МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Факультет землевпорядкування Кафедра геодезії Методичні вказівки для виконання лабораторної роботи № 1 на тему "Математична обробка ряду рівноточних геодезичних вимірів однієї величини" з дисципліни "Математична обробка геодезичних вимірів" для студентів ІІ курсу з спеціальності 6.070900 землевпорядкування та кадастр Одеса 2016 ББК УДК Укладачі: кандидат технічних наук, доцент В.О. Артемов, кандидат економічних наук, доцент О.С. Малащук Рецензент: доктор технічних наук, професор Л.Ф. Вікуліна Викладено основні положення математичної статистики в обсязі достатньому для обробки результатів рівноточних геодезичних вимірів, похибки яких відповідають нормальному закону розподілу випадкових величин, а також методів і способів розрахунків, що дозволяють отримувати при економних витратах обчислювальної роботи, найкращі кінцеві результати. Студенти виконуючи обробку результатів вимірювань, одержують необхідні основи знань для подальшого оволодіння теорією і практикою математичної обробки геодезичних вимірів. Розглянуто та затверджено на засіданні методичної комісії факультету землевпорядкування. Протокол № від 2 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА НА ТЕМУ: Математична обробка ряду рівноточних геодезичних вимірів однієї величини Мета роботи: 1. Ознайомитись з теоретичними засадами розрахунків, що пов’язані із застосуванням в геодезії математичної обробки результатів рівноточних вимірів. 2. Отримати практику в застосуванні формул і алгоритму обробки результатів рівноточних вимірів. Матеріальне забезпечення: Персональні ЕОМ, мікрокалькулятори, таблиці. 3 ЗМІСТ Вступ 5 1. Математичне обґрунтування обробки рівно точних вимірів однієї величини………………………………………………… 7 2. Алгоритм обробки рівно точних вимірів……………………... 8 3. Приклад моделювання і обробки рівно точних вимірів……... 11 4. Контрольні питання…………………………………………….. 14 Література…………………...…………………………………… 15 4 ВСТУП Вимірювання мають дуже важливе значення у всіх галузях науки і техніки. У геодезії вони складають основний зміст усіх видів робіт. Усі величини, з якими доводиться зустрічатися в геодезичній практиці, можна поділити на: – виміряні; – обчислені, тобто отримані шляхом розрахунків, як функції виміряних величин. По точності результати вимірювань діляться на: – рівноточні; – нерівноточні. До рівноточних вимірів відносять однорідні результати вимірювань, отримані одним і тим же приладом ( або різними одного класу точності ), або рівноточним методом, за однакових умов, одним виконавцем. Існування істинного значення вимірюваної величини вважається невід'ємною умовою будь-якого виміру. Результати вимірювань, як правило, відмінні від істинного значення. Різниця між виміряним та точним значенням якоїсь величини називається істинною погрішністю вимірювання: = a − X, (1) де – істинна ( абсолютна ) погрішність вимірювання; X – точне ( істинне ) значення вимірюваної величини; а – виміряне значення якоїсь величини. Відхилення результату вимірювань будь-якої величини від її істинного значення (тобто погрішності вимірювань) виникають під час будь-яких вимірювань внаслідок змін різних умов, що впливають на результат вимірювання та які неможливо врахувати у кожному окремому випадку. Такими умовами є прилад, об'єкт вимірювання, органи чуття спостерігача, зовнішні умови тощо. Вплив цих чинників зумовлює різницю як між результатами вимірювань, так і між ними та їх точними значеннями. За характером дії перелічених умов погрішності вимірювань поділяють на: – погрішності грубі; – погрішності систематичні; – погрішності випадкові. Знак погрішності встановлюють за правилом: виміряне значення мінус істинне. Погрішність груба - це величина, яка виникає як наслідок недбалого проведення вимірювального процесу і значно перевищує встановлені допуски. Погрішність систематична – це величина, яка впливає на результат вимірювання з одним знаком (наприклад, погрішність компарування 5 вимірної стрічки). Погрішності систематичні небажані, і виявити їх можна тільки добором спеціальних методик і досліджень. Під час повторних вимірювань величина систематичної погрішності буде зберігатися сталою, якщо будуть зберігатися умови, що породжують її виникнення. Погрішності систематичні не мають компенсаційних властивостей, і їх потрібно виявляти та вилучати з результатів вимірювань введенням поправок або відповідно розробленими способами вимірювань. Погрішності систематичні можуть мати і змінний характер – це так звані періодичні погрішності. Наприклад, зміна довжини мірної стрічки залежно від температури. Погрішність випадкова – це погрішність, яка змінюється випадковим чином при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини. Випадкова погрішність є в усіх вимірюваннях, і вилучити їх неможливо, але послабити їх вплив на результати вимірювання можна проведенням додаткових (багаторазових) вимірювань. 6 1.МАТЕМАТИЧНЕ ОБҐРУНТУВАННЯ ОБРОБКИ РІВНОТОЧНИХ ВИМІРІВ ОДНІЄЇ ВЕЛИЧИНИ Дослідження великої кількості ряду вимірювань дозволило встановити такі властивості випадкових погрішностей: 1. Випадкові погрішності по абсолютній величині не перевищують визначеної границі. 2. Позитивні і від'ємні випадкові погрішності, рівні по абсолютній величині, зустрічаються однаково часто у великому ряді вимірювань. 3. Середнє арифметичне із значень випадкових погрішностей при необмеженому зростанні числа вимірювань має границю – нуль, тобто: lim n =0 (2) *) [ ] – знак суми введений Гаусом 4. Малі по абсолютній величині випадкові погрішності зустрічаються частіше, ніж великі. Закон розподілу випадкових погрішностей відповідно до вказаних властивостей називають “нормальним” або законом Гауса. Про точність можна робити висновки по розсіюванню результатів вимірювань, тобто чим більш відрізняються між собою результати, тим нижче точність вимірювань. Критерієм точності вимірювань, тобто кількісною характеристикою точності вимірювань може служити: – середня погрішність; – ймовірна погрішність; – середня квадратична погрішність. Середнє арифметичне з абсолютних величин випадкових погрішностей називають середньою погрішністю, позначають буквою та обчислюють або визначають за формулою: = , i n (3) де – середня погрішність;i– i-те значення випадкової погрішності; n – кількість вимірів (i = 1, … , n). Ця характеристика не досить чутлива до великих погрішностей (згладжує вплив великих по абсолютній величині погрішностей), що значно знижує оцінку точності результатів вимірювань. Ймовірна погрішність – це погрішність, яка лежить у середині ряду, у якому погрішності розташовані за зростанням їх абсолютних значень. Позначається буквою i. Середня квадратична погрішність (СКП) є основним критерієм точності вимірювань і визначається за формулою Гауса, якщо відомо істинне значення вимірюваної величини: [2i ] m , n (4) 7 де m – середня квадратична погрішність; i – i - те значення істинної випадкової погрішності; n – кількість вимірів (i = 1, 2, …., n). Якщо істинне значення вимірюваної величини невідомо, то замість істинного значення вимірюваної величини використовують її найбільш надійну оцінку, тобто середнє арифметичне значення ряду n результатів вимірів цієї величини x1 , x2 , ... xn : x [ x] x1 x2 x3 ... xn n n (5) Тоді середня квадратична погрішність визначається за формулою Бесселя: [vi2 ] v12 v22 v32 ... vn2 m , n 1 n 1 (6) де vi – відхилення і-го значення вимірюваної величини від середнє арифметичного значення вимірюваної величини. : vi xi x , (7) де xi – i-те значення вимірюваної величини; х – середнє арифметичне значення вимірюваної величини. Величину m також називають середньою квадратичною погрішністю вимірювання цього ряду вимірів. Точність визначення m характеризується середньою квадратичною погрішністю mm, яка обчислюється за формулою: m mm (8) 2(n 1) Точність визначення середнього арифметичного вимірюваної величини характеризується середньою квадратичною погрішністю середнього арифметичного М, яку визначають за формулою: m М= (9) n У свою чергу точність визначення M характеризується середньою квадратичною погрішністю mM: M m mM (10) 2n n 2 Від середньої квадратичної погрішності легко перейти до граничної погрішності гр, абсолютне значення якої є верхньою границею допустимих погрішностей при даних умовах вимірювань. При теоретичних розрахунках звичайно приймають: гр = 3m, (11) а для практичних цілей використовують більш жорсткий допуск: гр = 2,5m , або гр = 2,0m 8 Абсолютна погрішність не у всіх випадках характеризує точність вимірювань, тому в ряді випадків для судження про отриману точність використовується відносна погрішність, яка виражає відношення абсолютної погрішності до його результату R 1 1 , R R: N ( 12 ) де – абсолютна погрішність; R – значення вимірюваної величини; 1 – N відносна погрішність. 2.Алгоритм обробки рівноточних вимірів Суть завдань обробки ряду рівноточних вимірювань однієї величини полягає в наступному: а) визначення найбільш надійного значення вимірюваної величини, тобто середнього арифметичного ряду вимірювань; б) оцінка точності результатів вимірювань, тобто визначення середньої квадратичної погрішності одного виміру ряду m та її точності mm , середньої квадратичної погрішності середнього арифметичного M та її точності mM. Задано: ряд рівноточних вимірів якоїсь величини, x1 , x2 , ... xn . Виконати обробку результатів рівноточних вимірів, використовуючи формули (5) – (10) Рішення задачі доцільно розглядати із записом проміжних даних. Послідовність рішення наведена в таблиці 1: 1. У першу колонку таблиці записати номера вимірів по порядку від 1 до n. 2. У другу колонку виписати значення виміряної величини відповідно до її номеру: x1, x2, … xn . 3. Визначити середнє арифметичне з результатів рівноточних вимірів за формулою (5). 4. Для контролю і спрощення розрахунків середнє арифметичне знаходять також за формулою: x x0 E x n 0 E1 E2 E3 ... En , n (13) де x – середнє арифметичне ряду виміряної величини; x0 – мінімальне або якесь інше значення виміряної величини, зручне для визначення залишку E: Ei = xi –x0 (14) 9 Таблиця 1 №п/п Залишок i Результати вимірів, xi 1 2 1 Відхилення Eі2 vi xi x і2 3 4 5 6 x1 E1 E12 v1 v1 2 2 x2 E2 E22 v2 v2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . n xn En En2 vn vn 2 xo = Ei = xi – x0 [E] = [E2] = [v = [v2] = E n x xокр [ E ]2 n Значення x0 записують під першою колонкою, внизу. По формулі (14) визначають залишки і записують у колонку 3. Внизу цієї колонки записують значення їх суми [E]. Визначають квадрати залишків Ei 2 і записують у колонку 4. Внизу цієї колонки записують значення їх суми [E2]. 5. Визначають середнє арифметичне x за формулою (13) і зрівнюють його із значенням середнього арифметичного, визначеного за формулою (5). Якщо значення збігаються, то визначають відхилення і-го значення вимірюваної величини від середнє арифметичного значення вимірюваної величини, тобто i xi x , і записують їх у колонку 5. 6. Визначають суму відхилень [v] і виконують контроль розрахунків перевіркою виконання рівняння: [v] = 0 7. При необхідності визначають округлене значення середнього арифметичного – x окр i записують внизу колонки 1. Зазвичай x окр обчислюють з числом десяткових знаків на один більше, ніж їх є в xi ( x окр отримують округленням x ). 10 Визначають погрішність округлення 0k x0k x і здійснюють контроль правильності визначення середнього арифметичного. Якщо воно правильне то виконується рівність: i окр n 8. Обчислюють квадрати відхилень і визначають їх суму [v2], та записують у колонку 6. 9. Здійснюють контроль правильності обчислення відхилень vi і [vi2] за формулою: E 2 2 2 E (15) n Формула (15) є математично точна рівність, і можливе розходження між обчисленим значенням [v2] та визначеним за формулою (15) є слідством погрішностей обчислень і не повинно бути більшим 3%. 10. Визначають середню квадратичну погрішність одного вимірювання m [v 2 ] n 1 (16) m 2(n 1) (17) та точність її визначення mm 11. Визначають арифметичного середню квадратичну M m n mM M погрішність середнього (18) та точність її визначення (19) 2n 12. Записують кінцевий результат Xокр M X Xокр M mM 11 3.Приклад моделювання і обробки рівноточних вимірів Для виконання самостійної лабораторної роботи студент отримує індивідуальне завдання, яке складається з відомого значення вимірюваної величини Х і ряду випадкових нормально розподілених величин t1, t2, t3, …, tn. Для моделювання результатів вимірів xі випадкові значення вимірюваної величини розраховують за формулою: xi = X + ti*m, де m – точність віртуального приладу, яким проводяться вимірювання. Отримані величини x1, x2, x3, ..., xn є вихідними даними для подальшої обробки. Якщо в якості відомого значення вимірюваної величини Х береться кут, наприклад, 60º30′45″ , а обробка виконується за допомогою програми Excel, то значення кута в градусах попередньо потрібно перевести в секунди за формулою Кут в сек = 60*3600 + 30*60 + 45 = 217845 Задано: 1. Істинне значення вимірюваної величини Х = 4520 2. Точність віртуального приладу m = 2" 3. Ряд нормально розподілених випадкових величин t1 -2,5 t2 -2,0 t3 -1,5 t4 -1,0 t5 -0,5 t6 0,5 t7 1,0 t8 1,5 t9 2,0 t10 2,5 Визначити найбільш надійне значення вимірюваної величини, тобто середнє арифметичне ряду вимірювань і оцінити точність результатів вимірювань, тобто визначити середню квадратичну погрішність одного виміру ряду m та її точності mта , середню квадратичну погрішність середнього арифметичного M та її точності mM. Рішення Обробку результатів рівноточних вимірів виконуємо за допомогою програми Excel, використовуючи формули (5) – (10). Рішення задачі доцільно розглядати з записом проміжних даних в таблиці 1: 1. У першу колонку таблиці записуємо номери вимірів по порядку від 1 до 10. 2. У другу колонку записуємо значення випадкових величин відповідно до їх номера: t1=-2,5, t2=-2,0, t3=-1,5,…, t10=2,5 . 3. У третю колонку записуємо значення добутків випадкових величин і точності віртуального приладу: 12 t1*m = -2,5*2 = -5, t2*m = -2*2 = -4, … t10*m = 5*2 = 10. 4. У четверту колонку записуємо значення випадкових виміряних величин xі = X + ti*m. № ti ti*m xі Е=xі-xо E2 Таблиця 1 vi xi x 1 2 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 4515 4516 4517 4518 4519 4521 4522 4523 4524 4525 45200 5 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 50 6 0 1 4 9 16 36 49 64 81 100 360 7 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сума v2 8 25,00 16,00 9,00 4,00 1,00 1,00 4,00 9,00 16,00 25,00 110,00 5. Визначаємо середнє арифметичне з результатів рівноточних вимірів за формулою (5): [ x] 45200 x 4520 n 10 Для контролю і спрощення розрахунків середнє арифметичне знаходимо також за формулою (13). Для цього вибираємо xо як минимальне значення з ряду xi, тобто xо = 4515. За формулою (14) визначаємо залишки Е1 = x1 - xо = 4515 – 4515 = 0, Е2 = x2 - xо = 4516 – 4515 = 1, …. , Е10 = x10 - xо = 4525 – 4515 = 10 і записуємо в колонку 5. Внизу цієї колонки записуємо значення [E]. Визначаємо середнє арифметичне за формулою (13) і зрівнюємо його зі значенням середнього арифметичного, визначеного за формулою (5): [E] 50 x x0 4515 4515 5 4520 n 10 Так як значення збігаються і кількість значущих цифр не перевищує кількість значущих цифр у виміряних величинах, то округлення не виконуємо. Визначаємо квадрати залишків Еi2, тобто Е12 = Е1*Е1 = 0*0 = 0, Е22= Е2*Е2=1*1=1, … , Е102= Е10*Е10 =10*10=100 і записуємо їх у колонку 6, знаходимо їх суму і записуємо внизу колонки 6. 6. Визначаємо відхилення за формулою (7), тобто і записуємо їх у колонку 7. Визначаємо суму відхилень [v] і записуємо внизу колонки 7. Виконуємо контроль розрахунків перевіркою виконання рівняння [v] = 0 13 Обчислюємо квадрати відхилень і визначаємо їх суму [v2], та записуємо у колонку 8. Здійснюють контроль правильності обчислення відхилень vi і [vi2] за формулою: [E2]-[E]2/n = 360 – 50*50/10 = 110 = [vi2] = 110 7. Оцінюємо точність вимірів: – середня квадратична погрішність одного вимірювання: m = √([V2]/(n-1)) = КОРЕНЬ(110/(10-1)) = 3,496; – точність визначення середнє квадратичної погрішності одного вимірювання: m 3,496 mm 0,824; 2(n 1) 2(10 1) – середня квадратична погрішність середнього арифметичного: M m 3,496 1,106; n 10 – точність визначення середнє квадратичної погрішності середнього арифметичного: mM = M/√(2n) = 1,106/√(20) = 0,247; – гранична погрішність: Dгр = 3m = 10,488; – кінцевий результат: x M 4520 1,106 4518,894 < 4520 < 4521,106 Так як істинне значення знаходиться в довірчих межах, то погрішності вимірів є випадковими і не мають грубих і систематичних похибок. 14 4. Контрольні питання 1. Що є основним змістом дисципліни математичної обробки геодезичних вимірів (МОГВ)? 2. Що є предметом вивчення дисципліни МОГВ? 3. Чим займається теорія математичної обробки геодезичних вимірів? 4. Назвіть основні завдання вивчення дисципліни МОГВ. 5. Як діляться величини, з якими доводиться зустрічатися в геодезичній практиці? 6. Як діляться, залежно від точності, результати вимірювань? 7. Які виміри відносяться до рівноточних вимірів? 8. Які виміри відносяться до нерівноточних вимірів? 9. Які виміри відносяться до подвійних рівноточних вимірів? 10. Які виміри відносяться до подвійних нерівноточних вимірів? 11.Чому дорівнює квадрат середньої квадратичної погрішності функції загального вигляду незалежних аргументів? 12.По якій формулі визначається середня квадратична погрішність добутку? 13. По якій формулі визначається середня квадратична погрішність функції u = xy/z ? 14. По якій формулі визначається середня квадратична погрішність часткового? 15. По якій формулі визначається середня квадратична погрішність функції u = (x-y)/2? 16. По якій формулі визначається квадрат середньої квадратичної погрішності функції? 17. Чому дорівнює середня квадратична погрішність третього кута m3 , якщо в трикутнику виміряні два кути з середніми квадратичними погрішностями m1=3 та m2=4? 18. За якою формулою визначається квадрат середньої квадратичної погрішності для алгебраїчної суми декількох? 19. За якою формулою визначається квадрат середньої квадратичної погрішності для лінійної функції u=k0+k1*x1+k2*x2+…+kn*xn, где k0, k1, k2,…,kn - постійні числа? 20. За якою формулою визначається квадрат середньої квадратичної погрішності функції загального виду u(x1, x2, x3,…,xn)? 21. У чому полягає сутність принципу рівних впливів? 22. Що дозволяє мати використання принципу рівних впливів для найбільш раціонального вибору величин середніх квадратичних? 15 Література Большаков, В. Д. Теория математической обработки геодезических измерений [Текст] / В. Д. Большаков, П. А. Гайдаев. – М.: Недра, 1977. – 366 с. Большаков, В. Д. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов [Текст] / В. Д. Большаков, Ю. И. Маркізе. – М.: Недра, 1984. – 343 с. Видуев, Н. Г. Математическая обработка геодезических измерений. Учебное пособие [Текст] / Н. Г. Видуев, А. Г. Григоренко. – К.: Вища школа, 1978. – 375 с. 16 -3,00 -2,78 2,44 2,76 1,98 7,33 -2,84 -2,34 1,95 -1,87 -6,90 -6,90 -8,47 -9,78 -7,74 -1,18 -5,68 -4,04 1,35 -3,65 -3,27 -3,70 3,43 -0,85 -1,86 -5,13 9,72 8,66 3,76 -6,55 6,61 -6,12 5,39 9,02 9,19 -0,85 Таблица випадкових чисел нормального розподілу (Сервис - Анализ данных - Генерация случайных чисел) 1,97 -0,28 6,10 -8,16 7,91 7,36 -7,06 0,33 -1,01 -0,87 -5,70 7,55 4,45 4,44 4,12 3,14 -0,44 -7,13 0,31 3,50 -3,54 -10,34 -4,30 -7,77 -1,80 -4,83 7,71 1,35 11,46 -4,44 0,49 -4,35 -0,46 -1,02 -0,56 0,09 -5,76 2,56 1,62 3,27 -6,70 -6,46 1,83 2,18 -2,79 4,40 -4,65 0,60 -0,40 2,98 -0,93 5,09 1,42 8,36 -1,44 -6,71 -3,99 6,59 1,24 4,69 -3,35 -6,61 -1,48 -8,19 0,47 -2,70 7,83 -8,58 0,63 -3,04 5,14 11,48 1,51 2,15 1,05 -2,39 4,56 -3,48 -0,73 -5,44 3,95 -5,54 -1,41 2,82 3,42 -3,46 0,05 -2,14 -1,86 -0,35 7,59 0,48 -0,52 6,20 -1,77 -7,62 -2,24 1,00 -4,79 -0,72 -5,85 -4,21 -2,98 1,84 0,44 -7,87 1,87 2,19 -2,83 2,96 -2,74 0,23 -0,69 7,07 4,45 -1,13 3,68 4,73 7,82 2,46 -0,62 -0,93 0,19 -2,64 -4,33 -6,75 -3,95 -3,22 4,73 -9,34 -5,96 -10,34 -5,23 4,28 0,67 -5,93 0,11 -0,33 -3,17 -8,32 9,64 1,84 7,55 3,10 -0,44 10,77 -3,28 0,20 -4,73 -1,05 1,38 -7,00 5,49 1,43 -7,89 -4,28 -0,71 9,12 -2,08 2,60 -1,89 2,45 7,01 1,50 -2,00 -4,41 1,49 5,29 3,81 -1,28 1,76 -2,54 0,92 -4,56 8,45 5,32 -0,05 0,03 -0,89 -5,41 5,87 0,08 -4,00 -0,39 -0,19 -5,08 -0,75 5,13 1,32 1,14 3,98 -0,37 4,83 5,62 5,61 1,46 4,82 -3,53 -7,88 -2,22 1,09 1,23 2,98 4,69 -4,53 -2,75 -0,68 13,26 1,31 7,58 -4,13 7,17 -3,90 -1,62 -6,08 5,01 -0,71 -0,52 2,58 -1,23 -0,29 4,34 -3,08 2,62 2,05 -4,65 -1,11 6,96 -5,41 1,59 -5,77 -8,54 -0,21 -6,00 1,73 0,31 -2,52 2,78 -0,67 -2,77 -2,21 -9,84 1,33 -8,61 6,87 -7,18 3,51 -3,84 -3,29 -4,03 -4,61 0,55 -3,09 -3,42 -5,19 0,48 0,61 -0,11 -5,10 9,07 -4,21 4,06 2,93 0,47 -2,94 -2,91 1,78 5,13 5,33 8,73 1,93 6,61 5,82 4,09 4,47 -4,23 -6,12 -0,60 5,97 2,04 -0,38 -1,55 3,32 -0,23 1,17 -2,37 -0,61 -4,74 -2,11 -3,09 9,52 8,67 -6,41 2,98 -2,09 9,85 -4,76 0,68 -7,10 5,39 2,03 9,42 3,43 3,76 0,98 -6,73 4,87 4,04 5,22 7,55 2,57 6,00 -2,50 -0,80 1,53 7,82 2,38 -0,86 4,09 3,34 1,48 2,08 -2,47 -5,91 17 -5,24 6,75 -3,81 7,58 -4,44 -8,47 -5,22 -3,63 -0,32 0,28 -3,23 2,95 -7,42 -7,36 -5,78 4,48 -2,80 -6,54 7,58 4,67 8,75 5,96 -3,72 -1,16 6,94 3,23 -9,40 -2,41 1,32 5,58 1,39 -9,11 8,85 4,87 0,72 8,30 8,62 -6,37 -9,23 1,11 -2,01 -5,59 7,11 -4,76 -1,01 2,87 -1,15 -1,96 -4,10 0,95 -0,49 1,71 -1,91 -1,04 0,86 -0,99 0,64 -7,42 -0,21 0,74 6,35 -4,58 -4,68 -6,91 3,52 7,12 -1,17 -3,00 1,64 1,98 -2,56 2,43 1,98 -0,62 -4,64 3,04 2,29 -1,05 -2,07 2,59 1,04 1,67 6,26 0,82 -3,32 1,44 9,97 2,64 0,56 -3,99 -7,09 -3,10 5,51 -3,50 0,26 -5,16 1,52 -2,92 -2,45 4,27 8,55 -1,04 3,21 8,70 -2,55 -9,31 -1,61 1,69 -1,59 3,78 -7,55 -5,90 -5,01 1,10 8,04 13,69 7,28 2,39 -0,89 -5,75 -3,60 0,82 -4,03 1,83 7,01 -11,28 -3,16 9,50 -6,56 5,25 -5,02 -4,77 -1,43 -0,93 3,75 -4,84 1,25 8,04 -3,84 -0,57 -4,30 1,81 -1,33 4,99 -5,26 6,32 -2,01 -2,79 1,02 -3,31 -3,02 6,92 3,89 -1,14 0,54 -4,58 -4,41 -3,87 2,24 9,81 -1,29 2,50 -2,11 -0,95 -4,95 2,19 -1,74 -6,53 -1,44 -0,69 3,25 6,08 3,02 3,75 1,64 8,73 2,68 4,39 -6,44 -3,33 7,36 15,44 6,64 -4,82 9,18 6,74 6,00 -8,74 6,73 1,92 -1,39 3,21 -1,42 5,13 -2,40 2,14 0,70 2,21 -6,86 3,35 -6,34 4,51 1,96 -0,61 -3,39 0,15 0,03 3,64 3,30 0,20 1,97 -3,88 5,74 -5,91 1,96 -1,89 -5,24 -1,98 -0,40 -1,99 6,49 0,90 -2,30 -2,20 -3,35 -5,35 11,23 5,52 3,06 4,59 2,64 6,91 -2,94 3,78 -6,16 5,29 -3,45 1,00 -3,19 -0,52 -1,47 -3,95 1,48 6,71 5,35 -7,45 -8,98 4,22 -3,69 7,48 4,06 -5,72 -0,31 -12,15 0,74 -2,77 9,56 6,38 9,46 -2,10 -5,79 -4,03 -4,72 7,21 -0,11 6,31 -4,40 1,09 3,19 -5,63 1,21 8,96 4,75 -0,69 3,28 -0,22 0,10 -5,03 3,74 -1,94 -2,59 -1,75 1,24 0,65 0,25 7,84 6,95 5,37 -3,37 0,65 -3,98 4,57 -1,76 1,71 3,27 3,63 0,12 -1,13 0,66 4,41 -5,78 -1,15 -1,18 5,79 5,21 -1,20 2,94 3,90 2,40 1,05 -3,25 -2,59 7,80 -0,35 -2,15 4,10 -3,11 -3,25 7,17 -3,05 9,17 3,90 2,06 -1,21 4,81 0,55 4,75 0,26 1,08 2,58 -1,60 1,29 -4,63 -8,09 6,32 -2,82 0,30 -7,09 1,95 5,64 1,29 6,30 0,64 -2,55 -1,58 -8,33 -3,59 4,49 -4,98 7,95 -7,37 2,88 0,23 5,38 -2,54 -5,06 -6,07 -6,83 -5,88 -0,75 1,73 8,28 2,92 6,80 4,41 4,41 -1,96 7,99 -1,34 -8,06 -3,05 7,79 -4,73 -6,47 4,10 -2,15 8,83 -1,34 -3,38 1,15 1,41 -0,95 -5,31 -4,03 -4,94 2,65 -0,69 1,99 3,78 -4,75 -2,60 -3,34 -2,23 -2,88 -4,99 3,66 3,88 -0,54 1,09 -0,40 0,01 -1,10 -6,26 0,31 3,57 3,81 3,24 -1,71 3,29 -7,02 -9,47 7,27 0,43 3,52 -2,39 -5,22 -5,79 -4,98 1,52 -0,29 -1,12 0,38 2,92 1,49 -4,17 -9,50 -7,50 -4,63 -4,08 2,87 18 6,38 2,06 4,44 3,04 1,13 0,02 4,54 -0,26 -0,55 -7,75 8,28 4,44 6,18 2,13 -1,27 2,38 -3,11 -8,40 -8,21 -4,29 -4,53 -3,69 1,70 -0,47 0,90 1,07 0,39 -0,82 -4,04 6,36 4,79 3,15 -4,43 -3,35 1,60 0,22 -0,03 0,48 -5,65 -0,77 -2,81 -2,99 -6,84 5,12 4,45 -5,00 -5,65 -0,01 -5,14 4,05 3,65 -8,81 -3,33 8,30 6,55 0,85 2,09 5,92 3,05 -0,41 -4,11 -6,28 2,74 -5,40 0,36 1,44 5,37 1,81 5,81 -2,96 -3,85 -3,09 -2,87 -4,43 -2,01 0,68 2,52 8,66 3,43 -4,42 -4,03 -1,85 -5,59 -1,53 5,52 -0,62 -5,35 1,00 -2,74 4,54 7,74 -8,53 1,49 5,26 -1,35 -4,41 -0,10 9,01 7,03 2,44 -6,54 -6,74 -0,42 3,27 -5,38 -1,02 -6,42 0,08 1,51 5,45 3,71 -3,08 1,07 3,90 7,20 5,37 1,55 -0,25 1,14 -2,93 8,76 2,11 -4,22 7,82 -3,58 -0,69 5,99 -0,47 5,13 -1,02 4,98 -7,05 0,65 -1,38 5,05 4,00 -1,55 4,50 -3,51 3,47 0,84 -3,34 -4,93 7,48 -5,53 -8,84 0,18 1,96 -2,82 -4,89 -4,25 0,91 2,41 2,85 4,44 6,81 -4,50 -6,81 -7,39 6,02 0,39 4,47 0,57 -1,86 -5,60 -6,62 -0,34 5,02 2,91 -8,53 3,70 -1,77 2,32 2,35 -4,11 -5,16 2,32 6,05 1,44 -1,80 -2,04 2,15 1,70 -5,04 -2,31 -7,94 7,47 -6,60 -2,57 -2,30 2,25 -8,50 0,81 -7,79 0,35 -3,57 -0,67 3,43 -7,38 -3,93 -5,31 3,99 0,41 -2,40 -1,99 -0,61 -7,85 3,86 1,85 7,80 19
