КР25

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ
Цель выполнения контрольной работы – исследование
рекурсивного звена 2-го порядка во временной, z-области и частотной
области.
Исходными данными являются коэффициенты передаточной функции H (z),
приведенные в табл. 2.1(задания). Номер варианта выбирается двум
последним цифрам студенческого билета (всего 100 вариантов).
Все расчеты выполняются с точностью до 4-го знака после запятой.
Задание на контрольную работу для всех вариантов включает следующие
пункты:
1. Записать передаточную функцию (ПФ).
2. Записать разностное уравнение (РУ).
3. Изобразить структурную схему.
4. Записать формулу импульсной характеристики (ИХ) с учетом
нулевых начальных условий.
5. Рассчитать 5 отсчетов ИХ по полученной формуле с
точностью до 4-го знака после запятой.
6. Рассчитать 5 отсчетов ИХ с помощью РУ с точностью до 4-го
знака после запятой.
7. Сравнить результаты вычислений пп. 5, 6.
8. Построить график ИХ (5 отсчетов).
9. Изобразить карту нулей и полюсов.
10. Записать формулы для расчета АЧХ и ФЧХ в произвольной
точке.
11. Сделать вывод о качественном характере АЧХ и ФЧХ по
карте нулей и полюсов.
12. Выполнить экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ.
13. Построить графики АЧХ и ФЧХ по результатам пп. 11 – 12.
Номер варианта 25.
Коэффициенты передаточной функции:
b0= 1; b1= 0; b2=1
a1=0.46;
a2=0.76;
Решение
Расчет задания произведем согласно учебному пособию [1].
1.
Запишем передаточную функцию (ПФ).
H ( z) 
2.
1  z 2
(1)
1  0.4600 z 1  0.7600 z 2
Запишем разностное уравнение (РУ).
y (n)  x(n)  x(n  2)  0.4600 y (n  1)  0.7600 y (n  2)
3.
(2)
Изобразим структурную схему
Рис. 1. Структурная схема базового звена 2-го порядка
4. Используя методику, описанную в лекциях, на основе общей
формулы импульсной характеристики, с учетом нулевых начальных
условий запишем формулу импульсной характеристики:
Значения r∗ и ϕ∗ равны:
r*  a2  0.7600  0.8718

(3)
a1 
 0.4600 
  arccos  
  1.8378  0.5850
 2  0.8718 
 2r* 
*  arccos  
(4)

sin (n  1)  0.5850 
n
, n  0,1
0.8718
sin  0.5850 

(5)
h( n)  
sin (n  1)0.5850 
(n  1)0.5850 

n
n  2 sin 
 0.8718
,n  2
0.8718
sin  0.5850 
sin  0.5850 

Рассчитаем 5 отсчетов ИХ по полученной формуле с точностью до 4-го знака
после запятой. Результаты расчета 5 точек ИХ по формуле (5) приведены в
табл. 1.
Таблица №1
n
0
sin  0.5850 
h(0)  0.87180
sin  0.5850 
 1.0000
sin  2  0.5850 
1
h(1)  0.87181
2
h(2)  0.8717 2
3
h(3)  0.87183
4
h(4)  0.87184
5.
h(n) (5)
sin  0.5850 
sin 3  0.5850 
sin  0.5850 
sin  4  0.5850 
sin  0.5850 
sin 5  0.5850 
sin  0.5850 
 0.4601
 0.8717 0
 0.87181
 0.87182
sin  0.5850 
sin  0.5850 
 0.4517
sin  2  0.5850 
sin  0.5850 
sin 3  0.5850 
sin  0.5850 
 0.1419
 0.4085
Расчет ИХ по РУ выполним методом прямой подстановки при
нулевых начальных условиях.
Выполнив в РУ (2) подстановку, запишем уравнение:
h(n)  u0 (n)  u0 (n  2)  0.4600h(n  1)  0.7600h(n  2) (6)
результаты решения которого при нулевых начальных условиях с
точностью до 4-го знака после запятой приведены в табл. 2.
Таблица №2
n
h(n) (6)
0 h(0)  u0 (0)  u0 (2)  0.4600h(1)  0.7600h(2)  1  0  0  0  1
1 h(1)  u0 (1)  u0 (1)  0.4600h(0)  0.7600h(1) 
2
 0  0  0.4600 1  0  0.4600
h(2)  u0 (2)  u0 (0)  0.4600h(1)  0.7600h(0) 
3
 0  1  0.4600  0.4600  0.7600 1  0.4516
h(3)  u0 (3)  0.9662u0 (1)  0.4600h(2)  0.7600h(1) 
 0  0  0.4600  0.4516  0.7600  0.4600  0.1419
4 h(4)  u0 (4)  u0 (2)  0.4600h(3)  0.7600h(2) 
 0  0  0.4600  0.1419  0.7600  0.4516  0.4085
6.
Результаты вычислений ИХ двумя способами в пп. 4, 5 совпадают,
разница вычислений в 4 знаке после запятой, вызвана округлением
* до 4 знака в расчете (5).
7.
График ИХ (5 отсчетов) представлен на рис.2.
Рис. 2. Импульсная характеристика звена 2-го прядка (5 отсчетов).
8. Для построения карты нулей и полюсов необходимо вычислить
нули и полюсы ПФ (1).
Комплексно-сопряженные полюсы в показательной форме:
z*1,2  r*e j*  0.8718e j 0.5850 (7)
Для определения комплексно-сопряженных нулей умножим
числитель и знаменатель ПФ (1) на z2 , получим:
H ( z) 
z2 1
(8)
z 2  0.4600 z  0.7600
и найдем корни числителя – нули ПФ
z2 1  0
z 1,2  0  j
или в показательной форме
z
 j
e
1,2  r e
 j
2
, (9)
где
r  12  02  1 ; (9а)



 1  
arctg     (9b)
  lim

1
 x  2
 Re( zo1,2 )  0  x  
  arctg 
1
Карта нулей и полюсов изображена на рис. 3, на рис. 4 приведена та же карта
с необходимыми комментариями.
Рис. 3. Карта нулей и полюсов звена 2-го порядка.
Рис. 4. Карта нулей и полюсов звена 2-го порядка.
Для расчета значений АЧХ и ФЧХ звена 2-го порядка в
произвольной точке используем общие формулы.
9.

A() 
 ( )  arctg
b0  b1 cos( )  b2 cos(2 )2  b1 sin(  )  b2 sin( 2 )2
(10)
1  a1 cos( )  a 2 cos(2 )2  a1 sin(  )  a 2 sin( 2 )2
a1 sin( )  a2 sin(2 )
b1 sin( )  b2 sin(2 )
(11)
 arctg
1  a1 cos( )  a2 cos(2 )
b0  b1 cos( )  b2 cos(2 )
подставляя в них заданные значения коэффициентов.
10.
Качественный анализ АЧХ и ФЧХ по карте нулей и полюсов
выполним на основе методики, изложенной в лекциях.
В данном случае карта нулей и полюсов содержит два комплексносопряженных полюса и два комплексно-сопряженных нуля. Поэтому
относительно АЧХ можно сделать следующие выводы.
В основной полосе частот   0;   АЧХ звена 2-го порядка является
гладкой функцией, причем:
- внутри основной полосы частот АЧХ имеет один максимум расположенный
приблизительно на частоте полюса:
    0.5850


- внутри основной полосы частот АЧХ имеет один минимум расположенный
приблизительно на частоте нуля:
  

2
Относительно ФЧХ можно сказать, что она представляет собой функцию,
имеющую на частоте нуля

скачок на  радиан, исходя из того, что r  1
2
11. Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ.
В данном примере следует вычислить значения АЧХ и ФЧХ в
пяти точках:
а) в точке

0
при
z 1
A(0)  H (1) 
б) в точке


11
 0.9009 ;
1  0, 4600  0.7600
 (0)  arg H (1)  0
при
z  1
A( )  H (1) 
11
 1.5385 ;
1  0, 4600  0.7600
 ( )  arg H (1)  0 ;
в) в точке
 

2
при z  j
1 1
 
A    H ( j) 
 0;
1  0.4600 j  0.7600
2
Фазу вычислим по формуле (11) применяя правосторонний и левосторонний
пределы в точке

2
1  lim
 ( x)  0.4809

x
2
2  lim
 ( x)  2.6607

x
г) в точке максимума АЧХ
частоте

 
   ,
2
который находится приблизительно на
полюса
z*1,2  r*e j*  0.8660e j 0.5850 ;   0.5850 .

Значения АЧХ и ФЧХ в этой точке, вычисленные по формулам (10-11),
равны:
A  0.5850   2.2793 ;   0.5850   1.5517
д) в точке минимума АЧХ
частоте

 
   ,
который находится приблизительно на
нуля
z
1,2
r e
 j
e
 j
2
;  

2
.
АЧХ и ФЧХ вычислены выше в пп. 12 в).
13. Построим графики АЧХ и ФЧХ по результатам пп. 11 – 12. и
формулам (10)(11).
Графики АЧХ и ФЧХ нормализированные по частоте , построенные на
основе качественного анализа и экспресс-анализа и формул (10)(11)
представлены на рис. 5,6.
Рис. 5. График АЧХ звена 2-го порядка.
.
Рис. 6. График ФЧХ звена 2-го порядка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Солонина А.И., Улахович Д.А. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ
СИСТЕМЫ, УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ, СПб: БХВ-Петербург, 2005.
2. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка
сигналов: учебное пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1990.
3. Солонина А.И., Улахович Д.А., Яковлев Л.А. Алгоритмы и процессоры
обработки сигналов. СПб: БХВ-Петербург, 2001.
4. Ланнэ А.А., Матюшкин Б.Д., Улахович Д.А. Основы цифровой
обработки сигналов: учебное пособие / ВАС. СПб, 1995.