ПРЕДЕЛЫ
Основные теоремы о пределах
1.
2.
3.
lim C = C , где С = const.
x → x0
lim ( f1 ( x ) ± f 2 ( x )) = lim f1 ( x ) ± lim f 2 ( x ) .
x → x0
x → x0
lim ( f1 ( x ) ⋅ f 2 ( x )) = lim f1 ( x ) ⋅ lim f 2 ( x ) .
x → x0
x → x0
lim f1 ( x )
f1 ( x ) x → x 0
4. lim
=
,
lim f 2 ( x )
x → x0 f 2 (x )
x → x0
5.
x → x0
x → x0
lim f 2 ( x ) ≠ 0 .
x → x0
lim C ⋅ f ( x ) = C ⋅ lim f ( x ) .
x → x0
x → x0
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
sin x
lim
=1
x →0 x
1
lim 1 + = e , lim (1 + x )1 x = e
x
x →0
x → ∞
x
Эквивалентность бесконечно малых α и β :
α
=1
x → x0 β
lim
Важнейшие эквивалентности: при x → 0
1. sin ax ~ ax.
6. e x − 1 ~ x .
2. tg ax ~ ax.
7. a x − 1 ~ x ⋅ ln a.
3. arcsin ax ~ ax.
8. ln(1 + x) ~ x.
4. arctg ax ~ ax .
5. 1 − cos ax ~
2
(ax)
.
2
9. log a (1 + x) ~ x ⋅ log a e.
10. (1 + x) k − 1 ~ k ⋅ x , k > 0 .
число
= 0,
∞
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ:
число
= ∞,
0
0
= 0,
число
∞
= ∞,
число
∞, если a > 1
а∞ =
0, если 0 < a < 1
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ПРАВИЛА ИХ РАСКРЫТИЯ
∞
Неопределенность вида .
∞
Правило раскрытия:
числитель и знаменатель дроби
разделить на переменную в самой
большой степени.
В частности:
n
lim
a0 x + a1 x
n −1
+ ... + a n
x → ∞ b0 x m + b1 x m −1 + ... + bn
=
∞, если n > m
.
= 0, если n < m
a b , если n = m
0 0
Неопределенность вида [1∞ ] .
Правило раскрытия: использовать
второй замечательный предел.
0
Неопределенность вида .
0
Правило раскрытия:
х → х 0 числитель
при
и
знаменатель дроби сократить на
( х − х0 ) .
В частности:
1) если в числителе и знаменателе
дроби
присутствуют
тригонометрические и обратные
тригонометрические функции, то
следует
применить
первый
замечательный предел и следствия
из него;
2) если выражение содержит
корни, то числитель и знаменатель
дроби умножить на выражение
сопряженное
выражению
с
корнями.
Неопределенность вида [0 ⋅ ∞].
Правило раскрытия:
данную
неопределенность
0
∞
привести к виду или .
∞
0
Неопределенность вида [∞ − ∞ ].
Правило раскрытия: данную
неопределенность привести к
0
∞
виду или . Для этого
∞
0
либо дроби привести к общему
знаменателю,
либо
данное
выражение умножить и разделить
на сопряженное ему выражение.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ, ТОЧКИ РАЗРЫВА
Непрерывность функции
Функция y = f ( x ) – непрерывна в т. x0 , если:
1) y = f ( x ) определена в точке x0 , т. е. x0 ∈ D( y ) ;
2) существует lim f ( x) , т. е.
lim
x → x0 − 0
x→ x 0
3) lim f ( x) = f ( x0 ) т. е.
lim
x → x0 − 0
x → x0
f ( x) =
f ( x) =
lim
x → x0 + 0
lim
x → x0 + 0
f ( x) ;
f ( x ) = f ( x0 ) .
Если в точке x0 нарушено хотя бы одно из трех условий, то функция называется разрывной в точке x0 , а точка x0 – точкой разрыва.
Классификация точек разрыва
Точки разрыва I рода
Точки устранимого
разрыва
lim
x → x0 − 0
=
lim
x → x0 + 0
Точки конечного
скачка
f ( x) =
lim
x→ x0 −0
f ( x ) ≠ f ( x0 )
y
0
Точки разрыва II рода
≠
lim
Точки бесконечного
скачка
f ( x) ≠
x→ x0 + 0
∃
f ( x)
y
x0
x
0
lim
x → x0 ± 0
f ( x) = ±∞
y
x0
x
0
x0
x
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
y′ =
∆y
dy
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim
= lim
∆x
dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0
Таблица производных
Правила дифференцирования
Производные основных
элементарных функций
1. С ′ = 0
1.
2.
(Сu )′ = Cu ′
2.
3.
(u ± v )′ = u ′ ± v ′
3.
(x n )′ = nx n −1
(a x )′ = a x ⋅ ln a
(e x )′ = e x
′ = u ′v + v ′u 4. (ln x )′ = 1
x
4. (u ⋅ v )
′
u ′v − v ′u
u
5. =
v
v2
5.
(log a x )′ =
1
x ⋅ ln a
(sin x )′ = cos x
′
7. (cos x ) = − sin x
6.
8.
(tg x )′ =
1
2
Производные сложной
функции
3.
( n )′ = nu n −1 ⋅ u ′
(a u )′ = a u ⋅ ln a ⋅ u ′
(eu )′ = eu ⋅ u ′
4.
(ln u )′ = 1 ⋅ u ′
5.
(log a u )′ =
1. u
2.
u
1
⋅ u′
u ⋅ ln a
(sin u )′ = cos u ⋅ u ′
′
7. (cos u ) = − sin u ⋅ u ′
6.
8.
(tg u )′ =
1
2
⋅ u′
cos u
cos x
1
1
′
′
9. (ctg x ) = −
9. (ctg u ) = −
⋅ u′
2
2
sin x
sin u
1
1
′
′
10. (arcsin x ) =
10. (arcsin u ) =
⋅ u′
2
2
1− x
1− u
1
1
′
11. (arccos u )′ = −
11. (arccos x ) = −
⋅ u′
2
2
1− u
1− x
1
1
′
′
12. (arctg u ) =
12. (arctg x ) =
⋅u′
2
2
1+ u
1+ x
1
1
′
′
13. (arcctg u ) = −
13. (arcctg x ) = −
⋅ u′
2
2
1+ u
1+ x
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ, НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ
Формула нахождения производной сложной функции
y = f (u ) , u = ϕ( x ), где u – промежуточный аргумент
y ′x = f u′ ⋅ u ′x
Правило нахождения производной функции, заданной неявно уравнением
F ( x; y ) = 0 .
Продифференцировать уравнение F ( x; y ) = 0 по x, считая y функцией
от x. Разрешить полученное выражение относительно y ′ .
Формула нахождения производной функции, заданной параметрически
x = x(t ),
y = y (t ).
уравнениями
y′
y ′x = t
xt′
Логарифмическое дифференцирование
• Прологарифмировать исходное уравнение
y = f (x) (т.е. ln y = ln f ( x) ).
• Полученное выражение продифференцировать по x, считая y функцией от х (т.е.
1
⋅ y ′ = (ln f ( x ))′ ).
y
• Из последнего равенства выразить y ′ .
Производная второго порядка
y ′′ =
d2y
dx 2
= ( y ′)′
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Определение
Дифференциал функции – это главная часть приращения функции
y = f ( x ) линейная относительно ∆x :
dy = y ′∆x .
Если y = x , то dx = ∆x .
Формула для вычисления
dy = y ′dx
Формула для приближенного нахождения функции с помощью дифференциала
f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Исследование функций
и экстремум
y′ = 0 или y′ не сущ.
y′ = 0 или y′ не сущ.
Монотонность
–
+
x1
+
поведение y
x2
max
знак y′
min
точки экстремума
, вогнутость, точки перегиба
y′′ = 0 или не сущ.
y′′ = 0 или не сущ.
Выпу клость
+
–
+
x3
x4
точка
перегиба
точка
перегиба
знак y ′′
поведение y
АСИМПТОТЫ
y
l
Прямая l называется асимптотой
ρ
M
кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до прямой
0
l стремится к нулю при удалении
x
точки M в бесконечность.
ρ → 0 при M → ∞
Виды асимптот
Вертикальные
асимптоты
l : x = a – вертикальная асимптота,
y
если
a
0
l
y = f (x)
lim
f ( x ) = ±∞ ,
lim
f ( x ) = ±∞
x→a −0
x
x→a +0
Наклонные асимптоты
y
y = f (x)
l : y = kx + b – наклонная асимптота, если
l
f (x )
,
x → ±∞ x
∃ k = lim
0
x
Горизо нтальные
0
x → ±∞
асимптоты
y
y =b
y = f (x)
b = lim ( f ( x ) − kx )
l:y=b
x
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
f (x ) 0
f ′( x )
∞
= или = lim
∞ x → x 0 g ′( x )
x → x0 g (x ) 0
lim
Вычисление пределов по правилу Лопиталя
Вид
неопределенности
Способ раскрытия
Применить правило Лопиталя (возможно несколько
0 ∞
0 , ∞
раз).
0
∞
Привести неопределенность к виду или ,
∞
0
[0 ⋅ ∞], [∞ − ∞]
для этого представить данное выражение в виде
дроби.
1) данное выражение обозначить новой переменной (т.е. lim f ( x ) g ( x ) = y );
x → x0
2) прологарифмировать обе части полученного равенства (т.е. ln lim f ( x ) g ( x ) = ln y , и для
∞
∞
[1 ] , [∞ ] , [0 ]
x → x0
0
преобразований поменять знак предела и логарифма местами);
3) преобразовать выражение так, чтобы получи-
0
∞
лась неопределенность вида или , к
0
∞
которой применить правило Лопиталя и вычислить предел;
4) найти y из условия ln y = a .
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Задача интерполяции
Дано: (n + 1) точка x0 , x1 , x2 ,, xn ∈ [a; b] – узлы интерполяции;
значения функции f (x) в узлах интерполяции, то есть
… xn
x0
x1
x2
f ( x0 )
f ( x1 )
f ( x2 ) …
f ( xn )
Цель: для данной функции f (x) по её значениям в точках
x0 , x1 , x2 ,, xn ∈ [a; b] найти многочлен Рn (x) степени ≤ n , такой что
Pn ( xi ) = f ( xi ), xi ∈ [a; b], i = 0,1,, n .
Интерполяционный многочлен Лагранжа
(x − x1 )(x − x2 )(x − xn )
(x − x0 )(x − x1 )(x − xn−1 )
Рn ( x) =
f ( x0 ) + +
f (x )
(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − xn )
(xn − x0 )(xn − x1 )(xn − xn−1 ) n
При n = 1
(x − x1 ) f ( x ) + (x − x0 ) f ( x ) ;
P1 ( x) =
0
1
( x0 − x1 )
( x1 − x0 )
при n = 2
(x − x1 )(x − x2 ) f ( x ) + (x − x0 )(x − x2 ) f ( x ) + (x − x0 )(x − x1 ) f ( x )
P2 ( x) =
0
1
2
( x0 − x1 )( x0 − x2 )
( x1 − x0 )( x1 − x2 )
( x2 − x0 )( x2 − x1 )
Формула линейной интерполяции
Для точек ( xi ; f ( xi )) , ( xi +1 ; f ( xi +1 ))
x − xi
( f ( xi+1 ) − f ( xi ) )
f ( x ) = f ( xi ) +
xi +1 − xi
Интерполяционный многочлен Ньютона
Для равноотстоящих точек
x0 x1 x2 … xn
y0 y1 y 2 … y n
h = xi +1 − xi – шаг,
конечные разности первого порядка: ∆y0 = y1 − y0 ; ∆y1 = y 2 − y1 и т.д.;
конечные разности первого порядка: ∆2 y0 = ∆y1 − ∆y0 ; ∆2 y1 = ∆y 2 − ∆y1 и т.д.
∆y0
∆2 y0
∆n y0
(x − x0 ) + 2 (x − x0 )(x − x1 ) + + n (x − x0 )(x − x1 )(x − xn−1 )
Pn ( x) = y0 +
h
2!h
n!h
при n = 2
∆y
∆2 y0
(x − x0 )(x − x1 )
P2 ( x) = y0 + 0 ( x − x0 ) +
h
2!h 2
y
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Алгебраическая форма: z = x + yi, где i 2 = −1
Геометрическая
Основные понятия
интерпретация
1. x = Re z – действительная часть z,
y
y = Im z – мнимая часть z
z
ϕ
2. z = x − yi – число сопряженное z .
r
0
x
x
3. − z = − x − yi , число противоположное z .
r = x 2 + y 2 – модуль комплексно- 4. Условие равенства двух комго числа;
ϕ – аргумент комплексного числа,
tgϕ =
y
, (− π < ϕ ≤ π )
x
плексных чисел
z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i :
z1 = z 2 ⇔
Действия над комплексными числами:
z1 = x1 + y1i, z 2 = x 2 + y 2 i .
x1 = x 2 ,
y1 = y 2 .
1. z1 + z 2 = ( x1 + y1i ) + ( x 2 + y 2 i ) = ( x1 + x 2 ) + ( y1 + y 2 )i .
2. z1 ⋅ z 2 = ( x1 + y1i ) ⋅ ( x 2 + y 2 i ) = ( x1 x 2 − y1 y 2 ) + ( x1 y 2 + y1 x 2 )i .
z
z ⋅z
3. 1 = 1 2 .
z2
z2 ⋅ z2
Тригонометрическая форма: z = r (cos ϕ + i sin ϕ)
z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ,
z 2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
1. z1 ⋅ z 2 = r1 ⋅ r2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )) .
z
r
2. 1 = 1 (cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ 2 )) .
z 2 r2
ϕ + 2πk
ϕ + 2πk
3. n z = n r cos
+ i sin
k = 0,1,2, …, n − 1.
,
n
n
4. z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) – формула Муавра.
Показательная форма: z = r ⋅ eiϕ
z1 = r1 ⋅ eiϕ1 ,
z2 = r2 ⋅ eiϕ 2
i ( ϕ1 + ϕ 2 )
z
r
1. z1 ⋅ z 2 = r1r2 ⋅ e
3. z n = r n ⋅ einϕ
2. 1 = 1 ei ( ϕ1 − ϕ 2 )
z2 r2
ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Понятие функции комплексной переменной
D = {z | z = x + iy} , E = {w | w = u + iv} - числовые множества.
Функция комплексной переменной – правило, по которому каждому числу
z ∈ D ставится в соответствие число w∈ E .
Обозначается w = f (z ) , то есть f ( x + iy ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) ,
где u ( x; y ) = Re f ( z ) - действительная часть функции f (z ) ;
v( x; y ) = Im f ( z ) - мнимая часть функции f (z ) .
Дифференцирование функции комплексной переменной
Производная функции
∆w
f ( z + ∆z ) − f ( z )
= lim
∆z
∆z →0 ∆z
∆z →0
f ′( z ) = lim
Условия существования производной
(условия Коши-Римана или Эйлера-Даламбера)
w = u ( x; y ) + iv( x; y ) – дифференцируема в точке z = x + iy ⇔
∂u ∂v ∂u
∂v
⇔ = ;
= −
∂x
∂x ∂y ∂y
Формулы для нахождения производной
∂u
∂v
+i ;
∂x
∂x
∂u
∂u
f ′( z ) =
−i ;
∂x
∂y
f ′( z ) =
∂v
∂v
+i ;
∂y
∂x
∂v
∂u
−i
f ′( z ) =
∂y
∂y
f ′( z ) =
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение
Совокупность F ( x ) + C всех первообразных функции f ( x ) на множестве
X называется неопределенным интегралом:
∫ f (x )dx = F (x ) + C ,
где f ( x ) – подынтегральная функция;
f ( x )dx – подынтегральное выражение;
x – переменная интегрирования;
С – постоянная интегрирования;
F ( x ) – первообразная f ( x ) , т.е. F ′( x ) = f ( x ) .
Свойства неопределенного интеграла
(
)′
(
)
1. ∫ f ( x )dx = f ( x )
2. d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx
3. ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C
4. ∫ af ( x )dx = a ∫ f ( x )dx ,
a = const
5. ∫ ( f1 ( x ) ± f 2 ( x ))dx = ∫ f1 ( x )dx ± ∫ f 2 ( x )dx
6. ∫ f (ax + b )dx =
1
F (ax + b ) + C ,
a
Геометрическое представление
y = F ( x ) + C – семейство
интегральных кривых
y
a, b – const.
Методы интегрирования
1. Метод подстановки:
∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt
х
dх
2. Метод интегрирования по
частям:
0
x
∫ udv = uv − ∫ vdu
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
x n +1
1. ∫ x dx =
+C,
n +1
n
n ≠ −1
12. ∫
∫
x2
2. ∫ xdx =
+C
2
13. ∫
3. ∫ dx = x + C
14. ∫
4. ∫
dx
= ln x + C
x
15. ∫
dx
1− x
2
dx
1− x
2
= arcsin x + C или
= − arccos x + C
dx
x2 ± a2
dx
x2 + a2
dx
2
x +1
=
= ln x + x 2 ± a 2 + C
x
1
arctg + C
a
a
= arctg x + C или
dx
∫ x 2 + 1 = −arcctg x + C
=
1
x−a
ln
+C
2a x + a
=
1
a+x
ln
+C
2a a − x
5. ∫ e x dx = e x + C
16. ∫
ax
6. ∫ a dx =
+C
ln a
17. ∫
7. ∫ sin xdx = − cos x + C
18. ∫ tg xdx = − ln cos x + C
8. ∫ cos xdx = sin x + C
19. ∫ ctg xdx = ln sin x + C
x
9. ∫
dx
cos 2 x
10. ∫
11. ∫
dx
sin 2 x
dx
x2 − a2
dx
a2 − x2
= tg x + C
20. ∫
dx
x π
= ln tg + + C
cos x
2 4
= −ctg x + C
21. ∫
dx
x
= ln tg + C
sin x
2
22. ∫
f ′( x )
dx = ln f ( x ) + C
f (x )
dx
a2 − x2
= arcsin
x
+C
a
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Формула интегрирования по частям
∫ udv = uv − ∫ vdu
№
1.
Вид интеграла
u
dv
Pn (x)
e kx dx
∫ Pn (x ) ⋅ a dx,
∫ Pn (x ) ⋅ cos kxdx,
Pn (x)
a kx dx
Pn (x)
cos kxdx
∫ Pn (x ) ⋅ sin kxdx,
Pn ( x ) – многочлен
Pn (x)
sin kxdx
∫ Pn (x ) ⋅ ln xdx ,
∫ Pn (x ) ⋅ arctg xdx,
ln x
Pn ( x)dx
arctg x
Pn ( x)dx
arcctg x
Pn ( x)dx
arcsin x
Pn ( x)dx
arccos x
Pn ( x)dx
∫ Pn (x ) ⋅ e
kx
dx ,
kx
2.
∫ Pn (x ) ⋅ arcctg xdx,
∫ Pn (x ) ⋅ arcsin xdx,
∫ Pn (x ) ⋅ arccos xdx
3.
∫e
ax
⋅ cos bxdx ,
kx
∫ a ⋅ cos bxdx ,
Метод
интегрирования
использовать
∫e
⋅ sin bxdx ,
того
∫a
kx
⋅ sin bxdx ,
показательную
∫ cos(ln x )dx
частям
оба
раза
в
качестве U взять функцию одного и
ax
∫ sin (ln x )dx ,
дважды,
по
же
типа
(оба
раза
функцию,
либо
либо
тригонометрическую).
Полученное
уравнение
относительно
разрешить
искомого интеграла.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБЕЙ
Вид интеграла
Метод интегрирования
Выделить в знаменателе полный квадрат и
1. ∫
Ax + B
2
ax + bx + c
(D < 0 )
P (x )
2. ∫ n
dx
Qm ( x )
dx
ввести подстановку x +
b
= t.
2a
а) Если n ≥ m выделить целую часть;
б) разложить знаменатель Qm ( x ) на множители,
т.е. представить в виде
(
)s
Qm ( x ) = ( x − a )k x 2 + px + q ;
в) представить правильную дробь в виде суммы
простейших дробей по принципу:
(x − a ) →
A1
;
x−a
( x − a )k →
Ak
A1
A2
+
+ ... +
x − a ( x − a )2
( x − a )k
k – дробей
(x 2 + px + q ) → 2Ax + B ;
x + px + q
(x 2 + px + q)k → 2A1x + B1 + ... + 2Ak x + Bk k
x + px + q
(x + px + q)
k – дробей
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
№
1
Вид интеграла
∫
Ax + B
2
ax + bx + c
dx
Метод интегрирования
Выделить
в
подкоренном
выражении
полный
квадрат
ввести подстановку x +
2
m1
m2
dx
(
)
(
)
R
x
ax
b
ax
b
,
+
,
+
,
n
n
1
2
∫
m1
m2
ax + b n1 ax + b n 2
∫ R x, cx + d , cx + d ,dx
4
Интеграл от дифференциального
бинома
∫ x ⋅ (a + bx ) dx
n p
а) р – целое число;
5
б)
m +1
– целое число;
n
в)
m +1
+ р – целое число
n
2
2
∫ R x, a − x dx,
2
2
∫ R x, x − a dx,
2
2
∫ R x, x + a dx.
b
= t.
2a
Подстановка (ax + b ) = t s , где
s - наименьший общий знаменатель
дробей
3
и
m1 m2
; ;
n1 n2
ax + b s
Подстановка
= t , где
+
cx
d
s - наименьший общий знаменатель
m m
дробей 1 ; 2 ;
n1 n2
Подстановки Чебышева
а) x = t k , где k – общий знаменатель
дробей m и n;
б) (a + bx n ) = t k , где k –
знаменатель дроби р;
в) (a + bx n ) = t k ⋅ х n , где k –
знаменатель дроби р.
Подстановка (соответственно):
x = a ⋅ sin t , ( x = a ⋅ cos t ),
a
a
, x =
,
sin t
cos t
x = a ⋅ tg t , ( x = a ⋅ ctg t ) .
x=
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
№
1
Вид интеграла
∫ R(sin x, cos x )dx
Метод интегрирования
Подстановка tg
2dt
x
= t , dх =
2
1+ t2
x = 2arctg t , sin x =
2
∫ sin
x ⋅ cos n xdx
m, n – четные, а)
2t
1+ t
2
, cos x =
1− t2
1+ t
2
.
m
а)
положительные;
Понизить
степени
sin x ,
cos x
по
формулам:
sin 2 x =
1 − cos 2 x
,
2
sin x ⋅ cos x =
cos 2 x =
1 + cos 2 x
,
2
sin 2 x
;
2
б) m, n – положитель- б) от функции, стоящей в нечетной степени,
ные, хотя бы одно отделить множитель и внести его под знак
нечетное;
дифференциала;
подстановка
x = arctg t
tg x = t ,
в) m, n – четные, хотя в)
бы одно отрицательное
1
t
dt
cos
x
=
sin
x
=
,
.
или (m + n ) – четное, dх =
2
2
1+ t2
1+ t
1+ t
отрицательное;
3
n
n
∫ tg xdx, ∫ ctg xdx
Подстановка tg x = t , сtg x = t
Применить соответственно формулы:
4
∫ sin mx ⋅ cos nxdx,
∫ sin mx ⋅ sin nxdx,
∫ cos mx ⋅ cos nxdx
sin α ⋅ cos β =
1
(sin (α − β) + sin (α + β)) ,
2
sin α ⋅ sin β =
1
(cos(α − β) − cos(α + β)),
2
cos α ⋅ cos β =
1
(cos(α − β) + cos(α + β))
2
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
y
b
y = f (x )
∫ f ( x)dx =
a
n
= lim ∑ f (ξi )∆xi
f (ξi )
λ → 0 i =1
λ = max ∆xi
0
xi ξi xi +1
à
1≤ i ≤ n
x
b
Формула Ньютона-Лейбница
b
∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b ) − F (a ),
b
a
F ( x ) – первообразная f ( x )
Основные свойства
a
1. ∫ f ( x )dx = 0
a
b
a
2. ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx
a
b
b
b
b
a
a
3. ∫ ( f1( x ) ± f 2 ( x ))dx = ∫ f1( x )dx ± ∫ f 2 ( x )dx
a
b
b
a
a
4. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx , k = const .
Методы интегрирования
Замена переменной
Интегрирование по частям
x = ϕ(t )
∫ f (x )dx = dx = ϕ′(t )dt =
b
α≤t ≤β
a
β
= ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt
α
b
b
∫ udv = u v a − ∫ vdu
a
a
b
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Несобственные интегралы II рода
(от разрывных функций)
Несобственные интегралы I рода
(с бесконечными пределами)
+∞
b–ε
b
lim ∫ f ( x )dx
∫ f (x )dx = b→
+∞
a
a
b
b
−∞
a →−∞ a
+∞
c
+∞
−∞
−∞
c
a
b
b
b −ε
a
a
∫ f (x )dx = εlim
∫ f (x )dx
→0
∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx
a+ε
a
∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx,
c ∈ (− ∞;+∞ )
b – точка разрыва
функции f ( x )
a – точка разрыва
функции f ( x )
b
b
b
a
a +ε
f ( x )dx
∫ f (x )dx = εlim
∫
→0
c – ε1 c + ε2
a
c
c – точка разрыва
функции f ( x )
b
c −ε1
b
b
∫ f (x )dx = εlim
∫ f (x )dx + ε lim
∫ f (x )dx
→0
→0
a
1
a
2
c +ε 2
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
y = f (x )
y
b
S = ∫ f ( x )dx
+
a
0 a
y
b
a
x
b
0
S=
x
–
y = f (x )
b
b
a
a
∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx
y
d
d
S = ∫ ϕ( y )dy
x = ϕ (y)
+
с
c
x
0
y
d
x = ϕ (y)
с
0
d
d
c
c
c
b
a
c
S = ∫ ϕ( y )dy = − ∫ ϕ( y )dy
–
x
y
+
0
a
y
c
–
b x
S = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
y = f 2 (x )
b
S = ∫ ( f 2 ( x ) − f1 ( x ))dx
0 a
b
x
y = f1 ( x )
a
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Площадь в полярных координатах
r = r (ϕ )
1β 2
S = ∫ r (ϕ)dϕ
2α
β α
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией,
заданной параметрически
x = x(t )
y
t2
S = ∫ y (t )x′(t )dt
y = y (t )
t1
t1 ≤ t ≤ t 2
x
0
Длина дуги плоской кривой
l : y = f ( x ), a ≤ x ≤ b
y
b
l = ∫ 1 + ( f ′( x ))2 dx
В
l
a
l : x = x(t ), y = y (t ), α ≤ t ≤ β
А
0
x
β
l=∫
α
Объем
y = f (x )
y
(xt′ )2 + ( yt′ )2 dt
тела вращения
b
0
a
b
y
d
с
0
x
x = ϕ (y)
Vx = π ∫ y 2 dx
a
d
V y = π ∫ x 2 dy
c
x
Площадь поверхности вращения
b
S x = 2π ∫ y 1 + ( y′x )2 dx
a
НЕКОТОРЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Работа переменной
силы F ( x )
Путь, пройденный
телом
b
A = ∫ F ( x )dx
a
t2
S = ∫ v(t )dt
( v(t ) – скорость)
t1
b
Статические моменты
дуги плоской кривой
( ρ( x ) – плотность)
M x = ∫ ρ( x ) ydl
a
b
M y = ∫ ρ( x )xdl
a
b
Моменты инерции
дуги плоской кривой
( ρ( x ) – плотность)
J x = ∫ ρ ( x ) y 2 dl
a
b
J y = ∫ ρ ( x )x 2 dl
a
Масса кривой
( ρ( x ) – плотность)
Координаты центра
тяжести плоской
кривой
b
m = ∫ ρ( x )dl
a
xc =
My
m
M
yc = x
m
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
z = f ( x; y ) – функция независимых переменных x и y , если каждой паре
(x; y ) из некоторой области D по какому-либо правилу или закону
ставится в соответствие определенное значение z .
Область определения функции z = f ( x; y ) – это совокупность пар ( x; y ),
при которых z существует (определена).
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ z = f ( x; y )
Производные первого порядка
f ( x; y + ∆y ) − f ( x; y )
∂z
f ( x + ∆x; y ) − f ( x; y ) ′ ∂z
zy =
= lim
= lim
∂y ∆y → 0
∆y
∂x ∆x → 0
∆x
x = const
y = const
z ′x =
Производные второго порядка
′ =
z ′xx
∂2z
∂x
2
∂2z
′ =
z ′xy
∂x∂y
′ =
z ′yy
∂2z
∂y 2
∂2z
′ =
z ′yx
∂y∂x
Полный дифференциал функции z = f ( x; y )
∂z
∂z
dz = dx +
dy
∂x
∂y
частные
дифференциалы
Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
f ( x0 + ∆x; y 0 + ∆y ) ≈ f ( x0 ; y 0 ) +
∂z
∂z
∆x + ∆y
∂x
∂y
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Производная сложной функции
z = f ( x, y )
x = x(t ),
y = y (t )
dz ∂z dx ∂z dy
= ⋅ + ⋅
dt ∂x dt ∂y dt
z = f ( x, y )
dz ∂z ∂z dy
=
+ ⋅
dx ∂x ∂y dx
z = f ( x, y )
x = x(u; v ),
y = y (u; v )
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= ⋅ + ⋅ ,
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
y = y(x )
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= ⋅ + ⋅
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Производная функции, заданной неявно
F ′ ( x; y )
dy
=− x
dx
F y′ ( x; y )
F ( x; y ) = 0
F ′ ( x; y; z )
∂z
,
=− x
∂x
Fz′ ( x; y; z )
F ( x; y; z ) = 0
F y′ ( x; y; z )
∂z
=−
∂y
Fz′ ( x; y; z )
Производная по направлению поля u = u ( x; y; z )
∂u ∂u
∂u
∂u
= cos α + cos β + cos γ
∂l ∂x
∂y
∂z
Градиент скалярного поля u = u ( x; y; z )
grad u =
∂u
∂u
∂u
i+
j+
k
∂z
∂x
∂y
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Схема исследования функции z = f ( x, y ) на экстремум
1. Найти область определения функции
2. Найти z ′x , z ′y .
3. Решить систему уравнений
z ′x = 0
′
z y = 0
и найти критические точки ( M 0 и т.д.) функции.
4. Найти значение вторых производных в критических точках, используя
следующие обозначения:
′ (M 0 ) ,
A = z ′xx
′ (M 0 ) ,
B = z ′xy
′ (M 0 ) .
C = z ′yy
5. Вычислить ∆ = AC − B 2 для каждой критической точки.
6. На основании достаточного условия существования экстремума
сделать вывод о наличии экстремума в критических точках, т.е.
в точке M 0 функция z = f ( x, y ) имеет:
а) минимум, если ∆ > 0 и A > 0 ;
б) максимум, если ∆ > 0 и A < 0 ;
в) не имеет экстремума, если ∆ < 0 ;
г) требуются дополнительные исследования, если ∆ = 0 .
7. Найти экстремальные значения функции.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Уравнение поверхности S : F ( x; y; z ) = 0
Уравнение поверхности S :
z = f ( x; y )
Уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 )
Fx′( x0 ; y0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 ; y0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 ; y0 )( z − z 0 ) = 0
z − z 0 = f x′( x0 ; y0 )( x − x0 ) + f y′ ( x0 ; y0 )( y − y0 )
Уравнение нормали к поверхности
Нормаль – прямая, проходящая через точку М0 и перпендикулярная касательной плоскости
Уравнение нормали
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
Fx′( x0 ; y0 ) Fy′ ( x0 ; y0 ) Fz′( x0 ; y0 )
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
f x′( x0 ; y0 ) f y′ ( x0 ; y0 )
−1
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
z = f ( x, y )
z
n
∑ f (xi ; yi )∆Si ,
∫∫ f (x; y )dS = λlim
→0
i =1
D
f ( xi ; y i )
λ = max{d i },
где
1≤ i ≤ n
d i – диаметр элементарной
y
площадки
x
M i ( xi ; y i )
D
∆Si
Основные свойства
Геометрический смысл
Vцилиндрического тела = ∫∫ f ( x; y )dS
D
m плоской пластины = ∫∫ ρ ( x; y ) dS
ρ( x; y ) – плотность
D
1. ∫∫ kf ( x; y )dS = k ∫∫ f ( x; y )dS ,
D
k = const
D
2. ∫∫ ( f1 ± f 2 )dS = ∫∫ f1dS ± ∫∫ f 2 dS
D
3.
D
D1
D
D2
D
∫∫ f (x; y )dS = ∫∫ fdS + ∫∫ fdS
D
D1
D2
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
y =?
y
y = f 2 (x )
a
y
y =?
y =?
a
f1 ( x )
∫∫ f (x; y )dxdy =
y = f 3 (x ) b
f 2 (x )
a
f1 ( x )
D
c
f 3 (x )
b
f1 ( x )
∫ dx ∫ f (x; y )dy + ∫ dx ∫ f (x; y )dy
y = f1 ( x )
a
0
D
x
b
y = f 2 (x )
f2 (x )
∫∫ f (x; y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x; y )dy
y = f1 ( x )
0
b
с x
b
y
d
х=?
с
ϕ 2 (y)
c
ϕ1 ( y )
∫∫ f (x; y )dxdy = ∫ dy ∫ f (x; y )dx
D
x = ϕ1 ( y )
d
x = ϕ2 ( y )
x
0
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
r −?
r = r2 (ϕ)
r = r1 (ϕ)
β
α
x = r cos ϕ
∫∫ f ( x; y )dxdy = y = r sin ϕ =
D
dxdy = rdrdϕ
β
r2 (ϕ )
α
r1 (ϕ )
∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ; r sin ϕ)rdr
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
M x = ∫∫ yρ( x; y )dxdy
D
Статические моменты
плоской фигуры D
M y = ∫∫ xρ( x; y )dxdy
D
ρ( x; y ) – поверхностная плотность фигуры D
J xx = ∫∫ y 2ρ( x; y )dxdy
D
Моменты инерции
плоской фигуры D
J yy = ∫∫ x 2ρ( x; y )dxdy
D
(
)
J 0 = ∫∫ x 2 + y 2 ρ( x; y )dxdy
D
ρ( x; y ) – поверхностная плотность фигуры D
xc =
Координаты центра
yc =
тяжести С плоской
фигуры D
My
m
,
Mx
,
m
m = ∫∫ ρ( x; y )dxdy – масса D ,
D
ρ( x; y ) – поверхностная плотность фигуры D
Площадь области D
S = ∫∫ dxdy = ∫∫ rdrdϕ
D
D
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Криволинейный интеграл I рода
(по длине дуги)
Криволинейный интеграл II рода
(по координатам)
n
n
∫ f (x; y )dl = lim ∑ f (xi ; yi )∆li
∫ P(x; y )dx + Q(x; y )dy == lim ∑ P(xi ; yi )∆xi + Q(xi ; yi )∆yi
AB
L
λ → 0 i =1
λ → 0 i =1
λ = max ∆li
λ = max ∆Li
1≤ i ≤ n
1≤ i ≤ n
AB – путь интегрирования,
dl – дифференциал длины дуги
L – путь интегрирования
Свойства
Свойства
∫ f (x; y )dl = ∫ f (x; y )dl
1.
AB
1.
BA
AB
AB
AB
AB
AB
AB
L
∫ kf (x; y )dl = k ∫ f (x; y )dl
3.
4.
B
С
А
∫ fdl = ∫ fdl + ∫ fdl
AB
AC
Физический смысл
m = ∫ ρ ( x; y )dl – масса дуги AB
AB
ρ – плотность
BA
2. ∫ P( x; y )dx + Q( x; y )dy = ∫ P( x; y )dx + ∫ Q( x; y )dy
∫ ( f1 ± f 2 )dl = ∫ f1dl ± ∫ f 2 dl
2.
∫ P(x; y )dx + Q(x; y )dy = − ∫ P(x; y )dx + Q(x; y )dy
L
L
Свойства 2–4, сформулированные для криволинейного
интеграла I рода, выполняются и для криволинейного
интеграла II рода.
CB
Физический смысл
A = ∫ P( x; y )dx + Q( x; y )dy – работа
L
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
I рода (по длине дуги)
AB : y = y ( x ), a ≤ x ≤ b
II рода (по координатам)
L : y = y ( x ), a ≤ x ≤ b
dl = 1 + ( y ) dx
′2
b
b
∫ P(x; y )dx + Q(x; y )dy = ∫ P(x; y(x ))dx + Q(x; y(x )) y ′(x )dx
∫ f (x; y )dl = ∫ f (x; y(x )) 1 + ( y ) dx
AB
′2
L
a
a
AB : x = x(t ),
y = y (t ), α ≤ t ≤ β
(xt′ )2 + ( y t′ )2 dt
dl =
β
∫ f (x; y )dl = ∫ f (x(t ); y(t ))
α
AB
d
(xt′ )2 + ( y t′ )2 dt
Связь между двойным и
криволинейным интегралами
∂Q
∂P
∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫ Pdx + Qdy –
D
L : x = x( y ), c ≤ y ≤ d
L
формула Грина
∫ P(x; y )dx + Q(x; y )dy = ∫ P(x( y ); y )x ′( y )dy + Q(x( y ); y )dy
L
L : x = x(t )
y = y (t )
c
α ≤t ≤β
β
∫ P(x; y )dx + Q(x; y )dy = ∫ P(x(t ), y (t ))xt′ dt + Q(x(t ), y (t )) y t′ dt
L
α
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Вид уравнения
Способ решения
Уравнения с разделяющимися переменными
y ′ = f ( x )g ( y )
M 1 ( x )N1 ( y )dx +
+ M 2 ( x )N 2 ( y )dy = 0
Разделить
переменные
Однородные уравнения
y
x
б) P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 ,
где P( x, y ) , Q( x, y ) –
а) y ′ = ϕ
Использовать подстановку
y
= t,
x
однородные функции одного
порядка
y = t ⋅ x,
в) y ′ = f ( x, y ) ,
y′ = t ′ ⋅ x + t
где f ( x, y ) – однородная
функция нулевого порядка
Линейные уравнения
Использовать подстановку
y = u ⋅ v , y ′ = u ′ ⋅ v + v′ ⋅ u
y ′ + p( x ) y = f ( x )
( u , v – функции от x )
Уравнение Бернулли
Использовать подстановку
y ′ + p( x ) y = f ( x ) y n ,
y = u ⋅ v , y ′ = u ′ ⋅ v + v′ ⋅ u
где n ≠ 0, n ≠ 1
( u , v – функции от x )
Уравнение в полных дифференциалах
Найти функцию, полный дифференциал
которой стоит в левой части уравнения,
по одной из формул
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 ,
x
y
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
x0
x
y0
y
x0
y0
причем
∫ P(x, y 0 )dx + ∫ Q(x, y )dy = C
∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x0 , y )dy = C
(точка ( x0 ; y0 ) выбирается произвольно,
но так, чтобы не нарушалось условие
непрерывности
подынтегральных
функций)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ
ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Вид уравнения
1. y (n ) = f ( x )
2. y ′′ = f ( x, y ′)
явно нет y
3. y ′′ = f ( y, y ′)
явно нет x
Пример
y ′′ = x 2 +
Способ решения
Проинтегрировать столько
раз, каков порядок производной
Подстановка
y ′ = z , y ′′ = z ′ ,
1
x2 +1
y ′′ ⋅ ( x + 7 ) = y ′
где z = z ( x ) , z ′ =
Подстановка
y ′ = z , y ′′ = zz ′ ,
dz
где z = z ( y ) , z ′ =
dy
y ′′ ⋅ ( y + 3) = ( y )
′2
4. F ( x, y, y ′, y ′′) = 0
F ( x, y, y ′, y ′′) –
однородная функция
относительно y, y ′, y ′′
dz
dx
Подстановка
y′
= z , y ′ = zy
y
x 2 yy ′′ = ( y − xy ′)2
(
)
y ′′ = y z ′ + z 2 , z ′ =
dz
dx
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линейные однородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
ДУ: y ′′ + py ′ + qy = 0 , где p, q ∈ R
y ′′ ∼ k 2 , y ′ ∼ k , y ∼1
k 2 + pk + q = 0 – характеристическое уравнение
Корни характеристического уравнения
Корни характеристического уравнения
действительные, различные, т.е.
k1 ≠ k 2 , (D > 0 )
Корни характеристического уравнения
действительные, равные, т.е.
k1 = k 2 , (D = 0 )
Корни характеристического уравнения
комплексные, т.е.
k1, 2 = α ± iβ , (D < 0 )
Вид общего решения ДУ
y = C1e k1 x + C 2 e k 2 x
y = e k1 x (C1 + C 2 x )
y = e αx (C1 cos βx + C2 sin βx )
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью
ДУ: y′′ + py′ + qy = Pn ( x )e αx
k 2 + pk + q = 0 – характеристическое уравнение
Общее решение: Y = y + y
Корни
характеристического
уравнения
1. α – не корень
характеристического
уравнения, т.е.
Вид частного
решения
y = Qn ( x )e αx
α ≠ k1 , α ≠ k 2
2. α – однократный корень
характеристического
уравнения, т.е.
n=0
Q0 ( x ) = A ,
n =1
Q1 ( x ) = Ax + B ,
y = xQn ( x )e αx
α = k1 или α = k 2
3. α – двукратный корень
характеристического
уравнения, т.е.
Вид многочлена
y = x 2Qn ( x )e αx
α = k1 = k 2
n=2
Q2 ( x ) = Ax 2 + Bx + C ,
n=3
Q3 ( x ) = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью
ДУ: y ′′ + py ′ + qy = M cos βx + N sin βx
k 2 + pk + q = 0 – характеристическое уравнение
Общее решение: Y = y + y
Корни характеристического уравнения
± βi – не корень характеристического уравнения
± βi ≠ k1, 2
± βi – корень характеристического уравнения
± βi = k1, 2
Вид частного решения
y = A cos βx + B sin βx
y = x( A cos βx + B sin βx )
∞
ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ ∑ an ,
an > 0
1
Если lim an = 0 ,
Необходимый признак
n →∞
∞
Если lim an ≠ 0 ,
n =1
то ряд расходится. КОНЕЦ!
сходимости ряда ∑ an (если ряд
то ряд сходится или расходится?
(исследовать дальше)
n →∞
∞
∑ an сходится, то lim an = 0 )
Достаточные признаки сходимости
Теорема
Сравнения
∞
Признак
Даламбера
Радикальный признак
Коши
∞
∞
n =1
n =1
Интегральный признак
Коши
∞
Если для рядов ∑ an и
Если
∞
быть представлены как
числовые значения некоторой
an +1
непрерывной монотонно
lim n an = l , то
lim
= l , то
n →∞
n →∞ an
убывающей на [1; ∞ ) функции
при l > 1 ряд расходится; при l > 1 ряд расходится; f ( x ) так, что
при l < 1 ряд сходится;
при l < 1 ряд сходится;
a1 = f (1),..., an = f (n ),..., то
+∞
∞
при l = 1 признак ответа при l = 1 признак ответа
∫ f ( x )dx и ∑ an
не дает
не дает
n =1
∑ bn существует
n =1
an
= k , k ≠ 0 , то
k≠∞
n →∞ bn
lim
ряды ведут себя
одинаково, либо оба
сходятся, либо оба
расходятся
для
существует
ряда
∑ an Если для ряда ∑ an
Если члены ряда ∑ an могут
n =1
существует
1
n =1
одновременно сходятся или
расходятся
ПРИМЕНЕНИЕ ДОСТАТОЧНЫХ ПРИЗНАКОВ СХОДИМОСТИ
Признак
Теорема
сравнения
Признак
Даламбера
Пример
an – содержит
a) многочлены
(степень числителя
меньше степени
знаменателя);
б) корни;
в) синус, тангенс,
арксинус, арктангенс.
а) факториал;
∞ 5n 2 + 3n
∑
n =1 n
n =1 n + 3
Интегральный
признак Коши
выражение
вида n n
∑ sin
Применяется во всех
остальных случаях
∑
n =1 4n + 1
∞ 4n + 1 2 n
∑
n
5
n =1
∑
расходится
сходится при
∞ 1
(n + 3)!
n =1
∞ 4n
∞
1 1
+ + ... – ряд
2 3
2. Общегармонический ряд
(ряд Дирихле)
π
2n
n =1
∞
n!
∑
n =1 3n + 1
∞
∑
Радикальный
признак Коши
= 1+
5
∞ 7 ⋅ 12 ⋅ ... ⋅ (5n + 2 )
б) показательную
функцию.
∞ 1
∑
3
n =1 n + 1
∞
n
∑
Эталонные ряды (ряды для сравнения)
1. Гармонический ряд
1
n =1 (n + 1)ln (n + 1)
2
∑ α
α >1
α >0
расходится при
n =1 n
α ≤1
3. Геометрический ряд
сходится при
∞
∑a⋅q
n −1
q < 1, S =
n =1
a
1− q
расходится при
q ≥1
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ
∞
∑ (− 1)n +1 an ,
n =1
Исследовать на абсолютную, условную сходимость
Исследовать на сходимость
Применить теорему Лейбница:
2. lim an = 0
1. à n > a n +1 ,
∞
n +1
∑ (− 1)
n →∞
∞
an –
n +1
∑ (− 1)
Исследовать ряд из модулей, т.е.
n =1
сходится, ( S ≤ a1 )
n =1
расходится,
если оба условия
теоремы Лейбница
выполняются
если хотя бы одно
из условий теоремы Лейбница не
выполняется
∞
∞
n =1
n =1
∑ (− 1)n +1 an = ∑ an ,
по одному из достаточных признаков
∞
an –
an > 0
n +1
∑ (− 1)
n =1
an – расходится
∞
n =1
∞
n +1
то ∑ (− 1) an – сходится условно
n =1
n =1
∑ (− 1)n +1an –
n =1
применить т. Лейбница
n +1
an – сходится по т. Лейбница,
Если ∑ (− 1)
∑ (− 1)n +1an – сходится
∞
n +1
К ряду ∑ (− 1) an
∞
∞
n =1
сходится абсолютно
∞
Если
∑ (− 1)n +1an – расходится по т. Лейбница,
n =1
то
∞
∑ (− 1)n +1an – расходится
n =1
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД
∞
u1 ( x ) + u 2 ( x ) + ... + u n ( x ) + ... = ∑ u n ( x ) , u n ( x ) – функции
n =1
Степенной ряд
По степеням x ,
По степеням ( x − x0 ) ,
0 – центр ряда
∞
a0 + a1x + a2 x 2 + ... + an x n + ... = ∑ an x n
n =0
−R
0
n =0
an
,
n → ∞ a n +1
R = lim
ряд расходится
R
n
2
Интервал сходимости:
ряд сходится
∞
a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + ... + an ( x − x0 ) + ... = ∑ an ( x − x0 )n
Радиус сходимости:
ряд расходится
x0 – центр ряда
R=
1
lim n a n
n→∞
Интервал сходимости:
ряд расходится
ряд сходится
x0 − R
x0
ряд расходится
x0 + R
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
Ряд Тейлора
f ′( x0 )
f ′′( x0 )
f (n ) ( x 0 )
2
( x − x0 ) +
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n + ... =
f ( x0 ) +
1!
2!
n!
∞ f (n ) ( x )
0
= ∑
n=0
n!
( x − x 0 )n
Ряд Маклорена
∞ f (n ) (0 )
f ′(0 )
f ′′(0 ) 2
f (n ) (0 ) n
f (0 ) +
x+
x + ... +
x + ... = ∑
xn
2!
1!
n!
n!
n=0
Схема разложения функции f ( x ) в ряд Тейлора (Маклорена)
1. Найти все последовательные производные функции.
2. Вычислить f ( x0 ), f ′( x0 ) , …, f (n ) ( x0 ).
3. Записать формально ряд Тейлора (Маклорена):
f (x )
∼ f ( x0 ) +
f ′( x0 )
f ′′( x0 )
( x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ...
1!
2!
f (n ) ( x 0 )
(x − x0 )n + ...
+
n!
4. Найти интервал сходимости полученного ряда Тейлора.
5. Найти множество таких x из этого интервала, для которых
lim Rn ( x ) = 0 или f (n ) ( x ) < C .
n→∞
РАЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ В РЯД МАКЛОРЕНА
∞ xn
x x 2 x3
xn
e = 1+ +
+
+ ... +
+ ... = ∑
1! 2! 3!
n!
n = 0 n!
x
−∞ < x < ∞
2 n +1
2 n +1
∞
x x3 x5
n x
n x
sin x = −
+
− ... + (− 1)
+ ... = ∑ (− 1)
(2n + 1)!
(2n + 1)!
1! 3! 5!
n=0
−∞ < x < ∞
2n
2n
∞
x2 x4
n x
n x
+
− ... + (− 1)
+ ... = ∑ (− 1)
cos x = 1 −
(2n )!
(2n )!
2!
4!
n=0
−∞ < x < ∞
(1 + x )m = 1 + m x + m(m − 1) x 2 + m(m − 1)(m − 2) x 3 + ... +
1!
+
2!
3!
m(m − 1)(m − 2 )...(m − n + 1) n
x + ... =
n!
∞ m(m − 1)(m − 2 )...(m − n + 1)
= ∑
n =1
n!
xn +1
−1 < x < 1
n +1
n +1
∞
x 2 x3 x 4
n x
n x
ln (1 + x ) = x −
+
−
+ ... + (− 1)
+ ... = ∑ (− 1)
2
3
4
n +1
n +1
n=0
−1 < x ≤ 1
2 n +1
2 n +1
∞
x3 x5 x7
n x
n x
arctg x = x −
+
−
+ ... + (− 1)
+ ... = ∑ (− 1)
3
5
7
2n + 1
2n + 1
n=0
−1 ≤ x ≤ 1
РЯДЫ ФУРЬЕ
Ряд Фурье для функции f (x) с периодом 2π на интервале (− π; π ) :
a0 ∞
1 π
1 π
1 π
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx ) , где a0 = ∫ f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos nxdx , bn = ∫ f ( x) sin nxdx
2 n=1
π −π
π −π
π −π
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π
f (x) – четная:
где a0 =
π
a0 ∞
+ ∑ an cos nx ,
2 n =1
π
2
2
f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos nxdx , bn = 0
∫
π0
π0
f (x) – нечетная:
где a0 = 0 , an = 0 , bn =
∞
∑ bn sin nx ,
n =1
π
2
∫ f ( x) sin nxdx
π0
Ряд Фурье для функции с периодом 2
a0 ∞
πnx
πnx
1
1
1
nπ
nπ
+ ∑ an cos
x + bn sin
x , где a0 = ∫ f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos
dx , bn = ∫ f ( x) sin
dx
2 n=1
−
−
−
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2
a0 ∞
nπ
+ ∑ an cos
x,
f (x) – четная:
2 n=1
πnx
2
2
где a0 = ∫ f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos
dx , bn = 0
0
0
nπ
x,
n =1
πnx
2
где a0 = 0 , an = 0 , bn = ∫ f ( x) sin
dx
0
f (x) – нечетная:
∞
∑ bn sin
РЯДЫ ФУРЬЕ
Ряд Фурье для функции f (x) с периодом 2π на интервале (− π ;π ) :
a0 ∞
1 π
1 π
1 π
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx ), где a0 = ∫ f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos nxdx , bn = ∫ f ( x) sin nxdx
π −π
π −π
π −π
2 n =1
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π
f (x) – четная:
где a0 =
2π
π 0∫
f ( x)dx , an =
2π
π 0∫
a0 ∞
+ ∑ an cos nx ,
2 n =1
f ( x) cos nxdx , bn = 0
f (x) – нечетная:
где a0 = 0 , an = 0 , bn =
∞
∑ bn sin nx ,
n =1
2π
π 0∫
f ( x) sin nxdx
Ряд Фурье для функции с периодом 2
a0
1
πnx
1
πnx
1
nπ
nπ
+ ∑ an cos
dx
dx , bn = ∫ f ( x) sin
x + bn sin
x , где a0 = ∫ f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos
−
−
−
2 n =1
∞
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2
f (x) – четная:
где a0 =
a0 ∞
nπ
x,
+ ∑ an cos
2 n =1
2
πnx
2
,
f
(
x
)
dx
=
a
f ( x) cos
dx , bn = 0
n
∫
∫
0
0
f (x) – нечетная:
где a0 = 0 , an = 0 , bn =
∞
nπ
∑ bn sin x ,
n =1
2
πnx
f ( x) sin
dx
∫
0
Приложение
Степени с действительным показателем
1. a n ⋅ a m = a n + m .
5. (a ⋅ b) m = a m ⋅ b m .
2. a n : a m = a n − m .
a
6.
b
n m
3. (a )
=a
nm
m
=
am
b
m
.
8. a − n =
9.
n m
a
1
an
, a ≠ 0.
m
=an .
0
7. a = 1, a ≠ 0 .
.
Логарифмы
1. Определение: log a x = b ⇒ a b = x, где a > 0, a ≠ 1 .
log x
2. Основное логарифмическое тождество: a a = x .
Свойства логарифмов
Формулы перехода к новому основанию
log c b
1. log a x + log a y = log a xy .
1. log a b =
.
log c a
x
1
2. log a b =
.
2. log a x − log a y = log a .
y
log b a
1
3. log m b = log a b .
3. log a x n = n log a x .
a
m
n
4. log a a = 1 .
4. log m b n = log a b .
a
m
5. log a x ⋅ log b y = log a y ⋅ log b x .
5. log a 1 = 0 .
Формулы сокращенного умножения
1. a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) .
2. (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 .
3. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2 ) .
4. (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 .
Прогрессии
Арифметическая
прогрессия
Геометрическая
прогрессия
Определение
an = an −1 + d ,
Формула n-го члена
an = a1 + d ( n − 1 )
где d – разность
арифметической
прогрессии
bn = bn −1 ⋅ q ,
где
q–
знаменатель
геометрической
прогрессии
bn = b1 ⋅ q n −1
Сумма
a1 + an
⋅n
2
2a + d ( n − 1 )
⋅n
Sn = 1
2
b1 (1 − q n )
, q ≠1
Sn =
(1 − q )
b
S = 1 – сумма всей
1− q
Sn =
убывающей прогрессии
0
sin
0
cos
1
tg
0
ctg
∞
π
6
π
4
π
3
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
1
3
π
2
π
3π
2
2π
1
0
–1
0
0
–1
0
1
3
∞
0
∞
0
3
3
0
∞
0
∞
Основные тригонометрические формулы
Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента
1
1
1. sin 2 x + cos 2 x = 1. 2. tgx ⋅ ctgx = 1 . 3. tg 2 x + 1 =
. 4. ctg 2 x + 1 =
.
sin 2 x
cos 2 x
Формулы двойного аргумента
2tgx
.
1. sin 2 x = 2 sin x cos x . 2. cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x . 3. tg 2 x =
2
1 − tg x
Формулы понижения степени
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
1. sin 2 x =
.
.
2. cos 2 x =
2
2
x
x
3. 1 − cos x = 2 sin 2 .
4. 1 + cos x = 2 cos 2
2
2
Формулы сложения
1. sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α . 2. cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β .
α+β
α −β
tgα ± tgβ
. 4. sin α + sin β = 2 sin
.
cos
2
2
1 tgαtgβ
α −β
α+β
α+β
α −β
. 6. cos α + cos β = 2 cos
.
5. sin α − sin β = 2 sin
cos
cos
2
2
2
2
α+β
α −β
7. cos α − cos β = −2 sin
.
sin
2
2
3. tg (α ± β ) =
Уравнения
1. sin x = a ⇒ x = (−1) arcsin a + πn,
sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Ζ.
n
arcsin( − x) = − arcsin x.
2. cos x = a ⇒ x = ± arccos a + 2πn,
arccos( − x) = π − arccos x.
3. tgx = a ⇒ x = arctga + πn,
cos x = 0 ⇒ x =
tgx = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Ζ.
π
+ πn, n ∈ Ζ.
2
arctg (− x) = − arctgx.
