оригинальный файл 434.6 Кб

Самостоятельная работа №2
Решение систем уравнений методом Гаусса
Цель работы: овладеть методом Гаусса при решении систем линейных уравнений
Студент должен:
Знать:
 символику и формы записи систем линейных уравнений
 что такое совместная и несовместная система уравнений
 методы решения СЛАУ(метод Гаусса)
Уметь:
 применять метод Гаусса
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. В каком случае система имеет единственное решение?
2. В каком случае система имеет бесконечное множество решений?
3. В чем достоинство метода Гаусса по сравнению с другими методами?
Форма выполнения задания: решение задач (письменно)
Время выполнения 45 мин
Основной теоретический материал
Метод Гаусса. Этот способ заключается в обнулении элементов основной расширенной
матрицы системы уравнений, находящихся под главной диагональю.
Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с
помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной
системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по
номеру), находятся все переменные системы
Алгоритм метода Гаусса
1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу
системы;
2. Приводим матрицу к "треугольному" виду;
3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем
вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную
подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем
базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные
значения;
Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем
следующие два свойства определителей:
Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какойлибо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы
параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.
Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее
определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина
определителя остается неизменной.
На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при
неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к
виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули:
На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.
Решение типовых заданий
Решить систему трех линейных уравнений методом Гаусса
Ответ: х=1, y=2, z=3.
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при
во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них
первую строчку, умноженную на
и
, соответственно:
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку,
умноженную на :
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим
первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
из третьего;
из второго, подставив полученное
из первого, подставив полученные и .
Ответ: (2; 3; -1).
Решить самостоятельно системы линейных уравнений по вариантам: 10 вариантов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Оформить
отчет
Требования к оформлению самостоятельной работы
Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради
По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при
приеме дифференцированного зачета.
Шкала оценки образовательных достижений
Процент результативности
(правильных ответов)
90-100
80-89
70-79
менее 70
Оценка уровня подготовки
Балл (оценка)
Вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Интернет ресурсы
http://math1.ru/education/sys_lin_eq/gauss.html
http://www.bestreferat.ru/referat-180751.html