Автокорреляционная функция (АКФ) Рассмотрим сигнал xτ(t) = x
advertisement
Автокорреляционная функция (АКФ) Рассмотрим сигнал xτ(t) = x(t − τ), являющийся копией сигнала x(t), задержанной на время τ. d2(ẋ, ẋτ) = kẋ − ẋτk = (ẋ − ẋτ, ẋ − ẋτ) = = (ẋ, ẋ) + (ẋτ, ẋτ) − (ẋτ, ẋ) − (ẋ, ẋτ) = = kẋk + kẋτk − 2 Re(ẋ, ẋτ) 2 d (ẋ, ẋτ) = 2 kẋk − Re(ẋ, ẋτ) ∞ Z Ḃx(τ) = (ẋ, ẋτ) = ẋ(t)x(t − τ) dt −∞ 1 ∗ (1) (2) (3) ∞ Z x(t)x(t − τ) dt Bx(τ) = (x, xτ) = −∞ Свойства: 1) Bs(−τ) = Bs(τ) 2) Bs(τ) 6 Bs(0) = Es 2 (4) Взаимокорреляционная функция (ВКФ) ∞ Z x(t)y(t − τ) dt Bxy (τ) = (x, y) = −∞ Свойства: 1) Bxy (τ) = Byx(−τ) 2) Bxy (τ) 6 kxkkyk 3 (5) Энергетический спектр ∞ Z (x, y) = ∞ Z ∗ Ẋ(f )Y (f ) df = −∞ Ẇxy (f ) df (6) −∞ ∗ где Ẇxy (f ) = Ẋ(f )Y (f ) — взаимный энергетический спектр вещественных сигналов x(t) и y(t) Если x(t) = y(t), то ∞ ∞ Z Z 2 Ẋ(f ) df = (x, x) = Wx(f ) df (7) −∞ −∞ ∗ 2 где Wx(f ) = Ẋ(f )X(f ) = Ẋ(f ) — энергетический спектр (спектральная плотность энергии) сигнала x(t) 4 Связь между спектром и корреляционной функцией ∞ Z Wx(f ) = Bx(τ)e−j2πf τ dτ (8) Wx(f )ej2πf τ df (9) −∞ ∞ Z Bx(τ) = −∞ ∞ Z Ẇxy (f ) = Ḃxy (τ)e−j2πf τ dτ (10) Ẇxy (f )ej2πf τ df (11) −∞ ∞ Z Ḃxy (τ) = −∞ 5 АКФ и ВКФ дискретных сигналов Bx(n) = ∞ X xj xj−n (12) xj yj−n (13) j=−∞ Bxy (n) = ∞ X j=−∞ 6 Сигналы Баркера b3 =+1, +1, −1 b4 =+1, +1, +1, −1 +1, +1, −1, +1 b5 =+1, +1, +1, −1, +1 b7 =+1, +1, +1, −1, −1, +1, −1 b11 =+1, +1, +1, −1, −1, −1, +1, −1, −1, +1, −1 b13 =+1, +1, +1, +1, +1, −1, −1, +1, +1, −1, +1, −1, +1 7
