Решения задач для младших курсов

№1


Определить потенциальное поле A , если divA  0 всюду, кроме начала координат.

При этом считается заданным поток вектора A , равный Q , через некоторую замкнутую
поверхность, охватывающую начало координат. Такое поле называется полем точечного
источника.


Решение: Так как rotA  0 , то A   . В силу симметрии поля    (r ) . Тогда





 r d r
A   
r 

. Так как divA  0 всюду, кроме начала координат, то из
r
r r dr r
теоремы Остроградского-Гаусса следует, что поток через любую замкнутую поверхность,
охватывающую начало координат равен Q . Тогда
 
 2
 
 
d 2
 d r r 

2 d
S ( A, dS )  S ( A, n)dS  S ( , n)dS  S  dr r , r dS  0 0 dr r sin dd  4r dr  Q , где
S - сфера.
 Q r
d
Q
Q




A

Отсюда
.
Тогда
и
.
dr 4r 2
4r
4 r 3
№2
   
 
Найти градиент от функции: a, b , a, b   (a, b ) 2 .
Решение:

   
a, b , a, b   a, b 2   ijk a j bk  iml ambl  ai bi  ak bk   jki  iml a j bk ambl  ai bi  ak bk 
 ( jm kl   jl km )a j bk am bl  ai bi  ak bk  a j bk a j bk  a j bk ak b j  ai bi  ak bk  a 2j bk2  a 2b 2 .
(a 2 b 2 )  b 2 a 2  a 2 b 2  b 2 2aa  a 2 2bb  2ab(ba  ab)
№3

Сила, определяемая вектором R(1;8;7) , разложена по трем направляющим, одно


 

из которых задано вектором a  2i  2 j  k . Найти составляющую силы R в направлении

вектора a .

Решение: Так как вектор R разложен по трем направляющим, то





R  1a  1b   1c . Необходимо найти  1 . Найдем направляющие косинусы между a и
осями координат
x
2
2
cos  

 ;
2
2
2
2
2
2
3
x y z
2  2 1
y
2
cos  
 ;
x2  y2  z2 3
cos  
z
x2  y2  z2

 (a, R) 1  2  8  2  7  1
21
   7 .
Найдем пр а R   
2
2
2
a
3
2  2 1

1
.
3
Тогда составляющая будет

2
14
x1  пр a R  cos   7    ;
3
3

2
14
y1  пр a R  cos   7    ;
3
3

1
7
z1  пр a R  cos   7    .
3
3
14
14
7


Ответ:  1    ; ;  .
3 3
 3
№4
На рисунке изображен эллиптический циркуль, у которого с помощью винтов
можно менять длину l скользящей линейки АВ и место прикрепления карандаша М. Как
x2 y2
x2
установить циркуль, чтобы начертить эллипсы: 1)
 y 2  1 ; 3)

 1 ; 2)
16
9
4
2
2
x  y  25 .
Решение:
AM a
 ,
MB b
Если
эллипс
задан
уравнением
x2 y2

 1,
a2 b2
AM  MB  a  b .
AM 3
 ; AM  MB  5; AB  l  5; AM  3. ;
MB 2
AM 4
 ; AM  MB  5; AB  l  5; AM  4 ;
для 2)
MB 1
AM 5
 ; AM  MB  10; AB  l  10; AM  5 .
для 3)
MB 5
Тогда для 1)
№5

Вычислить интеграл

1  cos 2 x dx .
0
Решение:
Так как 1  cos 2 x  2 cos 2 x , то искомый интеграл равен
то

2  cos x dx  2 2 .
0
№6
Найти предел
1  2 2  ...  n n
.
lim
nn
n 
1  2 2  ...  n n
Решение: Обозначим a n 
. Имеем
nn
nn
n1  n 2  n 3  ...  n n (n n 1  n) /( n  1) n n  1 n
n
.
1  n  an 



n
n
n
n
n
n
n n 1 n 1
n
 1 , то и a n  1 (n  ) .
Так как
n 1
№7
n
Найти определитель матрицы min( i, j ) i , j 1
Решение: Нетрудно видеть, что данная матрица является произведением
следующих двух матриц:
1
 1


 

0  1
1
1
 1
 1
,

 

1 .....   0 ..... 

1  
1

а так как определитель каждой из них равен 1, то и определитель данной матрицы равен 1.
№8
Доказать, что для любых векторов x, y, z в евклидовом пространстве справедливо
равенство 3( x  y  z )  x  y  z  x  y  y  z  z  x .
2
2
2
2
2
2
2
Решение: Пользуясь тем, что квадрат длины вектора равен скалярному
произведению его на себя, имеем
2
2
2
2
x  y  z  ( x  y  z, x  y  z )  x  y  z  2( x, y )  2( x, z )  2( y, z );
x  y  ( x  y, x  y )  x  y  2( x, y ).
2
2
2
Преобразуя аналогично
складывая все полученные равенства, получим искомое утверждение.
yz , xz
2
2
и