Автокорреляционная функция (АКФ) Рассмотрим сигнал xτ(t) = x

Автокорреляционная функция (АКФ)
Рассмотрим сигнал xτ(t) = x(t − τ), являющийся копией сигнала x(t), задержанной на время τ.
d2(ẋ, ẋτ) = kẋ − ẋτk = (ẋ − ẋτ, ẋ − ẋτ) =
= (ẋ, ẋ) + (ẋτ, ẋτ) − (ẋτ, ẋ) − (ẋ, ẋτ) =
= kẋk + kẋτk − 2 Re(ẋ, ẋτ)
2
d (ẋ, ẋτ) = 2 kẋk − Re(ẋ, ẋτ)
∞
Z
Ḃx(τ) = (ẋ, ẋτ) =
ẋ(t)x(t − τ) dt
−∞
1
∗
(1)
(2)
(3)
∞
Z
x(t)x(t − τ) dt
Bx(τ) = (x, xτ) =
−∞
Свойства:
1) Bs(−τ) = Bs(τ)
2) Bs(τ) 6 Bs(0) = Es
2
(4)
Взаимокорреляционная функция (ВКФ)
∞
Z
x(t)y(t − τ) dt
Bxy (τ) = (x, y) =
−∞
Свойства:
1) Bxy (τ) = Byx(−τ)
2) Bxy (τ) 6 kxkkyk
3
(5)
Энергетический спектр
∞
Z
(x, y) =
∞
Z
∗
Ẋ(f )Y (f ) df =
−∞
Ẇxy (f ) df
(6)
−∞
∗
где Ẇxy (f ) = Ẋ(f )Y (f ) — взаимный энергетический
спектр вещественных сигналов x(t) и y(t)
Если x(t) = y(t), то
∞
∞
Z
Z
2
Ẋ(f ) df =
(x, x) =
Wx(f ) df
(7)
−∞
−∞
∗
2
где Wx(f ) = Ẋ(f )X(f ) = Ẋ(f ) — энергетический
спектр (спектральная плотность энергии) сигнала x(t)
4
Связь между спектром и корреляционной функцией
∞
Z
Wx(f ) =
Bx(τ)e−j2πf τ dτ
(8)
Wx(f )ej2πf τ df
(9)
−∞
∞
Z
Bx(τ) =
−∞
∞
Z
Ẇxy (f ) =
Ḃxy (τ)e−j2πf τ dτ
(10)
Ẇxy (f )ej2πf τ df
(11)
−∞
∞
Z
Ḃxy (τ) =
−∞
5
АКФ и ВКФ дискретных сигналов
Bx(n) =
∞
X
xj xj−n
(12)
xj yj−n
(13)
j=−∞
Bxy (n) =
∞
X
j=−∞
6
Сигналы Баркера
b3 =+1, +1, −1
b4 =+1, +1, +1, −1
+1, +1, −1, +1
b5 =+1, +1, +1, −1, +1
b7 =+1, +1, +1, −1, −1, +1, −1
b11 =+1, +1, +1, −1, −1, −1, +1, −1, −1, +1, −1
b13 =+1, +1, +1, +1, +1, −1, −1, +1, +1, −1, +1, −1, +1
7