Двойной интеграл

Двойной интеграл
Понятие двойного интеграла
n
 i
y
    i
i 1
P2 
Pi ( xi , yi )
Pi 
f ( Pi ) i  f ( xi , yi ) i
P1 
n
n
 f ( P )   f ( x , y )
i 1
0
x
i
i
i 1
i
i
z  f ( P )  f ( x, y )
i
n
 f ( x, y)d  lim  f ( x , y )
n
i 1
i
i
n
  f ( P)d  lim  f ( P )
n
i 1
i
i
i
Определение

Двойным интегралом от функции по
области σ называется предел, к
которому стремится интегральная
сумма при неограниченном
увеличении числа малых площадок и
при условии, что каждая из них
стягивается в точку
Геометрический смысл
n
V  lim  f ( xi , yi ) i   f ( x, y )d
n
i 1

Свойства двойного интеграла
 k   f ( x, y )d
kf
(
x
,
y
)
d




  f ( x, y)   ( x, y)d   f ( x, y)d    ( x, y)d
f ( x, y )  0
f ( x, y )  0
f ( x, y )  0
f ( x, y )   ( x, y )
P0 ( x0 , y 0 )
  f ( x, y)d  0
 f ( x, y)d  0
  f ( x, y)d     ( x, y)d
  f ( x, y)d  f ( x , y )
0
0
Вычисление интегралов
V   f ( x, y)d
y
y  2  x 
A2
C2
B2

2 ( x )
b
 f ( x, y)d   dx  f ( x, y)dy
a
 
yвых
1 ( x)
d
y  1 x


f ( x, y )dx
1( y)
B1
C1
yвх
 2 ( y)
f ( x, y )d   dy
c
A1
0
a
x
b
x