Загрузил Татьяна Владимировна

Курсовая работа Математическое моделирование

Реклама
Введение
С середины XX в. в самых различных областях человеческой
деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ.
Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика»,
«математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие
математические модели соответствующих объектов и явлений, а также
методы исследования этих моделей.
Математическая модель — это приближенное описание какого-либо
класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная
цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты
будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания
окружающего мира, дающий возможность управлять им.
Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный
эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент
невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя
поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы,
если
бы...»
Невозможно
проверить
правильность
той
или
иной
космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно,
поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например
чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия.
Однако
все
это
вполне
можно
сделать на
компьютере, построив
предварительно математические модели изучаемых явлений.
При синтезе систем связи для передачи информации через физические
каналы мы используем математические модели, которые отображают
наиболее важные характеристики среды передачи.
Затем математическая модель канала используется для синтеза кодера и
модулятора в передатчике и демодулятора и декодера в приёмнике. Ниже мы
приводим краткое описание моделей каналов, которые часто используются
для отображения многих физических каналов, с которыми мы сталкиваемся
на практике.
Модели могут применяться как инструмент для понимания
действительности, обучения и тренажа, а также в качестве инструмента
прогнозирования.
В сочетании с современными вычислительными средствами
математические модели позволяют с относительно небольшими
материальными затратами исследовать физический процесс, изучить его
основные свойства в допустимых и аварийных условиях. При этом в рамках
используемой модели всегда гарантируется отыскание оптимальных
решений, если они требуются.
Лингвистические модели, в основе которых лежит слово, в той или
иной мере оказываются неточными в случае описания сложных понятий.
Правильно построенные математические модели помогают устранить эти
неточности. Преимущество математической модели перед лингвистическими
- в сжатости и точности представления заданной ситуации. Математическая
модель делает более понятной общую структуру исследуемого объекта и
вскрывает важные причинно-следственные связи.
Математическую модель можно использовать в качестве средства
обучения и тренинга в сфере образования и профессиональной подготовки.
При разработке и использовании модели экспериментатор видит и
"разыгрывает" на ней реальные процессы и ситуации, что помогает ему
лучше понять поставленную задачу (имитационное моделирование).
Возьмем в уме, что у нас беспроводной канал с передачей данных
между датчиками в полносвязной одноранговой сети.
В данной курсовой работе будет расписан Гауссовский канал связи,
который будет использоваться в последующем в дипломной работе, как
основной.
ГЛАВА 1. Применение математических моделей в связи.
1.1. Понятие математической модели и её роль в
математической оценке качества передаваемых сигналов.
В широком смысле слова под сигналом понимают материальный
носитель информации. При этом к сигналам относят как естественные
сигналы, так и сигналы, специально создаваемые с определенной целью.
Естественными являются, например, световые сигналы, позволяющие видеть
окружающий мир, космические сигналы. Примером специально создаваемых
могут служить сигналы, генерируемые с целью извлечения информации об
изменениях в объекте или процессе (эталонные сигналы).
В дальнейшем понятие «сигнал», если это не оговорено специально,
будет использоваться в узком смысле как сигнал, специально создаваемый
для передачи сообщения в информационной системе. Материальную основу
сигнала составляет какой-либо физический объект или процесс, называемый
носителем (переносчиком) информации (сообщения). Носитель становится
сигналом в процессе модуляции. Параметры носителя, изменяемые во
времени в соответствии с передаваемым сообщением, называют
информативными.
В качестве носителей информации используются колебания различной
природы, чаще всего гармонические, включая частный случай — постоянное
состояние (ω = 0). В технических информационных системах наиболее
широкое распространение получили носители в виде электрического
напряжения или тока. Поэтому, рассматривая в дальнейшем модели
сигналов, для конкретности, будем соотносить их с электрическими
сигналами.
В носителе u(t) = const имеется только один информативный параметр
— уровень (например, уровень напряжения). При использовании
гармонических электрических колебаний информативными могут стать такие
параметры, как амплитуда, частота, фаза. Колебания принято подразделять
на детерминированные и случайные.
Детерминированными называют колебания, которые точно определены
в любые моменты времени.
Случайные колебания отличаются тем, что значения их некоторых
параметров предсказать невозможно. Они могут рассматриваться как
сигналы, когда несут интересующую нас информацию (случайные сигналы),
или как помехи, когда мешают наблюдению интересующих нас сигналов.
При изучении общих свойств каналов связи, сигналов и помех мы
отвлекаемся от их конкретной физической природы, содержания и
назначения, заменяя моделями. Модель — это выбранный способ описания
объекта, процесса или явления, отражающий существенные с точки зрения
решаемой задачи факторы.
Задачи повышения эффективности функционирования
информационных систем связаны с установлением количественных
соотношений между основными параметрами, характеризующими источник
информации и канал связи. Поэтому при исследовании используют
математические модели. Математическое моделирование может быть
реализовано различными методами в зависимости от способа, которым
определяются интересующие нас показатели.
Фундаментальные исследования базируются на методе аналитического
моделирования, заключающемся в создании совокупности математических
соотношений, позволяющих выявить зависимости между параметрами
модели в общем виде. При этом широко используются модели, параметры
которых противоречат физическим свойствам реальных объектов. Например,
модель сигнала часто представляется суммой бесконечного числа функций,
имеющих неограниченную продолжительность (синусоид). Поэтому важно
обращать внимание на условия, при которых это не мешает получать
результаты, соответствующие наблюдаемым в действительности.
Так как источник сообщений выдает каждое сообщение с некоторой
вероятностью, то предсказать точно изменения значения информативного
параметра невозможно. Следовательно, сигнал принципиально представляет
собой случайное колебание и его аналитической моделью может быть только
случайный процесс, определяемый вероятностными характеристиками.
Тем не менее, в случае детерминированного колебания условно так же
говорят о детерминированном сигнале. Такой сигнал отображает известное
сообщение, которое нет смысла передавать. Ему соответствует модель в виде
функции, полностью определенной во времени.
Изучение моделей детерминированных сигналов необходимо по
многим причинам. Важнейшая из них заключается в том, что результаты
анализа детерминированных сигналов являются основой для изучения более
сложных случайных сигналов. Это обусловлено тем, что детерминированный
сигнал может рассматриваться как элемент множества детерминированных
функций, составляющих в совокупности случайный процесс.
Детерминированное колебание, таким образом, представляет собой
вырожденную форму случайного процесса со значениями параметров,
известными в любой момент времени с вероятностью, равной единице.
Детерминированные сигналы имеют и самостоятельное значение. Они
специально создаются для целей измерения, наладки и регулирования
объектов информационной техники, выполняя роль эталонов.
В зависимости от структуры информационных параметров сигналы
подразделяют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.
Сигнал считают дискретным по данному параметру, если число
значений, которое может принимать этот параметр, конечно (или счетно).
Если множество возможных значений параметра образует континуум, то
сигнал считают непрерывным по данному параметру. Сигнал, дискретный по
одному параметру и непрерывный по другому, называют дискретнонепрерывным.
В соответствии с этим существуют следующие разновидности
математических представлений (моделей) детерминированного сигнала:
1. Непрерывная функция непрерывного аргумента, например
непрерывная функция времени (рис. 1.1, а);
2. Непрерывная функция дискретного аргумента, например
функция, значения которой отсчитывают только в определенные
моменты времени (рис. 1.1,б);
3. Дискретная функция непрерывного аргумента, например
функция времени, квантованная по уровню (рис. 1.1, в);
4. Дискретная функция дискретного аргумента, например функция,
принимающая одно из конечного множества возможных значений
(уровней) в определенные моменты времени (рис. 1.1, г).
Рассматриваемые модели сигналов в виде функций времени
предназначены в первую очередь для анализа формы сигналов. Желательно
найти такое представление сигнала, которое облегчает задачи исследования
прохождения реальных сигналов, часто имеющих достаточно сложную
форму, через интересующие нас системы. С этой целью сложные сигналы
представляются совокупностью элементарных (базисных) функций, удобных
для последующего анализа.
Наиболее широкий класс исследуемых систем — это инвариантные во
времени линейные системы.
При анализе прохождения сложного сигнала u(t) через такие системы
его представляют в виде взвешенной суммы базисных функций (t) (или
соответствующего ей интеграла):
,
где [
,
] — интервал существования сигнала.
При выбранном наборе базисных функций сигнал u(t) полностью
определяется совокупностью безразмерных коэффициентов
. Такие
совокупности чисел называют дискретными спектрами сигналов.
На интервале [t , t ]выражение (1.1) справедливо как для сигналов,
неограниченных во времени, так и для сигналов конечной длительности.
Однако за пределами интервала [t , t ]сигнал конечной длительности не
равен нулю, так как он представляется суммой в том случае, если условно
считается периодически продолжающимся. Поэтому, когда для
ограниченного во времени сигнала необходимо получить представление,
справедливое для любого момента времени, используется интеграл:
где φ(α, t) — базисная функция с непрерывно изменяющимся
параметром
.
В этом случае имеется непрерывный (сплошной) спектр сигнала,
который представляется спектральной плотностью S(
обратна размерности
является величина S(
).Размерность ее
. Аналогом безразмерного коэффициента
)d
здесь
.
Совокупность методов представления сигналов в виде (1.1) и (1.2)
называют обобщенной спектральной теорией сигналов. В рамках линейной
теории спектры являются удобной аналитической формой представления
сигналов.
Для теоретического анализа базисные функции
нужно выбирать
так, чтобы они имели простое аналитическое выражение, обеспечивали
быструю сходимость ряда (1.1) для любых сигналов u(t) и позволяли легко
вычислять значения коэффициентов
. Базисные функции не обязательно
должны быть действительными, их число может быть неограниченным
.
В
случае
практической
аппроксимации
реального
сигнала
совокупностью базисных сигналов решающее значение приобретает простота
их технической реализации. Сигнал представляется суммой ограниченного
числа
действительных линейно независимых базисных функций
(сигналов).
Модели измерительных сигналов широко применяются в кибернетике,
электронике, физике, телемеханике, промышленности и в других областях
науки. Особенно широкое применение моделей измерительных сигналов
получила в таких науках как «Теория автоматического управления» и
«Теория автоматического регулирования». В этих предметах совокупность
моделей измерительных сигналов представлена в виде систем, так как
понятие системы и сигнала неразрывны между собой, потому что любой
сигнал существует в какой-либо системе его обращения.
При
изучении
данных
предметов
также
встречается
понятие математическое описание системы, которое задается связью между
сигналом входа и выхода.
В теории и технике связи нередко приходится встречаться с достаточно
сложными по своей форме сигналами и помехами. Для решения многих задач
весьма полезно уметь представлять сложные сигналы в виде суммы более
простых,
хорошо
функциями времени
изученных
элементарных
сигналов,
описываемых
.
Такое представление сложного сигнала в виде линейной комбинации
заданных функций называют разложением.
Совокупность коэффициентов разложения
сигнала, а систему функций
Произведение
, где
называют спектром
базисом разложения.
простейший сигнал, а
его амплитуда
называют спектральной составляющей.
Для
того
чтобы
выполнимо, базис разложения
разложение
должен
сигнала
обладать
ортонормированности (ортогональности и нормированности).
было
свойством
Две функции
и
ортогональны на интервале
, если их
скалярное произведение (интеграл от произведения)
,
при том условии, что ни одна из этих функций не равна тождественно
нулю при заданных свойствах.
Свойство ортогональности функций обязательно связано с интервалом
их
определения,
т.к.
на
другом
интервале
они
могут
уже
быть
неортогональны.
Из математики известно, что, если для любой пары функций из
ортогональной системы выполняется условие
,
то данная система функций система функций – ортонормированна
(нормированна к 1).
Особое
место
при
решении
многих
занимает ряд Фурье, когда в качестве простых
задач
в
теории
связи
выбирают гармонические
колебания.
Представление
следующие
сигнала
преимущества:
гармоническими
простое
функциями
математическое
имеет
описание;
инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной
цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет
гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и
начальной фазой; как и сигнал, гармонические функции периодические и
имеют бесконечную длительность; техника генерирования гармонических
функций достаточно проста. Если разложение входного сигнала по
ортогональной системе тригонометрических функций известно, то выходной
сигнал может быть получен как сумма независимо преобразованных цепью
входных гармоник.
1.2. Использование принципов оценки качества сигналов.
Рассмотрим и проанализируем существующие методы оценки качества
сигнала.
Удобным графическим методом оценки качества цифрового сигнала
на выходе регенератора является глаз-диаграмма. Она представляет собой
результат наложения всех возможных импульсных последовательностей в
течение промежутка времени, равного двум тактовым интервалам линейного
сигнала.
Наиболее простой пример - диаграмма для троичного (возможные
уровни -1, 0, +1) линейного сигнала при косинус-квадратной форме входного
сигнала регенератора. Хорошо видна область («раскрыв») глаз-диаграммы, в
пределах которой должна производиться операция опознания сигнала для
каждого из двух уровней решения. Горизонтальные линии, обозначенные как
-1, 0 и +1, соответствуют амплитудам импульсов при отсутствии помех, а
вертикальные линии через каждый тактовый интервал Т - идеальным
моментам решения.
Процесс принятия решения показан в виде двух крестиков в каждом
«раскрыве» глаз-диаграммы. Вертикальная черта каждого крестика
определяет момент решения, а горизонтальная - его уровень. Гарантией
безошибочной регенерации цифрового сигнала является наличие вблизи
каждого крестика определенной области, в пределах которой и должно
происходить опознание сигнала.
Наличие помех приводит к сокращению этой области по сравнению с
идеальным случаем. Минимальное расстояние между центром крестиков и
краями «глаза» служит мерой запаса помехозащищенности. Запас
уменьшается как из-за искажений формы импульса, так и вследствие
несовершенства самого процесса принятия решения. Первая причина
приводит к уменьшению «раскрыва» глаз-диаграммы, а вторая - к
перемещению точки принятия решения вдоль границ глаза. Возникающие
вследствие двух указанных причин искажения принято подразделять на
амплитудные и временные, соответствующие смещению точки принятия
решения по вертикали и горизонтали. Для удобства дальнейших
рассуждений будем считать, что точка принятия решения остается
неподвижной, а уменьшается «раскрыв».
Степень уменьшения «раскрыва» глаз-диаграммы по вертикали
определяется результирующими искажениями, вызванными
межсимвольными помехами, эхосигналами, изменениями амплитуды
импульсов на выходе регенератора, погрешностями порогов решающих
устройств. В результате воздействий появляется вертикальная составляющая
искажений глаз-диаграммы ?A. Именно на эту величину должны быть
сдвинуты края идеальной глаз-диаграммы.
Временные искажения глаз-диаграммы ?Т, включающие
несоответствие моментов решения их статическим значениям и джиттер,
учитываются обычно в смещении границ «глаза» по горизонтали.
Очевидно, что для компенсации ухудшения реальной глаз-диаграммы
по сравнению с идеальной необходимо увеличить величину отношения
сигнал/шум на величину ?S/N = 20 lg (H/h), дБ, где H и h представляют собой
вертикальный «раскрыв» идеальной и реальной глаз-диаграмм,
соответственно.
Ключевым параметром качества ЦСП являются ошибки. Показателей
ошибок множество, все они будут по-очередно рассмотрены ниже. Самый
простой из них - коэффициент битовых ошибок (Bit Error Ratio, BER) или
джиттер, так актуальный для VoIP телефонов или VoIP шлюзов. Напомним,
что под BER следует понимать отношение количества ошибочных битов к их
общему переданному числу.
Необходимо отметить, что при прочих равных условиях BER зависит
от количества переданных битов. Например, длинная последовательность
одинаковых символов может вызвать низкочастотную амплитудную
модуляцию и детерминированный джиттер, следствием которых будет рост
числа ошибок. Для обеспечения корректности сравнения разных ЦСП
используются типовые испытательные последовательности, причем каждой
стандартной скорости передачи соответствует своя испытательная
последовательность. По своим свойствам они близки к гауссову шуму, но
имеют определенный период повторения. Поэтому они называются не просто
случайными, а псевдослучайными последовательностями (ПСП) (PseudoRandom Bit Sequence, PRBS).
Следует особо подчеркнуть, что оценка BER будет абсолютно точной
только при бесконечно большом числе переданных битов. Строго говоря,
когда их число ограничено, мы получаем не вероятность события BER, а его
оценку BERT. Очевидно, что уровень достоверности этой оценки
(Confidential Level, CL), называемый также доверительной вероятностью,
зависит от количества зарегистрированных ошибок и от общего числа
переданных битов N.
Это подтверждают данные таблицы (см. Таблицу 1), где приведены
требуемые значения нормированной длительности NxBER в зависимости от
числа зарегистрированных ошибок Е и уровня достоверности оценки CL чем больше число зарегистрированных ошибок и уровень достоверности
оценки CL, тем большее число битов необходимо передать.
Типовая схема измерения BER предполагает наличие генератора
испытательных битовых (символьных) последовательностей тестера BER,
испытуемого объекта (регенератора, участка ЦСП и т. д.) и детектора ошибок
тестера BER.
Рисунок 1.2 – Схема установки для измерения коэффициента ошибок.
Генератор тестера BER формирует испытательные сигналы, которые
подаются на вход тестируемого объекта. Генератор тестируемого сигнала
является также источником сигнала для детектора ошибок тестера BER.
Тестируемый объект может быть территориально совмещен с тестером
BER или находиться в удаленном пункте. В любом случае испытуемый
объект должен быть выведен из эксплуатации и сигнал с его выхода подан на
вход приемника тестера BER. Как говорят связисты, должен быть
организован измерительный шлейф.
Детектор
ошибок
получает
испытательный
сигнал
с
выхода
тестируемого объекта или формирует точную копию этого сигнала
автономно. Испытательный сигнал генератора сравнивается побитно с
сигналом, поступающим с выхода испытуемого объекта. Каждое различие
сигналов детектор фиксирует как битовую ошибку.
Необходимую синфазность двух указанных сигналов обеспечивает
детектор ошибок, в котором предусмотрена требуемая задержка сигнала с
выхода генератора. Задача фазирования сигналов обычно выполняется на
этапе калибровки тестера BER.
Испытательные сигналы тестеров BER стандартизованы. Как уже
отмечалось выше, информационный сигнал в тестерах BER имитируется в
виде так называемых псевдослучайных последовательностей ПСП (PRBS),
они формируются в соответствии со стандартными алгоритмами и
различаются числом генерируемых символов M = 2k–1 , где k - целое число.
В генераторах тестеров BER предусмотрена возможность создания
произвольных испытательных последовательностей, называемых обычно
кодовыми словами.
Очевидным
недостатком
BER
является
необходимость
вывода
тестируемого объекта из эксплуатации (Out of Service, OoS), что вполне
приемлемо в процессе разработки или ремонта объекта и неудобно, если
ЦСП уже эксплуатируется. Кроме того, параметр BER хорош для оценки
влияния
одиночных
помех,
обусловленных
гауссовыми
процессами,
например собственными и переходными помехами. В то же время в любой
реальной системе связи присутствуют и целые пакеты таких ошибок (их еще
называют серийными ошибками). Поэтому без знания временной структуры
ошибок системы связи невозможна эффективная локализация повреждений и
накопление адекватной информации о качестве разработки и инсталляции
оборудования. По сути, одного параметра BER недостаточно для корректной
оценки работы ЦСП. Необходимы более адекватные, учитывающие
структуру помех, показатели качества ЦСП с возможностью их мониторинга
в процессе нормальной эксплуатации системы связи (In Service Monitoring,
ISM). Такие как рекомендации G.821 и G.826.
Таблица 1. Требуемые значения нормированной длительности.
E C
C
C
L = 90% L = 95% L = 99%
NxBER
0 2,
3
3
61
1 3,
89
4,
74
2 5,
32
1.3.
4,
6,
64
6,
3
8,
4
1.3. Планирование области оценки (САМИМ, ФМ использование
фильтров Калмана и д.р.)
При
дискретном
изменении
управляющего
колебания
модулируемые параметры несущей будут изменяться скачком. В
этом случае вместо термина «модуляция» применяется термин
«манипуляция», а само колебание называется манипулированным. В
частности манипуляция – это модуляция несущего колебания
посылками постоянного тока прямоугольной формы.
Дискретное манипулирующее колебание может иметь вид
униполярных или биполярных прямоугольных импульсов. Для
описания двух
возможных
состояний широко используются
термины «посылка» и «пауза». Эти состояния обозначают обычно
символами +1 и -1 или 1 и 0.
Амплитудной манипуляцией (АМн) называется процесс
изменения
амплитуды
несущего
(высокочастотного,
манипулируемого) колебания в соответствии с законом изменения
амплитуды
дискретного
информационного
электрического, манипулирующего) сигнала.
(первичного
Структурную
схему
получения
АМн
сигнала
представить как ключ, управляемый первичным сигналом
вход которого поступает несущий сигнал
можно
, на
(рис. 2.11). При этом
первичный сигнал можно представить в виде отрезка ряда Фурье:
– сигнал (рис. 2.12,а), а несущий
сигнал
(рис. 2. 12,б).
Амплитудно-манипулированный
сигнал
имеет
вид
последовательности радиоимпульсов с прямоугольной огибающей
(рис. 2. 12, в). Единичные элементы с длительностью интервалов
,
соответствующих символам кодовой комбинации (1 и 0 или +1 и-1),
преобразуются к виду [21, 39]:
(2.21)
,
где
изменения
– нормированная функция, повторяющая закон
(рис. 2. 12, а) и принимающая значения
.
Спектральный состав периодической последовательности
АМн сигналов определяется следующим выражением [21, 39]:
(2.22)
Спектр модулированного сигнала содержит в своем составе:
составляющую с амплитудой
две
симметричные
составляющих
на несущей частоте
боковые
;
полосы
с
и амплитудами
и
частотами
.
Для периодических сигналов – спектр дискретный, а при
случайном
следовании
кодовых
символов
(непериодических
сигналов) – спектр становится сплошным.
Ширина спектра АМн колебания:
где
– номер учитываемой гармоники;
,
–
частота
первой
гармоники
информационного
сигнала.
В реальных каналах ширину спектра берут с учетом третьей
или пятой гармоники, например при необходимости передать
цифровой
сигнал
со
скоростью
спектра
,
ширина
.
В настоящее время двоичная амплитудная манипуляция
используется в низкоскоростных системах передачи информации, в
многоканальных системах связи с временным разделением, в
радиолокационных системах, а также в ряде оптических систем.
При частотной манипуляции (ЧМн) частота высокочастотного
колебания изменяется скачком на величину
несущей
(рис.
2.13).
вырабатываются
частот
Таким
колебания
образом,
на
частотах
относительно
на
выходе
и
.
ЧМн
Разность
называют частотным сдвигом. Максимальное
отклонение частоты
Отношение
от несущей называют девиацией.
девиации
манипулирующего колебания
частоты
к
частоте
называется индексом частотной
манипуляции. Индекс ЧМн прямо пропорционален девиации и
обратно
сигнала:
пропорционален
.
частоте
информационного
Различают частотную манипуляцию: с разрывом фазы и без
разрыва фазы. Общий вид ЧМн сигнала с разрывом фазы можно
представить в виде суммы двух АМн сигналов с разными несущими
частотами
и
.
Технически
такой
вид
манипуляции
реализуется с помощью двух генераторов (рис. 2.14), которые
управляются
ключом
под
сигнала:
воздействием
информационного
.
Это представление позволяет спектр колебания
найти
как результат наложения двух спектров колебаний АМн, который
будет иметь вид [32]:
(2.23)
Первое слагаемое определяет составляющую на частоте
второе - на частоте
,
. Формирование ЧМн сигнала с разрывом
фазы показано на рис. 2.15.
Из рис. 2.15 видно, что ширина спектра ЧМн сигнала
отличается
:
от
спектра
, где
сигнала
АМн
на
величину
– номер учитываемой гармоники.
Например при необходимости передать цифровой сигнал со
скоростью
,
спектра
,
,
ширина
.
Общий вид ЧМн сигнала без разрыва фазы (рис.2.16) можно
записать в виде [32]:
где
частоты
,
– приращение фазы, обусловленное приращением
.
Этот вид манипуляции предполагает использовать один
источник колебаний (рис. 2.17.), частота которого изменяется
посредством управляемой реактивности (в этом случае фаза
изменяется непрерывно – без разрыва).
Спектральный состав ЧМн сигнала без разрыва фазы можно
получить, раскрывая выражение для
;
.
Из этой формулы следует, что для нахождения спектра ЧМн
сигнала
необходимо
функций
и
определить
спектр
разложив их в ряд Фурье:
.
(2.24)
Из спектральной характеристики (рис. 2.24) видно, что для
спектра
при
энергия
колебания
находится
вблизи
.
Спектр ограничен несущей и двумя боковыми частотами, а ширина
спектра равна ширине спектра АМн сигнала [21, 32, 39]:
(2.25)
По мере увеличения индекса частотной модуляции энергия
концентрируется вблизи частот
и
спектры колебаний при различных
. На рис. 2.18 приведены
.
Ширина спектра определяется по общей формуле [21, 32, 39]:
,
либо по формулам для различных
(2.26)
:
,
(2.27)
где V – скорость телеграфирования в бодах.
В настоящее время разработано несколько вариантов двухпозиционной
(бинарной) и многопозиционной фазовой манипуляции. В радиосистемах
передачи информации наиболее часто применяются двоичная, четырех
позиционная и восьми позиционная фазовая манипуляция (ФМн). Данные
сигналы обеспечивают высокую скорость передачи, применяются в
радиосвязи, в системах фазовой телеграфии, при формировании сложных
сигналов.
Временные
и
спектральные
характеристики
фазоманипулированных
сигналов
Наиболее простой является бинарная ФМн, при которой изменение фазы
несущего
колебания
происходит
скачком
в
определенные
моменты
первичного сигнала (рис. 2.25, а) на 0 или 180o; при этом его амплитуда и
частота несущей остаются неизменными.
ФМн
сигнал
имеет
вид
последовательности
радиоимпульсов
(отрезков гармонических колебаний) с прямоугольной огибающей (рис. 2.19,
в) [32, 39]:
,
(2.28)
где
– нормированная функция, принимающая значения -1 и 1, и
повторяющая изменения информационного сигнала (рис. 2.19, а);
–
девиация фазы (максимальное отклонение фазы от начальной).
Величина
может быть любой, однако, для лучшего различения двух
сигналов на приеме целесообразно, чтобы они максимально отличались друг
от друга по фазе, т.е. на 180o (
).
Таким образом, одни из ФМн колебаний будут синфазны с колебаниями
несущей, а другие противоположны по фазе на 180o.
Такой сигнал можно представить в виде суммы двух АМн сигналов, с
противофазными несущими 0o и 180o:
.
Структурная схема модулятора в этом случае реализуется с помощью двух
самостоятельных
источников
колебаний
(генераторов)
с
разными
начальными фазами, выходы которых управляются информационным
сигналом с помощью ключа (рис. 2.20).
Спектр
колебаний
ФМн
колебания
и
находится
суммированием
спектров
[21, 32, 39]:
(2.29)
Из формулы следует, что спектр колебаний ФМн в общем случае содержит
несущее колебание, верхнюю и нижнюю боковые полосы, состоящие из
спектральных составляющих частот
Анализ
спектров
значениях
ФМн
.
сигналов
(рис.
2.21)
показывает, что при изменении
от
при
различных
до
происходит
перераспределение энергии сигнала между несущим колебанием и боковыми
составляющими, а при
вся энергия сигнала содержится только в
боковых полосах. Из рис. 2.21 следует, что спектр амплитуд ФМн сигнала
содержит те же составляющие, что и спектр АМн сигнала, а для
скважности
составляющая
на
несущей
частоте
отсутствует.
Амплитуды боковых составляющих ФМн сигнала в 2 раза больше, чем АМн
сигнала.
Это объясняется наложением 2-х спектров - спектра ФМн сигнала и несущей.
На интервале, где колебания синфазны, суммарная амплитуда удваивается, а
где фазы противоположны, компенсируется, в результате для нахождения
спектра ФМн достаточно определить спектр АМн колебания.
Равенство полос частот АМн и ФМн сигнала предполагает также и равенство
максимально
спектральных
возможных
скоростей
составляющих
ФМн
модуляции.
сигнала
обусловливает большую помехоустойчивость.
по
Большая
сравнению
амплитуда
с
АМн
При
ФМн
начальная
является
фаза
информационным
параметром,
и
в
алгоритмах
работы фазового демодулятора с
целью
получения
начальной
формироваться
сведений
о
фазе
должны
и
храниться
образцы вариантов передаваемого
сигнала,
достаточно
точно
совпадающие с ним по частоте и
начальной фазе. Но на приеме нет
признаков по которым можно
точно
установить
однозначное
соответствие между переданными
двоичными
символами
и
образцами сигнала на входе демодулятора, в результате возможно явление
так называемой «обратной работы».
Неопределенность начальной фазы объясняется с одной стороны тем, что в
канале связи к переданной фазе добавляется произвольный и неизвестный
фазовый сдвиг. С другой стороны, фаза сигнала всегда приводится к
интервалу
и сигналы, различающиеся по фазе на
, для приемника
одинаковы.
Данное свойство неоднозначности решения характерно именно для ФМн.
При АМн сигнал, прошедший канал связи, также отличается от переданного,
однако если на выходе модулятора сигналу с большей амплитудой
соответствовал некоторый двоичный символ, то и на входе демодулятора
варианту сигнала с большей амплитудой будет соответствовать тот же самый
символ – неоднозначность отсутствует. При ЧМн ситуация аналогична. Если
одна из двух частот больше другой на выходе модулятора, то после всех
преобразований в канале она останется больше и на входе демодулятора.
Временные
характеристики
сигналов
с
относительной
фазовой
манипуляцией
Неоднозначность характерная для ФМн сигналов, устранена в системах
относительно-фазовой манипуляции (ОФМн). У такого метода манипуляции
информация заложена не в абсолютном значении начальной фазы, а в
разности начальных фаз соседних посылок, которая остается неизменной и
на приемной стороне. Для передачи первого двоичного символа в системах с
ОФМн необходима одна дополнительная посылка сигнала, передаваемая
перед началом передачи информации и играющая роль отсчетной.
Процесс формирования сигнала с ОФМн можно свести к случаю
формирования сигнала с ФМн путем перекодирования передаваемой
двоичной
последовательности.
обозначить
Алгоритм
перекодировки
прост:
если
как информационный символ, подлежащий передаче на -
м единичном элементе сигнала, то перекодированный в соответствии с
правилами ОФМн символ
определяется следующим рекуррентным
соотношением:
.
достаточно
умножить
Для
полученный
получения
сигнала
(перекодированный)
с
ОФМн
сигнал
на
несущее колебание. Структурная схема модулятора для ОФМн (рис. 2.22)
содержит
генератор
перекодирующее
несущего
устройство
колебания,
(относительный
перемножитель
кодер)
(ФМ)
состоящий
и
из
перемножителя и элемента памяти.
Демодулятор сигнала с ОФМн содержит фазовый детектор, состоящий из
перемножителя
и
ФНЧ,
на
который
подается
опорное
колебание,
совпадающее с одним из вариантов принимаемого сигнала. Дальнейшее
вычисление разности фаз и определение переданного ПЭС осуществляется
перемножением
сигналов
на
выходе
детектора,
задержанных
друг
относительно друга на длительность единичного интервала.
На рис. 2.23 представлены временные и спектральные диаграммы
формирования сигналов ОФМн: а) непериодический информационный
сигнал; б) информационный сигнал в относительном коде; в) несущее
колебание; г) сигнал ОФМн на выходе модулятора.
Алгоритмы демодуляции
сигналов с ОФМн
в сравнении
с ФМн
иллюстрируются временными диаграммами на рис. 2.24 и 2.25.
На рис. 2.25 представлены временные диаграммы демодуляции сигналов
ОФМн и ФМн при однократной ошибке в принятом радиосигнале, в качестве
исходного информационного взят сигнал рис. 2.24,а: а) сигнал с ОФМн на
выходе модулятора; б) сигнал с ОФМн на входе демодулятора, в принятый
сигнал специально введена ошибка для 3 посылки; в) опорное колебание; г)
принятый информационный сигнал, на выходе относительного декодера; д)
принятый информационный сигнал, на выходе демодулятора; е) принятый
информационный сигнал, на выходе демодулятора в случае отсутствия
ошибки.
Случай возникновения скачка фазы в опорном колебании представлен на рис.
2.25. При этом в опорное колебание специально введен скачок фазы на 180o
между 2 и 3 посылками.
Это дает возможность проиллюстрировать появление ошибок в системах с
ФМн и ОФМн. В системе с ФМн, после изменения полярности опорного
колебания, все последующие символы ошибочные (обратная работа), причем
ошибка будет оставаться до следующего скачка фазы опорного колебания. В
системе с ОФМн скачкообразное изменение полярности опорного колебания
приводит к одиночной ошибке, что и определяет преимущества сигналов с
ОФМн.
Однако следует отметить недостатки систем с ОФМн, которые следует
учитывать при выборе методов модуляций:
-необходимость передачи отсчетной посылки в начале сеанса связи;
-увеличение вероятности ошибки примерно вдвое;
-появление двойных ошибок в цифровом потоке, что усложняет кодек при
использовании корректирующих кодов;
-сложность построения модема для ОФМн по сравнению с модемом для
ФМн.
Для реализации системы с ФМн необходима передача специального
синхросигнала
(маркерного
сигнала),
соответствующему
одному
из
символов, например 0. Другой путь реализации ФМн – применение
специальных кодов с избыточностью, позволяющих обнаруживать ошибки
типа инвертирования всех символов. Все это ведет к определенным потерям:
энергетическим, скоростным и аппаратурным, и при выборе метода
модуляции ФМн или ОФМн необходимо учитывать их достоинства и
недостатки.
Принцип формирования сигнала с многократной относительной фазовой
манипуляцией
Важным параметром на выходе модулятора является число значений
модулируемого параметра
выходного сигнала. Это число называется
позиционностью сигнала или способа модуляции. Так,
-позиционная
фазовая модуляция означает, что каждый элемент сигнала на выходе
модулятора
все
имеет
одну
из
выбранных
начальных
фаз.
Если
вариантов сигнала равновероятны, то производительность модулятора
как источника информации на входе непрерывного канала связи прямо
пропорционально двоичному логарифму числа
. Эту величину
:
называют кратностью модуляции: она показывает, сколько двоичных единиц
информации содержится в каждом элементе сигнала при данном способе
модуляции или во сколько раз (крат) увеличится информационная емкость
данной системы по сравнению с двухпозиционной (однократной) системой
при
той
же
длительности
элементарного
сигнала.
Наиболее
часто
позиционность выбирают так, чтобы она равнялась целой степени числа два,
тогда кратность
Например,
-кратная фазовая манипуляция означает, что в каждом
элементарном
информации,
имеет
– целое число.
сигнале
а
фаза
допустимых
на
выходе
сигнала
значений.
сигнала в модуляторе равна
модулятора
на
Если
входе
содержится
непрерывного
длительность
бит
канал
элементарного
, то скорость формирования элементов
(скорость
модуляции)
составляет
элементов.
Количество
кодовых
символов в единицу времени В показывает скорость формирования
информации на выходе модулятора. При равновероятных сигналах
(2.30)
[бит/с].
В зависимости от числа уровней модулирующего сигнала различают
двухуровневую и многоуровневую манипуляции. Четырехпозиционная
(двухуровневая) модуляция ФМн (ДФМн) предполагает передачу двух
двоичных символов одновременно (рис. 2.26). В табл. 2.1 приведены
допустимые значения начальных фаз для ФМн-2 и ФМн-4.
Таблица 2.1. Допустимые значения начальных фаз для ФМн-2 и ФМн-4
ФМн-2
ФМн-4
, или
Ширина спектра ОФМнрадиоимпульса
радиосигнала, определяемая длительностью
зависит от скорости передачи информации
уровней манипуляции
:
и числа
(2.31)
.
Очевидно, при увеличении числа уровней манипуляции полоса частот
необходимая для ОФМн радиосигнала уменьшается. Так, при ОФМн-4
полоса частот вдвое меньше, чем при ОФМн-2 при одинаковой скорости
передачи
информации.
радиоимпульса
Для
двоичных
сигналов
длительность
равна длительности единичного элемента ПЭС
, а
ширина спектра радиосигнала ОФМн-2 пропорциональна скорости передачи
цифровой информации:
[бод].
В случае многоуровневой манипуляции (
оказывается
равной
сокращению в
,
что
) длительность
приводит
к
сигнала
соответствующему
полосы занимаемых частот при передаче одного и того
же объема данных.
Фильтр Калмана — эффективный рекурсивный фильтр, оценивающий
вектор состояния динамической системы, используя ряд неполных и
зашумленных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана.
Фильтр
Калмана
широко
используется
в
инженерных
и
эконометрических приложениях: от радаров и систем технического зрения до
оценок параметров макроэкономических моделей. Калмановская фильтрация
является важной частью теории управления, играет большую роль в создании
систем управления. Совместно с линейно-квадратичным регулятором фильтр
Калмана позволяет решить задачу линейно-квадратичного гауссовского
управления.
Фильтр
Калмана
и линейно-квадратичный
регулятор —
возможное решение большинства фундаментальных задач в теории
управления.
В большинстве приложений размерность вектора состояния объекта
превосходит размерность вектора данных наблюдения. И при этом фильтр
Калмана позволяет оценивать полное внутреннее состояние объекта.
Фильтр Калмана предназначен для рекурсивного дооценивания вектора
состояния априорно известной динамической системы, то есть для расчёта
текущего состояния системы необходимо знать текущее измерение, а также
предыдущее состояние самого фильтра. Таким образом, фильтр Калмана,
подобно другим рекурсивным фильтрам, реализован во временно́м, а не в
частотном представлении, но в отличие от других подобных фильтров,
фильтр Калмана оперирует не только оценками состояния, а ещё и оценками
неопределённости (плотности распределения) вектора состояния, опираясь
на формулу Байеса условной вероятности.
Алгоритм работает в два этапа. На этапе прогнозирования фильтр
Калмана экстраполирует значения переменных состояния, а также их
неопределённости. На втором этапе по данным измерения (полученного с
некоторой погрешностью) результат экстраполяции уточняется. Благодаря
пошаговой природе алгоритма, он может в реальном времени отслеживать
состояние объекта (без заглядывания вперед, используя только текущие
замеры и информацию о предыдущем состоянии и его неопределенности).
Бытует ошибочное мнение, что для правильной работы фильтра
Калмана якобы требуется гауссовское распределение входных данных. В
исходной работе Калмана результаты о минимуме ковариации фильтра были
получены на базе ортогональных проекций, без предположений о
гауссовости ошибок измерений. Затем просто было показано, что для
специального случая распределения ошибок по Гауссу фильтр дает точную
оценку условной вероятности распределения состояния системы.
Наглядный пример возможностей фильтра — получение оптимальных,
непрерывно обновляемых оценок положения и скорости некоторого объекта
по результатам временно́го ряда неточных измерений его местоположения.
Например, в радиолокации стоит задача сопровождения цели, определения её
местоположения, скорости и ускорения, при этом результаты измерений
поступают постепенно и сильно зашумлены. Фильтр Калмана использует
вероятностную модель динамики цели, задающую тип вероятного движения
объекта, что позволяет снизить воздействие шума и получить хорошие
оценки положения объекта в настоящий, будущий или прошедший момент
времени.
Фильтр Калмана оперирует понятием вектора состояния системы
(набором параметров, описывающих состояние системы на некоторый
момент времени) и его статистическим описанием. В общем случае динамика
некоторого вектора состояния описывается плотностями вероятности
распределения его компонент в каждый момент времени. При наличии
определённой математической модели производимых наблюдений за
системой, а также модели априорного изменения параметров вектора
состояния можно записать уравнение для апостериорной плотности
вероятности вектора состояния в любой момент времени. Аналитическое
решение
удается
получить
только
в
случае
ряда
ограничений
(предположений):

гауссовые априорные и апостериорные плотности вероятности вектора
состояния на любой момент времени (в том числе начальный)

гауссовые формирующие шумы

гауссовые шумы наблюдений

белые шумы наблюдений

линейность модели наблюдений

линейность модели формирующего процесса (который, напомним, должен
являться марковским процессом)
Классический фильтр Калмана является уравнениями для расчета
первого и второго момента апостериорной плотности вероятности (в смысле
вектора математических ожиданий и матрицы дисперсий, в том числе
взаимных) при данных ограничениях. Ввиду того, что для нормальной
плотности вероятности математическое ожидание и дисперсионная матрица
полностью задают плотность вероятности, можно сказать, что фильтр
Калмана рассчитывает апостериорную плотность вероятности вектора
состояния на каждый момент времени. А значит полностью описывает
вектор состояния как случайную векторную величину.
Расчетные значения математических ожиданий при этом являются
оптимальными оценками по критерию среднеквадратической ошибки, что и
обуславливает его широкое применение.
Существует
несколько
разновидностей
фильтра
Калмана,
отличающихся приближениями и ухищрениями, которые приходится
применять для сведения фильтра к описанному виду и уменьшения его
размерности:

расширенный фильтр Калмана (EKF, Extended Kalman filter). Сведение
нелинейных моделей наблюдений и формирующего процесса с помощью
линеаризации посредством разложения в ряд Тейлора;

сигма-точечный фильтр Калмана (UKF, Unscented Kalman filter).
Используется в задачах, в которых простая линеаризация приводит к
уничтожению полезных связей между компонентами вектора состояния. В
этом случае «линеаризация» основана на сигма-точечном преобразовании;

Ensemble Kalman filter (EnKF). Используется для уменьшения размерности
задачи;

возможны варианты с нелинейным дополнительным фильтром,
позволяющим привести негауссовые наблюдения к нормальным;

возможны варианты с «обеляющим» фильтром, позволяющим работать
с «цветными» шумами;

и т. д.
Кроме того, имеются аналоги фильтра Калмана, использующие полностью
или частично модель непрерывного времени:

фильтр Калмана — Бьюси, в котором и эволюция системы, и измерения
имеют вид функций от непрерывного времени;

гибридный фильтр Калмана, использующий непрерывное время при
описании эволюции системы, и дискретные моменты времени для измерений.
Глава 2. Результаты оценки
2.1 Математические модели видов модуляции
При амплитудной модуляции мгновенная амплитуда несущего колебания:
,
где
– амплитуда несущей;
– коэффициент пропорциональности,
выбираемый так, чтобы амплитуда
всегда была положительной.
2.2 Математические модели фильтров
2.3 Математическая оценка улучшения канала
Заключение
Список литературы
Скачать