МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ Системи масового обслуговування Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи СУМИ 2008 МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра кібернетики та інформатики ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ Системи масового обслуговування Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи для студентів спеціальностей «Менеджмент організацій», «Менеджмент зовнішньоекономічної діяльності» денної та заочної форм навчання СУМИ 2008 3 УДК Укладачі: В'юненко О.Б., к.е.н., доцент кафедри кібернетики та інформатики Воронець Л.П., ст. викладач кафедри кібернетики та інформатики Дослідження операцій. Системи масового обслуговування. Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи. / Суми, 2008 рік 37 ст., табл. 3, бібл. 3. В методичних вказівках розглядається необхідний теоретичний матеріал з теми „Системи масового обслуговування” дисципліни „Дослідження операцій”. Наведені приклади виконання задач, варіанти завдань для самостійної роботи, тестові завдання для студентів спеціальностей «Менеджмент організацій», «Менеджмент зовнішньоекономічної діяльності» денної та заочної форм навчання. Рецензенти: Сергієнко В.А., ст. викладач кафедри кібернетики та інформатики Сумського національного аграрного університету Головань М.С., к.пед.н., доцент кафедри вищої математики та інформатики Державного вищого навчального закладу «Українська академія банківської справи НБУ» Відповідальний за випуск: Ободок В.К., доцент кафедри кібернетики та інформатики. Рекомендовано до видання навчально-методичною радою інституту економіки та менеджменту Сумського національного аграрного університету. Протокол № ____від „____”___________2008 року. Сумський національний аграрний університет, 2008 4 Зміст стор. 1. Сутність задач масового обслуговування 6 2. Математична модель системи масового обслуговування 7 2.1. Основні елементи математичної моделі систем масового 7 обслуговування 2.2. Характеристики основних елементів математичної моделі 8 систем масового обслуговування 3. Класифікація систем масового обслуговування 11 4. Характеристика систем масового обслуговування по видах 12 4.1. Одноканальні СМО з відмовами 13 4.2. Одноканальні СМО з очікуванням з обмеженням на довжину 13 черги 4.3. Одноканальні СМО з необмеженим очікуванням 14 4.4. Багатоканальні СМО з відмовами 15 4.5. Багатоканальні СМО з очікуванням з обмеженням на довжину 16 черги 4.6. Багатоканальні СМО з необмеженим очікуванням 5. Функціональні характеристики систем масового обслуговування 5.1. Спрощеніформулидлярозрахункуфункціональних 17 18 20 характеристик одноканальних СМО з обмеженим місцем для очікування 5.2. Спрощеніформулидлярозрахункуфункціональних 21 характеристикодноканальнихСМОзнеобмеженим очікуванням 5.3. Спрощеніформулидлярозрахункуфункціональних 21 характеристик багатоканальних СМО з обмеженим місцем очікування 5.4. Спрощеніформулидлярозрахункуфункціональних характеристикбагатоканальнихСМОзнеобмеженим 22 5 очікуванням 6. Приклади розв'язання задач 6.1. Розрахунок функціональних характеристик для одноканальної 22 22 СМО з відмовами 6.2. Розрахунок функціональних характеристик для одноканальної 24 СМО з обмеженим місцем для очікування 6.3. Розрахунок функціональних характеристик для одноканальної 25 СМО без обмеження на довжину черги 6.4. Розрахунок функціональних характеристик для багатоканальної 28 системи масового обслуговування з відмовами 6.5. Розрахунок функціональних характеристик для багатоканальної 30 системи масового обслуговування з необмеженим очікуванням 7. Задачі для самостійного розв'язання 31 8. Тестові завдання 33 Література 36 6 1. Сутність задач масового обслуговування В повсякденному житті і у виробничій діяльності широко розповсюджені системи, призначені для багаторазового розв'язання однотипних задач. Процеси, які при цьому виникають, отримали назву процесів обслуговування, а системи – систем масового обслуговування (СМО). Основи теорії систем масового обслуговування було закладено у працях датського математика А.К. Ерланга і отримали подальший розвиток у працях багатьох вітчизняних та іноземних вчених. Системи масового обслуговування - це такі системи, до яких у випадкові моменти часу поступають замовлення на обслуговування, при цьому замовлення, що надійшли, обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування. Приклади систем масового обслуговування: пости технічного обслуговування автомобілів; пости ремонту автомобілів; персональні комп'ютери, що обслуговують замовлення, що надходять, або вимоги на розв'язання тих або інших задач; станції технічного обслуговування автомобілів; аудиторські фірми; відділи податкових інспекцій, що займаються прийманням і перевіркою поточної звітності підприємств; перукарні; світлофори; підприємства харчування; телефонні станції тощо. Іноді системи обслуговування мають обмежені можливості щодо задовільнення попиту і це призводить до утворення черг. Задачі масового обслуговування розглядають питання утворення та функціонування черг, які виникають в повсякденному житті. Наприклад, черги літаків, що йдуть на посадку, клієнти в ательє побутового обслуговування тощо. Черги виникають 7 внаслідок того, що потік вимог (клієнтів) на обслуговування є випадковим і ним не можна управляти. Якщо кількість пристроїв обслуговування досить велика, то черги виникають рідко, однак при цьому неминучі довготривалі простої обладнання. З іншого боку, якщо недостатня кількість пристроїв обслуговування, створюються черги і можливі великі втрати внаслідок очікування. В задачах масового обслуговування часто необхідно визначити, яка кількість пристроїв масового обслуговування необхідна, щоб мінімізувати сумарні втрати, що очікуються від несвоєчасного обслуговування та простою обладнання. 2. Математична модель системи масового обслуговування 2.1 Основні елементи математичної моделі систем масового обслуговування Джерело Вхідний потік Черга вимог вимог (черги) Потік вимог на повторне обслуговування Обслуговуючий пристрій (пристрої) Вихідний потік вимог Потік втрачених вимог Рис. 1. Структура СМО Математична модель системи масового обслуговування включає такі елементи: вхідній потік вимог, що надходять на обслуговування; черга, яка складається з вимог, що очікують на обслуговування; система обслуговування; вихідні потоки обслужених, втрачених вимог та вимог, що надходять на повторне обслуговування; 8 характеристики якості системи; механізм (дисципліна) обслуговування Структура системи масового обслуговування наведена на рис. 1 2.2. Характеристики основних елементів моделі системи масового обслуговування До основних елементів моделі масового обслуговування відносять, в першу чергу, клієнта (замовлення на обслуговування) і сервіс (обслуговуючий пристрій, прилад, засіб обслуговування тощо). Клієнти надходять до системи обслуговування з джерела клієнтів (джерела вимог). Іншими словами, джерело вимог – це генератор клієнтів. Основною характеристикою джерела вимог є його потужність, яка може бути скінчена і нескінчена. Джерело скінченої потужності обмежує кількість клієнтів, що надходять на обслуговування (наприклад, у комп’ютерному класі, що має N комп’ютерів, сумарна кількість потенційних замовлень на їх ремонт не перевищує N). Джерело нескінченої потужності завжди має клієнтів вдосталь (наприклад, дзвінки, що надходять до телефонної мережі). Вхідній потік вимог визначає послідовність моментів надходження вимог на обслуговування і зазначає кількість таких вимог у кожному черговому надходженні. Для описання вхідного потоку потрібно задати закон розподілу ймовірностей, що управляє послідовністю моментів надходження вимог на обслуговування і зазначити кількість таких вимог у кожному черговому надходженні. Так, наприклад, вимоги у бібліотеці чи у службі таксі можуть надходити в середньому кожні 4 хвилини. При цьому в умовах бібліотеки щоразу надходить одинична вимога (клієнти приходять у бібліотеку по одному), а в умовах служби таксі можуть надходити як одиничні, так і групові вимоги (пасажири можуть їздити по одному або з компанією). Характеристикою потоку вимог є λ. λ – інтенсивність надходження замовлень в систему, тобто середня кількість замовлень, що надходять в систему за одиницю часу. 9 Потік вимог є регулярним, якщо замовлення надходять до системи одне за одним через рівні проміжки часу. Наприклад, потік вимог на конвеєр при розливі молока ( з постійною швидкістю руху) є регулярним. Потік вимог називається стаціонарним, якщо його імовірнісні характеристики не залежать від часу. Зокрема, інтенсивність стаціонарного потоку є величина постійна (t) . Наприклад, потік автомашин на світлофорі не є стаціонарним протягом доби, однак його можна вважати стаціонарним у години пік. Потік вимог називається потоком без наслідків, якщо для будь-яких двох інтервалів часу, які не перетинаються, кількість замовлень, що надходять до системи в ці інтервали, не залежить від кількості замовлень, що надійшли в інші проміжки часу. Наприклад, потік пасажирів метро практично не має наслідків. Потік замовлень називається ординарним, якщо події надходять по одному, а не групами. Наприклад, потік поїздів у метро є ординарним, а потік вагонів - не ординарним. Потік замовлень називається найпростішім (або стаціонарним пуасоновським), якщо він одночасно стаціонарний, ординарний і не має наслідків. Черга - ряд замовлень, що очікують на обслуговування. Розрізняють дві її характеристики – довжину (місткість) і дисципліну черги. Довжина черги може бути скінчена і нескінчена. Так, наприклад, у комп’ютерному класі, що має N комп’ютерів, сумарна кількість потенційних замовлень на їх ремонт не перевищує N, отже, черга не може бути більша за N1. Дисципліна черги визначає принцип, відповідно до якого обслуговуються замовлення в системі. Частіше усього використовуються дисципліни черги, обумовлені наступними правилами: першим прийшов - перший обслуговуєшся; прийшов останнім - обслуговуєшся першим; випадковий добір замовлень; 10 добір замовлень за критерієм пріоритетності; обмеження часу очікування моменту настання обслуговування (має місце черга з обмеженим часом очікування обслуговування, що асоціюється з поняттям «припустима довжина черги»). Механізм обслуговування визначається тривалістю процедур обслуговування ( t ) і кількістю вимог ( ), що обслужені за одиницю часу. Механізм обслуговування може складатися з декількох приладів (каналів обслуговування). При цьому ці прилади можуть бути розташовані паралельно (наприклад працює декілька кас у супермаркеті), або послідовно (наприклад, послідовна обробка деталей у цеху на токарному та фрезерному станках). Тип часу обслуговування може бути як детермінованим, так і випадковим. Так, наприклад, обслуговування клієнтів на підприємстві харчування вважається завершеним, коли клієнт (або група клієнтів) залишають відповідний заклад. Тривалість часу обслуговування ( t ) залежить від запитів клієнта (або групи клієнтів) і є випадковою величиною. Обробка однотипних деталей, наприклад, на токарному станку деякого цеху, характеризується детермінованим часом обслуговування. Вихідний потік вимог характеризується інтенсивністю. μ – інтенсивність обслуговування, тобто число вимог, обслужених за одиницю часу, протягом якого прилад зайнятий обслуговуванням. Існує залежність між часом обслуговування та інтенсивністю обслуговування, яка виражається формулою t 1 (1) При дослідженні СМО можуть розв'язуватися: 1) задачі аналізу СМО – визначення характеристик якості обслуговування залежно від параметрів і властивостей вхідного потоку вимог, параметрів і структури системи обслуговування і дисципліни обслуговування; 2) задачі параметричного синтезу – визначення параметрів системи обслуговування при заданій структурі залежно від параметрів і властивостей потоку вимог, дисципліни і якостей обслуговування; 11 3) задачі синтезу структури системи з оптимізацією її параметрів таким чином, щоб при заданих потоках, дисципліні і якості обслуговування вартість СМО була мінімальною або були мінімальними втрати замовлень при заданих потоках, дисципліні і вартості системи. 3. Класифікація систем масового обслуговування. Системи масового обслуговування класифікуються за різноманітними ознаками. На рис. 2 зображена узагальнена схема класифікації СМО за різними ознаками. СМО одноканальні багатоканальні з відмовами з очікуванням обмеженим часом необмеженим місцем Рис. 2. Класифікація СМО Класифікація СМО за складом: - одноканальні ( з одним обслуговуючим пристроєм); - багатоканальні (з декількома паралельними обслуговуючими пристроями). За складом обслуговуючих пристроїв багатоканальні СМО поділяють на: - однофазні (якщо після проходження одного обслуговуючого пристрою замовлення вважається обслуженим); 12 - багатофазні (замовлення повинно послідовно пройти через декілька обслуговуючих пристроїв). Класифікація за часом перебування вимоги в системі до початку обслуговування: - з відмовами (якщо замовлення, що надійшло до системи, не може бути обслужене, воно покидає систему. Наприклад, телефонуючи до приятеля, Ви почули, що його номер зайнятий, Вам відмовлено в обслуговуванні – Ви чуєте короткі гудки – і для подальшої розмови Вам необхідно ще раз набрати номер, тобто ще раз подати замовлення на обслуговування); - з очікуванням (замовлення, що надійшло до системи у момент, коли всі канали зайняті, становиться в чергу і очікує на обслуговування). Очікування може бути обмеженим і необмеженим. Обмежуватись очікування може часом очікування або довжиною черги. 4. Характеристика систем масового обслуговування по видах Введемо позначення: i - кількість клієнтів в системі обслуговування (в черзі і на обслуговуванні); i - інтенсивність надходження в систему клієнтів за умови, що в системі вже знаходиться i клієнтів; i - інтенсивність вихідного потоку обслужених клієнтів за умови, що в системі знаходиться i клієнтів; Pi - ймовірність того, що в системі знаходиться i клієнтів; - зведена інтенсивність завантаження каналу (або інтенсивність завантаження каналу). Вона виражає середню кількість замовлень, що надходять за час обслуговування одного замовлення. Обчислюється за формулою (2) 13 Для аналізу випадкових процесів з дискретними станами зручно користуватися геометричною схемою, так званим графом станів. Для подальшого розрахунку характеристик ефективності роботи систем масового обслуговування необхідно визначити, окрім можливих станів системи, також ймовірності настання цих станів ( Pi ), які називають граничними ймовірностями системи. Одноканальні СМО з відмовами 4.1 Нехай маємо один канал, на який надходить потік замовлень з інтенсивністю . Вихідний потік має інтенсивність . Граф станів цієї системи масового обслуговування наведений на рис. 3. λ S0 μ S1 Рис. 3. Граф стану одноканальної СМО з відмовами Дана система може приймати два стани: S0 канали вільний; S1 - канал зайнятий (йде обслуговування замовлення). Граничні ймовірності системи: P0 - ймовірність стану S0 (3) P0 P1 - ймовірність стану S1 (4) P1 1 P0 4.2 Одноканальні СМО з очікуванням з обмеженням на довжину черги Граф стану даної системи наведений на рис. 4. S0 λ μ λ S1 μ S2 λ μ … … λ μ Si λ μ … … λ μ SN 14 Рис. 4. Граф стану одноканальної СМО с обмеженим очікуванням Стани СМО мають таку інтерпретацію: S0 - «канал вільний»; S1 - «канал зайнятий» (черги немає); S2 - «канал зайнятий» (одне замовлення знаходиться в черзі); ........................ Si - «канал зайнятий» ( i 1 замовлення знаходиться в черзі); ..................... SN - «канал зайнятий» ( N 1 замовлення знаходиться в черзі). Граничні ймовірності системи: 1 P 0 N 1 1 i 1 (5) 1 N P , P 1, i 0 , 1 1 (6) , i 0, 1 ..., N 1 N 1, 1 4.3 Одноканальні СМО з необмеженим очікуванням На рис. 5 зображений граф станів даної системи S0 λ S1 μ λ μ S2 λ μ … … λ μ Si λ μ … … λ SN μ Рис. 5. Граф станів одноканальної СМО з необмеженим очікуванням Стани СМО мають таку інтерпретацію: S0 - «канал вільний»; S1 - «канал зайнятий» (черги немає); S2 - «канал зайнятий» (одне замовлення знаходиться в черзі); ........................ Si - «канал зайнятий» ( i 1 замовлення знаходиться в черзі); ........................ SN - «канал зайнятий» ( N 1 замовлення знаходиться в черзі) λ μ … … 15 ........................ Граничні ймовірності системи: P (7) 1 0 Pi P0 (8) i 4.4 Багатоканальні СМО з відмовами Нехай маємо N каналів для обслуговування, потік замовлень на обслуговування має інтенсивність λ, а інтенсивність обслуговування дорівнює μ. λ S0 λ μ λ… … S2 S1 2μ 3μ λ λ… … Si iμ (i+1)μ λ SN (N-1)μ Рис. 6. Граф станів багатоканальної СМО з відмовами Дана СМО має такі стани: S0 - «всі канали вільні»; S1 - «один канал зайнятий, інші N 1 канал вільні»; S2 - «два канали зайняті, інші N 2 канали вільні»; ........................ Si - « i каналів зайняті, інші N i канали вільні; ........................ SN - «всі канали зайняті, замовлення отримує відмову в обслуговуванні». Формули для обчислення граничних ймовірностей системи називаються формулами Ерланга на честь засновника теорії масового обслуговування. 1 P0 N i 0 i (13) i! i P i i! P0 , i 0,1, 2,..., N (14) 4.5 Багатоканальна СМО з очікуванням з обмеженням на довжину черги 16 Нехай маємо C каналів обслуговування і число вимог, що надходять до системи, не може перевищувати N . Базовим прикладом цієї моделі є цех, який нараховує N станків. Кожного разу, коли станок виходить з ладу, звертаються до бригади механіків, що складається з C осіб. Інтенсивність поломок одного станка дорівнює поломок за одиницю часу. Механік ремонтує зламані станки з інтенсивністю станків за одиницю часу. Передбачається, що моменти часу поломок і час ремонту підлягають розподіленню Пуассона. В цій моделі потужність джерела клієнтів скінчена. Це становиться наглядним в ситуації, якщо уявити, що всі станки зламані, тоді не надійде більше жодного замовлення. Граф стану даної СМО представлений на рис. 7. S0 λ μ S1 λ λ S2 2μ 3μ … … λ SC Cμ λ… … (C+1) λ SN Nμ Рис. 7. Граф станів багатоканальної СМО з обмеженням на довжину черги Дана СМО має стани: S0 - «всі канали вільні»; S1 - «один канал зайнятий, інші C 1 канал вільні»; S2 - «два канали зайняті, інші C 2 канали вільні»; ........................ SС - « C каналів зайняті (тобто, всі, що є у розпорядженні), черги немає; SC+1 - « C каналів зайняті, одне замовлення знаходиться в черзі»; ........................ SN - «всі C каналів зайняті, N C замовлень знаходиться в черзі»; При інтенсивності поломок на один станок інтенсивність поломок у всьому цеху пропорційна кількості станків в робочому стані. Мовою теорії систем масового обслуговування наявність n станків у системі означає, що n станків зламані. Отже, інтенсивність поломок у всьому цеху визначається як n (N n) , 0 n N 0, n N (15) 17 Інтенсивність обслуговування відповідно n , 0 n C nC (16) , C n N 0, n N Граничні ймовірності розраховуються за формулами: 1 N C 1 C C 1 i! i 0 P0 1 i C C! 1 , C (17) 1 C C 1 i 1 C i! C! N C 1 i 0 ,C 1 i P i P0 , 0 i C i! (18) i C!C i C P0, C i N 4.6 Багатоканальна СМО з необмеженим очікуванням Нехай маємо C каналів для обслуговування з потоком замовлень інтенсивністю λ та інтенсивністю обслуговування μ. Граф станів даної системи зображений на рис. 8 λ S0 λ S1 μ λ… … S2 2μ 3μ λ Si іμ λ… … (і+1)μ λ Cμ Рис. 8. Граф станів багатоканальної СМО з необмеженим очікуванням Система може приймати один із станів: S0 - «всі канали вільні»; S1 - «один канал зайнятий, інші N 1 канал вільні»; S2 - «два канали зайняті, інші N 2 канали вільні»; ........................ Si - « i каналів зайняті, інші N i канали вільні; ........................ SC - «всі канали зайняті, черги немає»; SC+1 - «всі канали зайняті, одне замовлення знаходиться в черзі»; SC λ… … (C+1)μ 18 SC+2 - «всі канали зайняті, два замовлення знаходиться в черзі»; ........................ Слід звернути увагу на те, що в даній системі інтенсивність потоку обслуговування із збільшенням кількості замовлень від 0 до C збільшується від до C відповідно, тому що відповідно збільшується кількість каналів обслуговування. При кількості вимог, більшій за C , інтенсивність обслуговування залишається рівною C . Сталий режим функціонування даної СМО можливий за умови (19) C Формули для розрахунку ймовірностей виникнення станів даної системи мають вигляд: 1 P0 C 1 i i 0 i! (20) C C!(1 C ) i P i i! P0 , при 0 i C (21) i Pi 5. Функціональні C!C i C P 0 , при i C характеристики систем масового обслуговування До основних функціональних характеристик СМО відносять: - Ls - середня кількість клієнтів, що знаходяться в системі; - Lq - середня кількість клієнтів, що знаходяться в черзі; - Ws - середній час перебування клієнта в системі; - Wq - середній час перебування клієнта в черзі; - C - середня кількість зайнятих каналів обслуговування (для багатоканальних СМО). Вказані функціональні характеристики отримують з ймовірностей Pi (з ймовірностей того, що в системі знаходиться i клієнтів). Зокрема: 19 Ls (22) nPn i 1 Lq (23) (n C)Pn i C 1 Зауваження: у випадку скінченої кількості надходження замовлень верхня межа суми дорівнює N . Залежності між Ls і Ws (також між Lq і Wq ) відома як формули Літла і мають вигляд Ls еф (24) Ws (25) - ефективна інтенсивність надходження клієнтів до СМО. Lq Параметр еф еф Wq Він дорівнює вихідній інтенсивності надходження клієнтів у випадку, коли всі бажаючі клієнти мають можливість потрапити в СМО. Якщо ж деякі клієнти не мають такої можливості з тієї причини, що вона заповнена, то еф . Надалі будуть наведені формули для розрахунку еф у тих випадках, де це буде необхідно. Існує також пряма залежність між величинами Ws і Wq . За визначенням, середній час перебування замовлення в системі складається з середнього часу перебування замовлення в черзі і середнього часу обслуговування замовлення: сереній час перебування в системі середній час середній час перебування в черзі обслуговування . Математичній запис цього твердження такий: 1 Ws (26) Wq Помножив ліву і праву частини даної рівності на , спираючись на формули Літла, отримуємо: Ls Lq еф (27) 20 За визначенням, різниця між середньою кількістю клієнтів, що знаходяться в системі Ls , і середньою кількістю клієнтів в черзі Lq дорівнює середній кількості зайнятих вузлів (каналів) обслуговування. Отже C Ls еф Lq (28) Для додаткового аналізу можуть бути обчислені такі показники: - Pвідм - ймовірність відмови в обслуговуванні P P (29) A - абсолютна пропускна здатність системи (середнє число замовлень, відм - N що може обслужити система масового обслуговування в одиницю часу) (30) Aq - q - відносна пропускна здатність системи (середня доля замовлень, що надійшли і обслуговуються системою) q1 P - (31) відм c% - відсоток використання каналів обслуговування c% C C (32) 100 Шляхом певних математичних перетворень можна вивести спрощені формули для розрахунку функціональних характеристик різних видів СМО. 5.1 Спрощені формули для обчислення функціональних характеристик одноканальної СМО з обмеженим місцем для очікування Середнє число замовлень, що знаходяться в системі: 1 (N 1) N (1 )(1 N iPi Ls i 0 N , 2 NN1 N 1 ) , 1. (33) 1 Середній час перебування замовлення в системі: L Ws . s (34) q Довжина черги: LqqWq . (35) 21 5.2 Спрощені формули для обчислення функціональних характеристик одноканальної СМО без обмежень на очікування Формули для розрахунку граничних ймовірностей системи: P , 0 1 P (1 (36) (37) ) i. i Середнє число замовлень, що знаходяться в системі: L s (38) . 1 Середнє число замовлень, що знаходяться в черзі: 2 L (39) . 1 q Середній час перебування замовлення в системі W (1 s ) (1 1 ) . (40) Середній час перебування замовлення в черзі 2 Wq 5.3 Спрощені (1 ) формули (1 для ) (41) . обчислення функціональних характеристик багатоканальної СМО з обмеженим місцем очікуванням Середнє число замовлень, що знаходяться в черзі: N i C (i C 1 C)Pi (C N C 1 2 1)!(C ) 1 C N C (N C 1)1 C C P0 , C 1 (42) Lq C (N C)(N 2C! C 1) P , 0 1 C Для визначення Wq , Ws і Ls за формулами Літла, необхідно скористатися виразом для обчислення еф . Так як жоден клієнт не може потрапити в систему після того, як досягнутий ліміт її місткості, то еф 5.4 Спрощені (1 PN) . формули (43) для обчислення функціональних характеристик багатоканальної СМО з необмеженим очікуванням Середнє число замовлень, що знаходяться в черзі: 22 C 1 L (i C)Pi q i C Для даної СМО )2 (C 1)!(C P0 . (44) , отже еф L s Lq. Значення Ws і Wq можна отримати шляхом ділення значень Ls (45) і Lq на . 6. Приклади розв'язання задач 6.1 Розрахунок функціональних характеристик для одноканальної СМО з відмовами Умова задачі. Нехай одноканальна СМО з відмовами являє собою один пост щоденного обслуговування (ЩО) для мийки автомобілів. Автомобіль, що прибув у момент, коли пост зайнятий, одержує відмову в обслуговуванні. Інтенсивність потоку автомобілів 1 (один автомобіль у годину). Середня тривалість обслуговування - 1,8 години. Потік автомобілів і потік обслуговувань є найпростішими. Потрібно: 1) визначити значення відносної пропускної здатності q ; 2) визначити значення абсолютної пропускної здатності A ; 3) визначити значення імовірності відмови Pвідм ; 4) порівняти фактичну пропускну здатність СМО з номінальної, що була б, якби кожний автомобіль обслуговувався точно 1,8 години й автомобілі над’їжджали б один за одним без перерви. Розв'язання 1. Визначимо інтенсивність потоку обслуговування за формулою (1): 1 t 1 1,8 0,555. 2. Обчислимо відносну пропускну здатність. Обчислення можна вести за формулою (31) або за спеціальною формулою для одно канальних СМО з відмовами: 23 0,555 1 0,555 q 0,356. Розмір q означає, що в сталому режимі система буде обслуговуватися приблизно 35% автомобілів, що над’їжджають до мийки. 3. Визначимо абсолютну пропускну здатність за формулою (30): Це означає, що система здатна здійснити в середньому 0,356 обслуговування автомобілів у годину. 4. Обчислимо ймовірність відмови в обслуговуванні (з формули (29)): Це означає, що біля 65% автомобілів, що прибудуть на мийку, одержать відмову в обслуговуванні. 5. Визначимо номінальну пропускну здатність системи: A ном 1 1 t 1,8 0,555 (автомобілів у годину). Виявляється, що Aном у 1,5 рази ( 0.555/ 0.356 1.5 ) більша, ніж фактична пропускна здатність, обчислена з врахуванням випадкового характеру потоку замовлень і часу обслуговування. 6.2 Розрахунок функціональних характеристик для одноканальної СМО з обмеженим місцем для очікування Умова задачі. Спеціалізований кабінет міської лікарні, що проводить повне медичне обстеження, являє собою одноканальну СМО. Число місць для осіб, що очікують проведення діагностики, обмежено і дорівнює 3. Якщо всі ці місця зайняті, тобто в черзі вже знаходяться три пацієнти, то чергова особа, що прибула на діагностику, у чергу на обслуговування не стає. Потік пацієнтів, що прибувають на діагностику, розподілений за законом Пуассону і має інтенсивність 0.85 осіб за годину. Час діагностики розподілено за показниковим законом й у середньому дорівнює 1,05 години. 24 Потрібно визначити імовірнісні характеристики спеціалізованого кабінету діагностики, що працює в стаціонарному режимі. Розв'язання 1. Знайдемо інтенсивність обслуговування за формулою (1): 1 1 0.952. t 1.05 2. Обчислимо зведену інтенсивність обслуговування за формулою (2) 0,85 0,893. 0,952 3. Розрахуємо граничні імовірності системи за формулами (5) і (6): 1 P0 1 0.893 0,248; 0,8935 1 N 11 P0 0,893 0,248 0,221; 2 2P 0,893 0,248 0,198; P1 P 2 0 3 P3 P P0 4P 4 0,8933 0,248 0,177; 4 0,893 0,248 0,158. 0 4. Знайдемо ймовірність відмови в обслуговуванні за формулою (29): Pвідм P4 4 P0 0.158. 5. Обчислимо відносну пропускну здатність кабінету діагностики за формулою (31): q 1 0.158 0.842 . Pвідм 1 6. Розрахуємо абсолютну пропускну здатність кабінету діагностики за формулою (30) A q 0.85 0.842 0.716 (пацієнта в годину). 7. Обчислимо середнє число осіб, що знаходяться на обслуговуванні й у черзі (тобто в системі масового обслуговування) за формулою (33): Ls (1 (N 1) (1 )(1 N N N1) N 1 ) 0.893(1 (4 1) 0.8934 (1 4 0.8935 ) 1.77 0.893)(1 0.8935 ) 8. Знайдемо середній час перебування пацієнта в системі за формулою (34): Ws Ls (1 PN) 1.77 0.85(1 0.158) 2.473 години 25 9. Розрахуємо середню тривалість перебування замовлення в черзі на обслуговування за формулою (26): Wq Ws 1 2.473 1 0.952 1.423 години 10. Обчислимо середнє число замовлень у черзі (довжину черги) за формулою (35): Lq (1 PN )Wq 0.85 (1 0.158) 1.423 1.02 Роботу розглянутого спеціалізованого кабінету діагностики можна вважати задовільною, тому що обслуговування пацієнтів не здійснюється в середньому в 15,8 % випадків ( Pвідм 0.158). 6.3 Розрахунок функціональних характеристик для одноканальної СМО без обмеження на довжину черги Умова задачі. Повернемося до ситуації, розглянутої в попередньому пункті. Нехай розглянутий кабінет діагностики має у своєму розпорядженні необмежену кількість місць для пацієнтів, що очікують обслуговування, тобто довжина черги не обмежена. Потрібно визначити фінальні значення наступних ймовірних характеристик: імовірності станів системи (кабінету діагностики); середнє число пацієнтів, що знаходяться в системі (на обслуговуванні й у черзі); середню тривалість перебування пацієнта в системі (на обслуговуванні й у черзі); середнє число пацієнтів у черзі на обслуговуванні; середню тривалість перебування пацієнта в черзі. Рішення 1. Параметр потоку обслуговування автомобілів і зведена інтенсивність потоку визначена раніше в попередньому прикладі: 26 0.893. 0.952; 2. Обчислимо граничні імовірності системи за формулами (7) і (8): P 0 1 1 0,893 0,107; P1 (1 P (1 ) ) 2 (1 ) 3 (1 0,893) 0,8933 (1 ) 4 (1 (1 ) 5 (1 0,893) 0,8935 2 P (1 0,893) 0,893 0,096; (1 0,893) 0,8932 0,085; 3 P 4 P 0,076; 0,893) 0,8934 0,068; 0,085 и т.д. 5 Слід зазначити, що P0 визначає частку часу, протягом якого кабінет діагностики змушений не діяти (простоює). У нашому прикладі вона складає 10,7 %, тому що P0 0.107 . 3. Середня кількість пацієнтів, що знаходяться в системі (на обслуговуванні й у черзі) розрахуємо за формулою (38): 0,893 LS 1 8,346 ед. 1 0,893 4. Середня тривалість перебування клієнта в системі за формулою (40): WS LS 1 1 1 9,817 годин. 0,952 (1 0,893) 5. Середня кількість пацієнтів у черзі на обслуговування за формулою (39): Lq 2 LS 1 0,8932 7,453. 1 0,893 6. Середня тривалість перебування пацієнта у черзі за формулою (41): Wq 1 0,893 0,952 (1 0,893) 8,776 час. 7. Відносна пропускна здатність системи за формулою (31): q 1 P5 1 0.085 0.915, тобто, 91,5 % пацієнтів, що звернулися до кабінету, будуть обстежені. 8. Абсолютна пропускна здатність за формулою (30): A q 0.850.915 0.77775. 27 Слід зазначити, що при дослідженні функціонування кабінету діагностики насамперед цікавим виявляється питання щодо кількості клієнтів, що відвідають даний кабінет при знятті обмеження на довжину черги. Припустимо, у початковому варіанті кількість місць для очікування діагностики дорівнювало трьом (див. приклад 2). Частота m виникнення ситуацій, коли пацієнт, що звертається до кабінету діагностики, не має можливості приєднатися до черги: m У mP0 PN . нашому 4 прикладі при N314 0.85 0.248 0.8934 0.134 пацієнта за годину. і 0.893 При 12-годинному режимі роботи кабінету діагностики це еквівалентно тому, що в середньому за зміну (день) буде втрачатися 12 0.134 1.6 клієнтів. Зняття обмеження на довжину черги дозволяє збільшити кількість обслугованих клієнтів у нашому прикладі в середньому на 1,6 пацієнта за день роботи кабінету діагностики. Ясно, що рішення щодо збільшення місць для очікування діагностики повинно ґрунтуватися на оцінці економічного збитку, що обумовлений втратою клієнтів при наявності усього трьох місць для очікування. 6.4 Розрахунок функціональних характеристик для багатоканальної системи масового обслуговування з відмовами Умова задачі. Нехай n -канальна СМО являє собою супермаркет з трьома ( N 3 ) взаємозамінними касами для обслуговування покупців. Потік клієнтів, що підходять до кас, має інтенсивність 1 покупець за хвилину. Середня тривалість обслуговування t 1.8 хв . Потік надходження покупців до кас і і потік обслуговування цих замовлень є найпростішими. Потрібно обчислити значення: - імовірності станів; 28 - імовірності відмови в обслуговуванні замовлення; - відносної пропускної здатності супермаркету; - абсолютної пропускної здатності супермаркету; - середнього числа зайнятих кас у супермаркеті. Визначити, скільки потрібно використовувати кас, щоб скоротити кількість покупців, які не отримали послугу, у 10 разів. Розв'язання 1. Визначимо параметр . потоку обслуговувань за формулою (1): 1 1 tобс 1,8 0,555. 2. Зведена інтенсивність потоку замовлень за формулою (2) 1 1,8. 0,555 3. Граничні імовірності станів знайдемо за формулами Ерланга (13, 14): P1 P 2 P 3 P0 P0 1! 2 P 2! 3 P 3! 0 1,62 P0; 0 0,97 P0; 1 3 k 0 P 1,8 P0 ; k 1 1 0,186; 1,8 1,62 0,97 k! 1 1,8 0,186 2 1,62 0,186 0,301; P3 0,97 0,186 0,180. P 0,334; 4. Імовірність відмови в обслуговуванні покупця за формулою (29): Pвідм P3 0.180. 5. Відносна пропускна здатність супермаркету за формулою (31): q 1 Pвідм 1 0.180 0.820. 6. Абсолютна пропускна здатність супермаркету за формулою (30): A q 10.820 0.820. 29 7. Для знаходження за формулою (28) середньої кількості зайнятих кас знайдемо спочатку еф за формулою (43): еф (1 PN) еф C (1 0.180) 1 0.820, 0.820 0.555 1.477 . Таким чином, при сталому режимі роботи СМО в середньому буде зайнято 1,5 каси з трьох - інші будуть простоювати. Роботу розглянутого супермаркету навряд чи можна вважати задовільної, тому що він не обслуговує покупців в середньому в 18 % випадків ( P3 0.180). Очевидно, що пропускну здатність супермаркету при даних і можна збільшити тільки за рахунок збільшення кількості кас. 8. Для визначення кількості кас для скорочення кількості покупців, що отримали відмову в обслуговуванні, у 10 разів (тобто щоб імовірність відмови не перевершувала 0,0180), скористуємося формулами (13) і (14). Результати обчислень помістимо у таблицю 1. Таблиця 1 n 1 2 3 4 5 6 P0 0,357 0,226 0,186 0,172 0,167 0,166 0,643 0,367 0,18 0,075 0,026 0,0078 P відм Аналізуючи дані таблиці, слід зазначити, що збільшення кількості кас при даних значеннях і до 6 одиниць дозволить забезпечити обслуговування покупців у 99,22% випадків, тому що при n 6 імовірність відмови в обслуговуванні складає 0,0078. 30 6.5 Розрахунок функціональних характеристик для багатоканальної системи масового обслуговування з необмеженим очікуванням Умова задачі. Прикордонна дільниця має три пости для реєстрації міграції. Потік осіб, що перетинають кордон, пуасонівський і має інтенсивність 2.5 людини за годину. Середній час реєстрації однієї особи розподілений за показниковим законом і дорівнює t 0.5 години. Обчислити: - граничні ймовірності станів системи; - середню кількість замовлень у черзі на обслуговування; - середню кількість замовлень, що знаходяться в системі; - середню тривалість перебування замовлення в черзі; - середню тривалість перебування замовлення в системі. Рішення 1. Інтенсивність обслуговування знайдемо за формулою (1): 1 1 t 0.5 2 особи за годину. 2. Зведену інтенсивність потоку замовлень знайдемо за формулою (2): , 2.5 1.25 2 при цьому за формулою (19) 2.5 C 23 Оскільки 0.41. 1, то черга не зростає необмежено, і в системі наступає C граничний стаціонарний режим роботи. 3. Обчислимо імовірності станів системи за формулами (20) і (21): 1 C 1 n P0 n 0 n! C C! 1 1 C 1 1 2 1! 2! 0,279; 3 3! 1 3 31 1 P1 1! P0 0,349; 2 P2 2! P0 0,218; 3 P3 3! P0 0,091; 4 P4 4! P0 0,028. 4. Середню кількість осіб у черзі на обслуговування знайдемо за формулою (44): Lq C 1 )2 (C 1)!(C 1.253 P0 1 (3 1)!(3 1.25)2 0.279 0.111 5. Середню кількість замовлень, що знаходяться в системі, обчислимо за формулою (45): LL 0.111 1.25 1.361. s q 6. Середню тривалість перебування людини в черзі на обслуговування розрахуємо за формулою (25): Wq Lq 0.111 0.044 години. 2.5 7. Середню тривалість перебування людини в системі обчислимо за формулою (24): Ws L 1.361 s 0.544 години. 2.5 7. Задачі для самостійного розв'язання Задача 1 Поточну лінію автотранспортному щоденного підприємстві обслуговування обслуговує бригада автомобілів на слюсарів. Час надходження машин на обслуговування має випадковий характер. Необхідно оцінити роботу бригади і виявити її оптимальний склад за даними, наведеними в таблиці 2. Таблиця 2 32 № Кількість варіанту робітників в бригаді Кількість Інтенсивність Вартість Тарифна машин, що обслугову- години годинна надходять на вання простою ставка обслуговування автомобілів машини робітника (за день) (за годину) 1 4 8 2 5,2 0,70 2 3 9 3 5,4 0,72 3 3 12 4 5,6 0,74 4 4 12 3 5,8 0,76 5 5 15 3 6,0 0,78 6 3 15 3 5,9 0,77 7 2 8 4 5,7 0,75 8 4 16 4 5,5 0,73 9 3 14 5 5,3 0,71 0 2 14 7 5,1 0,69 Задача 2 Робітник цеху по розливу молока обслуговує n автоматів для розливу. У середньому автомат зупиняється через t1 хв. Час обслуговування одного автомату займає у робітника t2 хв. Оцінити роботу системи за даними, наданими в табл. 3. Порівняти роботу даної системи з роботою системи, для якої кількість робітників збільшена вдвічі. Таблиця 3 № варіанту n t1 t2 1 4 10 5 2 5 12 3 3 6 15 4 33 4 7 10 5 5 8 12 6 6 7 15 6 7 6 10 5 8 5 15 4 9 4 12 3 0 10 10 4 Вирішити цю задачу, збільшивши r, n у 2 рази, та порівняти отримані результати. 8. Тестові завдання 1. Визначити сервіс в ситуації “білетна каса” 1. покупка білету 2. продажа білету 3. знаходження в черзі 4. установа, що надає послугу з реалізації білетів 2. Визначити тип часу обслуговування клієнтів в ситуації “білетна каса” 1. детермінований 2. випадковий 3. скінчений 4. нескінчений 3. Визначити тип інтервалу між послідовними надходженнями замовлень в ситуації “білетна каса” 1. детермінований 2. випадковий 3. скінчений 34 4. нескінчений 4. Визначити тип інтервалу між наданням сервісних послуг в ситуації “білетна каса” 1. детермінований 2. випадковий 3. скінчений 4. нескінчений 5. Визначити дисципліну черги в ситуації “білетна каса” 1. з пріоритетом 2. FIFO 3. LIFO 4. не можна визначити 6. Вказати існуючі дисципліни черги 1. першим прийшов – першим вийшов 2. останнім прийшов – останнім вийшов 3. з пріоритетом 4. всі перелічені випадки 7. В задачах масового обслуговування показники ефективності залежать від 1. характеристик якості і надійності системи обслуговування 2. економічних показників 3. особливостей ситуації, в якій система експлуатується 4. від всіх перерахованих груп факторів 8. Імовірнісна втрата вимоги в СМО – це: 1. вірогідність того, що всі пристрої системи зайняти обслуговуванням 2. вірогідність того, що хоча б один пристрій системи зайнятий обслуговуванням 3. вірогідність того, що ні один пристрій системи не зайнятий обслуговуванням 4. вірогідність того, що всі пристрої системи вільні 35 9. Який показник характеризує ступінь завантаження системи масового обслуговування: 1. Середня кількість зайнятих пристроїв 2. Середня кількість вільних пристроїв 3. Коефіцієнт незайнятості пристроїв 4. Коефіцієнт зайнятості пристроїв 10. Обрати властивості, які має найпростіший потік (в теорії масового обслуговування) 1. Стаціонарність 2. Відсутність наслідків 3. Ординарність 4. Всі вказані властивості 36 ЛІТЕРАТУРА 1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Петько, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. кремера. - М.: Банки й биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407 с. 2. Катренко А.В. Дослідження операцій. Підручник. – Львів: «Магнолія Плюс», 2004. – 549 с. 3. Таха X. Введение в исследование операцій, 6-е издание.: Пер. С англ.. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 912 с. 37 В'юненко Олександр Борисович Воронець Лариса Петрівна Дослідження операцій Системи масового обслуговування Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи Суми, РВВ, Сумський національний аграрний університет, вул.. Кірова 160 Підписано до друку: _______2008р. Формат А5: Гарнітура Times New Roman Тираж: 100 примірників Замовленн_________Ум.друк.арк. 1,5
