РЕФЕРАТ Бакалаврская квалификационная работа 54 с., 45 рисунков, 2 таблиц, 18 источников. В данной работе проводились исследования эффективности интеграторов Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера. Перечисленные интеграторы тестировались на примере решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков невозмущенной и возмущенной задачи двух тел для выбранных объектов Солнечной системы. В ходе тестирования в интеграторах мы изменяли значения таких параметров, как число итераций (NI), класс системы (NCLASS), локальная точность (ERR), порядок интегратора (NOR). Далее, исходя из полученных результатов, выясняли, при каких значениях параметров тот или иной интегратор получает за короткое время более точное решение. ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 5 1 Программно-математическое обеспечение 7 1.1 Дифференциальные уравнения 7 1.2 Интегратор Эверхарта 8 1.3 Интегратор Гаусса–Эверхарта 11 1.4 Интегратор Грэгга–Булирша–Штера 12 1.5 Программная реализация 14 2 Результаты исследования эффективности интеграторов 16 2.1 Постановка задачи 16 2.2 Объекты 17 2.3 Исследование эффективности интеграторов на примере невозмущенной задачи двух тел 20 2.3.1 Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта в зависимости от числа итераций на разных интервалах времени 20 2.3.2 Исследование эффективности интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы 23 2.3.3 Выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса–Эверхарта 25 2.4. Исследование эффективности интеграторов на примере возмущенной задачи двух тел 27 2.4.1 Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта в зависимости от числа итераций 27 2.4.2 Исследование эффективности интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы 30 2.4.3 Выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса–Эверхарта 32 2.4.4 Сравнительная характеристика интеграторов Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера 34 Заключение 38 Список использованной литературы 40 Приложение А Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел 42 Приложение Б Исследование эффективности интеграторов Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера на примере возмущенной задачи двух тел 47 4 ВВЕДЕНИЕ В настоящее время численное моделирование является традиционным и мощным средством для изучения движения астероидов. Безусловно, существуют и другие способы решения подобных задач с астероидами и другими небесными телами. Однако благодаря именно численному методу появилась возможность исследовать орбиты особых астероидов. С помощью этого метода также можно прогнозировать движение небесных тел, оценивать столкновения объектов с планетами, моделировать какие-либо явления и процессы. После появления новых компьютерных технологий решение таких задач по силам практически каждому, у кого есть компьютер, но этого мало – придется изучить вычислительноматематический инструментарий и владеть им на практике. На сегодняшний день существует очень много средств и методов, которые позволяют решить поставленные задачи. Для решения дифференциальных уравнений, которые описывают орбитальное движение, используют приближенные методы интегрирования. Целью данной работы является изучение методов интегрирования: Эверхарта, Гаусса– Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера. В процессе исследования необходимо выяснить, какой из интеграторов получает более точные результаты за меньшее время. Текущее исследование проводилось с целью развеять споры о том, какой же из интеграторов имеет наибольшую эффективность. Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи: исследовать эффективность интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел; изучить поведение интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы дифференциальных уравнений в невозмущенной задаче двух тел; изучить возможность выбора шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса–Эверхарта в невозмущенной задаче двух тел; исследовать эффективность интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта на примере возмущенной задачи двух тел; изучить эффективность интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы дифференциальных уравнений в возмущенной задаче двух тел; изучить возможность выбора шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса–Эверхарта в возмущенной задаче двух тел; провести сравнительную характеристику интеграторов Эверхарта и Грэгга– Булирша–Штера в возмущенной задаче двух тел. 5 Кратное содержание работы. В первой главе представлено описание дифференциальных уравнений первого и второго порядков в случае невозмущенной и возмущенной задачи двух тел. Для возмущенного движения перечислены учитываемые внешние воздействия на объект. В данной главе также приведено математическое описание методов Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера разработанного автором работы программного обеспечения. Вторая глава посвящена результатам исследования эффективности применения методов Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера для решения задач астероидной динамики. В этой главе показано, как изменение параметров влияет на эффективность интеграторов Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера. В интеграторе Эверхарта изучались такие параметры как число итераций и класс системы дифференциальных уравнений. В интеграторе Гаусса–Эверхарта рассматривались число итераций и выбор шага по части переменных. И наконец, интегратор Грэгга–Булирша– Штера тестировался при различных порядках. 6 1 Программно-математическое обеспечение Под программно-математическим обеспечением понимается совокупность средств, алгоритмов, методов и программ позволяющих решить поставленные задачи. В данной работе используются системы дифференциальных уравнений первого и второго порядков, фонд больших планет DE431, интеграторы Эверхарта, ГауссаЭверхарта и Грэгга–Булирша– Штера. 1.1 Дифференциальные уравнения При численном интегрировании изучаемые орбиты небесных объектов описываются дифференциальными уравнениями, которые решаются численно. При моделировании особое влияние на эффективность оказывают удачно выбранные дифференциальные уравнения [4], так как от них зависит точность и быстродействие их интегрирования. В ходе работы поставленные задачи исследования рассматривались в рамках невозмущенной и возмущенной задач двух тел. В общем случае невозмущенная задача двух тел представляет собой задачу о движении двух взаимодействующих точек в отсутствии внешних сил. Стоит подчеркнуть, что решение задачи двух тел широко используется в небесной механике. В невозмущенной задаче двух тел, кроме силы взаимного притяжения тел, никакие другие возмущающие силы не учитываются. Интеграторы Эверхарта и Гаусса–Эверхарта тестировались на примере решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков невозмущенной задачи двух тел, которые имеют следующий вид: q v , v q r3 r3 (1.1.1) q, (1.1.2) q, где 𝒒 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) и 𝒗 = (𝒙,̇ 𝒚,̇ 𝒛̇ ) – векторы положения и скорости астероида; r – k 2 (m1 m2 ) гелиоцентрическое расстояние астероида; гравитационный параметр; k=0.01720209895 постоянная Гаусса; m1 и m2 – массы материальных точек 1 и 2. Изучение движения объектов в рамках возмущенной задачи двух тел предусматривает наличие некоторых внешних воздействий. В данной работе учитывались следующие силы: влияние восьми больших планет Солнечной системы, а также Плутона и Луны. Интеграторы Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера 7 изучались на примере дифференциальных уравнений первого и второго порядков возмущенной задачи двух тел, которые определяются следующим образом: q v , v q r3 r3 q P. (1.1.3) q P, (1.1.4) q q q где P k 2 M m m 3 m3 – возмущающее ускорение, вызванное влиянием больших rm m m планет, Плутона и Луны; 𝑀𝑚 – масса возмущенного тела; k=0.01720209895 постоянная Гаусса; 𝒒𝒎 – вектор положения возмущающего тела; 𝑟𝑚 – гелиоцентрическое расстояние тел; ∆𝑚 – расстояние между телом и астероидом; 𝒒 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) и 𝒗 = (𝒙,̇ 𝒚,̇ 𝒛̇ ) – векторы положения и скорости астероида; r – гелиоцентрическое расстояние астероида; k 2 (m1 m2 ) – гравитационный параметр, m1 и m2 – массы материальных точек 1 и 2. На заданный момент времени координаты, а также массы и другие требуемые параметры больших планет Солнечной системы, Плутона и Луны считывались из фонда координат больших планет DE431 [15], который был создан в апреле 2013 года. DE431 включает в себя либрацию и нутацию, вычисленную по теории IAU1980 предложенную в 1980 году на Международной Астрономическом Союзе. Эфемериды сохраняются в файлы в виде полиномов Чебышева, которые соответствуют декартовым координатам и скоростям планет, Плутона, Солнца и Луны, обычно с интервалом в 32 дня. DE431 лучше всего подходит для анализа ранних исторических наблюдений Солнца, Луны и планет. Интервал интегрирования фонда лежит в пределах от 15000 до 15000 года. 1.2 Интегратор Эверхарта Разработанный в 1973 Э. Эверхартом метод численного интегрирования был предназначен для численного исследования орбит [9]. После того как Эверхарт выяснил, что разработанный им интегратор принадлежит семейству типа Батчера, он реализовал алгоритм для численного решения любых обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков, благодаря этому метод получил широкое применение в различных областях [8]. Метод Эверхарта с точки зрения численного интегрирования обладает некоторыми преимуществами такими как: в методе присутствует универсальный алгоритмом интегрирования для любого порядка; шаг интегрирования выбирается по простому критерию; численное интегрирование выполняется всего при использовании двух итераций на шаге. Благодаря названным преимуществам, метод Эверхарта и в настоящее время не 8 утратил своей популярности. Для рассматриваемого метода существует несколько программных реализаций, разработанных с помощью языка высокого уровня Фортран, например, RA15 [2] и его модификация RADAU_27, разработанная уже до 27 порядка. Интегратор Эверхарта не раз показывал свою высокую эффективность по быстродействию и точности в исследованиях движения небесных тел. Следует также отметить, что данный интегратор фактически основан на видоизмененных формулах неявных методов РунгеКутты. Итак, рассмотрим подробнее идею метода Эверхарта. Предположим, необходимо решить задачу Коши на шаге h: x g ( x, t ), x0 x(t0 ). (1.2.1) Представим правые части уравнений g в виде многочлена степени s1: x s x t t0 g b j j 1 , , h h j 1 (1.2.2) где коэффициенты b будут определены ниже. Проинтегрировав выражение (1.2.2) по , получим его решение: s b j x(t0 h ) x0 h j . j 1 j (1.2.3) После этого многочлен (1.2.3) перепишем в виде многочлена Ньютона: s j 1 j 2 m 1 g 1 j ( cm ). (1.2.4) Итак, получаем, что в точках коллокации имеет место равенство правых частей и многочлена Ньютона (1.2.4). Из следующих соотношений: g1 1 , g 2 1 2 ( 2 1 ), g3 1 2 ( 2 1 ) 3 ( 3 1 )( 3 2 ), (1.2.5) ... Получаем 1 g1 , 2 g 2 1 , 2 1 g 1 3 ( 3 1 2 ) , 3 1 ( 3 2 ) ... 9 (1.2.6) Далее для того чтобы получить значения коэффициентов b сравниваем коэффициенты многочленов (1.2.2) и (1.2.4). Таким образом, получаем следующие выражения для коэффициентов b: b1 1 ( 1 ) 2 ( 1 2 ) 3 ... (1) s 1 ( 1... s 1 ) s , b2 2 ( 1 2 ) 3 ..., (1.2.7) ... bs s , или b1 l111 l21 2 ... ls1 s , b2 l22 2 ... ls 2 s , (1.2.8) ... bs lss s . Можно представить обратный переход от b к следующим образом: 1 m11b1 m21b2 ... ms1bs , 2 m22b2 ... ms 2bs , (1.2.9) ... s mss bs , где lij и mij – числа Стирлинга, которые вычисляются по следующим формулам: lij mij 1, li 0 mi 0 0 (i 0); lij ci 1, j 1 i 1ci 1, j , mij mi 1, j 1 j mi 1, j , (i j 0). (1.2.10) Из выше упомянутых программных реализаций метода Эверхарта для исследования мы выбрали RADAU_27. Для того чтобы использовать выбранную процедуру RADAU_27 необходимо указать все входные и выходные параметры. Входными параметрами данной процедуры являются: X – начальные значения интегрируемых переменных на момент времени TI; V – начальные значения первых производных интегрируемых переменных на момент времени TI; TI – начальное время; TF – конечное время; XL – шаг интегрирования постоянный для LL<0, а при LL>0 переменная не используется; LL – параметр регулирует величину шага интегрирования (при LL<0 – шаг интегрирования постоянный; как правило, LL выбирается экспериментально, а его оптимальное значение зависит от формы дифференциальных уравнений); NV – число уравнений в системе; NI – число итераций на шаге; 10 NCLASS – класс системы. NCLASS=1 – если используемая система состоит из уравнений первого порядка, NCLASS=2 – из уравнений второго порядка (при NCLASS=1 массив V не используется); NOR – порядок интегратора (NOR=7,11,15,19,23,27); В параметрах процедуры RADAU_27 также указывается FORCE – название процедуры правых частей дифференциальных уравнений. В виде выходных параметров процедуры RADAU_27 получаем: X – интегрируемые переменные на момент времени TF; V – значения первых производных интегрируемых переменных на момент времени TF; NF – число обращений к процедуре FORCE правых частей; NS – число шагов интегрирования. 1.3 Интегратор Гаусса–Эверхарта Интегратор Гаусса–Эверхарта является модифицированной версией интегратора Эверхарта. Автором новой модифицированной версии Эверхарта является В.А. Авдюшев [1]. По его словам, классический (RA15), а также и модифицированный (RADAU_27) программный код Эверхарта значительно ограничивают возможности интегратора, поэтому возникла идея подвергнуть дальнейшей модификации метод Эверхарта [3]. Для этого в ходе анализа были выявлены недостатки, которые по возможности были устранены: 1. Благодаря возможностям языка Фортран программный код стал намного проще для понимания и меньше по объему почти в два раза. 2. Исключили константы, связанные с порядком метода. 3. Поскольку в методе Эверхарта шаг при интегрировании уравнений первого порядка выбирался неверно, то алгоритм выбора переменного шага был исправлен. 4. Выбор стартового шага осуществляется по оценкам интегрирующей схемы второго порядка с учетом поведения правых частей уравнений. 5. В зависимости от порядка интегратора накладываются ограничения на выбираемый шаг. Однако появились также и новые возможности, например, связанные с выбором величины переменного шага, интегрирование на шаге до полной сходимости итерационного процесса и др. Наряду с этим хотелось бы отметить, из-за того что в интеграторе используются гауссовы разбиения В.А. Авдюшев решил назвать этот интегратор Гаусса– 11 Эверхарта. Автором метода Гаусса–Эверхарта было разработаны несколько программных реализаций написанных на языке Фортран: Gauss_15 (2006), Gauss_32 (2010), Gauss_32_mod (2012). Из названных процедур для достижения поставленных задач в данной работе мы выбрали последнюю модифицированную версию интегратора Гаусса–Эверхарта Gauss_32_mod. Основное значение в интеграторах несут входные и выходные параметры. Итак, рассмотрим подробно, что подается на вход в процедуре Gauss_32_mod. На входе в процедуру указываются значения следующих параметров: X – интегрируемые переменные, начальные данные на момент времени TS до выполнения процедуры; TS – начальное время; TF – конечное время; STEP – стартовый шаг интегрирования (при условии, если ERR0, то шаг интегрирования переменный; при ERR=0 интегрировании выполняется с постоянным шагом); ERR – массив задаваемой точности для выбора переменного шага; N – число уравнений в системе; NOR – порядок интегратора (NOR=2 – 32); NI – максимальное число итераций на шаге (если NI0, то итерационный процесс выполняется до тех пор, пока процесс не сойдется). На выходе из процедуры получаем следующие результаты: X – интегрируемые переменный на момент времени TF; STEP – размер предпоследнего шага; NS – число шагов интегрирования за выполнение процедуры; NF – число обращений к процедуре FUN, где под FUN понимают название процедуры правых частей дифференциальных уравнений и указывают в параметрах процедуры. 1.4 Интегратор Грэгга–Булирша–Штера Метод Грэгга–Булирша–Штера реализован для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Основой метода являются методы экстраполяции и метод средней точки. Экстраполяционные методы широко используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений благодаря своему достоинству, 12 которое состоит, прежде всего, в том, что при их использовании не требуется многократного обращения к правым частям дифференциального уравнения. Созданием методов экстраполяции занимались такие ученые как Ричардсон, Булирш и Штер и др. Алгоритм рациональной экстраполяции, построенный на интерполяции рациональными функциями, был разработан двумя немецкими математиками Булиршем и Штером. Полученный метод Булирша–Штера является обобщением алгоритма Эйткена–Невилла на случай рациональной интерполяции. Итак, рассмотрим подробно реализацию метода Грэгга–Булирша–Штера. Если метод симметричный, то он будет иметь разложение глобальной ошибки по степеням ℎ2 следующим образом: xN x(t0 t ) ei h 2i . (1.4.1) i q Тогда, для экстраполяции запишется интерполирующий полином в таком виде: G( x, h) 0 p h p ... p s 2h p s 2 , (1.4.2) где 𝑥𝑁 – приближенное решение на отрезке [t0 t ] ; p – порядок метода; s – число обращений к функции правых частей; h – постоянный шаг h t ; – коэффициент N многочлена. Важный результат в развитие метода внес Уильям Б. Грэгг. Он предложил использовать симметричный метод второго порядка, построенный на методе средней точки: x1 x0 hf (t0 , x0 ), xn1 xn1 2hf (tn , xn ), где n=1,…,N, xN ( h ) xN 1 2 xN xN 1 . 4 (1.4.3) Для вычисления экстраполяции используется формула Эйткена–Невилла, только при замене h на h2: Gi , j 1 Gi , j Gi , j Gi 1, j , где j=1,…,s-1; i=j+1,…,s. N ( i )2 1 Ni j (1.4.4) В данном случае Gi ,1 xN ( h ) , (i=1,…,s) можно получить из формулы (1.4.3). При условии, i i что 𝑁𝑖 – принимает четные значения (𝑁𝑖 =2,4,8,16,32,…). Рассмотренный выше метод носит название Грэгга–Булирша–Штера или GBS (Gragg– Bulirsch–Stoer). Следует отметить, что рассмотренный метод широко используется на практике по сравнению с другими экстраполяционными методами. В данной работе для тестирования использовалось бета-версия интегратора GBS (2012) для дифференциальных уравнений первого порядка с переменным шагом, которая была написана В.А. Авдюшевым 13 на языке Фортран [2]. Перечислим для процедуры GBS входные и выходные параметры. Входными считаются следующие параметры процедуры: X – интегрируемые переменные в момент времени TS; TS – начальный момент времени; TF – конечный момент времени; HX – начальный размер шага интегрирования (если HX=0, то последующие размеры шага определяются автоматически); NOR – порядок интегратора (NOR=4, 6, 8, …); NE – число уравнений в системе; ETOL – задаваемая точность (если ETOL0, то HX размер шага интегрирования постоянный); В параметрах процедуры GBS также указывается FUN – имя процедуры правых частей дифференциальных уравнений. На выходе из процедуры получаем значения выходных параметров: X – интегрируемые переменные в момент TF; HX – размер предпоследнего шага интегрирования; NS – число шагов интегрирования за выполнение процедуры; NF – число обращений к процедуре FUN правых частей. 1.5 Программная реализация В начале исследования были выбраны следующие программные реализации: RADAU_27, Gauss_32_mod, GBS методов Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша– Штера, которые подвергались тестированию при различных условиях. Дополнительную информацию по перечисленным интеграторам можно посмотреть в монографии В.А. Авдюшева [2]. Для каждого интегратора были написаны главные программы на языке программирования высокого уровня Фортран. В реализованных программах вызывались процедуры, входными параметрами которых являются: начальные значения интегрируемых переменных, начальное и конечное моменты времени, шаг интегрирования, порядок интегрирования, число уравнений в решаемой системе, задаваемая точность. Кроме того в интеграторах Эверхарта и Гаусса–Эверхарта к названным параметрам добавляется число итераций. На выходе из процедуры любого интегратора получаем: значения интегрируемых переменных на конечный момент времени, число обращений к процедуре правых частей, 14 число шагов интегрирования. Для случая возмущенной и невозмущенной задачи двух тел тоже были написаны процедуры правых частей дифференциальных уравнений первого или второго порядка. В процедуре правых частей возмущенной задачи двух тел была добавлена процедура считывания координат больших планет, Плутона и Луны с фонда координат больших планет DE431. Итак, задаем в процедурах интеграторов входные параметры, при которых осуществлялось сначала прямое, а затем обратное интегрирование. Далее по полученным данным вычисляли ошибку интегрирования. После этого выходные параметры процедуры интеграторов и вычисленная ошибка интегрирования записывались в файл и т.д. пока не получим результаты интегрирования для каждой заданной точности. Далее на основе полученных данных в файлах для каждого изучаемого нами интегратора строились необходимые графики в зависимости от поставленной задачи. 15 2 Результаты исследования эффективности интеграторов В данной главе приведены результаты исследования интеграторов Эверхарта, Гаусса– Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера на примере решения систем дифференциальных уравнений первого и второго порядков возмущенной и невозмущенной задачи двух тел. Перечисленные интеграторы тестировались на различных объектах Солнечной системы. Изменяя значения выбранных параметров в интеграторах, мы следили за тем, при каких значениях параметров интегратор получает более точные решения и за меньшее время. 2.1 Постановка задачи В эксперименте для изучения были выбраны три интегратора: Эверхарта, Гаусса– Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера. Перечисленные интеграторы тестировались на примере решения дифференциальных уравнений возмущенной и невозмущенной задачи двух тел. На начальном этапе при решении системы дифференциальных уравнений невозмущенной задачи двух тел сравнивали между собой два интегратора Эверхарта и Гаусса–Эверхарта 15 порядка на интервале времени 100 и на 1000 периодов астероида [5]. В этих же интеграторах проанализировали такой параметр, как число итераций и определили, каким образом его увеличение влияет на время работы программы и получаемую точность интегрирования. Интегрирование выполняется до тех пор, пока не будет достигнута сходимость или не будет достигнуто заданное число итераций. Согласно формуле (1.2.3), решение уравнений представляют собой неявные уравнения, поэтому они решаются итерационным способом. В методах Эверхарта и Гаусса–Эверхарта на каждой итерации вычисляется решение, затем находятся значения по формуле (1.2.6), потом уточняются коэффициенты bi по формуле (1.2.8) и т.д. до нахождения всех решений. В начале итерационного процесса, начальные значения и b задаются нулевыми. Для того чтобы обеспечить заданную локальную точность нужно уменьшить начальный шаг. Высокая точность приближений достигается уже на 2-й итерации, если выбранный шаг является оптимальным. Далее мы выяснили, как порядок системы дифференциальных уравнений влияет на эффективность интегратора Эверхарта на тех же интервалах. Затем рассмотрели выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса–Эверхарта. На следующем этапе при решении системы дифференциальных уравнений возмущенной задачи двух тел исследовались интеграторы Эверхарта и Гаусса–Эверхарта 15 порядка на интервале 100 16 оборотов. В данной задаче также рассматривался порядок системы уравнений интегратора Эверхарта и выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса– Эверхарта, как и в невозмущенной задаче. После сравнили между собой интеграторы Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера 27 порядка на 100 оборотов. И в конце выяснили, как влияет на эффективность изменение порядка интеграторов. Исследовались интеграторы Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера различных порядков от 15 до 27 на интервале 100 периодов исследуемого объекта. На всех графиках, которые будут представлены далее в данной работе, оси абсцисс соответствуют значения параметра быстродействия, а оси ординат – точности интегрирования. Под быстродействием будем понимать число обращений к процедуре правых частей. Возникает вопрос насколько целесообразно определять быстродействие числом обращений к процедуре правых частей. Данный выбор обусловлен тем, что в правых частях присутствует чтение координат больших планет из фонта, а обращение к файлам является самой длительной операцией. Точность интегрирования в настоящей работе для возмущенной и невозмущенной задачи определялась путем прямого и обратного интегрирования: dr ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (z 2 z1 ) 2 (2.1.1) где x1 , y1 , z1 – это начальные координаты астероида; x2 , y2 , z 2 – координаты астероида, полученные на начальный момент времени путем прямого и обратного интегрирования. В случае невозмущенной задачи двух тел также присутствует возможность сравнивать полученное решение с аналитическим решением. Однако в возмущенном движении нет такой возможности. 2.2 Объекты Для тестирования описанных в первой главе интеграторов на примере решения системы уравнений невозмущенной задачи двух тел были выбраны следующие объекты Солнечной системы: (532) Herculina [12], (4179) Toutatis [18], (394130) 2006 HY51 [14]. В табл. 1 для перечисленных астероидов представлены орбитальные характеристики, такие как эксцентриситет e, большая полуось a, наклонение i, долгота восходящего узла , аргумент перицентра и период обращения P. Именно эти объекты были выбраны исходя из значений своих эксцентриситетов 𝑒 с сайта Центра Малых Планет MPC (Minor Planet Center) [13] на момент времени 𝑡0 . 17 Таблица 1 – Орбитальные характеристики объектов на примере невозмущенной задачи двух тел Объекты 𝑡0 𝑒 𝑎, a. e. 𝑖, ° , ° ω, ° 𝑃, сут. (532) Herculina 16.02.2017 0.1756507 2.7735098 16.31234 107.54963 76.13778 1687.10 (4179) Toutatis 16.02.2017 0.6294368 2.5354461 0.44720 124.37189 278.71800 1474.61 (394130) 2006 HY51 31.07.2017 0.9690962 2.5981629 30.73525 42.20388 340.65959 1529.67 Из значений характеристик объектов (табл. 1) можно заметить, что Herculina является астероидом с наименьшим значением эксцентриситета по сравнению с остальными. По эксцентриситету из табл. 1 можно положить, что Herculina имеет орбиту движения близкую к круговой. Астероид Herculina был обнаружен в 1904 году в обсерватории Хайденберг. В ходе изучения данного объекта оказалось, что он является одним из крупнейших астероидов главного пояса. Следующий объект Toutatis является астероидом, сближающимся с Землей, орбита которого вытянута и наклонена на малый угол. Последнее сближение с Землей было в декабре 2012 года на расстояние 6 миллионов километров. Однако следующий раз астероид Herculina пролетит мимо Земли не раньше чем в ноябре 2069 года на расстоянии около 2 миллионов километров. И оставшийся объект 2006 HY51 имеет экстремально вытянутую орбиту и значительный наклон по сравнению с другими небесными телами из табл. 1. Для Земли он не является потенциально опасным, так как расстояние между орбитами астероида и Земли превышает 7,5 миллионов километров. Поскольку у этого астероида экстремально вытянутая орбита, и он вращается вокруг Солнца, то расстояние между Солнцем и 2006 HY51 изменяется в пределах от 12 до 762 миллионов километров. Далее для того чтобы протестировать интеграторы на примере решения системы дифференциальных уравнений возмущенной задачи двух тел использовались объекты, представленные в табл. 2: (532) Herculina, (9262) Bordovitsyna, (99942) Apophis [6,16], (3200) Phaethon [10,11,17], (465402) 2008 HW1, (394130) 2006 HY51. Для перечисленных объектов в табл. 2, также как и в табл. 1, представлены значения следующих параметров: эксцентриситет e, большая полуось a, наклонение i, долгота восходящего узла , аргумент перицентра и период обращения P. Следует отметить, что данные объекты выбирались по значению эксцентриситета, а также по каким-то своим характерным особенностям, но только уже из каталога Э. Боуэлла [7] на момент времени 𝑡0 . Например, Apophis был выбран из-за 18 приближения к Земле на очень близкое расстояние в 2029 году. Рассмотрим немного подробнее объекты, описанные в табл. 2. Объекты (532) Herculina (9262) Bordovitsyna (99942) Apophis (3200) Phaethon (465402) 2008 HW1 (394130) 2006 HY51 Таблица 2 – Орбитальные характеристики объектов на примере возмущенной задачи двух тел 𝑡0 𝑒 𝑎, a. e. 𝑖, ° , ° ω, ° 𝑃, сут. 04.09.2017 0.17556494 2.77366523 16.312127 107.540593 76.175046 04.09.2017 0.13934906 2.58614695 15.820772 5.979003 1.348114 04.09.2017 0.19150633 0.92261689 3.336813 204.059544 126.687367 04.09.2017 0.88993652 1.27119865 22.253210 265.230699 322.173601 04.09.2017 0.96059301 2.58499657 10.547258 128.449535 249.727248 04.09.2017 0.9695224 2.5950757 33.194998 40.787563 341.88319 1687 1519 323 523 1518 1530 Итак, просмотрев табл. 2 заметим, что в ней присутствуют два объекта из табл. 1 Herculina и 2006 HY51, но только на другой момент времени 𝑡0 . Полученные элементы орбиты на другой момент времени в табл. 2 почти не отличаются от тех, что получены в табл. 1. Поэтому подробно характеристики этих объектов рассматривать не будем, так как они были рассмотрены выше. Теперь изучим оставшиеся объекты из табл. 2. Объект Bordovitsyna имеет орбиту движения близкую к круговой и относится к главному поясу астероидов. Этот астероид обнаружили в 1973 и решением Международного астрономического союза присвоили объекту под номером 9262 имя Bordovitsyna в честь Т.В. Бордовицыной. Теперь на очереди из табл. 2 объект Apophis обнаруженный в 2004 году в Национальной обсерватории Китт-Пик. Из табл. 2 по значениям параметров эксцентриситета и наклонения можно увидеть, что астероид имеет орбиту движения близкую к круговой, которая имеет совсем незначительное наклонение. Этот объект привлекает к себе большой интерес тем, что в 2029 году, по всем источникам, он подлетит к Земле на очень близкое расстояние примерно на 38 тысяч километров. Следующий объект из табл. 2 Phaethon также является астероидом, сближающимся с Землей. В декабре 2017 года Phaethon сблизился с Землей на довольно близкое расстояние приблизительно 10 миллионов километров. Следующее сближение этого астероида с Землей ожидается также в декабре, но только уже в 2050 году. Благодаря своей вытянутой орбите и движению вокруг Солнца Phaethon пересекает орбиты некоторых больших планет, а также 19 приближается на довольно близкое расстояние к Солнцу. Данный объект был обнаружен в 1983 благодаря снимкам с инфракрасного космического спутника IRAS. И последний рассматриваемый объект 2008 HW1 из табл. 2 не является потенциально опасным астероидом, однако имеет экстремально вытянутую орбиту с небольшим наклонением. Из-за своей экстремально вытянутой орбиты и движению вокруг Солнца астероид имеет тесные сближения с Землей, одно из таких сближений планируется в 2025 году примерно на расстояние 16 миллионов километров. 2.3 Исследование эффективности интеграторов на примере невозмущенной задачи двух тел В данном разделе представлены результаты тестирования интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта в случае невозмущенного движения. Некоторые параметры интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта подверглись детальному изучению, такие как число итераций, класс системы дифференциальных уравнений и заданная точность. Заданная точность используется для выбора шага интегрирования по части переменных. По перечисленным параметрам выясняли, при каких значениях достигается наилучшая точность за меньшее время. 2.3.1 Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта в зависимости от числа итераций на разных интервалах времени Интеграторы Эверхарта и Гаусса–Эверхарта 15 порядка были изучены на примере невозмущенной задачи. На рис. 1 представлены результаты интегрирования для объектов из табл. 1 на 100 и на 1000 оборотов интеграторами Эверхарта и Гаусса–Эверхарта в зависимости от числа итераций (NI). Линии синего цвета относятся к интегратору Гаусса– Эверхарта, а красного цвета – к интегратору Эверхарта. Теперь разделим эти линии на сплошные и пунктирные. Сплошными линиями обозначим результаты интегрирования при использовании двух итераций, а пунктирными линиями – пяти. Подробно будут рассмотрены только результаты двух объектов Herculina и 2006 HY51 на 100 оборотов так, как для остальных объектов из табл. 1 на 100 оборотов получены аналогичные результаты, которые представлены на рис. А.1 а (приложение А). 20 Из полученных результатов можно заметить, что для объектов с круговой и не сильно вытянутой эллиптической орбитой, в данном случае рис. 1 а для объекта Herculina на 100 оборотов, интеграторы Эверхарта и Гаусса–Эверхарта незначительно отличаются друг от друга. Следует также обратить внимание на то, что увеличение числа итераций не влияет на эффективность интеграторов в данном случае. Совсем другой результат был получен для объектов с экстремально вытянутой орбитой. Из графика рис. 1 б для объекта 2006 HY51 на 100 оборотов астероида видно, что интегратор Гаусса–Эверхарта заметно эффективнее, чем интегратор Эверхарта, причем это прослеживается при использовании двух и пяти итераций. Однако в данном случае из графика 1 б заметим, что с увеличением числа итераций увеличивается время работы программы. Аналогичным образом были исследованы интеграторы для всех объектов из табл. 1, но только уже на 1000 оборотов, полученные результаты продемонстрированы в приложении А (рис. А.1 б и рис. А.2 а). Исследование показало, что полученные результаты на 1000 оборотов соответствуют результатам, полученным ранее на 100 оборотов. 21 а б Рисунок 1 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от числа итераций (NI) на 100 оборотов для объектов (532) Herculina (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере невозмущенной задачи двух тел 22 2.3.2 Исследование эффективности интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы Интегратор Эверхарта содержит параметр NCLASS, с помощью которого можно указать порядок используемой системы дифференциальных уравнений при интегрировании. Интегратор Эверхарта тестировался на примере решения системы дифференциальных уравнений первого и второго порядков невозмущенной задачи двух тел. На графиках показаны результаты, полученные при решении дифференциальных уравнений второго порядка (NCLASS=2) прерывистыми линиями, а сплошными линиями результаты, полученные при решении дифференциальных уравнений первого порядка (NCLASS=1). В итоге данного исследования были обнаружены весьма интересные результаты для астероидов (532) Herculina, (4179) Toutatis, (394130) 2006 HY51 из табл. 1. Хотя далее будут представлены графики с результатами только для двух объектов: на рис. 2 а для Herculina и на рис. 2 б для 2006 HY51 на 100 оборотов. Так как полученные результаты для объекта Toutatis на 100 оборотов аналогичны результатам объекта Herculina рис. 2 а на 100 оборотов астероида, то его результаты будут представлены в приложения А на рис. А.3 а. Аналогично были изучены все объекты из табл. 1 на 1000 оборотов, данные результаты показаны на рис. А.3 б и рис. А.4 а, б (приложение А). Итак, рассмотрим подробно результаты интегрирования, представленные на рис. 2 а для объекта Herculina на 100 оборотов. Из графика заметно, что интегратор Эверхарта при решении системы дифференциальных уравнений второго порядка заметно эффективнее, чем при решении уравнений первого порядка. Теперь изучим график для второго объекта 2006 HY51 рис. 2 б с экстремальным эксцентриситетом на 100 оборотов астероида. По полученным результатам, из графика на рис. 2 б можно утверждать, что и для этого объекта интегратор Эверхарта при решении системы дифференциальных уравнений второго порядка в случае невозмущенной задачи двух тел заметно эффективнее, чем первого. Результаты интегрирования для объекта (4179) Toutatis на 100 оборотов находятся в приложении А рис. А.3 а, так как получены схожие результаты с объектами Herculina и 2006 HY51. Аналогичное тестирование проводилось для всех астероидов из табл. 1, но только уже на 1000 оборотов. После этого мы решили сравнить графики для всех объектов из табл. 1 на 100 и на 1000 оборотов. В ходе сравнения выяснилось, что результаты, полученные из графиков, имеют не значительные отличия друг от друга. Таким образом, можно утверждать, что интегратор Эверхарта обладает заметной эффективностью при использовании системы дифференциальных уравнений второго порядка в случае невозмущенной задачи двух тел. 23 а б Рисунок 2 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Эверхарта RADA27 (E) в зависимоcти от порядка системы (NCLASS) уравнений на 100 оборотов для объектов (532) Herculina (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере невозмущенной задачи двух тел 24 2.3.3 Выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса– Эверхарта Модифицированный интегратор Гаусса–Эверхарта имеет параметр локальных ошибок (ERR), с помощью которого можно задавать шаг интегрирования по части переменных, т.е. или только по координатам, или только по компонентам скорости, или по всем уравнениям. Изучая, интегратор Гаусса–Эверхарта в случае невозмущенной задачи двух тел необходимо выяснить, как шаг интегрирования по части переменных влияет на эффективность его использования для объектов: (532) Herculina, (4179) Toutatis, (394130) 2006 HY51 из табл. 1. Далее на рис. 3 а, б буду представлены данные только объектов Herculina и 2006 HY51 на 100 оборотов, а результаты для Toutatis на 100 оборотов можно посмотреть в приложении А рис. А.5. На графиках сплошной черной линией показаны результаты при условии выбора шага только по компонентам скорости, синей пунктирной – по координатам, красной пунктирной – по всем уравнениям. Изучив полученные результаты на графиках рис. 3 а и б для объектов Herculina и 2006 HY51, мы обнаружили, что выбор шага разными методами оказывает несущественное влияние на эффективность интегратора Гаусса–Эверхарта. Поскольку из графиков для изучаемых объектов видно, что интегрирование по части переменных практически не отличается от результатов интегрирования по всем уравнениям. Из рис. А.5 в приложении А для астероида Toutatis видно, что интегратор Гаусса–Эверхарта имеет некоторый выигрыш в эффективности, если шаг интегрирования выбирать по компонентам скорости. Результаты, полученные для астероида Toutatis, отличаются от остальных, но незначительно, предположительно это связано с тем, что объект испытывает регулярные тесные сближения с планетами земной группы. 25 а б Рисунок 3 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 в зависимоcти от выбора шага интегрирования по части переменных на 100 оборотов для объектов (532) Herculina (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере невозмущенной задачи двух тел 26 2.4 Исследование эффективности интеграторов на примере возмущенной задачи двух тел Исследовалась эффективность интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта 15 порядка, а также Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера 27 порядка на примере возмущенной задачи двух тел. Тестирование заключалось в том, чтобы узнать при каких значениях параметров интеграторы получают более точные решения за кратчайшее время. В интеграторах Эверхарта и Гаусса–Эверхарта 15 порядка изменялись значения следующих параметров: число итераций, класс системы и заданная точность. А также при тестировании интеграторов Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера 27 порядка пришла идея сравнить, как с увеличением порядка этих интеграторов изменяется точность и время получения решения. 2.4.1 Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта в зависимости от числа итераций Исследование эффективности интеграторов 15 порядка Эверхарта и Гаусса–Эверхарта в текущей работе было продолжено, но уже в случае возмущенной задачи двух тел. В поставленном эксперименте осуществлялось тестирование двух выше озвученных интеграторов на 30 оборотов для объекта Apophis и на 100 оборотов для оставшихся объектов из табл. 2: Herculina, Bordovitsyna, Phaethon, 2008 HW1, 2006 HY51. Однако далее будут подробно разбираться только объекты Herculina и 2006 HY51 на рис. 4 а, б, т.к. полученные результаты для остальных объектов аналогичны и представлены в приложении Б рис. Б.1 а, б и рис. Б.2 а, б. Отметим тот момент, что в исследуемый интервал 30 оборотов для астероида Apophis входит тесное сближение с Землей, которое произойдет в апреле 2029 году. Поскольку именно этот объект был выбран из-за многочисленных сближений с Землей, то перед нами встала задача выяснить, какой из изучаемых интеграторов наиболее лучше справится с решением уравнений для объекта Apophis. В изучении интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта использовалась система дифференциальных уравнений первого порядка возмущенной задачи двух тел. Решая поставленную задачу, были получены результаты исследования характеристик точности и быстродействия интеграторов, которые представлены на рис. 4. Линиями синего цвета показаны результаты интегрирования интегратором Гаусса–Эверхарта, а красного – 27 интегратором Эверхарта. Разное число итераций выделено прерывистой (NI=2) и сплошной (NI=5) линиями. Проанализировав графики для всех объектов из табл. 2 можно сделать следующие выводы. На основе полученных данных для объектов с круговой и эллиптической орбитой, в частности для астероида Herculina на 100 оборотов (рис. 4 а), видно, что интегратор Гаусса– Эверхарта при использовании двух и пяти итераций имеет незначительный выигрыш эффективности по сравнению с интегратором Эверхарта. Из данных для объектов с экстремальной орбитой очевидно, что интегратор Гаусса–Эверхарта получает более точные результаты и за меньшее время, чем интегратор Эвертарта, но только при использовании двух итераций, например, для объекта 2006 HY51 на 100 оборотов рис. 4 б. Однако при использовании пяти итераций эффективность интегратора Гаусса–Эверхарта значительно уменьшается. 28 а б Рисунок 4 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от числа итераций (NI) на 100 оборотов для объектов (532) Herculina (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 29 2.4.2. Исследование эффективности интегратора Эверхарта в зависимости от порядка системы Следующей задачей стояло выяснить, какую систему дифференциальных уравнений лучше использовать в интеграторе Эверхарта 15 порядка для объектов Солнечной системы из табл. 2. Интегратор Эверхарта рассматривался на примере решения системы дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Кроме того, предполагалось сравнить между собой интеграторы Эверхарта и Гаусса–Эверхарта 15 порядка на эффективность при решении системы дифференциальных уравнений первого порядка. Стоит подчеркнуть, что модифицированный интегратор Гаусса–Эверхарта разработан пока только для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка. Возможно, если это окажется актуальным, то в дальнейшем автор продолжит модифицировать интегратор и появится возможность проводить исследования путем решения системы дифференциальных уравнений второго порядка. На всех графиках, полученных в данном разделе, линии синего цвета соответствуют интегратору Эверхарта, а черного – интегратору Гаусса–Эверхарта. Порядок системы уравнений показан сплошной (NCLASS=1) и прерывистой (NCLASS=2) линиями. На рис. 5 а, б представлены результаты для объектов Herculina и 2006 HY51, а графики с результатами для остальных астероидов из табл. 2 показаны в приложении Б рис. Б.3 а, б и рис. Б.4 а, б. Из рис. 5 а для объекта Herculina видно, что интегратор Эверхарта заметно эффективнее при использовании системы дифференциальных уравнений второго порядка. Аналогичный вывод можно сделать для всех объектов с круговой и эллиптической орбитой движения, так как этому свидетельствуют полученные результаты из приложения Б рис. Б.3 и рис. Б.4 для объектов с круговой и эллиптической орбитой: Bordovitsyna, Apophis, Phaethon. Рассмотрим следующий объект 2006 HY51 на рис. 5 б очевидно, что интегратор Эверхарта при использовании системы уравнений второго порядка эффективнее почти в два раза, чем при использовании системы уравнений первого порядка. Из результатов исследования интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта для объекта 2006 HY51 рис. 5 б и для других экстремальных объектов интегратор Гаусса–Эверхарта получил схожие результаты при решении системы уравнений первого порядка, с результатами, полученными, при решении системы уравнений второго порядка интегратором Эверхарта. Таким образом, можно предположить, что интегратор Гаусса–Эверхарта будет получать более точные данные за меньшее время, чем интегратор Эверхарта, при использовании системы дифференциальных уравнений второго порядка. 30 а б Рисунок 5 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от порядка системы уравнений (NCLASS) на 100 оборотов для объектов (532) Herculina (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 31 2.4.3 Выбор шага интегрирования по части переменных в интеграторе Гаусса– Эверхарта На следующем этапе исследования требовалось определить, как влияет выбора шага интегрирования по части переменных на эффективность интегратора Гаусса–Эверхарта на примере решения возмущенной задачи двух тел. Вообще шаг интегрирования в Гауссе– Эверхарта контролируется величиной последнего члена формулы (1.2.3). Для выбора шага интегрирования используется заданная точность (ERR). Этот параметр является массивом, в котором и задается точность по части переменных. В данном эксперименте шаг интегрирования в интеграторе Гаусса–Эверхарта задавался или только по координатам, или только по компонентам скорости, или по всем уравнениям. В текущей задаче исследования участвует интегратор Гаусса–Эверхарта 15 порядка, а также шесть объектов Солнечной системы из табл. 2: (532) Herculina, (9262) Bordovitsyna, (99942) Apophis, (3200) Phaethon, (465402) 2008 HW1, (394130) 2006 HY51. Однако подробно рассмотрим только объекты Herculina и 2006 HY51, поскольку остальные полученные результаты аналогичны, и приведены в приложении Б рис. Б.5 а, б и рис. Б.6 а, б. На всех графиках в этом разделе прерывистой линии красного цвета соответствуют результаты интегрирования при условии, что шаг интегрирования выбирался по всем компонентам, сплошной линии черного цвета – только по компоненте скорости, прерывистой линии синего цвета – только по координатам. В результате работы полученные данные из рис. 6 а для объекта Herculina, указывают на то, что на примере решения возмущенной задачи, как и в случае невозмущенной задачи двух тел выбор шага интегрирования разными методами в интеграторе Гаусса–Эверхарта не влечёт за собой значительного выигрыша в эффективности. Из рис. 6 б для объекта 2006 HY51 видно, что текущий график немного отличается от остальных тем, что в случае выбора шага интегрирования по всем уравнениям интегратор Гаусса–Эверхарта заметно эффективнее. Можно предположить, что это связано со сложной, вытянутой орбитой. И в этом случае недостаточно выбирать шаг только по части переменных. 32 а б Рисунок 6 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от выбора шага интегрирования по части переменных на 100 оборотов для объектов (532) Herculina (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 33 2.4.4 Сравнительная характеристика интеграторов Гаусса–Эверхарта и Грэгга– Булирша–Штера Одной из основных задач в данной работе было выяснить, какой из интеграторов Гаусса–Эверхарта или Грэгга–Булирша–Штера за кратчайшее время получит наиболее точные результаты в случае возмущенной задачи двух тел. Получение необходимых данных осуществлялось с помощью интеграторов Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера 27 порядка на примере решения системы дифференциальных уравнений первого порядка. В качестве изучаемых объектов были выбраны шесть астероидов из табл. 2, но в дальнейшем будут рассмотрены только Herculina и 2006 HY51, т.к. остальные объекты имеют аналогичные результаты. Для исследования движения объектов были выбраны интервалы времени, на которых проводилось исследование: для Apophis на 30 оборотов астероида, для всех оставшихся объектов из табл. 2. на 100 оборотов. На рис. 7 линии зеленого цвета соответствуют интегратору Грэгга–Булирша–Штера, а линии синего цвета – интегратору Гаусса–Эверхарта. Сначала рассмотрим объект Herculina с орбитой близкой к круговой. Полученные для него результаты представлены на рис. 7 а, на котором можно наглядно увидеть, что интегратор Гаусса–Эверхарта имеет явный выигрыш в эффективности, по сравнению с интегратором Грэгга–Булирша–Штера. Следующим этапом рассмотрим случай с экстремальным объектом 2006 HY51. Из графика 7 б можно заметить, что интегратор Гаусса–Эверхарта получает лучшую точность результатов за меньшее время, чем интегратор Грэгга–Булирша–Штера. Аналогичные результаты были получены и для других объектов из табл. 2, с ними можно ознакомиться в приложении Б рис. Б.7 а, б и рис. Б.8 а, б. В ходе исследования было принято решение проанализировать интеграторы ГауссаЭверхарта и Грэгга–Булирша–Штера не только 27 порядка, а все порядки, начиная с 15 до 27. Тестирование интеграторов осуществлялось при увеличении порядка интегратора на единицу, начиная с 15 и заканчивая 27 порядком. Были исследованы шесть объектов Солнечной системы, но подробно представлены будут только объекты Herculina и 2006 HY51 из шести на рис. 8 а и б. Графики с результатами оставшихся объектов находятся в приложении Б рис. Б.9 а, б и рис. Б.10 а, б. На графиках точки синего цвета соответствуют интегратору Гаусса-Эверхарта, а зеленые – Грэгга–Булирша–Штера. Итак, из рис. 8 а и 8 б для объектов Herculina и 2006 HY51 можно разглядеть, как с увеличением порядка интеграторов изменяется время получения определённой точности интегрирования. Из графика 8 а, которому соответствует объект Herculina, видим, что 34 интегратор Гаусса–Эверхарта получает более точные результаты интегрирования за меньшее время, чем интегратор Грэгга–Булирша–Штера. Рассмотрим случай объекта с эксцентричной орбитой 2006 HY51 (рис. 8 б). Полученные результаты подтверждают тот факт, что интегратор Гаусса–Эверхарта имеет большую эффективность, чем интегратор Грэгга– Булирша–Штера. Вместе с этим хотелось бы подчеркнуть результаты, полученные для объекта Apophis на 30 оборотов в приложении Б (рис. Б.7 б и рис. Б.9 б) при тестировании эффективности интеграторов Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера в случае возмущенной задачи двух тел. Из графиков видно, что интегратор Гаусса–Эверхарта получает более точные результаты за меньшее время. 35 а б Рисунок 7 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) и Грэгга–Булирша–Штера (GBS) 15 порядка на интервале 100 оборотов для объектов (532) Herculina (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 36 а б Рисунок 8 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) и Грэгга–Булирша–Штера (GBS) 15 – 27 порядков на интервале 100 оборотов для объектов (532) Herculina (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 37 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе данной работы была исследована эффективность трех интеграторов: Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера. В результате проведенных экспериментов были сделаны следующие выводы. 1. При сравнении интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел было выяснено, что значительный выигрыш в эффективности имеет интегратор Гаусса–Эверхарта, но только для объектов с экстремальным эксцентриситетом. 2. Был проведен подобный эксперимент, но только на примере возмущенной задачи двух тел. Были получены аналогичные результаты, однако с небольшим отличием: интегратор Гаусса–Эверхарта имеет значительный выигрыш в эффективности, но только при использовании двух итераций. 3. При изучении интегратора Эверхарта было установлено, что при интегрировании лучше использовать систему дифференциальных уравнений второго порядка на примере невозмущенной задачи двух тел. Подобный эксперимент был проведен на примере возмущенной задачи двух тел, в котором получили точно такой же вывод, как и в невозмущенной задаче двух тел. Наряду с этим хотелось бы из полученных результатов отметить следующее, что в интеграторе Гаусса– Эверхарта явно не хватает возможности для решения системы дифференциальных уравнений второго порядка. Поскольку можно предположить, что с появлением такой возможности интегратор Гаусса–Эверхарта получит более точные результаты за меньшее время, чем интегратор Эверхарта. 4. Далее мы определили, что выбор шага разными методами оказывает несущественное влияние на эффективность интегратора Гаусса–Эверхарта на примере возмущенной и невозмущенной задачи двух тел. 5. В результате дальнейшего изучения Гаусса–Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера на примере возмущенной задачи двух тел определили, что интегратор Гаусса– Эверхарта получает более точные данные за меньшее время, чем интегратор Грэгга–Булирша–Штера. Таким образом, из полученных выводов становится очевидно, что модифицированный интегратор Гаусса–Эверхарта является наиболее эффективным по 38 сравнению с другими рассмотренными интеграторами: Эверхарта и Грэгга–Булирша–Штера. Вместе с этим хотелось бы отметить, что наиболее оптимальное решение получается при использовании двух итераций; с увеличением числа итераций увеличивается время работы программы, следовательно, эффективность программы уменьшается. Результаты, полученные при анализе порядка системы уравнений, показали, что эффективнее всего использовать систему дифференциальных уравнений второго порядка в интеграторе Эверхарта. Также по полученным результатам удалось разглядеть, что интегратор Гаусса– Эверхарта при решении системы дифференциальных уравнений первого порядка имеет результаты, аналогичные результатам интегратора Эверхарта при решении системы дифференциальных уравнений первого порядка. Выбор шага разными методами оказывает несущественное влияние на эффективность интегратора Гаусса–Эверхарта. 39 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Авдюшев В. А. Интегратор Гаусса–Эверхарта // Вычислительные технологии. – 2010. –Т. 15, № 4. –С. 31–47. 2. Авдюшев В. А. Численное моделирование орбит небесных тел. Томск. Издательский Дом Томского Государственного университета. –2015. –С. 151–161. 3. Борисов В. Г. Модифицированная версия интегратора Гаусса Эверхарта // Вестн. Кемеров. гос. ун-та. – 2015. – Т. 5, № 2 (62). – С. 38–42. 4. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы /. М.: Наука, 1968. – 413 с. 5. Переворочаева Е. А. Исследование эффективности использования различных параметров метода Эверхарта в задачах астероидной динамики // Физика космоса: Тр. 47 Междунар. студ. науч. конф. Екатеринбург, 29 янв.-2 февр. 2018 г. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2018. –С. 177–178. 6. Amato D., Baù G., Bombardelli C. Accurate orbit propagation in the presence of planetary close encounters // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2017. –Vol. 470, is. 2. –P. 2079–2099. 7. Bowell E., Muinonen K., Wasserman L. H. A public-domain asteroid data base. In Asteroids, Comets, Meteors, Kluwer, Dordrecht, Netherlands. – 1994. –P. 477–481. 8. Butcher J. C. Implicit Runge–Kutta Processes // Math. Comput. –1964. –Vol. 18. –P. 9. Everhart E. A. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits // Cel. Mech. 50–64. 1974. –Vol. 10. –P. 35–55. 10. Galushina T. Yu., Ryabova G. O, Skripnichenko P. V. The force model for asteroid (3200) Phaethon // Planetary and Space Science. 2015. –Vol. 118. –P. 296–301. 11. Jewitt D. Phaethon Near Earth // HST Proposal id.15343. Cycle 25. 08/2017. 12. Michalowski T. A new model of the asteroid 532 Herculina // Astronomy and Astrophysics. 1996. – Vol. 309. – P. 970–978. 13. Minor Planet Center [Electronic resource] / Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics. – Electronic data. – [S. l., s. a]. – URL:http://www.minorplanetcenter.net/db_search (access date: 22.10.2016) 14. Nugent C. R., Mainzer A., Masiero J., Grav T., Bauer J. The Yarkovsky Drift's Influence on NEAs: Trends and Predictions with NEOWISE Measurements // The Astronomical Journal. 2012. –Vol. 144. –P. 75–81. 40 15. Folkner W. M., Williams J. G., Boggs D. H., Park R. S., Kuchynka P. The Planetary and Lunar Ephemerides DE430 and DE431 // IPN Progress Report 42–196, 02/2014. 16. Wlodarczyk I. Possible impact solutions of asteroid (99942) Apophis // Bulgarian Astronomical Journal. 2017. –Vol. 27. –P. 89. 17. Ye Q.-Z. Active Asteroid (3200) Phaethon during its unusually close approach to Earth // HST Proposal id.15357. Cycle 25. 08/2017. 18. Zheng C., Ping J., Wang M. Hierarchical classification for the topography analysis of Asteroid (4179) Toutatis from the Chang'E-2 images // Icarus. 2016. – Vol. 278. – P. 119–127. 41 ПРИЛОЖЕНИЕ А Исследование эффективности интеграторов Эверхарта и Гаусса–Эверхарта на примере невозмущенной задачи двух тел а б Рисунок А.1 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от числа итераций (NI) на 100 оборотов для объекта (4179) Toutatis (а) и на 1000 оборотов для объекта (532) Herculina (б) на примере невозмущенной задачи двух тел 42 а б Рисунок А.2 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от числа итераций (NI) на 1000 оборотов для объектов (4179) Toutatis (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере невозмущенной задачи двух тел 43 а б Рисунок А.3 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Эверхарта RADA27 (E) в зависимости от порядка системы уравнений (NCLASS) на 100 оборотов для объекта (4179) Toutatis (а) и на 1000 оборотов для объекта (532) Herculina (б) на примере невозмущенной задачи двух тел 44 а б Рисунок А.4 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Эверхарта RADA27 (E) в зависимости от порядка системы уравнений (NCLASS) на 1000 оборотов для объектов (4179) Toutatis (а) и (394130) 2006 HY51 (б) на примере невозмущенной задачи двух тел 45 Рисунок А.5 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимоcти от выбора шага интегрирования по части переменных на 100 оборотов для объекта (4179) Toutatis на примере невозмущенной задачи двух тел 46 ПРИЛОЖЕНИЕ Б Исследование эффективности интеграторов Эверхарта, Гаусса–Эверхарта и Грэгга– Булирша–Штера на примере возмущенной задачи двух тел а б Рисунок Б.1 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимоcти от числа итераций (NI) на 100 оборотов для объекта (9262) Bordovitsyna (а) и на 30 оборотов для объекта (99942) Apophis (б) на примере возмущенной задачи двух тел 47 а б Рисунок Б.2 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от числа итераций (NI) на 100 оборотов для объектов (3200) Phaethon (а) и (465402) 2008 HW1 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 48 а б Рисунок Б.3 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от порядка системы уравнений (NCLASS) на 100 оборотов для объекта (9262) Bordovitsyna (а) и на 30 оборотов для объекта (99942) Apophis (б) на примере возмущенной задачи двух тел 49 а б Рисунок Б.4 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов Эверхарта RADA27 (E) и Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от порядка системы уравнений (NCLASS) на 100 оборотов для объектов (3200) Phaethon (а) и (465402) 2008 HW1 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 50 а б Рисунок Б.5 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от выбора шага интегрирования по части переменных на 100 оборотов для объекта (9262) Bordovitsyna (а) и на 30 оборотов для объекта (99942) Apophis (б) на примере возмущенной задачи двух тел 51 а б Рисунок. Б.6 – Характеристики точность-быстродействие интегратора Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) в зависимости от выбора шага интегрирования по части переменных на 100 оборотов для объектов (3200) Phaethon (а) и (465402) 2008 HW1 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 52 а б Рисунок Б.7 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов 27 порядка Гаусса– Эверхарта GAUSS_32 (GE) и Грэгга–Булирша–Штера (GBS) на интервале 100 оборотов для объекта (9262) Bordovitsyna (а) и на 30 оборотов для объекта (99942) Apophis (б) на примере возмущенной задачи двух тел 53 а б Рисунок Б.8 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов 27 порядка Гаусса– Эверхарта GAUSS_32 (GE) и Грэгга–Булирша–Штера (GBS) на интервале 100 оборотов для объектов (3200) Phaethon (а) и (465402) 2008 HW1 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 54 а б Рисунок Б.9 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов 15–27 порядков Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) и Грэгга–Булирша–Штера (GBS) на интервале 100 оборотов для объекта (9262) Bordovitsyna (а) и на 30 оборотов для объекта (99942) Apophis (б) на примере возмущенной задачи двух тел 55 а б Рисунок Б.10 – Характеристики точность-быстродействие интеграторов 15–27 порядков Гаусса–Эверхарта GAUSS_32 (GE) и Грэгга–Булирша–Штера (GBS) на интервале 100 оборотов для объектов (3200) Phaethon (а) и (465402) 2008 HW1 (б) на примере возмущенной задачи двух тел 56 Отчет о проверке на заимствования №1 Автор: [email protected] / ID: 5442381 Проверяющий: ([email protected] / ID: 5442381) Отчет предоставлен сервисом «Антиплагиат»- http://www.antiplagiat.ru ИНФОРМАЦИЯ О ДОКУМЕНТЕ ИНФОРМАЦИЯ ОБ ОТЧЕТЕ № документа: 15 Начало загрузки: 08.06.2018 14:22:34 Длительность загрузки: 00:00:02 Имя исходного файла: Perevorochaeva_547b Размер текста: 2946 кБ Cимволов в тексте: 63239 Слов в тексте: 7922 Число предложений: 533 Последний готовый отчет (ред.) Начало проверки: 08.06.2018 14:22:37 Длительность проверки: 00:00:04 Комментарии: не указано Модули поиска: ЗАИМСТВОВАНИЯ ЦИТИРОВАНИЯ ОРИГИНАЛЬНОСТЬ 3,46% 0% 96,54% Заимствования — доля всех найденных текстовых пересечений, за исключением тех, которые система отнесла к цитированиям, по отношению к общему объему документа. Цитирования — доля текстовых пересечений, которые не являются авторскими, но система посчитала их использование корректным, по отношению к общему объему документа. Сюда относятся оформленные по ГОСТу цитаты; общеупотребительные выражения; фрагменты текста, найденные в источниках из коллекций нормативно-правовой документации. Текстовое пересечение — фрагмент текста проверяемого документа, совпадающий или почти совпадающий с фрагментом текста источника. Источник — документ, проиндексированный в системе и содержащийся в модуле поиска, по которому проводится проверка. Оригинальность — доля фрагментов текста проверяемого документа, не обнаруженных ни в одном источнике, по которым шла проверка, по отношению к общему объему документа. Заимствования, цитирования и оригинальность являются отдельными показателями и в сумме дают 100%, что соответствует всему тексту проверяемого документа. Обращаем Ваше внимание, что система находит текстовые пересечения проверяемого документа с проиндексированными в системе текстовыми источниками. При этом система является вспомогательным инструментом, определение корректности и правомерности заимствований или цитирований, а также авторства текстовых фрагментов проверяемого документа остается в компетенции проверяющего. № Доля в отчете Доля в тексте Источник Ссылка Актуален на Модуль поиска Блоков в отчете Блоков в тексте [01] 1,05% 1,26% 30_11_Disser_Letner.pdf https://disser.spbu.ru 25 Ноя 2016 Модуль поиска Интернет 10 11 [02] 0,42% 0,88% полный текст http://ict.nsc.ru 18 Июл 2017 Модуль поиска Интернет 7 13 [03] 0,38% 0,38% http://keldysh.ru/e-biblio/lidov/ http://keldysh.ru 24 Дек 2017 Модуль поиска Интернет 5 5 Еще источников: 8 Еще заимствований: 1,6%
