13-Т/ДО

Контрольная работа по математике (1 курс, 2 семестр)
спец. “Коммерция”, “Таможенное дело”
(m – номер варианта – сумма последних двух цифр номера зачетной книжки)
1. Вычислите предел числовой последовательности
а) lim
(100 - m)n3 + 3n2 + 4
в) lim
n® ¥
3
n3 +
n® ¥
n + cos mn
p (100- m ) n 2 + sin mn
5 mn- p n 2
e
;
; б) lim ( n 2 - m -
)
n 2 + (100 - m) ;
n® ¥
æn + 100 - m ÷
ön+ 2
÷ ;
÷
ø
n
г) lim çç
n® ¥ è
д) доказать или опровергнуть утверждение lim
n® ¥
2n + 1
1
= - , используя определение предела
n+ 5
m
числовой последовательности.
2. Вычислите производную функции по определению и найдите значение производной при x0=1
а) f ( x) = m ×x2 - 3 ×x + (100 - m) ; б) f ( x) 
m
;
x  (100  m) x
2
в) f ( x)  2 x 2  mx
3. Найти производную и дифференциал функции в точке x
а) f ( x) = e- m×x + (100 - m) ×cos mx ; б) f ( x) 
2
arctg mx
1 x
2
; в) f ( x)  log2 xm  tg(100  mx) ; г) f ( x)  m ln 2
1
e
(100 m) x
.
4. Вычислите пределы функции
2( x + m 2(1 - cos mx)
; б) lim
2
x® 0
x® 0
x
mx
а) lim
m)
æ3 x 2 + mx - 4m ö÷3 x
x 2 - 30 x + m(m - 30)
÷
; г) lim
;
÷
2
x® m
x- m
è 3 x - 4m ÷
ø
; в) lim çç
x® ¥ ç
x2 - 9
= m , используя определение предела функции
x® 3 x - 3
д) доказать или опровергнуть утверждение lim
в точке.
5. Исследуйте и постройте графики функций. (Примечание. Требуется провести полное исследование
заданной функции: найти область определения; критические точки и установить их характер; промежутки
монотонности; точки перегиба; промежутки выпуклости и вогнутости; асимптоты.)
1
3
а) f ( x) = m2 ×x3 - m ×x + (100 - m) ; б) f ( x) 
г) f ( x) 
1
2 x

e
( x  m )2
2 x 2
x 2  mx
; в) f ( x)  3 (100  m)3  x3 ;
x 2  m2
, где σх – постоянная величина.
6. Используя методы интегрирования и таблицу первообразных, вычислите интегралы
100  m
x

1
100  m 
(100m) x2
 cos mx  e mx  dx ; б)   3mx  sin x 
а)  
dx ; г)  arcsin(100  m) xdx ;
 dx ; в)  mx  e
2
m

1
m

cos x 


д)  x 2 e  mx dx .
7. Исследуйте на экстремум функцию двух переменных
f ( x1 , x2 ) = x13 + x23 -
m2
x - 3x2 + (100 - m) .
3 1
8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в данной области D
f ( x1 , x2 ) = x12 + x22 - 2mx1 + (100 - m) , область D={(x1; x2)| x1≥0, x2≥0, x1+x21}.
9. Найдите общее и частное решение дифференциальных уравнений
а) y′+my=(100–m)x, y(0)=1;
б) y″+(100-m)y′+(99-m)y=e–mx , y(0)= –1, y′(0)=1.
Примечание:
1) зачет по контрольной работе ставится при полностью выполненных всех заданий
контрольной работы;
2) контрольная работа выполняется в отдельной тонкой тетради (с соблюдением требований
по оформлению титульного листа и работы), при этом
- обязательно писать условие заданий со своим номером варианта;
- решение и ответ после каждого задания.