03.11.2020

Результаты практической работы за 29.10.2020
Я так понимаю с этой практической работой большие проблемы…я
подумаю как лучше нам поступить с этой темой. и потом повторно
выполним эту практическую, пока оценивать не буду, иначе все нужно
выставить 2.
Уважаемые студенты гр.1ПР – 19, Вам не обходимо изучить
предлагаемый материал, внимательно разобрать решенные примеры,
аналогичные будут в практической работе. Успехов!!
Лекция по теме: «Производная функции. Способ четырех шагов.
Производная элементарных и сложных функций. Основные правила
дифференцирования»
Производная её геометрический, механический и экономический смысл.
Любое изменение независимой переменной x , равное разности x2  x1  x ,
называется приращением этой переменной.
Разность f ( x2 )  f ( x1 )  y называется приращением функции на отрезке [ x1; x2 ]
или y  f ( x1  x)  f ( x1 ) , где x2  x1  x .
Производной функции y  f (x) называется предел отношения приращения функции
y к приращению аргумента x при условии, что приращение аргумента стремится к
нулю, т.е.
y
f ( x   x)  f ( x)
dy
lim
 lim
 y  f ( x)  .
 x0  x
 x0
x
dx
Функция, имеющая в данной точке конечную производную, называется
дифференцируемой в этой точке.
Пример 1. Пользуясь определением, найдите производную функции y  x 2 .
Придадим аргументу x приращение x . Тогда соответствующее приращение y
функции будет иметь вид
y  y( x  x)  y( x)  ( x  x) 2  x 2  x 2  2 xx  (x) 2  x 2  2 xx  (x)2  x(2 x  x)
y
.Отсюда находим предел отношения
в точке x при x  0 :
x
y  0 
x(2 x  x)
    lim
 lim (2 x  x)  2 x .
x  0 x
x  0
x
 0  x  0

Таким образом, y  x 2  2 x .
lim
 
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке x  x0 , то она непрерывна в
этой точке.
Однако, обратное утверждение вообще говоря не верно. Существуют
непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например, y  x при x  0 .
Геометрический смысл производной
Производная функции в точке x равна угловому коэффициенту касательной,
проведенной к кривой y  f (x) в точке с абсциссой x .
y  f (x)
y
касательная
y0
нормаль
y( x0 )  tg  kкасат.

0
x
x0
Механический смысл производной
Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть
производная от пути s по времени t .
v  st
Физический смысл производной
Обобщая, можно сказать, что если функция y  f (x) описывает какой-либо
физический процесс, то производная y есть скорость протекания этого процесса.
Экономический смысл производной
Всякая хозяйственная (экономическая) деятельность человека осуществляется им
для достижения некоторого результата y и требует определённых усилий x . Если
функция y  f (x) описывает некоторый экономический процесс, то её производная
характеризует предельную эффективность этого процесса.
Пример2. Пусть x — объём выпущенной продукции, а y — затраты на её производство.
Предположим, что количество продукции увеличивается на x . Количеству
продукции x  x соответствуют издержки производства y ( x  x) . Следовательно,
приращению количества продукции соответствует приращение издержек производства
y
продукции y  y ( x  x)  y ( x) . Отношение
представляет собой среднее
x
приращение издержек производства (т.е. приращение издержек производства на единицу
y
приращения количества продукции). Тогда производная y  lim
описывает
 x 0  x
предельные издержки производства при заданном объёме x выпускаемой продукции.
Пример3. Пусть x — объём продаж, а y — общая выручка от них. Тогда производная y
характеризует предельную выручку на заданном уровне продаж x .
При анализе экономических явлений часто предпочитают использовать не
производную функции, а особое понятие — эластичность функции.
Эластичностью функции Ex ( y) называют предел отношения относительного
приращения функции к относительному приращению аргумента при x  0 , т.е.
 y 
 
y
 y x  x
y x
Ex ( y )  lim    lim     lim
 f ( x).
x  0  x 
x  0
y x  y x 0 x y

 
 x 
Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции
(повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на
1%. В этом заключается экономический смысл эластичности функции.
Таблица производных.
Приведём в таблице производные как простых, так и сложных функций, которые
подробнее рассмотрим далее.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Простая функция

x n  nx n 1 , n  R

ex  ex

a x  a x ln a
ln x   1
x
log a x   1
x ln a

sin x   cos x
cos x    sin x
tgx  12
cos x
ctgx   12
sin x
arcsin x   1 2
1 x
arccos x    1 2
1 x
1
arctgx  
1  x2
arcctgx   1 2
1 x
 
 
 
Сложная функция

u n  nu n 1  u , n  R

e u  e u  u

au  au ln a  u
ln u   1  u 
u
log a u   1  u
u ln a

sin u   cos u  u
cos u    sin u  u
tgu   12  u
cos u
ctgu   12  u
sin u
arcsin u   1 2  u
1 u
arccos u    1 2  u
1 u
1
arctgu  
 u
1  u2
arcctgu    1 2  u
1 u
 
 
 
Основные правила дифференцирования. Производная сложной
функции.
Если функции u , v дифференцируемы, то
c  0 , где c  const
x  1
cu   cu
u  v   u  v
u  v   uv  uv

 u  uv  vu
, v0
  
v2
v
1
Пример4. Найдите производную функции y  x 3  x 2  2 x  4 .
5
Воспользуемся
формулой
1
таблицы
производных
дифференцирования.
и
правилами

 1 
1 2
1



3
y   x  x  2 x  4   x3  x 2  2x   0  3x 2   2 x  2 .
5
5
5


Пример5. Найдите производную функции
x2 7
6
y  53 x 2   2 
 3x  10 .
7 x
x
Преобразуем функцию с помощью следующих правил:
 
 
Действия со степенями
am  an  amn
am
 amn
an
a 
m n
 a mn
a a
1
an  n
a
n
m
m
n
Таким образом, имеем:
2
3
1

1
y  5 x  x 2  7 x  2  6 x 2  3x  10 .
7
Воспользуемся формулой 1 таблицы производных и правилами
дифференцирования.

1

 23 1 2

2
2
y   5 x  x  7 x  6 x  3x  10  
7




 23  1 2 
  12 

2 
 5 x   x   7x   6 x   3x   0 


  7
2 1 1
 1   1
 5  x 3   2 x  7   2x 3  6   x 2  3 
3
7
 2
2
1
1
3

10 
2
 x 3  x  14 x  3  3x 2  3 .
3
7
Производная сложной функции.
Если y  f (u ) , где u   (x ) , т.е. y  f ( ( x)) — сложная функция, то
yx  fu  ux
dy dy du
.


dx du dx
Это правило легко распространить на цепочку из любого конечного числа
дифференцируемых функций.
Пример6. Найдите производную функции y  sin( 5 x) .
или в других обозначениях

sin u 
Воспользуемся
формулой
6
таблицы
производных
 cos u  u

y  sin( 5 x)   cos(5 x)  (5 x)  cos(5 x)  5  5 cos(5 x) .
Пример7. Найдите производную функции y  ln(sin( 5x3  7 x  1)) .

y  ln(sin( 5x3  7 x  1)) 


сложных
функций:
формула 4

1

 sin( 5 x3  7 x  1) 
 1 
3
ln u    u sin( 5 x  7 x  1)
u
формула 6

1


 cos(5x3  7 x  1) 5x3  7 x  1 

3
sin u   cos u  u sin( 5x  7 x  1)







1
 cos(5 x3  7 x  1) 15 x 2  7 .
sin( 5 x  7 x  1)
3
Производная обратной функции.
Если для функции y  f (x) существует обратная функция x   ( y ) , имеющая
производную  ( y )  0 , то справедлива формула
f ( x) 
1
 ( y ) .
Правило Лопиталя и его применениек раскрытию неопределённостей.
Теорема. Пусть функции y  f (x) и y   (x) на некотором отрезке [ x0 ; b]
удовлетворяют условиям теоремы Коши и в точке x  x0 одновременно обращаются в
f ( x)
нуль или равны бесконечности. Тогда, если существует предел lim
, то выполняется
x  x 0  ( x )
равенство
f ( x)
f ( x)
 lim
x x0  ( x)
x x0  ( x)
lim
(1)
Правило применимо и в случае, когда x0   .
x 3  x  10
.
x  2 x3  3x  2
применим
Пример8. Найдите предел lim

x3  x  10  0 
x3  x  10
lim 3
    правило  lim


x  2 x  3x  2
x 2
3
0
x

3
x

2
Лопиталя




3x 2  1 3  4  1 13

 .
x  2 3x 2  3
3 4  3 9
sin 5 x
Пример9. Найдите предел lim
.
x0
3x
 lim
sin 5x   lim 5 cos 5x  5  cos 0  5  1  5 .
sin 5 x  0 
    lim
x 0 3x
x 0
3
3
3
3
 0  x 0 3x 
lim
e2 x  1
.
x   2e 2 x  1

e2 x  1   
e2 x  1
2e 2 x 2 1
lim


lim

lim
  .
  x 
 x  4e 2 x 4 2
x   2e 2 x  1
2x

2e  1
Пример10. Найдите предел lim




Правило Лопиталя применяется и для раскрытия неопределенностей вида: 0   ;
   ; 00 ; 1 ; 0 .
Пример 7.11. Найдите предел lim x 2  e x .
x 
2 x
lim x e
x 
x2   
2x
2
 (  0)  lim x     lim x  lim x  0 .
x  e
x


x


e
e

Неопределенности вида 00 ; 1 ; 0 можно раскрыть, предварительно вычислив
предел от логарифма функции.
Пример12. Найдите предел lim x x .
x 0
lim x  (0 ) . Обозначим y  x x . Тогда
x
0
x 0
ln x   
(ln x)
    lim

x 0 1
   x  0  1 
 
x
 x
lim ln y  lim ln( x x )  lim x ln x  (0  )  lim
x 0
x 0
x 0
1
 x2 
 lim x  lim      lim x  0
x 0
x 0
1 x 0 x 
 2
x