Вопросы

1. Метод комплексных амплитуд. Суть. Примеры записи.
Преимущества.
Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде
суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного
спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во
времени электромагнитных полей представляет большой практический и
теоретический интерес. Такие поля часто называют монохроматическими.
Анализ гармонических процессов существенно упрощается при
использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой
скалярной функции, изменяющейся по закону
   m cos(t   ) , где  m - амплитуда,  - начальная фаза,   2 f  2 T , а f и
T - частота и период гармонического колебания, вводится в рассмотрение
комплексная функция    m ei (t  )   m eit .
Величину  m   m ei принято называть комплексной амплитудой функции  .
Для перехода от комплексной функции  к исходной функции  нужно взять
от  реальную часть   Re  Re( m eit ) . Аналогично вместо вектора
a  x0 axm cos(t  1 )  y0 a ym cos(t  2 )  z0 azm cos(t  3 ) можно ввести в
рассмотрение комплексный вектор
a  x0 axm exp i t  1    y0 a ym exp i t  2    z0 azm exp i t  3   , где
am  x0 axme  1  y0 a yme  2  z0 azme  3 - комплексная амплитуда вектора а.
i
i
i
Для перехода от комплексной амплитуды am к мгновенному значению
исходной функции нужно вычислить реальную часть произведения am на
exp(it ) : a  Re(am eit )  Re a .
Отметим, что в общем случае вместо разложения вектора а по ортам
декартовой системы координат может оказаться необходимым разложение по
каким-либо другим ортогональным векторам, что не вносит в рассмотрение
никаких принципиальных изменений. Если функции a и  удовлетворяют
линейным уравнениям, то таким же уравнениям будут удовлетворять
соответствующие комплексные функции a и  . Однако определение
комплексных функций во многих случаях оказывается проще определения
исходных функций. Это объясняется тем, что дифференцирование
комплексной функции по времени равносильно умножению ее на
i : a  ia ;   i , а интегрирование по времени - деление на i :
t
t
 adt  a i ;  dt 

i
Удобство метода комплексных амплитуд при расчете линейных цепей
связано с тем, что линейные операции намного проще проводить с
экспонентой, чем с синусом и косинусом. Например, n-кратное
дифференцирование по времени приводит просто к умножению комплексной
амплитуды на множитель (i )n , благодаря чему линейные
дифференциальные уравнения переходят в алгебраические уравнения. После
проведения расчета в комплексной форме нужно вернуться к реальным
физическим переменным, взяв действительную часть от полученного
комплексного решения aeit .
___________________________________________________________
Анализ гармонических процессов существенно упрощается при
использовании метода комплексных амплитуд. Комплексная амплитуда
несет информацию, как об амплитуде, так и о начальной фазе колебаний.
Преимущество метода комплексных амплитуд состоит – в исключении
временной зависимости. При этом операции дифференцирования и
интегрирования по времени сводятся к умножению и, соответственно,
делению функции на iωt.Уравнения Максвелла являются линейными
дифференциальными уравнениями. Поэтому при изучении
монохроматических электромагнитных полей можно вместо векторов E и H
рассматривать комплексные векторы E  Emeit и H  H m eit , связанные с
векторами E и H соотношениями: E  Re E ; H  Re H . Комплексные
амплитуды Eт и H т определяются выражениями вида. Например, если
E  x0 Exm cos(t  1 )  y0 E ym cos(t  2 )  z0 Ezm cos(t  3 ) , то
Em  x0 Exmei1  y0 Eymei2  z0 Ezmei3 . Если составляющая вектора E изменяются в
фазе, то выражение для комплексной амплитуды Eт упрощается.
Действительно, если E  Em cos(t   ) , то Em  Em ei Аналогичные соотношения
выполняются и для вектора H , если H  H m cos(t   ) , то H m  H m ei . Перейдем
в системе уравнений Максвелла к комплексным векторам E и H . Первое
уравнение Максвелл в комплексной форме принимает вид rotH  j  i D .
Учитывая, что j   E , а D   E , получаем rotH   E  i E  i 1  i

 
E.
 

Вводя обозначение    1  i  , перепишем уравнение в форме rotH  i E .



Это уравнение является первым
уравнением Максвелла для монохроматического поля. Величина 
характеризует электрические свойства среды и называется комплексной
диэлектрической проницаемостью среды. Ее значение зависит от частоты.
Рассмотрим второе уравнение Максвелла. В общем случае при переходе к
комплексным векторам магнитную проницаемость среды также следует
считать комплексной величиной    '  ''   ei . Угол  М характеризует
M
отставание по фазе вектора B от вектора H , возникающее, например, в
ферромагнетиках (явление гистерезиса).С учетом изложенного второе
уравнение Максвелла можно записать в форме rotE  i H . В случае
монохроматического поля третье и четвертое уравнения Максвелла являются
следствиями первых двух уравнений. divE  0. divH  0 . Монохроматическое
rotH  i E
поле описывается системой двух уравнений 
. Первое уравнение

rotE  i H
Максвелла, учитывающее сторонние токи, записывается в форме
rotH  j  j cm  i D . Вводя комплексную диэлектрическую проницаемость  ,
получаем rotH  i E  j cm . Соответственно третье уравнение Максвелла для
комплексного вектора E в случае однородной изотропной среды имеет вид
 cm
, где  cm – комплексная плотность сторонних зарядов. Сторонние

токи и заряды связаны уравнением непрерывности: divj cm  i cm  0 . Таким
divE 
образом, система уравнений Максвелла, учитывающая сторонние токи
rotH  i E  j cm
и заряды, в случае монохроматического поля имеет вид: 

rotE  i H
Систему уравнений Максвелла монохроматического поля можно переrotH  i E
m
m
писать для комплексных амплитуд Em и H m . 

rotEm  i H m
2. Определить размеры волновода на частоте = 15 ГГц для существования
одноволновой передачи.
Для круглого волновода:
Сначала найдем длину волны генератора
0 
с
 2 см
f
Основным типом волны круглого волновода является волна H11, ее
критическая длина кр  2 a /1,841  3, 413a , откуда получается условие
существования волны типа H11: a  0 / 3, 41  5,87 мм
Ближайшим высшим типом волны в круглом волноводе является волна Е01.
Ее критическая длина кр 
2 a
 2, 614a
2, 405
Чтобы волна типа Е01 не могла распространяться, должно выполняться
условие a  0 / 2, 61  11, 49 мм
Следовательно, диаметр волновода должен лежать в пределах
11,74 мм  a  22.98 мм
Для прямоугольного волновода:
Сначала найдем длину волны генератора
0 
с
 2 см
f
Основным типом волны прямоугольного волновода является волна H10, ее
критическая длина кр  2a , ближайшим высшим типом волны в
прямоугольном волноводе является волна H20. Ее критическая длина кр  a
0
 a  0 ,
2
Получаем: 10 мм  a  20 мм
b   0,3  0,5 a  5 мм  b  10 мм
Определим а из условия