Степень с рациональным показателем

Конспект урока "Степень с рациональным показателем"
Вам уже знакомы понятия степени числа с натуральным и целым показателями. Напомним, что степенью с
натуральным показателем называется произведение
показатель степени, при
. Здесь а – основание степени,
–
.
В свою очередь, степенью с отрицательным целым показателем называется
натуральное число.
, где
,
–
.
Однако в алгебре существует ещё и понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Итак,
попытаемся записать
как некоторую степень числа а, то есть
Мы знаем, что
.
. Исходя из того, что мы представили
что
. По свойству возведения степени в степень имеем
произведение
. Следовательно,
Тогда получаем, что
что
, то получим,
. Откуда видим, что
.
. По свойству возведения корня n-й степени в степень получим,
.
Например,
.
Сделаем вывод: если
числом, то при
Пусть
— натуральное число, причём
справедливо равенство
, причём
— целое число и частное
является целым
.
— целое число. Отсюда
Тогда
.
.
Если же частное
не является целым числом, то степень числа а, где
выполнялась формула
Таким образом, формула
числа
,
, то есть и в этом случае считают, что
справедлива для любого целого числа
и положительного основания степени
.
, определяют так, чтобы
.
и любого натурального
Например,
.
Напомним, что рациональное число
формуле
– это число вида
получаем
, где
– целое,
– натуральное число. Тогда по
.
Таким образом, степень определена для любого рационального показателя
основания а.
Если рациональное число
степени, но и при
, то выражение
, причём
Пользуясь формулой
наоборот.
имеет смысл не только при положительном основании
. Поэтому считают, что
при
.
, степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и
Запомните! Степенью числа
натуральное, причём
и любого положительного
с рациональным показателем
, называется число
, где
– целое число, а
–
.
Замечание: из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого
и
любого рационального число
– положительно.
Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. По основному свойству дроби
частное
можно представить, как частное
, где
и – натуральные числа,
– целое число. Тогда при любом
Что легко доказать применяя свойства корней.
Имеем
справедливо равенство
.
Заметим, что при отрицательном основании степени рациональная степень числа а не определяется.
Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную степень, не являющуюся целым числом.
А теперь перейдём к основным свойствам степени и покажем, что все свойства степени с натуральным
показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.
А именно для любых рациональных чисел
Доказательства:
и
и любых
и
верны равенства:
.
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание. Найдите значения выражения
Решение.
.
Вариант 1
1.Представьте выражения в виде степени числа х (х>0):
а)
5
√х3
11
10
х0,5
∙ √х ;
б) 4 2.
Ответ а) x ; б) 1.
√х
2
2.Вычислите: а)
3
33 ∙814
1
−
3 3
1
1
−1
; б) (10−3 ∙ 0,013 ) .
1
Ответ а) 81; б) 10.
1
3.Упростите выражение: (𝑎 + 𝑏 4 ) (𝑎 − 𝑏 4 ) + √𝑏.
1
𝑥−1
4. Упростите выражение:
3
1 ∙
1
𝑥 2 +𝑥 4
1
Ответ a 2
1
− 𝑥 4.
Ответ x

1
4
𝑥 2 −1
𝑥 4 +𝑥 2
--------------------------------------------------------------------------------------Вариант 2
1.Представьте выражения в виде степени числа х (х>0):
а)
10
1,1
;
б)
2.Вычислите: а)
83 ∙√2
√х9
∙𝑥
6
√х3
√𝑥
Ответ а) x 2 ; б) 1.
.
2
1
−
2 2
1
1
−1
; б) (25−4 ∙ 5−2 ) .
1
1
Ответ а) 8; б) 5.
3
3.Упростите выражение: (𝑎 3 + 𝑏) (𝑎 3 − 𝑏) − √𝑎2.
1
4. Упростите выражение:
𝑥−1
3
1 ∙
𝑥 4 −𝑥 2
1
𝑥 2 −𝑥 4
1
𝑥 2 −1
1
∙ 𝑥 4 − 1.
Ответ  b 2
1
Ответ x 2