реф матем

Автономная некоммерческая образовательная организация высшего
образования
«Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»
Зачетная (экзаменационная) работа
(2)
Дисциплина «Высшая математика»
Реферат
Тема: «Исследование функции средствами дифференциального
исчисления»
Выполнил(а):
Вельчев Дмитрий Игоревич (Ф.И.О. студента)
Группа ИН-1220(2) (направление, группа)
Проверил(а):
_____________________________
(Ф.И.О. преподавателя)
_____________________________
(дата)
Омск 2021 г
1
Содержание
Введение……………..………...……………………..…………….………3
1. Основные теоремы дифференциального исчисления……………….4
1.1 Локальные экстремумы функции……………………………………4
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля,
Коши, Лагранжа………………………………………………………………….5
2. Исследование функций……………………………………………….12
2.1 Достаточные условия экстремума функции……………….……….12
2.2 Исследование функций на выпуклость …………………………….16
Заключение…………………………………..…………………………...27
Список использованной литературы ………………………...…....…28
2
Введение
Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из
самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования
функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина
состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело с более
и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений.
Появились исключения из разработанных математикой правил, появились
случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не
имеющие ни в одной точке производной.
Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является
систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих
методов математики, связанных с исследованием функций.
Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и
начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам
получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций,
узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее
применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных
элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной
действительности в человеческой практики.
3
ОСНОВНЫЕ
1.
ТЕОРЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1 Локальные экстремумы функции
Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 – внутренняя точка
множества Х.
Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х)
имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки
х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х)  f (х0).
Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если
существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой
окрестности выполнено условие f (х)  f (х0).
Точки локальных максимума и минимума называются точками
локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными
экстремумами функции.
Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный
экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум
называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом
случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b»
полуокрестностью.
Проиллюстрируем данные выше определения:
у
f(a)
0
а
х1
х2
х3
х4
4
b
х
На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 –
точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого
минимума.
Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом
определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции
f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в
этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]),
точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума.
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма,
Ролля, Коши, Лагранжа
Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем
проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных
теорем математического анализа или основных теорем дифференциального
исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в
точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.
Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии –
юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из
создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема
Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет
решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если
р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1 – 1 делится на
р).
Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в
некоторой точке х0  (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0
существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0.
Доказательство.
Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный
минимум, то есть f (х)  f (х0), f х  U(х0). Тогда в силу дифференцируемости
5
f (х) в точке х0 получим:
при х > х0:
f ( x )  f ( x0 )
 0  lim
x x0 0
x  x0
f ( x )  f ( x0 )
 f ( x0  0)  0,
x  x0
при х < х0:
f ( x)  f ( x0 )
 0  lim
x x0 0
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
 f ( x0  0)  0.
x  x0
Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют
место одновременно лишь когда
f ( x0  0)  f ( x0  0)  f ( x0 )  0.
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0  (а, b) является точкой
минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует
производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке
(х0, f (х0)), параллельна оси Ох:
у
f (x)
0
а
х0
х1
b
6
х
у
-1
0
1
х
7
Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и
дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.
Пример 1. у = х, х  (–1; 1).
В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не
существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не
выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0).
у
1
-1
0
1
х
-1
Пример 2. у = х3, х  [–1; 1].
В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. f ( x0 )  3 x 2
Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1  (–1; 1).
8
x 1
 3  0.
Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской
академии наук. Разработал метод отделения действительных корней
алгебраических уравнений.
Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b],
дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка ,
а <  < b, такая, что f '() = 0.
Доказательство:
1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х  (a, b);
2) если f (x)  const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает
наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка
[a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во
внутренней точке  отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '() = 0.
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий
теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка ,
такая, что касательная к графику f (x) в точке (, f ())  Ox (см. рисунок).
Заметим, что все условия теоремы существенны.
у
f (x)
0
а
1
2
3
b
х
Пример 3. f (x) = х, х  [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.
В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно,
теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная
в нуль не обращается.
9
 x, 0  x  1
Пример 4. f ( x)  
0, x  1.
Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала
(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется –
функция не является непрерывной на [0; 1].
Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской
академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий.
Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным
уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.
Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке
[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х)  0, х  (a,
b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что
f (b)  f (a) f () . (1)

g (b)  g (a) g ()
Доказательство.
Рассмотрим

вспомогательную
f (b)  f (a)
g ( x)  g (a).
g (b)  g (a)
Функция
функцию
F(х)
F ( x)  f ( x)  f ( a ) 
непрерывна
на
[a,
b],
дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме
Ролля на (a, b) существует точка , такая, что F'() = 0:
F ()  f () 
f (b)  f (a)
 g ()  0.
g (b)  g (a)
Следовательно:
f (b)  f (a) f () .

g (b)  g (a) g ()
10
Теорема доказана.
Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик,
почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат
выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным
вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел,
механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные
интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)).
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b],
дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая,
что
f (b)  f (a)
 f () 
ba
 f (b)  f (a)  f () (b  a) (2)
Доказательство.
Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2).
Теорема доказана.
Равенство (2) называют формулой конечных приращений или
формулой Лагранжа о среднем.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно
найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику функции f (x)
в точке (, f ()) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В
(b, f(b)) (см. рисунок).
Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:
1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f (x)
непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, х  (a, b), то
функция f (x) постоянна на [a, b].
11
у
В
f (b)
f (x)
f (a)
0
А
а
1
2
3
b
х
2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b],
дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), х  (a, b). Тогда f (x) = g(х)
+ С, где С = const.
3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на
отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, х
 (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0,
х  (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b).
12
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
2.1 Достаточные условия экстремума функции
В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического
анализа, которые широко используются при исследовании функции,
построении ее графика.
По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке
локального экстремума х0 следует, что f '(x0) = 0. Данное условие является
необходимым условием существования в точке локального экстремума, то
есть если в точке х0 – экстремум функции f (x) и в этой точке существует
производная, то f '(x0) = 0. Точки х0, в которых f '(x0) = 0, называются
стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной
в точке не является достаточным для существования локального
экстремума в этой точке.
у
у = х3
0
х
Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но
в точке х0 = 0 нет экстремума.
Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a,
b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не
существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум
13
в точке х0 = 0:
у
у
х
0
у
х
0
f '(0) 
f '(0) = 0
0
х
f '(0) = 
Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального
экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум
и какой именно – минимум или максимум?».
Теорема
1
(первое
достаточное
условие
экстремума).
Пусть
непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой
окрестности U(x0) точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка
х0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда:
 f ( x)  0 при х  х ,
0
1) если 
(1)
 f ( x)  0 при х  х0 ,
то в точке х0 – локальный максимум;
 f ( x)  0 при х  х ,
0
2) если 
(2)

f
(
x
)

0
при
х

х
0
,

то в точке х0 – локальный минимум.
Доказательство.
Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности
функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не
возрастает, то есть
ïðè õ  x0 : f ( x)  f ( x0 ),
ïðè õ  x0 : f ( x)  f ( x0 ).
(3)
Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный
максимум.
14
Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального
минимума:
у
у
f (x)
х
х0
0
f '(х)  0
f (x)
х
0
х0
f '(х)  0
f '(х)  0
f '(х)  0
Теорема доказана.
Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум
функцию у 
х2 1
с помощью производной первого порядка.
х
Решение. Найдем стационарные точки функции:
у 
х
2

 1  х  х 2  1  х 2 х  х  х 2  1  1 х 2  1


 0.
х2
х2
х2





 х2 –1 = 0  х1 = –1, х2 = 1.
Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0.
Следовательно:
х
(–; –1)
–1
(–1; 0)
0
(0; 1)
1
(1; +)
у'
+
0
–
–
–
0
+
у
–2
–
max
То есть функция у 
2
min
х2 1
возрастает на интервалах (–; –1) и (1; +),
х
убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке
15
х1 = –1, равный уmax (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х2 = 1,
уmin (1) = 2.
Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f
(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0 – стационарная точка
(f ' (х0) = 0), в которой f '' (х0) > 0, то в точке х0 функция имеет локальный
минимум. Если же f '' (х0) < 0, то в точке х0 функция имеет локальный
максимум.
Доказательство. Пусть для определенности f '' (х0) > 0. Тогда
f ( x0 )  lim
x x0
f ( x)  f ( x0 )
f ( x)
 lim
 0.
x x0 x  x
x  x0
0
Следовательно:
при х < х0, f ' (х) < 0,
при х > х0, f ' (х) > 0.
Поэтому по теореме 1 в точке х0 функция имеет локальный минимум.
Теорема доказана.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию у 
х2 1
с помощью
х
второй производной.
Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую
производную у  
х2 1
и стационарные точки х1 = –1, х2 = 1.
х2
Найдем вторую производную данной функции:



 х2  1
х2  1  х2  х2  1  х2
2х  х2  х2  1  2х 2
у    2  

 3.
х4
х4
х
 х 



 


Найдем значения второй производной в стационарных точках.
у (1) 
2
 2  0  в точке х1 = –1 функция имеет локальный
(1) 3
16
максимум;
у (1) 
2
 2  0  в точке х2 = 1 функция имеет локальный минимум (по
13
теореме 2).
Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет
проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная
равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство
производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в
подозрительных на экстремум точках.
2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка
перегиба
Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 – любые различные
точки этого интервала. Через точки А (х1, f (х1)) и В (х2, f (х2)) графика функции
f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение
этой прямой запишем в виде у = у(х).
Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для
любых точек х1, х2  (a, b), а  х1 < х2  b, хорда АВ лежит не ниже графика
этой функции, т. е. если f (х)  у (х),  х  [х1, х2]  (a, b):
у
f
В
А
0
а
х1
у(х)
f (х)
х
х2
х
b
17
Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой
функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.
Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для
любых точек х1, х2  (a, b), а  х1 < х2  b, хорда АВ лежит не выше графика
этой функции, т. е. если f (х)  у (х),  х  [х1, х2]  (a, b):
у
В
f
А
f (х)
у(х)
0
а
х1
х2
х
b
х
Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды
непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и
1) f ''(х) > 0,  х  (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз;
2) f ''(х) < 0,  х  (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вверх.
Точка х0 называется точкой перегиба функции f (х), если   – окрестность точки х0, что для всех х  (х0 – , х0) график функции находится с одной
стороны касательной, а для всех х  (х0, х0 + ) – с другой стороны касательной, проведенной к графику функции f (х) в точке х0, то есть точка х0 –
точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х0 функция f (х)
меняет характер выпуклости:
18
у
f
х
0
х0 –  х0 х0 + 
Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если
функция f (х) имеет непрерывную в точке х0 производную f '' и х0 – точка
перегиба, то f '' (х0) = 0.
Доказательство.
Если бы f '' (х0) < 0 или f '' (х0) > 0, то по теореме 3 в точке х0 функция f
(х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f ''(х0) = 0.
Теорема доказана.
Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды
непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0 и при переходе через
точку х0 производная f ''(х) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба
функции f (х).
у
у = х3
0
х
Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции
у = х3.
19
Решение. у' = 3х2, у'' = 6х = 0  х0 = 0 – точка, подозрительная на
перегиб.
В точке х0 = 0 функция у = х3 имеет перегиб:
х
(–; 0)
0
(0; +)
у''
–
0
+
у
выпукла вверх
0
выпукла вниз
точка перегиба
Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции
у
х2 1
.
х
Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной
функции y  
2
. Так как y   0, то точек подозрительных на перегиб нет.
x3
Рассмотрим промежутки выпуклости:
х
(–; 0)
0
(0; +)
у''
–
–
+
у
выпукла вверх
–
выпукла вниз
функция не определена
2.3 Асимптоты графика функции
Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции
неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные
асимптоты.
Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции
f (х), если хотя бы один из пределов f (х0 – 0) или f (х0 + 0) равен бесконечности.
Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций:
20
x2  1
x 1
x
а) f ( x) 
; б) f ( x) 
; в) f ( x) 
.
x3
( x  2) ( x  4)
x
Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х 0,
где х0 – точки, в которых функция не определена.
а) х = 3 – вертикальная асимптота функции f ( x) 
f (3  0)  lim
x30
x
. Действительно,
x3
x
3

  ;
x3 0
б) х = 2, х = – 4 – вертикальные асимптоты функции f ( x) 
x 1
( x  2) ( x  4)
. Действительно,
f (2  0)  lim
x 2  0
x 1
1

  ,
( x  2) ( x  4)  0
f (4  0)  lim
x40
в)
х
=
0
–
x 1
5

  ;
( x  2) ( x  4)  0
вертикальная
асимптота
функции
x2  1
f ( x) 
.
x
x2  1 1
Действительно, f (0  0)  lim

  .
x0
õ
0
Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика
непрерывной функции f (х) при х  + или х  – , если f (х) = kx + b + α(х),
lim ( x)  0 , то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х)
x 
существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х
стремится к 0 при х  + или при х  – .
Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной
асимптотой графика функции f (х) при х  + или х  – , необходимо и
достаточно существование конечных пределов:
21
lim
x
( x)
f ( x)
 k,
x
lim
x
( x)
 f ( x)  kx   b. (4)
Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует
или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.
Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции у 
x2 1
.
x
Решение. Найдем пределы (4):
x2  1

f ( x)
x2  1   
x2  1
2x
x
lim
 lim
 lim


lim

lim
 1.


x x
x
x x 2
x 2 x
x
   x x 2 

 

Следовательно, k = 1.
 x2  1

x2  1  x2
1


lim  f ( x)  k  x   lim 
 1  x   lim
 lim
 0.
x
x
x x
x
 x
 x
Следовательно, b = 0.
Таким образом, функция у 
x2 1
имеет наклонную асимптоту
x
у = kx + b = 1 · х + 0 = х.
Ответ: у = х – наклонная асимптота.
2x3  x 2  8
Пример 8. Найти асимптоты функции f ( x) 
.
x2  1
Решение.
а) функция неопределенна в точках х1 = –1, х2 = 1. Следовательно,
прямые х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.
Действительно, lim
x10
f ( x)  lim
x10
22
2x3  x 2  8
7

  .
( x  1) ( x  1)  0
2 x 3  x 2  8 11
lim f ( x)  lim

  ;
x10
x10 ( x  1) ( x  1)
0
б) у = kx + b.
f ( x)
2x3  x 2  8
2x3  x 2  8   
k  lim
 lim
 lim
    2,
x
x
x
x
x ( x 2  1)
x3  x

 2x3  x 2  8

 
b  lim  f ( x)  k  x   lim 

2
x
2
x
x
x

1


2x3  x 2  8  2x3  2x
x2  2x  8   
 lim
 lim
    1.
x
x
x2  1
x2  1

Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции.
Ответ: х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимптоты.
2.4 Общая схема построения графика функции
1. Находим область определения функции.
2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.
5. Находим асимптоты графика функции.
6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
7. Строим график.
Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и
нечетности функции.
Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х,
взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит
области определения и выполняется равенство f (х) = f (–х). График четной
функции симметричен относительно оси ординат.
Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого
23
из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти
определения, и выполняется равенство f (–х) = –f (х). График не-четной
функции симметричен относительно начала координат.
Пример 9. Построить график у 
x2 1
.
x
Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в
других примерах.
1. D (у) = (–; 0)  (0; +).
(  x) 2  1
x2  1
f (  x)  

  f ( x).
x
x
2.
Следовательно,
функция
нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат.
3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
х
(–; –1)
–1
(–1; 0)
0
(0; 1)
1
(1; +)
у'
+
0
–
–
–
0
+
у
–2
–
max
2
min
4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки
перегиба.
х
(–; 0)
0
(0; +)
у''
–
–
+
у
выпукла вверх
–
выпукла вниз
функция не определена
Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при
переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция
не определена.
5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:
а) х = 0 – вертикальная асимптота;
б) у = х – наклонная асимптота.
24
6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как
x2  1
 0 , при любых х  , а х = 0  D(у).
x
7. По полученным данным строим график функции:
у
2
0
-1
х
1
-2
Пример 10. Построить график функции у 
x3
.
1 x2
Решение.
1. D(у) = (–; –1)  (–1; 1)  (1; +).
( x) 3
x3
f (  x)  

  f ( x)
1  (  x) 2
1  x2
2.
–
функция
нечетная.
Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала
координат.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
у 
х   1  х   х  1  х   3х  1  х   х   2 х  
1  х 
1  х 

3
2
3
2
2
2
2 2
3х 2  3х 4  2 х 4
1  х 
2 2
3
2 2

3х 2  х 4
1  х 
2 2
 0,
25
3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2 =  3 , х3 =
х
–1
 3 (  3 ; 0)
(–;
(–1;
(0; 1)
1
(1;
0)
 3)
у
0
3.
3)
3
0
–
+
+
0
–
+
+
0
'
у
–
2,6
–
0
–
2,6
4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:
3х
у  
2
  3х  х  1  х   
1  х 
  3х  х  21  х   2 х  
1  х 

 х4  1 х2
 
2
2
2 2
4

2 4
6 х  4 х 1  х

3
2 2
2
4
2
2 4
6 х  4 х 3  6 х 3  4 х 5  12 х 3  4 х 5
1  х 
2 3

6х  2х3
1  х 
2 3
 0.
6 х  2 х 3  0,


2 х 3  х 2  0,
х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
х
(–; –1)
–1
(–1; 0)
0
(0; 1)
1
(0; +)
у''
+
–
–
0
+
–
–
у
3;
+)
–

(
выпукла
вниз
–
выпукла
вверх
0
выпукла
вниз
перегиб
5. Найдем асимптоты функции:
а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты.
Действительно:
26
–
выпукла
вниз
–
x3
1
lim

 ;
2
x  1 0 1  x
0
x3
1

 ;
x10 1  x 2
0
lim
б) у = kx + b.
f ( x)
x3
x3
k  lim
 lim
 lim
 1 ,
x  
x   1  x 2 x
x   x  x 3
x

b  lim
x  
 f ( x)  k  x  

 x3

 x3



 
lim 

(

1
)

x

lim

x
 x    1  x 2
x   1  x 2




x3  x  x3
x
1


lim


lim
 0.


x  
x   1  x 2
x




2
x
1  x2
 
 lim
 у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота.
6. Найдем точки пересечения с осями координат:
х = 0  у = 0  (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
7. Строим график:
у
3
2,6
2
1
-2
-1
0
1
2
х
27
Заключение
Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад
произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих
пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.
Изучение поведения функций и построение их графиков является
важным разделом математики. Свободное владение техникой построения
графиков часто помогает решить многие задачи и парой является
единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики
функций представляет большой самостоятельный интерес.
Материал, связанный с построением графиков функций, в средней
школе
изучается
недостаточно
полно
с
точки
зрения
требований
предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков не
редко вызывают затруднение у поступающих. Основываясь на этом факте, эта
тема является необходимой для подробного рассмотрения.
28
Список использованной литературы
1. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.–
Мн.: Тетрасистемс, 1998. – 415 с.
2. Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции.
Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие.– Мн.: ЧИУиП,
2007.– 20 с.
29