Построение составной формулы Гаусса

Построение составной формулы Гаусса
Пусть p — количество узлов в формуле Гаусса;
m — количество разбиений промежутка интегрирования [a, b], h = (b − a)/m, точки разбиения ai = a + ih, i = 0, 1, ..., m, так что am = b, mp = n.
Тогда
Zb
f (x)dx =
p
m−1
XX
Bj f
i=0 j=1
m−1
X
f (x)dx =
i=0
a
h
≈
2
ai +h
m−1
X Z
i=0
ai
h
h
tj + ai +
2
2
!
h
=
2
h
2
Z1
f
h
h
t + ai +
2
2
!
dt ≈
−1
p
m−1
XX
Bj f
i=0 j=1
!
h
h
tj + a + (2 i + 1)
.
2
2
Здесь Bj , tj — коэффициенты и узлы квадратурной формулы Гаусса.
Для реализации алгоритма метода механических квадратур необходимо получить выражения для Ak , xk в формуле
Zb
f (x)dx ≈
a
n
X
Ak f (xk ).
k=1
Очевидно, что коэффициенты вычисляются следующим образом:
h
h
h
B1 , A2 = B2 , . . . , Ap = Bp ,
2
2
2
h
h
h
Ap+1 = B1 , Ap+2 = B2 , . . . , A2p = Bp ,
2
2
2
h
h
h
A(m−1)p+1 = B1 , A(m−1)p+2 = B2 , . . . , Amp = Bp ,
2
2
2
A1 =
h
то есть Aip+j = Bj , i = 0, . . . , m − 1, j = 1, . . . , p.
2
Узлы квадратурной формулы:
h
h
tj + a + (2i + 1) , i = 0, . . . , m − 1, j = 1, . . . , p.
2
2
Напомним квадратурные формулы Гаусса для p = 2 и для p = 3.
!
!
R1
1
1
f (t)dt ≈ f − √ +f √ ,
3
3
−1
r !
r !
R1
5
3
8
5
3
f (t)dt ≈ f −
+ f (0) + f
.
9
5
9
9
5
−1
xip+j =
1