Риск-менеджмент Плеханова 2017

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова»
(ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова»)
В. М. Картвелишвили
О. А. Свиридова
РИСК-МЕНЕДЖМЕНТ.
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РИСКА
Утверждено издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Москва
ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова»
2017
УДК 330.131.7(075.8)
ББК 65.012.1я73
К27
Рецензенты:
д-р техн. наук О. А. К о с о р у к о в (НИУ ВШЭ);
д-р экон. наук А. П. Г а р н о в (ФГБОУ ВО «РЭУ им.
Г. В. Плеханова»)
К27
Картвелишвили, В. М.
Риск-менеджмент. Методы оценки риска : учебное пособие / В. М. Картвелишвили, О. А. Свиридова. – Москва :
ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова», 2017. – 120 с.
ISBN 978-5-7307-1239-3
Излагаются теоретические основы математических и экспертных
методов, используемых при анализе рисковых ситуаций. Раскрываются подходы к принятию решений в условиях неопределенности.
Пособие имеет практическую направленность, снабжено большим
числом примеров, а также инструкциями, как реализовать расчеты в
программной среде.
Для аспирантов, а также для студентов, обучающихся по экономическим и экономико-математическим специальностям. Пособие может использоваться преподавателями при подготовке практических
занятий, а также представляет интерес для управленцев широкого
профиля.
УДК 330.131.7(075.8)
ББК 65.012.1я73
ISBN 978-5-7307-1239-3
© ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова», 2017
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................... 4
Глава 1. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РИСКА ........................................................... 9
1.1. Количественные методы оценки риска .............................................. 9
1.1.1. Математическое ожидание .......................................................... 9
1.1.2. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение ....................... 11
1.1.3. VaR (Value at Risk) ......................................................................... 17
1.1.4. Полудисперсия ............................................................................... 36
1.1.5. Другие меры риска......................................................................... 37
1.2. Экспертные методы оценки риска .................................................... 38
1.2.1. Метод Дельфи ............................................................................... 39
1.2.2. Метод сценариев ........................................................................... 43
1.2.3. Мозговой штурм............................................................................ 45
1.3. Нормативные методы идентификации риска .................................. 46
Глава 2. ПРОЦЕДУРЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В РИСКОВЫХ
СИТУАЦИЯХ ................................................................................................ 51
2.1. Анализ дерева событий ...................................................................... 51
2.2. Анализ дерева решений ..................................................................... 55
2.3. Анализ «галстук-бабочка» ................................................................. 66
2.4. Моделирование методом Монте-Карло ........................................... 71
2.5. Байесовский анализ и сеть Байеса .................................................... 76
2.6. Метод анализа иерархий .................................................................... 82
2.7. Метод аналитических сетей .............................................................. 94
Глава 3. ИНСТРУМЕНТАРИЙ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
В РИСКОВЫХ СИТУАЦИЯХ ................................................................... 108
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................... 120
3
ВВЕДЕНИЕ
Для любой организации, ассоциации, группы лиц, для любого
отдельного лица или объединения граждан, для каждого государственного, частного или общественного предприятия справедливо
утверждение: всем социоэкономическим и психосоциальным процессам, протекающим в организации, принципиально свойственны и
по существу сопутствуют внешние и внутренние обстоятельства и
факторы, которые порождают неопределенность в отношении прогноза действительной картины протекания процессов, а также возможности и времени достижения цели существования и функционирования указанных социально-экономических систем. Неопределенность вызывает реальное либо субъективно ощущаемое отклонение
от ожидаемого результата – позитивно-положительное, часто называемое реализацией шанса, или негативно-отрицательное, трактуемое как проявление риска, взятого на себя в организации или сообществе лицом, принимающим решение (ЛПР) – отдельным субъектом или коллективным органом, имеющим полномочия или возможность принимать решения. Выделяя курсивом здесь и далее трактовку понятий согласно официальным источникам [5–7], и не различая для общности сущностную окраску и знак отклонения фактического результата от ожидаемого, считаем, что в данном случае присутствует риск (risk) – влияние неопределенности на достижение поставленной цели.
Отметим, что здесь и во всем многообразии подходов к определению риска имеется общее ядро – понятие «неопределенность» –
состояние, заключающееся в недостаточности, даже частичной,
информации, понимания или знания относительно события, его последствий или его возможности – состояние, тесно связанное с понятиями «вероятность», «возможность», которые лежат в основе
включения качественных и количественных объективных или субъективных факторов в процедуры реагирования ЛПР на предполагаемые или возникшие рисковые ситуации – в процедуры риск-менеджмента (risk management) – скоординированные действия по управлению организацией с учетом риска.
В зависимости от сферы деятельности организации или мотивов
объединения граждан поставленные цели могут быть различными по
содержанию – экономические, социальные, экологические; назначению и уровню – стратегические, текущие, организационные; класси4
фицируемые по другим признакам конкретного социоэкономического и психосоциального процесса или функционального наполнения системы.
Влияние неопределенности на цель понимается в вероятностном
смысле и часто соотносится с потенциально возможными событиями
и последствиями или их комбинациями, считая неопределенность состоянием недостаточного владения ЛПР информацией, пониманием
или знанием относительно возможности наступления нежелательного события, существа события и его последствий. Недостаток информации в процедурах риск-менеджмента обусловлен стохастическим характером фактов наступления неблагоприятного события и
возникновения нежелательного состояния управляемых субъектов
или объектов и, что существенно, стохастическим характером конечного социоэкономического и психосоциального результата.
Как отмечалось выше, под следствием влияния неопределенности необходимо понимать отклонение от ожидаемого результата или
события – позитивное и/или негативное. Поэтому риск часто выражают в виде комбинации характеристик последствия события и вероятности его наступления, а существование множества определений и
толкований термина и понятия «риск» обусловлено, в частности,
множеством рисковых событий, разнообразием негативных последствий и отношением ЛПР из соответствующих сфер человеческой деятельности к данным событиям и последствиям.
В настоящем пособии используется как термин «менеджмент
риска» (risk management), относящийся к архитектуре эффективного управлению рисками – принципам, инфраструктуре, процессу,
так и термин «управление риском» (managing risk), относящийся к
применению этой архитектуры к конкретным рискам.
С учетом отношения к риску (risk attitude) – подходу к оценке и,
в конечном счете, к использованию благоприятных возможностей,
удержанию, принятию или недопущению риска, указанные ранее обстоятельства обязывают ЛПР тщательно проработать инфраструктуру менеджмента риска (risk management framework) – набор
компонентов, обеспечивающих основы и организационные меры и
структуры для разработки, внедрения, мониторинга, пересмотра и
постоянного улучшения менеджмента риска в масштабе организации, становясь при этом владельцем риска (risk owner) – лицом или
организационной единицей, которые имеют полномочия и несут ответственность за управление рисками.
5
Заметим, что термин «основы» включает политику, цели, полномочия и обязательства, а «организационные меры и структура» –
планы, взаимосвязи, ответственность, ресурсы, процессы и деятельность по управлению рисками, при этом инфраструктура менеджмента риска в идеале должна быть встроена во все стратегические и
операционные политики и практики организации.
Следуя политике менеджмента риска (risk management
policy), понимаемой как заявление общих намерений и направлений
деятельности организации в отношении менеджмента риска и выработав план менеджмента риска (risk management plan) – документ в инфраструктуре менеджмента риска, определяющий подход, элементы управления и ресурсы, используемые при менеджменте риска, владелец риска приступает к реализации процесса менеджмента риска (risk management process) – систематического
применения политик, процедур и практик менеджмента к деятельности по обмену информацией, консультированию, установлению
ситуации (контекста) и идентификации, анализу, оцениванию, воздействию на риск, мониторингу и пересмотру риска.
Понимая анализ риска (risk analysis) как процесс понимания природы риска и определения уровня риска, что, во-первых, обеспечивает
основу для процедуры оценивания риска (risk evaluation) – процесса
сравнения результата анализа риска с установленными критериями
риска для определения, является ли риск и/или его величина приемлемыми или допустимыми, и, во-вторых, формирует базу решений, касающихся воздействия на риск, принято включать анализ и оценивание в блок оценки риска (risk assessment), т. е. в общий процесс: идентификация риска, анализ риска и оценивание риска (рис. 1), где под
идентификацией риска (risk identification) понимают процесс обнаружения, распознавания и описания риска.
Заметим, что процесс идентификации риска должен включать
распознавание материальных и нематериальных источников риска
(risk sources) – элементов, которые отдельно или в комбинации
имеют собственный потенциал, чтобы вызвать риск, распознавание событий (events) – возникновения или изменения ряда конкретных обстоятельств, а также распознавание возможных последствий (consequences) – результатов событий, влияющих на цели.
Идентификация риска может использовать исторические данные,
теоретический анализ, обоснованную точку зрения и экспертные
оценки, а также потребности заинтересованных сторон
(stakeholders) – лиц или организаций, включая ЛПР, которые могут
6
воздействовать, или на которые могут воздействовать, или которые считают, что на них влияет какое-либо решение или деятельность.
Риск может быть оценен для всей организации, ее подразделений, отдельных проектов, деятельности или конкретных событий,
причем каждое событие может иметь одно или несколько происхождений, одну или несколько причин. Поэтому разнообразие событий,
приводящих к определенному множеству ситуаций, требует эффективных
процедур
установления ситуации (контекста)
(establishing the context) – определения внешних и внутренних параметров, принимаемых во внимание при управлении риском, а также
области применения и критериев риска для политики менеджмента
риска. Контекст может включать внешнюю ситуацию (external context) – внешнюю среду и внутреннюю ситуацию (internal context) –
внутреннюю среду, в которых организация стремится к достижению своих целей. В свою очередь внешний контекст может включать:
1) социальную, правовую, регулирующую, финансовую, технологическую, экономическую, культурную, естественную и рыночную среду на международном, национальном, региональном или на
местном уровне,
2) основные движущие силы и тенденции, влияющие на цели
организации;
3) взаимосвязи с заинтересованными сторонами, их ожидания и
ценности.
А внутренняя ситуация включает:
1) руководство, организационную структуру, роли и ответственность;
2) политики, цели и стратегии, доступные с точки зрения их достижения;
3) возможности, понимаемые в отношении ресурсов и знания:
капитал, время, люди, процессы, системы и технологии;
4) информационные системы, информационные потоки, формальные и неформальные процессы принятия решений;
5) взаимосвязи с внутренними заинтересованными сторонами,
их ожиданиями и ценностями;
6) организационную культуру;
7) стандарты, руководство и модели, принятые организацией;
8) форму и содержание конкретных отношений.
7
Столь существенное разнообразие рассматриваемых событий и
контекстов требует разработки адекватного возникающим проблемам набора эффективных методов оценки риска. В настоящем пособии представлены качественные и количественные методы, которые
могут быть включены в эффективный и результативный процесс
риск-менеджмента в различных областях деятельности и сферах применения. Знание и владение всей палитрой методов оценки риска
позволит, в частности:
– повысить возможность достижения цели;
– улучшить идентификацию возможностей и угроз;
– улучшить и совершенствовать управление рисками;
– повысить жизнеспособность системы.
Оценка риска обеспечивает понимание возможных опасных событий, их причин и последствий, вероятности их возникновения и
принятие решений:
– о необходимости предпринимать соответствующие действия;
– о способах максимальной реализации всех возможностей
снижения риска;
– о необходимости обработки риска;
– о выборе между различными видами риска;
– о приоритетности действий по обработке риска;
– о выборе стратегии обработки риска, позволяющей снизить
риск до приемлемого уровня.
Определение ситуации
Оценка риска
Идентификация риска
Обмен
информацией
и консультирование
Анализ риска
Мониторинг и
пересмотр
Оценивание риска
Воздействие на риск
Рис. 1. Процесс оценки риска в риск-менеджменте
8
Глава 1. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РИСКА
1.1. Количественные методы оценки риска
Анализируя определения, встречающиеся в литературе, можно
сделать вывод, что в конечном итоге величина риска определяется
величиной возможного ущерба даже в тех случаях, когда на это нет
прямых указаний [15].
Таким образом, для принятия управленческих решений можно
использовать общие подходы и принципы исследования риска, основанные на «двухмерном» толковании риска, т. е. на анализе вероятности неблагоприятного события и возможного ущерба от его проявления.
Количественная мера риска R при таком его толковании определяется из закона распределения ущерба. В качестве меры риска
обычно используются показатели, одновременно учитывающие обе
характеристики закона распределения ущерба – вероятности его
наступления и размеры.
Вероятность Р(t) наступления сравнительно редких событий за
интервал времени t (как правило за год) может выступать как мера
(показатель) риска при оценке экологических или техногенных рисков, рисков чрезвычайных ситуаций – это удобно при сравнении рисков для одного объекта от различных событий или для различных
объектов в типовых для них условиях функционирования. Такие
риски связывают также с размером ущерба от опасного события
(наводнения, землетрясения, взрыва, пожара) в натуральном (число
пострадавших, погибших) или стоимостном выражении.
1.1.1. Математическое ожидание
Здесь стоит вспомнить один из принципов классификации рисков: по характеру последствий риски принято разделять на чистые и
спекулятивные (иногда употребляют термин «коммерческие»). В
первом случае акцент в определении понятия риска на содержательном уровне делается на слове «ущерб» и в рамках таких моделей дополнительно принимается, что возможные отклонения конечного
экономического результата будут только в неблагоприятную сторону. В этом случае можно говорить о показателе среднего риска
(среднего ущерба). Во втором случае экономический результат характеризуется как возможной прибылью, так и возможными убыт9
ками относительно соответствующего ожидаемого (например, принимаемого в расчетах) значения конечного результата для анализируемой альтернативы. Тогда говорят о математическом ожидании
для конечного экономического результата или ожидаемом доходе.
Случайная величина  называется дискретной случайной величиной, если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений. Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде:

P
X1
P1
…
…
X2
P2
Xi
Pi
…
…
Xn
Pn
(X1 < X2 <…< Xi <…< Xn), т. е. для каждого возможного значения случайной величины  задать вероятность этого значения. Тогда математическое ожидание дискретной случайной величины определяется
по формуле (1.1)
n
M ( )   X i  Pi
i 1
(1.1)
В качестве меры риска R принимают математическое ожидание
соответствующего ущерба (или ожидаемого дохода в моделях спекулятивных рисков), т. е.
R  M   ,
(1.2)
где R – количественная мера риска – средний риск, выражаемая в тех
же показателях, что и ущерб (доход);
Pi – вероятность получения ущерба (дохода) размера Xi в результате наступления какого-либо события (группы событий);
Xi – величина ущерба (дохода), выраженная в соответствующих
показателях (в экономике, как правило, в стоимостном выражении);
n – число возможных вариантов ущербов (доходов), которые могут иметь место, включая и нулевой ущерб.
Случайная величина  называется непрерывной, если существует неотрицательная функция p x  , такая, что
F  x  
x
 p t dt ,

(1.3)
где F x  – функция распределения вероятностей случайной величины  .
Функция p x  , удовлетворяющая условию (1.3), называется
плотностью распределения вероятностей случайной величины  .
10
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
может быть найдено следующим образом:

M   
 xp x dx .
(1.4)

Математическое ожидание является наиболее распространенной
мерой риска.
1.1.2. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение
Показатель среднего квадратического отклонения    характеризует меру «разброса» или меру отклонения случайной величины 
от ожидаемого значения M   , т. е. меру неопределенности ожидаемого экономического результата. В частности, если для некоторой
альтернативы m имеет место равенство  m  0 (или  2 m  0 ), то экономический результат такой альтернативы не отклоняется от ожидаемого расчетного значения, т. е. в таком случае нет неопределенности,
следовательно, нет и риска. Чем больше  m , тем в среднем больше
ожидаемое отклонение, т. е. тем выше неопределенность и риск.
Для дискретной случайной величины дисперсия и среднеквадратическое отклонение определяются следующим образом:
n
D     X i  M    Pi
2
,
(1.5)
i 1
    D  .
(1.6)
Для непрерывной случайной величины
D  

 x  M  
2
p x dx,
(1.7)

    D  .
(1.8)
Пример 1.1. Фирма рассматривает предложение об инвестировании на один год своих свободных денежных средств в предприятие, занимающееся автоперевозками [3]. Рентабельность этого предприятия, а, следовательно, и рентабельность инвестиций фирмы зависит от возможного изменения тарифов (например, из-за соответствующего изменения цен на нефть). Пусть по оценкам экспертов в
рамках анализа таких рисков соответственно необходимо учесть следующие возможные сценарии (в среднем за год):
1. С вероятностью 0,3 тарифы возрастут на 30% (событие А1).
2. С вероятностью 0,4 тарифы возрастут на 20% (событие А2).
3. С вероятность 0,1 тарифы возрастут на 10% (событие А3).
11
4. С вероятностью 0,1 тарифы останутся на прежнем уровне (событие А4).
5. С вероятностью 0,1 тарифы снизятся на 10% (событие А5).
В соответствии с такими возможными вариантами развития событий (в среднем за год) ожидаются следующие поступления/выплаты на каждую инвестируемую 1 000 у. е.:
Ситуации А1
А2
А3
А4
А5
Выплаты 1500 1400 1200 1000 900
Руководство фирмы желает получить комментарии относительно ожидаемой рентабельности такого предложения в условиях
риска.
Решение. Рентабельность инвестиционного предложения,
например, для первого сценария А1 будет определяться из соотношения
xr 
1500  1000
 0,5 ,
1000
тогда случайная величина рентабельности ~x r может быть задана соответствующим дискретным законом распределения вероятностей.
Значения ~x r 0,5 0,4 0,2 0
–0,1
Вероятности 0,3 0,4 0,1 0,1 0,1
Математическое ожидание рентабельности
M ~
x r   0,3  0,5  0,4  0,4  0,1  0,2  0,1   0,1  0,32.
Дисперсия
 
2
2
D ~
xr   M ~
xr  M ~
xr  .
2
2
M ~
xr  0,3  0,5 2  0,4  0,4 2  0,1  0,2 2  0,1   0,1  0,144.
 
D ~
x r   0,144  0,1024  0,0416 .
Среднеквадратическое отклонение
 ~x r   0,0416  0,204 .
Итак, ожидаемое значение рентабельности анализируемого
предложения на каждую 1 000 у. е. составляет 32%. При этом в рассмотренном примере соответствующий риск (как риск отклонения
рентабельности) составляет 20,4%.
Пример 1.2. Случайная величина  равномерно распределена на
отрезке [a, b] [16], если
при
 0,

p  x    1
, при

b  a
12
х  a, b
х  a, b .
Функцию распределения случайной величины  можно найти
следующим образом:
– если x  a , то
F x  
x
x


 p t dt   0  dt  0 ,
– если a  x  b , то
F x  
x
 p t dt 

a
x
 p t dt   p t dt 

a
a
x
1
1
dt 
t
b

a
b

a
a
 0  dt  

x
a

xa
,
ba
при x  b
F x  
x
a
b
x
b


a
b
a
 p t dt   p t dt   p t dt   p t dt   b  a dt  1 .
1
Таким образом,
если
 0,
x  a
F  x   
, если
b

a

если
 1,
x  a,
x  a, b .
x  b.
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины 
можно найти следующим образом:

b
x
1 x2
M     xp x dx  
dx 

ba
ba 2

a

  x
M 2 

b
2
p x dx   x 2 
a
   M  
D   M 
2
2
b
a
1 b2  a2 a  b



,
ba
2
2
1
1
x3
dx 

ba
ba 3
b

a

1 2
a  ab  b 2
3
,
b  a 
1
ab
 a 2  ab  b 2  
.
 
3
12
 2 


2
2
Пример 1.3. Фирма, занимающаяся морскими перевозками,
имеет два предложения на один и тот же период времени [3]. Ресурсы
фирмы позволяют ей заключить только один контракт из предлагаемых. Условия этих контрактов включают соответствующие штрафные санкции из-за возможных случайных задержек груза. При этом
доход фирмы Y с учетом имеющихся рисков можно представить следующим образом.
Для первого из этих контрактов доход Y1 (в тыс. у. е.) к концу
периода представляется в виде
Y1  100  X 1  Z 1 ,
13
где X 1 – случайные возможные потери из-за забастовок докеров в
порту, подчиняющихся нормальному закону распределения вероятностей N (20; 10);
Z 1 – случайные потери (не зависящие от X1), обусловливаемые
задержками в доставке из-за погодных условий, подчиняющиеся равномерному закону распределения вероятностей R(0; 10).
Аналогичное представление дохода в рамках второго из рассматриваемых контрактов имеет вид
Y2  90  X 2  Z 2 ,
где случайные составляющие X 2 и Z 2 независимы друг от друга,
причем X 2 подчиняется нормальному закону распределения вероятностей N(15; 3), а Z 2 подчиняется равномерному закону распределения вероятностей R(0; 4).
Математическое ожидание дохода для первого из этих контрактов равно M Y1   100 000  20 000  5 000  75 000 у. е.; для второго
– M Y2   90 000  15 000  2 000  73 000 у. е.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дохода для первого контракта
2

10000
DY1   10000 
2
12
 1,083  108 ,
 Y1   10408,33 у. е.
Для второго контракта:
2

4000
DY2   3000 
2
12
 1,03  10 7 ,
 Y2   3214,55 у. е.
Пример 1.4. Некоторая фирма приняла решение прекратить выпуск подъемных рельсов и приобретать их у поставщиков [9]. Фирме
требуются рельсы диаметром 1 дм. Компания получила образцы в количестве 10 шт. от двух поставщиков. Результаты их замеров приведены в таблице (см. первые два столбца на рис. 2).
14
Решение задачи в Excel:
Рис. 2. Обобщающие характеристики по поставщикам
Заметим, что требуемые характеристики – среднее значение и
медиана – находятся с помощью функций СРЗНАЧ, МЕДИАНА, для
обоих поставщиков они одинаковы и равны 1 дм. Однако кроме
этого, необходимо вычислить меру разброса значений. Воспользуемся функциями ДИСП и СТАНДОТКЛОН. Результаты применения
статистических функций приведены на рис. 2 в двух последних
столбцах.
Упражнение 1.1. Финансовый аналитик должен обосновать
включение в портфель дополнительной ценной бумаги, выбрав одну
из двух ценных бумаг, историческая доходность которых за последние 5 лет представлена в следующей таблице.
Доходность акции А, % 14,75 7,23 15,66 18,45 12,14
Доходность акции В, % 20,33 10,85 5,22 22,41 19,23
Упражнение 1.2. Посоветуйте инвестору, какой из двух инвестиционных проектов выбрать: проект А с вероятностью 0,6 принесет прибыль 15 млн рублей, и с вероятностью 0,4 принесет убытки в
размере 5,5 млн рублей. Проект В с вероятностью 0,8 принесет прибыль 10 млн рублей, а с вероятностью 0,2 – потери 6 млн рублей.
Упражнение 1.3. Необходимо принять решение об участии в одном из двух финансовых проектов, доходности которых зависят от
15
состояния экономики страны. Варианты развития состояния экономики и соответствующие доходности проектов представлены в следующей таблице:
Состояние экономики
Глубокий спад
Спад
Стагнация
Подъем
Быстрый рост
Вероятность
0,05
0,2
0,5
0,2
0,05
Доходность, %
Проект 1
Проект 2
–3
–2
6
9
11
12
14
15
19
26
Упражнение 1.4. Предприниматель решает, в какой бизнес выгоднее вложиться: заняться бытовой техникой или выйти на рынок
телекоммуникаций. При выборе первой альтернативы, при прочих
равных условиях, через год случайный конечный доход реализуется
с равными шансами в интервале от 37 тыс. у. е. до 73 тыс. у. е. При
выборе второй альтернативы – в интервале от 40 тыс. у. е. до 69 тыс.
у. е. Какой вид бизнеса выберет предприниматель?
Упражнение 1.5. Имеются объемы выручки от реализации продукции трех видов, они оцениваются как случайные величины с распределениями следующего вида:
X
P
100
0,15
Продукция вида А (тыс. у. е.)
150
200
250
?
0,4
0,2
300
0,13
Продукция вида Б (тыс. у. е.)
X
P
X
P
100
0,03
100
0,2
150
0,07
200
0,04
250
0,71
Продукция вида В (тыс. у. е.)
150
200
250
0,05
0,14
?
300
?
300
0,31
Производство какого вида продукции стоит выбрать предпринимателю?
Упражнение 1.6. Доход для первой альтернативы принимается
как случайный конечный экономический результат, значения которого с равными шансами реализуются в интервале от 100 до 250 тыс.
у. е., а для второй – от 95 до 220 тыс. у. е. Оцените и сравните риски.
16
Упражнение 1.7. Предположим, что мы собираемся инвестировать в компанию, распределение дохода которой носит характер,
представленный в следующей таблице:
Доход, % годовых
4
6
8
10
ИТОГО:
Частота возникновения
10
15
15
10
50
Вероятность
0,2
0,3
0,3
0,2
1,0
Какой средний доход ожидается в следующем году? Какая неопределенность относительно этого среднего может быть в следующем году? Какие значения дохода можно ожидать с вероятностью
95,4%?
1.1.3. VaR (Value at Risk)
В качестве меры риска могут быть выбраны и другие показатели,
в той или иной мере характеризующие возможный ущерб и закон его
распределения. К их числу можно отнести квантили [15].
В общем случае под квантилем, соответствующим доверительной вероятности  , понимается уровень ущерба, вероятность превышения которого равна  (соответственно вероятность непревышения
равна 1   ). Иными словами, квантиль X   inf x : F x  1   , где
F    P x    – функция распределения потерь x.
В финансовой сфере квантили X  при достаточно малых значениях   0,01  0,05 именуют термином VaR (Value at Risk).
Снова обращаясь к типологии рисков, например, к [10; 16], надо
отметить, что среди финансовых рисков принято выделять рыночный риск. В [16] рыночный риск определяется как возможность несоответствия характеристик экономического состояния объекта значениям, ожидаемым лицами, принимающими решения под действием
рыночных факторов. Однако при объяснении методологии VaR используется понятие риска, связанное с возможностью лишь неблагоприятных исходов, убытков и негативных последствий.
Наиболее часто применяется классификация рыночных рисков
по сегментам рынка. Так, в состав рыночных рисков входят процентный риск, валютный риск, ценовой риск рынка акций, ценовой риск
товарных рынков, риск рынка производных финансовых инструментов.
17
Рыночный риск связан с возможными потерями из-за неблагоприятных для инвестора изменений цен, а точнее, с неопределенностью будущей динамики цен на рынках.
Говоря об оценке рыночных рисков, стоит ввести несколько
определений.
Портфельный подход предполагает восприятие активов и пассивов предприятия (а в общем случае и иных благ) как элементов
единого целого – портфеля, сообщающих ему характеристики риска
и доходности, что позволяет эффективно проводить анализ возможностей и оптимизацию параметров экономических рисков.
Портфель – это набор активов (пассивов), являющихся титулами собственности или иных благ, который представляет собой составной актив (пассив), имеющий параметры риска и доходности
(стоимости), изменяющиеся под воздействием двух факторов:
– изменения состава портфеля (выбытие активов, обмен);
– изменения риска и доходности (стоимости), составляющих
портфель активов (пассивов) в связи с изменениями как самих активов (пассивов), так и конъюнктуры рынков.
Риск портфеля активов компании можно описать функцией распределения изменения стоимости (доходности) портфеля за некоторый временной интервал, рассмотрев все возможные сценарии развития рисковых ситуаций на рынках и определив для каждого из них
изменение стоимости (доходности) портфеля.
В практике управления рыночными рисками применение в качестве оценки риска стандартного отклонения имеет некоторые недостатки:
 во-первых, как правило, лица, принимающие решения по
управлению портфелем, предпочитают получать информацию о
риске в виде величины реальных денежных потерь, а не в форме стандартного отклонения;
 во-вторых, стандартное отклонение учитывает как благоприятные изменения стоимости портфеля, так и неблагоприятные. Если
распределение изменения стоимости портфеля имеет симметричный
вид, то стандартное отклонение дает корректное значение риска. Но
современный портфель имеет в своем составе опционы и подобные
опционам инструменты. Изменение стоимости таких инструментов
относительно рыночных цен является нелинейным. Это приводит к
тому, что распределение изменений стоимости портфеля перестает
быть симметричным и стандартное отклонение дает некорректную
оценку риска.
18
Альтернативные методы измерения и управления риском развивались параллельно с ростом финансовых рынков. Один из таких методов измерения риска – VаR – стал особенно широко применяться в
последние несколько лет и сегодня используется в качестве основы
международными банковскими организациями (например, BIS) при
установлении нормативов величины капитала банка относительно
риска его активов. Методология VaR стала применяться также для
оценки рисков контрагентов, оценки операционных рисков.
Метод VаR был разработан для того, чтобы с помощью одного
единственного числа отобразить информацию о риске портфеля.
VaR – (дословно «стоимость под риском») – выраженная в данных денежных единицах (базовой валюте) оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью.
Необходимо отметить, что данный показатель позволяет количественно оценить ожидаемые потери в стоимости портфеля в нормальных условиях функционирования рынка.
Пусть фиксирован некоторый портфель открытых позиций. VaR
портфеля для данного доверительного уровня 1    и данного периода поддержания позиций t определяется как такое значение, которое
обеспечивает покрытие возможных потерь x держателя портфеля за
время t с вероятностью 1   
PVaR  x   1   .
Как следует из определения, VaR – наибольший ожидаемый убыток, обусловленный колебаниями цен на финансовых рынках, который рассчитывается:
 на определенный период времени в будущем (временной горизонт);
 с заданной вероятностью его непревышения (уровень доверия);
 при данных предположениях о характере поведения рынка
(метод расчета).
Доверительный интервал и временной горизонт – ключевые параметры, без которых невозможен ни расчет, ни интерпретация показателя VaR.
Например, VaR в 10 млн рублей для временного горизонта 1 день
и доверительной вероятности 99% будет означать (при условии сохранения тенденций рыночной конъюнктуры), что:
19
 вероятность того, что в течение следующего дня мы потеряем
меньше чем 10 млн рублей, составляет 99%;
 вероятность того, что убытки превысят 10 млн рублей составляет 1%;
 убытки, превышающие 10 млн рублей, ожидаются в среднем
один раз в 100 дней торгов.
Для расчета VaR необходимо выбрать факторы, которые влияют
на уровень волатильности доходности в торговом или инвестиционном портфеле. Например, в случае портфеля ценных бумаг факторы
риска – это цены на конкретные бумаги, входящие в портфель. Затем
можно использовать эти факторы для получения распределения ценности портфеля для конкретного временного горизонта риска (или
распределения изменений ценности портфеля). После получения распределения можно рассчитать среднее и квантили этого распределения для получения VaR портфеля.
Определив факторы риска, которые приводят к волатильности
доходности портфеля, риск-аналитик должен выбрать соответствующую методологию получения распределения. Существуют три способа:
1) метод исторического моделирования;
2) аналитический (параметрический) подход;
3) метод моделирования Монте-Карло.
Метод исторического моделирования
Исторический метод заключается в исследовании изменения
стоимости такого портфеля за предыдущий исторический период.
Для вычисления VаR составляется база данных за определенный
исторический период значений цен инструментов, входящих в портфель (или выделенных рыночных факторов, если портфель аппроксимируется). После этого надо вычислить изменения цен инструментов за промежуток времени, для которого рассчитывается VаR, и получить соответствующие значения изменения стоимости портфеля.
Затем надо проранжировать полученные данные, построить гистограмму распределения изменений стоимости портфеля и найти значение VаR, соответствующее выбранному значению вероятности.
Пример 1.5. Рассчитать однодневный VaR с доверительной вероятностью 99%, 95% для инструмента, по которому имеется следующая информация, приведенная в таблице:
20
Однодневный
доход, тыс. у. е.
Количество
наблюдений
–15
–14
–10
–8
–6
–4
2
8
10
1
1
2
3
13
12
20 15 14 13
6
4
6
Решение:
Однодневный
–15 –14 –10 –8 –6 –4
2
4
6
8
доход,
тыс. у.е.
Количество
1
1
2
3
13 12
20
15
14
13
наблюдений
Накопленная
частота 0,01 0,02 0,04 0,07 0,2 0,32 0,52 0,67 0,81 0,94
(вероятность)
10
6
1
VaR0,99 1 = 15 тыс. у. е.
VaR0,95 1 =9,33 тыс. у. е. находим с помощью линейной интерполя-
ции. То есть однодневный убыток по данному активу не превысит 15
тыс. у. е. с вероятностью 99% и 9,33 тыс. у. е. с вероятностью 95%.
Пример 1.6. Управляющий оперирует портфелем, содержащим
1 актив. Доход с актива обычно имеет распределение со средним значением 20% и стандартным отклонением 30%. Текущая цена порт-
21
феля составляет 100 млн долларов. Необходимо ответить на несколько простых вопросов, касающихся вероятностного распределения цены портфеля на конец года:
1. Каков характер этого распределения?
2. Какова вероятность понести убыток более 20 млн долларов к
концу года (т. е. какова вероятность, что в конце года цена окажется
ниже 80 млн )?
3. Какой максимальный убыток можно понести к концу года с
вероятностью 1%. Это и будет VaR с вероятностью 1%.
Решение данного примера в среде Excel приведено в главе 3.
Пример 1.7. Инвестор собирается купить акции компании
«Аэрофлот» и желает получить комментарии относительно рискованности предстоящих вложений. Его интересует вопрос, какое максимальное количество денег он потеряет в один день на фондовом
рынке.
Решение данного примера в среде Excel приведено в главе 3.
Основная привлекательность метода исторического моделирования заключается в том, что этот метод полностью непараметрический
(т.е. нам не нужно беспокоиться о параметрах модели) и не зависит
от допущений о распределении факторов риска [10]. В частности, нам
не нужно предполагать, что доходности факторов риска нормально
распределены и независимы от времени. Также устранена необходимость оценки волатильностей и корреляций. Исторические волатильности и корреляции уже отражены в наборе данных, которые нужны
для расчета для заданного периода. «Тяжелые хвосты» распределения и другие экстремальные события также отражены в наборе данных, поэтому учитываются.
Основным недостатком исторического моделирования является
зависимость от особенностей набора данных. Базовое допущение состоит в том, что прошлое, которое охватывает исторический набор
данных, – это надежное представление будущего. Однако исторический период может охватывать такие события, как крах рынка или,
наоборот, период низкого уровня волатильности цены, которые вряд
ли повторятся в будущем.
Историческое моделирование может также привести к искаженной оценке риска, если мы используем методику независимо от
структурных изменений, ожидаемых на рынке (например, введение
евро на валютных рынках в начале 1999 г.).
22
Использование небольших выборок исторических данных неизбежно приведет к провалам распределения факторов риска и недостаточному представлению хвостов распределения, т. е. возникновению маловероятных, но экстремальных случаев.
Упражнение 1.8. Объясните, что означает 24-часовой VaR величиной в 5 млн рублей на доверительном интервале 99%.
Упражнение 1.9. Моделирование стоимости портфеля за последние 100 дней с использованием исторических данных представлено в таблице. Текущая стоимость портфеля – 1,8 долларов.
День
100
99
98
…
2
1
Возможная цена
1,75
1,73
1,69
…
1,87
1,88
Изменение текущей ценности, долл.
–0,05
–0,07
–0,11
…
+0,07
+0,08
В следующей таблице показано ранжирование изменений стоимости портфеля:
Ранг
100
99
98
…
2
1
Изменение текущей ценности
–0,11
–0,07
–0,05
…
0,07
0,08
Определить VaR0,99 1 .
Упражнение 1.10. Клиент инвестирует 10 000 рублей в определенные акции [9]. Исследуя предысторию этих акций и посоветовавшись со своим брокером, он приходит к выводу, что доходность удовлетворяет нормальному закону с математическим ожиданием 10% и
стандартным отклонением 4%. Доходы от акций будут обложены
налогом по ставке 33%. Вычислите вероятность того, что в качестве
налогов будет уплачено по крайней мере 400 рублей. Вычислите
90%-ную верхнюю границу для чистого дохода.
23
Аналитический ковариационный метод расчета VaR
Аналитический ковариационный (дельта-нормальный, параметрический) метод расчета показателя VaR был впервые реализован
банком J. P. Morgan в своей знаменитой системе RiskMetrics, получившей признание в качестве отраслевого стандарта.
Дельта-нормальный метод основывается на предположении о
том, что факторы риска и стоимость (ценность) портфеля имеют логарифмически нормальное распределение или, что их логарифмические доходности нормально распределены
rt  ln Pt / Pt 1   N ,  2 
(1.9)
В таком случае распределение доходностей инструментов, являющихся линейными комбинациями факторов риска, также будет нормальным. Это фундаментальное свойство будет сохраняться для любого портфеля, состоящего из инструментов с линейными ценовыми
характеристиками, как, например, акций или валют [16].
В случае нормально распределенной случайной величины доверительный интервал 1    всегда характеризуется единственным параметром – квантилью k1  , которая показывает положение искомого значения случайной величины (симметрично в обоих хвостах
распределения) относительно среднего е  Ert  , выраженное в количестве стандартных отклонений доходности портфеля  t  . Так,
для наиболее часто используемых значений доверительного интервала 95 и 99% соответствующие квантили будут равны 1,65 и 2,33
стандартных отклонений доходности портфеля.
VaR для одного актива
Для формального определения величины VaR, используемого в
дельта-нормальном методе, рассмотрим сначала инвестиционную
позицию, состоящую лишь из одной единицы какого-либо актива.
Очевидно, что размер дневной прибыли или убытка по такой единичной позиции будет в точности равен изменению цены этого актива за
этот день. В этом случае наименьшая ожидаемая цена следующего
дня с заданной вероятностью 1    будет равна
Pt 1  Pt e t k1  t .
(1.10)
Математическое ожидание однодневной доходности  t на практике часто принимается равным нулю.
Волатильность доходности может быть оценена по историческим данным как на основе обычной выборочной дисперсии, так и с
24
использованием моделей, учитывающих вариацию дисперсии во времени, простейшей из которых является экспоненциальное сглаживание, реализованное в системе RiskMetrics
 t2   t21  1   rt 2 ,
(1.11)
где  – параметр сглаживания.
Вопросы выбора параметра сглаживания и оценки VaR подробно
описаны в работе [16. – С. 246–268].
Другой подход к оценке стандартного отклонения доходности
состоит в расчете предполагаемой волатильности на основе котировок опционов. Возможны также комбинации этих двух подходов.
Интересующая нас величина VaR отражает не цену или стоимость как таковую, а ее наибольшее ожидаемое изменение за один
день, которое можно определить следующим образом:
VaR  Pt e ;t k1  t  1 .
(1.12)

 k


На практике величину e t 1 t  1 обычно заменяют на ее приближенное значение t  k1  t . Эта линейная аппроксимация для малых значений  t основана на разложении исходной функции в ряд
Тейлора. Для временных горизонтов, превосходящих один день,
обычно допускают, что дисперсия изменений цен пропорциональна
длительности временного горизонта прогнозирования, что позволяет
получать оценку рыночного риска на необходимую перспективу путем простого масштабирования однодневной величины VaR (но такая
оценка будет приемлемой только для сравнительно небольших интервалов времени).
В общем случае для отдельной позиции, состоящей из нескольких одинаковых инструментов, подверженных единственному фактору риска с ожидаемой  -дневной доходностью  t и волатильностью  t , величина VaR с временным горизонтом Т дней и доверительным интервалом 1    может быть рассчитана в момент времени t по
следующей формуле:
 T
T
,
VaR  V   t  k1  t





(1.13)
где V – текущая стоимость позиции (произведение текущей цены на
количество единиц актива).
На практике часто оперируют абсолютным значением VaR, для
чего в формуле (1.13) вместо V часто используют –V при отрицательной величине в скобках.
25
Формула (1.13) задает показатель, называемый также абсолютным VaR, так как он отражает чистый денежный убыток (т. е. отрицательное изменение стоимости позиций), рассчитанный с учетом известной ожидаемой доходности. В отличие от него, относительный
VaR (relative VaR) определяется как денежная величина потерь относительно произвольной ожидаемой доходности (ее можно считать
равной нулю)
T
VaRrel  V  k1  t
.
(1.14)

Таким образом, основной проблемой при расчете VaR аналитическим методом является нахождение дисперсии доходности инструмента (для единичной позиции) или портфеля в целом (для совокупности нескольких позиций).
VaR для портфеля активов
При расчете VaR портфеля активов, используя прошлые данные
статистики, определяют ожидаемые значения доходностей, дисперсий и ковариаций доходностей активов. На их основе рассчитывают
VaR портфеля для заданного уровня доверительной вероятности по
следующей формуле:
VaRp  S p   p  n p ,
(1.15)
где S p – стоимость портфеля;
 p – стандартное отклонение доходности портфеля, соответствующее интервалу времени, для которого рассчитывается VaR;
n p – количество стандартных отклонений, соответствующих
уровню доверительной вероятности. Для уровня 68,3% = 1,00;
90% = 1,28; 95% = 1,65; 95,4% = 2,00; 99% = 2,33; 99,7% = 3.
Пример 1.8. Рассчитать однодневный VaR c доверительной вероятностью 95,4% для портфеля стоимостью 20 млн рублей, в который входят акции только одной компании, если стандартное отклонение доходности портфеля в расчете на год составляет 24%.
Решение. Рассчитаем стандартное отклонение доходности портфеля для 1 дня. Зная значение  p за год, определяем стандартное отклонение доходности для 1 дня:  p1   p
250 (в году принято счи-
тать 250 торговых дней). Так,  p1  0,24 250  0,0152 . Доверительной
вероятности 95,4% соответствует 2 стандартных отклонения. Тогда
VaRp  20 млн. руб.  0,0152  2  0,608 млн. руб.
26
Итак, в течение ближайших суток максимальные потери в стоимости портфеля с доверительной вероятностью 95,4% могут составить 608 тыс. рублей или это можно интерпретировать следующим
образом: в течение ближайших суток вероятность потерять сумму
меньше 608 тыс. рублей составляет 95,4%, а сумму больше 608 тыс.
рублей – 4,6%.
Примечание. Правило квадратного корня из времени, утвержденное регулирующими органами, гласит, что, если вы хотите
трансформировать волатильность одного временного периода в волатильность другого временного периода, то вам необходимо умножить ее на отношение квадратного корня из времени, а не просто на
отношение времени. Например, если известна месячная волатильность, и необходимо определить годовую волатильность, то нужно
месячную волатильность умножить на корень из 12, а не просто на
12.
В приведенном выше примере был представлен абсолютный
VaR. Значение относительного VaR учитывает, что инвестор с заданной вероятностью не только может потерять сумму, равную абсолютному VaR, но и не получить сумму, равную средней ожидаемой доходности портфеля за рассматриваемый период. Так, в примере выше
однодневный абсолютный VaR с доверительной вероятностью 95,4%
составлял 608 тыс. рублей. Допустим, что на основании данных за
прошлый год средняя доходность портфеля за день составляла 0,05%.
От 20 млн. рублей это составляет 10 тыс. рублей. Тогда относительный VaR равен
608 000 + 10 000 = 618 000 руб.
Если ожидаемая доходность портфеля равна нулю, то значения
абсолютного и относительного VaR совпадают.
Рассмотрим еще один пример на расчет абсолютного значения
VaR.
Пример 1.9. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн рублей, в который
входят акции двух компаний [4]. Удельный вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, второй – 40%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%,
второй – 1,9%, коэффициент корреляции доходностей акций равен
0,8.
27
Решение. Определяем стандартное отклонение доходности портфеля
 p  0,6  1,58  0,4  1,9  2  0,6  0,4  1,58  1,9  0,8  1,62%.
2
2
2
1
2
2
По таблице нормального распределения (функция Лапласа)
находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. По формуле (1.15) определяем
VaR портфеля
VaRp = 10 млн. · 0,0162 · 1,65 = 267,3 тыс. руб.
Аналогично находится VaR для портфеля, состоящего и из акций
большего количества компаний. В этом случае дисперсия доходности портфеля рассчитывается по формуле
n
n
 p2   i j Covij ,
i 1 j 1
(1.16)
где  p2 – риск портфеля;
 i – удельный вес i-го актива в портфеле;
 j – удельный вес j-го актива в портфеле;
covij – ковариация доходностей i-го и j-го активов.
При расчете риска портфеля удобнее воспользоваться матричной формой записи
 p2   T Q ,
(1.17)
где  p2 – риск портфеля;
 – матрица-столбец удельных весов активов в портфеле;
 T – матрица-строка удельных весов активов в портфеле;
Q – матрица ковариаций доходностей активов в портфеле;
Тогда дисперсию доходности портфеля найдем как
где 2,4 – ковариация доходностей акций.
Стандартное отклонение доходности портфеля равно
 p  2,628  1,62% .
В примере 1.9 VaR можно определить также другим способом.
Вначале определить VaR по каждой акции и после этого VaR портфеля. В этом случае VaR портфеля рассчитывается по формуле
VaR p  V T V ,
28
(1.18)
где V – матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге;
VT – транспонированная матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге, т. е. матрица-строка;
 – корреляционная матрица размерности n х n (n – число активов
в портфеле).
Определим в примере 1.9 абсолютный VaR для первой акции
VaR1 = 10 млн · 0,6 · 0,0158 · 1,65 = 156,42 тыс. руб.
Абсолютный VaR для второй акции равен
VaR2 = 10 млн · 0,4 · 0,019 · 1,65 = 125,4 тыс. руб.
Абсолютный VaR портфеля составляет
267,3 тыс. руб.
Инвестор может держать средства в иностранных ценных бумагах. В этом случае он подвергается помимо риска падения курсовой
стоимости бумаг и валютному риску. Риск состоит в том, что иностранная валюта подешевеет. В результате ее конвертации в национальную возникнут потери. Поэтому показатель VaR портфеля должен отразить данный факт. Рассмотрим вначале портфель, состоящий из одной акции иностранной компании.
Пример 1.10. Российский инвестор купил акции компании А на
357,143 тыс. долларов. Стандартное отклонение доходности акции
составляет 1,58%. Курс доллара 1доллар = 28 рублей, стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,6%, коэффициент
корреляции между курсом доллара и ценой акции компании А равен
0,2. Определить VaR портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95%.
Решение. Пусть курс доллара равен 28 рублей, поэтому рублевый эквивалент позиции инвестора составляет
357,143 тыс. долл. · 28 руб. = 10 млн руб.
Это означает, что в настоящий момент инвестор рискует суммой
в 10 млн рублей, и данный риск обусловлен двумя факторами: возможным падением котировок акций компании А и падением курса
доллара. Реализация любого из данных рисков приведет к падению
стоимости портфеля ниже суммы в 10 млн рублей. Поскольку цена
акций компании А и валютный курс имеют корреляцию, существенно меньшую чем плюс один, то общий риск портфеля уменьшается за счет эффекта диверсификации. Поэтому дисперсия доходности портфеля равна
29
= 3,2356.
Стандартное отклонение доходности составляет
1,7988%.
Однодневный VaR портфеля равен
10 млн · 0,017988 · 1,65 = 296,8 тыс. руб.
В данной задаче дисперсию портфеля можно было определить с
помощью матричного исчисления, а именно:
где 0,1896 – ковариация валютного курса и курса компании А.
В примере 1.9 мы привели еще один способ нахождения VaR
портфеля с помощью формулы (1.18) на основе расчета VaR по каждому активу. Решим пример 1.10 с помощью данной формулы. Вначале определяем показатели VaR для акции (VaRa) и валютного курса
(VaRb)
VaRa = 10 млн руб. · 0,0158 ·1,65 = 260,7 тыс. руб.
VaRв = 10 млн руб. · 0,006 ·1,65 = 99 тыс. руб.
VaR портфеля составляет
296,8 тыс. руб.
Рассмотрим пример, когда портфель инвестора включает разные
валюты.
Пример 1.11. Курс доллара составляет 1 доллар = 28 рублей,
курс евро – 1евро = 34 рублей. Банк купил на спотовом рынке
357,143 тыс. долларов и осуществил короткую продажу 294,118 тыс.
евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете на один день
составляет 0,6%, евро – 0,65%, коэффициент корреляции равен 0,85.
Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95%.
Решение. Рассчитаем VaR в рублях, так как банк закроет свои позиции в иностранных валютах, конвертировав их в рубли. Долларовая позиция банка в рублях составляет
357,143 тыс. долл. · 28 руб. = 10 млн руб.
Позиция по евро в рублях
294,118 тыс. долл. · 34 руб. = 10 млн руб.
30
Поскольку банк продал евро, то для дальнейших расчетов его позицию следует записать со знаком минус, т. е. – 10 млн рублей.
VaR по долларовой позиции равен
10 млн руб. · 0,006 · 1,65 = 99 тыс. руб.
VaR по евро равен
–10 млн руб. · 0,0065 · 1,65 = –107,25 тыс. руб.
VaR портфеля согласно формуле (1.18) составляет
57,038 тыс. руб.
В приведенных выше примерах мы рассчитывали однодневный
VaR на основе стандартных отклонений для одного дня. Однако данные могут быть заданы в расчете на год. Один из вариантов расчета
состоит в том, чтобы перевести годичное стандартное отклонение в
однодневное по формуле
(1.19)
После этого можно воспользоваться приведенными выше алгоритмами.
Другой подход состоит в том, чтобы матрицу ковариаций, составленную из годичных значений, перевести в матрицу с однодневными значениями. Кроме этого, данную матрицу также удобно сразу
скорректировать в соответствии с заданным уровнем доверительной
вероятности. Тогда годичную матрицу ковариаций следует умножить на коэффициент
(1.20)
Пример 1.12. Пусть в примере 1.11 годичное стандартное отклонение изменения курса доллара равно 9,4868%, а евро – 10,2774%,
количество торговых дней в году 250. Определить однодневный VaR
для доверительной вероятности 95%.
Решение. Коэффициент К равен
0,01089.
Ковариационная матрица на основе годичных значений равна
(стандартные отклонения берем в десятичных значениях)
31
.
Умножим матрицу Q на коэффициент К. Получим матрицу Q'
После этого VaR портфеля находим по формуле
VaR p  C T Q C ,
(1.21)
где С – матрица-столбец, представленная стоимостями входящих в
портфель активов;
Q  – ковариационная матрица, скорректированная на требуемый
уровень доверительной вероятности и временной период.
VaR портфеля согласно формуле (1.21) равен
= 57,038 тыс. руб.
В примерах мы рассчитывали VaR с учетом корреляций между
активами портфеля. Такой VaR называют диверсифицированным.
Если определить VaR без учета корреляций, то получим недиверсифицированный VaR. Он представляет собой простую сумму индивидуальных VaR активов портфеля. Покажем это для портфеля из двух
активов. Пусть стандартные отклонения и удельные веса первого и
второго активов соответственно равны  1 , 1 и  2 ,  2 , стоимость
портфеля составляет Р. Тогда VaR портфеля для уровня доверительной вероятности  равен
,
(1.22)
или
(1.23)
или
32
VaR p 
VaR1 2  VaR2 2  2VaR1  VaR2  corr1,2 .
(1.24)
Если коэффициент корреляции между доходностями активов равен единице, то формула (1.24) принимает вид
(1.25)
или
VaR p  VaR1  VaR2 .
(1.26)
Формула (1.26) говорит о том, что в случае полной положительной корреляции между активами VaR портфеля является суммой индивидуальных VaR входящих в него активов. Поскольку корреляции
могут изменяться со временем, то наряду с показателем диверсифицированного VaR целесообразно рассчитывать и недиверсифицированный VaR. Он покажет максимум возможных потерь (при нормальных условиях рынка) для данного уровня доверительной вероятности
в случае неустойчивости корреляций или ошибки их оценок.
Допущение нормальности распределения доходности портфеля
позволяет легко переводить значения VaR из одного уровня доверительной вероятности в другой. VaR портфеля для доверительной вероятности z1 равен
VaR1  Pz1 ,
(1.27)
для доверительной вероятности z2
VaR2  Pz 2 .
(1.28)
Выразим значение P из формулы (1.27)
P 
VaR1
.
z1
(1.29)
и подставим в (1.28)
z1
.
(1.30)
z2
Таким образом, зная величину VaR1 для доверительной вероятности z1, по формуле (1.30) легко получить VaR2 для доверительной
вероятности z2.
Аналогичным образом можно пересчитывать значения VaR для
разных периодов времени. Пусть VaR портфеля для периода t1 равен
VaR2  VaR1
VaR1  Pz t1 ,
(1.31)
для периода t2
VaR2  Pz t 2
(1.32)
33
Выразим значение Pz
(1.33)
и подставим в формулу (1.32)
VaR2  VaR1
t2
.
t1
(1.34)
Таким образом, зная величину VaR1 для периода времени t1, по
формуле (1.34) легко получить VaR2 для периода времени t2.
Методы оценки ошибки параметрической модели VaR представлены в учебнике [4].
Достоинства аналитического метода:
1. Эффективен в вычислительном отношении.
2. В силу центральной предельной теоремы методология применима, даже если факторы риска не распределены нормально, учитывая, что они многочисленны и относительно независимы.
3. Не требует модели ценообразования.
Недостатки:
1. Предполагает нормальное распределение доходности портфеля.
2. Не очень хорошо работает с распределением «с тяжелыми
хвостами».
3. Требует расчета волатильностей факторов риска, а также корреляций их доходностей.
4. Доходность факторов риска аппроксимируется с помощью
ряда Тейлора. Тем не менее в некоторых случаях аппроксимации второго порядка недостаточно для определения риска опциона (случаи с
экзотическими опционами).
Упражнение 1.11. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн рублей, в
который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год равно 25%.
Упражнение 1.12. Допустим, что в упражнении 1.11 на основании данных за прошлый год средняя доходность портфеля за день
составляла 0,1%. Определить относительный VaR.
34
Метод моделирования Монте-Карло
Моделирование методом Монте-Карло [10] состоит в многократном моделировании случайных процессов, которые управляют ценами и ставками на рынке. Каждый шаг моделирования (сценарий)
генерируют возможную ценность портфеля для целевого горизонта
(например, 10 дней). Если мы создадим достаточное число сценариев, то смоделированное распределение ценности портфеля сводится к истинному, хотя и неизвестному распределению. Показатель
VaR можно также достаточно просто вывести из распределения, как
в методе исторического моделирования.
Моделирование методом Монте-Карло предполагает три этапа:
1. Определение всех значимых факторов риска. Как и в других
подходах, необходимо выбрать все значимые факторы риска. Кроме
того, необходимо определить динамику этих факторов, т. е. соответствующие стохастические процессы, и оценить их параметры (волатильности, корреляции и т. д.).
2. Построение траекторий цен. Пути движения цен создаются с
помощью случайных величин, полученных генератором случайных
чисел. Если, например, моделирование осуществляется ежедневно,
случайное распределение моделируется для каждого дня, чтобы рассчитать 10-дневное совокупное влияние. Когда речь идет о нескольких коррелированных факторах риска, необходимо смоделировать
многомерное распределение. Только при независимом распределении можно осуществить моделирование случайного воздействия
независимо по каждой переменной.
3. Определение стоимости (ценности) портфеля для каждой траектории цен (сценария). Каждая траектория движения генерирует
набор значений для факторов риска каждой ценной бумаги портфеля,
которые используются в качестве данных для моделей ценообразования. Процесс повторяется много раз, скажем, 10 000 раз, для получения распределения доходности портфеля для конкретного горизонта
риска. Этот этап соответствует процедуре исторического моделирования, за исключением того, что моделирование методом МонтеКарло может создать значительно больше сценариев, чем историческое моделирование.
Достоинства метода Монте-Карло:
1. Высокая точность расчетов (в том числе применительно к инструментам с нелинейными ценовыми характеристиками).
2. Данный способ приспособлен к любому распределению факторов риска и позволяет рассматривать распределения с «тяжелыми
35
хвостами», где экстремальные события, а также скачки́ и отсутствие
цен ожидаются чаще, чем при нормальном распределении, например,
процесс можно описать как совокупность двух нормальных распределений или как модель диффузионных скачкообразных процессов,
в которых число скачков для любого временно́го интервала подчиняется пуассоновскому закону (оба процесса соответствуют «тяжелым
хвостам»).
3. Позволяет осуществить анализ чувствительностей путем изменения рыночных параметров (например, временно́й структуры
процентных ставок) и стресс-тестирование.
Недостатки:
1. Высокая сложность моделей, следовательно, высокий риск
неадекватности моделей.
2. Высокие требования к вычислительной мощности и значительные затраты времени на проведение расчетов.
По ряду причин, приведенных в [10], модель VaR не является
идеальной мерой риска. Среди этих причин – надежность данных, периоды кризиса на рынке, сильно отличающиеся от нормальных условий (предпосылка о которых лежит в основе ковариационных методов и методов Монте-Карло), статический характер расчета VaR, исключающий при анализе динамические риски ликвидности. Все это
диктует необходимость использования дополнительных методологий – стресс-тестирования и анализа сценариев. Регулирующие органы рассматривают стресс-тестирование и анализ сценариев как необходимое дополнение к использованию внутренних моделей VaR.
Целью стресс-тестирования и анализа сценариев является определение величины (не частоты) потенциальных потерь, связанных с конкретными сценариями. Выбор соответствующего сценария чаще
всего основывается на мнении эксперта.
Более подробно этот вопрос будет освещен в главе 2.
1.1.4. Полудисперсия
Показатели волатильности используются в качестве меры риска,
когда опасность возникновения ущерба связывается с изменением
условий функционирования объекта по сравнению, например, с ожидаемыми. На финансовых рынках при продаже или покупке акций
отклонения от среднего могут характеризовать в одних случаях
убытки, в других – дополнительный (спекулятивный) доход. Определенным недостатком дисперсии как меры риска является то, что она
одинаково учитывает отклонения в доходности актива от его средней
36
доходности как в сторону увеличения, так и снижения. В то же время
инвестора, купившего финансовый актив, беспокоит именно снижение его доходности. Рост доходности не является для него риском.
Поэтому в некоторых случаях в качестве меры риска удобно использовать показатель полудисперсии.
Полудисперсия выражает меру разброса только тех показателей,
которые, например, меньше среднего
SV x   M min 0, x  M x  
2
1 N
min 0, xi  M x 2 .

N  1 i 1
(1.35)
Таким образом, инвесторы получают представление о риске потерь в более прямой форме, чем при расчете дисперсии. В то же время
данная мера риска не всегда будет иметь преимущество по сравнению с дисперсией. Так, если доходность актива распределена нормально, то полудисперсия равна половине дисперсии, поскольку нормальное распределение симметрично относительно своего среднего
значения. Поэтому использование в этом случае полудисперсии вместо дисперсии не дает инвестору лучшего представления о риске актива.
Использование полудисперсии оправдано в отношении активов,
доходность которых не характеризуется нормальным распределением, например, производных инструментов.
1.1.5. Другие меры риска
Стоит отметить, что показатели волатильности по своему содержанию являются косвенными мерами риска [15], которые позволяют
проранжировать по уровню риска различные стратегии и условия деятельности объекта согласно правилу: большая волатильность отражает и больший уровень риска.
В теории и практике риск-анализа находят применение и другие
косвенные меры риска. В финансовой сфере, например, в качестве
таких мер часто используются коэффициенты бета, дельта, гамма и
другие, характеризующие финансовые активы на основе их вклада в
общее среднее значение и отклонение портфеля. Таким образом,
можно рассматривать риск одной инвестиции не в рамках ее отклонения, а с точки зрения ее взаимодействия с другими активами портфеля. В частности, коэффициент бета представляет собой меру чувствительности доходности какого-либо актива (портфеля) в сравнении со средней доходностью рынка и позволяет оценить индивидуальный систематический риск (риск, который не может быть устранен посредством диверсификации) актива или портфеля активов по
37
отношению к уровню риска финансового рынка в целом. Коэффициент бета – показатель, равный отношению ковариации между доходностью актива и доходностью рынка к рыночной дисперсии

covri , rm 
 m2
.
(1.36)
При   1 уровень риска i-го актива выше среднего по рынку, при
  1 – ниже, при   1 риски актива и рынка совпадают. Чем больший
коэффициент бета для портфеля предполагается менеджером при инвестировании в ценные бумаги с более высокими коэффициентами
бета, тем выше будут риск и ожидаемая будущая ставка доходности
портфеля.
Подробно примеры расчета бета изложены в работе Ш. Бенинга
[4].
Определенное разнообразие мер риска порождает проблему выбора наиболее адекватной из них целям и задачам управления рисками в конкретных ситуациях. Это связано с тем, что, во-первых, выбор рациональной меры зависит от отношения управляющей системы к риску, во-вторых, в различных ситуациях различные меры
риска обладают своими достоинствами и недостатками, вытекающими из их свойств, в-третьих, на выбор меры часто влияет соотношение уровней ожидаемой доходности и риска и наличие ресурсов
для нейтрализации угроз и опасностей.
1.2. Экспертные методы оценки риска
Рассмотрим методы, которые в стандарте характеризуются как
строго применимые для идентификации риска. В сфере исследования экономических рисков интерес представляют метод Дельфи, метод мозгового штурма, анализ сценариев, структурированный анализ
сценариев методом «Что, если?». Все эти методы относятся к области
применения теории и практики экспертных оценок.
Профессор А. И. Орлов в книге [11] пишет о том, что большое
влияние на развитие исследований в области управления оказало развитие кибернетики – в современном понимании науки об общих закономерностях процессов управления и передачи информации в машинах, живых организмах и обществе (термин впервые был предложен Норбертом Винером в 1948 г.).
После Второй мировой войны в рамках научного движения,
включающего кибернетику, информатику, системный анализ, тео38
рию управления, менеджмент и исследование операций, стала развиваться самостоятельная научно-практическая дисциплина – теория и
практика экспертных оценок.
1.2.1. Метод Дельфи
Один из наиболее известных методов экспертных оценок – это
метод Дельфи [11]. Название дано по ассоциации с древним обычаем
для получения поддержки при принятии решений обращаться в Дельфийский храм. Он был расположен у выхода ядовитых вулканических газов. Жрицы храма (пифии), надышавшись отравы, начинали
пророчествовать, произнося непонятные слова. Специальные «переводчики» – жрецы храма – толковали эти слова и отвечали на вопросы пришедших со своими проблемами паломников. Те спрашивали, отправляться ли в морское путешествие, вступать ли в брак, заключать ли договор с тем или иным деловым партнером, начинать ли
войну и т. д. Технология экспертного оценивания состояла в следующем. Получив «заказ на экспертное прогнозирование», жрецы передавали его пифиям, выслушивали пророчества пифий, а затем толковали услышанное заказчику. С течением времени в храме накапливались пожертвования и памятные доски от тех, для кого прогнозы сбылись. Если же прогноз не осуществился, то сообщить об этом зачастую было некому – заказчик лежал на морском дне или был убит в
битве, разорен и продан в рабство, и т. п. По традиции говорят, что
Дельфийский храм находился в Греции. Но там нет вулканов. Видимо, он был в Италии – у Везувия или Этны, а сами описанные предсказания происходили в XII–XIV вв. Это вытекает из высшего достижения современной исторической науки – новой статистической хронологии.
В основу метода положены три принципа [8]:
1) анонимности;
2) обратной связи;
3) группового ответа.
Анонимность обеспечивается индивидуальным опросом каждого эксперта, а также отсутствием идентификации оценок экспертов
и приводимой ими аргументации. Обратная связь обеспечивается доведением до участников экспертизы результатов каждого промежуточного тура опроса в виде усредненных статистических значений.
Ключевым требованием к групповому ответу, который также формируется с помощью статистических методов, является правильное отражение мнения каждого эксперта. Технологически метод Дельфи
39
представляет собой ряд (от двух до четырех) последовательных туров
опросов. В каждом туре кроме проведения опроса экспертов и сбора
экспертных данных предполагается статистическая и аналитическая
обработка данных, а также доведение ее результатов до сведений экспертов. Аналитической обработке подвергаются содержательные ответы экспертов, в которых они аргументируют свои оценки.
Метод Дельфи выдвигает очень жесткое требование к опросной
анкете. Оно заключается в том, что все содержащиеся в ней вопросы
должны сводиться к количественной оценке и допускать возможность выражения ответа в числовой форме. Это означает, что в вопросную анкету можно включать вопросы, касающиеся времени
наступления некоторых событий (когда будет создан первый образец
нового изделия), количественных значений прогнозируемых характеристик (каково ожидается значение показателя производительности труда к 2020 г.), вероятностей наступления некоторых событий
(какова вероятность успешной высадки человека на Марс в 2015 г.)
или влияния отдельных факторов на исследуемую систему по некоторой шкале (какова будет процентная доля когнитивной составляющей в продукции корпорации на конец 2012 г.) и не разрешается
включать вопросы, требующие содержательных ответов, которые
могут использоваться как аргументация к ответам числового характера.
В классическом варианте метода Дельфи предполагается работа
с чистого листа. Это означает, что анкета, предоставляемая экспертам в первом туре, кроме общей формулировки задания экспертизы
ничего не содержит. Основная задача первого тура в том и заключается, чтобы выработать структуру опросной анкеты, которая впоследствии будет использоваться для проведения экспертизы. Например, при прогнозировании научно-технического развития человечества в первом туре необходимо определить основные направления
науки, которые в обозримой перспективе будут существенно влиять
на содержание и качество нашей жизни, а также ближайшие важные
события по каждому направлению (открытие, достижение пороговых
значений ключевых параметров технических устройств, появление
новых технологий и т. п.). Заполненные анкеты, представляющие собой, по существу, сочинения на заданную тему, поступают организаторам экспертизы, которые идентифицируют направления, события
и разрабатывают окончательные перечни тех и других, что и будет
основой второй опросной анкеты. Работа по структурированию исходного задания экспертизы, как правило, выполняется «за кадром».
40
Поскольку нет гарантий, что структура анкеты, разработанная группой экспертов в течение первого тура опроса, будет соответствовать
требованиям организатора экспертизы, то организатор разрабатывает
опросную анкету самостоятельно либо привлекает для этого сторонних специалистов. При таком подходе работа экспертов фактически
начинается со второго тура (если следовать этапам классического
подхода). Экспертам направляют опросные анкеты, например, сводный перечень событий по основным направлениям научно-технического развития, просят дать ответы на содержащиеся в них вопросы
и привести их аргументацию. В нашем примере необходимо оценить
даты, когда могут произойти важные события в науке и технике. Заполненные экспертами анкеты подвергаются статистической обработке и содержательному анализу. В первую очередь формируются
статистические ряды и вычисляются медианы и квартили. Напомним, что за медиану принимается средний член ряда, по отношению
к которому число оценок с начала и конца ряда будет одинаковым; а
квартилями называют интервалы упорядоченного ряда, содержащие
по 25% значений этого ряда. Два крайних интервала называют соответственно нижним и верхним квартилями, а два серединных интервала (квартиля) образуют наиболее предпочтительную область. Полученные значения принимают за характеристики распределения
оценок (медиана служит показателем группового ответа, а наиболее
предпочтительная область – показателем разброса индивидуальных
оценок) и сообщают экспертам. Эксперты, чьи оценки оказались в
крайних квартилях, дают обоснования причин расхождения с групповым мнением. Они вправе приводить любые аргументы в свою защиту или пересмотреть свое мнение и исправить оценку. С полученными обоснованиями знакомят всех членов экспертной группы. При
этом, поскольку все перечисленные действия анонимны, никто не
знает, кто и как обосновал или изменил свою первоначальную позицию. Такая процедура позволяет всем экспертам принять в расчет обстоятельства, которые они могли случайно пропустить или которыми
могли пренебречь в начале текущего тура опроса.
В очередном туре опросная анкета кроме первоначального перечня вопросов включает групповые медианы значений ключевых
характеристик исследуемого явления (в нашем примере – даты
наступления важных событий), нижний и верхний квартили и сводные сведения о содержащихся в них расхождениях с групповым мнением. Членов экспертной группы просят рассмотреть аргументы и
дать новую оценку содержащихся в анкете вопросов. Если их новая
41
оценка не попадает в наиболее предпочтительную область, сформированную в предыдущем туре, то их опять просят обосновать свою
точку зрения и прокомментировать противоположную позицию, которой придерживается большинство группы. После того как пересмотренные оценки и новые аргументы возвратились к организатору,
он снова проводит их статистико-аналитическую обработку и готовит новое приложение к опросной анкете для очередного тура.
В очередном туре участникам экспертизы вновь передают опросную анкету, статистическое описание оценок группы и аргументы
обеих сторон. Эксперты должны принять во внимание аргументацию
своих коллег и их критические замечания, касающиеся группового
мнения, полученного в предыдущем туре, и на этой основе дать новую оценку. Эта оценка опять подвергается статистической обработке и, поскольку этот тур является последним, ее результаты принимаются за результат всей экспертизы.
Практика показывает, что необязательно проводить все четыре
тура опроса. Если эксперты пришли к соглашению во втором туре, то
опрос можно прекратить. По сокращенной программе метода Дельфи
действуют также в условиях дефицита времени на выработку решения.
За описанием технологии метода Дельфи никак не просматривается действие его внутреннего механизма. Для того чтобы понять механизм изменения оценок при последовательных опросах экспертов,
необходимо немного углубиться в организационно-психологические
аспекты групповой экспертизы. Нетрудно предположить, что менее
знающие эксперты улучшают свои оценки за счет информации, косвенно получаемой от более компетентных специалистов после каждого очередного тура опроса. В свою очередь компетентные специалисты, знакомясь с аргументацией оценок, попавших в крайние квартили, и критикой группового решения, полученного в предыдущем
туре, расширяют свою информированность о предмете экспертизы,
что позволяет им улучшить свою оценку в процессе опроса. Средняя
оценка всей группы находится между средними оценками экспертов,
изменивших свое мнение, и экспертов, оставивших свою оценку без
изменений. В процессе опросов средняя оценка экспертов, изменивших свое мнение, будет смещаться в направлении средней оценки
всей группы и улучшать ее.
В США в 1960-х гг. методом Дельфи назвали экспертную процедуру прогнозирования научно-технического развития. В первом туре
42
эксперты называли вероятные даты тех или иных будущих свершений. Во втором туре каждый эксперт знакомился с прогнозами всех
остальных. Если его прогноз сильно отличался от прогнозов основной массы экспертов, его просили пояснить свою позицию, и часто
он изменял свои оценки, приближаясь к средним значениям. Эти
средние значения и выдавались заказчику как групповое мнение. Реальные результаты исследования оказались довольно скромными,
хотя дата высадки американцев на Луну была предсказана с точностью до месяца; все остальные прогнозы провалились – холодного
термоядерного синтеза и средства от рака в ХХ в. человечество не
дождалось. Однако сама методика оказалась популярной – за последующие 15 лет она использовалась не менее 40 тыс. раз. Это объяснялось впечатлением от беспрецедентного успеха предсказания даты
высадки на Луну. Можно констатировать, что именно этот успех выдвинул методы экспертных оценок на роль самостоятельного научнопрактического направления, с которым должны быть знакомы все инженеры и управленцы, а также деятели иных специальностей.
1.2.2. Метод сценариев
Несколько в стороне от основного русла экспертных оценок лежит метод сценариев, применяемый для экспертного прогнозирования [11].
Метод сценариев – это метод декомпозиции задачи прогнозирования, предусматривающий выделение набора отдельных вариантов
развития событий (сценариев), в совокупности охватывающих все
возможные варианты развития. Каждый отдельный сценарий должен
допускать возможность достаточно точного прогнозирования, а общее число сценариев должно быть обозримо.
Возможность подобной декомпозиции не очевидна. При применении метода сценариев необходимо осуществить два этапа исследования:
 построение исчерпывающего, но обозримого набора сценариев;
 прогнозирование в рамках каждого конкретного сценария с
целью получения ответов на интересующие исследователя вопросы.
Каждый из этих этапов лишь частично формализуем. Существенная часть рассуждений проводится на качественном уровне, как
это принято в общественно-экономических и гуманитарных науках.
Одна из причин в том, что стремление к излишней формализации и
43
математизации приводит к искусственному внесению определенности там, где ее нет по существу либо к использованию громоздкого
математического аппарата. Так, рассуждения на словесном уровне
считаются доказательными в большинстве ситуаций, в то время как
попытка уточнить смысл используемых слов с помощью, например,
теории нечетких множеств, приводит к весьма громоздким математическим моделям.
Набор сценариев должен быть обозрим. Приходится исключать
различные маловероятные события – прилет инопланетян, падение
астероида, массовые эпидемии ранее неизвестных болезней, и т. д.
Само по себе создание набора сценариев – предмет экспертного исследования. Кроме того, эксперты могут оценить вероятности реализации того или иного сценария. Сценарий может заключать в себе
экстремальные изменения величин факторов риска (например, валютный курс, процентная ставка, товарная цена). В качестве сценария можно взять, например, крах на фондовом рынке, когда цены на
акции снижаются более чем на 20% относительно ежедневного среднеквадратического отклонения. Поскольку выбор сценариев делается на субъективной основе, то ему должно предшествовать детальное изучение функционирования рынков инструментов, входящих в
портфель. В качестве анализируемых случаев рассматриваются фактические кризисные ситуации на различных рынках, а также условные сценарии неблагоприятного изменения факторов риска.
Прогнозирование в рамках каждого конкретного сценария с целью получения ответов на интересующие исследователя вопросы
также осуществляется в соответствии с описанной выше методологией прогнозирования. При стабильных условиях могут быть применены статистические методы прогнозирования временных рядов. Однако этому предшествует анализ с помощью экспертов, причем зачастую прогнозирование на словесном уровне является достаточным
(для получения интересующих исследователя и ЛПР выводов) и не
требующим количественного уточнения.
Как известно, при принятии решений на основе анализа ситуации (как говорят, при ситуационном анализе), в том числе анализа
результатов прогнозных исследований, можно исходить из различных критериев. Так, можно ориентироваться на то, что ситуация сложится наихудшим, или наилучшим, или средним (в каком-либо
смысле) образом. Можно попытаться наметить мероприятия, обеспечивающие минимально допустимые полезные результаты при любом
варианте развития ситуации, и т. д.
44
Основным преимуществом стресс-тестирования и анализа сценариев является то, что они показывают, насколько уязвимым может
быть портфель к различным экстремальным событиям. При осуществлении расчетов также необходимо учесть, что в условиях кризисных ситуаций изменяются не только стандартные отклонения доходностей активов, но и их корреляции. При возникновении кризиса
на рынке исторические корреляции изменяются вследствие повышения уровня волатильности. Корреляция может внезапно возрасти и
стать +1 при одновременном крахе рынков и снижении ликвидности.
Каждый портфель обладает особыми характеристиками, которые делают его уязвимым к конкретному сценарию и (или) стресстестированию. Например, портфель акций, который диверсифицирован по многим странам и направлениям деятельности, чувствителен
к изменению структуры корреляции мировых рынков акций. Стресстестирование и анализ сценариев очень полезны для отражения этих
уникальных характеристик при анализе рисков конкретных проектов.
Таким образом, стресс-тестирование следует объединять с методиками VaR для получения описания существенных рисков, так как
оно позволяет учесть разнообразные (порой далекие от стандартных)
ситуации, вероятность наступления которых на взгляд лица, принимающего решение, является незначительной.
1.2.3. Мозговой штурм
Еще один вариант экспертного оценивания – мозговой штурм –
организуется как собрание экспертов, на выступления которых наложено одно, но очень существенное ограничение – нельзя критиковать
предложения других [11]. Можно их развивать, можно высказывать
свои идеи, но нельзя критиковать! В ходе заседания эксперты, «заражаясь» друг от друга, высказывают все более экстравагантные соображения. Часа через два записываемое на магнитофон или видеокамеру заседание заканчивается, и начинается второй этап мозгового
штурма – анализ высказанных идей. Обычно за время дискуссии высказывается около 100 идей. Из них примерно 30 заслуживают дальнейшей проработки, 5–6 идей дают возможность сформулировать
прикладные проекты, а 2–3 идеи оказываются в итоге приносящими
полезный эффект – прибыль, перевод конфликта в сотрудничество,
повышение экологической безопасности, оздоровление окружающей
природной среды и т. п.
45
Интерпретация идей – творческий процесс. Например, при обсуждении возможностей защиты кораблей от торпедной атаки была
высказана идея: «Выстроить матросов вдоль борта и дуть на торпеду,
чтобы изменить ее курс». После проработки эта идея привела к созданию устройств, создающих волны, сбивающие торпеду с курса.
1.3. Нормативные методы идентификации риска
Нормативные методы идентификации риска [15] часто базируются на сопоставлении реальных значений факторов риска с принятыми для них нормативами. Например, риск повышения заболеваемости (по отношению к ее фону) может быть выявлен путем сопоставления уровня содержания вредных веществ в какой-либо из сфер
природной среды с принятыми нормами их содержания (ПДК). Существование риска признается, если имеет место неравенство
𝐶𝑗 > ПДК𝑖 ,
где 𝐶𝑗 – уровень концентрации загрязнителя в рассматриваемой
сфере ПС;
ПДК𝑖 – его предельно допустимая концентрация в этой сфере,
при этом риск заболеваемости рассматривается как реальный.
При идентификации риска заболеваемости в случае загрязнения
атмосферы несколькими независимыми химическими веществами
может быть использован агрегированный индекс загрязнения, который рассчитывается по формуле
𝐶
𝐼з = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 .
ПДК𝑖
Отсутствие риска заболеваемости признается, если расчетное
значение 𝐼з оказалось меньше 2 при количестве загрязнителей
2 ≤ n ≤ 4, 𝐼з ≤ 3, если 5 ≤ n ≤ 9; I3  4, если 10  n  20 и I3  5, если
n  20.
Для химических веществ, обладающих эффектом суммации (аддитивным действием), величина индекса загрязнения не должна превышать 1
𝐶
𝐼з = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 ≤ 1.
ПДК𝑖
Нормативные методы используются также при идентификации
кредитных и страновых рисков. Процедуры идентификации кредитного риска базируются на оценках ряда коэффициентов, характеризующих финансовое состояние предприятия заемщика, и их сопоставлении с нормативными значениями этих показателей (или
46
среднеотраслевыми). К таким коэффициентам, в частности, относятся: группы коэффициентов оценки платежеспособности (ликвидности) предприятия и коэффициенты его финансовой устойчивости.
В частности, коэффициенты оценки платежеспособности
(ликвидности) предприятия характеризуют возможность предприятия своевременно рассчитываться по своим текущим финансовым
обязанностям за счет оборотных активов различного уровня ликвидности. Для проведения оценки платежеспособности в процессе финансового анализа используют следующие основные показатели:
– коэффициент абсолютной платежеспособности (КАП), или
«кислотный тест». Он показывает, в какой степени все текущие финансовые обязательства предприятия обеспечены имеющимися у
него готовыми средствами платежа на определенную дату. Рекомендуемое ограничение КАП ≥ 0,2.
КАП = (ДА + КФВ) / Обк,
где ДА – сумма денежных активов предприятия на определенную
дату;
КФВ – сумма краткосрочных финансовых вложений предприятия на определенную дату;
Обк – сумма всех краткосрочных (текущих) финансовых обязательств предприятия (средняя или на определенную дату);
– коэффициент уточненной (текущей) платежеспособности
(КТП). Он показывает, какую часть текущей задолженности организация может покрыть в ближайшей перспективе при условии полного
погашения дебиторской задолженности. Рекомендуемое ограничение (КТП ≥ 1) означает, что денежные средства и предстоящие поступления от текущей деятельности должны покрывать текущие
долги
КТП = (ДА + КФВ + ДЗ) / Обк,
где ДА – сумма денежных активов предприятия на определенную
дату;
КФВ – сумма краткосрочных финансовых вложений предприятия на определенную дату;
ДЗ – сумма краткосрочной дебиторской задолженности;
Обк – сумма всех краткосрочных (текущих) финансовых обязательств предприятия (средняя или определенную дату);
– коэффициент покрытия (КП). Он отражает прогнозируемые
платежные возможности организации при погашении краткосрочной
47
дебиторской задолженности и реализации имеющихся запасов (с учетом компенсации осуществленных затрат). Рекомендуемое ограничение показателя КП ≥ 2
КП = (ОА – ДЗд) / Обк,
где числитель ОА – ДЗд представляет собой сумму всех оборотных
активов предприятия за минусом дебиторской задолженности, платежи по которой ожидаются более чем через 12 мес.;
Обк – сумма всех краткосрочныx (текущих) финансовых обязательств предприятия (средняя или на определенную дату);
– коэффициент общей платежеспособности (KOП). Он показывает, в какой степени вся задолженность по краткосрочным и долгосрочным финансовым обязательствам может быть удовлетворена за
счет всех его активов. Рекомендуемое ограничение КОП ≥ 2.
КОП = А / Об,
где А – общая стоимость всех активов предприятия на определенную
дату;
Об – сумма всех финансовых обязательств предприятия;
– общий коэффициент соотношения дебиторской и кредиторской задолженности (КДКо). Он характеризует общее соотношение
расчетов по этим видам задолженности предприятия
КДКо = ДЗо / КЗо,
где ДЗо – общая сумма дебиторской задолженности предприятия
всех видов (средняя или на определенную дату);
КЗо – общая сумма кредиторской задолженности предприятия
всех видов (средняя или на определенную дату);
– коэффициент соотношения дебиторской и кредиторской задолженности по коммерческим операциям (КДКк). Он показывает
соотношение расчетов за приобретенную и поставленную продукцию
КДКк = ДЗn / КЗn,
где ДЗn – сумма дебиторской задолженности предприятия за продукцию (товары, работы, услуги), рассчитанная как средняя или на определенную дату;
КЗn – сумма кредиторской задолженности предприятия за продукцию (товары, работы, услуги), рассчитанная как средняя или на
определенную дату.
Коэффициенты финансовой устойчивости предприятия позволяют выявить уровень финансового риска, обусловленного неэффективностью структуры источников формирования капитала предприятия, а также и степень его финансовой стабильности в процессе
48
предстоящего развития. Для проведения такой оценки в процессе финансового анализа используются следующие финансовые показатели:
– коэффициент автономии (КА) – показывает, в какой степени
объем используемых предприятием активов сформирован за счет
собственного капитала и насколько он независим от внешних источников финансирования
КА = СК / К; КА = ЧА / А,
где СК – сумма собственного капитала предприятия на определенную дату;
К – общая сумма капитала предприятия на определенную дату;
ЧА – стоимость чистых активов;
А – общая стоимость всех активов;
– коэффициент финансирования (КФ). Он характеризует объем
привлеченных средств на единицу собственного капитала, т. е. степень зависимости предприятия от внешних источников финансирования
КФ = ЗК / СК,
где ЗК – сумма привлеченного предприятием заемного капитала
(средняя или на определенную дату);
СК – сумма собственного капитала предприятия;
– коэффициент задолженности (КЗ). Он показывает долю заемного капитала в общей используемой его сумме
КЗ = ЗК / К,
где К – общая сумма капитала предприятия (средняя или на определенную дату);
– коэффициент текущей задолженности (КТЗ). Он показывает
долю краткосрочного заемного капитала в общей используемой
сумме
КТЗ = ЗКк / К,
где ЗКк – сумма привлеченного предприятием краткосрочного заемного капитала (средняя или на определенную дату);
К – общая сумма капитала предприятия (средняя или на определенную дату).
– коэффициент маневренности (КМ). Он иллюстрирует наличие
собственных оборотных средств предприятия для обеспечения маневренности капиталом
КМ = СОС / СК,
где СОС – собственные оборотные средства;
49
СК – сумма собственного капитала предприятия (средняя или на
определенную дату);
– коэффициент долгосрочной финансовой независимости
(КДН). Он показывает, в какой степени общий объем используемых
активов сформирован за счет собственного и долгосрочного заемного
капитала предприятия, т. е. характеризует степень его независимости
от краткосрочных заемных источников финансирования
КНД = (СК + ЗКд) / А,
где СК – сумма собственного капитала предприятия (средняя или на
определенную дату);
ЗКд – сумма заемного капитала, привлеченного предприятием на
долгосрочной основе (на период более 1 года);
А – общая стоимость всех активов на определенную дату;
– коэффициент обеспечения собственными средствами (Коб):
Коб = СОС / ОА,
где СОС – собственные оборотные средства;
ОА – сумма всех оборотных активов предприятия.
Если Коб на конец отчетного периода меньше 0,1, структура баланса предприятия считается неудовлетворительной, а сама организация – неплатежеспособной. Для таких предприятий реальным признается риск банкротства. Кроме рассмотренных групп коэффициентов при идентификации предпринимательских рисков используются
группы коэффициентов оборачиваемости активов, оборачиваемости
капитала, рентабельности и другие.
При идентификации странового риска (риска взятых страной финансовых обязательств, типа обслуживания внешнего долга, платежеспособности) могут использоваться, например, коэффициент обслуживания долга и коэффициент платежеспособности страны.
50
Глава 2. ПРОЦЕДУРЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
В РИСКОВЫХ СИТУАЦИЯХ
Принятие решений – это деятельность, направленная на выбор
варианта достижения цели. Под целью понимают идеальное представление желаемого результата. Варианты принимаемых решений
называют альтернативами.
Наличие неопределенности и риска и/или существование не менее двух вариантов решений при достижении цели задают проблемную ситуацию. Неопределенность рассматривают как совокупность
явлений и факторов, не поддающихся анализу со сколь угодно большой точностью. Риском считают отклонение от ожидаемого результата.
Выбором вариантов в проблемной ситуации, опираясь на знания,
компетенцию и волю, занимаются лица, принимающие решения
(ЛПР). Альтернативы описывают, оценивают и выбирают согласно
критериям – правилам, задающим различия между вариантами решений, с точки зрения предпочтений и требования ЛПР.
2.1. Анализ дерева событий
Метод ЕТА (Event Тree Аnalysis) является графическим методом
представления взаимоисключающих последовательностей событий,
следующих за появлением исходного события, в соответствии с
функционированием и нефункционированием систем, разработанных для смягчения последствий опасного события. Метод может
быть применен для качественной и/или количественной оценки.
Последовательность событий легко представить в виде дерева
событий и поэтому с помощью ETA легко установить ухудшающие
или смягчающие последствия события, принимая во внимание дополнительные системы, функции или барьеры.
Метод ETA может быть использован для моделирования, вычисления и ранжирования (с точки зрения риска) различных сценариев
инцидента после возникновения начального события. Метод ETA может быть применен на всех стадиях жизненного цикла продукции или
процесса. Данный метод может быть использован на качественном
уровне при мозговом штурме, определении сценариев и последовательностей событий, которые могут возникнуть после начального события, и при определении воздействия на результат различных видов
51
обработки риска, барьеров или средств управления, предназначенных для снижения нежелательных последствий.
При оценке приемлемости средств управления наиболее целесообразно применение метода ETA для количественного анализа. Чаще
всего данный метод применяют при моделировании отказов в ситуации использования большого количества мер защиты. Метод ETA
может быть использован при моделировании начала события для выявления возможных потерь и преимуществ. Однако в обстоятельствах, где необходимо найти пути оптимизации и получения
наибольших преимуществ, чаще используют моделирование с помощью дерева решений.
Входные данные включают в себя:
 перечень рассматриваемых начальных событий;
 информацию о способах обработки, барьерах, средствах
управления и соответствующих вероятностях отказа (для количественного анализа);
 понимание процессов нормирования начального отказа.
Построение дерева событий начинают с выбора начального события. Это может быть инцидент, такой как взрыв пыли, или такое
событие, как отказ системы энергоснабжения. Далее перечисляют
имеющиеся функции или системы, направленные на смягчение последствий. Для каждой функции или системы чертят линии для отображения ее исправного состояния или отказа. Вероятность отказа может быть оценена и назначена для каждой такой линии. Данную
условную вероятность оценивают, например, с помощью экспертных
оценок или анализа дерева неисправностей. Таким образом изображают различные пути развития событий от начального события.
Следует учитывать, что вероятности на дереве событий являются условными вероятностями, например, вероятность срабатывания разбрызгивателя системы пожаротушения, полученная при испытаниях в нормальных условиях, будет отличаться от вероятности
срабатывания этой системы при возгорании, вызванном взрывом.
Каждая ветвь дерева представляет собой вероятность того, что
все события на этом пути произойдут. Поэтому вероятность результата вычисляют как произведение отдельных условных вероятностей
и вероятности начального события при условии независимости событий.
52
Выходные данные ETA включают в себя следующее:
 качественное описание возможных проблем в виде комбинаций событий, представляющих собой различные следствия начального события (ранжирование последствий);
 количественные оценки частоты или вероятности появления
событий и относительной значимости различных последствий отказа
и способствующих им событий;
 перечень рекомендаций по снижению риска;
 количественные оценки эффективности внедрения рекомендаций.
Преимуществами метода ETA являются следующие:
 с помощью метода ETA легко схематично изобразить сценарии развития событий после возникновения начального события,
провести анализ работоспособного состояния или отказа вспомогательных систем или функций, предназначенных для снижения последствий отказа, и оценить их влияние.
 метод помогает учесть фактор времени, увидеть взаимосвязи
и цепные реакции, которые сложно исследовать с помощью метода
дерева неисправностей.
 метод графически представляет последовательность событий, что невозможно сделать с помощью метода дерева неисправностей.
Недостатками метода являются следующие:
 для использования метода ETA в качестве составной части
общего процесса оценки необходимо идентифицировать все возможные начальные события. Этого можно добиться с помощью использования других методов анализа (например, HAZOP, PHA), однако
всегда остается вероятность того, что не учтены некоторые важные
начальные события;
 метод дерева событий применим только для двух состояний
системы (работоспособного состояния и отказа), в нем трудно учесть
отсроченное нарушение работоспособного состояния системы или ее
восстановление;
 каждый путь реализации обусловлен сочетанием событий,
произошедших в предыдущих точках ветвления схемы дерева событий. Поэтому рассматривают все взаимосвязи по возможным путям
развития события. Однако некоторые взаимосвязи, например, общие
компоненты, системы снабжения и персонал, могут быть не учтены
53
при рассмотрении, что может привести к излишне оптимистичной
оценке риска.
Метод дерева событий в основном используется при определении и анализе типовых сценариев аварий на промышленных объектах. Рассмотрим сущность данного подхода на примере его реализации для установки переработки нефти, представленной на рис. 3.
Цифры рядом с наименованием события показывают условную
вероятность возникновения этого события. При этом вероятность
возникновения инициирующего события (выброс нефти из резервуара) принята равной 1. Значение частоты возникновения отдельного
события или сценария пересчитывается путем умножения частоты
возникновения инициирующего события на условную вероятность
событий, обуславливающих развитие аварии по конкретному сценарию.
Факельное
горение струи
0,04
С мгновенным
воспламенением
0,02
Разрушение соседнего
оборудования
0,02
Эффекта “домино” нет
0,05
Огненный шар
0,01
Выброс
нефти 1,0
Прекращение горения
или ликвидация аварии
Разрушение соседнего
оборудования
0,001
0,009
Ликвидация аварии
0,35
Нет воспламенения
Без мгновенного
воспламенения
0,95
0,45
Воспламенение
нефти
Отсутствие источника
0,10
воспламенения
Пожар пролива
0,10
0,50
Горение или взрыв
облака
0,40
Рис. 3. Дерево событий аварий на установке первичной
переработки нефти
Кроме описанного подхода для количественной оценки частоты
(вероятности) возникновения источника ЧС, может применяться подход «дерево отказов».
54
2.2. Анализ дерева решений
Дерево решений – это графическое представление процесса принятия решения, в котором отображаются возможные варианты решений, состояния природы, вероятности их наступления, а также платежи (выигрыши или убытки) при различных сочетаниях состояний
природы и возможных решениях.
Процедура построения дерева решений на основе постановки задачи на содержательном уровне требует разграничения доступных
ЛПР решений и предполагаемых случайных событий, которые
должны быть сформулированы в виде полной группы событий с известными вероятностями их наступления.
Дерево решений состоит их узлов (вершин) и ветвей (дуг). Узел,
соответствующий моменту времени, когда ЛПР принимает решение,
обозначается квадратиком
– узел решений.
Ветви (дуги), исходящие из такой вершины, отражают возможности выбора в виде определенных решений. Решения могут и
должны быть представлены с указанием конкретных значений параметров, значимых для расчетов при выбранной траектории развития
процесса.
Узел, соответствующий моменту времени, в котором реализуется воздействие случайного фактора, не зависящее от ЛПР, обозначается кружком
– узел событий.
Исходящие их такой вершины ветви соотносятся с набором рассматриваемых случайных сценариев, влияющих на конечный экономический результат, вероятности реализации которых должны быть
известны.
Дерево решений строится слева направо, его структура отражает
последовательность принятия решений в хронологическом порядке.
Каждая траектория (цепь от корневой вершины к концевой) приводит
к конечной вершине, которая может быть представлена как конкретное значение экономического результата либо как его случайная величина с известным законом распределения.
55
Основные критерии, которые используют для выбора наилучшего решения:
– EVC-критерий для нейтральных к риску ЛПР
f n σ; m  m  max;
– MVC-критерий для осторожных к риску ЛПР
f s σ; m  m  ks σ 2  max;
– MVC-критерий для склонных к риску ЛПР
f r σ; m  m  kr σ2  max .
В формате заданного отношения ЛПР к риску при движении по
дереву решений справа налево (от конечных вершин к начальной) в
вершины круглого типа вписывают значения соответствующей
функции выбора f(, m). Для этого рассчитывают необходимые параметры, конкретизирующие положение решения в пространстве «риск
– доход» (например, значения математического ожидания при
нейтральном отношении к риску). Сравнивая между собой полученные значения, выбирают оптимальную траекторию, которой соответствует максимальное значение функции выбора.
Пример 2.1. Компании, специализирующейся в области производства лекарственных средств, предложен контракт на сумму
150 тыс. у. е. для изготовления нового лекарства. Необходимое фармакологическое сырье (далее – субстанция) предполагают закупить в
Китае (при условии доставки до российской таможни за счет китайских партнеров). Стоимость данной субстанции составляет
100 тыс. у. е.
Прежде всего необходимо учитывать, что при длительном пребывании в среде с температурой ниже нормативной субстанция теряет требуемые свойства. Сохранение свойств зависит от условий
транспортировки термостойкости упаковки. Субстанция для хранения и транспортировки может быть упакована:
 в картонную тару;
 в специальные деревянные ящики.
При температуре выше 10°С свойства субстанции сохраняются
90 суток. При температуре от 0 до 10°С субстанция, упакованная в
картонную тару, сохраняет требуемые свойства в течение 18 суток, а
упакованная в специальный деревянный ящик – в течение 25 суток.
При температуре ниже 0°С субстанция в картонной таре сохраняет
свойства в течение 10 суток, а в деревянных ящиках – 17 суток. При
упаковке в специальные деревянные ящики стоимость субстанции
возрастает на 5% и составляет уже 105 тыс. у. е.
56
По условиям контракта в соответствии с технологическим процессом субстанцию будут поставлять ранней весной. Поэтому для
фактора температуры выделены два сценария с учетом температуры:
I – температура в пределах от 0 до 10°С с вероятностью
0,6 (60%);
II – температура ниже 0°С с вероятностью 0,4 (40%).
Нормативное время доставки субстанции железнодорожным
транспортом составляет 17 суток. Следует учесть также фактор возможных случайных задержек субстанции в пути. На основе статистических данных выделены три сценария:
I – в 75% случаев задержек не бывает;
II – в 20% случае задержка в пути составляет одни сутки;
III – в 5% случаев задержка в пути – двое суток.
Задержки груза в пути не только влияют на сохранность свойств
субстанции (в зависимости от типа упаковки), но и обусловливают
штрафы, которые для компании составляют 1% стоимости контракта
за каждые сутки опоздания изготовления продукции (т. е.
1,5 тыс. у. е.).
Если субстанция теряет требуемые свойства, то в дополнение к
указанным штрафам компания платит неустойку в размере 20% стоимости контракта (т. е. 30 тыс. у. е.).
Рассматривают следующие способы доставки субстанции:
 отправка железнодорожным транспортом в обычном вагоне,
причем:
а) в специальных деревянных ящиках;
б) в картонной таре;
 отправка железнодорожным транспортом в картонной таре в
отапливаемом вагоне с постоянной температурой воздуха выше
10°С.
При этом известно, что доставка железнодорожным транспортом
в обычном вагоне обойдется в 10 тыс. у. е., а в отапливаемом вагоне
– 25 тыс. у. е.
Для приведенной ситуации необходимо построить дерево решений и выбрать наилучшее решение с учетом нейтрального отношения
ЛПР к риску.
Структура такого дерева решений может быть представлена в
следующем виде (рис. 4):
57
L10,75
Т1: 0 < t < 10°С
Фактор L
L20,2
24,55
L30,05
D1 = 25
D2 = 23,5
D3 = 22
0,6
Картонная
тара
А1
Фактор Т
24,55
L10,75
0,4
Т2: t < 0°С
Фактор L
L20,2
24,55
L30,05
D4 = 25
D5 = 23,5
D6 = 22
Выбор упаковки
Отапливаемый
L10,75
Т1: 0< t < 10°С
Выбор вагона
Фактор L
L20,2
38,05
L30,05
D7 = 40
D8 = 38,5
D9 = 7
0,6
Фактор Т
Обычный
Картонная
тара
А2
26,65
L10,75
0,4
Т2: t < 0°С
Фактор L
L20,2
9,55
L30,05
D10 = 10
D11 = 8,5
D12 = 7
Выбор упаковки
L10,75
А3
Деревянные
ящики
Т1: 0 < t < 10°С
Фактор L
L20,2
34,55
L30,05
D13 =35
D14 =33,5
D15 =32
0,6
Фактор Т
31,55
L10,75
0,4
Т2: t < 0°С
Фактор L
L20,2
27,05
L30,05
D16 = 35
D17 = 3,5
D18 = 2
Рис. 4. Дерево решений
Для ЛПР очевидно, что решений всего три: А1 – отапливаемый
вагон, картонная тара; А2 – обычный вагон, картонная тара; А3 –
обычный вагон, деревянные ящики.
Значения экономических результатов D1-D18 рассчитаны
в табл. 1.
58
Таблица 1
Расчеты по дереву решений
Траектория
Концевая вершина
D1
D2
Потеря
свойств
товара
–
–
Задержка,
суток
Конечный результат,
тыс. у. е.
0
1
D3
D4
D5
–
–
–
2
0
1
A2  T1  L2
D6
D7
D8
–
–
–
2
0
1
A2  T1  L3
D9
+
2
A2  T2  L1
A2  T2  L2
D10
D11
+
+
0
1
A2  T2  L3
D12
+
2
A3  T1  L1
D13
–
0
150 – 100 – 25 = 25
150 – 100 – 25 – 1,5 =
= 23,5
150 – 100 – 25 – 3 = 22
150 – 100 – 25 = 25
150 – 100 – 25 – 1,5 =
= 23,5
150 – 100 – 25 = 22
150 – 100 – 10 = 40
150 – 100 – 10 – 1,5 =
= 38,5
150 – 100 – 10 – 3 – 30 =
=7
150 – 100 – 10 – 30 = 10
150 – 100 – 10 – 1,5 –
– 30 = 8,5
150 – 100 – 10 – 3 – 30 =
=7
150 – 105 – 10 = 35
A3  T1  L2
D14
–
1
A3  T1  L3
D15
–
2
150 – 105 – 10 – 1,5 =
= 33,5
150 – 105 – 10 – 3 = 32
A3  T2  L1
D16
–
0
150 – 105 – 10 = 35
A3  T2  L2
D17
+
1
A3  T2  L3
D18
+
2
150 – 105 – 10 – 1,5 –
– 30 = 3,5
150 – 105 – 10 – 3 – 30 =
=2
A1  T1  L1
A1  T1  L2
A1  T1  L3
A1  T2  L1
A1  T2  L2
A1  T2  L3
A2  T1  L1
При нейтральном отношении к риску используется EVC-критерий, для нахождения значений функции выбора которого необходимые расчеты представлены в табл. 2.
59
Таблица 2
Расчеты по дереву решений
Траектория
A1  T1  L
A1  T2  L
A2  T1  L
A2  T2  L
A3  T1  L
A1  T2  L
A1  T
A2  T
A3  T
Концевые
вершины
D1, D2, D3
D4, D5, D6
D7, D8, D9
D10, D11, D12
D13, D14, D15
D16, D17, D18
(D1, D2, D3),
(D4, D5, D6)
(D7, D8, D9),
(D10, D11, D12)
(D13, D14, D15),
(D16, D17, D18)
Расчет EVC-критерия
25 · 0,75 + 23,5 · 0,2 + 22 · 0,05 = 24,55
25 · 0,75 + 23,5 · 0,2 + 22 · 0,05 = 24,55
40 · 0,75 + 38,5 · 0,2 + 7 · 0,05 = 38,05
10 · 0,75 + 8,5 · 0,2 + 7 · 0,05 = 9,55
35 · 0,75 + 33,5 · 0,2 + 32 · 0,05 = 34,55
35 · 0,75 + 3,5 · 0,2 + 2 · 0,05 = 27,05
24,55 · 0,6 + 24,55 · 0,4 = 24,55
38,05 · 0,6 + 9,55 · 0,4 = 26,65
34,55 · 0,6 + 27,05 · 0,4 = 31,55
Тогда при нейтральном отношении к риску наилучшим является
решение A3 (обычный вагон, деревянные ящики).
Пример 2.2. Некая компания, специализирующаяся на программных разработках, планирует принять участие в тендере на получение некоторого госзаказа на разработку информационной системы [9]. Тендер проводится закрытым способом, т. е. предложения
подаются участниками в запечатанных конвертах и неизвестны другим участникам. По оценкам компании, участие в тендере обойдется
в 5 млн рублей, а выполнение заказа – в 95 млн рублей. Из опыта
предыдущих тендеров известно, что с вероятностью 30% конкуренции вообще не будет. Кроме того, известно, что цена подобного тендера имеет условные вероятности, представленные в следующей таблице:
Цена тендера, млн руб.
Менее 115
От 115 до 120
От 120 до 125
Более 125
Вероятность
0,2
0,4
0,3
0,1
Необходимо принять решение, участвовать ли в тендере, и, если
да, то с какой ценой. Необходимо выбрать решение, которое максимизирует ожидаемую прибыль.
60
Для решения подобных задач существует специальное программное средство, разработанное для анализа рисков и решений
компанией Palisade Corporation (США, http://www.palisade.com/), –
Precision Tree, которое является расширением программы Excel. Возможности данного приложения продемонстрированы в главе 3.
Упражнение 2.1. Предположим, вы хотите вложить на фондовой бирже 10 000 долларов в акции одной из двух компаний – А или
B. [14. – С. 560 (пример 14.2.1)]. Акции компании А являются рискованными, но могут принести 50% прибыли от суммы инвестиции на
протяжении следующего года. Если условия фондовой биржи будут
неблагоприятны, сумма инвестиции может обесцениться на 20%.
Компания В обеспечивает безопасность инвестиций с 15%-ной прибылью в условиях повышения котировок на бирже и только с 5%-ной
– в условиях понижения котировок. Все аналитические публикации,
с которыми можно познакомиться (а они всегда есть в изобилии в
конце года), с вероятностью 60% прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40% – понижение котировок. В какую компанию следует вложить деньги?
Информация, связанная с принятием решения, суммирована в
следующей таблице:
Альтернативные
решения
Акции компании А
Акции компании В
Вероятность события
Прибыль за 1 год от инвестиции 10 000 долл.
при повышении
при понижении
котировок (долл.)
котировок (долл.)
5 000
–2 000
1 500
500
0,6
0,4
Упражнение 2.2. Допустим, у вас имеется возможность вложить
деньги в три инвестиционных фонда открытого типа: простой, специальный (обеспечивающий максимальную долгосрочную прибыль
от акций мелких компаний) и глобальный. Прибыль от инвестиции
может измениться в зависимости от условий рынка. Существует
10%-ная вероятность, что ситуация на рынке ценных бумаг ухудшится, 50%-ная, что рынок останется умеренным и 40%-ная, что рынок будет расти. Следующая таблица содержит значения процентов
прибыли от суммы инвестиции при трех возможностях развития
рынка:
61
Альтернатива
(фонды)
Простой
Специальный
Глобальный
Процент прибыли от инвестиции
ухудшающийся
умеренный
растущий
рынок
рынок
рынок
5
7
8
–10
5
30
2
7
20
Представьте задачу в виде дерева решений. Какой фонд открытого типа вам следует выбрать?
Упражнение 2.3. Некоторая компания решает вопрос о представлении некоторого нового продукта на общенациональный рынок. Неопределенность заключается в том, как отреагирует рынок на
этот новый продукт. Рассматривается вопрос об апробации нового
продукта первоначально на некотором региональном рынке. Таким
образом, первоначальное решение, которое необходимо принять
компании, – это проводить ли первоначальный маркетинг продукта
на региональном уровне. Компания предполагает, что выход на региональный уровень потребует затрат на 3 млн рублей, а выход на общенациональный рынок потребует вложения 90 млн рублей. Если не
проводить первоначальных пробных продаж на региональном
уровне, то решение о выходе на общенациональный рынок можно
принять незамедлительно.
Компания рассматривает результаты продаж как успешные,
средние или отрицательные, в зависимости от объемов продаж. Для
регионального уровня этим градациям соответствуют объемы 200,
100 и 30 тыс. экземпляров, а для общенационального – 6 000, 3 000 и
900 тыс. экземпляров соответственно. Исходя из данных по результатам региональных тестирований аналогичных видов продукции,
компания оценивает вероятности вышеуказанных трех исходов как
0,3, 0,6 и 0,1. Кроме того, исследуя данные о соотношении результатов региональных продаж с последующими продажами на общенациональном рынке, компания сумела оценить следующие условные
вероятности:
Вероятность
Результаты продаж на
региональном рынке
0,3
0,6
0,1
успешные
средние
отрицательные
62
Результаты на общенациональном
рынке
отрицауспешные средние
тельные
0,8
0,15
0,05
0,3
0,5
0,2
0,05
0,25
0,7
Кроме того, известно, что каждая продажа приносит прибыль
18 руб., как на региональном рынке, так и на общенациональном. Задача состоит в принятии обоснованной стратегии выхода (или невыхода) на рынок с новой товарной позицией.
Упражнение 2.4. Компания планирует принять участие в тендере на покупку собственности. Было решение установить цену в
5 млн долларов. Из опыта предыдущих тендеров известно, что с вероятностью 20% эта цена будет наивысшей. Сейчас 1 июля. Заявка
должна быть подана до 15 августа. Победитель будет объявлен 1 сентября.
При победе компания планирует построить и продать комплекс
элитных кондоминиумов. Но на данный момент какие-либо изменения запрещены. В ноябре состоится референдум на основе голосования, где решится вопрос о возможности постройки кондоминиумов.
Участие в тендере требует дополнительный взнос, равный 10%
от установленной цены. Если цена отвергается, то взнос возвращается. Если цена принимается, то взнос прибавляется к стоимости покупки. Однако если цена принимается, и победитель не завершает покупку в течение 6 месяцев, то он лишается взноса. В этом случае собственность передается другому.
Чтобы определить, стоит ли устанавливать цену в 5 млн доларов,
компания проводит предварительный анализ. Из этого анализа следует, что с вероятностью 30% референдум одобрит строительство, и
у компании будут следующие доходы и издержки:
– доход от продажи кондоминиумов: 15 млн долларов;
– издержки на покупку собственности: 5 млн долларов;
– издержки на строительство кондоминиумов: 8 млн долларов.
Если компания выиграет тендер, но референдум не будет одобрен, то компания не будет завершать покупку. В этом случае компания лишиться 10% взноса.
Так как результат референдума является одним из важнейших
факторов в процессе принятия решений, компания предлагает нанять
службу по рыночным исследованиям, чтобы предсказать результаты
голосования. Данная услуга будет стоить 15 тыс. доларов. Результаты
исследования будут известны 1 августа, т. е. до подачи заявки. Кроме
того, исследуя данные о соотношении результатов иcследования с
последующим голосованием, компания сумела оценить следующие
условные вероятности:
P(A|S1) = 0,9,
P(N|S1) = 0,1;
P(A|S2) = 0,2,
P(N|S2) = 0,8,
63
где A – предсказание, что строительство кондоминиумов будет одобрено;
N – предсказание, что строительство кондоминиумов не будет
одобрено;
S1 – строительство кондоминиумов одобрено голосованием;
S2 – строительство кондоминиумов не одобрено голосованием.
Задача состоит в принятии обоснованной стратегии участия или
неучастия в тендере.
Упражнение 2.5. Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка.
Номер
стратегии
1
2
3
Действия компании
Выигрыш, долл., при
состоянии
экономической
среды*
благопри- неблагоятном приятном
Строительство крупного предприятия (а1) 200 000 –180 000
Строительство малого предприятия (a2)
100 000
–20 000
Продажа патента (a3)
10 000
–10 000
________________________
*Вероятность благоприятного и неблагоприятного состояний экономической
среды равна 0,5.
Пусть перед тем, как принимать решение о строительстве, руководство компании должно определить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, причем предоставляемая
услуга обойдется компании в 10 тыс. долларов. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно
дать точной информации, но оно поможет уточнить ожидаемые
оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей.
Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Возможности фирмы в виде
условных вероятностей благоприятности и неблагоприятности рынка
сбыта представлены ниже в таблице. Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот про64
гноз оправдывается (с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприятности рынка оправдывается с вероятностью 0,73.
Прогноз фирмы
Благоприятные условия
Неблагоприятные условия
Фактические условия
благоприятные
неблагоприятные
0,78
0,22
0,27
0,73
Предположим, что фирма, которой заказали прогноз состояния
рынка, утверждает:
– ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45;
– ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,55.
Необходимо принять решение, проводить дополнительное исследование конъюнктуры рынка, и какое предприятие строить, исходя из максимизации ожидаемой прибыли.
Упражнение 2.6. При крупном автомобильном магазине планируется открыть мастерскую по предпродажному обслуживанию и гарантийному ремонту автомобилей. Консультационная фирма готова
предоставить дополнительную информацию о том, будет ли рынок
благоприятным или нет. Эти сведения обойдутся магазину в 13 тыс.
рублей. Администрация магазина считает, что эта информация гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,5. Если рынок будет
благоприятным, то большая мастерская принесет прибыль в 60 тыс.
рублей, а маленькая – 30 тыс. рублей. При неблагоприятном рынке
магазин потеряет 65 тыс. рублей, если будет открыта большая мастерская, и 30 тыс. рублей – если откроется маленькая. Не имея дополнительной информации, директор оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,6. Положительный результат обследования гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,8. При отрицательном результате рынок может оказаться благоприятным с вероятностью 0,3. Постройте дерево решений и определите:
1. Следует ли заказать консультационной фирме дополнительную информацию, уточняющую конъюнктуру рынка?
2. Какую мастерскую следует открыть при магазине – большую
или маленькую?
3. Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения?
4. Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?
65
Упражнение 2.7. Фирма, производящая вычислительную технику, провела анализ рынка нового высокопроизводительного персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250 тыс. рублей, а при неблагоприятных условиях фирма понесет убытки в
185 тыс. рублей. Небольшая партия техники в случае ее успешной
реализации принесет фирме 50 тыс. рублей прибыли и 10 тыс. рублей
убытков – при неблагоприятных внешних условиях. Возможность
благоприятного и неблагоприятного исходов фирма оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести эксперт, обошлось фирме в 15 тыс. рублей. Эксперт считает, что с вероятностью
0,6 рынок окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении благоприятные условия ожидаются лишь с вероятностью 0,8. При отрицательном заключении с вероятностью 0,15 рынок также может оказаться благоприятным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь фирме выбрать правильную техникоэкономическую стратегию. Ответьте на следующие вопросы:
1. Следует ли заказывать эксперту дополнительное обследование рынка?
2. Какую максимальную сумму фирма может выплатить эксперту за проделанную работу?
3. Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения?
2.3. Анализ «галстук-бабочка»
Анализ «галстук-бабочка» представляет собой схематический
способ описания и анализа пути развития опасного события от причин до последствий. Данный метод сочетает исследование причин
события с помощью дерева неисправностей и анализ последствий с
помощью дерева событий. Однако основное внимание метода «галстук-бабочка» сфокусировано на барьерах между причинами и опасными событиями, и опасными событиями и последствиями. Диаграммы «галстук-бабочка» могут быть построены на основе выявленных неисправностей и деревьев событий, но чаще их строят непосредственно в процессе проведения мозгового штурма.
Область применения
Анализ «галстук-бабочка» используют для исследования риска
на основе демонстрации диапазона возможных причин и последствий. Метод следует применять в ситуации, когда сложно провести
полный анализ дерева неисправностей или, когда исследование в
66
большей мере направлено на создание барьеров или средств управления для каждого пути отказа. Метод может быть полезен в ситуации, когда существуют точно установленные независимые пути, приводящие к отказу.
Анализ «галстук-бабочка» часто значительно более прост для
понимания, чем анализ дерева событий или дерева неисправностей,
и, следовательно, он может быть полезен для обмена информацией
при использовании более сложных методов. Входными данными метода является информация о причинах и последствиях опасных событий, риске, барьерах и средствах управления, которые могут их
предотвратить, смягчить или стимулировать.
Анализ «галстук-бабочка» следует строить в соответствии со
следующей процедурой:
1) определение опасного события, выбранного для анализа, и
отображение его в качестве центрального узла «галстука-бабочки»;
2) составление перечня причин события с помощью исследования источников риска (или опасности);
3) идентификация механизма развития опасности до критического события;
4) проведение линии, отделяющей причину от события, что позволяет сформировать левую сторону бабочки. Дополнительно могут
быть идентифицированы и включены в диаграмму факторы, которые
могут привести к эскалации опасного события и его последствий;
5) нанесение поперек линии вертикальных преград, соответствующих барьерам, предотвращающим нежелательные последствия. Если определены факторы, которые могут вызвать эскалацию
опасного события, то дополнительно могут быть представлены барьеры, предупреждающие подобную эскалацию. Данный подход может
быть использован для положительных последствий, когда преграды
отражают средства управления, стимулирующие появление и развитие события;
6) идентификация в правой стороне бабочки различных последствий опасного события и проведение линий, соединяющих центральное событие с каждым возможным последствием;
7) изображение барьеров в качестве преград по направлению к
последствию. Данный подход может быть использован для положительных последствий, когда преграды отражают средства управления, обеспечивающие появление благоприятных последствий;
8) отображение под диаграммой «галстук-бабочка» вспомогательных функций управления, относящихся к средствам управления
67
(таких как обучение и проверки), и соединение их с соответствующим средством управления.
В диаграмме «галстук-бабочка» могут быть применены некоторые виды количественной оценки, например, в ситуации, когда пути
независимы и известна вероятность конкретных последствий или результатов. Подобная количественная оценка необходима для обеспечения эффективности управления. Однако следует учитывать, что во
многих ситуациях пути и барьеры взаимозависимы, и средства управления могут быть связаны с выбранным методом оценки, следовательно, эффективность управления является неопределенной. Количественную оценку для анализа «галстук-бабочка» часто выполняют
с помощью методов FTA и ETA.
Преимуществами метода анализа «галстук-бабочка» являются
следующие: 1) метод обеспечивает наглядное, простое и ясное графическое представление проблемы; 2) метод ориентирован на средства управления, направленные на предупреждение и/или уменьшение последствий опасных событий, и оценку их эффективности;
3) метод может быть применен в отношении благоприятных последствий; 4) применение метода не требует привлечения высококвалифицированных экспертов.
Недостатками метода являются следующие: 1) метод не позволяет отображать совокупности причин, возникающих одновременно
и вызывающих последствия (случай, когда в дереве неисправностей,
отражающем левую сторону диаграммы, находится логический элемент «И»); 2) метод может представить сложные ситуации в чрезмерно упрощенном виде, особенно при применении количественной
оценки.
Пример 2.3. На рис. 5 с помощью метода выявлены риски в случае реализации неблагоприятного события – нарушения таможенного законодательства. Для более отчетливого проявления рисков рекомендуется при идентификации причин и последствий опасного события доходить до второго и до третьего уровня, т. е. для определения «причин причин» и «последствий последствий», как это показано
на рис. 2.4.
Упражнение 2.8. На рис. 6 для случая реализации неблагоприятного события падения спроса определите и нанесите на диаграмму
барьеры, предотвращающие нежелательное событие, барьеры,
предотвращающие последствия и меры восстановления от наступления последствий.
68
Пробелы
в таможенном
законодательстве
Постконтроль
ДТ
Доработка нормативной базы
Унификация с
международными
документами
Недобросовестные участники
ВЭД
Развитие таможенной инфраструктуры
Слабое техническое оснащение
таможенных
органов
Контроль таможенной стоимости
Изменение тарифной политики
Передислокация
ИДК
Повышение
заработной платы
Коррупционность
таможенных
сотрудников
Нарушение
таможенного
законодательства
Перемещение
должностных лиц
в другие регионы
Неуплата
таможенных
платежей
Экспертиза
товаров
Проверка сертификатов соответствия
Угроза
жизни
и здоровью
населения
Проверочные мероприятия и контроль
товаров после
выпуска
Недобросовестная конкуренция на рынке
Рис. 5. Анализ «галстук-бабочка» для случая нарушения таможенного законодательства
69
70
Сложная технология
Низкая
информированность клиентов
Ошибочные суждения о
продукте
Недобросовестные участники
ВЭД
Ваша реклама не эффективна
Ошибка в выборе сегмента
Узкий охват рекламы
Клиенты не
знают о продукте
Продукт уступает в качестве
Продукт уступает в безопасности
Продукт уступает в цене
Продукт уступает в других
характеристиках
Продукт хуже
конкурентов
Снижение
выручки
Падение
спроса
ниже
плана
Увеличение
расходов
Репутационный ущерб
Замедление планов развития
компании
Претензии со стороны акционеров
Смена менеджмента
Увеличение
расходов
на
маркетинг и продвижение
Привлечение новых специалистов
Репутационный ущерб для
продукта
Репутационный ущерб для ЛПР
Рис. 6. Исследование риска падения спроса с помощью метода «галстук-бабочка»
2.4. Моделирование методом Монте-Карло
Многие системы слишком сложны для исследования влияния неопределенности с использованием аналитических методов. Однако
такие системы можно исследовать, если рассматривать входные данные в виде случайных переменных, повторяя большое количество
вычислений N (итераций), для получения результата с необходимой
точностью.
Основная идея метода состоит в использовании выборки случайных чисел для получения вероятностных или детерминированных
оценок каких-либо величин [14].
Метод может быть применен в сложных ситуациях, которые
трудны для понимания и решения с помощью аналитических методов. Модели систем могут быть разработаны с использованием таблиц и других традиционных методов. Однако существуют и более современные программные средства, удовлетворяющие высоким требованиям, многие из которых относительно недороги. Если модель
разрабатывают и применяют впервые, то необходимое для метода
Монте-Карло количество итераций может сделать получение результатов очень медленным и трудоемким. Однако современные достижения компьютерной техники и разработка процедур генерации данных по принципу латинского гиперкуба позволяют сделать продолжительность обработки незначительной во многих случаях.
Область применения
Согласно стандарту, метод Монте-Карло является способом
оценки влияния неопределенности оценки параметров системы в широком диапазоне ситуаций. Метод обычно используют для оценки
диапазона изменения результатов и относительной частоты значений
в этом диапазоне для количественных величин, таких как стоимость,
продолжительность, производительность, спрос и др. Моделирование методом Монте-Карло может быть использовано для двух различных целей: 1) трансформирования неопределенности для обычных аналитических моделей; 2) расчета вероятностей, если аналитические методы не могут быть использованы.
Входными данными для моделирования методом Монте-Карло
являются хорошо проработанная модель системы, информация о
типе входных данных, источниках неопределенности и требуемых
выходных данных. Входные данные и соответствующую им неопределенность рассматривают в виде случайных переменных с соответ71
ствующими распределениями. Часто для этих целей используют равномерные, треугольные, нормальные и логарифмически нормальные
распределения.
Процесс моделирования Монте-Карло включает следующие
этапы:
1. Определение модели или алгоритма, которые наиболее точно
описывают поведение исследуемой системы.
2. Многократное применение модели с использованием генератора случайных чисел для получения выходных данных модели (моделирование системы). При необходимости моделируют воздействие
неопределенности. Модель записывают в форме уравнения, выражающего соотношение между входными и выходными параметрами.
Значения, отобранные в качестве входных данных, получают исходя
из соответствующих распределений вероятностей, характеризующих
неопределенности данных.
3. С помощью компьютера многократно используют модель
(часто до 10 000 раз) с различными входными данными и получают
выходные данные. Они могут быть обработаны с помощью статистических методов для получения оценок среднего, стандартного отклонения, доверительных интервалов.
Выходными данными могут быть значения характеристик или
распределение вероятности или частоты отказа, или выходом может
быть идентификация основных функций модели, которые оказывают
основное влияние на выходные данные.
Метод Монте-Карло обычно используют для оценки распределения входных или выходных результатов, или характеристик распределения, в том числе для оценки:
– вероятности установленных состояний;
– значений выходных величин, для которых установлены границы, соответствующие некоторому уровню доверия, которые не
должны быть нарушены.
Анализ взаимосвязи входных и выходных величин может выявить относительное значение факторов работы системы и идентифицировать способы снижения неопределенности выходных величин.
Метод Монте-Карло является предшественником современного
имитационного моделирования [14]. Методы имитационного моделирования находят широкое применение в экономических и коммер-
72
ческих задачах, включая оценки поведения потребителей, определение цен, экономическое прогнозирование деятельности фирм и во
многих других.
Пример 2.4. Инвестор владеет портфелем, состоящим из одной
казначейской облигации и двух корпоративных облигаций одного и
того же кредитного рейтинга [16]. Основные параметры портфеля
указаны в следующей таблице:
Облигация
Казначейская
Корпоративная
Корпоративная
Срок до
погашения,
лет
5,5
15,5
25,5
Купонная Номинал,
ставка, % млн долл.
6
9
10,5
5
4
6
Доходность
к погашению, %
6
9
10,5
Инвестора интересует реализуемая доходность портфеля облигаций за 6 месяцев. По его мнению, реализуемая доходность портфеля будет определяться следующими двумя факторами: кривой доходностей казначейских облигаций через 6 месяцев и спредом между
доходностями корпоративных и казначейских облигаций. Предположим, что инвестор располагает еще и следующей информацией:
Доходности казначейских
облигаций, %
5 лет 15 лет 25 лет
4
6
7
5
8
9
6
7
7
7
8
8
9
9
9
10
8
8
Величина спреда между
доходностями
75
100
125
150
175
200
Вероятность
Разбиение
промежутка [0, 1)
0,20
0,15
0,10
0,10
0,20
0,25
[0; 0,20)
[0,20; 0,35)
[0,35; 0,45)
[0,45; 0,55)
[0,55; 0,75)
[0,75; 1,00)
Вероятность
Разбиение промежутка
[0, 1)
[0; 0,10)
[0,10; 0,30)
[0,30; 0,55)
[0,55; 0,80)
[0,80; 0,95)
[0,95; 1,00)
0,10
0,20
0,25
0,25
0,15
0,05
73
Для определения реализуемой доходности портфеля облигаций
можно использовать метод Монте-Карло.
Первая итерация (случайные числа: 0,91 – для кривой доходностей и 0,12 – для спреда между доходностями). В этом случае доходности казначейских облигаций со сроком до погашения 5, 15 и 25 лет
составят соответственно 10, 8 и 8%, а доходности корпоративных облигаций со сроком до погашения 15 и 25 лет – 9 и 9%.
Тогда цены облигаций (на номинал в 100 долларов) через 6 месяцев определяются следующим образом:
P1 

6 
1
100
1

 84,55653 ,

10 
0,1  (1  0,05)  (1  0,05)10
P2  100 (купонная
P3 
ставка совпадает с доходностью),

10,5 
1
100
1

 114,82151 .

50 
0,09  (1,045)  (1,045) 50
Значит, реализуемая доходность портфеля облигаций составит
P1  50 000  P2  40 000  P3  60 000  150 000  180 000  315 000  15 000 000
 0,1016 ,
15 000 000
т. е. 10,16%.
Предположим, что было проведено 100 итераций. При этом оказалось, что наименьшая реализуемая доходность портфеля равна
3,905%, а наибольшая реализуемая доходность составляет 24,97%.
Разделив отрезок [3,905%; 24,97%] на достаточно большое число
частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доходность из этой части.
Таким образом, будет построено эмпирическое распределение
вероятностей реализуемой доходности портфеля облигаций. После
чего можно получить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: среднее значение, стандартное отклонение и
т. д.
Пример 2.5. Инвестора интересует процент дохода (или убытков) в предстоящем году [9]. Он полагает, что возможны пять общих
сценариев развития национальной экономики в предстоящем году:
быстрый рост, умеренный рост, отсутствие роста, умеренный спад и
резкий спад. Далее, из всей имеющейся информации удалось сделать
предположение, что ожидаемые уровни доходов соответственно
равны 0,23; 0,18; 0,15; 0,09 и 0,03, т. е. доход колеблется от 23 до 3%.
Кроме этого, удалось оценить вероятности этих сценариев: 0,12; 0,40;
0,25; 0,15 и 0,08. Используя данную информацию, необходимо по-
74
строить распределение вероятностей для ожидаемых доходов предстоящего года. Решение задачи в среде Excel изложено в главе 3 пособия.
Упражнение 2.9. Рассмотрим игру, в которой 2 игрока – А и Б –
поочередно подбрасывают правильную (симметричную) монету [14].
Если выпадает лицевая сторона монеты, игрок А получает 10 долларов от игрока Б, иначе игрок Б выигрывает у игрока А 10 долларов.
Как смоделировать эту игру в виде эксперимента Монте-Карло?
Проведите эксперимент в 5 прогонов с 10 подбрасываниями монеты в каждом прогоне. Используйте таблицу для получения значений случайных чисел из интервала [0, 1], при этом каждый столбец
будет соответствовать одному прогону:
0,18244
0,894467
0,983306
0,30784
0,628681
0,094485
0,680074
0,849757
0,078066
0,93762
0,084017
0,758507
0,762688
0,067812
0,465743
0,276101
0,622181
0,367687
0,283731
0,779107
0,919675
0,198553
0,53972
0,064516
0,013916
0,997681
0,777795
0,546495
0,617664
0,128147
0,32841
0,882992
0,801813
0,576128
0,126194
0,314676
0,640126
0,510849
0,471786
0,795984
0,245338
0,012879
0,919034
0,041505
0,213538
0,576342
0,740806
0,519272
0,716483
0,141057
Вычислите 95%-ный доверительный интервал для выигрышей
игрока А.
Сравните доверительный интервал, полученный в предыдущем
пункте с ожидаемым теоретическим выигрышем игрока А.
Упражнение 2.10. Смоделируйте ситуацию с пятью выигрышами или проигрышами в следующей игре в кости. Игрок бросает
две симметричные игральные кости. Если выпавшая сумма равна 7
или 11, игрок выигрывает 10 долл. Иначе он запоминает выпавшую
сумму (называемую очком) и продолжает бросать кости до тех пор,
пока выпавшая сумма не совпадет с очком, после чего игрок получает10 долл. Но если выпавшая сумма равна 7, то игрок проигрывает
10 долл.
Упражнение 2.11. Цикл исполнения заказа на некую продукцию
с равной вероятностью составляет 1 или 2 дня. Предполагается, что
ежедневный спрос равен 0, 1 и 2 единицы этой продукции с вероятностями 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно. Используйте значения случайных чисел для оценки совместного распределения спроса и цикла исполнения заказа. Исходя из полученного совместного распределения,
75
оцените плотность вероятности спроса в течение цикла исполнения
заказа (подсказка: спрос во время исполнения заказа может принимать значения 0, 1, 2, 3 и 4).
2.5. Байесовский анализ и сеть Байеса
Создание байесовского анализа приписывают преподобному Томасу Байесу. Для оценки полной вероятности он предложил объединить априорные данные с апостериорными. События, отражающие
действие «причин», в данном случае называют гипотезами, так как
они – предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько
вероятна причина вообще), а условную – с учетом факта произошедшего события – апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).
Формула Байеса
P ( B | A) P ( A)
P( A | B) 
,
(2.1)
P( B)
где P(A) – априорная вероятность гипотезы A;
– вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
– вероятность наступления события B при истинности гипотезы
A;
– полная вероятность наступления события B.
Формула Байеса вытекает из определения условной вероятности.
Вероятность совместного события P(AB) двояко выражается через
условные вероятности
P( AB)  P( A | B) P( B)  P( B | A) P( A) .
(2.2)
Следовательно,
P( A | B) 
P ( AB) P ( B | A) P ( A)

.
P( B)
P( B)
(2.3)
P(B) обычно вычисляется по формуле полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез, имеющих суммарную вероятность 1.
N
P( B)   P( Ai ) P( B | Ai ) ,
(2.4)
i 1
где вероятности под знаком суммы известны или допускают экспериментальную оценку.
76
Байесовский анализ отличается от классической статистики
предположением, что параметры распределений являются не постоянными, а случайными переменными. Вероятность Байеса можно
легко понять, если рассматривать ее как степень уверенности в определенном событии в противоположность классическому подходу, основанному на объективных свидетельствах. Поскольку подход Байеса основан на субъективной интерпретации вероятности, то он может быть полезен при выборе решения и разработке сетей Байеса
(или сетей доверия).
Сеть Байеса – графическая модель, включающая переменные и
их вероятностные взаимосвязи. Сеть состоит из узлов, представляющих случайные переменные, и стрелок, связывающих родительский
узел с дочерним узлом (родительский узел – переменная, которая
непосредственно влияет на другую дочернюю переменную).
Теории и сети Байеса широко применяют по причине их интуитивной понятности и благодаря наличию соответствующего программного обеспечения. Сети Байеса применяют в различных областях: медицинской диагностике, моделировании изображений, генетике, распознавании речи, экономике, исследовании космоса и в современных поисковых системах. Они могут находить применение в
любой области, где требуется установление неизвестных переменных посредством использования структурных связей и данных. Сети
Байеса могут быть применены для изучения причинных связей,
углубления понимания проблемной области и прогнозирования последствий вмешательства в систему.
Входные данные для байесовского анализа и сети Байеса подобны входным данным для модели Монте-Карло. Для сети Байеса
основными этапами являются:
 определение переменных системы;
 определение причинных связей между переменными;
 определение условных и априорных вероятностей;
 добавление объективных свидетельств к сети;
 обновление доверительных оценок;
 определение апостериорных доверительных оценок.
Байесовский подход может быть применен в той же степени, что
и классическая статистика, с получением широкого диапазона выходных данных, например, при анализе данных для получения точечных
оценок и доверительных интервалов. Сети Байеса используют для получения апостериорных распределений. Графические представления
выходных данных обеспечивают простоту понимания модели, при
77
этом данные могут быть легко изменены для исследования корреляции и чувствительности параметров.
Пример 2.6. Приведем пример применения формулы Байеса к
оценке операционных рисков [16].
Изначально менеджер оценивает, что операционный риск возможен либо в результате сбоя информационных систем (с вероятностью
40%), либо в результате ошибки персонала (с вероятностью 60%).
Последствиями операционного риска могут быть: неправильный расчет, мошенничество либо неисполнение операции. Вероятности каждого из этих событий определены для каждого из факторов операционного риска (рис. 7).
Причина
Последствия
Гипотеза
Сбой ИС
(Р = 40%)
Неправильный
расчет
0,5
0,4
0,1
Гипотеза
Ошибка персонала
(Р=60%)
Неисполнение
операции
0,2
0,3
Мошенничество
0,5
Рис. 7. Пример сети Байеса
Предположим, в компании произошла ошибка, которая привела
к некорректному расчету при исполнении операции. Как изменится
вероятность того, что это произошло в результате сбоя информационных систем или действий сотрудников компании? Для ответа на
этот вопрос воспользуемся формулой условной вероятности Байеса
P( ИС ошибка расчета)  Р( H1 A1 ) 

P( H1 )  PH 1  A1 

P( H1 )  PH 1  A1   P( H 2 )  PH 2 ( A1 )
0,4  0,5
 0,625 .
0,4  0,5  0,6  0,2
Таким образом, вероятность того, что ошибка была вызвана
сбоем информационных систем, возрастает до 62,5%.
78
В более сложных задачах, когда создаются более детальные,
многоуровневые причинно-следственные сети, такой анализ может
быть очень полезен для анализа причин произошедших сбоев. С помощью моделей подобного рода можно с большей вероятностью
определить место возникновения ошибки, так как в рамках такой задачи воссоздается вся последовательность бизнес-процесса.
Преимуществами метода являются следующие:
 для использования метода достаточно знание априорной информации;
 логически выведенные утверждения легки для понимания;
 применение метода основано на формуле Байеса;
 метод предоставляет собой способ использования субъективных вероятностных оценок.
Недостатками метода являются следующие:
 определение всех взаимодействий в сетях Байеса для сложных систем не всегда выполнимо;
 подход Байеса требует знания множества условных вероятностей, которые обычно получают экспертными методами. Применение программного обеспечения основано на экспертных оценках.
Пример 2.7. Статистика запросов кредитов в банке такова: 5% –
государственные органы, 80% – другие банки, 15% – физические
лица. Вероятности невозврата взятого кредита, соответственно, 0,01,
0,02, 0,2. Найти вероятность очередного запроса на кредит. Какова
вероятность, что заданный кредит не вернуло физическое лицо?
Решение. Обозначим событие А – невозврат кредита. А также выдвинем следующие гипотезы:
Н1 – невозврат государственными органами;
Н2 – другими банками;
Н3 – физическими лицами.
Тогда искомая вероятность невозврата будет
P( A)  P( H1 ) P( A H1 )  P( H 2 ) P( A H 2 )  P( H 3 ) P( A H 3 ) 
 0,05  0,01  0,8  0,02  0,15  0,2  0,0465.
Пусть кредит не возвращен. Найдем вероятность того, что его не
вернуло физическое лицо. По формуле Байеса
P( H 3 | A) 
P( H 3 ) P( A | H 3 ) 0,15  0,2

 0,645.
P( A)
0,0465
Пример 2.8. Пусть имеются три гипотезы: Н1– высокая надежность фирмы; Н2 – средняя надежность фирмы; Н3 – низкая надежность фирмы.
79
Априорные вероятности которых будут, соответственно, Р(Н1),
Р(Н2), Р(Н3). И два условно независимых свидетельства: А1 – наличие
прибыли у фирмы; А2 – своевременные расчеты с бюджетом.
Представим распределение этих вероятностей по заданным
условиям в следующей таблице:
1
0,3
0,7
0,9
P(Hi)
P(A1|Hi)
P(A2|Hi)
2
0,5
0,4
0,6
3
0,2
0,1
0
Появление дополнительных фактов, влияющих на гипотезу, будет варьировать ее вероятность, приближая к 0 или 1 в зависимости
от качества новой взаимосвязи. Предположим, что имеются Н1, Н2 и
Н3, но только появление одного свидетельства – А1 – является достоверным.
Тогда,
P ( H 1 | A1 ) 
0,3  0,7
0,21

 0,49.
0,3  0,7  0,5  0,4  0,2  0,1 0,43
P ( H 2 | A1 ) 
0,5  0,4
0,2

 0,47.
0,3  0,7  0,5  0,4  0,2  0,1 0,43
P ( H 3 | A1 ) 
0,2  0,1
0,02

 0,05.
0,3  0,7  0,5  0,4  0,2  0,1 0,43
Следовательно, после появления достоверного события А1 доверие к гипотезе Н1 возрастает, к Н2 – незначительно снижается, а к Н3
– сокращается в четыре раза.
Итак, после рассмотрения имеющегося примера с наличием
лишь одного из свидетельств А1 добавим к решению независимое от
А1 достоверное событие А2 и получим формулу Байеса следующего
вида:
P ( H i | A1 A2 ... An ) 
P ( A1 A2 ... An | H i )  P ( H i )
n
 P( A A ... A
1
2
n
.
| H k )  P( H k )
k 1
Тогда апостериорные распределения каждой из гипотез будут
равны
P ( H1 | A1 A2 ) 
0,3  0,7  0,9
0,189

 0,612.
0,3  0,7  0,9  0,5  0,4  0,6  0,2  0,1  0 0,309
P ( H 2 | A1 A2 ) 
80
0,5  0,4  0,6
0,12

 0,39.
0,3  0,7  0,9  0,5  0,4  0,6  0,2  0,1  0 0,309
P ( H 3 | A1 A2 ) 
0,2  0,1  0
 0.
0,3  0,7  0,9  0,5  0,4  0,6  0,2  0,1  0
Исходя из полученных результатов, можно заключить, что при
одновременном появлении в вероятностной модели двух свидетельств – наличия прибыли и своевременного расчета с бюджетом – остаются только две гипотезы Н1 и Н2, среди которых 61% будет приходиться на долю фирм с высокой степенью надежности, а 39% – на
фирмы средней надежности.
Пример 2.9. Из имеющихся на складе телескопов 30% изготовлены фирмой 1, остальные – фирмой 2. Вероятность того, что телескоп, изготовленный фирмой 1, не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0,9, для телескопов, изготовленных
фирмой 2, эта вероятность равна 0,8. Случайным образом для проверки со склада выбрали телескоп, который выдержал гарантийный
срок. Определить вероятность того, что он был изготовлен фирмой 2.
Решение. В условиях примера известно, что опыт произошел,
т. е. телескоп выбран со склада и исследована его работа в течение
гарантийного срока службы. Обозначим через А событие, состоящее
в том, что телескоп выдержит гарантийный срок службы. Гипотезами
будут следующие события: Н1 – телескоп произведен фирмой 1; Н2 –
телескоп произведен фирмой 2.
Так как 30% телескопов произведены фирмой № 1 и, следовательно, 70% произведены фирмой № 2, то Р(Н1) = 0,3 и Р(Н2) = 0,7.
По условию, Р(А|Н1) = 0,9 и Р(А|Н2) = 0,8, следовательно, полная
вероятность события А равна
Р( А)  0,3  0,9  0,7  0,8  0,27  0,56  0,83 .
И, наконец,
Р( Н 2 | A) 
P( H 2 )  P( A | H 2 ) 0,7  0,8

 0,67 .
P( A)
0,83
Нетрудно сообразить, что
Р ( Н 1 | A)  1  0,67  0,33 .
Упражнение 2.12. Рассматриваются акции некоторой компании.
Исследования показали, что если экономика страны будет на подъеме, то вероятность роста стоимости акций этой компании в следующем году будет равна 0,7; если же развитие экономики не будет
успешным, то эта вероятность равна 0,2. По мнению специалистов,
вероятность подъема экономики в следующем году равна 0,85. Оценить вероятность того, что в следующем году акции компании поднимутся в цене.
81
Упражнение 2.13. Число мужчин, просматривающих рекламу на
данном сайте, относится к числу женщин, просматривающих рекламу на этом же сайте, как 3:2. Вероятность того, что по рекламной
ссылке перейдет мужчина равна 0,1; для женщины эта вероятность
равна 0,2. По рекламной ссылке перешел потенциальный клиент.
Найти вероятность того, что это мужчина.
Упражнение 2.14. Вы купили акцию предприятия, которое может оказаться «хорошим» или «плохим» с вероятностью 0,5. Акция
«хорошего» предприятия с вероятностью 1 через год вырастет в цене.
Акция «плохого» предприятия через год с вероятностью 1/4 вырастет, а с вероятностью 3/4 упадет в цене. Через год цена купленной
акции выросла. Какова вероятность того, что это акция «хорошего»
предприятия?
2.6. Метод анализа иерархий
Изучим экспертные подходы, которые при принятии решений
позволяют измерить и сопоставить различные факторы, кажущиеся
трудно или даже вовсе не поддающимися количественному измерению. Рассмотренные ниже процедуры экспертиз дают возможность
снизить информационный шум за счет выявления и уточнения противоречащих друг другу суждений.
Метод анализа иерархий (МАИ) и метод аналитических сетей
(МАС) моделируют естественный ход человеческого мышления при
отыскании рациональных действий в реальных проблемах со множеством зависимых промежуточных задач и большим числом контролируемых и неконтролируемых факторов, отражающих рассматриваемую ситуацию.
В основе методов лежит представление системы, которая моделирует реальную проблему, в виде иерархической структуры.
Иерархия – тип многоуровневой структуры, предусматривающий
разделение системы на подсистемы по заданным классифицирующим признакам, отражающим, как правило, усложняющиеся свойства объектов подсистемы. Таким образом, реализация методов предполагает образование групп, страт или кластеров из элементов, факторов и промежуточных целей в соответствии с распределением некоторых свойств между ними. Элементы, расположенные в силу присущей им сложности свойств на соответствующем уровне иерархии,
взаимосвязаны с элементами соседних уровней иерархической структуры.
82
Именно так в большинстве случаев поступает разумный человек,
столкнувшись с многоуровневой и многофакторной проблемой. ЛПР
декомпозирует сложное событие или явление, а выявив отношения,
осуществляет синтез. Суждения о взаимовлиянии и взаимозависимости элементов системы отражают знания и компетентность конкретного эксперта. Следовательно, проведенные при принятии решений
разными экспертами декомпозиция и синтез могут отличаться друг
от друга, что приводит к вариативным различиям в построенных
иерархических структурах системы. Профессионализм и опыт ЛПР,
наряду с исчерпывающим описанием проблемы, позволяют получить
родственные, принципиально не отличающиеся иерархические
структуры и, следовательно, близкие оценки взаимовлияний элементов и групп на оперативном и стратегическом уровне.
Пример 2.10. Трехуровневая иерархия может иметь следующий
вид:
Цель
F
Критерии Kj
K1 K2 K3 K4 K5
Альтернативы Ak
A1 A2 A3
Альтернативы А1, А2, А3 (k = 1, …, 3) расположены на нижнем
третьем уровне, критерии К1 – К5 (j = 1, …, 5) – на промежуточном
втором, а цель F занимает верхний первый уровень иерархической
структуры. Каждый уровень иерархии объединяет элементы или
факторы с одинаковыми общими свойствами. Данные свойства рассматриваются как классификационный признак для формирования
следующего более высокого уровня структуры. Вершина иерархической структуры отождествляется с целью принятия решений. ■
Центральный вопрос, который возникает далее в процессе принятия решения, следующий: как сильно влияют отдельные факторы
самого низкого уровня иерархии на самый верхний уровень структуры, т. е. на цель процесса? Неравномерность влияния по всем факторам приводит к необходимости определения приоритетов факторов, т. е. интенсивности воздействия элементов каждого уровня на
процесс достижения цели. Определение приоритетов для каждого
уровня сводится к суждениям эксперта путем парного сравнения преимуществ элементов данного уровня по отношению к классификационному свойству, задающему факторы более высокого уровня иерархии.
Пример 2.11. Для трехуровневой иерархической структуры из
примера 2.10 главный вопрос следующий: какую из альтернатив Аk
нижнего уровня выбрать для достижения цели F? Иными словами,
83
требуется определить фактор Ai , который оказывает наибольшее влияние на величину F, т. е. фактор Ak с наибольшим результирующим
приоритетом. Значение результирующего приоритета вычисляют по
шагам. На первом шаге определяют приоритеты φj критериев
Kj (j = 1 ... 5) относительно цели F. На втором шаге подсчитывают
приоритеты  kj факторов Ak (k = 1...3) относительно критериев Kj.
Окончательно подсчитываем результирующий приоритет αk*, просуммировав приоритеты  kj c учетом весов критериев φj. Имеем для
фактора Ak следующее выражение результирующего приоритета:
αk*=  kj φj, где приоритет  kj умножается на вес φj, а по повторяющимся верхним и нижним индексам j = 1... 5 проводится суммирование. ■
Влияние факторов друг на друга и на верхние уровни структуры
(цель) можно описать при помощи фундаментальной шкалы абсолютных значений. Шкала – это упорядоченный ряд отметок, соответствующий соотношению последовательных значений измеряемых величин. Для того чтобы оценить приоритетность элемента
иерархии, выбирается одно число из фундаментальной шкалы, характеризующее степень предпочтительности данного фактора по отношению к другому.
В МАИ и МАС применяется следующая девятибалльная шкала
абсолютных значений для оценки силы суждений, представленная в
табл. 3.
Таблица 3
Шкала
Определение
1
2
1
Равная предпочтительность
2
Слабая степень
предпочтения
3
Средняя степень предпочтения
4
Предпочтение
выше среднего
5
Умеренно сильное предпочтение
84
Комментарий
3
Две альтернативы одинаково предпочтительны с точки зрения цели
Промежуточная градация между равным и
средним предпочтением
Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив немного предпочтительней другой
Промежуточная градация между средним и
умеренно сильным предпочтением
Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив явно предпочтительней другой
О к о н ч а н и е т а б л. 3
1
6
7
8
9
2
Сильное предпочтение
Очень сильное
(очевидное) предпочтение
Чрезвычайно
сильное предпочтение
Абсолютное
предпочтение
3
Промежуточная градация между умеренно
сильным и очень сильным предпочтением
Опыт эксперта позволяет считать одну из
альтернатив гораздо предпочтительней
другой: доминирование альтернативы подтверждено практикой
Промежуточная градация между очень
сильным и абсолютным предпочтением
Очевидность подавляющей предпочтительности одной альтернативы над другой
имеет неоспоримое подтверждение
Первый шаг процедуры принятия решений на основе МАИ заключается в построении структуры, изображенной на рис. 8, т. е.
иерархии.
Критерии
Альтернативы
К1
А1
Цель
F
К2
К3
А2
Уровень 1
К4
К5
А3
Уровень 2
Уровень 3
Рис. 8. Пример трехуровневой иерархии
Напомним, что иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы (кластера) независимы, находятся под влиянием элементов определенных групп соседнего уровня структуры и, в свою очередь, оказывают
влияние на элементы других групп. Сложные иерархические структуры допускают присутствие уровня подкритериев между критериями и альтернативами (рис. 9). Уровень подкритериев, расположен85
ный непосредственно над альтернативами, может включать конкретные факторы оценивания. В иерархии может присутствовать несколько уровней подкритериев. Часть критериев может не иметь подкритериев.
Пример 2.12. Покупка наиболее подходящего для ЛПР смартфона может быть целью, занимающей на рис. 8 первый уровень; критериями второго уровня могут быть дизайн устройства, ценовая политика продавца, надежность работы аккумулятора, свойства камеры, бренд; альтернативами третьего уровня могут быть коммуникаторы Apple iPhone, HTC, Sumsung. На рис. 9 под критерием «ценовая политика» могут располагаться подкритерии: способы и источники финансирования покупки; под критерием «дизайн» – подкритерии: использование новых материалов, габариты устройства, перечень различных стилей. ■
Цель
Подцели
Критерии
Подкритерии
Факторы оценивания
Альтернативы
Рис. 9. Структура обобщенной иерархии
Как указывалось, на втором шаге процедуры МАИ выполняются: парные сравнения значимости критериев (элементов второго
86
уровня) относительно цели (первого уровня) и парные сравнения преимуществ альтернатив (элементов третьего уровня) относительно
каждого критерия (элементов второго уровня).
Пусть имеется n видов факторов A1, A2, …, An данного уровня.
Задача эксперта – оценить суждения ЛПР об относительной важности (значимости) этих факторов, т. е. приоритет фактора Ai относительно фактора Aj по фактору другого уровня Km. Качественные суждения о сравнении пар объектов (Ai, Aj) представляются n x n матрицей парных сравнений A = (aij), (i, j = 1, 2, …, n).
Элементы матрицы aij определяют по следующим правилам:
Правило 1. Если элемент aij = a, то элемент aji = 1/a, где a – число
из первого столбца табл. 2.3.
Правило 2. Если суждения таковы, что Ai имеет одинаковую с Aj
относительную важность, то aij = aji = 1; в частности, aii = 1 для всех
i = 1… n. Итак, положительная обратно-симметричная матрица А
имеет вид
a12
 1
1 / a
1
21
A


1 / an1 1 / an 2
a1n 
a2 n 


1 
После представления качественных суждений о парах (Ai, Aj) в
числовом выражении через элементы aij, задача сводится к вычислению n числовых весов w1, w2, …, wn, которые соответствуют абсолютным приоритетам факторов A1,…, An относительно фактора Km.
Вектор абсолютных приоритетов w = (w1, w2, …, wn)T – это главный собственный вектор матрицы А, т. е. собственный вектор матрицы парных сравнений, отвечающий максимальному собственному
значению матрицы λmax. Имеем Aw = λmax w.
Пример 2.13. Найдем максимальное собственное число матрицы
1 n
A
1/ n 1 .
Имеем
1 λ
n
 0.
1/ n 1  λ
Откуда (1 – λ)2 – 1 = 0 – характеристическое уравнение. Следовательно, λmin = 0, λmax = 2. ■
На третьем шаге процедуры МАИ изучается вопрос, насколько
хорошо элементы aij матрицы A представляют относительные прио87
ритеты и, следовательно, задают абсолютные приоритеты, т. е. компоненты wk главного собственного вектора w? Исходная матрица A
может быть несогласованной, т. е. ее элементы могут задавать логически противоречивые суждения. В согласованной матрице наличие
основного массива необработанных данных обеспечивает логически
обоснованные значения других величин.
Пример 2.14. В процессе оценивания альтернатива A1 может
оказаться предпочтительнее A2, альтернатива A2 предпочтительнее
A3, а A3 оценивается более предпочтительно в сравнении с A1. ■
Утверждение 1. Для n x n матрицы парных сравнений справедливо λmax ≥ n. Матрица парных сравнений абсолютно согласована тогда и только тогда, когда λmax = n. ●
Индекс согласованности Λ матрицы парных сравнений рассчиmax  n
тывают по формуле Λ = n  1 где n – размерность матрицы.
Отношение согласованности ρ как меру согласованности и противоречивости суждений вычисляют по формуле ρ = Λ/ Λ*, где Λ* –
математическое ожидание случайного индекса согласованности Λ,
вычисленное на большой выборке случайно сгенерированных обратно симметричных матриц, элементами которых являются числа из
шкалы: 1/9, 1/8, …, 1/2, 1, 2, …, 8, 9. Меру ρ следует использовать для
итеративного улучшения непротиворечивости суждений. Вычисленный для матрицы парных сравнений главный собственный вектор
приемлем в том случае, если ρ ≤ 0,1 (иногда допускают ρ ≤ 0,2). Для
матрицы порядка n = 3 желательно выполнение условия ρ ≤ 0,05, а
для n = 4 условия ρ ≤ 0,08. Если отношение согласованности ρ превышает значение 0,1, то необходимо глубже изучить проблему и пересмотреть суждения. Экспериментально полученные значения Λ*
для набора n приведены в табл. 4.
Таблица 4
n
Λ*
3
0,58
4
0,9
5
1,12
6
1,24
7
1,32
8
1,41
9
1,45
10
1,49
11
1,51
12
1,53
Пример 2.15. Рассмотрим реализацию МАИ на примере определения рейтинга четырех торговых предприятий – супермаркетов «Город изобилия», «Перекресток», «Азбука Вкуса», «Седьмой Континент». Рейтинг формируется экспертами на основе опросов покупателей – фактических акторов иерархии, голосующих своими покупками.
88
Сформулируем главную цель F: определить универсам с наивысшим потребительским рейтингом торгового предприятия.
Идентифицируем альтернативы Ak: «Город Изобилия» – A1, «Перекресток» – A2, «Азбука Вкуса» – A3, «Седьмой Континент» – A4.
Выявим критерии качества Kj, которым должны удовлетворять
альтернативы: ценовая политика – К1, качество товаров – К2, уровень
обслуживания покупателей – К3, доступность – К4, мерчандайзинг –
К5.
На рис. 10 изображена иерархия, составленная для решения данной задачи. Мнения акторов о критериях учитываются обобщенно.
Так, критерий К4 – «доступность» – рассматривается как общее ощущение о доступности магазина для покупателя. Имеется в виду шаговая доступность, парковка, возможность доехать на общественном
транспорте. В критерий К5 – «мерчандайзинг» – входят общие ощущения покупателей от присутствия в магазине (дизайн, выкладка товара, цветовое решение, информация, освещение в зале).
Рейтинг
Качество
товара (K2)
Ценовая
политика
(K1)
A1
Доступность
(К4)
Уровень обслуживания (K3)
A2
A3
Мерчандайзинг
(К5)
A4
Рис. 10. Иерархическая структура задачи
Выполним парные сравнения. При сравнении двух критериев Ki
и Kj задают вопросы следующего характера: какой из сравниваемых
критериев является более важным для покупателя, и насколько он
важнее с точки зрения цели F – выявления рейтинга универсама?
Матрица парных сравнений значимости факторов Kj, сформированная согласно правилам 1 и 2 экспертами на основе данных, полученных при опросе покупателей и анализа информации с официальных сайтов предприятий торговли, приведена в табл. 5. Элементами
89
матрицы являются суждения, отражающие относительные предпочтения покупателей. Вербальные суждения представлены в виде соответствующих числовых оценок из фундаментальной шкалы
табл. 5.
Таблица5
K1
K2
K3
K4
K5
K1
1
1/2
1/5
1/7
1/9
K2
2
1
1/4
1/6
1/7
K3
5
4
1
1/4
1/5
K4
7
6
4
1
1/3
K5
9
7
5
3
1
В матрице табл. 5 элемент aij отражает предпочтительность фактора Ki, указанного в строке i, по сравнению с фактором Kj, который
приведен в столбце j. Если указанный в строке фактор не является
доминирующим по предпочтению, используют обратное значение.
Так, значение 7 на пересечении первой строки и четвертого столбца
соответствует суждению о том, что для опрошенных покупателей ценовая политика продавца гораздо важнее доступности торгового
предприятия. Обратная величина 1/7 записывается на пересечении
четвертой строки и первого столбца.
Вычислим вектор приоритетов. С математической точки зрения
вектор приоритетов – это нормализованный на единицу главный собственный вектор матрицы парных сравнений.
Приближенно координаты вектора приоритетов вычисляют следующими способами, которые представлены в порядке увеличения
точности оценок.
Способ 1. Суммируют элементы каждой строки. Полученные
суммы для строк нормализуют на единицу. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй –
второго объекта и т. д.
Способ 2. Нормализуют элементы каждого столбца на единицу.
Суммируют элементы каждой полученной строки и делят эту сумму
на число элементов строки. Это процесс усреднения по нормализованным столбцам.
Способ 3. Перемножают n элементов каждой строки. Извлекают
корень n-й степени из произведения. Нормализуют полученные
числа на единицу.
90
Применим способ 3 для вычисления вектора приоритетов критериев. Имеем ψj = θi / θ, где θi = (ai1· ai2· ai3· ai4· ai5)1/5, i = 1, …, 5,
θ = θ1 +…+ θ5. Откуда ψ = (0,471, 0,315, 0,130, 0,052, 0,032)T.
Точное решение задачи, получаемое путем возведения матрицы
в произвольно большие степени и деления суммы каждой строки на
общую сумму элементов матрицы, с точностью до одной тысячной
равно ψ = (0,464, 0,312, 0,132, 0,058, 0,033)T.
Таким образом, выявлено, что самым важным критерием, по которому покупатели оценивают предприятие торговли, это ценовая
политика (ψ1 = 0,464). Критерий «мерчандайзинг» (ψ2 = 0,033) оказался не столь значимым, что согласуется с результатами социологических опросов посетителей.
Вычислим индекс согласованности Λ и отношение согласованности ρ для матрицы парных сравнений. Величины Λ и ρ, отражая
степень непротиворечивости суждений экспертов, фактически указывают на адекватность вычисленных приоритетов ψj мнениям покупателей об относительной важности критериев Kj.
Укажем способ приближенного вычисления величины λmax, которая определяет Λ.
Умножив матрицу парных сравнений справа на полученную
оценку вектора приоритетов, получим новый вектор γ
1
1/ 2

Aw  1/ 5

1/ 7
1/ 9
9  0.464   2.451 
1
4
6
7  0.312  1.651 
1/ 4 1
4
5   0.132   0.700   
 
 

1/ 6 1/ 4 1
3  0.058  0.308 
1/ 7 1/ 5 1/ 3 1  0.033  0.175 
2
5
7
Разделив каждую компоненту вектора γj на соответствующую
компоненту вектора приоритетов ψj, определим вектор β = {γj / ψj} =
= (5,282, 5,292, 5,301, 5,315, 5,299)T. Вычислив среднее арифметическое компонент вектора β: (β1 +…+ βn) / n, найдем приближение к
числу λmax = (5,282 + 5,292 + 5,301 + 5,315 + 5,299) / 5 = 5,298. Откуда
Λ = (5,298 – 5) / 4 = 0,074, ρ = 0,074/1,12 = 0,066 < 0,1 и, следовательно,
матрица согласована.
Выполним парные сравнения супермаркетов Ak относительно
каждого критерия Kj. Значения элементов матриц парного сравнения
задавались экспертами в результате анализа данных опросов посетителей универсамов и учёта официальных источников информации.
Так, данные опросов по критерию K1 «ценовая политика» показали,
что наилучшим среди исследуемых универсамов является «Седьмой
91
Континент». Круг опрашиваемых лиц посчитал цены в этом магазине
наиболее справедливыми. По критерию K2 «качество», согласно
оценке потребителей, лидирующую позицию занимает универсам
«Седьмой Континент» Наихудшее качество продукции среди рассмотренных торговых предприятий оказалось в универсаме «Перекресток». Многие опрашиваемые уделяли особое внимание тому, что
в универсаме «Перекресток» встречаются некачественные, просроченные, фальсифицированные продукты. Что касается критерия K3
«уровень обслуживания», то лучшим по обслуживанию покупателей
считался универсам «Город Изобилия». Опрошенные отмечали, что
работники универсама с удовольствием предоставляют информацию
о товарах и их изготовителях, также часто наблюдается проведение
рекламных презентаций товаров (дегустация продуктов питания).
Критерий K4 «доступность» оценивать было достаточно сложно, так
как опрашиваемые судили о доступности с учетом места их проживания. Тем не менее по данному критерию универсам «Город Изобилия» оказался на первом месте. Последнее место остался за универсамом «Седьмой Континент». К нему достаточно сложно подойти
(всегда оживленное движение) и недостаточно парковочных мест,
что создает существенные неудобства для клиентов на личном транспорте. Как показал соцопрос, по критерию K5 «мерчандайзинг» лучшим универсамом является «Азбука Вкуса». На психологическом
уровне «там приятнее всего находиться» – говорят участники опроса,
а также в этом универсаме часто проводятся различные акции, действует система скидок.
Таблица 6
K1
A2
A3
A4
A1 1 1/2
A2 2
1
A3 5
4
A4 7
6
ρ1 = 0,017
1/5
1/4
1
2
1/7
6
1/2
1
92
A1
Вектор
α1k
0,061
0,095
0,312
0,532
K 2 A1
A2
A1 1
2
A2 1/2 1
A3 3
5
A4 4
7
ρ2 = 0,031
Вектор
α2k
1/3 1/4 0,114
1/5 1/7 0,062
1
1/3 0,271
3
1
0,553
A3
A4
K3
A1
A2
A3
A4
A1 1
2
A2 1/2 1
A3 1/4 1/3
A4 1/7 1/5
ρ3 = 0,008
4
3
1
1/2
7
5
2
1
Вектор
α3k
0,509
0,308
0,118
0,064
K4
A1
A2
A3
A4
A1 1
2
A2 1/2 1
A3 1/3 1/2
A4 1/5 1/4
ρ4 = 0,025
3
2
1
1
5
4
1
1
A1
A2
A3
A4
Вектор α5k
1
1
6
4
1
1
5
3
1/6
1/5
1
1/2
1/4
1/3
2
1
0,085
0,096
0,524
0,295
Вектор
α4k
0,479
0,292
0,131
0,098
Вычисленные векторы приоритетов  kj , значения компонент которых для альтернатив Ak и критериев Kj даны в табл. 7, отразили
суждения экспертов о мнении посетителей.
Таблица 7
Веса
критериев
A1
K1
(0,464)
K2
(0,312)
K3
(0,132)
K4
(0,058)
K5
(0,033)
Глобальные
0,061
0,114
0,509
0,479
0,085
0,161
A2
0,094
0,062
0,308
0,292
0,096
0,124
A3
0,312
0,271
0,118
0,131
0,524
0,270
A4
0,532
0,553
0,064
0,098
0,295
0,437
Следующим шагом является синтез обобщенных приоритетов.
Для того чтобы определить глобальные приоритеты альтернатив, мы
записываем в матрицу (табл. 7) локальные приоритеты рассматриваемых вариантов по каждому критерию. Затем каждый столбец этой
матрицы умножается на приоритет соответствующего критерия. Последующее суммирование по строкам дает компоненты вектора глобальных приоритетов альтернатив.
Первое место по рейтингу критериев занимает универсам «Седьмой Континент». Этот универсам оказался лучшим по критериям
93
«ценовая политика» и «качество товара», но по критерию «мерчандайзинг» он во многом уступает универсаму «Азбука Вкуса» с
правильно обдуманной политикой стимулирования сбыта. Предпоследнее место занимает универсам «Город Изобилия», проигрывающий по ценовой конкуренции. Наименьший рейтинг присваивается
универсаму «Перекресток». ■
Упражнение 2.15. Ответить на вопросы:
1. Перечислите четыре аксиомы, которые включает МАИ.
2. Как построить иерархию?
3. Как задавать вопросы при проведении парных сравнений?
4. Как оценить согласованность суждений?
5. Что такое локальные и глобальные приоритеты?
Упражнение 2.16. Рассчитать собственное значение матрицы
размерности 3х3.
Упражнение 2.17. Составить трехуровневую иерархию.
Упражнение 2.18. Сформулировать и решить задачу МАИ.
2.7. Метод аналитических сетей
МАС является обобщением метода анализа иерархий (МАИ),
учитывающего зависимости и обратные связи между элементами.
Отличительными чертами МАС являются:
– структуризация всех элементов, описывающих проблему в
виде сети;
– использование относительного способа измерения предпочтений путем парных сравнений (позволяет универсальным способом решить проблему измерения критериев в разных шкалах);
– возможность учитывать и оценивать взаимное влияние критериев и выбираемых альтернатив (другие методы не позволяют это делать).
Многие проблемы принятия решений нельзя представить иерархическими структурами, потому что в них существуют зависимости
и взаимодействия между элементами разных уровней иерархии.
Кроме того, существуют задачи, в которых не только важность критериев влияет на приоритеты альтернатив, но также важность альтернатив влияет на приоритеты критериев.
Пример 2.16. Выбирая мобильный телефон и рассматривая при
этом две альтернативы, мы можем руководствоваться следующими
критериями: мощность аккумуляторной батареи и дизайн. Допустим,
что оба телефона обладают достаточной мощностью, но тот, который
94
мощнее, некрасив. Если не учитывать влияние альтернатив на критерии, возможно именно более мощный телефон будет выбран в качестве лучшего решения. Если учесть обратную связь, то критерий
«мощность» получает меньший приоритет, так как оба телефона являются мощными, поэтому критерий «дизайн» становится более важным. ■
МАС учитывает также обратные связи. Такой вид связи позволяет ввести в структуру принятия решения фактор, учитывающий будущее, и, следовательно, определить варианты достижения желаемого результата в будущем.
Пример 2.17. Например, при выборе мобильного телефона из
одинаковых альтернатив, с точки зрения ЛПР, предпочтение будет
отдано телефону с большим сроком гарантии. ■
Структуры решений с обратными связями нельзя линейно упорядочить сверху донизу. Они представляют собой сети, содержащие
циклы и множества элементов (компоненты), а также петли обратной
связи, показывающие связь между элементами одного компонента.
Сеть представляет собой набор компонентов, которые связаны
направленными дугами и могут располагаться в произвольном порядке.
Компоненты (кластеры) – это сгруппированные однородные
элементы. Компоненты в сетевой структуре являются аналогами
уровней в иерархии. Например, если иерархия состоит из трех уровней – цель, критерии, альтернативы, то и сеть будет состоять из трех
компонентов – цель, критерии, альтернативы.
В МАС учитываются зависимости между элементами одного
компонента, т. е. внутренние зависимости.
Сеть может включать компоненты-источники и компонентыстоки. Узел-источник – начало маршрута влияния и не может быть
точкой завершения какого-либо маршрута. Узел-сток – точка завершения одного или нескольких маршрутов, не может быть началом
какого-либо пути.
Полная сеть может включать: узлы-источники; узлы-стоки; промежуточные узлы.
Пример 2.18. Пусть мы имеем систему из N компонентов, в которой элементы в каждом компоненте взаимодействуют между собой
и влияют на некоторые или все элементы другого компонента относительно некоторого критерия (свойства). Сеть обязательно должна
быть связной (т. е. не должна быть разделена на отдельные части)
(рис. 11).
95
Компоненты, не имеющие входящих дуг, называют компонентами-источниками (С1 и С2).
Компоненты, не имеющие исходящих дуг, называются стоками
(С5).
Компоненты, имеющие и входящие, и исходящие дуги, называются переходными или промежуточными (С3 и С4).
Кроме того, С3 и С4 образуют цикл, так как между ними существует двунаправленная связь.
Компоненты С2 и С4 имеют петли обратной связи, которые показывают наличие внутренних зависимостей между элементами. Все
остальные дуги графа представляют внешние зависимости между
компонентами. ■
Компонентисточник
С1
Компонент-источник с обратной
связью С2
Внешние
зависимости
Компонент-сток С5
Промежуточный
компонент С3
Переходное
состояние
зависимости
Состояние
поглощения
Компонент-цикл
С4
Внутренняя
зависимость
Рис. 11. Сетевая структура с обратными связями
Для решения более сложных задач могут использоваться совокупности компонентов, представляющих собой подсистему. Таким
образом, можно выделить следующие понятия:
– система – состоит из подсистем (например, некоторый общий глобальный критерий, который состоит из совокупности взаимосвязанных подкритериев);
– подсистема – состоит из компонентов (например, критерии
второго уровня, которые в свою очередь также состоят из критериев
– социальные критерии, экономические критерии);
96
– компоненты – обозначает множество элементов (например,
экономический критерий может состоять из критериев риска, надежности, доходности и т. п.).
Предположим, что сетевая структура принятия решения содержит nh элементов, которые будем обозначать Сh, h = 1, …, m. Влияния,
которые оказывают элементы некоторого компонента на другие элементы, можно представить векторами приоритетов, полученными
на основе парных сравнений (аналогично с МАИ).
Сгруппировать же все векторы приоритетов можно при помощи
суперматрицы, которая будет описывать как внешние, так и внутренние влияния элементов системы (описание метода группировки будет дано ниже).
Пример суперматрицы:
С1 – первый компонент сети, который состоит из элементов
е1k, k = 1, …, n1
С2 – второй компонент сети, который состоит из элементов
е2k, k = 1, …, n2
97
Сm – m-й компонент сети, который состоит из элементов
еmk, k = 1, …, nm
Элементы Wij в суперматрице называют блоками и представляют
собой матрицы вида
Wij 
wi1 j1
wi1 j 2
...
wi1 j n
j
wi2 j1
wi2 j 2
... wi2 j n
j
...
...
win
j
i 1
win
j
i 2
...
...
... win
j
i nj
Каждый столбец в матрице Wij представляет собой главный собственный вектор влияния элементов i-го компонента сети на элементы j-го компонента.
Рассмотрим первый столбец матрицы Wij. Было произведено парное сравнение элементов 1, …, n компонента i относительно первого
элемента (управляющий критерий) компонента j. Полученные при
этом приоритеты элементов 1, …, n записаны в первый столбец матрицы Wij. Нулевые элементы вектора соответствуют элементам, не
оказывающим влияние.
Критерии, для которых заполняются отдельные суперматрицы,
называются управляющими критериями. Управляющий критерий –
критерии или свойства более высшего порядка, относительно которых компоненты влияют друг на друга и рассматриваются как взаимодействующие объекты.
Для того чтобы вычислить обобщенные приоритеты влияния по
нескольким критериям, нужно объединить результаты разнородных
влияний, полученные на основе нескольких суперматриц. Часто
структуру управляющих критериев называют управляющей иерархией (рис. 12).
В суперматрице учитываются как внешние, так и внутренние зависимости компонентов. Внутренние зависимости – это зависимости
между элементами одного компонента (выражены элементами матриц-блоков, размещенных на главной диагонали суперматрицы).
98
Например, в обобщенном экономическом критерии могут существовать внутренние зависимости между критериями «риск» и «выгодность».
Рис. 12. Управляющая иерархия
Таким образом, упрощенно задача МАС состоит из следующих
этапов:
1. Парное сравнение альтернатив по каждому критерию и получение собственных векторов, проверка на согласованность.
2. Парное сравнение критериев по каждой альтернативе и получение собственных векторов; проверка на согласованность.
3. Запись собственных векторов в суперматрицу.
4. Приведение суперматрицы к стохастическому виду.
5. Возведение в степень и получение окончательного результата.
Решение задач МАС требует проведения большого количества
расчетов. В настоящее время существует специальная программа
99
SuperDecisions (http://www.superdecisions.com), направленная на автоматизацию решения задач МАС.
Пример 2.19. Поскольку иерархия – частный случай сети, рассмотрим классический пример выбора школы с применением МАИ
(рис. 13).
Рис. 13. Иерархическая структура задачи
Решим данную задачу методом аналитических сетей, составив
суперматрицу. Поэтапно заполним суперматрицу для нашей задачи
выбора школы.
Первый шаг. Поскольку иерархия содержит три уровня, выделяются три компонента: цель, критерии и альтернативы. Суперматрица
1 на рис. 14 содержит девять блоков.
Второй шаг. Определяются элементы компонентов:
- компонент «критерии» содержит следующие элементы: образование, друзья, школьная жизнь, профессиональное обучение, подготовка к вузу, обучение музыке;
- компонент «альтернативы» содержит следующие элементы: A, B, C
(суперматрица 2 на рис. 15).
100
Рис. 14. Модифицированная суперматрица 1
Рис. 15. Модифицированная суперматрица 2
Третий шаг. Определяются блоки W11, W12, W13, W21, W22, W23,
W31, W32, W33:
1) блок W11 является нулевой матрицей размерности 1 х 1, блок
W12 – нулевая матрица размерности 1 х 6 (он находится на пересечении первой строки («цель») и первого столбца («критерии») суперматрицы) блок W13 – нулевая матрица размерности 1 х 3 (он находится на пересечении первой строки («цель») и третьего столбца
(«альтернативы») суперматрицы);
101
2) блок W21 находится на пересечении второй строки («критерии») и первого столбца («цель») суперматрицы на рис. 15, поэтому
он представляет собой вектор-столбец, т. е. матрицу размерности
6 х 1, поскольку компонент «критерии» содержит шесть элементов.
Блок W21 является вектором приоритетов, которые были получены на
основе парных сравнений элементов компонента Критерии относительно компонента цель, заключающей цель – удовлетворение школой. Данный вектор приоритетов получен методом анализа иерархии
[0,321, 0,140, 0,035, 0,128, 0,237, 0,139]T;
3) блок W22 находится на пересечении второй строки («критерии») и второго столбца («критерии») суперматрицы. Он является
нулевой матрицей размерности 6х6, поскольку иерархия не предусматривает парные сравнения элементов одного уровня относительно какого-нибудь одного элемента данного уровня, т. е. нельзя
произвести парные сравнения критериев: друзья, школьная жизнь,
профессиональное обучение, подготовка к колледжу, обучение музыке относительно критерия учеба. Однако в следующих примерах
по методу аналитических сетей данная матрица не будет нулевой, изза наличия зависимости элементов от самих себя;
4) блок W23 находится на пересечении второй строки («критерии») и третьего столбца («альтернативы») суперматрицы. Он является нулевой матрицей размерности 6х3, поскольку компонент критерии содержит шесть элементов, а компонент альтернативы – три
элемента. Матрица является нулевой, так как иерархия не предусматривает обратной связи между ее уровнями. Элементы нижних уровней сравниваются относительно элементов высшего уровня, но не
наоборот;
5) блок W31 является нулевой матрицей размерности 3х1, поскольку он находится на пересечении третьей строки («альтернативы») и первого столбца («цель») суперматрицы;
6) блок W32 находится на пересечении третьей строки («альтернативы») и второго столбца («критерии») суперматрицы, поэтому он
является матрицей размерности 3х6, поскольку компонент альтернативы содержит три элемента, а компонент критерии содержит шесть
элементов.
0.157 0.333 0.455 0.772 0.250 0.691
W32  0.594 0.333 0.091 0.055 0.500 0.091


0.249 0.333 0.455 0.173 0.250 0.218
.
102
Первый столбец матрицы W32 является вектором приоритетов,
которые были получены на основе парных сравнений элементов компонента альтернативы относительно элемента образование компонента критерии. То есть вопрос задавался следующий: какая из трех
школ (A, B, C) предпочтительней по заданному критерию образование.
Второй столбец матрицы W32 является вектором приоритетов,
которые были получены на основе парных сравнений элементов компонента альтернативы относительно элемента друзья компонента
критерии. То есть вопрос задавался следующий: какая из трех школ
(A, B, C) будет предпочтительней по заданному критерию «Друзья».
Блок W33 представляет собой единичную матрицу размерности 3х3.
Она характеризует влияние альтернатив на самих себя.
На третьем шаге в соответствующих позициях суперматрицы записаны векторы приоритетов, которые были получены на основе парных сравнений критериев и альтернатив. В табл. 8 приведена исходная (не взвешенная) суперматрица.
Таблица 8
Альтернативы Критерии
Цель
Цель
6 Обучение
музыке
5 Подготовка к
колледжу
4 Проф.
Обучение
3 Школьная
жизнь
Цель
3 Альтернативы
2 Друзья
Узел
1 Цель 2 Критерии
1 Образование
Компонент
A
B
C
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
1 Образование 0.320
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
2 Друзья
3 Школьная
жизнь
4 Проф.
обучение
0.139
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
0.034
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
0.128
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
5 Подготовка к
колледжу
0.237
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
6 Обучение
музыке
0.139
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
A
0.000
0.157
0.333
0.455
0.772 0.250
0.691 1.000 0.000 0.000
B
0.000
0.594
0.333
0.091
0.055 0.500
0.091 0.000 1.000 0.000
C
0.000
0.249
0.333
0.455
0.173 0.250
0.218 0.000 0.000 1.000
При возведении исходной суперматрицы в квадрат мы получаем
для данного примера (и для любых трехуровневых иерархий) пре103
дельную суперматрицу (табл. 9). Результирующие приоритеты альтернатив записаны в трех нижних позициях первого столбца. Значения этих приоритетов совпадают с результатом иерархической композиции МАИ.
Исходная и предельная суперматрицы импортированы из программы Super Decisions.
Таблица 9
Альтернативы
Критерии
Цель
6 Обучение
музыке
5 Подготовка к
колледжу
4 Проф. Обучение
3 Школьная жизнь
Цель
3 Альтернативы
2 Друзья
Узел
1 Цель 2 Критерии
1 Образование
Компонент
A
B
C
Цель
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
1 Образование
2 Друзья
3 Школьная
жизнь
4 Проф.
обучение
5 Подготовка к
колледжу
6 Обучение
музыке
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000
A
0.367
0.157
0.333
0.455
0.772 0.250
0.691 1.000 0.000 0.000
B
0.378
0.594
0.333
0.091
0.055 0.500
0.091 0.000 1.000 0.000
C
0.254
0.249
0.333
0.455
0.173 0.250
0.218 0.000 0.000 1.000
Пример 2.20. Покупатель должен сделать выбор из трех марок
мобильных телефонов: S (Samsung); I (IPhone); R (Rower). При этом
он руководствуется следующими тремя критериями: P (цена); K (качество); D (дизайн). Тогда структура задачи может быть представлена на рис. 16.
Критерий
Телефон
Рис. 16. Структура задачи о покупке мобильного
телефона с внешней зависимостью
104
На первом этапе марки телефонов попарно сравниваются по
каждому критерию в трех отдельных матрицах. Здесь ЛПР отвечает
на вопрос: «Какой из двух телефонов является наиболее предпочтительным по заданному критерию и насколько более предпочтительным?»
Затем проводятся парные сравнения критериев для каждой
марки телефона в трех отдельных матрицах. То есть ЛПР отвечает
на вопрос: «Какой из двух критериев является более характерным для
данной марки телефона и насколько более характерен?»
Полученные собственные векторы этих шести матриц записываются в столбцы суперматрицы:
105
Для дальнейшей обработки матрицу приводят к стохастическому виду (т. е. вся сумма элементов каждого столбца должна быть
равна 1). Однако данная матрица уже является стохастической, поэтому перейдем к следующему этапу: получим результирующие приоритеты. Для этого необходимо возвести данную матрицу в предельную степень. При возведении в целочисленные степени суперматрица дает две стабильные формы, имеющие следующий вид:
Окончательный результат вычисляется как среднее значение
предельных матриц.
106
Таким образом, при заданных суждениях наиболее предпочтительным телефоном является N (Nokia) (так как альтернативе N соответствует максимальное значение в матрице – 0,194 – по сравнению
с остальными альтернативами), что обусловлено прежде всего ее дизайном (критерий «дизайн» (D) является наиболее важным – 0,212,
ему соответствует максимальное значение по сравнению с другими
критериями).
Упражнение 2.19. Ответить на вопросы:
1. В чем отличие МАС от МАИ?
2. Из каких элементов/компонентов могут состоять сети в
МАС?
3. Из каких элементов состоит компонент суперматрицы в
МАС?
4. Как происходит группировка векторов приоритетов в МАС?
5. Какие основные шаги необходимо проделать, чтобы решить
задачу по МАС?
6. Что такое управляющий критерий?
7. Приведите пример использования МАС.
Упражнение 2.20. Человек желает подключить свой домашний
компьютер к Интернету. Поэтому он начинает выбирать себе интернет-провайдера. В качестве альтернатив выступает 4 фирмы: Билайн,
Мегафон, МТС, Skylink. Критериями, влияющими на выбор той или
иной компании являются следующие:
1. Качество связи.
2. Доступность службы поддержки.
3. Репутация.
4. Стоимость услуг.
Постройте суперматрицу, используя собственные оценки для
каждой альтернативы и для каждого критерия.
Упражнение 2.21. Придумайте задачу принятия решения, которую можно представить в виде сети, состоящей из цикла (-ов) и множества элементов, а также имеющей петли обратной связи. Нарисуйте полученную сеть.
107
Глава 3. ИНСТРУМЕНТАРИЙ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
В РИСКОВЫХ СИТУАЦИЯХ
Приведем примеры использования программного инструментария, позволяющего принимать решения в рисковых ситуациях. Ряд
условий конкретных задач был сформулирован в предыдущих главах
на основе реальных экономических данных.
Пример 3.1. Управляющий оперирует портфелем, содержащим
1 актив. Доход с актива обычно имеет распределение со средним значением 20% и стандартным отклонением 30%. Текущая цена портфеля составляет 100 млн долларов. Необходимо ответить на несколько простых вопросов, касающихся вероятностного распределения цены портфеля на конец года:
1. Каков характер этого распределения?
2. Какова вероятность понести убыток более 20 млн долларов к
концу года (т. е. какова вероятность, что в конце года цена окажется
ниже 80 млн)?
3. Какой максимальный убыток можно понести к концу года с
вероятностью 1%. Это и будет VaR с вероятностью 1%.
Вероятность того, что рыночная стоимость портфеля в конце
года составит меньше 80 млн долларов, равна менее чем 9%.
Вот как будет выглядеть экран в процессе применения функции
НОРМРАСП (NormDist).
108
Функция Excel НОРМРАСП может давать как само распределение, так и функцию вероятностей. В первом случае с применением
таблицы данных получаем стандартный график колоколообразной
формы.
109
С вероятностью 1% стоимость портфеля в конце года составит
менее 50,20974 млн; таким образом, стоимость, подверженная риску,
для данного распределения равна 100 – 50,20974 = 49,79026.
Отсеченный хвост распределения, который показан в таблице,
известен под названием квантиля. Это решение найдено с помощью
надстройки Поиск решения (Solver).
110
С помощью надстройки Поиск решения (Solver) можно найти
квантиль любого распределения. Например, для нормального распределения есть встроенная функция нахождения квантилей НОРМОБР (Norminv), НОРМСТОБР (Normsinv), для логнормального
– ЛОГНОРМОБР (Loginv).
Далее приведем пример для набора данных, которым оперируем
мы; на этот раз в ячейке В6 записана функция НОРМОБР (0,01; (1 +
+ В3) · В5; В5 · В4). Эта функция находит точку отсечения, для которой функция нормального распределения со средним значением 120
и стандартным отклонением 30 дает вероятность 1%. Эта точка видна
на следующем графике, на котором показана часть плотности нормального распределения.
111
Пример 3.2. Инвестор собирается купить акции компании
«Аэрофлот» и желает получить комментарии относительно рискованности предстоящих вложений. Его интересует вопрос, какое максимальное количество денег он потеряет в один день на фондовом
рынке.
Предположим, что, основываясь на исторических данных, мы
можем точно предсказать будущее. Также предположим, что фондовый рынок является достаточно ликвидным, и инвестор сможет продать свой актив в любой желаемый день.
Для начала найдем исторические данные по цене закрытия акций
компании «Аэрофлот» за 1 год (можно воспользоваться, например,
сайтом www.finanz.ru или www. finance.yahoo.com и пр.) и выгрузим
их в Excel. Нас интересует цена закрытия акций с 25 марта 2016 г. по
24 марта 2017 г. Рассчитаем дневную доходность акций.
Найдем максимальную и минимальную дневную доходность из
252 значений (252 торговых дня).
112
Заметим, что в самом неблагоприятном случае максимальные
дневные потери инвестора составят 5,275%, и произойдет это с вероятностью 1/252 = 0,004 или 0,4%.
Предположим, инвестор считает себя достаточно удачливым,
чтобы не вложить деньги в 5% самых неудачных для инвестиций
дней. Тогда он задается вопросом, какие максимальные потери он может получить при этом сценарии.
Для ответа на его вопрос построим частотную диаграмму, на которой увидим 5% худших исходов и определим максимальные потери с 95%-ным уровнем доверия.
Для построения диаграммы воспользуемся пунктом меню Данные – Анализ данных – Гистограмма, предварительно создав на рабочем листе ряд интервалов частоты появлений значений доходностей от –5,5 до 7,5.
113
Получаем частотную гистограмму:
Нам необходимо определить значение доходности, соответствующее 12 самым неблагоприятным случаям из 252 торговых дней
(5% · 252). Это значение находится в интервале от –2,75 до –2,5 и
определяется с помощью линейной интерполяции.
Максимальные однодневные потери с доверительной вероятностью 95% равны VaR0,95 (1) = 2,695%. Или, другими словами, в 95%
времени инвестор, купив акции Аэрофлота, не потеряет больше, чем
2,695% за 1 день торгов.
Пример 3.3. Некая компания, специализирующаяся на программных разработках, планирует принять участие в тендере на получение некоторого госзаказа на разработку информационной системы [9]. Тендер проводится закрытым способом, т. е. предложения
подаются участниками в запечатанных конвертах и неизвестны другим участникам. По оценкам компании, участие в тендере обойдется
в 5 млн рублей, а выполнение заказа – в 95 млн рублей. Из опыта
предыдущих тендеров известно, что с вероятностью 30% конкуренции вообще не будет. Кроме того, известно, что цена подобного тендера имеет условные вероятности, представленные в следующей таблице:
Цена тендера, млн руб.
Менее 115
От 115 до 120
От 120 до 125
Более 125
114
Вероятность
0,2
0,4
0,3
0,1
Необходимо принять решение, участвовать ли в тендере, и, если
да, то с какой ценой. Необходимо выбрать решение, которое максимизирует ожидаемую прибыль.
Для решения задачи воспользуемся надстройкой TreePlan для
программы Excel. Данная надстройка предполагает выбор оптимального решения по универсальному критерию ожидаемой стоимости
(EVC).
Приведем некоторые рассуждения:
1. Компания должна принять решение, участвовать в тендере
или нет. Если она все же принимает решение участвовать, то возникает вопрос, с какой ценой. Ясно, что минимальные затраты в этом
случае составят 5 + 95 = 100. Отсюда следует, что цена менее 100
лишена смысла (отсутствие прибыли). К сожалению, отсутствие полной информации о возможных ценах аукциона приводит к тому, что
мы имеем возможность рассмотреть лишь стратегии участия с ценами 115, 120 и 125.
2. Далее, нам необходимо описать исходы и их вероятности.
Поскольку компания точно знает расходы на участие в тендере
(5) и стоимость выполнения работы (95), то вся неопределенность заключается в стратегиях, которые изберут конкуренты. Мы предполагаем, что поведение других игроков подчиняется тем же закономерностям, что и раньше, поэтому мы используем вероятностные данные
по ценам предыдущих тендеров.
3. Теперь необходимо количественно оценить (вычислить стоимостную оценку) ситуации для компании при различных выборах
стратегии и различных вариантах разрешения неопределенности в
поведении других участников. Если компания принимает решение не
участвовать в тендере, то нет ни затрат, ни прибыли, т. е. оценка ситуации равна 0. Если компания участвует в тендере, но не проходит
по цене, то она теряет 5. Если компания участвует в тендере с ценой
В и проходит по цене, то ее ожидаемая прибыль составит
П = В – 100 (где 100 = 95 + 5).
После установления надстройки TreePlan начинаем построение
дерева решений в Excel, используя пункт меню НАДСТРОЙКИDecision-Tree-New Tree и умножая далее цены на 1 000 для наглядности:
115
При этом важно отметить, что числовое значение, соответствующее оценке решения, нужно изменять в ячейках, в которых изначально стоит значение «0», другие ячейки, содержащие формулы, менять нельзя.
Развитие ситуации во времени согласно графической схеме
слева направо. Построение последующих вершин осуществляется
при помощи диалогового окна после нажатия на команду Decision
Tree.
Ветви, идущие из вершин-решений, соответствуют различным
возможным решениям. Ветви, идущие из вершин-вероятностей, соответствуют различным возможным вариантам разрешения неопределенностей и не являются объектом чьего-либо управления.
Вероятности соответствуют ветвям, исходящим из вершин-вероятностей. Эти вероятности являются условными вероятностями при
условии свершения события, соответствующего вершине, из которой
116
они исходят. Поэтому сумма вероятностей по всем ветвям, исходящим из одной вершины, равна 1.
Число, соответствующее конечной вершине – значение выигрыша, соответствующее данному сценарию развития событий
(сумма платежей вдоль пути).
Процедура принятия оптимального решения после построения
дерева производится методом обратного хода и заключается в следующем. Для каждой вероятностной вершины (незаштрихованный
узел) вычисляется среднеожидаемое значение выигрыша по всем
альтернативам, исходящим из этой вершины. Например,
0,8 · 15 000 + 0,2 · (–5 000) = 11 000.
Далее, для другой вершины 0,3 · 15 000 + 0,7 · 11 000 = 12 200.
Эта команда прописана в макросе рассматриваемой надстройки.
Каждой вершине-решению приписывается максимальное значение из ожидаемых значений выигрышей, соответствующих различным вариантам решения, исходящим из данной вершины.
Оптимальная стратегия определяется слева направо и соответствует решениям, при которых достигается максимум. Так, в нашем
примере следует принять участие в тендере с ценой 115 000, при этом
ожидаемая прибыль составит 12 200. На рис. 17 изображено дерево
решений, построенное для рассмотренной задачи.
117
Нет
0
0
0
0,3
конкурентов нет
15000
20000
15000
Цена 115 000
Принимать
участие в
тендере?
2
12200
0
0,8
Выигрыш
12200
0,7
конкуренты есть
0
11000
15000
20000
15000
0,2
Проигрыш
-5000
0
-5000
0,3
конкурентов нет
С какой
ценой?
20000
25000
Да
20000
Цена 120 000
1
-5000
12200
0
0,4
Выигрыш
9500
0,7
конкуренты есть
0
5000
20000
25000
20000
0,6
Проигрыш
-5000
0
-5000
0,3
конкурентов нет
25000
30000
25000
Цена 125 000
0
0,1
Выигрыш
6100
0,7
конкуренты есть
0
-2000
25000
30000
25000
0,9
Проигрыш
-5000
0
-5000
Рис. 17. Дерево решений для задачи о тендере
Пример 3.4. Инвестора интересует процент дохода (или убытков) в предстоящем году [9]. Он полагает, что возможны пять общих
сценариев развития национальной экономики в предстоящем году:
быстрый рост, умеренный рост, отсутствие роста, умеренный спад и
резкий спад. Далее, из всей имеющейся информации удалось сделать
предположение, что ожидаемые уровни доходов соответственно
равны 0,23; 0,18; 0,15; 0,09 и 0,03, т. е. доход колеблется от 23 до 3%.
Кроме этого, удалось оценить вероятности этих сценариев: 0,12; 0,40;
0,25; 0,15 и 0,08. Используя данную информацию, необходимо построить распределение вероятностей для ожидаемых доходов предстоящего года.
Продемонстрируем решение данной задачи при помощи инструментов Excel. Обозначим случайную величину «уровень доходов
118
предстоящего года» как X. Реализуем данную случайную величину с
помощью имитационного моделирования методом Монте-Карло.
Построим 400 случайных реализаций. Важную роль в процессе имитационного моделирования играет функция СЛЧИС (RAND), которая является датчиком случайных чисел и при каждом обращении генерирует новое случайное число из равномерного распределения на
отрезке от 0 до 1. С помощью такой функции можно построить имитацию как любой дискретной, так и непрерывной случайной величины.
Вычисление параметров дискретного распределения:
Конечно, существуют специальные инструменты для имитационного моделирования дискретных случайных величин как, например, в расширении StatPro (StatPro/Statistical Inference/Generate
Random Samples), так и в стандартном Excel (Сервис/Анализ данных/Генерация случайных чисел). Однако в целях лучшего понимания природы имитационного моделирования, смоделируем дискретную случайную величину самостоятельно. Реализуем следующий план, который включает:
1) ввод данных и построение кумулятивных вероятностей с помощью формулы =D13+Рынок!B4;
2) построение массива случайных чисел с помощью датчика
СЛЧИС();
3) вычисление уровней доходностей для разыгранных ситуаций
с
помощью
функции
ПРОСМОТР
(VLOOKUP)
=
ПРОСМОТР (A13; Таблица);
119
4) вычисление итоговых статистических параметров с помощью
функций
=СРЗНАЧ
(ИмитДоходности)
и
=СТАНДОТКЛОН(ИмитДоходности).
Как видно из полученных результатов, стандартное отклонение
выборки совпало, а математическое ожидание оказалось весьма
близко к точному. Это подтверждает обоснованность метода имитационного моделирования.
Замечания:
Ваши конкретные результаты будут иными, поскольку значения
случайных чисел будут иными.
Есть еще более удобные средства в расширениях Excel для имитационного моделирования (@RISK, XSLim, Crystall Ball, …).
Заметим, что результаты вычислений математического ожидания и стандартного отклонения через имитацию очень близки. Поэтому использование имитационного моделирования методом
Монте-Карло в данном случае вполне обосновано.
Список литературы
1. Бенинга Ш. Финансовое моделирование с использованием Excel. – 2-е изд.:
пер. с англ. – М. : ИД Вильямс, 2016.
2. Большакова Л. В. Теория вероятностей для экономистов : учебное пособие.
– М. : Финансы и статистика, 2009.
3. Бродецкий Г. Л. Моделирование логистических систем. Оптимальные решения в условиях риска. – М. : Вершина, 2006.
4. Буренин А. Н. Управление портфелем ценных бумаг. – М. : НТО им. академика С. И. Вавилова, 2008.
120
5. ГОСТ Р 51897-2011/Руководство ИСО 73:2009 Менеджмент риска. Термины
и определения. – М. : Стандартинформ, 2012.
6. ГОСТ Р ИСО 31000-2010/ISO 31000:2009 Менеджмент риска. Принципы и
руководство. – М. : Стандартинформ, 2012.
7. ГОСТ Р ИСО/МЭК 31010-2011/ISO/IEC 31010:2009 Менеджмент риска. Методы оценки риска. – М. : Стандартинформ, 2012.
8. Дрогобыцкий И. Н. Системный анализ в экономике : учебное пособие. – М. :
Финансы и статистика: Инфра-М, 2009.
9. Косоруков О. А. Методы количественного анализа в бизнесе. – М. : ИнфраМ, 2005.
10. Круи М., Галай Д., Марк Р. Основы риск-менеджмента : пер. с англ. / науч.
ред. В. Б. Минасян. – М. : Юрайт, 2016.
11. Орлов А. И. Организационно-экономическое моделирование : учебник:
в 3 ч. – Ч. 2. Экспертные оценки. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011.
12. Саати Томас Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях:
Аналитические сети: пер. с англ./ науч. ред. А. В. Андрейчиков, О. Н. Андрейчикова.
– М. : Издательство ЛКИ, 2008.
13. Саати Томас Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. – М. : Радио
и связь, 1993.
14. Таха Хемди А. Исследование операций: пер. с англ. – М. : ИД Вильямс, 2016.
15. Тихомиров Н. П., Тихомирова Т. М. Риск-анализ в экономике. – М. : Экономика, 2010.
16. Энциклопедия
финансового
риск-менеджмента
/
под
ред.
А. А. Лобанова, А. В. Чугунова. – 3-е изд. – М. : Альпина Бизнес Букс, 2007.
Учебное издание
РИСК-МЕНЕДЖМЕНТ.
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РИСКА
Учебное пособие
КАРТВЕЛИШВИЛИ Василий Михайлович
СВИРИДОВА Ольга Александровна
Редактор Л. Г. Итберг
Оформление обложки К. Г. Жигалов
Подписано в печать 26.07.2017. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 7,50. Уч.-изд. л. 7,38. Тираж 150 экз. Заказ
ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова».
117997, Москва, Стремянный пер., 36.
Напечатано в ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова».
117997, Москва, Стремянный пер., 36.
.