Лекция 3.11. Основные характеристики векторных полей

1
Т.А. Матвеева, Н.Г. Рыжкова
Курс высшей математики
Лекция 11
Основные характеристики
векторных полей
УГТУ-УПИ
2008г.
Цель:
Продолжить рассмотрение основных
характеристик векторных полей и их связь.
Формируемые компетенции:
ОНК1, ОНК2, ОНК3, ИК1, ИК4
3
Лекция 11
Основные характеристики векторных полей
1. Интегральные характеристики
(продолжение)
2. Связь характеристик векторного поля
4
2. Поток - поверхностный интеграл 2 рода
Основные понятия.
Поверхность Q называется гладкой, если в

любой точке поверхности существует n.
Поверхность Q называется двусторонней, если
при обходе по любому замкнутому контуру,
лежащему на поверхности и не имеющему

общих точек с ее границей вектор n
возвращается в исходное положение.
5
Пример односторонней поверхности
6
Ориентация двусторонней поверхности –
выбор определенной стороны поверхности,

– выбор определенного направления вектора n.
Обычно для замкнутых поверхностей:
•Внешняя нормаль
•Внутренняя нормаль
7
Для незамкнутых поверхностей:
•Верхняя нормаль
•Нижняя нормаль
Далее будем рассматривать двусторонние,
кусочно-гладкие, ориентированные
поверхности.
8
  ~
qi  n0 ( Pi )  qi

qi

   
 ~ 
 ~ lim  a P , q 
a P 
n
i 1
n0
Q
n
n  
i 1
max qi 0
i
~
Pi
 ~ 
a Pi , qi
i
i
Определение.
 
 Q   a , dq    a x dydz a y dxdz  a z dxdy 
Q
lim    
Q

n
n  
i 1
max qi 0
 ~ 
a Pi , qi

9
Свойства потока

 
 
 
1 . a1  a2 , dq     a1 , dq     a2 , dq ;
0
Q
Q
 
2 . a , dq  
0
Q
Q
 
 a, dq  
 
 a, dq ;
Q1
Q2
 
 
3 .  a , dq     a , dq ;
0
Q
Q
10
Вычисление потока
На поверхности Q выделим направленный


элемент dq  dq  n0
Подынтегральное выражение
 
 
a, dq   a, n0 dq
Таким образом
I 
 
 
 Q   a , dq    a , n0 dq
Q
II рода
Q
I рода
11
Пусть Q : z  z ( x, y)


Тогда Q : n  z ' x , z ' y ,1  n0 
 
 
a, dq   a, n0 dq 
z' , z' ,1
x
y
1  z'x  z' y
2
2
 ax cos   a y cos   az cos  dq 
dxdy
 ax cos   a y cos   az cos  

cos 
 cos 
 cos dxdy
cos 
  a x
 ay
 a z 

cos 
 cos 
 cos 
dxdy
dq 
cos 
12
II рода
 
 Q   a , dq  
Q


   a x z' x  a y z' y  a z dxdy
Dxy
II 
Двойной интеграл
13
Смысл потока
 
Пусть a  v (P) 
поле скоростей
текущей жидкости.
 
v , dq  количество жидкости, протекающей

со скоростью v через площадку dq

в направлении вектора n в ед. времени.
 
 a, dq  
Полное количество жидкости,…
Q
14
2. Связь характеристик векторного поля
1°. Векторные линии и поток.
Пусть Q замкнутая
 поверхность в
векторном поле a  v скорости
текущей жидкости.
Рассмотрим поток вектора a  v через
внешнюю сторону Q .
 
 
   a , dq      a , n0 dq
Q
Q

n0  единичный вектор внешней нормали;
  поток изнутри
Q.
15

n

a (P)
B

a ( A)

n
A
A, B  Q


  
 a ( B) , n0   

 2
знак + , жидкость вытекает;


  
 a ( A) , n0   

 2
знак - , жидкость втекает;
П – разница количеств втекающей и
вытекающей жидкости.
16
Если П > 0– большее количество жидкости
вытекает ( внутри Q источники)
Если П < 0– большее количество жидкости
втекает ( внутри Q есть стоки)
Если П = 0 – полная компенсация втекания
и вытекания жидкости
(или внутри Q нет источников и
стоков)
17
2°*. Связь потока и дивергенции.
Т
Остроградского-Гаусса
Если:
1. Q -замкнутая, кусочно-гладкая

поверхность, n  внешняя нормаль;
2.

a  ax , a y , az  
непрерывно-дифференцируемая
вектор-функция в области Т с
границей Q ;
18
тогда:
III 
 

   a , dq    divadxdydz
Q
T
Формула Остроградского - Гаусса
Или в координатной форме
 a
x
cos   a y cos   a z cos  dq 
Q
 a x a y a z 
dxdydz
  


x
y
z 
T 
19
Доказательство.
(справа- налево)
Рассмотрим правую часть формулы
 a x a y a z 

dxdydz 



x
y
z 
T 
a y
a x
a z
 
dxdydz  
dxdydz  
dxdydz;
x
y
z
T
T
T
20
z
Последнее слагаемое
a z
dxdydz 

z
T

n0

n0
Q2 : z  z2 ( x, y)
Q1 : z  z1 ( x, y)
y
x
Dxy
a z
  dxdy 
dz 
z
Dxy
z1 ( x , y )
z2 ( x , y )
  az ( x, y, z2 ( x, y))  az ( x, y, z1 ( x, y)) dxdy 
Dxy
21
cos 
1
На Q2 : cos   0 
cos 
cos 
 1
На Q1 : cos   0 
cos 
cos 
  a z ( x, y, z2 ( x, y ))
dxdy 
cos 
Dxy
cos 
  a z ( x, y, z1 ( x, y ))
dxdy 
cos 
Dxy
  a z ( x, y, z ) cos dq;
Q
22
 

   a , dq    divadxdydz
Q
T
Таким образом,
Поток - интегральная характеристика поля,
связан с дифференциальной характеристикой Дивергенцией.
Обратим эту связь.
23
Инвариантное определение дивергенции
Было
 a x a y a z
div a 


x
y
z
Это определение использует ДСК.
С другой стороны:
 
1) a  a (P)  векторное поле, удовл. условиям
теоремы О.-Г.
2) М -фиксированная точка поля.
3)
Q1 -любая замкнутая поверхность,
охватывающая точку M и явл. границей тела T1 .
24
Из теоремы О.-Г. следует
 

 a , dq    divadxdydz
Q1
T1
По теореме о среднем !


 divadxdydz  diva M1  V1
T1
М1 - некоторая точка (средняя) тела Т1
V1 - объем тела Т1

diva M 1  

 divadxdydz
T1
V1

; diva M 1  
 
 a , dq 
Q1
V1
;
25
Устремим Q1 к точке М 
M1  M 


diva M1   diva M  

diva M   lim
Q1 M
 
 a , dq 
Q1
V1
;
инвариантное определение дивергенции.
26
Смысл дивергенции.
 
 a , dq 
Q1
- средняя плотность потока
V1

diva M  - плотность потока в точке.

Если diva M   0 - в точке М - источник поля.

Если diva M   0 - в точке М - сток поля.
27
Замечание.
Векторные линии начинаются в точках, где

diva M   0.
Векторные линии заканчиваются в точках, где

diva M   0.
28
Вывод по теме:
Выделяют 3 основные характеристики
векторных полей: геометрические векторные линии и векторные трубки,
дифференциальные - характеристики
отдельной точки поля - дивергенция и
ротор, а также интегральные характеристики поля в целом –
линейный интеграл и поток,
причем между ними существуют
определенные связи.
Перечень источников,
список дополнительной литературы по теме.
1. Рекомендуемая литература
1.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. Соболев С.К. Вся
высшая математика. Т.1-6. М: Эудиториал УРСС, 2001.
2.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука,1988.
3.
Сборник задач по математике для втузов/ под ред. Ефимова А.Ф., Демидовича Б.П. Часть 1.М.:Наука, 1986 и более поздние издания.
4.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть
1.-М.: ОНИКС 21 век, 2003.
5.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике, ТР, М.: Высш.шк., 1983.
2. Методические издания
6.
Матвеева Т.А., Рыжкова Н.Г. Высшая математика. Конспект лекций. Часть 3. – Екатеринбург:
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006, с.167.
7. Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика: Курс лекций для технических вузов. Часть 3. ––
Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006, 142 с.
3. Электронные дидактические ресурсы
8.
Матвеева Т.А., Рыжкова Н.Г. Высшая математика. Электронный конспект лекций. Часть 3.
Формат
MS
Word.
–
распространяется
на
компакт-дисках,
размещается
на
сайте
http://umc.ustu.ru.
9.
Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика. Курс лекций для технических университетов. Часть 3.
Электронная версия, формат PDF. – распространяется на компакт-дисках, размещается на
портале http://study.ustu.ru.
10.
Матвеева Т.А. У истоков профессиональной компетентности. В электронный портфель
студентов. Электронная версия, формат PDF. – распространяется на компакт-дисках, размещено
на порталах http://umc.ustu.ru, , http://exponenta.ru.
31