СтатистВар70

ЗМІСТ
Задача 1
3
Задача 2
4
Задача 3
6
Задача 4
10
Задача 5
15
Задача 6
18
Задача 7
21
Література
24
2
Задача 1. Середні величини.
Дані про окупність витрат на розвиток новаторських робіт наведено у
таблиці 1.1.
Таблиця 1.1 – Дані про окупність витрат на розвиток новаторських робіт
Окупність 1 млн. витрат на розвиток
Новаторські
Дохід від використання, млн.
роботи
гр. од.
Винаходи
301
4,7
377
6,0
?
Х
Раціоналізаторські
пропозиції
Разом:
новаторства, млн. гр. од.
Визначити середню окупність витрат на розвиток новаторства.
Рішення:
Середню окупність витрат на розвиток новаторства ( x ) розрахуємо за
формулою середньої арифметичної зваженої:
m
Õ ñð. 
X
i 1
m
i
 fi
 fi
,
(1.1)
i 1
де хі – розмір і-тої ознаки;
fі – частка і-тої ознаки.
Тоді за формулою (1.1) маємо:
Õ ñð. 
4,7  301  6,0  377 1414,7  2262 3676,7


 5,423
301  377
678
678
Таким чином, середня окупність витрат на розвиток новаторства
дорівнює 5,423 млн. гр. од.
Відповідь: Середня окупність витрат на розвиток новаторства складає
5,423 млн. гр. од.
3
Задача 2. Середні величини.
Дані про рух готівки наведено у таблиці 2.1.
Таблиця 2.1 – Дані про рух готівки (гр. од.)
Рух грошової готівки у касі
Січень
Лютий
Березень
Залишок готівки на початок місяця
12
?
?
Надходження готівки
500
530
637
Інкасовано в банк
497
507
620
?
?
?
Залишок готівки на кінець місяця
Визначте середні залишки готівки за кожний місяць і за перший квартал в
цілому; середньомісячні надходження та інкасації готівки.
Рішення:
Розрахуємо залишки готівки на кінець місяця за січень, лютий та
березень.
Залишок готівки на кінець січня
= Залишок готівки на початок січня +
Надходження готівки в січні - Інкасовано в банк за січень =12 + 500 - 497 = 15.
Залишок готівки на кінець січня = 15.
Залишок готівки на початок лютого = Залишок готівки на кінець січня = 15.
Залишок готівки на кінець лютого = Залишок готівки на початок лютого +
Надходження готівки в лютні - Інкасовано в банк за лютий = 15 +530 – 507 = 38.
Залишок готівки на кінець лютого = 38.
Залишок готівки на початок березня = Залишок готівки на кінець лютого = 38.
Залишок готівки на кінець березня = Залишок готівки на початок березня +
Надходження готівки в березні - Інкасовано в банк за березень = 38+637 – 620 = 55.
Залишок готівки на кінець березня = 55.
Занесемо у таблицю 2.2 результати розрахунків.
Таблиця 2.2 – Розрахункова таблиця
Рух грошової готівки у касі
Січень
Лютий
Березень
Залишок готівки на початок місяця
12
15
38
Надходження готівки
500
530
637
Інкасовано в банк
497
507
620
Залишок готівки на кінець місяця
15
38
55
4
Визначимо середні залишки готівки за кожний місяць за формулою
середньої арифметичної:
n
У
де
У
У
і 1
n
і
,
(2.1)
– середній рівень ряду;
Уі – рівень і-го ряду;
n – число рівнів ряду.
Тоді за формулою (2.1) середні залишки готівки складають:
- за січень: Ó ñ³÷åíü 
12  15
 13,5(ãð.îä .)
2
- за лютий: Ó ëþòèé 
15  38
 26,5(ãð.îä .)
2
- за березень: Ó áåðåçåíü 
38  55
 46,5(ãð.îä .)
2
Тоді середні залишки готівки за І квартал складають:
Ó Iêâ . 
13,5  26,5  46,5
 28,83(ãð.îä .)
3
Розрахуємо середньомісячні надходження готівки за формулою (2.1):
Ó íàäõ . 
500  530  637
 555,67(ãð.îä .)
3
Розрахуємо середньомісячні інкасації готівки за формулою (2.1):
Ó íàäõ . 
497  507  620
 541,33(ãð.îä .)
3
Відповідь: Середні залишки готівки за січень складають 13,5 гр. од., за
лютий – 26,5 гр. од., за березень 46,5 гр. од.
Середні залишки готівки за І квартал складають 28,83 гр. од.
Середньомісячні надходження готівки складають 555,67 гр. од.
Середньомісячні інкасації готівки дорівнюють 541,33 гр. од.
5
Задача 3. Мода та медіана.
Дані про розподіл емігрантів за віком наведено у таблиці 3.1.
Таблиця 3.1 – Дані про розподіл емігрантів за віком
Вік, років
Вибули у країни регіону
А
Б
до 10
4,0
0,2
10-20
16,3
11,4
20-30
20,5
38,2
30-40
40,2
30,8
40-50
9,7
9,7
50-60
4,2
2,1
60 і старше
?
?
Разом:
100
100
Визначте модальний та медіанний вік емігрантів у країни кожного
регіону, проведіть їх порівняльний аналіз
Рішення:
З наведених у таблиці 3.1 даних розрахуємо кількість емігрантів віком від
60 і старше. Отримаємо таблицю 3.2.
Таблиця 3.2 – Дані для розрахунку модального та медіанного віку емігрантів
Вік, років
Вибули у країни регіону
А
Б
до 10
4,0
0,2
10-20
16,3
11,4
20-30
20,5
38,2
30-40
40,2
30,8
40-50
9,7
9,7
50-60
4,2
2,1
60 і старше
5,1
7,6
Разом:
100
100
6
Шаг інтервалу дорівнює h = 20-10=10.
Доповнимо перший та останній інтервали так, щоб дотримувався розмір
інтервалу, тобто за шагом h = 10.
а). Визначимо модальний та медіанний вік емігрантів у країну А.
Визначимо модальний вік емігрантів у країну А за формулою:
Mo  Xн  h 
де
Хн
(f 2  f1)
(f 2  f1)  (f 2  f3 ) ,
(3.1)
– нижня межа модального інтервалу (модальний інтервал –
інтервал, якому відповідає максимальна частота);
h – шаг інтервалу; у нас h = 10;
f1 – частота домодального інтервалу;
f2 – частота модального інтервалу;
f3 – частота післямодального інтервалу;
З таблиці 3.2 модальним інтервалом буде 4-ий інтервал [30; 40), так як у
нього максимальна частота, яка дорівнює 40,2, тобто f2 = 40,2.
Частота домодального інтервалу f1 = 20,5, а частота післямодального
інтервалу f3 = 9,7.
Нижня межа модального інтервалу Хн = 30.
Таким чином, модальний вік емігрантів у країну за формулою (3.1)
дорівнює:
M o  30  10 
(40,2  20,5)
 33,92(ðîê³â)
(40,2  20,5)  (40,2  9,7)
Округлив до цілого, отримаємо: модальний вік емігрантів у країну А
дорівнює 34 роки.
Визначимо медіанний вік емігрантів у країну А за формулою:
Me  Xн  h 
(
f
2
i
 S m1 )
fm
,
(3.2)
де Хн – нижня межа медіанний інтервал (медіанний інтервал – інтервал, у
якого
сума
кумулятивних
(накопичених)
частот
перевищує
половину
спостережень від загального числа всіх спостережень);
7
h – шаг інтервалу; у нас h = 10;
fm – частота медіанного інтервалу;
Sm-1 – кумулятивна частота домедіанного інтервалу;
f
2
i

100
 50 .
2
У таблиці 3.3 розрахуємо кумулятивні частоти відповідних інтервалів.
Таблиця 3.3 – Розрахунок кумулятивних частот (країна А)
№
п/п
Інтервал
Частоти
Кумулятивні
fi
частоти (Sі)
1
[0; 10)
4,0
2
[10; 20)
16,3
3
[20; 30)
20,5
4
[30; 40)
40,2
5
[40; 50]
9,7
6
[50; 60]
4,2
7
[60; 70]
5,1
Усього:
4,0
20,3
40,8
81
90,7
94,9
100
100
З таблиці 3.3 медіанним інтервалом буде 4-ій інтервал [30; 40), так як у
нього S4 = 4,0+16,3+20,5+40,2 = 81 > 50.
Тоді: Хн = 30 – нижня межа медіанного інтервалу;
fm = f4 = 40,2 – частота медіанного інтервалу;
S3= 4,0+16,3+20,5 = 40,8 – кумулятивна частота домедіанного інтервалу.
Тоді за формулою (3.2) медіанний вік емігрантів у країну А дорівнює:
M e  30  10 
(50  40,8)
 32,29(ðîêè )
40,2
Округлив до цілого, отримаємо: медіанний вік емігрантів у країну А
дорівнює 32 роки.
б). Визначимо модальний та медіанний вік емігрантів у країну Б.
З таблиці 3.2 модальним інтервалом буде 3-ий інтервал [20; 30), так як у
нього максимальна частота, яка дорівнює 38,2, тобто f2 = 38,2.
8
Частота домодального інтервалу f1 = 11,4, а частота післямодального
інтервалу f3 = 30,8.
Нижня межа модального інтервалу Хн = 20.
Таким чином, модальний вік емігрантів у країну Б за формулою (3.1)
дорівнює:
M o  20  10 
(38,2  11,4)
 27,84(ðîê³â )
(38,2  11,4)  (38,2  30,8)
Округлив до цілого, отримаємо: модальний вік емігрантів у країну Б
дорівнює 28 років.
Визначимо медіанний вік емігрантів у країну Б.
У таблиці 3.4 розрахуємо кумулятивні частоти відповідних інтервалів.
Таблиця 3.4 – Розрахунок кумулятивних частот (країна Б)
№
Інтервал
п/п
Частоти
Кумулятивні
fi
частоти (Sі)
1
[0; 10)
0,2
2
[10; 20)
11,4
3
[20; 30)
38,2
4
[30; 40)
30,8
5
[40; 50]
9,7
6
[50; 60]
2,1
7
[60; 70]
7,6
Усього:
f
2
i

0,2
11,6
49,8
80,6
90,3
92,4
100
100
100
 50
2
З таблиці 3.3 медіанним інтервалом буде 4-ій інтервал [30; 40), так як у
нього S4 = 0,2+11,4+38,2+30,8 = 80,6 > 50.
Тоді:
Хн = 30 – нижня межа медіанного інтервалу;
fm = f4 = 30,8 – частота медіанного інтервалу;
S3 = 0,2+11,4+38,2 = 49,8 – кумулятивна частота домедіанного інтервалу.
9
Тоді за формулою (3.2) медіанний вік емігрантів у країну Б дорівнює:
M e  30  10 
(50  49,8)
 30,05(ðîê³â )
30,8
Медіанний вік емігрантів у країну Б дорівнює 30 років.
Порівнюючи модальний вік емігрантів у країни А (34 років) та Б (28
роки), бачимо, що модальний вік емігрантів у країни А більші, ніж у країни Б
на 6 років. Медіанний вік емігрантів у країну А (32 роки) більші, ніж у країни Б
(30 років) на 2 роки.
Відповідь:
Модальний вік емігрантів у країну А дорівнює 34 роки.
Модальний вік емігрантів у країну Б дорівнює 28 років.
Медіанний вік емігрантів у країну А дорівнює 32 роки.
Медіанний вік емігрантів у країну Б дорівнює 30 років.
Задача 4. Характеристики варіації.
Дані про кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики
наведено у таблиці 4.1.
Таблиця 4.1 – Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики
Кредитна ставка, %
Суми наданих позик, млн. гр. од.
І квартал
ІІ квартал
до 30
1
5
30-40
0
10
40-50
7
8
60 і більші
6
7
Разом:
?
?
За кожний квартал визначте середню кредитну ставку, середнє лінійне та
квадратичне відхилення, дисперсію, лінійний та квадратичний коефіцієнти
варіації.
Рішення:
Шаг інтервалу дорівнює h = 40-30=10.
10
Доповнимо перший та останній інтервали так, щоб дотримувався розмір
інтервалу, тобто за шагом h = 10.
У таблиці 4.2 розрахуємо загальну суму наданих комерційним банком
позик.
Таблиця 4.2 – Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики
№
Суми наданих позик, млн. гр. од.
Кредитна ставка, %
п/п
І квартал
ІІ квартал
1
[20; 30)
1
5
2
[30; 40)
0
10
3
[40; 50]
7
8
4
[50; 60]
6
7
14
30
Разом:
1). Середню кредитну ставку розрахуємо за формулою середньої
арифметичної зваженої:
m
Õ ñð. 
Õ
i
i 1
 fi
m
f
i 1
,
(4.1)
i
де Õ i – середина i-го інтервалу;
fi – сума наданих позик в i-ом інтервалі;
m – кількість інтервалів; (у нас m = 4);
m
f
i 1
i
– загальна сума наданих позик.
Розрахуємо середню кредитну ставку у І кварталі за формулою (4.1):
Õ ñð.( Iêâ .)
(20  30)
(30  40)
(40  50)
(50  60)
1 
0 
7 
6
670
2
2
2
2


 47,9(%)
1 0  7  6
14
Отже, середня кредитна ставка за І кварталі складає 47,9%.
Розрахуємо середню кредитну ставку у ІІ кварталі за формулою (4.1).
Õ ñð.( ²²êâ .)
(20  30)
(30  40)
(40  50)
(50  60)
5 
 10 
8 
7
1220
2
2
2
2


 40,7(%)
5  10  8  7
30
11
Отже, середня кредитна ставка за ІІ кварталі складає 40,7%.
2). Розрахуємо середнє лінійне відхилення ( d ñð. ) кредитної ставки за
формулою:
m
d ñð. 
Õ
i
i 1
 Õ ñð.  f i
,
m
f
i 1
(4.2)
i
де Õ i – середина i-го інтервалу;
Õ ñð. – середнє значення ознаки Х.
Тоді середнє лінійне відхилення кредитної ставки у І кварталі дорівнює:
d ñð.( ²êâ .) 
25  47,9  1  35  47,9  0  45  47,9  7  55  47,9  6
1 0  7  6

85,714
 6,1(%)
14
Середнє лінійне відхилення кредитної ставки у І кварталі складає 6,1%.
Розрахуємо середнє лінійне відхилення кредитної ставки у ІІ кварталі:
d ñð.( ²²êâ .) 
25  40,7  5  35  40,7  10  45  40,7  8  55  40,7  7
5  10  8  7

270
 9(%)
30
Середнє лінійне відхилення кредитної ставки у ІІ кварталі складає 9%.
3). Розрахуємо дисперсію  2 (Х) кредитної ставки за формулою:
n
 (X  X
 (Х) 
f
i
2
ср. )
2
 fi
i 1
(4.3)
i
Тоді дисперсія кредитної ставки у І кварталі за формулою (4.3) дорівнює:
 2 (Õ) Iêâ . 
(25  47,9) 2 1  (35  47,9) 2  0  (45  47,9) 2  7  (55  47,9) 2  6 885,714

 63,27
1 0  7  6
14
Отже, дисперсія кредитної ставки у І кварталі дорівнює 63,27.
Розрахуємо дисперсію кредитної ставки у ІІ кварталі:
 2 (Õ) IIêâ . 
(25  40,7) 2  5  (35  40,7) 2  12  (45  40,7) 2  8  (55  40,7) 2  7 3136,67

 104,56
5  10  8  7
30
Дисперсія кредитної ставки у ІІ кварталі складатиме 104,56.
4). Розрахуємо середнє квадратичне відхилення (Х) за формулою (4.4).
n
(Х) 
 (X
i 1
i
 X ср. ) 2  f i

  2 ( Х)
fi
(4.4)
12
Тоді середнє квадратичне відхилення кредитної ставки у І кварталі за
формулою (4.4) дорівнює:
(Õ) ²êâ .   2 (Õ) ²êâ .  63,27  7,95
Отже, середнє квадратичне відхилення кредитної ставки у І кварталі
складатиме 7,95.
Середнє квадратичне відхилення кредитної ставки у ІІ кварталі:
(Õ) ²Iêâ .   2 (Õ) IIêâ .  104,56  10,23
Середнє квадратичне відхилення кредитної ставки у ІІ кварталі = 10,23.
5). Розрахуємо лінійний коефіцієнти варіації ( Vd ) за формулою:
Vd 
d cð.
 100% ,
X ñð.
(4.5)
де d ñð. – середнє лінійне відхилення;
Õ ñð. – середнє значення.
Тоді лінійний коефіцієнти варіації за І квартал дорівнює:
Vd ( ²êâ .) 
6,1
 100%  12,8%
47,9
Лінійний коефіцієнти варіації за І квартал складає 12,8%.
Розрахуємо лінійний коефіцієнти варіації за ІІ квартал:
Vd ( ²²êâ .) 
9
 100%  22,1%
40,7
Лінійний коефіцієнти варіації за ІІ квартал складає 22,1%
6). Розрахуємо квадратичний коефіцієнти варіації ( V ) за формулою:
V 
(Õ)
Xñð.
(4.6)
де (Х) – середнє квадратичне відхилення.
Тоді за І квартал квадратичний коефіцієнти варіації дорівнює:
V( Iêâ .) 
7,95
100%  16,6%
47,9
Квадратичний коефіцієнти варіації за І квартал складає 16,6%.
13
За ІІ квартал квадратичний коефіцієнти варіації дорівнює:
V( IIêâ .) 
10,23
100%  25,1%
40,7
Квадратичний коефіцієнти варіації за ІІ квартал складає 25,1%.
Так як квадратичні коефіцієнти варіації кредитної ставки як у І кварталі
(16,6%), так і у ІІ кварталі (25,1%) менше 33%, то наведена сукупність у І та ІІ
кварталах є однорідною та симетричною.
Відповідь: Середня кредитна ставка за І кварталі складає 47,9%.
Середня кредитна ставка за І кварталі складає 40,7%.
Середнє лінійне відхилення кредитної ставки у І кварталі складає 6,1%.
Середнє лінійне відхилення кредитної ставки у ІІ кварталі складає 9%.
Дисперсія кредитної ставки в І кварталі дорівнює 63,27, а во ІІ кварталі
дорівнює 104,56.
Середнє квадратичне відхилення кредитної ставки у І кварталі дорівнює
7,95, а во ІІ кварталі – 10,23.
Лінійний коефіцієнти варіації за І квартал складає 12,8%, а за ІІ квартал –
22,1%.
Квадратичний коефіцієнти варіації за І квартал складає 16,6%.
Квадратичний коефіцієнти варіації за ІІ квартал складає 25,1%.
Наведені розрахунки показали, що наведена сукупність у І та ІІ кварталах
є однорідною та симетричною.
14
Задача 5. Методи аналізу взаємозв’язків.
Дані про зв'язок між добовою вартістю туристичних путівок та
тривалістю відпочинку в таблиці 5.1.
Таблиця 5.1 – Вхідні дані
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Разом
Тривалість відпочинку, днів (Х)
Добова вартість путівки, грн. (У)
5
70
10
55
7
97
17
30
14
57
20
26
7
80
?
50
100
?
Визначити рівняння регресії, здійснити перевірку істотності коефіцієнту
регресії за допомогою t-критерію (Ст’юдента). Зробити висновки.
Рішення:
Розрахуємо у таблиці 5.2 необхідні для подальшого розв’язку задачі дані.
Таблиця 5.2 – Дані про зв'язок між добовою вартістю туристичних
путівок та тривалістю відпочинку
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Разом
Тривалість відпочинку, днів (Х)
Добова вартість путівки, грн. (У)
5
70
10
55
7
97
17
30
14
57
20
26
7
80
20
50
100
465
15
1). Введемо наступні позначення:
Х – тривалість відпочинку (факторна ознака);
У – добову вартість туристичних путівок (результатна ознака).
Рівняння лінійної регресії, що характеризує добову вартість туристичних
путівок (У) від оплати тривалістю відпочинку (Х) будемо шукати у вигляді:
Yˆ  â0 â1  Õ ,
(5. 1)
Коефіцієнти в0 та в1 ви значимо по формулам найменших квадратів:
У   Х   Х   Х
в 
nХ (Х )
n   Х  У   Х  У
в 
n Х ( Х )
2
і
і
0
і
2
і
і
1
і
і
і
2
і
і
Уі
(5.2)
2
і
і
(5.3)
2
У нас n = 8. Обчислимо у таблиці 5.2 необхідні суми для розрахунку
коефіцієнтів в0 та в1 .
Таблиця 5.2 – Розрахункова таблиця
№ п/п
Хі
Уі
(Хі)2
Хі· Уі
1
2
3
4
5
6
7
8
5
10
7
17
14
20
7
20
70
55
97
30
57
26
80
50
25
100
49
289
196
400
49
400
350
550
679
510
798
520
560
1000
100
465
1508
4967
∑
Тоді маємо:
â0
Ó   Õ   Õ   Õ

n Õ ( Õ )
2
³
³
³
2
³
³
 Ó³
2
³

465  1508  100  4967 204520

 99,09
2064
8  1508  (100) 2
в0 = 99,09
â1 
n   Õ³  Ó³   Õ³  Ó³
n   Õ  (  Õ³ )
2
³
2

8  4967  100  465  6764

 3,277
2064
8 1508  (100) 2
в1 = -3,277.
16
Отже, рівняння лінійної регресії має вигляд:
Ŷ  99,09  3,277  Õ
(5.4)
Коефіцієнт регресії (параметр в1 = -3,277 < 0) свідчить про те, що зв'язок
між тривалість відпочинку та добовою вартістю туристичних путівок є
зворотним: з ростом тривалості відпочинку добова вартість туристичних
путівок зменшується. Параметр в1 показує на скільки одиниць у середньому
зміниться У при зміні Х на одну одиницю. У нашому випадку при зростанні
тривалості відпочинку на 1 день добова вартість туристичних путівок
зменшиться у середньому у 3,277 рази.
2). Здійснимо перевірку істотності коефіцієнту регресії в1 = -3,277 за
допомогою t-критерія (Ст’юдента) за формулою:
b1
t b1 
S 2b1
,
(5.5)
де S2b – дисперсія параметра в1.
1
Дисперсія параметра S2b розраховується за формулою:
1
 (Ó Yˆ )
,

(n - 2)   (Õ  Õ)
2
³
S
2
b1
³
(5.6)
³
2
³
³
де Yˆ³ – теоретичні значення параметра Уі, розраховані за формулою (5.4).
Õ – середнє значення ознаки Хі. Õ   Õ ³  100  12,5
n
8
Проведемо розрахунки сум, необхідних для обчислення S2b в таблиці 5.3.
1
Таблиця 5.3 – Розрахункова таблиця
№ п/п
Хі
Уі
Õ³  Õ
(Õ ³  Õ) 2
Ŷ  80,58  1,917  Õ
Ó ³ Yˆ
( Ó³ Yˆ³ ) 2
1
5
10
7
17
14
20
7
20
70
55
97
30
57
26
80
50
-7,5
-2,5
-5,5
4,5
1,5
7,5
-5,5
7,5
56,25
6,25
30,25
20,25
2,25
56,25
30,25
56,25
82,703
66,318
76,149
43,378
53,209
33,547
76,149
33,547
-12,703
-11,318
20,851
-13,378
3,791
-7,547
3,851
16,453
161,379
128,093
434,755
178,968
14,369
56,950
14,828
270,717
100
465
0
258
-
0
1260,060
2
3
4
5
6
7
8
∑
17
Тоді дисперсія параметра S2b за формулою (5.6) дорівнює:
1
S 2b1 
 (Ó Yˆ )
³
2
³
³
(n - 2)   (Õ ³  Õ)
2

1260,06
 0,814 .
6  258
³
Розрахуємо t-критерій Ст’юдента за формулою (5.5):
t b1 
b1
S 2b1

 3,277
0,814
 3,63
З таблиці значений Стьюдента при рівні значущості 0,05 та числу
степенів свободи k = n-m=8-2 =6 отримаємо значення tкрит. = 2,45.
Так як |tрозр.| = 3,63 > tкрит.=2,45, то коефіцієнту регресії в1 = -3,277 є
суттєвим, тобто статистично значимим.
Висновки. За наведеними даними нами було знайдено рівняння лінійної
регресії, що характеризує добову вартість туристичних путівок (У) від оплати
тривалістю відпочинку (Х) : Ŷ  99,09  3,277  Õ . Коефіцієнт регресії в1 = -3,277 є
статистично незначимим.
Задача 6. Ряди динаміки.
Дані про введену площу житлових будинків наведено у таблиці 6.1.
Таблиця 6.1 – Дані про введену площу житлових будинків.
Рік
2000
2001
2002
2003
2004
Площа, млн. м2
17,4
14,5
14,7
12,3
10,1
Розрахувати абсолютні та відносні показники динаміки. Спрогнозувати за
допомогою трендового рівняння введення площі житлових будинків у 2005 та
2007 роках. Зробити висновки.
Рішення:
1). Розрахуємо абсолютні показники динаміки.
Розрахуємо ланцюгові абсолютні прирости за формулою:
∆лy= уi – yi-1,
(6.1)
де ∆лy – ланцюговий абсолютний приріст;
уi – поточний рівень ряду динаміки;
18
yi-1 – попередній рівень ряду динаміки.
Розрахуємо базисні абсолютні прирости за формулою:
∆бy = уi– у1,
(6.2)
де ∆бy – базисний абсолютний приріст;
Сума абсолютних ланцюгових приростів дорівнює загальному приросту
за весь період:
∑∆лyi = ∆бy = уi– у1
(6.3)
2). Розрахуємо відносні показники динаміки.
Розрахуємо ланцюговий темп зростання:
Тлз = уi/yi-1,
(6.4)
де Тлз – ланцюговий темп зростання.
Розрахуємо базисний темп зростання:
Тбз = уi/у1,
(6.5)
де Тбз - базисний темп зростання.
Базисний темп зростання Тз обчислюється як відношення зіставлюваного
рівня з рівнем, прийнятим за базу зіставлення, і показує, в скільки разів
(відсотків) порівнюваний рівень більший чи менший від базисного.
Добуток ланцюгових темпів зростання дорівнює кінцевому базисному:
Тлз1·Тлз2·Тлз3·...·Тлзn = Тбз = yn/y1
(6.6)
Розрахуємо ланцюговий темп приросту Тпр за формулою:
Тлпр = (Тлр -1)· 100%
Розрахуємо базисний темп приросту Тпр за формулою:
Тбпр = (Тлр -1)· 100%
Розрахуємо абсолютне значення 1% приросту за формулою:
А = yi-1/100
(6.7)
Для зручності за наведеними формулами та на підставі даних таблиці 6.1
усі розрахунки (ланцюгові та базисні абсолютні прирости, ланцюгові та базисні
темпи зростання, ланцюгові та базисні темпи приросту, абсолютне значення 1%
приросту площі житлових будинків) наведемо у таблиці 6.2.
19
Таблиця 6.2 – Розрахунок абсолютних та відносних показників динаміки
Рік
2000
2001
2002
2003
2004
Разом:
Площа, млн. м2
17,4
14,5
14,7
12,3
10,1
69
-7,3
Абсолютні
прирости,
млн. м2
Темп
ланцюгові
-
-2,9
0,2
-2,4
-2,2
базисні
-
-2,9
-2,7
-5,1
-7,3
ланцюгові
-
0,8333
1,0138 0,8367
0,8211
зростання
базисні
-
0,8333
0,8448 0,7069
0,5805
Темп
ланцюгові
-
-16,67
1,38
-16,33
-17,89
приросту, %
базисні
-
-16,67
-15,52
-29,31
-41,95
Абсолютне значення
1% приросту, млн. м2
-
0,174
0,145
0,147
0,123
0,5805
На підставі розрахованих у таблиці 6.2 зробимо висновки.
Динаміка площі житлових будинків має таку тенденцію: з 2000 року по
2001 рік спостерігається зниження на 2,9 млн. м2, з 2001 року по 2002 рік
спостерігаємо збільшення площі житлових будинків на 0,2 млн. м2, з 2002 року
по 2003 рік зниження на 2,4 млн. м2, а к 2004 року – зниження на 2,2 млн. м2.
За період з 2000 року по 2004 рік загальне зменшення площі житлових
будинків складає 7,3 млн. м2.
Ланцюгові темпи приросту склали: -16,67% за 2001 рік; 1,38% за 2002 рік;
-16,33% за 2003 рік та -17,89% за 2004 рік.
Загальний темп приросту за 2000-2004 рр. склав -41,95%.
Абсолютне значення 1% приросту за 2001 р. складає 0,174 млн. м2, за
2002 рік 0,145 млн. м2, у 2003 році: 0,147 млн. м2 та у 2004 році 0,123 млн. м2.
3). Розрахуємо прогнозні значення у 2005 та 2007 роках за формулою:
Ónt  Ón  t   ó ,
(6.8)
де  y – середній абсолютний приріст прогнозного параметра У;
Δt – кількість років від прогнозного року;
уn – значення вибірки (значення, з якого починається прогноз).
уn+Δt – прогнозне значення через t років;
20
Розрахуємо середній абсолютний приріст як середню арифметичну
просту з ланцюгових абсолютних приростів за формулою:
 y = ∑∆лy/n-1,
(6.9)
де  y – середній абсолютний ланцюговий приріст.
Тоді маємо:
 y = (-2,9 +0,2 -2,4 -2,2)/4 = -1,825 млн. м2.
Зробимо прогноз на 2005 рік, використовуючи метод середнього
абсолютного приросту за формулою (6.8):
Ó2005  Ó2004  (2005  2004)   ó  10,1  1 (1,825)  8,275
Зробимо прогноз на 2007 рік:
Ó2007  Ó2004  (2007  2004)   ó  10,1  3  (1,825)  6,45
Отже, прогнозне значення на 2005 рік складає 8,275 млн. м2, а на 2007 рік
– 6,45 млн. м2.
Задача 7. Індекси.
Дані про витрати на телерекламу окремих категорій товару наведено у
таблиці 7.1.
Таблиця 7. 1 – Дані про витрати на телерекламу окремих категорій товару
Собівартість одного
рекламного ролика
Категорія
товару
Кількість роликів
тис. ум. гр. од.
базисний
звітний
базисний
звітний
період (z0)
період (z1)
період (q0)
період (q1)
Солодощі
1,3
1,7
150
187
Напої
1,0
1,2
147
130
Визначте зведені індекси собівартості та кількості виготовлених
рекламних
роликів,
загальних
витрат.
Розрахуйте
абсолютний
розмір
перевитрат (економії) у загальних витратах на телерекламу за рахунок змін у
собівартості. Результати проаналізуйте.
21
Рішення:
1). Розрахуємо зведений індекс собівартості ( I z ) за формулою:
Iz 
 z1 q1
 z 0 q1
,
(7.1)
де q1 – кількість виготовлених рекламних роликів у звітному періоді;
z0, z1 – собівартість у базисному і звітному періодах відповідно.
За даними таблиці 7.1 та формулою (7.1) маємо:
Iz 
z1  q 1 1,7  187  1,2  130 473,9


 1,2702 або 127,02%.
z 0  q 1 1,3  187  1,0  130 373,1
Це означає, що за звітний період собівартість витрат на телерекламу
солодощів і напоїв збільшилася у 1,2702 разів або на 27,02% (127,02%-100% =27,02%).
2). Розрахуємо зведений індекс кількості виготовлених рекламних
роликів ( I q ) за формулою:
Iq 
q 1  z 0
q 0  z 0
(7.2)
Тоді за даними таблиці 7.1 та формулою (7.2) маємо:
Iq 
q1  z 0 187 1,3  130 1,0 373,1


 1,0909 або 109,09%.
q 0  z 0 150 1,3  147 1,0 342
Це означає, за звітний період кількість рекламних роликів по солодощам
та напоям збільшилася у 1,0909 разів або на 9,09% (109,09% - 100% = 9,09%).
3). Розрахуємо зведений індекс загальних витрат ( I zq ) за формулою:
I zq 
 z1 q 1
 z 0 q 0
(7.3)
Тоді маємо:
I zq 
z1  q1 1,7  187  1,2  130 473,9


 1,3857 або138,57%.
z 0  q 0 1,3  150  1,0  147
342
Отже, за звітний період загальні витрати на телерекламу солодощів та
напоїв збільшилася у 1,3857 разів або на 38,57% (138,57% - 100% =38,57%).
4). Розрахуємо абсолютний розмір перевитрат (економії) у загальних
витратах на телерекламу за рахунок змін у собівартості за формулою:
22
(z  q) z   z1i  q1i   z 0i  q1i
i
(7.4)
i
Тоді маємо:
(z  q)   z 1i  q 1i   z 0i  q 1i  1,7  187  1,2  130  (1,3  187  1,0  130)  473,9  373,1  100,8
i
i
Таким чином, абсолютний розмір перевитрат у загальних витратах на
телерекламу за рахунок змін у собівартості складає 100,8 тис. ум. гр. од.
Висновок:
За звітний період загальні витрати на телерекламу солодощів та напоїв
збільшилися у 1,3857 разів або на 38,57%. Це відбулося за рахунок збільшення
собівартості витрат на 27,02% та за рахунок збільшення кількості рекламних
роликів на 9,09%.
Абсолютний розмір перевитрат у загальних витратах на телерекламу за
рахунок змін у собівартості складає 100,8 тис. ум. гр. од.
23
ЛІТЕРАТУРА
1. Бек В.Л. Теорія статистики: Курс лекцій. Навчальний посібник. – Київ:
ЦУЛ, 2002. – 288с
2. Вашків П.Г., Пастер П.І., Сторожук В.П. – Киів: Либідь, 2001. – 320с.
3. Герасименко С.С. Статистика : підручник. – Киів, 2000. – 2984с.
4. Ковтун Н. В., Столяров Г. С. Загальна теорія статистики. – Київ:
Четверта хвиля, 1999р. – 144с.
24