
1
в) домножити отриману функцию на , де a — кутовий коефіцієнт внутрішної функції
a
t  ax  b .
Приклад 1.
 6 x
2

 3 x  5 dx .
Підінтегральний вираз є сумою трьох функцій: f1 ( x)  6 x 2 , f 2 ( x)  3x , f 3 ( x)  5 . Кожна
з цих функцій є неперервною скрізь на множині дійсних чисел R , а тому, за основною
теоремою інтегрального числення, має первісну на будь-якому інтервалі з R . Це дає можливість
скористуватися правилами 1 і 2 для обчислення інтегралу:
 6 x
2

правило 2
 3x  5 dx

форм ули 3, 2 ТОНІ


Приклад 2.
7
правило 1
2
 6 x dx   (3x)dx   5dx
6

6 x 2 dx  3 xdx  5 dx 
x3
x2
3
 3  5 x  c  2 x 3  x 2  5 x  c.
3
2
2
x 2 dx .
2
Підінтегральний вираз представимо
Користуючись формулою 3 ТОНІ, отримаємо:

2
 3x
Приклад 3.
5

2
7
x 2 dx   x dx 
x
1
1
вигляді
2
7
2
7
степеневої
функції:
7
x2  x 7 .
9
c 
7 7
x  c.
9
dx .
2
2 5
 3x 5 dx   3 x dx
Приклад 4.
7
в
правило 1
2 5
x dx
3

x  2 3 x 2  4 4 5x 3
63 x
формула 3 ТОНІ

2 x 51
1
1

 c   x 4  c   4  c .
3  5 1
6
6x
dx .
Підінтегральний вираз представляє дріб. Правила інтегрування дробу, на відміну від
диференціювання, не існує. Але якщо розділити почленно чисельник дроба на знаменник,
отримаємо під знаком інтеграла суму степеневих функцій, інтегрування яких не визиває
труднощів.
x  2 3 x 2  4 4 5x 3
63 x

x  2 3 x 2  4 4 5x 3
63 x
1 1

2 1
3 1
1
1
5
1 2  3 1 3  3 2 4 5 4  3 1 6 1 3 2 4 5 12
x
 x

x
 x  x 
x .
6
3
3
6
3
3
 1 1 1 1 2 4 5 125 
x dx
dx =   x 6  x 3 
6
3
3


прав ил а1, 2

1
1
5
2 4 5 12
1 6
1 3
x
dx

x
dx

x dx 
6
3
3 
1
форм ула 3 ТОНІ
1
1
5
1
1
7
4
17

2 4 5 x 12
8 4 5 12
1 x6
1 x3
1
1

 


 с  x6  x3 
x c 
5
6 1
3 1
3
7
4
17
1
1
1
6
3
12

1 6 7 1 3 4 8 12
x 
x 
125 x17  c.
7
4
17
Приклад 5. Проінтегрувати многочлен Pn (x) , де n — степінь многочлена, в загальному вигляді.


2
n 1
n
 Pn ( x)dx   a0  a1 x  a2 x    an1 x  an x dx
 a n 1  x n 1 dx  a n  x n dx
 2 x
Приклад 6.
2
форм ули 2 , 3 ТОНІ

правила1, 2
a0 x  a1

a0  dx  a1  xdx  a 2  x 2 dx   
x2
x3
xn
x n 1
 a2
   a n 1
 an
 c.
2
3
n
n 1

3
 1 dx .
Хоча підінтегральний вираз є складною функцією, яка містить лише два рівні вкладеності,
внутрішня функція 2 x 2  1 не є лінійною, тому ми не можемо користуватися правилом 3.
Скористуємося для підінтегральної функції формулою скороченого множення:


a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 .
Отримаємо:
2x
2
 1  8x 6  12 x 4  6 x 2  1 .
3
Тоді за правилами 1,2 і формулами 2,3 ТОНІ, отримаємо
 2 x
2

 1 dx =  8 x 6  12 x 4  6 x 2  1dx  8 x 6 dx  12 x 4 dx  6 x 2 dx   dx 
3

Приклад 7.
8 7 12 5
x  x  2x3  x  c .
7
5
dx
 2x  7 .
Інтеграл не є табличним. Підінтегральну функцію розглянемо як складну функцію h(x) .
h( x ) 
1
,
2x  7
1
де зовнішня функція f (t )  , а внутрішня — t  2x  7 — лінійна. За правилом 3 спочатку
t
знаходимо первісну F (t ) для зовнішньої функції, користуючись формулою 4 ТОНІ:
F (t )  ln t  c .
Замість t в F (t ) підставляємо 2x  7 :
ln 2 x  7  c .
Оскільки кутовий коефіцієнт в лінійній внутрішній функції t  2x  7 дорівнює 2, треба
1
домножити отриману функцію на :
2
dx
1
 2 x  7  2 ln 2 x  7  c .
Взагалі:
(3.1)
dx
1
 ax  b  a ln ax  b  c, a  0
Приклад 8. Аналогічно прикладу 7, отримуємо, що
dx
 ax  b
Приклад 9.
 sin mxdx,
k

1
ax  b k 1  c, a  0, k  1
a (1  k )
m  0.
Підінтегральна функція є складною дворівневою функцію, для якої зовнішня функція —
f (t )  sin t , а внутрішня — t  mx — є лінійною. Користуємося правилом 3. За допомогою
формули 8 ТОНІ знаходимо первісну зовнішньої функції.
1
 sin mxdx   m cos mx  c
Аналогічно за допомогою формули 7 ТОНІ отримаємо, що:
1
 cos mxdx  m sin mx  c
e


 1 e2x  1
dx .

ex
Розкриємо дужки в чисельнику підінтегральної функції і поділимо чисельник на
знаменних почленно:
Приклад10.
x

e
x


 1 e2x  1
e3x  e 2 x  e x  1
dx

dx   e 2 x  e x  1  e  x dx
x
x

e
e

  e 2 x dx   e x dx   dx   e  x dx


правило 2

правило 3, форм ули 5, 2 ТОНІ

1 2x
e  e x  x  e  x  c.
2
Інтегрування дробу зі складним знаменником часто полегшується розкладанням його на
суму дробів з більш простими знаменниками. Наприклад,
1
1
1  1
1 




.
2
( x  a )( x  a ) 2a  x  a x  a 
x a
2
Користуючись таким розкладанням дуже просто отримати, наприклад, формулу 18 ТОНІ:
dx
1  1
1 
 x 2  a 2   2a  x  a  x  a dx

правила 1, 2

1  dx
dx 



2a  x  a
xa
форм ула ( 3.1)

1
ln x  a  ln x  a   c  1 ln x  a  c.
2a
2a x  a
Для дробу загального виду
1
має місце рівність:
( x  a)( x  b)
1
1 ( x  a )  ( x  b)
1  1
1 





,
( x  a)( x  b) a  b ( x  a)( x  b)
ab xb xa
з якої отримаємо
dx
1
xb
 ( x  a)( x  b)  a  b ln x  a  c.
(3.2)
Формула (3.2) дає простий спосіб для обчислення інтегралів від функцій виду
1
, де b 2  4ac  0 . Для цього треба розкласти знаменник на множники:
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) , де x1 , x2 — це корені рівняння ax 2  bx  c  0 .
Приклад 11.
x
2
dx
.
 5x  6
Оскільки коефіцієнт при x 2 в знаменнику підінтегральної функції дорівнює 1, для рішення
рівняння x 2  5 x  6  0 скористуємося теоремою Вієта: сумма коренів дорівнює 5, а добуток 6.
Корені — 2,3.
форм ула ( 3. 2 )
dx
dx
x3


ln
c.
 x 2  5x  6  ( x  2)( x  3)
x2
 4x
Приклад 12.
 4x
2
2
dx
.
 4x  3
dx
1
dx
1 2x  1
 
 ln
c.
1 
3  8 2x  3
 4x  3 4 
 x   x  
2 
2

4.Метод заміни змінної. В основі метода наступне зауваження: якщо відомо, що
 g (t )dt  G(t )  c ,
 g (w( x)) w' ( x)dx  G(w( x))  c .
то
Всі функції g (t ), w( x), w' ( x) припускаються неперервними.
Нехай потрібно обчислити інтеграл
 f ( x)dx .
У багатьох випадках вдається в якості нової змінної вибрати таку функцію t  w(x) , щоб
підінтегральний вираз можна було представити у вигляді:
f ( x)dx  g ( w( x)) w' ( x)dx ,
де g (t ) — більш зручна для інтегрування функція, ніж f (x) .Тоді достатньо знайти інтеграл
 g (t )dt  G(t )  c ,
щоб з нього підстановкою t  w(x) отримати шуканий інтеграл.
Простіше всього заміна проводиться тоді, коли у поданому виді підінтегрального виразу в
якості множника вже присутня похідна від нової змінної (хоча так буває далеко не завжди).
Наступні 13 прикладів розглядають саме такі випадки.
Приклад 13.
 sin
3
x cos xdx .
Підінтегральний вираз поряд з sin x містить у якості множника cos x  (sin x)' . Це говорить
на користь заміни: t  sin x .
t  sin x

повернення до
t4
3
3
sin
x
cos
xdx


t
dt

c  
dt  cos xdx 

4


старої змінної
 sin 4 x

c.
х 
4
І взагалі для інтегралів виду
dx
 g (sin x) cos xdx ,  g (cos x) sin xdx ,  g (tgx) cos
2
x
,
dx
 g (ctgx) sin
2
x
(3.3)
доцільно використовувати заміни
t  sin x , t  cos x , t  tgx , t  ctgx
відповідно, оскільки в поданих підінтегральних виразах присутні похідні від нових змінних
(можливо, з точністю до знака).
Приклад 14.
sin xdx
.
2
x
 1  cos
Поданий інтеграл є інтегралом вида (3.3) (другий з наведених), підінтегральний вираз має
1
вигляд g (cos x) sin x , де g (cos x) 
, тому робимо заміну змінної:
1  cos 2 x
t  cos x .
t  cos x

sin xdx
 dt


 1  cos 2 x  dt   sin xdx   1  t 2
sin xdx  dt 
Приклад 15.
правило 1


dt
1 t2
форм ула11 ТОНІ

arctgt  c 
повернення до 

  arctg (cos x)  c.
старої змінної х 
 tgxdx .
Шуканий інтеграл не є табличним і, з першого погляду, не має виглял (3.3), але якщо
sin x
пригадати, що tgx 
, то стає очевидним, що підінтегральна функція — це g (cos x) sin x , де
cos x
1
g (cos x) 
, а тому
cos x
 tgxdx  
t  cos x

sin x
 dt
dt
dx  

 

cos x
t
t
dt   sin xdx
форм ула 4 ТОНІ

повернення до
 ln t  c  
старої змінної


х 
  ln cos x  c.
Отже
 tgxdx   ln cos x  c
 ctgxdx  ln sin x  c
Взагалі, якщо шуканий інтеграл має вигляд

f ' ( x)dx
df ( x)
,

f ( x)
f ( x)
так що в підінтегральному виразі чисельник є диференціалом знаменника, заміна t  f (x) зразу
приводе до цілі:


f ' ( x)dx
df ( x) t  f ( x)
dt


   ln t  c  ln f ( x)  c .

f ( x)
f ( x) dt  f ' ( x)dx  df ( x)
t

Приклад 16.
(3.4)
f ' ( x)dx
 ln f ( x)  c
f ( x)
e2x
 e 2 x  1 dx .
Чисельник у шуканому інтегралі з точністю до постійного множника представляє похідну
знаменника:
e 2 x  1 '  2e 2 x ,


тому для обчислення інтегралу скористуємося формулою (3.4):


e2x
1 2e 2 x dx 1 d e 2 x  1
 e 2 x  1 dx  2  e 2 x  1  2  e 2 x  1
Приклад 17.
формула ( 3.4 )



1
ln e 2 x  1  c .
2
dx
 sin x .
Обчислення інтегралу проведемо, користуючись формулою (3.4), спочатку перетворивши
підінтегральну функцію за допомогою тригонометричних перетворень:
1
1

sin x
x
cos 2
1
2


x
x
x
x
2 sin cos
2 sin cos
2
2
2
2
2 x
cos
2
1

2
1
cos 2
tg
x
2
x
2.
Тепер чисельник функції явно представляє собою похідну знаменника, а тому за формулою
(3.4):
 x
d  tg 
dx
x
 2
 sin x   x  ln tg 2  c
tg
2
Приклад 18.
(3.5)
dx
 cos x .
При перетворенні підінтегрального виразу за допомогою тригонометричної
приведення:


cos x  sin   x 
2

формули
та відповідної заміни змінної, приходимо до інтегралу, розглянутого в попередньому прикладі:
dx
 cos x  
 

t   x
dt



2

sin t

 
sin   x  dt  dx 
2

dx
повернення до

старої змінної
форм ул а ( 3. 5 )

ln tg
t
c 
2

 x 
 ln tg     c.

х
 4 2
Отримали формулу, зручну для використання при обчисленні інтегралів:
dx

x
 cos x  ln tg 4  2   c.
(3.6)
dx
 g (ln x)d ln x
x 
(3.7)
Якщо інтеграл має вигляд
 g (ln x)
то він береться за допомогою підстановки
t  ln x
dx
 x ln
Приклад 19.
2
x
.
Інтеграл має вигляд (3.7), де g (ln x) 
t  ln x 
dx
dt
2
 x ln 2 x  dt  dx    t 2   t dt
x

 1  3x 
2 11
Приклад 20.
1
ln 2 x
, тому
форм ула 3 ТОНІ

повернення до
 t 1  c  
старої змінної

1

c.

х
ln x
xdx .


11
Підінтегральний вираз представляє добуток складної функції y  1  3x 2 , для якої
внутрішня функція 1  3 x 2 є квадратичною, і лінійної y  x . Пригадаємо, що при обчисленні
похідної від степеневої функції показник степені зменьшується на 1, тобто похідна від
квадратичної функції буде лінійною: 1  3x 2 '  6 x . Таким чином, в підінтегральному виразі, з
точністю до сталого множника, вже присутня похідна від 1  3 x 2 — x . Не вистачає множника 6.
Введемо його в підінтегральний вираз штучно:
 1  3x 
2 11




xdx   1  3x 2
11

1
1
6  xdx   1  3x 2
6
6

11
6 xdx .
Тепер корисною буде заміна t  1  3x 2 :

1
1  3x 2

6

11
формула 3 ТОНІ
t  1  3x 2 
повернення до
t 12
11
6 xdx  

t
dt

c  
 
12
старої змінної
dt  6 xdx 

 1  3x 2

х 
12

12
c.
Взагалі для інтегралів виду
  x
2



(3.8)
xdx,   1
доцільною є заміна
t   x2  


оскільки множник xdx в підінтегральному виразі відрізняється від dt   x 2   ' dx  2 xdx
лише постійним коефіцієнтом 2 . Таким чином
  x
2




t   x 2   
1
1 t  1
1  x2  

xdx  

 t dt  2    1  c  2    1
dt  2 xdx  2

 1
 c.
Приклад 21.
x 2 dx
 cos 2 x 3 .
Для того, щоб спростити підінтегральний вираз, зауважимо, що при диференціюванні
аргументу функції cos x 3 отримаємо: x 3 '  3x 2 , що відрізняється лише постійним множником
від чисельника. Це робить корисною для спрощення підінтегральної функції заміну: t  x 3 .
 
3
 1
x 2 dx
1 3x 2 dx t  x
dt



 cos 2 x 3 3  cos 2 x 3 dt  3x 2 dx  3  cos 2 t


Приклад 22.
xdx
1 x
4
форм ула 9 ТОНІ

1
1
tgt  c  tgx 3  c .
3
3
.
Для інтегрування треба спростити підінтегральний вираз. Наявність множника xdx у
чисельнику наштовхує на думку про доцільність заміни виду: t   x 2   . Для шуканого
інтегралу у якості квадратичної функції для заміни змінної має сенс розглянути t  x 2 . Дійсно
t  x 2
 1
xdx
1
2 xdx
dt


 1  x 4 2  1  x 2 2 dt  2 xdx  2  1  t 2
 
Приклад 23.
формула 11 ТОНІ

 
1
1
arctgt  c  arctg x 2  c .
2
2
4 x 4 dx
 3  9x5 .
Порівнюючи показники степені при x у чисельнику і знаменнику підінтегральної функції,
для спрощення виразу приходимо до доцільності заміни: t  3  9 x 5 .
5

4 x 4 dx
4 45 x 4 dx t  3  9 x
4 dt



 3  9 x 5 45  3  9 x 5 dt  45x 4 dx   45  t


Приклад 24.

форм ула 4 ТОНІ


4
4
ln t  c  
ln 3  9 x 5  c .
45
45
x
e
x

dx .
e
t  x


  2 e t dt  2e t  c  2e
dx  2
dx  
1


dt

dx
x
2 x


2 x 
x
e
x
x
 c.
Цей самий інтеграл можна було обчислити, роблячи іншу заміну, яка приводе до більшого
спрощення підінтегральної функції:

e
t  e x



dx  2
dx  
  2 dt  2t  c  2e
e x
x
2 x
dt

dx


2 x 

x
e
x
x
c.
Приклад 25.
a
2
dx
.
sin x  b 2 cos 2 x
2
Для обчислення інтегралів такого типу пропонується спочатку поділити чисельник і знаменник
dx
підінтегрального дробу на cos 2 x . Це приведе інтеграл до виду (3.3) (  g (tgx)
):
cos 2 x
dx
dx
cos 2 x .

 a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  a 2 tg 2 x  b 2
1
. Робимо запропоновану вище для такого інтеграла заміну:
a tg x  b 2
Тут g (tgx) 
2
2
dx
t  tgx
cos 2 x  
 a 2 tg 2 x  b 2 dt  dx
cos 2


dt
1
dt

 2
2 2
2
2


a t b
a
b
t2   
x 
a
1
 atgx 

arctg 
  c.
ab
 b 
форм ула 12 ТОНІ

1
at
arctg  c 
ab
b
Далеко не завжди у поданому виді підінтегрального виразу у якості множника вже є
присутньою похідна від нової змінної. У цьому випадку корисна заміна видна не так добре. При
проведенні підстановки треба добре пам'ятати, що після заміни в підінтегральному виразі
скрізь повинна залишитися тільки нова змінна.
Приклад26 .

x 2 dx
1 x2
.
Дуже часто, коли підінтегральний вираз містить радікал
a2  x2 ,
доцільною є заміна
x  a sin t ,
завдяки чому
a 2  x 2  a 2  a 2 sin 2 t  a cos t .

 x  sin t 
sin 2 t cos tdt
sin 2 t cos tdt
1



  sin 2 tdt   1  cos 2t dt



cos t
2
1  x 2 dx  cos tdt 
1  sin 2 t
x 2 dx
правило 2 ,1

формула 2 ТОНІ для першого інтеграла,
правило3 для другого інтеграла
1
1
  dt   cos 2tdt

2
2
 x  sin t  t  arcsin x
Приклад 27 .

1
1
1
1
t  sin 2t  c  t  sin 2t  c 
2
4
2
4
поверненнядо зм інної х

1
1
arcsin x  sin 2 arcsin x   c.
2
4
x2  a2
dx .
x
Якщо інтеграл містить радікал
x2  a2 ,
доцільно зробити заміну змінної
x  a sec t 
a
.
cos t
Тоді
x 2  a 2  atgt .

a


x



x a
atgta sin t cos tdt
dt
 1

cos t
dx  
 a  tg 2 tdt  a  
 1dt  a 
 a  dt 

2
2
x
a cos t
cos 2 t
 cos t 
dx  a sin t dt 

cos 2 t 
2
2
a
a
a
a


 atgt  at  c   x 
 t  arccos   atg arccos   a arccos  c.
cos t
x
x
x


Приклад 28 .

x2 1
dx .
x2
Якщо інтеграл містить радікал
x2  a2 ,
доцільно зробити заміну змінної
x  atgt .
Тоді
x 2  a 2  a sec t 
a
.
cos t

 x  atgt

x2 1
a 2 dt
dt
sin 2 t  cos 2 t dt


dx




a
dx 
dt   cos t  a 2 tg 2 t cos 2 t  cos t  sin 2 t  cos t  sin 2 t
x2
2

cos t 


поділимо почленно

dt
cos tdt



 I1  I 2 .

cos t
sin 2 t
чисельник на знаменник 
I1  
I2  
dt
cos t
формула ( 3. 6 )

 t 
ln tg    c ;
 4 2

cos tdt u  sin t
du
1
1

  2   u 2 du    c  
c.

2
u
sin t
sin t du  cos tdt 
u
Тоді

1
x
x2 1

 t 
 c   x  atgt  t  arctg  
dx  ln tg   
2
a
x

 4 2  sin t
x
1
 1
 ln tg   arctg  
 c.
x
a
4 2
sin arctg
a
Приклад 29 .


e x  1dx .
t  e x  x  ln t 
t  1  u 2  t  u 2  1
t 1
u 2 du

e x  1dx  
dt


2



2

dx  dt
  t
u

1
dt

2
udu


t


 2
u



1 1
du
u 1
du 2  du  2 2
2u  ln
 c  t 1  u2  u  t 1 
2
u

1
u 1
u 1
2
 2 t  1  ln
t 1 1
t 1 1
 c  2 e x  1  ln
ex 1 1
e 1 1
x
 c.
5.Интегрування за частинами. Нехай функції u ( x), v( x) визначені і диференційовані на
(a, b) , u ' ( x), v' ( x) — неперервні на (a, b) , і функція u ' ( x) v( x ) має первісну на цьому інтервалі.
Тоді функція u ( x) v' ( x) також має первісну на (a, b) і виконується рівність:
 u ( x) v' ( x)dx  u ( x)v( x)   u ' ( x)v( x)dx ,
(3.9)
чи, враховуючи, що v' ( x)dx  dv( x) , а u ' ( x)dx  du ( x) , формулу (3.9) можна записати в
еквівалентному вигляді:
 u ( x)dv( x)  u ( x)v( x)   v( x)du ( x) .
(3.10)
Формули (3.9), (3.10) називаються формулами інтегрування за частинами.
Метод інтегрування за частинами часто використовується у випадках, коли
підінтегральний вираз у якості множників одночасно містить: степеневу ( x  ) і тригонометричну
( sin x, cos x і т.д.) функції; степеневу і зворотну тригонометричну ( arcsin x, arccos x і т.д.);
показникову ( a x ) і тригонометричну; логарифмічну і тригонометричну (чи зворотну
тригонометричну) і т.д.
Приклад 30.
 x cos xdx .
Підінтегральний вираз містить три множники: x, cos x, dx . Як розбити цей вираз на частки
u (x) і dv(x ) , які фігурують у правій частині (3.10)? Ясно, що множник dx може опинитися
лише в dv(x) , а для двох інших множників можливі варіанти: u ( x)  x , тоді dv( x)  cos xdx , чи
u ( x)  cos x , тоді dv( x)  xdx . Розглянемо обидва варіанти.
dv( x)  cos xdx
u ( x)  x
x
cos
xdx



du ( x)  dx v( x)   cos xdx  sin


x

формула ( 3.10)

x sin x   sin xdx .
(3.11)
Треба відмітити, що при відновленні функції v (x ) за допомогою операції v( x)   dv( x) ,
достатньо взяти лише одну первісну. В нашому прикладі ми обираємо v (x ) в конкретному
вигляді: v( x)  sin x , а не в загальнім виді: v( x)  sin x  c . Довільна стала при обчисленні
невизначеного інтегралу враховується в остаточному його виразі.
Зроблена розбивка підінтегрального виразу на частки привела до значного його спрощення
— табличного інтегралу в правій частині (3.11). Таким чином:
 x cos xdx  x sin x  cos x  c .
(3.12)
Подивимось, як вплине на складність обчислень інший варіант розбивки, згаданий вище:
dv( x)  xdx
u ( x)  cos x


 x cos xdx  du ( x)   sin dx v( x)  xdx  x 2 

2 

форм ула ( 3.10)


x2
x2
sin x   sin xdx
2
2
(3.13)
Формула інтегрування за частинами використовується взагалі з метою спрощення
підінтегрального виразу, але, як видно з правої частини (3.13), в даному випадку ми не
спростили, а ускладнили інтеграл. Зрозуміло, що з двох можливих варіантів розбивки треба
обирати перший.
Таким чином, при використанні для обчислення невизначеного інтегралу  f ( x)dx формули
інтегрування за частинами, треба враховувати, що та частина підінтегрального виразу, яка
увійде в множник u (x) в лівій частині (3.10), під час інтегрування диференціюється, а та
частина, що входе до dv(x) , інтегрується. Отож, треба розділити підінтегральний вираз
поданого інтеграла на частки так, щоб виконання згаданих операцій привели до його спрощення
в правій частині (3.10), а не до ускладнення.
Правило інтегрування за частинами має більш обмежену область застосування, ніж заміна
змінної. Але є цілі класи інтегралів, наприклад,
x
k
cos bxdx,
 P ( x )e
n
ax
x
dx,
k
sin bxdx,
x
k
ln m xdx,
x
k
e ax dx,
 P ( x) cos bxdx,  P ( x) sin bxdx,
n
n
де Pn (x) — многочлен степені n , які обчислюються саме за допомогою інтегрування за
частинами, але можливо, що цією формулою треба буде скористуватися декілька разів.
Приклад 31.
x
2
sin 3 xdx .
Для розбивки підінтегрального виразу на корисні частки пригадаємо, що для функції sin 3x
похідна і первісна будуть відрізнятися лише постійними множниками, тому, з точки зору
простоти і результатів проміжкових обчислень, не має значення, де опиниться sin 3x : в u (x) чи в
dv(x ) . Але для степеневої функції x 2 інтегрування приведе до зростання показника степені, на
відміну від диференціювання, тому недоцільним буде розмістити x 2 в dv(x) . Таким чином,
u ( x)  x 2
2
 x sin 3xdx  du ( x)  2 xdx

dv( x)  sin 3xdx 
   1 x 2 cos 3x  2 x cos 3xdx .
1
3
3
v( x)   cos 3x 
3

(3.14)
Інтеграл в правій частині (3.14) не є табличним, але він простіший за поданий інтеграл:
показник степеня при x в підінтегральному виразі зменшився на 1. Для отриманого інтеграла
ще раз скористуємося формулою інтегрування за частинами:
u ( x)  x dv( x)  cos 3xdx
2
  2  1 x sin 3x  1 sin 3xdx   2 x sin 3x  2 cos 3x  c
x cos 3xdx  
1

du ( x)  dx v( x)  sin 3x  3  3
3
3
27
 9
3


Нарешті,
x
Приклад 32.
x
2
2
1
2
2
sin 3xdx   x 2 cos 3x  x sin 3x 
cos 3x  c .
3
9
27
ln 2 xdx .
На перший погляд здається, що функція x 2 повинна опинитися в частині u (x) , щоб при
диференціюванні зменшився на 1 показник степені. Але в такому випадку: dv( x)  ln 2 xdx , і для
відновлення v (x ) треба буде обчислити v( x)   ln 2 xdx , який сам по собі є достатньо складним.
Тому спробуємо інший спосіб розбивки:
u ( x)  ln 2 x
dv( x)  x 2 dx 
2 2
2
2

 1 3 2
 x ln xdx  du( x)  2 ln x dx v( x)  x 3   3 x ln x  3  x ln xdx 


x
3
u ( x)  ln x

du ( x)  dx

x

dv( x)  x 2 dx 
  1 x 3 ln 2 x  2  1 x 3 ln x  1 x 2 dx  


x3
 3
33
3

v( x) 

3
1 3 2
2
2 3
x ln x  x 3 ln x 
x  c.
3
9
27
Двократне застосування формули інтегрування за частинами привело нас до табличного
інтегралу  x 2 dx .
Для обчислення інтегралів виду
 P ( x )e
n
ax
dx,  Pn ( x) cos bxdx,  Pn ( x) sin bxdx ,
де Pn (x) — многочлен степені n , формулою інтегрування за частинами треба скористуватися
послідовно n разів. Розбиваючи підінтегральний вираз на частки u (x) і dv(x) в черговому
інтегралі, в u (x) розміщуємо послідовно Pn (x) , Pn ' ( x) , Pn ' ' ( x) ,..., Pn( n 1) ( x) .
Приклад 33.  e ax cos bxdx .
Для функцій e ax , cos bx похідна відрізняється від первісної лише постійним множником,
тому не має значення в яку частину, u (x) чи dv(x) , віднести кожну з цих функцій. Розглянемо
один з можливих способів:
u ( x)  e ax
dv( x)  cos bxdx
1 ax
a ax
ax

 e cos bxdx  du ( x)  ae ax dx v( x)  1 sin bx   b e sin bx  b  e sin bxdx .
b


(3.15)
Отриманий в правій частині (3.15) інтеграл за змістом ніяк не відрізняється від поданого.
Застосуємо до нього формулу інтегрування за частинами:
u ( x)  e ax
dv( x)  sin bxdx 
1 ax
a ax
ax

 e sin bxdx  du( x)  ae ax dx v( x)   1 cos bx   b e cos bx  b  e cos bxdx
b


(3.16)
Як видно з правої частини (3.16), ми знову повернулися до поданого інтеграла:
ax
 e cos bxdx 
1 ax
a
a2
e sin bx  2 e ax cos bx  2  e ax cos bxdx .
b
b
b
(3.17)
Формула (3.17) дає нам лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла, з якого отримаємо:
ax
 e cos bxdx 
1
a
a 2 ax
e cos bxdx  e ax sin bx  2 e ax cos bx ,
2 
b
b
b
 a 2  ax
e ax
1  2  e cos bxdx  2 b sin bx  a cos bx 
b
 b 
ax
 e cos bxdx 
e ax
b sin bx  a cos bx   c
a2  b2
(3.18)
e ax
a sin bx  b cos bx   c
a2  b2
(3.19)
Аналогічно отримуємо, що
ax
 e sin bxdx 
Приклад 34. I n  
x
dx
2
 a2

n
, n  1,2,3,...
Виведемо рекурентну формулу для обчислення інтегралів I n за допомогою методу
інтегрування за частинами:
In  
x
dx
2
 a2

n

1

 x2  a2
u ( x)  2
2 n
x a


2nxdx
du ( x)   2
n 1
x  a2






dv( x)  dx 
x

2
2

v( x)  x  x  a

n



n
 2n 
x
x 2 dx
2
 a2
Останній інтеграл можна перетворити наступним чином:
 x
x 2 dx
2
a

2 n 1

x  a   a
x  a 
2
2
2
2
2 n 1
dx 
x
1
2
a

2 n
dx  a 2 
x
1
2
a

2 n 1
dx  I n  a 2 I n1 .
Підставляючи цей вираз в попередню рівність, отримаємо співвідношення:
In 
x
x
2
a

2 n
 2nI n  2na 2 I n 1 .

n 1
.
Розвязуючи останню рівність відносно I n 1 , отримаємо:
I n 1 
1
x

2
2
2na
x  a2


n

2n  1 1

In
2n a 2
(3.20)
Формула (3.20) є рекурентною формулою для обчислення інтегралів виду I n . Вона зводить
dx
обчислення I n 1 до обчислення інтегралу I n з попереднім номером. Так I 1   2
— це
x  a2
табличний інтеграл (беремо одне з значень первісних):
I1 
1
x
arctg .
a
a
(3.21)
Користуючись (3.21), обчислимо I 2 за допомогою (3.20): I n 1  I 2 , n  1  2, n  1 .
I2 
1
x
1
1
x
1
x
 2
 2 I1  2  2
 3 arctg .
2
2
2
a
2a
x a
2a
2a
x a
2a




Для I 3 — n  2 :
I3 
1
x

2
4a
x2  a2


1
x

2
2
4a
x  a2

2


3 1
1
x
 2 I2  2 
4 a
4a
x2  a2
2


3
x
3
x
 2
 5  arctg ,
4
2
a
8a x  a
8a


2

3 1

4 a2
 1
x
1
x
 2  2
 3 arctg  =
2
a
x a
2a
 2a


і т.д. Таким чином можна обчислити інтеграл I n для будь-якого натурального показника n .
Приклад 35.  ln xdx .
Для підінтегрального виразу є лише один спосіб розбиття його на частки u (x) і dv(x) :
u ( x)  ln x dv( x)  dx 
 ln xdx  du ( x)  dx v( x)  x   x ln x   dx  x ln x  x  c .
x


Часто при обчисленні інтегралу треба користуватися декількома методами, наприклад,
методом інтегрування за частинами і методом заміни змінної. Наступні приклади ілюструють
такі варіанти.
Приклад 36.  arctgxdx .
Застосуємо до цього інтегралу формулу інтегрування за частинами, маючи для
підінтегрального виразу лише один можливий спосіб розбиття на частки u (x) і dv(x) :
u ( x)  arctgx dv( x)  dx 
x
 arctgxdx  du ( x)  dx v( x)  x   xarctgx   1  x 2 dx .


1 x2
Для обчислення інтегралу в правій частині останньої рівності скористуємося методом заміни
змінної:
t  1  x 2  1 dt 1
x
1 2x
1
2
 1  x 2 dx  2  1  x 2 dx  dt  2 xdx  2  t  2 ln t  c  2 ln 1  x  c .


Остаточно отримуємо:
1
 arctgxdx  xarctgx  2 ln 1  x   c .
2
Приклад 37.  arcsin xdx .
u ( x)  arcsin x

 arcsin xdx  du( x)  dx

1 x2
dv( x)  dx 
t  1  x 2 
x
  x arcsin x 
dx



 1 x2
v( x)  x 
dt  2 xdx


1
1
1 dt
1 
 x arcsin x  
 x arcsin x   t 2 dt  x arcsin x  t 2  c  x arcsin x  1  x 2  c.
2
2
t
4. Інтегрування раціональних функцій
Раціональною будемо називати функцію, яка представляється у вигляді:
R( x) 
Pn ( x)
,
Qm ( x)
де Pn ( x), Qm ( x) — многочлени степені n, m відповідно.
Раціональна функція називається правильною (неправильною), якщо n  m ( n  m ). Кожну
раціональну функцію (раціональний дріб) можна представити в вигляді суми многочлена і
правильної раціональної функції. Для цього в неправильному раціональному дробі треба
поділити чисельник на знаменник.
Наприклад, розглянемо раціональну функцію
R( x) 
3x 5  2 x 3  4
.
x2  x 1
Ця функція є неправильним раціональним дробом, бо в чисельнику знаходиться многочлен
більшої (5-ої) степені, ніж в знаменнику (2-ої степені). Поділимо многочлен чисельника на
многочлен знаменника в стовпчик:
Ділення закінчується, коли степінь многочлена в залишку буде меньшою за степінь дільника.
Таким чином, для розв’язання питання інтегрування раціональних функцій достатньо
детально розглянути інтегрування лише правильних раціональних функцій, бо інтегрування
многочленів не викликає труднощів.
Введемо чотири типи найпростіших раціональних функцій:
І.
A
,
xa
ІІ.
A
x  a 
k
, k  2,3,... ,
ІІІ.
Mx  N
,
x  px  q
2
ІV.
x
Mx  N
2
 px  q

m
, m  2,3,...
де A, M , N , a, p, q — дійсні числа, а многочлен x 2  px  q не має дійсних коренів, тобто
p2
 q  0 . Кожна з цих функцій є інтегрованою:
4
A
І.
 x  a dx  A ln x  a  c ;
ІІ.
 x  a 
ІІІ.
x
A
k
dx  
A
1

c;
k  1 ( x  a) k 1
Mx  N
M
2 N  Mp
2x  p
dx 
ln( x 2  px  q) 
arctg
c;
2
 px  q
4q  p 2
4q  p 2
2
(4.1)
(4.2)
(4.3)
ІV.
 x
Mx  N
2
 px  q

m
p

t  x  M

dx 
2 

 2
dt  dx 
 t
2tdt
2
a

2 m
Mp 
dt

N 
 2
2  t  a2



m
—
(4.4)
першій з інтегралів в правій частині легко обчислюється:
 t
2tdt
2
 a2

m
u  t 2  a 2 
du
1
1
1
1

 m1  c  

 m 
m 1 u
m 1 t 2  a2
u
du  2tdt 


m 1
c.
Другий інтеграл в правій частині при будь-якому m може бути обчислений по рекурентній
формулі (3.20). Таким чином функції ІV-го типу також є інтегрованими.
Розкладання правильних раціональних функцій на найпростіші
P ( x)
Кожен правильний раціональний дріб n
, n  m , може бути представлений у вигляді
Qm ( x)
суми скінченної кількості найпростішіх раціональних функцій, а тому має первісну.
Це розкладання правильного дробу на прості дроби пов’язане з розкладанням знаменника
Qm (x) на прості множники. Як відомо з алгебри, кожен многочлен з дійсними коефіцієнтами
розкладається на дійсні множники типа x  a, x 2  px  q , при цьому припускається, що
квадратичні множники не мають дійсних коренів, а тому не розкладаються на дійсні лінійні
множники.Об’єднуючи однакові множники, якщо такі є, і припускаючи для спрощення старший
коефіцієнт Qm (x) рівним одиниці, можна схематично записати розкладання цього многочлена у
вигляді:


Qm ( x)  x  a   x 2  px  q  ,
k
l
де k ,..., l ,... — натуральні числа.
Якщо при розкладанні на множники знаменника дробу
Qm (x) лише в першій степені, то йому при розкладанні
Pn ( x)
множник x  a входе до
Qm ( x )
Pn ( x)
на найпростіші буде відповідати
Qm ( x )
один дріб —
A
.
xa
Якщо серед множників Qm (x) присутній  x  a  , k  1 , то при розкладанні
k
буде відповідати сума k найпростіших дробів:
Ak
A1
A2
,

 ... 
2
x  a x  a 
x  a k
де A, A1 , A2 , ..., Ak — дійсні сталі.
Pn ( x)
йому
Qm ( x )
Квадратичному множнику x 2  px  q в розкладанні Qm (x) поставимо в відповідність при
розкладанні
Pn ( x)
на найпростіші один дріб вида ІІІ
Qm ( x )
Mx  N
,
2
x  px  q
якщо x 2  px  q входе до Qm (x) в першій степені, і суму з l найпростіших дробів
M 1 x  N1
M 2 x  N2

2
x  px  q x 2  px  q


2
 ... 
x
M l x  Nl
2
 px  q

l
,
якщо цей множник входе з показником l  1 . Тут M , M i , N , N i , i  1, l , — дійсні сталі.
Приклад 38. Розкласти на суму найпростіших раціональних функцій дріб
x
2 x 2  3x  5
2

 1 x  2 x  3
3
2
3
.


Знаменник дробу вже розкладений на прості множники: x 2  1 , x  2 , x  3 . Множнику
x
3
2
3
 1 буде відповідати сума з 3-х найпростіших дробів, оскільки показник степені при x 2  1
дорівнює 3:
M 1 x  N1 M 2 x  N 2 M 3 x  N 3


,
x2 1
x 2  12 x 2  13
2
3
множнику  x  2  — сума з 2-х найпростіших дробів, бо показник степені при x  2 дорівнює 2:
2
A1
A2
,

x  2 x  22
множнику  x  3 — сума з 3-х найпростіших дробів, оскільки показник степені при x  3
дорівнює 3:
B3
B1
B2
.


2
x  3 x  3
x  33
Таким чином:
3
M 1 x  N1 M 2 x  N 2 M 3 x  N 3
A
A2


 1 

2
2
3
3
2
3
2
2
2
x 1
x  2 x  22
x 1
x 1
x  1 x  2 x  3
B3
B
B2
,
 1 

2
x  3 x  3
x  33

2 x 2  3x  5






де M 1 , N1 , M 2 , N 2 , M 3 , N 3 , A1 , A2 , B1 , B2 , B3 — дійсні коефіцієнти, які доки що є невідомими.
Для визначення невідомих коефіцієнтів треба:
1. Привести всі отримані найпростіші раціональні функції до спільного знаменника,
скласти їх;
2. Прирівняти чисельники, які є многочленами, отриманого після складання найпростіших
функцій дробу і поданого раціонального дробу. Два многочлени є рівними, коли
співпадають коефіцієнти при однакових степенях x ;
3. Прирівняти коефіцієнти при однакових степенях x многочленів в чисельниках.
Результатом буде система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих
коефіцієнтів розкладання поданої раціональної функції на суму найпростіших;
4. Розв’язати отриману систему.
Розкладання правильної раціональної функції на суму найпростіших дає можливість для її
інтегрування за допомогою формул (4.1) — (4.4).
Для інтегрування довільної раціональної функції треба:
1. З’ясувати, якою є подана раціональна функція. Якщо степінь многочлена чисельника
менша за степінь многочлена знаменника, то дріб правильний, переходимо на крок 3.
Якщо степінь многочлена чисельника більша чи дорівнює степені многочлена
знаменника, то дріб неправильний, переходимо на крок 2.
2. Поділити чисельник на знаменник. В результаті отримаємо многочлен і правильний
раціональний дріб. Для інтегрування многочлена користуємося формулами 2,3 ТОНІ і
правилами 1,2. Для інтегрування правильного раціонального дробу переходимо на крок
3.
3. Розкласти правильний дріб на найпростіші дроби. Визначити невідомі коефіцієнти
найпростіших дробив за попереднім правилом. Перейти на крок 4.
4. Проінтегрувати найпростіші дроби за допомогою формул (4.1) — (4.4).
Приклад 39.
2 x 2  2 x  13
 x
dx .
2
 1 x  2
Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом: степінь многочлена
чисельника дорівнює 2, а знаменника — 5. Для інтегрування спочатку розкладемо
підінтегральну функцію на суму найпростіших дробив. Знаменник містить прості множники
x
2



 1 , x  2 . Множнику x 2  1
дорівнює 2):
2
2
2
відповідає сума 2-х доданків (показник степені при x 2  1
Bx  C Dx  E
,

2
x2 1
x2 1

а множнику x  2 — один дріб

A
.
x2
Таким чином
2 x 2  2 x  13
x
2
 1 x  2
2

A
Bx  C Dx  E


.
2
2
2
x2
x 1
x 1


(4.5)
Знайдемо невідомі коефіцієнти A, B, C , D, E . Для цього приведемо всі дроби в правій частині до
спільного знаменника:
Bx  C x 2  1x  2  Dx  E x  2  Ax 2  1 ,
A
Bx  C Dx  E



2
x2
x2 1
x 2  12 x  2
x 2  12 x  2 x 2  12 x  2
x2 1
2


тоді рівність (4.5) буде мати вигляд:
2

Bx  C x 2  1 x  2  Dx  E x  2  Ax 2  1
.

x 2  12 x  2
x 2  12 x  2
2 x 2  2 x  13
З рівності чисельників




2 x 2  2 x  13  Bx  C  x 2  1 x  2  Dx  E x  2  A x 2  1
2
витікає рівність коефіцієнтів многочленів при однакових степенях x :
Звідки
A  1, B  1, C  2, D  3, E  4 .
Таким чином:
2 x 2  2 x  13
x
2
 1 x  2
2

1
x2
3x  4
.


2
2
2
x2
x 1 x 1

(4.6)

Користуючись формулою (4.6), проинтегруємо подану раціональну функцію:
2 x 2  2 x  13
 x
2
dx   
 1 x  2
2
x2
3x  4
dx  
dx 
2
2
x 1
x2 1


1
 x  2dx .
За допомогою (4.1) — (4.4) отримаємо:
1 3  4 x 1 x  2
dx   2
 ln 2
 4arctgx  c .
2
2
2 x 1 2
x 1
x  1 x  2
2 x 2  2 x  13


2
Приклад 40.
3x 4  x  1
 x 2  3x  2dx .
Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом: степінь многочлена
чисельника дорівнює 4, а знаменника — 2, тому спочатку поділимо чисельник на знаменник.
Таким чином,
3x 4  x  1
46 x  41
.
 3x 2  9 x  21  2
2
x  3x  2
x  3x  2
Розкладемо отриманий правильний раціональний дріб на найпростіші дроби:
46 x  41
46 x  41
A
B
.



2
x  3x  2 x  1x  2 x  1 x  2
Знайдемо невідомі коефіцієнти отриманого розкладання. Для цього:
46 x  41
A
B
A( x  2)
B( x  1)
Ax  2 A  Bx  B
.





2
x  1x  2
x  3x  2 x  1 x  2 x  1x  2 x  1x  2
Оскільки дроби з однаковими знаменниками рівні, то рівні і їх чисельники:
46 x  41  Ax  2 A  Bx  B  x( A  B)  (2 A  B) .
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x :
Розв’язуючи отриману систему, маємо: A  5, B  51 . Таким чином:
Тоді
3x 4  x  1
5
51
 3x 2  9 x  21 

.
2
x 1 x  2
x  3x  2
3x 4  x  1
5
51
x3
x2
2
dx

3
x
dx

9
x
dx

21
dx

dx

dx

3


9

 21x  5 ln x  1 
 x 2  3x  2 


 x 1  x  2
3
2
 51ln x  2  c  x 3 
9 2
x  21x  5 ln x  1  51ln x  2  c.
2
5. Інтеграли, які містять квадратний трьохчлен
Розглянемо детально обчислення інтегралів, які містять у складі підінтегральної функції
квадратний трьохчлен ax 2  bx  c, a  0 .
 ax
Вид 1.
2
n
dx, a, b, c, n  const , a  0 .
 bx  c
(5.1)
Спочатку виділимо в чисельнику повний квадрат:
2
2
2
 2

c
b
c 
b  b 2  4ac 
 2 b
 b   b 


.
ax  bx  c  a x  x    a x  2
x    
 a x   


a
a
2a
a 
2a 
4a 2 

 2a   2 a 


Зробимо заміну:
b

t  x  n
n
n
dx
dt

.
2a  
 ax 2  bx  cdx  a   b  2 b 2  4ac  
 a 2  b 2  4ac
t 
dt  dx 
x  
4a 2
2a 
4a 2

2
Інтеграл має вигляд табличного інтегралу. Він може обчислюватися за формулою 12 ТОНІ (у
 b 2  4ac
 b 2  4ac
випадку
),
чи
за
формулою
18
(коли

0
 0 ).
4a 2
4a 2
1
dx .
 5x  7




виділяємо повний квадрат в знаменнику



1
2 x 2  5 x  7  2 x 2  5 x  7   2 x 2  2 5 x  25  25  7    
dx

 2x 2  5x  7 
2
2
4
16 16 2  




2




5
31

 2  x    



4  16 



Приклад 41.
 2x
2
5
 31

 0, тому користує 
t  x  1
1
dx
dt

 

 16
4  
2
2 
5
31 dt  dx  2 t 2  31  мося формулою 12 ТОНІ


x  
16 
4  16





1 4
4t

arctg
 c  повертаємося до старої змінної х  
2 31
31
2
4x  5

arctg
 c.
31
31

Приклад 42.
x
2
1
dx .
 7x 1




виділяємо повний квадрат в знаменнику

 2

1
7
7
49 49
2
2
dx

x

7
x

1

x

2

x

1

x

2

x



1



 x2  7x 1
2
2
4
4


2


7  53

 x   


2
4



 53

 0, тому користує  

7

 4

t  x 
dx
dt





мося
формулою
18
ТОНІ
2


2
 2 53 
7
53 dt  dx 


t 


x   
53
53 
2

4
для якої а  , а 
2
4

4
2 

53
1
2  c  повертаємося до старої змінної х  

 ln
53
53
t
2
t
7

1
2

 ln
53
7
x 
2
x
Вид 2.
 ax
53
2  c  1  ln 2 x  7  53  c.
53
53
2 x  7  53
2
mx  n
dx, a, b, c, m, n  const , a  0, m  0 .
 bx  c
2
У цьому випадку в першу чергу у чисельнику треба виділити похідну знаменника:
ax
2
 bx  c   2ax  b .
'
(5.2)
Для цього зручно в чисельнику спочатку винести коефіцієнт m за знак інтеграла, щоб
коефіцієнт при x дорівнював 1, а потім зробити еквівалентні перетворення в чисельнику так,
щоб отримати там у вигляді доданку 2ax  b . У загальному виді це виглядає наступним чином:
n
щоб коефіцієнт при х дорівнював 2а, 
x
mx  n


m
 ax 2  bx  cdx  m ax 2  bx  cdx  і підінтегральний вираз не змінився ,  
домножимо і поділимо чисельник на 2а 
1 
2an 
2an
 2ax 

2ax 
m
2a 
m 
m dx  додаємо і віднімаємо  
 m
dx 
 у чисельнику в

2
2

2a ax  bx  c
ax  bx  c


2ax  b    2an  b 
 m
2
ax  bx  c

dx   розділимо почленно
чисельник на знаменник  



m
2a 

m
2ax  b
m  2an
1

dx 
 b  2
dx.

2

2a ax  bx  c
2a  m
 ax  bx  c
Позначимо:
I1 
m
2ax  b
m  2an
1

dx; I 2 
 b  2
dx.

2

2a ax  bx  c
2a  m
 ax  bx  c
t  ax 2  bx  c  m dt m
m
2ax  b
m
I1 
dx  

ln t  c 
ln ax 2  bx  c  c .

2


2a ax  bx  c
2a
2a
dt  2ax  bdx 2a t
Інтеграл I 2 — це інтеграл виду 1, який детально розглянутий вище.
Приклад 43.
2x  6
dx .
2
 x3
 3x
Інтеграл виду 2. Похідна знаменника
чисельнику:
3x
2
 x  3  6 x  1. Виділимо цю похідну у
'
2x  6
x3
2
6 x  18
1 6 x  1  17
dx  2  2
dx   2
dx   2
dx 
2
6 3x  x  3
3 3x  x  3
 x3
3x  x  3
 3x

1
6x  1
17
1
dx   2
dx  I 1  I 2 .
2

3 3x  x  3
3 3x  x  3
I1 
t  3x 2  x  3 1 dt 1
1
6x  1
1
2
dx


    ln t  c  ln 3x  x  3  c.
2

3 3x  x  3
3
3
dt  6 x  1dx 3 t
 2

 2 1

3 x  x  3  3 x  3 x  1 



17
1


I2   2
dx  
2


3 3x  x  3
1
1
1
1
35 



 3 x 2  2 x 

 1  3  x    
6
36 36   
6
36 
 
1

t  x   17
17
1
dt

 
dx 
dx 
6  
2


35
3 
9

2
1
35

t 
dt  dx 
3  x    
36


6
36 

1

6 x  
17 6
6t
34
34
6x  1
6
 
arctg
c 
arctg 
c 
arctg
 c.
9
35
35
3 35
35
3 35
6 35
Тоді
2x  6
1
34
6x  1
dx  ln 3 x 2  x  3 +
arctg
 c.
2
3
 x3
3 35
6 35
 3x

Вид 3.
n
ax  bx  c
2
dx, a, b, c, n  const , a  0 .
(5.3)
Наші дії, які ми проводимо для обчислення інтегралу (5.3), аналогічні тим, які проводилися
для інтегралу виду 1, приводять до табличного інтегралу 16 з ТОНІ, коли a  0 , і до табличного
інтегралу 14, коли a  0 .
Приклад 44.


2
3x  2 x  1
2
dx .




 Виносимо за дужки а  3, виділяємо повний 
2


dx  квадрат в виразі під коренем в знаменнику :  
2
3x  2 x  1
2



3 x 2  2 x  1  3 x 2  2 x  1   3  x  1   2 

3
3
3
9 



2
 
3
1
2

1
2

3 x   

3
9 

dx 
2
3 3

1

t  x 
2
dt

dx 


3

2

 3 3
2
2
1
2


t 
dt  dx 
x   
9
3
9

1
2
2
2
1
1
2

 формула 16 ТОНІ  
ln t  t   c 
ln x    x     c.
9
3
3
9
3 3
3 3

2
Приклад 45.


1
2  3x  2 x 2
2
dx .
виносимо за дужки а  2, виділяємо повний

квадрат в виразі під коренем в знаменнику



2




3
3
25
2  3 x  2 x 2  2 x 2  x  1  2  x    



2
4
16









1
dx   Для того, щоб коефіцієнт , який винесено за

2  3x  2 x 2
дужки , можна було винести з  під корню , залишимо 


 за дужками лише 2, а  1 повернемо внутрь дужок : 


2
2  3 x  2 x 2  2 25   x  3  

 


 16 
4 




1

2
3

t  x 
1

dx 

4
2


2
25 
3
dt

dx


x 
16 
4
1

dt
25 2
t
16
 формула14 ТОНІ  
3

4 x  
1
4t
1
1
4x  3
4

arcsin  c 
arcsin 
c 
arcsin
 c.
5
5
5
2
2
2

Вид 4.
mx  n
ax 2  bx  c
dx, a, b, c, m, n  const , a  0, m  0 .
Метод обчислення аналогічний тому, який був застосований для інтегралу виду 2.
Приклад 46.

3x  3
x 2  2x  2
dx .
(5.4)


3x  9
x  2x  2
2
dx  3
3
2x  2
1
dx  6 
dx  I 1  I 2 ;

2
2
2
x  2x  2
x  2x  2

I1 

 x 2  2 x  2 '  2 x  2; 


виділимо в чисельнику  3 2 x  2   4
x3

dx 

dx 
похідну підкоренев ого  2  x 2  2 x  2
x 2  2x  2


виразу знаменника 
1
 1
t  x 2  2 x  2  3 dt 3  12
2x  2
3 t 2
dx  
 
  t dt  
c 

1
2
t 2
x 2  2x  2
dt  2 x  2 dx  2
 1
2
3
2
 3 t  c  3 x 2  2 x  2  c.
I 2  6
1
x 2  2x  2


dx  x 2  2 x  2   x  1  1  6 
2
 6
1
t 1
2
t  x  1
dx  

dt  dx 
x  12  1
1
dt  6 ln t  t 2  1  c  6 ln x  1 
x  12  1  c.
Враховуючи обчислені I1 , I 2 , отримуємо:

3x  3
x  2x  2
2
dx = 3 x 2  2 x  2  6 ln x  1 
x  12  1  c.
Вид 5. Інтеграли виду 4 є частковим випадком інтегралів виду

Pn ( x)
ax 2  bx  c
dx, a, b, c  const , a  0 ,
(5.5)
Pn (x) — многочлен степені n .
Для обчислення такого інтегралу взагалі полагають:

Pn ( x)
ax  bx  c
2
dx  Qn1 ( x) ax 2  bx  c   
1
ax  bx  c
2
dx ,
(5.6)
де
Qn 1 ( x)  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  ...  a1 x  a0
(5.7)
— многочлен степені n  1 з невизначеними коефіцієнтами an1 , an2 ,..., a1 , a0 ,  — невідома
стала.
Для знаходження коефіцієнтів многочлена (5.7) і сталої  продиференціюємо рівність
(5.6). Оскільки невизначений інтеграл — це сукупність первісних для підінтегральної функції, а
за визначенням первісної похідна від неї співпадає з самою функцією, то для лівої частини (5.6)
'


Pn ( x)

 
dx


2
ax

bx

c


Pn ( x)
ax 2  bx  c
.
Для правої частини:
'


'


1

 Qn 1 ( x) ax 2  bx  c   
  Qn 1 ( x) ax 2  bx  c 
dx



2
2
ax

bx

c
ax

bx

c


 Qn 1 ( x)  ax 2  bx  c  Qn 1 ( x)
'

2 ax 2  bx  c

2Qn 1 ( x)  ax 2  bx  c  Qn 1 ( x)2ax  b   2
'

2ax  b
2 ax  bx  c
2

приводимо до



ax 2  bx  c спільного знаменника 

.
Таким чином, після диференціювання (5.6) отримаємо рівність:
2 ax  bx  c
2



2Qn1 ( x)  ax 2  bx  c  Qn1 ( x)2ax  b   2
'
2 Pn ( x)
2 ax  bx  c
2
.
Оскільки рівними є дроби з однаковими знаменниками, то чисельники, які є многочленами, теж
співпадають:


2Pn ( x)  2Qn1 ( x) ax 2  bx  c  Qn1 ( x)2ax  b  2 .
'
(5.8)
Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х в лівій і правій частинах (5.8), отримаємо
систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів an1 , an2 ,..., a1 , a0 і  .
Розв’язавши отриману систему і підставивши потрібні коефіцієнти в (5.6), обчислення шуканого
1
інтеграла зведемо до обчислення інтегралу виду 3 в правій частині (5.6): 
dx .
ax 2  bx  c
x2
dx .
Приклад 47. 
x2  x 1
Поданий інтеграл має вид 5, де Pn ( x)  P2 ( x)  x 2 — многочлен степені 2. За формулою
(5.6), в якій Qn1 ( x)  Q1 ( x)  Ax  B , маємо:

x2
x2  x 1
dx   Ax  B  x 2  x  1   
dx
x2  x 1
.
(5.9)
Отримали рівність з трьома невідомими коефіцієнтами: A, B,  . Знайдемо похідні від лівої і
правої частин (5.9) і прирівняємо їх:
'
'

 

x2
dx

,
dx     Ax  B  x 2  x  1   


x2  x 1  
x2  x 1 

x2
x2  x 1
 A x 2  x  1   Ax  B 
2x  1
2 x2  x 1


x2  x 1
Приведемо до спільного знаменника:
2x 2
2 x  x 1
2


2 A x 2  x  1   Ax  B 2 x  1  2

2 x2  x 1
.
Прирівняємо многочлени у чисельниках:


2 x 2  2 A x 2  x  1   Ax  B 2 x  1  2.
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х :
Після розв’язання отриманої системи:
A
1
3
1
,B ,  .
2
4
8
Формула (5.9) буде мати вигляд:

3
1
dx
1
dx   x   x 2  x  1  
.
4
8
2
x2  x 1
x2  x 1
x2
Залишилося обчислити інтеграл виду 3 в правій частині:
.




1

виділяємо повний квадрат 
t  x 
dx
dx
dt

 в підкоренев ому виразі :   



2
2



3
x2  x 1 
2
1
3 dt  dx 
2

t 
 2
1
3 

x   
4
x

x

1

x




2
4



2
4 



форм ула 16 ТОНІ

ln t  t 2 
3
1
 c  ln x   x 2  x  1  c.
4
2
Тоді шуканий інтеграл буде дорівнювати:
3
1
1
1
dx   x   x 2  x  1  ln x   x 2  x  1  c.
4
8
2
2
x  x 1
x2

Приклад 48.
x
2
x 2  4dx .
2
Для того, щоб зробити шуканий інтеграл інтегралом виду 5, помножимо і розділимо
x2  4 :
підінтегральний вираз на
x
2
 Pn ( x)  P4 ( x)  x 4  4 x 2 ,


тоді в формулі (5.6) : 
x 4  4x 2
2

x  4dx  
dx 
 Ax 3  Bx 2  Cx  D
2


Q
(
x
)

Q
(
x
)

x 4
n 1
3


3
2
 Ax  Bx  Cx  D 

dx
 
x2  4

.
Продиференціюємо отриманий вираз:
'
 x 4  4x 2  

dx    Ax 3  Bx 2  Cx  D

2
x 4  


x 4  4x 2
x 4
2

 3 Ax 2  2 Bx  C
x  4x
4
2
x 4
2

3 Ax

2

x2  4 


Ax
'

3
x  4  
2

,

2
x 4
dx

 Bx 2  Cx  D x
x 4
2
 



x 4
2
 2 Bx  C x  4  Ax 3  Bx 2  Cx  D x  
2
x 4
2
.
,
x2  4 
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х у многочленах, які знаходяться в
чисельниках останньої рівності:
Після розв’язання отриманої системи:
A
1
1
, B  0, C  , D  0,   2 .
4
2
Тоді
x
2
1 
dx
1 
1
1
x 2  4dx   x 3  x  x 2  4  2
  x 3  x  x 2  4  2 ln x  x 2  4  c.
2
2 
2 
4
x 4 4
 mx  n
Вид 6.
dx
ax 2  bx  c
, a, b, c, m, n  const , a  0, m  0 .
(5.10)
Для обчислення такого типу інтегралів доцільна заміна змінної:
t
1
,
mx  n
яка приведе шуканий інтеграл до виду 3 чи 4.
Приклад 49.
dx
 x  1`
x2 1
.
1
1 

1
t
 x   1
 2 dt

dx
dt
1
x 1
t
t
 


 x  1 x 2  1  
2
1
2

2t 2  2t  1
1 1 
dx   2 dt

1

1




t

t t

1

ut 
1


2 


2
du  dt 

du
u2 
1
4

1
2
ln u  u 2 
1
c 
4

dt
2
1
 1
t   
4
 2

1
1
1
1  x  2x 2  2
 1

ln t    t     c  
ln
 c.
2
4
x 1
2
2
 2
2
1
 x   
Вид 7.
dx
n
ax 2  bx  c
.
(5.11)
Такі інтеграли приводяться до інтегралів виду 5 за допомогою заміни змінної:
t
Приклад 50.
 x  1
dx
x  2x
3
2
1
.
x 
.
Шуканий інтеграл має вид 7.
1
1
1 

1
t
 x  1   x   1
 2 dt

dx
x 1
t
t
t


 x  13 x 2  2 x  
3
2
1

1
1
1
  



dx   2 dt
    1  2  1


t
t  t 
t 
 
Отриманий інтеграл



приводимо до спільного



 знаменника підкоренев ий

tdt
tdt
t 2 dt


 вираз в знаменнику , виносимо   
 
.
2
1


2
1
1

t
1

t
 1 1

t
t2
 t в знаменнику з  під знака 


кореня

t 2 dt
— це інтеграл виду 5.
1 t2

t 2 dt
1 t
2
 ( At  B) 1  t 2   
dt
1 t2
.
Продиференціюємо останню рівність:
t2
1 t2
 A 1  t 2  ( At  B)
t
1 t2


1 t2
.
Після приведення до спільного знаменника отримуємо рівні чисельники:


t 2  A 1  t 2  t ( At  B)   .
Дорівнюємо коефіцієнти при однакових степенях t у многочленах:
Після розв’язання отриманої системи:
1
1
A   , B  0,   .
2
2
Тоді

t 2 dt
1 t
2

t
1
dt
t
1
1 t2  

1  t 2  arcsin t  c .
2
2
2 1 t
2
2
Нарешті
повертаємося до 
старої змінної х, 


t
1
dx
2

1

t

arcsin
t

c




враховуючи
,
що
 x  13 x 2  2 x
2
2


t  1



x 1
2

1
1
 1 
 1 
1 
  arcsin 
  c.
2( x  1)
2
 x 1
 x 1

Вид 8.
ax 2  bx  c dx, a, b, c  const , a  0 .
(5.12)
Спочатку розглянемо часткові випадки інтегралу виду 8.
Вид 8.1.


a 2  x 2 dx .
(5.13)
u  a 2  x 2
dv  dx 
 x 2 dx


2
2
2
2
a  x dx


x
a

x

du   xdx

 a2  x2 
v

x


a2  x2


 у чисельнику отриманого



інтеграла додамо і віднімемо а 2 ,
a 2  x 2  a 2 dx


 x a2  x2  

потім поділимо чисельник на

a2  x2


 знаменник почленно

правило інтегрування за частинам и


 x a 2  x 2   a 2  x 2 dx  a 2 
форм ула 14 ТОНІ для останнього інтеграла
dx

a2  x2
 x a 2  x 2   a 2  x 2 dx  a 2 arcsin
x
 c.
a
Отримали лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла:

a 2  x 2 dx    a 2  x 2 dx  x a 2  x 2  a 2 arcsin
x
 c,
a
з якого:
2 a 2  x 2 dx  x a 2  x 2  a 2 arcsin

a 2  x 2 dx 
Вид 8.2.

A  x dx
2
правило інтегрування за частинам и

x
 c,
a
x 2
a2
x
a  x2 
arcsin  c .
2
2
a
(5.14)

(5.15)
A  x 2 dx .
u  A  x 2

du  xdx

A  x2

dv  dx 

 x A  x2  

vx 

x 2 dx
A  x2

 у чисельнику отриманого

інтеграла додамо і віднімемо A,
2
  x A  x 2  A  x  Adx 

 A  x2
потім поділимо чисельник на 


 знаменник почленно


 x A  x 2   A  x 2 dx  A
dx

форм ула 16 ТОНІ для останнього інтеграла
A  x2

 x A  x 2   A  x 2 dx  A ln x  A  x 2  c.
Отримали лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла:

A  x 2 dx    A  x 2 dx  x A  x 2  A ln x  A  x 2  c ,
з якого
2 A  x 2 dx  x A  x 2  A ln x  A  x 2  c ,

A  x 2 dx 
x
A
A  x 2  ln x  A  x 2  c .
2
2
(5.16)
За допомогою виділення з квадратного трьохчлена повного квадрата інтеграл виду 8
зведеться до одного з двох основних інтегралів (5.14), (5.16).
Приклад 51.


1  2 x  x 2 dx .
виділимо повний квадрат в підкоренев ому виразі : 
2
1  2 x  x 2 dx  
  2  x  1 dx 
2
2
2
2
1  2 x  x   x  2 x  1    x  1  2  2   x  1 

t  x  1
2

   2  t dt
dt

dx



 
форм ула ( 5.14)


t
t
2  t 2  arcsin
c 
2
2
x 1
x 1
1  2 x  x 2  arcsin
 c.
2
2
Розглянемо декілька прикладів, які приводяться до інтегралів виду 1—8.
Приклад 52.
x
4
x
dx .
 4x 2  3
На першій погляд, цей інтеграл має вигляд, який не співпадає з видом 1—8, але, якщо
звернути увагу на чисельник підінтегральної функції, який є многочленом першої степені, то
стає наочним, що цей чисельник, з точністю до постійного множника, є похідною від x 2 , а тому
доцільною є заміна змінної: t  x 2 .
t  x 2
 1
отримали інтеграл 
x
2x
1
1
dx


dx

dt



виду 1

 x 4  4 x 2  3 dt  2 xdx 2  x 4  4x 2  3
2  t 2  4t  3


виділяємо повний квадрат в знаменнику : 1
u  t  2
1
 2
dt  
 

2
2
du  dt 
t  4t  3  t  2  1
 2 t  2  1

Приклад 53.
 sin
2
1
1
1 u 1
1 t 3
1 x2  3
du

ln

c

ln

c

ln
 c.
2  u 2 1
4 u 1
4 t 1
4 x2 1
cos x
dx .
x  6 sin x  12
Приведемо шуканий інтеграл до одного з розглянутих видів 1—8 за допомогою заміни
змінної:
t  sin x

cos x
dt
dx

 отримали інтеграл виду 1 
dt  cos xdx   2
 sin 2 x  6 sin x  12
t  6t  12


виділяємо повний квадрат

 в знаменнику :
t 2  6t  12  t  32  3


Приклад 54.

ex
1  e x  e2x
1
3
arctg
u
3
c 
1
3
arctg

u  t  3

dt
du

 2



2
du  dt 
u

3


t

3

3



t 3
3
c 
1
3
arctg
sin x  3
3
 c.
dx .
Цей інтеграл в поданому вигляді не має вид 1—8, але помітно, що в підкореневому виразі
знаменника буде квадратний трьохчлен відносно e x , що наштовхує на доцільність заміни
змінної: t  e x . Ця заміна є корисною ще й тому, що підінтегральний вираз містить множник e x ,
який є похідною нової змінної: t '  e x '  e x . Отже
 

ex
1  e x  e2x
t  e x

dt
dx  

x
1 t  t2
dt  e dx 

Отримали інтеграл виду 3.

 Виділяємо повний квадрат



в підкоренев ому виразі



знаменника :





1
1 1
2
2
1  t  t  t  2  t    1 
2
4 4


2


1
3


 t   


4
 2


1

ut 
du



2
2
3
3 du  dt 
 1
u2 
t




4
4
 2
 ln t 
dt
форм ула 16 ТОНІ

ln u  u 2 
1
1
 1  t  t 2  c  ln e x   1  e x  e 2 x  c 
2
2
враховуючи, що


  ln  e x  1  1  e x  e 2 x   c.
 x 1
x
2x
e   1  e  e  0 
2


2


3
c 
4
Приклад 55.
x
ln x
1  4 ln x  ln 2 x
dx .
Цей інтеграл за методом його обчислення і доцільністю пропонуємої заміни аналогічний
попередньому прикладу: в знаменнику знаходиться квадратний трьохчлен відносно ln x , і
1
підінтегральний вираз містить множник , який є похідною від ln x . Отже
x
похідна підкоренев ого

виразу в знаменнику :



t  ln x 
1  4t  t 2 '  2t  4.

ln x
tdt
 x 1  4 ln x  ln 2 x dx  dt  dx    1  4t  t 2   Робимо штучно в чисель   
x

нику похідну підкоренев ого 


виразу знаменника


1  2t  4   4
1
 2t  4
dt
dt   
dt  2 
I 1  I 2 .

2
2
2
2 1  4t  t
1  4t  t
1  4t  t 2
u  1  4t  t 2 
1
 2t  4
1 du
I1   
dt  
  u  c   1  4t  t 2  c.
 
2
2 1  4t  t
2 u
du   2t  4dt 
I 2  2 
виділяємо повний квадрат в

підкоренев ому виразі знаменника :
u  t  2
dt
dt
  2


2
2
 5  (t  2) 2 du  dt  

1  4t  t 2 1  4t  t   t  4t  1 

2
2
  t  2   5  5  t  2



 2
du
5  u2


форм ула 14 ТОНІ

Тоді
x
ln x
1  4 ln x  ln x
2
dx   1  4t  t 2  2 arcsin
 2 arcsin
t2
5
u
5
 c   2 arcsin
t2
5
 c.
 c   1  4 ln x  ln 2 x  2 arcsin
ln x  2
5
c.
6. Інтегрування деяких ірраціональних функцій
Вид 1.
p1
p2


q
1
q
ax

b
ax

b
 
 
 2 
R
x
,
,
,

   cx  d   cx  d 
 dx ,



де R — раціональна функція, p1, q1, p 2, q 2,... — цілі числа.
(6.1)
Інтеграли виду (6.1) обчислюються за допомогою підстановки:
ax  b
 tn,
cx  d
(6.2)
де n — найменше загальне кратне чисел q1, q 2,... Така заміна приведе всі показники степені до
цілого виду.
Приклад 56.

dx
2x  1  4 2x  1

.
dx
2x  1  2x  1
4

dx
2 x  1
1
2
 2 x  1 4
1
.
Підінтегральний вираз є раціональною функцією від 2 x  1 2 , 2 x  1 4 ,тобто
p1 1 p 2 1
 ,
 .
q1 2 q 2 4
Найменше загальне кратне чисел q1  2, q 2  4 — це 4, тому доцільною є заміна:
1
1
2x  1  t 4 ,
яка приведе до зникнення коренів у знаменнику.

t 4  2 x  1  t  4 2 x  1
3
2
2

  2t dt  2 t dt  2 t  1  1 dt 
4

t 1
 t 2  t  t 1  t 1
2x  1  4 2x  1 x 
, dx  2t 3 dt 

2


dx

поділимо почленно

dt

 2 t  1dt  2 
 t 2  2t  2 ln t  1  c 

t 1
чисельник на знаменник 
 2 x  1  2 4 2 x  1  2 ln 4 2 x  1  1  c.
Приклад 57.
x
x 1
dx .
x 1
1
В підінтегральному виразі є лише один радікал:
щоб усунути ірраціональність, доцільною є заміна
x 1 2
t .
x 1
x  1  x  1  2 p1 1
 , тому для того,

 ,
q1 2
x 1  x 1
 2 x 1
x 1
1 t2
t


t

,
x


x 1
x 1
1 t2
x 1

 x x  1dx   2t 1  t 2  2t 1  t 2
4t
dt 
dx 
2
1 t2
1 t2









2


2
  1  t  t  4t
 1 t2
1 t2
dt 



2
dt 
отримали інтеграл від

t4  t2
 4
dt  
dt.
  4
3
1  t 3 1  t 3
1 t2
правильної раціональн ої функції 
t4  t2


Розкладемо підінтегральну раціональну функцію на суму найпростіших:
t4  t2
1  t  1  t 
3
3

A
B
C
D
E
F
.





2
3
2
1  t 1  t 
1  t  1  t 1  t  1  t 3
Приведемо праву частину до спільного знаменника:
A
B
C
D
E
F






2
3
2
1  t 1  t 
1  t  1  t 1  t  1  t 3
A1  t  1  t   B1  t 1  t   C 1  t   D1  t  1  t   E 1  t  1  t   F 1  t 
2

3
3
3
3
2
3
3
1  t 3 1  t 3
.
Тоді
t 4  t 2  A1  t  1  t   B1  t 1  t   C 1  t   D1  t  1  t   E 1  t  1  t   F 1  t  .
2
3
3
3
3
2
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях t :
Після розв’язання отриманої системи:
1
3
1
1
3
1
A ,B ,C  ,D ,E  ,F  .
8
8
4
8
8
4
Тоді
3
3
t4  t2
1
dt
3
dt
 1  t  1  t  dt  8  1  t  8  1  t 
3
3
2

1
dt
1 dt
3
dt
1
dt
 
 
 

3
2

4 1  t  8 1  t 8 1  t 
4 1  t 3
(6.3)
1
3 1
1
1
1
3 1
1
1
 ln 1  t  
 
 ln 1  t  
 
 c.
2
8
8 1  t 8 1  t 
8
8 1  t 8 1  t 2
Для того, щоб отримати шукане значення, треба повернутися зо старої змінної, підставивши в
x 1
(6.3) t 
.
x 1
 x a  bx 
Вид 2.
n p
m
dx ,
(6.4)
де m, n, p — раціональні числа.
Умови Чебишева. Інтеграл (6.4) може бути виражений через скінченну комбінацію
елементарних функцій лише в трьох наступних випадках:
1. Коли p — ціле число;
m 1
2. Коли
— ціле число. Тут доцільною є заміна змінної:
n
a  bx n  t s ,
де s — знаменник дробу p ;
m 1
 p — ціле число. У цьому випадку проведемо деякі еквівалентні
3. Коли
n
перетворення в підінтегральній функції:
x m a  bx n   x m x n ax  n  b  x m x np ax  n  b  x m np ax  n  b .
p
p
Тут доцільною буде заміна змінної:
ax  n  b  t s ,
де s — знаменник дробу p .
Приклад 58.

3
1 4 x
x
dx .
p
p

3
1 4 x
x
1



dx   x 1  x 4 



1
2

1
1
1 m 1


m   2 , n  4 , p  3 ; n  2  ціле число,



dx  тому має місце випадок 2. Заміна :



1
1
t 3  1  x 4  t  3 1  x 4 , x  t 3  1 4 ; dx  12 t 3  1 3 t 2 dt 


1
3

 t t
 12  t 3  1
2
3

Приклад 59.

1
4
1 x4



 1 t 2 dt  12  t 3 t 3  1 dt  12  t 6  t 3 dt 
3
7
12
 3
7




12 7
t  3t 4  c 
7
4
1


1  x 4   3  3




1


1  x 4   c.




dx .
Представимо шуканий інтеграл в виді (6.4):
1 m 1


m  0, n  4, p   4 ; n  p  0  ціле число,
1


1
0
4 4
dx

x
1

x
dx   має місце випадок 3.

 4 1 x4

1
1
1





 x 0 1  x 4 4  x 0 x 4 x  4  1 4  x 1 x  4  1 4 . 







  x 1 x  4  1


1

1
4

 



1
 
 4
4
4
4
4
4;
t

x

1

t

x

1
,
x

t

1

dx  
5



4
dx  t t  1 4 dt





   t 4  1 4 t 1  t t 4  1

5
4
dt   


dt
dt
  2
.
t 1
t  1 t  1t  1

4

Підінтегральна функція в останньому інтегралі — правильний раціональний дріб. Розкладемо її
на суму найпростіших:

  
 


 At  B  t 2  1  C t 2  1 t  1  D t 2  1 t  1 .
1
At  B
C
D




t 2  1 t  1t  1 t 2  1 t  1 t  1
t 2  1 t  1t  1



 



1   At  B  t 2  1  C t 2  1 t  1  D t 2  1 t  1 .
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях t :
Після розв’язання отриманої системи:
1
1
1
A  0, B   , C  , D   .
2
4
4
Тоді

1
dt
1 dt
1 dt
1
1
1
dt
 
 
 arctgt  ln t  1  ln t  1  c 
  2
4
4
t  1 t  1t  1 2 t  1 4 t  1 4 t  1 2

2


1
1 t 1
arctgt  ln
 c.
2
4 t 1
повернутися до 


1
1 t 1
arctgt

ln

c

старої
змінної
:
dx



 4 1 x4
2
4 t 1
 4 4

t  x  1

1

1
1
arctg 4 x 4  1  ln
2
4
4
x 4  1  1
4
x 4  1  1
 c.
7. Інтегрування тригонометричних функцій
 sin
Вид 1.
m
x cos n xdx ,
(7.1)
де m, n — цілі числа.
Вид 1.1. Нехай m  2k  1 — непарне додатне число, тоді
 sin
m
x cos n xdx   sin 2 k 1 x cos n xdx   sin 2 k
користуємося основною 


тригонометричною

n


x cos x sin xdx  тотожністю :
 2

cos x  sin 2 x  1 

 2

2
sin x  1  cos x

t  cos x

k
k
  1  cos 2 x cos n x sin xdx  
   1  t 2 t n dt.

dt   sin xdx




Вид 1.2.
Нехай n  2k  1 — непарне додатне число, тоді рішення аналогічне
попередньому, лише заміна змінної буде мати вигляд:
t  sin x .
Приклад 60.  sin 10 x cos 3 xdx .
n  3  непарне додатне 
10
3
10
2
10
2
sin
x
cos
xdx

число; інтеграл виду 1.2   sin x cos x cos dx   sin x 1  sin x cos dx 





t  sin x

t 11 t 13
sin 11 x sin 13 x
10
2
10
12

   t 1  t dt   t  t dt  11  13  c  11  13  c.
dt  cos xdx

Приклад 61.



sin 5 x
 cos 3 x dx .


m  3  непарне додатне
sin 5 x
sin 4 x sin x
1  cos 2 x sin x
dx


dx

dx 
число; інтеграл виду 1.1  
 cos 3 x

cos 3 x
cos 3 x



t  cos x

1 t2

  
t3
dt   sin xdx
 

2
2
поділимо почленно

1  2t 2  t 4
dt   
dt

чисельник на знаменник  
3
t


dt
dt
1
t2
1
cos 2 x

2

tdt


2
ln
t


c


2
ln
cos
x

 c.
t 
2
2
t3
2t 2
2 cos 2 x
Вид 1.3. Якщо m  2k , n  2l — парні невід’ємні числа, то підінтегральний вираз в (7.1)
перетворюється за допомогою формул:
sin 2 x 
1  cos 2 x
,
2
cos 2 x 
1  cos 2 x
,
2
sin x cos x 
1
sin 2 x ,
2
які дають можливість зменшити показники степені в підінтегральній функції.
Приклад 62.
 sin
4
3 x cos 2 3 xdx .
(7.2)
 sin
4
t  3 x  1
m  4, n  2  парні додатні
3 x cos 2 3 xdx  
  sin 4 t cos 2 tdt  


dt  3dx  3
числа; інтеграл виду 1.3

скористуємося (7.2) 
2
2
1
1  1  cos 2t  1  cos 2t
2
2
  sin t cos tdt  для перетворення під    
dt 
 
3
3 
2
2

інтегральн ого виразу 





1
1  cos 2t 1  cos 2t 1  cos 2t dt  1  1  cos 2 2t 1  cos 2t dt 

24
24

1
1
1
1
1  cos 2 2t  cos 2t  cos 3 2t dt 
dt 
cos 2 2tdt 
cos 2tdt 



24
24
24
24 

1
1
1
1
1
cos 3 2tdt 
t 
cos 2 2tdt   sin 2t 
cos 3 2tdt.



24
24
24
48
24

(7.3)

Розглянемо інтеграли, що залишилися:
m  0, n  2  парні, 
1
1
1 1  cos 4t
2
0
2
  cos 2tdt    sin 2t cos 2tdt  інтеграл виду 1.3,    
dt 
24
24
24
2
користуємося (7.2)
для другого інтеграла

користуємося правилом3 :


1
1
1
1
 t
   dt   cos 4tdt  інтегрування складної
sin 4t  c.
48
48
48 192


дворівневої функції з

внутрішньою лінійною 
u  sin 2t

1
1
1
cos 3 2tdt інтеграл виду 1.2 
cos 2 2t cos 2tdt   1  sin 2 2t cos 2tdt  



24
24
24
du  2 cos 2tdt 





1
u
u3
sin 2t sin 3 2t
2
1

u
du



c


 c.
48 
48 144
48
144
Підставляючи отримані значення в (7.3), повертаючись до старої змінної x , знайдемо шуканий
інтеграл.
Перетворення підінтегральної функції в поданому інтегралі можна було провести і інакше,
користуючись тими ж формулами (7.2):
 sin
4


3x cos 2 3xdx   sin 2 3x sin 2 3x cos 2 3x dx   sin 3x cos 3x  sin 2 3xdx 
2
1


2
sin 3x cos 3x  2 sin 6 x 
1
1
 1
2

    sin 6 x   1  cos 6 x dx   sin 6 x1  cos 6 x dx 
1
2
2
8


sin 2 3x  1  cos 6 x 
2


перший інтеграл виду 1.3, для нього

використовуємо формули (7.2);

1
1

  sin 2 6 xdx   sin 2 6 x cos 6 xdx  
другий  виду1.2, в ньому робимо заміну 
8
8


t  sin 6 x; dt  6 cos 6 xdx


1
1 2
x sin 12 x 1 t 3


1

cos
12
x
dx

t
dt


  c 
16 
48 
16 16  12 48 3

x sin 12 x 1 sin 3 6 x

 
 c.
16 16  12 48
3
Вид 1.4. Якщо m    , n   — цілі від’ємні числа однакової парності (обидва парні чи
обидва непарні), то
 sin
m
x cos n xdx   sin   x cos  xdx  

 1 2  1 
  2  

2
 sin x   cos x 

 2

1 2
  1  2   1  tg 2 x
 tg x 
Приклад 63.
dx
 cos
4
x
.

dx
dx




sin x cos x
sin x cos  2 x cos 2 x

2
користуємося тригономет 
 ричними тотожностями : 


dx


1
2

 1  tg x 
;
2

2
cos x
cos
x


1
1


2
1  ctg x  1  tg 2 x  sin 2 x 


 2

2
t  tgx
dx


dx
cos 2 x dt 

cos 2


1


  1   2  1  t 2
  t2 
x 

(7.4)
 2

2
dt.
користуємося тотожністю
m  0, n  4  парні, 
dx
1
dx

 cos 4 x  цей інтеграл виду 1.4   cos 2 x  cos 2 x   1  1  tg 2 x

 cos 2 x

t  tgx
dx
  1  tg x

dx
2
cos x dt 
cos 2


Приклад 64.
dx
 sin

2
3
x

3
3
  1  t 2 dt  t  t  c  tgx  tg x  c.
 
3
3
x 


.
m  3, n  0  числа різної парності;

в поданому вигляді інтеграл не має виду 1.4.


dx
dx




Скористуєм
ося
тотожністю
:
 sin 3 x 
3
3 x
3 x

2
sin
cos
sin x  2 sin x cos x

2
2


2
2
3
2
1
2

 

тепер m  3, n  3  однакова  1  1   1 
 
  dx 

 

парність, інтеграл виду 1.4
 8  sin 2 x   cos 2 x  cos 2 x
2 
2
2

3
x


t  tg

2
1
3


2
2
1 
1  
dx
1 2

 1 
2 x
2
  1
 1  tg  

dx    1  2   1  t
x
dt 
8 
2
4  t 
2 x 

cos 2

 tg

2 x
2 cos 
2
2 

2


3
1  t 2 1 2
   2   1  t 2
4  t 


2

1
2
1
1
t
 ln t   c  
2
2
8
8t
В загальному випадку

1 1 t2
dt  
4
t3
1

2
dt 

1
2
dt 
1 1  2t 2  t 4
1 
2 
dt    t 3   t dt 
3

4
4 
t
t

1
x
 ln tg 
x 2
2
8tg 2
2
tg 2
8
x
2  c.
x 

t

dx
1
dx
dt
2  1



 sin  x 2    x  x  dx  2  1  sin  t cos  t ;
sin
cos
dt 
2
2 
2 
(7.5)
dx
 cos x  


t  x 
dx
dt


2   .

 
sin t

sin   x   dt  dx 
2

 tg
Вид 2.
m
xdx ,
 ctg
m
xdx ,
(7.6)
де m — ціле додатне число.
Обчислюються інтеграли (7.6) за допомогою формул:
tg 2 x 
Приклад 65.
 tg
4
1
1
 1; ctg 2 x 
 1.
2
cos x
sin 2 x
(7.7)
xdx .


 замінимо tg 2 x за



1
tg 2 x

4
2
2
2 
tg
xdx

tg
xtg
xdx

допомогою
тотожності

tg
x

1
dx




 
2


 cos 2 x dx 
cos
x


 2

1

1
tg x 

cos 2 x




 замінимо в другому інтегралі 


tg 2 x
 1

  tg 2 xdx  tg 2 x за допомогою тотожності  
dx   
 1dx 
2
2
cos x
 cos x 
 2

1
1
tg x 

cos 2 x




 робимо заміну змінної 


dx
t3
tg 3 x
 в першому інтегралі :    t 2 dt  

dx


tgx

x

c

 tgx  x  c.
3
3
cos 2 x 


dx
t  tgx dt 

cos 2 x


Приклад 66.
 сtg
5
xdx .


для ctg 2 x скористаємося 


1
сtg 3 x

5
3
2
3 
сtg
xdx

сtg
x
ctg
xdx

тотожністю
:

сtg
x

1
dx




 
2


 sin 2 x dx 
 sin x 
 2

1
1
ctg x 

sin 2 x


dx 

в
першому
інтегралі
заміна
змінної
:
t

ctgx
dt


;

sin 2 x 
3
  сtg xdx  

в другому застосування тотожності : ctg 2 x  1  1 


sin 2 x


в першому інтегралі 


t4
ctgxdx
 1

   t 3 dt    2  1ctgxdx    
  ctgxdx   заміна змінної :

2
4
sin x
 sin x 

dx 
t  ctgx dt   2 ;
sin x 

в другому інтегралі 
4
4
2
 заміна змінної :
   t  tdt  du   t  t  ln u  c 
u


4 
4 2
u  sin x du  cos xdx

ctg 4 x ctg 2 x

 ln sin x  c.
4
2
 sin mx cos nxdx,  sin mx sin nxdx,  cos mx cos nxdx .
Вид 3.
(7.8)
Інтеграли (7.8) обчислюються за допомогою наступних тригонометричних тотожностей:
1
sin m  nx  sin m  n x ;
2
1
sin mx sin nx  cosm  n x  cosm  n x ;
2
1
cos mx cos nx  cosm  n x  cosm  n x .
2
sin mx cos nx 
Приклад 67.
 sin 9 x sin xdx .
 sin 9 x sin xdx 
(7.9)
правило 3 обчислення 
1
1
1


cos
8
x

cos
10
x
dx

cos
8
xdx

cos
10
xdx

невизначених інтегралів  
2
2
2



Приклад 68.
1 1
1 1
1
1
 sin 8 x   sin 10 x  c  sin 8 x  sin 10 x  c.
2 8
2 10
16
20
 cos x cos
2
3xdx .
Щоб отримати інтеграл виду (7.8), перетворимо підінтегральну функцію:
cos x cos 2 3x  cos x 
1  cos 6 x 1
1
1
1
 cos x  cos x cos 6 x  cos x  cos 5 x  cos 7 x  .
2
2
2
2
4
Тоді
 cos x cos
2
3 xdx 
правило 3 обчислення 
1
1
1
cos xdx   cos 5 xdx   cos 7 xdx  


2
4
4
невизначених інтегралів 
1
1
1
sin x  sin 5 x  sin 7 x  c.
2
20
28

Приклад 69.  sin 3x sin 2 x sin xdx .
Перетворимо підінтегральну функцію за допомогою формул (7.9):
sin 3x sin 2 x sin x  1 cos x  cos 5 x sin x   розкриємо дужки   1 cos x sin x  1 cos 5 x sin x 
2

2
2
1
1
sin 2 x  sin 6 x  sin 4 x .
4
4
Тоді
1
1
1
правило 3 обчислення

 sin 3x sin 2 x sin xdx  4  sin 2 xdx  4  sin 6 xdx  4  sin 4 xdx  невизначених інтегралів  
1
1
1
  cos 2 x  cos 6 x  cos 4 x  c.
8
24
16
Вид 4.
 Rsin x, cos x dx ,
(7.10)
де R — раціональна функція.
Такі інтеграли обчислюються за допомогою заміни змінної, яка називається універсальною
тригонометричною підстановкою:
x
t  tg .
(7.11)
2
Оскільки мають місце тригонометричні тотожності
x
2 ,
sin x 
x
1  tg 2
2
для заміни (7.11):
x
2,
cos x 
x
1  tg 2
2
1  tg 2
2tg
sin x 
2t
,
1 t 2
x
2 ,
tgx 
x
1  tg 2
2
2tg
1 t 2
,
1 t 2
tgx 
x  2arctgt,
dx 
cos x 
2t
,
1 t 2
ctgx 
ctgx 
1  tg 2
x
2tg
2
x
2,
1 t 2
.
2t
(7.12)
(7.13)
З формули (7.11) отримуємо, що
2dt
.
1 t2
(7.14)
За допомогою заміни (7.11) інтеграли (7.10) приводяться до інтегралів від раціональних функцій
нової змінної t .
Приклад 70.
dx
 1  sin x  cos x .
Підінтегральна функція є раціональною функцією від sin x, cos x . Застосуємо універсальну
тригонометричну підстановку:
x 

2dt
t  tg


dx
dt
x
2
1 t 2



 ln 1  t  c  ln 1  tg  c.


2
 1  sin x  cos x 

2dt 
1 t
2
2t
1 t
dx 
1

2
2
2

1  t 
1 t
1 t
Якщо має місце тотожність
R sin x, cos x  Rsin x, cos x ,
то для приведення інтеграла (7.10) к раціональному виду можна використовувати заміну:
t  tgx .
(7.15)
Оскільки, як відомо з тригонометрії,
sin x 
то при заміні (7.15) отримаємо
t
sin x 
,
1 t 2
tgx
1  tg x
2
cos x 
cos x 
,
1
1 t 2
,
1
1  tg 2 x
x  arctgt,
,
dx 
dt
.
1 t 2
dx
 1  sin
Приклад 71.
2
x
.
Підінтегральній функції притаманна властивість:
Rsin x, cos x  
1
1

 R sin x, cos x  ,
2
1  sin x 1   sin x 2
тому


t  tgx



dx
t
t2 
dt
dt
1
dt

2
 1  sin 2 x  sin x  1  t 2  sin x  1  t 2     t 2  2   1  2t 2  2  1 2
t


1 
 1 t
2 
2


1

t
dt


dx 

2
1 t



форм ула 12 ТОНІ




1
1
 2arctg 2t  c 
arctg 2tgx  c.
2
2
Звернемо увагу на те, що використання універсальної тригонометричної підстановки в
цьому прикладі теж можливе. Така заміна теж приведе поданий інтеграл до раціонального виду,
але цей вид буде складнішим:

x
t  tg
2


dx
2t
4t 2
2

sin
x


sin
x

 1  sin 2 x 
1 t2
1 t2


2dt
dx 
1 t2






dt
 2
2 
2


1  4t
2


1 t2







 1 t2




 2
1  t dt
2
1  6t 2  t 4
,
що очевидно робе заміну (7.15) приоритетнішою.
Ще більше спрощення обчислення поданого інтегралу отримаємо, якщо штучно поділимо
чисельник та знаменник на cos 2 x :
dx
dx
t  tgx

2
2
dx
dt
 1

2
cos
x
cos
x


.
  2  tg x  1  

dx
2
 1  sin 2 x   1


1  2tg x dt 
1  2t 2
2
 cos x

2

tg
x
cos x 

cos 2 x
8. Різні приклади
Приклад 72.

dx
e
2x
 ex 1
.
Підкореневий вираз в знаменнику підінтегральної функції є квадратичною функцією від
e , тому можна спробувати заміну змінної:
t  ex ,
x
яка приведе до інтегралу, у склад якого входить звичайна квадратична функція.

t  e x  x  ln t 
dt


 отримали інтеграл виду (5.10) 
dt

x
2

 e  1 dx 
t
t

t

1

t

dx
e2x
1
1

виділяємо 
u  t  t  u 
du
du

 
 повний  
  
2
2
1 u  u
dt   1 du 
1
1
2 1
квадрат 
2
u




1




u

u u
u
1

2

zu 
1
3
du
dz

 1  u  u 2   u       


2  
2


2
4
3



1
3 dz  du 


z2 
u   
4
2
4

форм ула 16 ТОНІ

 ln z  z 2 
2
3
1
 c   ln u   1  u  u 2  c 
4
2
2
1 1
1 1
1 1
1  1 
  ln   1      c   ln x   1  x   x   c.
t 2
t t 
2
e
e
e 
Приклад 73.
x
2
ln
1 x
dx .
1 x
Зв’язок в підінтегральному виразі степеневої функції з додатним показником і
логарифмичної функції зі складним аргументом наштовхує на думку про доцільність
використання методу інтегрування за частинами. Як розбити підінтегральний вираз на частки u
1 x
і dv ? Внесення x 2 в u дасть можливість в du зменшити показник степеня, але ln
в dv
1 x
1 x
приведе до ускладнень при інтегруванні dv для відновлення v . Але якщо ln
опиниться в
1 x
u , диферепнціювання цієї функції теж тільки значно ускладнить її. Тому спочатку перетворимо
шуканий інтеграл, користуючись властивостями логарифмичної функції, а саме:
b
log a  log a b  log a c.
c
x
2
ln
1 x
dx   x 2 ln 1  x   ln 1  x dx   x 2 ln 1  x dx   x 2 ln 1  x dx  I 1  I 2 .
1 x
Тепер для кожного інтеграла використовуємо метод інтегруванния за частинами:
u  ln 1  x 
2
I 1   x ln 1  x dx  
du  dx
1 x

dv  x 2 dx 
3
3
  x  ln 1  x   1 x dx 
3
x
 3
3  1 x
v
3

отримали інтеграл від неправильної раціональн ої функції .
  Поділимо чисельник на знаменник . Для цього в чисельнику  
додамо і віднімемо одиницю



3
x
1
 ln 1  x   
3
3
 Поділимо чисельник на 


x  1  1dx  знаменник почленно,  x 3


 ln 1  x  
враховуючи, що
 3
1 x
 3

2
 x  1  (1  x) x  x  1 

3


 1
1
1 dx
x3
1  x3 x2
2
 


x

x

1
dx



ln
1

x

 x   ln 1  x  c.


3
3 1 x
3
3 3
2
 3


u  ln 1  x 
2
I 2   x ln 1  x dx  
du   dx
1 x



3
x
1
 ln 1  x   
3
3

dv  x 2 dx 
3
3
  x  ln 1  x   1 x dx 
3
x
 3
3  1 x
v
3

 Поділимо чисельник на 


x  1  1dx  знаменник почленно,  x 3


 ln 1  x  
враховуючи, що
 3
1 x
 3

2
 x  1  ( x  1) x  x  1 

3



 1
1
1 dx
x3
1  x3 x2
2
 


x

x

1
dx



ln
1

x

 x   ln 1  x  c.


3
3 1 x 3
3 3
2
 3


Тоді шуканий інтеграл дорівнює:
2
 x ln
 1

1 x
x3
x3
1  x3 x 2
1  x3 x 2
dx 
 ln 1  x    
 x   ln 1  x   ln 1  x    
 x  
1 x
3
3
3 3
2
3 3
2
 3

1
x3 x  1 1
x2
 ln 1  x  c 
ln
 ln 1  x 2 
 c.
3
3 1 x 3
3

Приклад 74.
 ln
2


x 
1  x 2 dx .
Підінтегральний вираз є складною функцією. Будь-які перетворення інтегралу завжди
мають метою його спрощення з точки зору можливого інтегрування. Як в даному випадку
можна спростити функцію?
Значного спрощення, на перший погляд, ми досягнемо при заміні змінної:


t  ln x  1  x 2 .
(8.1)
Дійсно, у цьому випадку підінтегральна функція


ln 2 x  1  x 2  t 2 ,
але для реалізації заміни змінної нам ще треба бути виразити dx через t і dt , а для цього
потрібно рівність (8.1) розв’язати відносно x . З (8.1):
x  1  x 2  et .
(8.2)
З виразу (8.2) стає очевидним складність отримати формулу для x через t , тому заміна (8.1) є
недоцільною.
Інша заміна виду
t  x  1 x2
(8.3)
знову не приведе до спрощення інтегралу, бо виникає аналогічна проблема представлення x
через t для подальшого обчислення dx через t і dt .
Спробуємо застосувати метод інтегрування за частинами. Як розбити підінтегральний
вираз на частки u і dv , щоб це привело до спрощення інтегралу?
Спробуємо спочатку:






u  ln x  1  x 2
2
2
2
2
ln
x

1

x
dx

ln
x

1

x
ln
x

1

x
dx







Відновимо окремо du і v :

2x
du 
 1 
2
x  1 x  2 1 x2
1

dv  ln x  1  x 2 dx 



1
x  1 x2
dx
dx 

dx 
.

2
2
x  1 x
1 x
1 x2




 Користуємося інтегруванням за частинами :


2
2

d v  dx  
v   ln x  1  x dx  u  ln x  1  x





dx
2x 
1
dx 
x

v
 1 

d u 


1 x2
x  1 x2  2 1 x2 









 x ln x  1  x 2  




t  1  x 2 
1 dt
 x ln x  1  x 2  t 
 x ln x  1  x 2  


2
2
xdx
2

dt
t
1 x


xdx
 x ln x  1  x 2  1  x 2 .
Тоді за формулою інтегрування за частинами для поданого інтеграла маємо:

u  ln x  1  x 2

2
2
 ln x  1  x dx  du  dx

1 x2




 ln x  1  x
2


v  x ln x 
x ln x 


1  x 
dv  ln x  1  x 2 dx
1 x
2

2
1 x
2



1  x ln x  1  x
  

 x ln x  1  x
2

2

2

x ln x  1  x 2  1  x 2
 x ln 2 x  1  x 2  1  x 2 ln x  1  x 2  
2



2 
1 x 

1 x

x ln x  1  x 2
1 x2
 x    1  x
2
dx 
dx   dx 
x ln x  1  x 2
2
dx.
Розглянемо останній інтеграл. Для його обчислення знову скористуємося інтегруванням за
частинами:
xdx


2
dv 
u  ln x  1  x

1 x2


2
2




t  1 x
x ln x  1  x
dx
xdx
dx

du

v







 1  x 2 dt  2 xdx  

1 x2
1 x2


1
1
1 2
2


2
  t dt  t  1  x


2
(8.4)








 1  x 2 ln x  1  x 2   dx  1  x 2 ln x  1  x 2  x.
Нарешті поданий інтеграл
 ln
2
x 









1  x 2 dx  x ln 2 x  1  x 2  1  x 2 ln x  1  x 2  x  1  x 2 ln x  1  x 2  x  c 


 x ln 2 x  1  x 2  2 1  x 2 ln x  1  x 2  2 x  c.
Спробуємо використати інший способ розбивки підінтегрального виразу поданого
інтеграла на частки u і dv . Можливо це приведе до меньших обчислювальних витрат.


u  ln 2 x  1  x 2

2
2
ln
x

1

x
dx


2 ln x  1  x 2

dx
du 

1 x2




dv  dx 

x ln x  1  x 2
2
2
dx
  x ln x  1  x  2
vx 
1 x2





Ми знову отримали інтеграл (8.4), але отримали його без зайвих витрат, що дасть можливість
обчислити поданий інтеграл скоріше, хоча, на перший погляд, розміщення всій підінтегральній
функції в частці u могло лише ускладнити обчислення.
З розглянутого приклада зрозуміло, що доцільна розбивка підінтегрального виразу на
частки u і dv для спрощення процесу інтегрування не завжди є очевидною. Для складних
функцій треба спочатку спробувати представити результати виконуємих операцій в цілому і
тільки потім приймати рішення про доцільність тої чи іншої розбивки.
Приклад 75.
 x arccos(5 x  2)dx .
Одночасна присутність в підінтегральному виразі степеневої функції x і трансцендентної
функції arccos( 5 x  2) говоре про однозначний вибір методу інтегрування за частинами для
обчислення цього інтегралу. При розподілі підінтегрального виразу на частки u і dv очевидно
не має сенсу розміщати arccos( 5 x  2) в dv із-за складності відновлення функції v в такому
випадку. Отже:
dv  xdx
u  arccos(5 x  2)

x2
5
x 2 dx
2 
5
dx
x
.
  2  arccos(5 x  2)  2 
 x arccos(5x  2)dx  du  
2
v


1

5
x

2
2


2
1  5 x  2


Розглянемо докладно останній інтеграл:

x 2 dx
1  5 x  2
2


для спрощення знаменника підінтегра льного 


1 t 2  4t  4
 виразу зробимо заміну :

dt .
 125 
2
1

t


t2
1
; dx  dt
t  5 x  2  x 

5
5


Отриманий інтеграл має вигляд (5.5), а тому

t 2  4t  4
1 t2
 P (t )  P2 (t )  t 2  4t  4,
dt
2
.
dt   n
   At  B  1  t   
2
Q
(
t
)

Q
(
t
)

At

B
1

t
1
 n 1

(8.5)
Продиференціюємо отриману рівність з невизначеними коефіцієнтами A, B,  :
t 2  4t  4
1 t2
 A 1  t 2   At  B 
t
1 t2


1 t2
.
Праву частину приводимо до спільного знаменника:
t 2  4t  4
1 t
2



A 1  t 2   At  B t  
1 t2
.
Дорівнюємо многочлени чисельників:


t 2  4t  4  A 1  t 2   At  B t   .
З рівності многочленів отримуємо рівність коефіцієнтів при однакових степенях t :
Розв’язуючи систему лінійних рівнянь, обчислюємо значення
1
9
A   , B  4,   .
2
2
З урахуванням отриманих значень інтеграл (8.5)

t 2  4t  4
1 t2
а поданий інтеграл
9
dt
1
9
1

dt    t  4  1  t 2  
  t  8 1  t 2  arcsin t  c ,
2 1 t2
2
2
2

 x arccos(5x  2)dx 

Приклад 76.

dx
9
x2
1  1

2
 arccos(5 x  2) 
  t  8 1  t  arcsin t   c 
2
2
50  2

x2
1
5x  6 1  5x  22  9 arcsin 5x  2  c.
 arccos(5 x  2) 
2
100
100
.
1  x3
Для спрощення підінтегрального виразу бажано усунути ірраціональність в знаменнику. На
перший погляд це можна зробити за допомогою заміни:
3
t 3  1  x3 ,
(8.6)
але при такій заміні ми не зможимо спростити інтеграл в цілому, бо з (8.6) вираз для x , який
нам потрібен для обчислення dx , буде мати вигляд:
x  3 t 3 1 ,
t 2 dt
dx 
а
3
t
,

1
3
2
що приведе тільки до ускладнення підінтегральної функції:

dx
3
1  x3
tdt

3
t
3
 1
2
.
Для подальшого обчислення треба представити останній інтеграл у вигляді


3
 t t 1

2
3
dt
і користуватися для нього умовами Чебишева, але якщо представити поданий інтеграл у
вигляді:
1
dx
0
3 3

x
1

x
dx ,
 3 1  x3 


то очевидним стає необхідність користування умовами Чебишева з самого початку:
1
1

 
1 
1

3
3



1
1




m  0, n  3, p   3 .  1  x 3 3   x 3  3  1   x 1  3  1 ;

x
 

 
 x


m

1
1


1
  Z,
Робимо рекомендов ану заміну :
0
3 3





 x 1  x dx   n 3


1


1
3
3
3
m

1
3 


t


1

x

1

x

t

1

3
 p  0  Z  
x

 n

4


третій випадок 


 dx  t 2 t 3  1 3 dt









1
3 1 2


  t  1 t t t  1
3
3

4
3


отримали інтеграл 
tdt
.
dt    t  1 tdt    3
 від правильної

t 1
 раціональн ої функції 

3

1
Розглянемо детально обчислення останнього інтеграла
t
tdt
.
1
3



t
t
A
Bt  C
A t 2  t  1  Bt  C (t  1)
.




t  1 t 2  t  1
t 3  1 t  1 t 2  t  1 t  1 t 2  t  1



Дорівнюємо коефіцієнти при однакових степенях t в многочленах чисельників:
Розв’язуючи отриману систему лінійних рівнянь, маємо:
1
1
1
A , B , C  .
3
3
3
Тоді
t
tdt
1 dt 1
t 1
1
1
t 1
 
  2
dt  ln t  1   2
dt .
3
3 t  t 1
1 3 t 1 3 t  t 1
3
Останній залишившийся інтеграл має вид (5.2). Для його обчислення виділимо у чисельнику
похідну знаменника:
t 1
1 2t  2
1 2t  1  3
1
2t  1
3
dt
2
 t 2  t  1 dt  t  t  1'  2t  1  2  t 2  t  1 dt  2  t 2  t  1 dt  2  t 2  t  1 dt  2  t 2  t  1 








для першого інтеграла робимо заміну змінної :

u  t 2  t  1  du  (2t  1)dt ;



 для другого інтеграла виділяємо в знаменнику повний квадрат : 


2
t 2  t  1   t  1   3 ,





4
 2


 робимо заміну змінної : z  t  1 , dz  dt



2
Тоді

1 du 3

2 u 2
dz
1
3 2
2z
 ln u  
arctg
c 
3 2
2 3
2
3
z 
4

1
2t  1
ln t 2  t  1  3arctg
 c.
2
3

dx
3
1  x3
 
tdt
1
1
  ln t  1 
3
3
t 1
3
1
2t  1 
 ln t 2  t  1  3arctg
  c ,
3 
2
1
 1
3
t   3  1 .
x

де
Приклад 77.
x
dx
.
x 2 1
Цей інтеграл можна обчислити різними способами. Розглянемо два з них.
Спосіб 1. Шуканий інтеграл має вигляд (5.11). Тому
4

dt
t2
1
dt 
t 3 dt
 1

t


x

;
dx





 x 4 x 2  1  x
 1 t2 .
t
t 2    1  4  1  2
    1
t  t 
Останній інтеграл — це інтеграл виду (5.5).
 Pn (t )  P3 (t )  t 3

t 3 dt
dt
2
2


 1  t 2 Q (t )  Q (t )  At 2  Bt  C   At  Bt  C  1  t    1  t 2 .
2
 n 1

dx
Продиференціюємо отриману рівність:
t3
1 t2
 2 At  B  1  t
2
At

2

 Bt  C t
1 t2


1 t2

2 At  B 1  t 2   At 2  Bt  C t  

. (8.7)
1 t2
Дорівнюємо коефіцієнти при однакових степенях t в чисельниках:
Після рішення системи лінійних рівнянь отримаємо:
1
2
A   , B  0, C   ,   0 .
3
3
Підставимо знайдені коефіцієнти в (8.7):

тоді


2
1
 1
  t2   1 t2  c   t2  2 1 t2  c
3
3
1 t2  3
t 3 dt
x
2
2

повертаємося до 1   1 
1 2
1
2

 t  2 1 t  c  
     2 1   x   c 
 
старої змінної х  3   x 
x2 1 3


dx
4

(8.8)


1
1  2x 2
3
3x

x 2  1  c.
Спосіб 2. Перевіримо для поданого інтеграла умови Чебишева.
1  перетворимо підінтегра льну

m  4, n  2, p   2  

 функцію :
m 1
3

 
1
1
  Z

dx

4
2
1
2 dx   n
2


x
x

1




1
2


 4 2
4
2
 x4 x2 1 

  x x  1 2  x  x 1  2  
  х 
 m  1  p  2  Z  
1
1
 n
 


третій випадок
  x  4 x 1 1  x  2 2  x 5 1  x  2 2








  x 5 1  x  2

  1 t


1
2

dx  t 2  1  x  2  x  1  t 2


 t t 1  t 
5
2 2
1
3
2 2



1
2

; dx  t 1  t 2

t3
dt   1  t dt  t   c  1  x  2 
3
2



3
2












dt  

1  x 
2 3
3
c 
3
1 

1  2 
1
 x 
 1 2 
c 
3
x
Приклад 78.
x
x2 1

x
x
2

1
3x 3
3
c 
x2 1
1  2 x 2  c.
3
3x


x 2  2 x  2dx .
виділимо повний кварат 


2
 x x  2 x  2dx  в підкоренев ому виразі :    x
 x 2  2 x  2  x  12  1 


t  x  1  x  t  1

dt  dx

x  12  1dx  
  t  1 t 2  1dt   t t 2  1dt   t 2  1dt  I 1  I 2 .
I1   t t 2  1dt 
u  t 2  1 1
1
1 3
1
2
2
t
t

1
dt

u c 

   u du 

2
3
3
du  2tdt  2
Інтеграл I 2 — це інтеграл виду (5.16), де A  1 :
t
2

3
1  c .
t 2
1
t  1  ln t  t 2  1  c .
2
2
I 2   t 2  1dt 
Тоді:
x

Приклад 79.
 x
1
3
x 2  2 x  2dx 
x
2
 2x  2
dx
2

 4x 4  x 2

3

1
3
t
2

1
3

t 2
1
t  1  ln t  t 2  1  c 
2
2
x 1 2
1
x  2 x  2  ln x  1  x 2  2 x  2  c.
2
2
.
Цей інтеграл в поданому вигляді не підходить ні під один з розглянутих видів, але якщо б
у знаменнику замість множника x 2  4 x була лінійна функція, то це був би інтеграл (5.11).
Спробуємо привести шуканий інтеграл до виду (5.11). Для цього розкладемо правильний
1
раціональний дріб 2
на суму найпростіших:
x  4x


1
1
A
B
A( x  4)  Bx

 

x( x  4)
x  4 x x( x  4) x x  4
2
 1  A( x  4)  Bx .
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x :
Невідомі коефіцієнти розкладання — це A 
1
1
, B   . Тоді
4
4
 1
1
1  11
1 
   
  
.
x  4 x  4 x 4x  4  4  x x  4 
2
Враховуючи (8.9),
 x
dx
2

 4x 4  x 2


1
dx
1 1
1 
1

  
dx 

x  4x 4  x 2 4  x x  4  4  x 2
2
1 1
1
1
1
1

dx  

dx  I 1  I 2 .

4 x 4  x2
4 x  4 4  x2
Кожен з інтегралів I1 , I 2 тепер має вигляд (5.11).
(8.9)
1
 1
t x 

1 1
1
1
1
1
1
dt
x
t
I1   
dx  
 2 dt   

   t 
2
2
4 x 4 x
4
4
4t 2  1
dx   1 dt 
1 t
4 


t2
t 
1
 
8
dt
1
t 
4
2
форм ула 16 ТОНІ

2
1
1
1 1
1
1
 ln t  t 2   c   ln      c.
8
4
8 x
4
 x
1
1 

t
 x   4

1
1
1
1
1
1
x4
t
I2  

dx  
 2 dt 
   t 
2
4 x  4 4  x2
4
dx   1 dt

1
 t
2
4


4




t
t








виділяємо повний квадрат в підкоренев ому виразі :



 1 2 1  
dt
1

 2 2
2
  12t  8t  1  12 t  t    12  t       
 3 
2
3 12 
36 

 12t  8t  1 




2


 12 1   t  1  

 36  3  






1
4
1
8
1
8 3
1

z

t

1
dz

3  

2


8 3
1
1  1
 z2
dz  dt 
 t  
36
36  3 
dt

3
arccos 6t  2  c 
форм ула 14 ТОНІ

1
8 3
arccos 6 z  c 
 6

arccos
 2   c.
8 3
x4

1
Тоді поданий інтеграл
2
1 1
1
1
 6

1
arccos
 2   c.
  ln     
2
2
8 x
4 8 3
x4

 x
x  4x 4  x
dx

Приклад 80.

1
 2  3 cos
dx .
x
Одним із способів обчислення поданого інтеграла є застосування універсальної
тригонометричної підстановки:
2
x


t  tg 2



1
1 t2 
1

 2  3 cos 2 xdx  cos x  1  t 2     1  t 2


2  3
2
dx  2dt

1 t
2


1 t



2

2dt
1 t2

2
 5t 4  t 2  5 dt .
1 t2
Отримали інтеграл від правильної раціональної функції, але сама підінтегральна функція досить
складна, її інтегрування потребує багато часу. Але якщо скористуватися (7.2) для перетворення
функції, то процесс інтегрування значно полегшиться:
1
 2  3 cos
2
1  cos 2 x 
1
dx

dx  cos 2 x 

dx  2


3
2
7  3 cos 2 x
x


2  1  cos 2 x 
2
користуємося універсальною тригонометричною підстановкою.

 Враховуючи, що аргумент тригонометричної функції в підінтегра льному 


 виразі  2 х, а не х, заміна змінної буде :



2
t  tgx  cos 2 x  1  t ; x  arctgt; dx  dt



1 t2
1 t2
dt
2
dt
1
dt
 2 1  t 2  2 2
 
 отримали табличний інтеграл  
1 t
4t  10 2 2 5
t 
7  3
2
1 t2

Приклад 81.

 2 
1 2
2t
1

arctg
c 
arctg  tgx   c.
2 5
5
10
 5 
sin 3 x
5
cos 3 x
dx .
Показник степеня при sin x в підінтегральному виразі — непарне додатне число, тому
поданий інтеграл можна розглядати як інтеграл виду 1.1 з пункту 7.
3

t  cos x

sin 3 x
sin 2 x sin x
1  cos 2 x sin x
1  t 2 dt
5
 5 cos 3 x dx   5 cos 3 x dx   5 cos 3 x dx  dt   sin xdx   5 t 3   t dt 

7
5
  t dt  
2
5
12
5


2
5
12
5
5t
5t
5 cos x 5 cos x

c  

 c.
2
12
2
12

Приклад 82.
sin 2 x
 cos 6 x dx .
Перетворимо підінтегральну
тотожності: sin 2 x  cos 2 x  1.
функцію
за
допомогою
основної
тригонометричної
поділимо почленно

sin 2 x
1  cos 2 x
1
1
dx

dx

dx  
dx .
чисельник на знаменник   
6
 cos 6 x  cos 6 x
cos x
cos 4 x


Отримали інтеграли виду (7.4):
1


z  tgx;
 1  tg 2 x  1  z 2 
2

1
dx
 1 
cos x
   1 z2
 cos 6 x dx    cos 2 x   cos 2 x  
dt

dz 
cos 2 t


2



  1  2 z 2  z 4 dz  z 
Останній інтеграл
1
 cos
4
x

2
 dz 
2z 3 z 5
2tg 3 x tg 5 x

 c  tgx 

 c.
3
5
3
5
dx був обчислений окремо у прикладі 63:
dx
tg 3 x
 cos 4 x  tgx  3  c.
Тоді поданий інтеграл:
sin 2 x
2tg 3 x tg 5 x
tg 3 x
tg 3 x tg 5 x
 cos 6 xdx  tgx  3  5  tgx  3  c  3  5  c .
Приклад 83.
x
2
ln 1  x dx .
Підінтегральна функція містить в якості множників одночасно степеневу функцію x 2 і
логарифмичну ln 1  x . Це говорить про доцільність використання методу інтегрування за
частинами.
При розбивці підінтегрального виразу на частки u і dv не має сенсу вносити ln 1  x в
dv : це приведе до ускладнень при інтегруванні ln 1  x під час відновлення v . Тому:
u  ln 1  x
dv  x 2 dx 
3
1 x 3 dx

 x
2
3
 ln 1  x  

x 
 x ln 1  x dx  du   1  1 dx   dx
3
6 1 x
v


21  x 
3 
1 x 2 1 x



Приклад 84.



поділимо почленно
 x3
x3
1 x3 1  1
 ln 1  x  
dx  
 ln 1  x 

3
6
x 1
чисельник на знаменник  3


1
1 dx
x3
x3 x2 1
1
2
x

x

1
dx



ln
1

x


 x  ln x  1  c.


6
6 x 1 3
18 12 6
6
xarctgx
1 x2
dx .
xdx

u  arctgx dv 
1 x2


t  1  x 2 
xarctgx
dx
xdx
dx

du

v



 1 x2
 1  x 2 dt  2 xdx 
1 x2


1
1
1 

  t 2 dt  t 2  1  x 2

2
 1  x 2  arctgx  
Приклад 85.
e
2x
dx
1 x2




1 x2
dx 
  1  x 2  arctgx  
1 x2




 1  x 2  arctgx  ln x  1  x 2  c.
dx
.
 2e x
Відносно e x знаменник підінтегрального виразу є квадратичною функцією, тому можна
спробувати заміну змінної:
t  ex .
t  e x  x  ln t 
dx
dt
dt


.
 e 2 x  2e x  dx  dt
  t t 2  2t  t 2 t  2


t


Поданий інтеграл звівся до інтегралу від раціональної функції.
1
A B
C
At (t  2)  B(t  2)  Ct 2




.
t 2 t  2 t t 2 t  2
t 2 t  2
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях t в многочленах чисельників:
Як рішення системи лінійних рівнянь отримаємо:
1
1
1
A , B , C  .
4
2
4
Тоді
e
2x
dx
1 dt 1 dt 1 dt
1
1 1
1 t2 1
    2  
  ln t   ln t  2  c  ln
 c 
x
4 t 2 t
4 t2
4
2t 4
4
t
2t
 2e
1 ex  2
1
 ln
 x  c.
x
4
e
2e
Приклад 86.

e x 1dx .
Позбавимося ірраціональності в підінтегральній функції:



t 2  e x  1  x  ln t 2  1 
2
2
  2 t dt  отримали неправильну   2 t  1  1 dt 
e x  1dx  
 t 2  1  раціональн у функцію   t 2  1
dx  2tdt

2


t 1


 
 ex 1 1
dt
t 1
x
  c.
 2  dt  2  2
 2t  ln
 c 2 e  1  ln 
 ex 1 1
t 1
t 1


Приклад 87.

arctgxdx
.
x2
Скористуємося методом інтегрування за частинами:

u  arctgx
arctgxdx 
 x 2  
dx
du 
1 x2

dx 
1
dx
x2 
.
   arctgx  
1
x
x 1 x2
v
x 
dv 


Отримали інтеграл від правильної раціональної функції. Для його обчислення розкладемо
функцію на суму найпростіших:



1
A Bx  C A 1  x 2  xBx  C 



.
x 1 x2
x 1 x2
x 1 x2



Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x в многочленах чисельників:
звідки отримуємо: A  1, B  1, C  0 . Тоді:



x
arctgxdx
1
dx
xdx
1
1
1
  arctgx    
  arctgx  ln x  ln 1  x 2  c  ln
 arctgx  c
2
2
x
x
x
2
x
1 x
1 x2 x
Приклад 88.
x
3
arcsin
1
dx .
x
1


dv  x 3 dx 
u  arcsin x

 x4
4
1
1 1
x3
3
1
1
dx
x


.

 arcsin  
 x arcsin x dx  du  
 2 dx  
v
2
x 4
 4
2
2
x

1
4
x
x x 1
1


1  


 x
Після застосування формули інтегрування за частинами отримали інтеграл виду (5.5):

 Pn ( x)  P3 ( x)  x 3

dx
2
2

.
  Ax  Bx  C  x  1   
2
2
x  1 Qn 1 ( x)  Q2 ( x)  Ax  Bx  C 
x2 1
x 3 dx
Продиференціюємо отриману рівність:
x3
x2 1

 2 Ax  B  x 2  1  Ax 2  Bx  C

x
x2 1


x2 1
.
Приведемо праву частину до спільного знаменника:
x3
x2 1

2 Ax  B x 2  1  xAx 2  Bx  C    .
x2 1
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x в многочленах чисельників:
1
2
Після рішення системи отримуємо: A  , B  0, C  ,   0 .
3
3
Тоді
x 3 dx
1 2 2 2
 x 2  1   3 x  3  x  1  c ,
а шуканий інтеграл
1
x4
1 1 2 2 2
3
 x arcsin x dx  4  arcsin x   12 x  12  x  1  c .
Приклад 89.  cosln x dx .
t  ln x  x  e t 
t
   cos te dt .
 cosln x dx  dx  e t dt


Отримали інтеграл, який відповідає формулі (3.18), тобто
t
 cos te dt 
et
sin t  cos t   c .
2
Тоді
 cosln x dx 
Приклад 90.
 arcsin
 arcsin
et
sin t  cos t   c  x sin ln x   cos(ln x)  c .
2
2
x dx .
u  arcsin t
t  x  x  t 2 

x dx  
dt
  2  t arcsin tdt  
du 
dx  2tdt


1 t2
 t 2  arcsin t  

 dt
1 t
2
 t 2 dt
1 t
2
 t 2  arcsin t  


 1  1  t 2 dt
  1  t 2 dt.
Останній з отриманих інтегралів — це інтеграл виду (5.14),тому
1 t
2
dv  tdt 

t2  
v
2 
 t 2  arcsin t 

1  t 2 dx 
t
1
1  t 2  arcsin t  c .
2
2
Тоді шуканий інтеграл:
 arcsin

x dx  t 2  arcsin t  arcsin t 
повернення до
t
1 t2  c  
2
старої змінної
t
1
1
1  t 2  arcsin t  c  t 2  arcsin t  arcsin t 
2
2
2

 x arcsin
х 
1
х  arcsin
2
х
x
1  x  c.
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ЛІТЕРАТУРА
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 / Г.М.
Фихтенгольц. — М.: Наука, 1969. — 608 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2 / Г.М.
Фихтенгольц. — М.: Наука, 1969. — 800 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3 / Г.М.
Фихтенгольц. — М.: Наука, 1966. — 656 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1 / Л.Д.Кудрявцев. — М.: Высшая
школа, 1988. — 521 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2 / Л.Д.Кудрявцев. — М.: Высшая
школа, 1988. — 627 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.3 / Л.Д.Кудрявцев. — М.: Высшая
школа, 1988. — 565 с.
Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1 / С.М.Никольский. — М.:Наука,
1990. — 528 c.
Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2 / С.М.Никольский. — М.:Наука,
1991. — 544 c.