Метод Гаусса

Вычислительная математика
Решение систем линейных
алгебраических уравнений
Краткие теоретические сведения
 Пусть имеется система линейных уравнений
a11x1+a12x2+…+a1nxn=d1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=d2,
(1)
an1x1+an2x2+…+annxn=dn.
 Систему (1) можно записать в матричном
виде
Ax=d.
(2)
 Здесь А – матрица коэффициентов левых
частей системы (1), а x и d – два n-мерных
вектора
Метод Гаусса
 Метод Гаусса, или метод последовательного исключения
неизвестных состоит из двух этапов: прямого хода и обратной
подстановки. При прямом ходе система приводится к
специальному – треугольному – виду, либо выясняется, что она
несовместна или имеет бесконечно много решений. Прямой ход
выполняется как последовательность шагов, их не более n–1,
где n – порядок системы. Задача каждого шага – исключение из
системы очередного неизвестного.
 Предположим, что в системе (1) коэффициент a11 не равен
нулю. Если бы это было не так, но зато aℓ1≠0, то мы поменяли
бы местами 1-е и ℓ-е уравнения.
 Составим отношения
ℓi1= ai1 a11, i=2, 3, …, n,
называемые множителями 1-го шага; коэффициент a11 при
этом называется главным элементом 1-го шага. Умножая 1-е
уравнение соответственно на ℓ21, ℓ31, …, ℓn1, вычтем его из 2-го,
3-го, ...., n-го.
Метод Гаусса
 В результате придем к системе вида
a11x1+a12x2 +…+ a1nxn=d1,
a22(1)x2+…+a2n(1)xn=d2(1),
………………………………
an2(1)x2+…+ann(1)xn=dn(1),
имеющей те же решения, что и система (1)
 Коэффициенты новой системы вычисляются по формулам:
aij(1)=aij-ℓi1a1j, i, j=2, 3, …, n,
(3)
di(1)=di-ℓi1di, i=2, 3, …, n.
 Первый шаг прямого хода закончен. Уравнения со 2-го по n-е
составляют систему порядка n–1, в которой нет неизвестного
xоно исключено, с чем и связано одно из названий метода.
Метод Гаусса
 Может случиться, что в новой системе появилось
уравнение, в котором все коэффициенты левой части
равны нулю. Если правая часть такого уравнения
ненулевая, то система, очевидно, несовместна. Если
же и правая часть равна нулю, то такое уравнение
можно удалить из системы; в результате число
уравнений станет меньше n.
 Если несовместных уравнений в системе нет, то
можно перейти ко второму шагу. Будем считать, что
коэффициент a22(1)≠0; в противном случае мы
переставили бы 2-е уравнение с одним из
нижележащих, именно с тем, в котором присутствует
x 2.
Метод Гаусса
 Составляем множители 2-го шага:
ℓi2=ai2(1)/a22(1), i=3, 4, …, n.
 Коэффициент a22(1) называется главным элементом второго
шага. Вычитая из 3-го, 4-го, ..., n-го уравнений 2-е, умноженное
соответственно на ℓ32, ℓ42,…,ℓn2, получим
a11x1+a12x2 +a13x3+…+ a1nxn=d1,
a22(1)x2+a23(1)x3+…+a2n(1)xn=d2(1),
a33(2)x3+…+a3n(2)xn=d3(2),
………………………………
an3(2)x3+…+ann(2)xn=dn(2).
 Для коэффициентов справедливы соотношения, аналогичные
формулам (3):
aij(2)=aij-ℓi2a1j, i, j=3, 4, …, n,
(4)
di(2)=di(1)-ℓi2di(1), i=3, 4, …, n.
 Уравнения новой системы, кроме первых двух, составляют
систему порядка n–2, в которой нет неизвестных x1 и x2;
неизвестное x2 исключено на втором шаге. Продолжая таким
образом, мы или установим, что система несовместна, или
после исключения k-гo неизвестного (1<k<n) не найдем среди
последних n–k уравнений ни одного с ненулевыми
коэффициентами, и это означает, что решений у системы
бесконечно много, или, наконец, после n–1 шагов получим
треугольную систему уравнений:
a11x1+a12x2 +a13x3+…+ a1nxn=d1,
a22(1)x2+a23(1)x3+…+a2n(1)xn=d2(1),
a33(2)x3+…+a3n(2)xn=d3(2),
(5)
……………………………………
ann(n-1)xn=dn(n-1).
 Прямой ход метода Гаусса закончен.
 Коэффициенты a11, a22(1),…, an-1,n-1(n-2), будучи
главными элементами соответствующих шагов, не
равны
нулю
согласно
определению.
Для
невырожденной матрицы А не равен нулю и
коэффициент ann(n-1).
 Обратной подстановкой называется следующий этап
– решение треугольной системы (5). Из последнего
уравнения делением на ann(n-1) получаем значение
неизвестного xn. Подставляя его в (n–1)-е уравнение,
можем определить значение xn-1. Поднимаясь таким
образом по системе, последовательно найдем
значения всех неизвестных.
Метод Гаусса с выбором главного
элемента
 В методе Гаусса с выбором главного элемента
среди элементов amk(k) m≥k находят главный, то есть
наибольший по модулю в k-м столбце и
перестановкой строк переводят его на главную
диагональ, после чего делают исключения. Такая
схема
метода
Гаусса
позволяет
уменьшить
погрешность округления. Метод Гаусса с выбором
главного элемента надежен и прост.
 Погрешность округления можно уменьшить, если
выбирать в каждом цикле элемент, наибольший по
модулю во всей матрице. Однако точность при этом
возрастает не сильно по сравнению со случаем
выбора главного элемента, а расчет заметно
усложняется, так как требует не только перестановки
строк, но и столбцов.