Контрольная работа №1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
1)
2)
3)
4)
Задача №1
Даны координаты вершин треугольника ABC . Найти:
уравнения сторон AB и AC и их угловые
коэффициенты;
угол A в радианах (градусах) с точностью до двух
знаков после запятой;
уравнение высоты CD и ее длину;
уравнение медианы AE и координаты точки K
пересечения этой медианы с высотой CD .
Сделать чертеж.
Номер
варианта
1
А
В
С
(2;5)
(14;-4)
(18;18)
2
(0;3)
(12;-6)
(10;8)
3
(-9;6)
(3;-3)
(7;19)
4
(-12;-1)
(0;-10)
(4;12)
5
(4;1)
(16;-8)
(14;6)
6
(-3;10)
(9;1)
(7;15)
7
(-1;4)
(11;-5)
(15;17)
8
(3;6)
(15;-3)
(13;11)
9
(-2;7)
(10;-2)
(8;12)
10
(-6;8)
(6;-1)
(4;13)
11
(-5;9)
(7;0)
(5;14)
12
(-8;-3)
(4;-12)
(8;10)
13
(-5;7)
(7;-2)
(11;20)
14
(-4;10)
(8;1)
(12;23)
15
(-7;4)
(5;-5)
(3;9)
16
(0;2)
(12;-7)
(16;15)
17
(-10;-9)
(2;0)
(6;22)
18
(1;0)
(13;-9)
(17;13)
19
(-4;12)
(8;3)
(6;17)
20
(-10;5)
(2;-4)
(0;10)
Задача №2
Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 . Найти:
1) длину ребра A1 A2 ;
2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3) уравнение плоскости A1 A2 A3 и угол между ребром
A1 A4 и плоскостью A1 A2 A3 ;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань
A1 A2 A3 и ее длину;
5) площадь грани A1 A2 A3 и объем пирамиды.
Сделать чертеж.
Номер
варианта
A1
A2
A3
A4
1
(5;3;10)
(1;9;7)
(0;2;0)
(4;3;5)
2
(2;3;5)
(5;3;7)
(4;2;10)
(1;2;7)
3
(4;10;9)
(1;8;2)
(5;7;4)
(5;2;6)
4
(2;5;8)
(1;4;9)
(2;1;6)
(5;4;2)
2
5
(4;4;10)
(7;10;2)
(2;8;4)
(9;6;9)
6
(2;3;9)
(3;3;6)
(2;1;7)
(1;2;5)
7
(8;7;4)
(5;10;4)
(4;7;8)
(3;5;4)
8
(2;6;5)
(1;2;5)
(4;0;6)
(6;4;8)
9
(–2;8;2)
(6;8;9)
(5;3;3)
(7;10;3)
10
(2;1;3)
(4;–1;1 )
(1;0;–1)
(0;1;1)
11
(0;2;7)
(1;5;0)
(0;7;1)
(4;2;5)
12
(1;8;9)
(-1;3;0)
(4;7;8)
(2;4;9)
13
(5;3;7)
(2;3;5)
(4;2;10)
(1;2;7)
14
(8;6;4)
(2;1;1)
(5;6;8)
(8;10;7)
15
(3;2;8)
(2;–1;7)
(6;3;1)
(2;–3;7)
16
(5;3;1)
(2;3;7)
(7;2;2)
(5;7;7)
17
(3;5;8)
(6;5;8)
(7;7;3)
(8;4;1)
18
(–1;0;3)
(4;2;1)
(1;2;7)
(4;1;3)
19
(6;9;4)
(7;5;9)
(4;6;5)
(1;5;5)
20
(6;9;3)
(6;6;5)
(4;6;11)
(4;9;5)
Задача №3
Сделать чертеж и составить уравнение линий:
1) расстояние каждой точки которой от начала координат
и от точки A(5;0) относятся как 2 : 1 ;
2) расстояние каждой точки которой от точки A(2;0) и от
прямой 5x  8  0 относятся как 5 : 4 ;
3) расстояние каждой точки которой от точки A(1;0)
вдвое меньше расстояния ее от прямой x  4 ;
3
4) для каждой точки которой расстояние от начала
координат и от точки A(0;3) относятся друг к другу как 3 : 2 ;
5) каждая точка которой находится втрое дальше от точки
A(3;0) , чем от точки B (0;2) ;
6) расстояние каждой точки которой от точки A(3;0)
вдвое меньше расстояния ее от точки B(26;0) ;
7) для каждой точки которой расстояние от точки A(1;0)
и от прямой 3x  4  0 относятся как 5 : 4 ;
8) каждая точка которой отстоит от точки A(4;0) втрое
дальше, чем от начала координат;
9) для каждой точки которой сумма квадратов
расстояний до сторон квадрата с вершинами A(2;2) , B (2;2) ,
C ( 2;2) , D(2;2) есть величина постоянная, равная 24 ;
10) каждая точка которой одинаково удалена от точки
A(6;4) и от прямой x  2 ;
11) каждая точка которой одинаково удалена от точки
A(1;2) и от оси Ox .
12)
для каждой точки которой сумма квадратов
расстояний до точек A(3;0) и B (3;0) равна 50 ;
13) для каждой точки которой сумма квадратов
1
 1

расстояний до точек A 0;  и B 0;  равна 2 ;
2
 2

14) расстояние каждой точки которой от точки A(2;0) и
от прямой 2x  5  0 относятся как 4 : 5 ;
15) расстояние каждой точки которой от точки A(0;3)
втрое больше расстояния от точки B (5;0) ;
16) каждая точка которой равноудалена от точки A(1;1)
и от прямой y  4 ;
17) для каждой точки которой отношение расстояния до
точки A(4;0) к расстоянию до прямой 4x  25  0 равно 0.8 ;
4
18) каждая точка которой одинакова удалена от точки
A(5;3) и от начала координат;
19) каждая точка которой находится вдвое дальше от
точки A(4;0) , чем от точки B(1;0) ;
20) полученной при таком движении точки M ( x; y ) , что
расстояние от нее до точки A(3;0) вдвое меньше расстояния
от точки B (6;0) ;
Задача №4
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 x1  2 x 2  3 x3  4 x 4  2;
2 x  3 x  4 x  5 x  8;
 1
2
3
4
1. 
3 x1  x 2  x3  7 x 4  2;
2 x1  x 2  6 x3  3 x 4  7.
3 x1  2 x 2  5 x3  x 4  3;
2 x  3 x  3 x  4 x  1;
 1
2
3
4
2. 
4 x1  x 2  3 x3  2 x 4  3;
5 x1  2 x 2  x3  3 x 4  5.
3 x1  2 x 2  5 x3  x 4  3;
2 x  3 x  3 x  4 x  1;
 1
2
3
4
3. 
4
x

x

3
x

2
x
2
3
4  3;
 1
5 x1  2 x 2  x3  3 x 4  5.
4 x1  2 x 2  5 x3  3 x 4  6;
2 x  3 x  3 x  x  3;
 1
2
3
4
4. 
3
x

x

2
x

x
2
3
4  8;
 1
 x1  2 x 2  4 x3  3 x 4  3.
 x1  2 x 2  3 x3  x 4  4;
2 x  3 x  x  x  6;
 1
2
3
4
5. 
3 x1  x 2  x3  2 x 4  4;
 x1  x 2  2 x3  3 x 4  1.
3 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4;
2 x  x  2 x  3 x  8;
 1
2
3
4
6. 
 x1  2 x 2  3 x3  2 x 4  6;
2 x1  3 x 2  2 x3  x 4  8.
5
3 x1  2 x 2  x3  2 x 4
2 x  x  2 x  3 x
 1
2
3
4
7. 
x

2
x

3
x

4
x
2
3
4
 1
4 x1  3 x 2  2 x3  x 4
 1;
7 x1  x 2  3 x3  5 x 4
3 x  5 x  7 x  x
 1
2
3
4
8. 
5
x

7
x

x

3
x
2
3
4
 1
 x1  3 x 2  5 x3  7 x 4
 1;
 5;
 5.
 16;
 0;
 4;
 12.
4 x1  3 x 2  x3  2 x 4  6;
2 x1  x 2  3 x3  2 x 4  3;
2 x  2 x  x  x  4;
 x  x  5 x  2 x  1;
 1
 1
2
3
4
2
3
4
9. 
10. 
8 x1  5 x 2  3 x3  4 x 4  12;
2 x1  3 x 2  11x3  5 x 4  2;
3 x1  3 x 2  2 x3  2 x 4  6.
 x1  x 2  3 x3  4 x 4  3.
3 x1  2 x 2  x3  x 4  3;
3 x1  x 2  x3  2 x 4  4;
2 x  x  2 x  2 x  3;
 x  x  2 x  3 x  1;
 1
 1
2
3
4
2
3
4
11. 
12. 
 x1  3 x 2  x3  3 x 4  0;
2 x1  3 x 2  x3  x 4  6;
4 x1  2 x 2  2 x3  5 x 4  15.
 x1  2 x 2  3 x3  x 4  4.
3 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4;
7 x1  x 2  3 x3  5 x 4  16;
 x  x  2 x  3 x  8;
3 x  5 x  7 x  x  0;
 1
 1
2
3
4
2
3
4
13. 
14. 
 x1  2 x 2  3 x3  2 x 4  6;
5 x1  7 x 2  x3  3 x 4  4;
2 x1  3 x 2  2 x3  x 4  8.
 x1  3 x 2  5 x3  7 x 4  12.
 x1  2 x 2  x3  x 4  8;
3 x1  3 x 2  3 x3  2 x 4  6;
2 x  x  x  x  5;
2 x  3 x  3 x  2 x  4;
 1
 1
2
3
4
2
3
4
15. 
16. 
 x1  x 2  2 x3  x 4  1;
3 x1  x 2  x3  2 x 4  6;
 x1  x 2  x3  3 x 4  10.
3 x1  x 2  3 x3  x 4  6.
6
3 x1  5 x 2  7 x3  x 4  0;
2 x1  x 2  2 x3  3 x 4  8;
2 x  6 x  2 x  2 x  12;
 x  2 x  3 x  2 x  6;
 1
 1
2
3
4
2
3
4
17. 
18. 
x

3
x

5
x

7
x

12
;
5
x

x

x

3
x
2
3
4
2
3
4  4;
 1
 1
5 x1  7 x 2  x3  3 x 4  4.
3 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4.
4 x1  3 x 2  2 x3  x 4  5;
2 x1  x 2  x3  x 4  1;
2 x  x  2 x  3 x  1;
4 x  x  x  4 x  3;
 1
 1
2
3
4
2
3
4
19. 
20. 
3 x1  2 x 2  x3  2 x 4  1;
2 x1  2 x 2  2 x3  5 x 4  6;
 x1  x 2  x3  x 4  4.
3 x1 
x3  x 4  3.
Задача №5
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) методом Крамера;
2) используя обратную матрицу.
4 x  2 y  z  2;

1. 5 x  3 y  2 z  0;
3x  2 y  z   2.

11x  3 y  z  2;

2.  2 x  5 y  5 z  0;
 x  y  z  2.

 5 x  y  z  0;

3.  x  y  2 z   2;
  2 x  4 y  5 z   6.

2 x  y  z  4;

4. 3 x  4 y  2 z  11;
3 x  2 y  4 z  11.

2 x  y  z  4;

5. 3 x  4 y  2 z  11;
3 x  2 y  4 z  11.

 2 x  3 y  z  7;

6.  3 x  6 y  2 z  14;
 x  2 y  z  0.

7
2 x  y  z  1;

7.  x  y  z  6;
 3 x  y  z  4.

 x  2 y  3 z  6;

8. 2 x  3 y  4 z  20;
3 x  2 y  5 z  6.

 x  5 y  z   7;

9. 2 x  y  z  0;
 x  2 y  z  2.

 x  y  z  1;

10. 8 x  3 y  6 z  2;
 4 x  y  3 z  3.

5 x  8 y  3 z   18;

11. 3 x  2 y  6 z  7;
2 x  y  z   5.

2 x  y  3z  3;

12. 3 x  y  5 z  0;
4 x  y  z  3.

7 x  5 y  2 z  18;

13. 2 x  y  z  3;
 x  y  2 z   2.

3 x  y  5 z   7;

14. 2 x  3 y  4 z   1;
5 x  y  3 z  0.

 x  2 y  z  15;

15. 2 x  y  3 z  9;
 2 x  3 y  2 z   2.

 x  2 y  3 z  11;

16. 2 x  3 y  4 z  12;
3 x  4 y  z  13.

2 x  y  2 z  1;

17. 3 x  2 y  z  1;
 2 x  3 y  3 z  0.

2 x  5 y  4 z  20;

18.  x  3 y  2 z  11;
2 x  10 y  9 z  40.

2 x  y  3 z   9;

19.  x  2 y  z  3;
3 x  y  z   1.

3 x  y  2 z  4;

20. 2 x  3 y  z  9;
5 x  y  3 z   4.

Задача №6
8
Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
7 x 4  3x 3  2
1. a) lim
2
x  3x
x 
в) lim
x 0
2.
4
4
2
x   3x  x  2 x
4
x  7 x  5x  3
;
cos 2 x  cos3 2 x
;
x tg x
в) lim
x 0
4.
a) lim
x 3  3x 2  2
2
4
x  1  4x  2x
в) lim
x 0
.
 2x  1 
г) lim 

x   2x  3 
5 x 4  3x 3  2 x
a) lim
4 x 1
x 2  2x  1
;
б) lim
x 1 x 3  x 2  x  1
;
1  cos x
в) lim
;
1

cos
2
x
x 0
3.
x3 3
;
x 2  2x
 2x  5 
г) lim 

x   2x  3 
tg x  sin x
;
3
x
x5  x3  2
a) lim
б) lim
x 0
;
;
x tg 3x ctg 2 2 x;
б) lim
x 2
3 x 1
.
5  x  x 1
;
x 2  3x  2
г) lim (2 x  3) 3x / ( x  2) .
x 2
8x3  1
б) lim
;
1 6 x 2  5x  1
x
2
 3x  2 
г) lim 

x    3x  2 
9
3 x
.
5. а) lim
3x 3  2 x 2  1
2
3
x  5x  2 x  5x


в) lim   x   tg x;
2

x
2
6. а) lim
x 2  2x  3
x  4  2 x  5x
;
2
 1

в) lim 
 ctg x ;

x 0 sin x
7. а) lim
x3  2x  3
x  4  2 x  5x
2
;
в) lim sin x ctg 2 x;
x0
8. а) lim
x 
3x 2  2 x  3
4x 2  x  3
9. а) lim
x 
2x 2  x 4
б) lim
x 1
;
;
x32
x 1
г) lim ( x  2) ln
x 
;
x3
.
x
3x 2  5 x  2
;
б) lim
2
x2 2x  x  6
 3x  2 
г) lim 

x    3x  4 
б) lim
x2
г)
cos x  sin x
;
в) lim
cos 2 x

x
4
3x 4  2 x 3  1
;
б)
2x
.
x 2  2x  8
;
3
8 x
lim (2 x  5)
x  2
3 / ( x  2) .
6  x2  x
;
lim
3
2
x  3 3x  8 x  3x
 2x  3 
г) lim 

x   2x  1 
б) lim
3 x 1
.
3  2 x 2  5x
2
x  3 3x  11x  6
10
;
1  cos 2 x
;
x  0 x sin x
г) lim (7 x  6) x / (3x  3) .
x 1
в) lim
10. а) lim
3  3x 3  2 x 2
;
2
x   2  3x  4 x
1  cos2 x
в) lim
;
x 0 x sin 2 x
11. a) lim
x  3  2 x  5x
в) lim
x 0
12. а) lim
1  cos5 x
x
2
;
4
3x 3  3x  5
;
 x

sin 3

5

;
в) lim
x 0
x3
x 3  3x 2  1
2
x  5x  4 x  3
б) lim
x 3
2x 3
.
x2  4 x
;
x 2  x  12
г) lim (3  2 x) x / (1 x)
x 1
;
3
2
x  4x  x  2
13. а) lim
x 1
;
lim
3
x

7

2
x  1
 3x  2 
г) lim 

x    3x  5 
x  5x 2  2 x 4
2
б)
б)
x 2  2x  8
;
lim
x  4 x  12  4  x
г) lim (2 x2) (ln(2 x)  ln x).
x 
;
cos x  cos3 x
;
в) lim
2
x
x 0
б)
x2  x  6
;
lim
2

x

x

6
x  2
1 2 x
 x 1 
г) lim 

x   x  3 
11
.
14. a) lim
3x 4  5 x 3  2 x
б)
;
2
4
x   1  3x  5 x
1  cos 2 x
в) lim
;
x 0 x tg 3x
г) lim (2 x  1) 3x / ( x 1) .
x 1
4x5  2x 2  1
15. а) lim
5
4
2
x   3x  x  3x
в) lim
arctg 2 2 x
x 0
16. а) lim
3x 2
;
4x 2  x  3
4 x 3  3x 2  2
4
3
x  x  6x  2
б)
;
5x 3  x 2  3
3  x  2x  5
;
2
x  x2
x2  4
;
lim
x  2 1  4 x  3
 2x  1 
г) lim 

x   2x  1 
x sin x
;
x  0 1  cos 2 x
2x3  x 2  4x
lim
x  2
;
.
2
г) lim (3x  5) 2 x / ( x  4) .
x 2
б)
;
в) lim
x 
;
lim
x  3 x  10  4  x
1 2 x
x tg x
в) lim
;
3
x 0 cos x  cos x
18. а) lim
б)
2 x 2  x  21
 2x  1 
г) lim 

x   2x  4 
;
2
x    3x  x  2
17. а) lim
2x 2  9x  4
;
lim
2
x  4 x  x  20
б) lim
x4
12
2 x
x 2  6x  8
x 2
.
;
tg 2 x
в) lim
;
x 0 x sin 2 x
19. а) lim
3x 4  5 x 3  3
3
4
x  2x  6x  5
г) lim ( 4  x) ln
x
б) lim
x 0
;
x 0
20. а) lim
x 
2 x  3x 5  4 x 2
5x 5  2 x 3
1 x2  1 x
1 x 1
 x 1
г) lim 

x   x  3 
в) lim sin x ctg 2 x;
;
в) lim x ctg 3x;
б)
2 3 x
.
5 3 x
;
2 x 1
.
lim
x2  4  2
;
x0
2
x 9 3
г) lim (2 x  3) 3 / ( x 1) .
x  1
x 0
Задача №7
f (x )
Исследовать функцию
на непрерывность.
Определить характер точек разрыва, если они существуют.
Сделать чертеж.
2 x , x  0;


2. f ( x)   x 2 , 0  x  2;
 x  6, x  2.


1  x, x  0;

1. f ( x)  cos x, 0  x   ;
x   , x   .

13
 1 x
  , x  0;
 2 

3. f ( x)   x 2 , 0  x  2;

 x  6, x  2.


3  x, x  0;

4. f ( x)   x  2, 0  x  1;

4  x 2 , x  1.
4  x 2 , x  0;

5. f ( x)  3  x, 0  x  2;
 x  1, x  2.

 x2
 , x  2;
 2

6. f ( x)   1  x,  2  x  0;
 2
 x  1, x  0.

 1 x
  , x  1;
 2 

7. f ( x)   x,  1  x  1;
 2
 x  2, x  1.


3 x , x  0;


8. f ( x)  1  x 2 , 0  x  2;
 x  3, x  2.


2 cos x, x  0;

9. f ( x)  2  x, 0  x  1;
 2
 x  1, x  1.
2 x  1, x  0;


10. f ( x)   x 2 , 0  x  2;
3  x, x  2.


 x 2  1, x  1;

11. f ( x)  2 x, 1  x  3;
5  x, x  3.

sin x, x  0;

12. f ( x)   x 2 , 0  x  2;
3  x, x  2.

14
cos x, x  0;

13. f ( x)   x 2  1, 0  x  1;
1  x, x  1.

log x, x  1;
 2
14. f ( x)  1  x, 1  x  2;
 2
 x  4, x  2.
2 x , x  1;

15. f ( x)  3  x, 1  x  2;
 2
 x , x  2.

 x, x  0;

16. f ( x )  cos x, 0 x  / 2;


 x  , x   / 2.
2

 x 2  1, x  0;


17. f ( x)  2 x , 0  x  1;
5  x, x  1.


 x, x  0;

18. f ( x)   x , 0  x  4;
3  x, x  4.

1, x  1;

19. f ( x)  2  x 2 , 1  x  2;
 x  1, x  2.

sin x,

20. f ( x)  1  x 2 ,
2 x  2,

x  0;
0  x  1;
x  1.
Задача №8
Найти производные заданных функций
1. a) y 
3 sin 3x
2x  x 2
б) y  (1  ctg 2 x) x 2  x ;
;
в) y  4 arc ctg(2 x  2 x ) ;
д)
г) y  (sin x ) x ;
x
 ln( x  y ) ;
y
е) y  ctg 2t ; x  cos2 2t .
15
2. a) y 
3x  x3
3
ln( x  3 x)
б) y  (tg x ) 1  sin 2 x ;
;
2
в) y  sin 3 x 3  x  ;


г) y  (tg x) x ;
д) xy  e x  y ;
е) y  t 2 arctg t ; x  t  ln(1t ) .
5
3.
5x  x 5
a) y 
;
sin 3x
б) y  (log3 3x) 1  ctg x ;
в) y  4 ln(arcsin x ) ;
г) y  ( x 2  1) tgx ;
д)
y
 sin( x  y ) ;
x
е) y  cos(1  t ); x  ctg t .
x2  2x
4. а) y 
;
sin x  cos x
б) y  (e 2 x ) sin 2 x 2 ;
в) y  ln 4 ( x 2  3 arctg x ) ;
2
г) y  x x 1 ;
д) xy  e x  y ;
е) y 
5. a) y 
1  cos x
1  ctg 2 x
t
1 t
2
; x  ln(1  t 2 ).
2
3
б) y  (e x 1 ) 3 x  x 3 ;
;
в) y  log33 1  x 3 ;
г) y  ( x 2  1) ln x ;
д) xy  ln ( x  y ) ;
е) y  t ln(1  t ); x  arctg 2 t .
16
x3  1
6. а) y 
;
sin x  cos x
б) y  (arccos2 2 x) 1  sin x 2 ;
в) y  2  arctg 1  x 2 ;
г) y  ( x 2  1) tg x ;
д) y arcsin x  x arctg y ;
е) y 
7. a) y  4
ctg 3x
x2 1
в) y  arctg
3
б) y  (33 x  x ) cos x ;
;
arcsin (1  x 2 ) ; г) y  ( x 2  1) e
д) cos2 ( x  y )  x 2  y ;
8. а) y 
t 1
1 t
; x
.
1 t
(1  t ) 2
3x
е) y  ln sin 2t ;
tg x  1
;
1
x2 
x
;
x cos 2t .
2
б) y  e x arctg x ;
в) y  3 ctg( x 2  2 2 x ) ;
г) y  (sin x) arctg x ;
x
д)  e x  y ;
y
1 t2
t
е) y 
.
; x
1 t
1 t
9. а) y 
1  arcsin x
1  arccos x
б) y  (1  sin x ) ln 2 x ;
;
в) y  sin 3 (tg 4  x 2 ) ;
д)
г) y  (ctg x) x ;
y 1
 ln( x  y ) ;
x
е) y  t 2  ln(1  t ); x 
17
1 t
.
1 t
10. а) y 
1  arcsin x
;
1  arccos x
б) y  (1  sin x ) x 2  2 x ;
в) y  arctg 1  sin 2 x ;
д)
г) y  (arctg x) x ;
x
 ex y ;
y
11. а) y 
е) y  arccos 2t ; x  1 t 2 .
x3  2
cos x  sin x
4
б) y  (ln 2 5 x) 2 x  x 2 ;
;
2
3
в) y  cos 1  e x 1 ;
д)
г) y  ( x  2) tg x ;
y
 cos ( y  x) ;
x
12. a) y 
arctg x
1  arcctg x
е) y  t  ln(1  t 2 ); x 
arctg 2 x
x2  2x
е) y  cos2 2t ;
x  sin 2 2t .
3
б) y  (c o s 2 x) 1  e 2 x ;
;
в) y  ln(sin (1  2 x )) ;
д)
.
2
г) y  ( x 2  1) x 1 ;
y
 cos(x  y ) ;
x
13. a) y 
t2 1
1
б) y  (cos3 x) 3 x 3 
;
x2
;
в) y  tg 4 (ln x 2  1); ;
д)
t
г) y  ( x 2  1) cos x ;
sin y cos x
;

x
y
е) y  t sin 2 t ;
18
x  t cos2 2t .
14. а) y 
tg 2 x
1  cos x
б) y  (ln 2 x ) e sin x ;
;
в) y  log3 (1  cos2 2 xx 2 ) ; г) y  ( x 2  1) x ;
е) y 
д) y tg x  x sin y ;
15. a) y 
tg x
;
3 x  x3
1
б) y  (ln 2 x) 5 x 2  ;
x
2
в) y  ctg2 (e 3x  3x ) ;
2
г) y  ( x 2  1) x  2 ;
е) y  tg 3 t ; x  2 sin 2 t .
д) ( x  y ) sin x  cos y ;
16. a) y 
sin 2 x  cos x
x
3 x
3
ln(t  1)
1
; x
.
t 1
t 1
б) y  (tg 2 e x ) 1  ctg x
;
4
в) y  e sin tg x ;
2
г) y  (ctg x) x 1 ;
д) x  y  ln( x  y ) ;
е) y  t sin 2 2t ;
17. а) y 
cos2 x  1
1 x2
3
б) y  (ctg 2 x) 1  2 2 x ;
;
в) y  (ln x 3  3 x ) 2 ;
д) x cos(x  y )  y ;
x cos 2t .
г) y  ( x 2  1) ln x ;
е) y 
e 2t
e 2t
.
; x
t 1
t 1
19
18. a) y 
sin 2 2 x  1
1  cos x
2
б) y  (1  tg 2 x) arccos x ;
;
в) y  log32 (1  x 2  2 3 x ) ;
г) y  ( x 2  1) ln x ;
д) x  y  ctg ( xy) ;
е) y  3 sin 3 t ; x  2 cos2 t .
19. а) y 
sin 2 x  3
1  tg x
4
б) y  (ln 2 2 x) x 2  2 x ;
;
в) y  ctg 2 (1  x 2  1) ;
д)
г) y  ( x  1) tgx ;
y
 sin( x  y ) ;
x
20. а) y  3
е) y 
tg x  1
;
cos x  2
et
et
.
; x
t 1
t 1
2
б) y  (e x  1) sin 2 x  2 x ;
в) y  arctg4 cos 2 x ;
г) y  (ln x) x 1 ;
д) x sin y  y tg x  0 ;
е) y 
20
1 t2
1 t2
; x
2t
1 t2
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЕ №1
Задача №1
Даны координаты вершин треугольника ABC : A(8,3) ,
B ( 4,6) , C (2,8) . Найти:
1) уравнения сторон AB и AC и их угловые
коэффициенты;
2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух
знаков после запятой;
3) уравнение высоты CD и ее длину;
4) уравнение медианы AE и координаты точки K
пересечения этой медианы с высотой CD .
Сделать чертеж (рис.1).
y
C
A
K
E
D
0
x
B
Рис. 1
Решение. 1) Найдем координаты векторов AB и AC ,
для чего воспользуемся формулой
M1M 2  x2  x1; y2  y1.
21
Тогда AB  12;9, AC  10;5 . Эти векторы являются
направляющими
векторами прямых, на которых лежат
соответствующие стороны треугольника и для получения их
уравнений можно использовать каноническое уравнение
прямой на плоскости
x  x0 y  y 0
.

l
m
В результате получим
x8 y 3

( AB ),
12
9
x8 y 3

( AC ).
10
5
Разрешая эти уравнения относительно y , т.е. приводя их
к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом
y  kx  b ,
3
1
найдем k AB   , k AC  .
4
2
2) Угол A треугольника совпадает с углом между
векторами AB и
AC и для его нахождения можно
использовать формулу
AB  AC
cos A 
,
AB  AC
cos A 
12  10  9  5

75

1
 0,4472.
5
(12) 2  (9) 2  (10) 2  (5) 2 15  5  5
По таблице найдем значение угла A : < A  1,11 рад.
( 63 20 ).
3) Для получения уравнения высоты СD приведем
уравнение стороны AB к виду общего уравнения прямой на
плоскости
3x  4 y  12  0 ( AB ).
22
Из рисунка видно, что вектор нормали к прямой AB
является направляющим вектором высоты CD , т.е.
n AB  3;4  aCD ,
и можно вновь воспользоваться
каноническим уравнением прямой на плоскости
x 2 y 8

( CD ).
3
4
Длину высоты CD вычислим по формуле вычисления
расстояния от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой Ax  By  C  0 :
d
Ax0  By 0  C
.
2
2
A B
3  2  4  8  12 50

 10 .
В нашем случае d  CD 
5
2
2
(3)  (4)
4) Найдем координаты точки E , являющейся серединой
отрезка BC
x  xC 4  2
y  yC  6  8
xE  B

 3 ; yE  B

 1.
2
2
2
1
Т.о., E (3,1) , и для нахождения уравнения медианы AE можно
использовать уравнение прямой, проходящей через две точки
x  x1
y  y1
. Тогда получим

M1( x1, y1) и M 2 ( x2 , y2 ) :
x2  x1 y 2  y1
x3
y 1

 8  3 3 1
x  3 y 1

 11
2
или
( AE ).
Наконец, для вычисления координат точки K , решим
совместно уравнения прямых AE и CD , предварительно
приведя их уравнения к общему виду
2 x  11y  17  0 ( AE )
.

4 x  3 y  16  0 (CD )
 5 
Отсюда получим K   ,2  .
 2 
23
Задача №2
Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 :
A1(2,1,1) , A2 (5,5,4) , A3 (3,2,1) , A4 (4,1,3) . Найти:
1) длину ребра A1 A2 ;
2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3) уравнение плоскости A1 A2 A3 и угол между ребром
A1 A4 и плоскостью A1 A2 A3 ;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань
A1 A2 A3 и ее длину;
5) площадь грани A1 A2 A3 и объем пирамиды.
Сделать чертеж.
Решение. 1) Длина ребра A1 A2 совпадает с расстоянием
между точками A1 и A2 :
A1 A2  ( x2  x1) 2  ( y2  y1) 2  ( z 2  z1) 2 
 (5  2) 2  (5  (1)) 2  (4  1) 2  9  36  9  54 .
2) Найдем координаты векторов, которые совпадают с
выходящими из вершины A1 ребрами пирамиды:
A1 A2  (3, 6, 3); A1 A3  (1,3,2); A1 A4  (2, 2, 2).
Угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 совпадает с углом
между векторами A1 A2
и A1 A4 . Определим этот угол,
используя формулу скалярного произведения векторов:
A1 A2  A1 A4  A1 A2  A1 A4 cos  .
Отсюда
24
cos  
A1 A2  A1 A4
3 2  6 2  3 2
24
2 2



.
3
9  36  9  4  4  4
54  12
A1 A2  A1 A4
Тогда
2 2
.
3
3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки, имеет вид
x  x1
y  y1
z  z1
  arccos
x 2  x1
x3  x1
y 2  y1
y3  y1
z 2  z1  0 .
z3  z1
Подставляя в уравнение координаты точек A1 , A2 и A3
получим
x  2 y 1 z 1
3
6
3  0,
1
3
2
или
x  2 y 1 z 1
3
6
3 
1
3
2
 ( x  2)
6
3
3 2
 ( y  1)
3
3
1 2
 ( z  1)
3 6
1 3

 21( x  2)  9( y  1)  3( z  1)  21x  9 y  3z  48  0 .
Таким образом, уравнение плоскости A1 A2 A3 имеет вид
 21x  9 y  3 z  48  0 .
Составим уравнение прямой, проходящей через точки A1
и A4 . Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет
вид
25
x  x1
y  y1
z  z1
,


x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
где ( x1, y1, z1 ) – координаты первой точки, ( x2 , y2 , z 2 ) –
координаты второй точки. Подставляя в уравнение координаты
точек A1 и A4 , получим
x  2 y 1 z 1


.
2
2
2
x  x1 y  y1 z  z1
Угол
между
прямой
и


l
m
n
плоскостью Ax  By  Cz  D  0 определяется по формуле
sin  
Al  Bm  Cn
A2  B 2  C 2  l 2  m 2  n 2
Воспользуемся этой формулой для вычисления угла
между ребром A1 A4 и плоскостью A1 A2 A3 :
sin  
(21)  2  9  2  3  2
(21) 2  9 2  32  2 2  2 2  2 2
18
531 12

3
177

 .
177 

4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой,
проходящей через точку A4 перпендикулярно плоскости
Ax  By  Cz  D  0 . Из
A1 A2 A3 , задаваемой уравнением
условия перпендикулярности прямой и плоскости следует
A B C
  , поэтому уравнение высоты A4 D имеет вид
l m n
x  4 y 1 z  3


.
 21
9
3
Отсюда


  arcsin  
3
26
.
Для нахождения длины высоты можно использовать
1
V  S A1 A2 A3  A4 D .
формулу
Объем
V и площадь
3
будут
найдены
в
п.5).
Поэтому
S A1 A2 A3
A4 D 
3V
S A1 A2 A3

18
531
.
5) Грань A1 A2 A3
представляет собой треугольник,
площадь которого равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах A1 A2 и A1 A3 .
Найдем векторное произведение этих векторов. Имеем
i j k
A1 A2  A1 A3  3 6 3  21i  9 j  3k   21, 9, 3 .
1 3 2
A1 A2  A1 A3  (21) 2  9 2  3 2  531 .
Следовательно,
1
531
SA A A 
A1 A2  A1 A3 
.
1 2 3
2
2
Для вычисления объема пирамиды воспользуемся
смешанным произведением векторов. Напомним, смешанное
произведение трех векторов по модулю равно объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах. А объем
1
пирамиды равен
части объема этого параллелепипеда.
6
Имеем
3 6 3
A1 A2  A1 A3  A1 A4  1 3  2  18 .
2 2 2
Поэтому V 
1
| 18 |  3 .
6
27
Задача №3
Найти уравнение геометрического места точек, одинаково
удаленных от начала координат и точки A(3;4) .
Решение. Пусть точка M ( x; y ) принадлежит искомой
прямой. Расстояние между точками M1( x1, y1) и M 2 ( x2 , y2 )
вычисляется по формуле
M1M 2  ( x2  x1) 2  ( y2  y1) 2 .
По
условию
задачи
MO  MA ,
поэтому
x 2  y 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2 .
Возведем обе части
уравнения в квадрат. Приводя подобные члены, получим
6 x  8 y  25  0 .
Это
и
есть
уравнение
искомого
геометрического места точек. Рекомендуется проверить, что
эта прямая перпендикулярна отрезку AO и проходит через его
середину.
Задача №4
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 3 x1  x 2  3 x3  x 4  12;

 x1  2 x 2  4 x3  x 4  13;

 2 x1  x 2  5 x3  2 x 4  9;
 x1  x 2  x3  x 4  4.
Решение. Метод Гаусса основан на приведении системы
уравнений
к
треугольному виду.
Это
достигается
последовательным исключением неизвестных из уравнений
системы.
Расширенная матрица системы уравнений имеет вид
28
 3  1 3  1  12 


1 2  4 1
13 


2
 9
2 1 5


1
1 1 1
4 

Поменяем местами первую и четвертую строки этой
матрицы
 1 1 1 1
4 


1 2  4 1
13 

.
2
 9
 2 1 5


 3 1
3  1  12 

Сложим первую и вторую строки матрицы. Затем
последовательно умножим первую строку на (-2) и на (-3) и
сложим с третьей и четвертой строками. Получаем:
1 1  1 1
4 


0
3 5 2
17 

.
7
0  17 
0  3


0  4
6

4

24


Сложим вторую и третью строки матрицы. Затем
умножим вторую строку на 4, а четвертую на 3 и сложим эти
строки. Получим матрицу вида
1 1  1
1
4


0
3 5 2
17 

.
0
2
2
0 
0


0
0  2  4  4 

Сложим третью строку матрицы с четвертой. В
результате получим матрицу
29
1 1

0
3

0
0

0
0

Полученной матрице
4

5
2
17 
.
2
2
0 

0  2  4 
соответствует система уравнений
1
1
вида
 x1  x 2  x3  x 4  4;

3 x 2  5 x3  2 x 4  17;


2 x3  2 x 4  0;


 2 x 4  4 .
Из последнего уравнения находим x4  2 . Из третьего
уравнения находим, что x3  2 . Из второго уравнения
следует, что 3x2  17  5 x3  2 x4  17  10  4  3 . Откуда
x2  1 . Подставив найденные значения x1, x2 , x3 в первое
уравнение, получим x1  4  x2  x3  x4  1.
Решение системы: x1  1, x2  1, x3  2, x4  2.
Задача №5
Решить систему линейных уравнений
 x  4 y  2 z  3;

3 x  y  z  5;
3 x  5 y  6 z  9.

1) методом Крамера;
2) используя обратную матрицу.
Решение.
1) Решим систему уравнений методом
Крамера. Решение системы трех линейных уравнений с тремя
неизвестными
30
a1 x  b1 y  c1 z  d1;

a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2 ;
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
находится по формулам
y


x x; y
; z z,



где
a1
  a2
b1
b2
c1
c2
a3
b3
c3
d1 b1
 x  d 2 b2
d 3 b3
(предполагается, что Δ ≠ 0),
c1
a1
c2 ,  y  a2
c3
a3
d1 c1
a1
d 2 c2 ,  z  a2
d 3 c3
a3
b1
b2
b3
d1
d2 .
d3
Для данной системы уравнений имеем
1 4 2
 3
1
 49.
1
3 5 6
Вспомогательные определители
3 4 2
x 
5
1
1
1 3 2
 49 ,
y  3
9 5 6
5
1
3 9 6
1 4 3
z  3
1
5
3 5 9
31
 98.
 0,
Решение системы уравнений
x
x
 1;

y
y

 0;
z
z
 2.

2) Решим теперь систему матричным методом. Запишем
исходную систему уравнений в матричном виде
AX  B ,
где
 1 4 2 


A 3 1
1 ,
 3 5 6 


 x
  3
 
 
X   y  , B   5 .
z
  9
 
 
Решение матричного уравнения имеет вид
X  A 1  B ,
где A 1 – матрица, обратная к матрице А. Заметим, что
поскольку определитель матрицы А не равен нулю (   49 ,
см. п. 1), то матрица системы невырожденная и, следовательно,
имеет обратную.
Обратная матрица находится по формуле
 A11 A21 A31 

1
1
A   A12 A22 A32  ,


 A13 A23 A33 
где Δ
–
определитель матрицы А,
Aij – алгебраическое
дополнение элемента aij определителя матрицы А. Вычислим
алгебраические дополнения:
1
1
4 2
A11  (1)11
 1;
A21  (1) 2 1
 14;
5 6
5 6
A31  (1) 3 1
4 2
1
1
3 1
A12  (1)1 2
 21;
3 6
 2;
32
A22  (1) 2  2
1 2
3 6
 0;
3 1
A13  (1)1 3
 18;
3 5
A33  (1) 3  3
1 4
3
1
A32  (1) 3  2
1 2
A23  (1) 2  3
1 4
3
1
3 5
 7;
 7;
 13.
Таким образом,
  1  14  2 

1 

1
A 
0
7 ,
 21
49 

  18  7 13 
откуда
  1  14  2    3 

  
1
X  A 1B  
0
 7   5  
 21
49 
  
  18  7 13    9 
 3  70  18
1 
    63  0  63
49 
 54  35  117

  49   1 

  
1 

 0    0 .
49 

  

  98   2 
Следовательно, x  1, y  0 , z  2 .
Задача №6
Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
5x 4  1
1 x  x2  1 x  x2
;
а) lim
;
б) lim
x2  x
x  x 4  2x3  1
x 0
в) lim
x 0
tg 2 x
;
x
г) lim (5  2 x) 2 /( x  2) .
x2
33
5x 4  1
а) lim
.
4
3
x  x  2x  1
И числитель, и знаменатель дроби при x   стремятся к
Решение.
бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида  . Разделив

числитель и знаменатель на x 4 , получим
4
lim (5  1 / x )
4
4
5x  1
5  1/ x
x 
 lim


lim
4
3
4
4)
(
1

2
/
x

1
/
x
x  x  2 x  1 x  1  2 / x  1 / x
lim
x 
4
lim 5  lim (1 / x )
50
x 
x 


 5.
4
1

0

0
lim 1  lim (2 / x)  lim (1 / x )
x  x 
x 
б) lim
x 0
1 x  x2  1 x  x2
;
x2  x
И числитель, и знаменатель дроби при x  0 стремятся к
нулю. Имеем неопределенность вида 00 . Умножим числитель
и знаменатель на выражение 1  x  x 2  1  x  x 2 . Получим
lim
x 0
 lim
x 0
1 x  x2  1 x  x2

x2  x
( 1 x  x2  1 x  x2 ) ( 1 x  x2  1 x  x2 )
( x 2  x) ( 1  x  x 2  1  x  x 2 )
34

1 x  x2 1 x  x2
 lim

2
2
2
x  0 ( x  x) ( 1  x  x  1  x  x )
2x  2x 2
 lim

2
2
2
x  0 ( x  x) ( 1  x  x  1  x  x )
2(1  x)
 lim

x  0 ( x  1) ( 1  x  x 2  1  x  x 2 )
lim 2(1  x)
2 1
x 0


 1 .
(1)  2
2
2
lim ( x  1) ( 1  x  x  1  x  x )
x 0
tg 2 x
в) lim
;
x 0 x
Имеем неопределенность вида 00 . Воспользуемся первым
sin x
замечательным пределом lim
 1 . Получим
x0 x
tg 2 x
1
1 sin 2 x
 lim
tg 2 x  lim

lim
x 0 x
x 0 x
x 0 x cos 2 x
2 sin 2 x
1 sin 2 x
1
 lim
 lim
 lim
 1 2  2 .
x 0 cos 2 x x
x 0 cos 2 x x 0 2 x
г) lim (5  2 x) 2 /( x  2) ;
x2
35
Имеем неопределенность вида
1 . Воспользуемся
(1  x)1 / x  e .
вторым замечательным пределом lim
x 0
Введем в рассмотрение новую переменную y  4  2 x ,
y
y  0 при x  2 . Тогда x  2  .
Переходя к новой
2
переменной, получим
lim
x 2
2
(5  2 x) x2
 lim (1  y)
y 0
1


 lim (1  y ) y

y 0 




4
2
( 2 y / 2)  2
 lim (1  y )
y 0
1


 lim (1  y ) y

 y 0




4

4
y

 e 4 .
Задача №7
f (x )
Исследовать функцию
на непрерывность.
Определить характер точек разрыва, если они существуют.
Сделать чертеж.
2 x , x  1;

3  x, 1  x  2;

f ( x)   1
, 2  x  5;

2
(
x

2
)

 x  8, x  5.

Решение.
f (x )
На промежутке (; 1) функция
совпадает с функцией  ( x)  2 x . Это элементарная функция.
Указанный промежуток входит в область определения функции
 (x) . Значит на промежутке (; 1)
 (x)
функция
36
непрерывна, а, следовательно, на этом промежутке непрерывна
и функция f (x ) . Аналогично устанавливается непрерывность
функции f (x ) на промежутках (1; 2), (2; 5) и (5; + ∞).
Исследуем функцию f (x ) на непрерывность в точках
x  1,
x2
x  5 . Функция определена в этих точках:
1
f (5)  . Вычислим односторонние
f (1)  2 ,
f (2)  1 ,
9
пределы в этих точках.
f (1  0)  lim f ( x)  lim 2 x  2 ,
x 1 0
x 1 0
f (1  0) 
и
lim f ( x)  lim (3  x)  2 .
x 1 0
x 1 0
Таким образом, f (1  0)  f (1  0)  f (1) . Следовательно,
в точке x  1 функция f (x ) непрерывна.
f (2  0) 
lim f ( x)  lim (3  x)  1 ,
x 20
x 20
f (2  0) 
1
  .
lim f ( x)  lim
2
x20
x  2  0 ( x  2)
Так как один из односторонних пределов равен + ∞, то
точка x  2 является точкой разрыва второго рода.
1
1
f (5  0)  lim f ( x)  lim
 ,
x 5  0
x 5  0 ( x  2) 2 9
f (5  0) 
lim f ( x)  lim ( x  8)  3 .
x 5  0
x 5  0
37
В точке x  5 односторонние пределы конечны, но не
равны между собой. Следовательно, точка x  5 является
точкой разрыва первого рода.
Сделаем чертеж заданной функции f (x ) (рис.2).
f (x )
2
1
0
1 2
3
5
-3
Рис. 2
Задача №8
Найти производные заданных функций.
x2 1
а) y 
;
б) y  (e 3x ) 1  tg x ;
sin x  cos x
в) y  ln 3 arctg ( x  2 x ) ;
г) y  ( x 2  1) cos x ;
д) xy  sin( x  y ) ;
е) y 
38
e t
e t
;
; x
t 1
t 1
8
x
x2 1
.
sin x  cos x
Применяя правило дифференцирования частного двух
функций, получим

2 1 

x
 
y  
 sin x  cos x 


( x 2  1)  (sin x  cos x)  ( x 2  1)  (sin x  cos x)


sin x  cos x 2
2 x (sin x  cos x)  ( x 2  1)(cos x  sin x)

.
sin x  cos x 2
Решение.
а) y 
б) y  (e 3x )  1  tg x ;
Применяя правило дифференцирования произведения
двух функций, получим:


y    (e 3x )  1  tg x   (e 3x )  1  tg x  (e 3x )  1  tg x 


1
 e 3x (3 x)  1  tg x  (e 3 x )
 (1  tg x) 
2 1  tg x
1
1
 3 e 3 x  1  tg x  e 3 x


2 1  tg x cos2 x

 e 3x  1  tg x

1
3 

2 cos2 x (1  tg x)

в) y  ln 3 arctg ( x  2 x ) ;
Применяя
правило
дифференцирования
функции, получим
39


.


сложной

 3

x

y   ln arctg ( x  2 )  




 3 ln 2 arctg ( x  2 x )  ln arctg ( x  2 x )   


1


 3 ln 2 arctg ( x  2 x )
 arctg ( x  2 x )   

arctg ( x  2 x ) 

3 ln 2 arctg ( x  2 x )
arctg ( x  2 x )


 arctg ( x  2 x )   


2 arctg ( x  2 x )
1
3 ln 2 arctg ( x  2 x )
arctg ( x  2 x )
1
2 arctg ( x  2 x )
3 ln 2 arctg ( x  2 x )
arctg ( x  2 x )
1
2 arctg ( x  2 x )
( x  2 x )

1  (x  2 x )2
1  2 x ln 2

1  (x  2 x )2
3 ln 2 arctg ( x  2 x )
1  2 x ln 2
.

2 arctg ( x  2 x )
1  (x  2 x )2
г) y  ( x 2  1) cos x ;
И основание, и показатель степени здесь зависят от x.
Прологарифмируем равенство:
ln y  ln ( x 2  1) cos x или
ln y  cos x ln ( x 2  1) .
Продифференцируем обе части последнего равенства по
x, учитывая, что ln y есть сложная функция, так как y является
функцией переменной x.
40
(ln y)  (cos x ln( x 2  1)) ;
y
 (cos x) ln ( x 2  1)  cos x (ln ( x 2  1)) 
y
2x
.
  sin x  ln ( x 2  1)  cos x 
x2 1
Следовательно,


2x
y   y  cos x 
 sin x  ln ( x 2  1)  


x2 1




2x
 ( x 2  1) cos x  cos x 
 sin x  ln ( x 2  1)  .


x2 1


д) xy  sin ( x  y ) ;
y  y (x) задана неявно
Напомним: если функция
соотношением F ( x, y )  0 , то производную y (x) функции
y (x ) можно найти из уравнения
d
F ( x, y )  0 .
dx
Перепишем выражение следующим образом:
xy  sin ( x  y )  0 .
Продифференцируем по x, учитывая, что y есть функция
переменной x
( xy)  (sin ( x  y ))  ( x) y  x( y )  cos ( x  y ) ( x  y ) 
 y  xy   cos ( x  y ) (1  y )  0 .
Выразим y 
y  xy   cos ( x  y )  y  cos ( x  y )  0 ,
xy   y  cos ( x  y )  cos ( x  y )  y ,
y  ( x  cos ( x  y ))  cos ( x  y )  y .
Таким образом,
41
y 
cos ( x  y )  y
.
cos ( x  y )  x
e t
e t
.
; x
t 1
t 1
Функции x  x(t ) и y  y (t ) параметрически задают
y  y (x) .
функцию
Ее производная вычисляется по
следующей формуле
y
y x  t ,
xt
где

 e t 
(e  t )(t  1)  (e  t )(t  1)  e  t (t  1)  e  t


yt 



 t 1
2
2
(t  1)
(t  1)


е)
y
 e  t ((t  1)  1)  e  t (t  2)


;
(t  1) 2
(t  1) 2

t
t
t
t
 e t 
  (e )(t  1)  (e )(t  1)   e (t  1)  e 
xt  
 t 1
(t  1) 2
(t  1) 2


 e  t ((t  1)  1)  t e  t


.
2
2
(t  1)
(t  1)
Отсюда
 e  t (t  2)
y
y x  t 
xt
(t  1) 2
 t e t

e  t (t  2)(t  1) 2 (t  2)(t  1) 2

.
(t  1) 2 t e  t
t (t  1) 2
(t  1) 2
42
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии /
Н.В. Ефимов. - М.: Наука, 1975.
2. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы /
Н.В. Ефимов. - М.: Наука, 1972.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное
исчисления / Н.С. Пискунов - М.: Наука, 1985.
4. Привалов И.И. Аналитическая геометрия /
И.И. Привалов. - М.: Физматлит, 1962.
5. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики /
В.А. Слободская. - М.: Высшая школа, 1969.
6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и
задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова М.: Высшая школа. 1986. Ч. 1.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению
курса высшей математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Правила выполнения и оформления контрольных работ
3. Программа курса “Математика” для студентовзаочников инженерно-технических специальностей. . . .
4. Вопросы для самопроверки к контрольной работе № 1.
5. Контрольная работа № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Примеры решения задач к контрольной работе № 1. . . .
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1
3
3
6
8
28
50