УДК 622.692
СНИЖЕНИЕ ПУЛЬСАЦИЙ ДАВЛЕНИЯ
В МАГИСТРАЛЬНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ ГАЗОСНАБЖЕНИЯ
Е.К. Синиченко, Ф.В. Рекач
Российский университет дружбы народов
ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419
Рассматривается гаситель давления, принцип действия которого основан на упруго-демпфирующем действии на поток газа.
Ключевые слова: пульсации давления, газоснабжение.
Область применения компрессоров очень широка. Мощные компрессоры применяются в нефтеперерабатывающей и нефтехимической, химической и газовой
промышленности, энергетике. В газовой промышленности компрессорные машины являются основным технологическим оборудованием. Все это предъявляет
чрезвычайно высокие требования к эффективности эксплуатации компрессорных
машин. Часто компрессоры эксплуатируются с большим перерасходом электроэнергии, чему в немалой степени способствуют вредные пульсации давления и расхода, имеющие место на выходе из компрессора и затем передающиеся в линию.
Кроме того, наличие вредных пульсаций значительно снижает КПД компрессорных машин, создает неудобства при наладке и эксплуатации установок, часто является причиной преждевременного износа оборудования. Учитывая вышесказанное, можно утверждать, что работы, связанные с разработкой и применением
в компрессорном хозяйстве гасителей вредных пульсаций давления, имеют важное экономическое значение.
Проектирование рациональных систем компрессорных установок, их эффективная и надежная эксплуатация невозможны без учета режимов работы трубопроводных систем. Большое значение имеют вопросы, связанные с рациональным
проектированием и эксплуатацией трубопроводных систем, находящихся под действием пульсирующих потоков газа, пара и т.д.
Теоретические основы расчета колебаний потоков и вибраций систем, вызванных возвратно-поступательным движением поршней, рассматриваются в фундаментальных исследованиях С.П. Тимошенко [1] и Д.В. Рэлея [2]. Основы неустановившегося движения сжимаемой жидкости в напорных трубопроводах были
заложены в работе Н.Е. Жуковского [3] и в лекциях по гидродинамике, читавшихся
им в Московском университете.
В настоящее время предложено и используется много различных методов
борьбы с вредными пульсациями давления. Например, снижение уровня пульсаций давления в трубопроводных системах энергетических установок на практике
достигается путем изменения конструкции трубопроводов, уменьшения возмущающих сил за счет уравновешивания ротора и компрессора, увеличения толщи9
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2011, № 3
ны стенок, виброизоляции трубопроводов от источников возбуждения, рациональной укладки трубопроводов и опор. Как правило, такие способы борьбы с вредными пульсациями давления оказываются весьма дорогостоящими. В связи с этим
возникла необходимость создания специальных устройств — гасителей пульсаций
давления, которые при включении в систему трубопровода существенно снижали
бы в нем уровень вредных пульсаций давления. Различным типам, конструкциям
и методам расчета стабилизаторов давления в трубопроводах также посвящена
весьма обширная литература.
Одним из распространенных типов гасителей пульсаций давления являются
различные резонансные звукопоглощающие системы. Изучением таких систем
успешно занимался С.Н. Ржевкин [4]. Резонатор представляет собой замкнутую
полость с жесткими стенками, сообщающуюся через узкий канал с трубопроводом, в котором необходимо устранить вредные пульсации давления. В настоящее
время предложено большое число различных конструкций гасителей указанного
типа, общие принципы управления такими системами изложены в монографии
А.Г. Бутковского «Методы управления системами с распределенными параметрами» [5].
Статистические данные последних лет эксплуатации магистральных парои газопроводов показывают, что применяемые методы защиты от вредных пульсаций давления являются недостаточно эффективными. Поэтому задача разработки стабилизаторов давления новой конструкции является весьма актуальной.
Авторами разработана конструкция более эффективных стабилизаторов давления, изготовлен опытный образец и проведены экспериментальные его исследования на универсальном комплексе. Полученные результаты показали высокую
эффективность работы новых стабилизаторов давления. Однако с целью обоснования параметров нового стабилизатора давления необходимо выполнить теоретические исследования и сравнить их с результатами эксперимента.
Принципиальная схема нового стабилизатора давления (опытного образца)
приведена на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная схема стабилизатора диссипативного
типа с одним слоем перфорации:
1 — труба трубопровода; 2 — камера стабилизатора
10
Синиченко Е.К., Рекач Ф.В. Снижение пульсаций давления в магистральных трубопроводах...
Для математического описания движения пара (газа) через стабилизатор
используются уравнения акустики, написанные в цилиндрической системе координат. Рассматривается случай короткого трубопровода. В этом случае перепад давления на входе и выходе из трубопровода намного меньше пульсаций
давления. Следовательно, сопротивлением движению пара (газа) в трубопроводе можно пренебречь. Влияние силы тяжести на движение пара (газа) также не
учитывается. При расчетах предполагается, что движение пара (газа) происходит при постоянной температуре, т.е. рассматривается изэнтропическое движение идеального газа. В этом случае идеальный газ можно рассматривать как баротропную среду. Цилиндрическая система координат r, ϕ, z выбирается таким
образом, чтобы ось z совпадала с продольной осью трубы паро-, газопровода.
Уравнения движения и неразрывности такой среды при отсутствии внешних
массовых сил имеют вид [6]
2
∂ur
∂ur uϕ ∂ur
∂ur uϕ
1 ∂p
,
+ ur
+
+ uz
−
=−
∂t
∂r
∂z
ρ ∂r
r ∂ϕ
r
∂uϕ
∂uϕ uϕ ∂uϕ
∂uϕ uϕ ur
1 ∂p
+ ur
+
+ uz
+
=−
,
∂t
∂r
∂z
ρ ⋅ r ∂ϕ
r ∂ϕ
r
(1)
∂uz
∂uz uϕ ∂uz
∂uz
1 ∂p
+ ur
+
+ uz
=−
,
∂t
∂r
∂z
ρ ∂z
r ∂ϕ
∂ (ρ ⋅ u z )
∂ρ ∂(ρ ⋅ ur ⋅ r ) ∂(ρ ⋅ uϕ )
r
+
+
+r
= 0.
∂t
∂r
∂ϕ
∂z
Стационарное движение газа (в дальнейшем значок 0) в одномерной системе газопровод—стабилизатор без пульсаций давления описывается уравнениями движения Эйлера [6]:
du
1 dp d (ρuz )
uz z = −
;
(2)
= 0.
dz
ρ dz
dz
Из (2) получаем: ρuz = q = const,
ρuz
duz dp d
+
= [ρuz2 + p] = 0 ,
dz dz dz
т.е. ρuz2 + p = const.
На входе в трубопровод имеем:
uz = uz0 = uвх = сonst; ρ = ρ0 = q / uвх = const;
p = p0 = p(ρ0 ) = сonst.
Следовательно,
2
⎧ρuz2 + p = ρвх uвх
+ pвх ,
⎪
ρ
u
=
ρ
u
=
q
,
⎨ z
вх вх
⎪ p = p(ρ0 ).
⎩
11
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2011, № 3
Полученная система имеет решение:
uz = uz0 , ρ = ρ0 , p = p0 .
Между перфорированной трубой и корпусом стабилизатора пар (газ) при отсутствии пульсаций давления неподвижен. Следовательно,
uz = 0, ρ = ρ0 , p = p0 .
Нестационарное движение (значок ′) пара (газа) в трубе паро- и газопровода описывается уравнениями акустики [7], полученными из уравнений (1), при
этом возмущения всех величин считаются малыми:
∂uϕ′
∂uϕ′
∂u′
∂u′
∂p′
∂p′
ρ0 r + q r = −
+ qr
=−
, ρ0 r
,
∂t
∂z
∂r
∂t
∂z
∂ϕ
(3)
∂u′z
dp 0
∂p′
0 ∂u′z
, p′ =
(ρ )ρ′,
ρ
+q
=−
dρ
∂t
∂z
∂z
∂uϕ′
∂(ur′ r )
∂u′
∂ρ′
∂ρ′
r
+ ρ0
+ ρ0
+ ρ0 r z + ruz0
= 0.
∂t
∂r
∂ϕ
∂z
∂z
В стабилизаторе имеем:
∂uϕ′
∂u′
∂p′
∂p′
, ρ0 r
,
ρ0 r = −
=−
∂t
∂r
∂t
∂ϕ
(4)
dp 0
∂p′
0 ∂u′z
(ρ )ρ′,
, p′ =
ρ
=−
dρ
∂t
∂z
∂uϕ′
∂(ur′ r )
∂u′
∂ρ′
+ ρ0
+ ρ0
+ ρ0 r z = 0.
r
∂t
∂r
∂ϕ
∂z
0
В трубе газопровода ur = ur′ , uϕ = uϕ′ , uz = uz + u′z , ρ = ρ0 + ρ′, p = p0 + p′,
в стабилизаторе ur = ur′ , uϕ = uϕ′ , uz = u′z , ρ = ρ0 + ρ′, p = p0 + p′.
Осредним уравнения (3) и (4) по поперечному сечению газопровода и поперечному сечению стабилизатора по формулам
2 π r0
1
(5)
rf (r , ϕ, z , t )drd ϕ = fˆ ( z, t ) ( труба ),
S тр ∫0 ∫0
1
Sст
2 π r1
∫ ∫ rf (r , ϕ, z, t )drd ϕ = fˆ
ст
( z, t ) (стабилизатор),
(6)
0 r0
где Sтр — площадь поперечного сечения трубы газопровода, S1 — площадь поперечного
сечения стабилизатора (см. рис. 1).
Для газопровода (в дальнейшем значок ′ опускается) получим:
∂uˆ
∂uˆ
∂pˆ
ρ0 z + q z = − , pˆ = c 2ρˆ ,
∂t
∂z
∂z
∂uˆ
∂ρˆ
∂ρˆ
+ ρ0 z + uz0
= 0.
∂t
∂z
∂z
12
(7)
Синиченко Е.К., Рекач Ф.В. Снижение пульсаций давления в магистральных трубопроводах...
где с 2 = dp / d ρ — квадрат скорости звука в газе; Vтр = S тр L и Iˆтс ( z , t ) — поток массы
через боковую поверхность трубы газопровода в сечении z, (кг/сек).
В поперечных сечениях со стабилизатором давления третье уравнение в (7)
будет иметь вид
∂uˆ
∂ρˆ
∂ρˆ
1 ˆ
(7a)
+ ρ0 z + uz0
=−
I тс ( z , t ),
2πVтр
∂t
∂z
∂z
где Vтр = S тр L и Iˆтс ( z , t ) — поток массы через боковую поверхность трубы газопровода
в сечении z, (кг/сек):
2π
Iˆтс ( z , t ) = 2πLρ0 ∫ [rur′ ]r = r0 d ϕ.
0
Положим
pˆ тр ( z , t ) = pˆ ( z , t ) + quˆ z ( z , t ),
(8)
где pˆ ( z , t ) — давление в трубе без учета давления quˆ z ( z, t ) от переносного ускорения
тр
стационарного члена q = uz0 ρ0 нестационарной скоростью uˆ z ( z , t ).
1
pˆ, получим:
c2
∂uˆ
∂pˆ тр
∂pˆ тр
+ 2uz0
+ ρ0 [c 2 − (uz0 ) 2 ] z = 0,
∂t
∂z
∂z
тр
∂uˆ
∂pˆ
.
ρ0 z = −
∂t
∂z
Исключая из уравнений (9) uˆ z ( z, t ), получим:
Подставляя (8) в (7) и учитывая, что ρˆ =
2 тр
2 тр
ˆ
ˆ
∂ 2 pˆ тр
0 ∂ p
2
0 2 ∂ p
[
(
)
]
2
+
u
−
c
−
u
= 0.
z
z
2
∂t ∂z
∂t
∂z 2
Выполняя аналогичные выкладки для уравнения (7a), получим:
2 тр
2 тр
ˆ
ˆ
∂ 2 pˆ тр
c 2 ∂Iˆтс
0 ∂ p
2
0 2 ∂ p
+ 2uz
− [c − (u z ) ]
=−
.
∂t ∂z
2πVтр ∂t
∂t 2
∂z 2
(9)
(10)
(10a)
Возмущения скорости, плотности и давления в стабилизаторе будем обозначать соответственно uˆ zст ( z , t ), ρˆ ст , pˆ ст ( z, t ).
Для стабилизатора с постоянным объемом Vст приток (отток) газа массы Δm
сопровождается увеличением (уменьшением) осредненной плотности газа в стабилизаторе на величину Δρˆ ст ; Δm = Δρˆ ст Vст . Для рассматриваемой баротропной
среды
Δpˆ ст
Δρˆ ст = 2 ,
с
где Δpˆ ст ( z , t ) — осредненное приращение давления в стабилизаторе.
13
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2011, № 3
Следовательно,
Δm =
Δpˆ ст
Vст .
с2
(11)
Приток газа массы m равен
m = ∫ Iˆтс ( z, t ) dt.
(12)
Подставляя (12) в (11), получим
pˆ ст ( z , t ) =
c2 ˆ
I тс ( z , t )dt.
Vcт ∫
(13)
Перетекание газа через отверстия. Будем считать, что длина стабилизатора
L << λ,
где λ — длина волны основного тона пульсаций массового расхода.
Поэтому давление по длине стабилизатора в момент времени t0 считается постоянным. Систему перфорированных отверстий, равномерно распределенных
по длине стабилизатора заменим одним отверстием в сечении z = z11. Общий поток
газа через это отверстие будет равен
L
Iˆ11 (t ) = ∫ Iˆтс ( z , t )dz.
(14)
0
Проведенные к настоящему моменту исследования показали, что зависимость
скорости перетекания vпер газа через отверстие от разности давлений в магистрали и стабилизаторе можно аппроксимировать формулой (8):
pˆ тр ( z11 , t ) − pˆ ст ( z11 , t ) = A1vпер + B1vпер vпер ,
(15)
где A1 и B1 — постоянные коэффициенты, полученные экспериментально.
Уравнение (15) можно линеаризовать, полагая B1 = 0 при vпер << v тр .
Обозначим
A=
A1
,
ρˆ тс ⋅ Fтр
где ρˆ тс — плотность газа, перетекающего из трубы в стабилизатор, ρˆ тс ≈ ρ0 .
Тогда формула (15) примет вид
pˆ тр ( z11 , t ) − pˆ ст ( z11 , t ) = A ⋅ Iˆ11 (t ),
Iˆ (t ) = v ⋅ ρˆ ⋅ F ,
11
пер
(16)
отв
где Fотв — площадь отверстия в сечении z11, равная суммарной площади перфорированных
отверстий. Коэффициент A характеризует зависимость проводимости отверстий от формы и геометрических размеров.
14
Синиченко Е.К., Рекач Ф.В. Снижение пульсаций давления в магистральных трубопроводах...
Движение газа в трубопроводе. Разобьем магистраль трубопровода на два
участка:
I участок ( i = 1 ): z ∈ [− L1 ; z11 ],
II участок ( i = 2 ): z ∈ [ z11 ; L2 ].
Будем искать решение уравнения (10) для i-го участка трубопровода в виде
ряда Фурье:
+∞
pˆ i тр ( z , t ) = ∑ aikтр ( z )cos(mk t ) + bikтр ( z )sin(mk t ),
(17)
k =1
где mk = 2πk T , T — главный период пульсаций давления.
Подставляя (17) в уравнение (10) (коэффициент i опускается), получим:
тр
d 2 akтр
0 dbk
⎡c 2 − (uz0 ) 2 ⎤
m
u
−
2
+ mk2 akтр ( z ) = 0,
k z
⎣
⎦ dz 2
dz
(18)
тр
d 2 bkтр
0 dak
2 тр
⎡c −
+ 2mk uz
+ mk bk ( z ) = 0.
⎣
dz
dz 2
В дальнейшем будем рассматривать случай uz0 / c = ε << 1 и пренебрежем чле2
(uz0 ) 2 ⎤⎦
dbkтр
dakтр
нами, содержащими
и
. Отбрасывая указанные члены и члены порядdz
dz
ка ε2, получим следующую систему уравнений:
d 2 akтр
+ μ k2 akтр ( z ) = 0,
2
dz
(19)
d 2 bkтр
2 тр
+ μ k bk ( z ) = 0,
dz 2
где μ k =
mk 2πk
.
=
c
cT
Система (19) распадается на два отдельных одинаковых (с точностью до обозначений) уравнения для функций akтр ( z ) и bkтр ( z ). Решение системы имеет вид
ak = C k1 cos(μ k z ) + Ck2 sin(μ k z ),
(20)
bk = Ck3 cos(μ k z ) + Ck4 sin(μ k z ).
Тогда давление в магистрали для i-го участка примет вид
∞
{
pˆ ikтр ( z , t ) = ∑ ⎡⎣Cik1 cos(μ k z ) + Cik2 sin(μ k z ) ⎤⎦ cos(mk t ) +
k =1
+ ⎡⎣Cik3
cos(μ k z ) + Cik4
}
(21)
sin(μ k z ) ⎤⎦ sin( mk t ) .
Из второго соотношения (9) имеем:
∂uˆ
∂pˆ тр
.
ρ0 Fтр z = − Fтр
∂t
∂z
15
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2011, № 3
Массовый расход газа
∂pˆ
Gˆ тр =ρ0 Fтр uˆ z = − Fтр ∫
dt.
∂t
Подставляя (21) в (22), получим
Fтр ∞
⎡Cik4 cos(μ k z ) − Cik3 sin(μ k z ) ⎤ cos(mk t ) +
Gˆ ikтр ( z , t ) =
∑
⎣
⎦
c
тр
k =1
+ ⎡⎣ −Cik2
{
cos(μ k z ) + Cik1
}
(22)
(23)
sin(μ k z ) ⎤⎦ sin(mk t ) .
Краевые условия
1. Пусть в некотором сечении газопровода z = − L1 заданы пульсации массового расхода
Gˆ1 (− L1 , t ) = G0 (t ).
(24)
Разложим G0 (t ) в ряд Фурье:
+∞
G0 (t ) = ∑ g k ( z )cos( mk t ) + hk ( z )sin( mk t ),
(25)
k =1
2. При z = L2 примем давление в магистрали равным нулю, т.е.
pˆ тр ( L2 , t ) = 0.
(26)
3. Условие равенства массовых расходов газа в узле z = z11 :
Gˆ1тр ( z11 , t ) + Iˆ11 (t ) − Gˆ 2тр ( z11 , t ) = 0.
(27)
4. Давление при z = z11 − 0 и z = z11 + 0 должны быть равны, т.е.
pˆ1тр ( z11 , t ) = pˆ 2тр ( z11 , t ).
(28)
5. Условие (16) перетекания газа через перфорационное отверстие (через
систему отверстий) при z = z11 :
pˆ тр ( z11 , t ) − pˆ ст ( z11 , t ) = A ⋅ Iˆ11 (t ).
(29)
Исходные уравнения. Массовый расход газа через отверстие в сечении z = z11
представим в виде ряда Фурье:
+∞
Iˆ11 (t ) = ∑ α k cos(mk t ) + βk sin( mk t ).
(30)
k =1
Подставляя (14) в (13) и используя (30), получим
⎞
β
c2 ˆ
c2 ∞ ⎛ αk
=
(
)
sin(mk t ) − k cos(mk t ) ⎟.
pˆ ст ( z11 , t ) =
I
t
dt
(31)
⎜
∑
11
∫
Vcт
Vст k =1 ⎝ mk
mk
⎠
Подставляя выражения для pˆ тр ( z , t ), pˆ ст ( z , t ), Gˆ тр ( z , t ), Iˆ (t ) в краевые усi
11
i
11
ловия (24), (26)—(29) при фиксированном k (k в уравнениях опускается) и группи-
16
Синиченко Е.К., Рекач Ф.В. Снижение пульсаций давления в магистральных трубопроводах...
руя выражения при cos( mk t ) и sin( mk t ), получим систему из десяти уравнений относительно C11 , C12 , C13 , C14 , C21 , C22 , C23 , C24 , α, β :
⎧ Fтр 3
C1 sin(μL1 ) + C14 cos(μL1 ) = g ,
⎪
⎪ c
⎪ Fтр −C 1 sin(μL ) − C 2 cos(μL ) = h,
1
1
1
1
⎪ c
⎪C 2 cos(μL ) + C 2 sin(μL ) = 0,
2
2
2
⎪ 1
3
4
⎪C 2 cos(μL2 ) + C2 sin(μL2 ) = 0,
⎪F
⎪ тр −C13 sin(μz11 ) + C14 cos(μz11 ) + C 23 sin(μz11 ) − C24 cos(μz11 ) + α = 0,
⎪ c
(32)
⎨ Fтр
⎪
C11 sin(μz11 ) + C12 cos(μz11 ) − C21 sin(μz11 ) + C22 cos(μz11 ) + β = 0,
⎪ c
⎪C11 cos(μz11 ) + C12 sin(μz11 ) − C21 cos(μz11 ) − C 22 sin(μz11 ) = 0,
⎪ 3
4
3
4
⎪C1 cos(μz11 ) + C1 sin(μz11 ) − C2 cos(μz11 ) − C2 sin(μz11 ) = 0,
⎪ 1
c 2β
2
= Aα,
⎪C1 cos(μz11 ) + C1 sin(μz11 ) +
mVст
⎪
⎪ 3
c2α
4
z
)
C
μ
z
+
C
μ
cos(
)
sin(
−
= Aβ.
1
11
1
11
⎪
mVст
⎩
Решая систему (32) для каждого k и суммируя решения для n членов разложения G0 (t ), получим выражения для pˆ iтр ( z , t ), pˆ ст ( z11 , t ), Gˆ iтр ( z , t ), Iˆ11 (t ) согласно
формулам (21), (31), (23), (30). Алгоритм реализован в среде MAPLE (GasTigrV).
(
(
)
)
(
(
)
)
Пример
Исходные данные:
L1 = 10 м, L = 5 м, L2 = 15 м, Fтр = 0,7854 м2 (диаметр трубы 1 м), Fст = 39,27 м2.
Массовый расход G0(t) = 100 ⋅ sin (ωt) кг/с, где ω = 4π 1/c (T = 0,5 c). c = 500 м/c.
Коэффициент проводимости отверстий A = 30 1/мс.
На рис. 2 изображены графики давления в сечении z = 7,5 м без стабилизатора
(кривая 2) и со стабилизатором (кривая 1).
Рис. 2. Давление в магистрали, МПа
17
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2011, № 3
Выводы. Компактных размеров стабилизатора давления можно добиться при
относительно малых периодах пульсаций давления (T < 0,1 c). В противном случае
необходимо устанавливать упругие камеры.
При увеличении частоты массового расхода (и (или) уменьшении скорости
звука) при расчетах возникают ограничения по длине рассматриваемой магистрали. Для более протяженных систем необходимо введение дополнительных участков магистрали.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. — М.: Наука, 1967.
[2] Рэлей Д.В. Теория звука: в 2 т. — М.: Гостехиздат, 1955.
[3] Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. — М.: Л.; Гостехиздат, 1949.
[4] Ржевкин С.Н. Курс лекций по теории звука. — М.: Изд-во МГУ, 1960.
[5] Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. —
М.: Наука, 1975.
[6] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — Ч. 1. — М.: Физматгиз, 1963.
[8] Мясников М.П., Низамова Г.Х. Расчет стабилизатора давления диссипативного типа //
Отчет № 4286 Института механики МГУ, 1993.
[9] Рахматулин Х.А. Обтекание проницаемого тела // Вестник МГУ. Серия физико-математических и естественных наук. — 1950. — С. 41—45.
REDUCTION OF PRESSURE OSCILLATIONS
IN MAGISRAL GAS TUBES
E.K. Sinichenko, F.V. Rekach
Peoples’ Friendship University of Russia
Ordzhonikidze, 3, Moscow, Russia, 115419
The absorber pressure, the principle of action is based on the elastic-damping effect on the flow of
gas have been considered.
Key words: pressure oscillations, movement of gas current.
