Введение в физику дифракции 2. Физические основы динамической теории рассеяния

Введение
в физику дифракции
2. Физические основы
динамической теории рассеяния
рентгеновских лучей
Д.ф.-м.н., проф. Э.В.Суворов
Пол Питер Эвальд (1888-1985) вместе с
М.Лауэ являются создателями
современной кинематической и
динамической теорий рассеяния
рентгеновских лучей. После открытия
дифракции ретгеновских лучей П.П.Эвальд
начал в 1917 г. исследования в совершенно
новой тогда области науки - определения
атомной структуры вещества путем
анализа рентгеновских дифракционных
картин. Его магистерская диссертация
называлась "Об основах
Кристаллооптики". В 1978 году за
выдающиеся достижения в теоретической
физике П.П.Эвальд получил медаль имени
Макса Планка Немецкого физического
общества (DPG), старейшего и крупнейшего
в Европе физического общества в мире.
(а) – кинематическое рассеяние; (б) – динамическое рассеяние
В треугольнике рассеяния на рис.(б) образуется самосогласованное
электромагнитное поле. Оно описывается уравнениями Максвелла.
ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ В СОВЕРШЕННОМ КРИСТАЛЛЕ
1 B


E



  
c t

H   1  D  4 J
c t

Уравнения Максвелла
описывающие поведение
волнового поля в среде
divE  4  r 

 divH  0
Свойства электромагнитных полей
в среде
D, B – вектора электрической и магнитной индукциииндукции
E - вектор напряженности электрического поля в вакууме;
с - фазовая скорость поля в вакууме;
J - ток смещения, связан с вектором электрической поляризации
соотношением
J
P
t
P – вектор электрической поляризации среды
D  E
B  H
1
P
 Ε
4
n  1 
P – вектор поляризации среды
 – коэффициент поляризуемости среды
n – показатель преломления
 – диэлектрическая проницаемость среды
e2
R
mc2
1 B

 E   c  t

H   1  D  4 J

c t
divE  4  r 

 divH  0
-неоднородное волновое уравнение
в непрерывной среде
Волновое уравнение
Система дисперсионных уравнений
П.Эвальд, М. Лауэ (1926-1931)
Уравнения С. Такаги (1969)
Эта система линейных алгебраических
уравнений связывающая волновые вектора и
проекции амплитуд векторов индукции
получила название системы дисперсионных
уравнений П.Эвальд, М. Лауэ (1926-1931)
-проекция вектора Dm на направление,
перпендикулярное вектору Kn,
- значение волнового вектора в вакууме
Если на сферу Эвальда попадает только одна точка O или H (дифракции
нет), вектора K0 и KH могут занимать в пространстве любые ориентации.
Они не связаны между собой.
Сфера Эвальда
Сфера распространения
H  KH  K0
Геометрическая интерпретация двухволнового
приближения в теории дифракции
увеличение
 10 6
ДВУХВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В
СОВЕРШЕННОМ КРИСТАЛЛЕ
 K 02  k 2
 D0   0 D0  C  1  D1

2
 K0
 2
2
 K1  k  D   D  C   D
1
1 0
0
1
 K2

1
 K 02  k 2
  K 12  k 2

2






0 
0   C  1 1
2
2
 K0
  K1

Здесь поляризационный множитель C=1 для компонент волнового поля,
поляризованных перпендикулярно к плоскости рассеяния s
поляризация), и C=cos2 для компонент, поляризованных в этой
плоскости поляризация),
1 
  K 0 K 1 - брегговский угол.
2
АНАЛОГИИ
1. Колебания связанных маятников
Энергия колебаний будет перетекать от маятника 1
к маятнику 2 и обратно. Это явление носит название
маятникого эффекта.
2. Зависимость энергии электронов от волнового ветора
в параболической потенциальной яме
h2 2
E
k
2m
а) - энергия электронов в одномерной периодической среде, с периодом
d в прямом пространствеи и бесконечно малым потенциалом
взаимодействия;
б) - в случае потенциала взаимодецствия отличного от нуля, для
электронов появляются запрещенные зоны энергии.
Характер изменений коэффициентов прохождения T(A,y) и отражения
R(A,y) в окрестности брегговского максимума
T( y ) 
1
2
2
2

y

cos
(
A
1

y
)
2
1 y
 h sin 2 ( A 1  y 2 )
R( y ) 

h
1  y2
A
t
sin 2 B
  cos  B
,y 
  , 

C rh
C rh
ВАЖНЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
1) Эффект маятниковых осцилляций
k min  1 K  2 K  kC  1 1  sec
  10 5

2
K

2
K

  cos
c H H
Этот параметр получил название
экстинкционной длины
Осциллирующий характер зависимости Ri(A)
интегрального коэффициента отражения от толщины
кристалла.
A
t

2
  cos 


K c   H   H
ТАБЛИЦА
Установочных брегговских углов для кремния a=5,4306Å
и соответствующие экстинкционные длины 
CuK =1,5405Å
hkl

2
мкм 
 s / 
MoK =0,7093Å

2
мкм 
 s / 
AgK =0,5594Å

2
мкмs/ 
111
14,2
28,4
18,3/20,8
6,5
13,0
41,4/42,4
5,1
10,2
52,7/53,6
220
23,6
47,2
15,4/22,7
10,6
21,2
36,5/39,2
8,4
16,8
46,8/48,9
400
34,5
69,0
16,5/46,3
15,2
30,4
42,9/49,7
11,9
23,8
55,4/60,6
422
44,0
88,0
18,7
37,4
48,1/60,4
14,7
29,4
62,7/71,9
333
47,5
95,0
19,8
39,6
71,4/92,7
15,5
31,0
93,3/108,9
440
53,4
106,8
15,6/54,1
22,0
44,0
54,1/74,4
17,0
34,0
70,8/85,3
444
79,4
158,8
6,2/6,6
27,0
54,0
66,9/113,2
20,9
41,8
89,2/119,7
2) Эффект аномального прохождения рентгеновских лучей
эффект Бормана
 0  K   0 
0 H
2

  0
 H   H   i H 
1)  I  I 0 e  t
2)  эффект  Бормана
Рентгеновские топограммы
кристалла Ge полученные на
излучении CuK с фильтром Ni,
отражение (220
a) t=0,23 mm; 0t=8
б) t=0.5 mm; 0t=17.5
с) t=1.2 mm; 0t=42
(0 – нормальный коэффициент
поглощения
3) Эффект углового усиления
Незначительным по величине поворотам кристалла внутри области динамического
отражения (на углы порядка единиц угловых секунд) соответствуют повороты вектора
фазовой скорости блоховских волн на угол порядка 2 внутри треугольника Бормана,
т.е. при дифракции имеет место еще один чрезвычайно важный "эффект углового
усиления" с коэффициентом порядка - 10 4  10 5
ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ
В КРИСТАЛЛАХ С ИСКАЖЕНИЯМИ.
УРАВНЕНИЯ ТАКАГИ - ТОПЕНА
Характеристики среды в волновом уравнении можно учесть через функцию
поляризуемости c(r). Будем описывать искажения кристалла в виде некоторого поля смещения
U(r), связанного с каким-либо дефектом, причем будем полагать, что искажения достаточно
медленно меняются в пространстве, т.е. на расстояниях порядка экстинкционной длины, тогда
вместо координаты r необходимо записать r-U(r), т.е.
Если искажения достаточно слабо меняются на расстоянии экстинкционной длины т.е. u(r ) r , 1
то после достаточно громоздких преобразований уравнение для случая двухволнового
рассеяния, когда на сферу Эвальда попадает только два узла обратной решетки, примет вид
2d sin   
 
d
d
 tg  
функция, описывающая локальные разориентации
решетки, связанные с упругим полем U(r) дефекта
Эти уравнения получили название уравнений Токаги-Топена (1969)
Здесь  - телесный угол под которым из точки R(x,y,z) видна положительная сторона полуплоскости, границей
которой является дислокация;  - единичный вектор, определяющий ориентацию дислокации;  - вектор,
определяющий кратчайшее расстояние от точки поля U до оси дислокации; b – вектор Бюргерса;  - коэффициент
Пуассона.
Дифракция в идеальном кристалле
• I(x) = exp(-t/cos)Jo2[(t/R)(1+i)(1-s2)1/2]
Здесь R= cos/C|hr| - действительная часть экстинкционной глубины, C =|cos2| –
поляризационный множитель,  = hi /hr, hi и hr – мнимая и действительная часть
h-коэффициента Фурье - разложения поляризуемости кристалла,  - экстинкционная
глубина. Безразмерный параметр s = x/ttg изменяется внутри палатки Бормана от 1 до 1.
• P = μ t/cos, где μ – линейный коэффициент фотоэлектрического
поглощения
• если P>10
h,  h - интерференционный коэффициент поглощения
h KC (1-s2)1/2   = hi /oi
Секционное изображение
клиновидного кристалла кремния
Рентгеновская секционная топограмма клиновидного кристалла,
излучение AgK, отражение (220). Наблюдаются гиперболические экстинкционные полосы.
Хорошо видны биения, обусловленные присутствием двух поляризаций.
Hattorio H., Kato N. J.Phys.Soc.Jap. (1966), 21, 1772-1777
ПРИЛОЖЕНИЯ
Некоторые важные соотношения векторного анализа
a  iax  ja y  kaz
произвольные вектора a и b
b  ibx  jby  kbz
 ab   axbx  a yby  azbz
i
ab   ax
bx
j
ay
by
k
az
bz
ax
abc  bx
cx
ay
by
cy
az
bz
cz
скалярное произведение векторов
векторное произведение веторов
смешанное произведение векторов
U r 
скалярное поле векторного аргумента
V r 
векторное поле векторного аргумента
U  r 
U  r 
U  r 
gradU  r   i
j
κ
x
y
z
Vx V y Vz
divV  r  


x
y
z



i  j k
x
y
z
2
2
2
 2  2  2
x
y
z
Градиент скалярного поля
Дивергенция векторного поля
оператор Гамильтона
оператор Лапласа
U  r   gradU  r 
i
j
k
  V  r   rotV r 

x
Vx

y
Vy

z
Vz
div rotV r    0
rot  gradU r    0
V r   divV r 
rotV  r  
  x, t   f1  x  ut   f 2  x  ut 
  x, y, z, t     r, t   Ae
ik  r ut 
A ik r ut 
  r, t    e
r
I  r, t     r, t    r, t 

i  t kr 
плоская волна
сферическая волна
2

1  r 
  r   2
0
2
u
t
U  r, t   Ae 
общее выражение
волнового возмущения
Однородное
волновое уравнение
Интенсивность волны
U  r, t   k 2U  r, t 
 2U  r , t 
2



U  r,t 
2
t

e  cos x  i sin x 

ix
 ix
e e

sin x 

2i

ix
 ix

e e
cos x 

2

 ix


 1  cos 

2


2cos 2  1  cos 

2
2sin 2
Формулы Эйлера
1. Authier A., Dynamical Theory of X-Ray Diffraction, Oxford:
Science Publications, 734 P, (2001)
2. Р.Джеймс, Оптические принципы дифракции
рентгеновских лучей, Москва, ИЛ, 1950, с.572
3. В.И.Иверонова, Г.П.Ревкевич, Теория рассеяния
ренгеновских лучей, Москва, МГУ, 1978, с.278
З.Г.Пинскер, Рентгеновская кристаллооптика, Москва, Наука, 1982,
с.390
4. В.Л.Инденбом, Ф.Н.Чуковский, Пробпема изображения в
рентгеновской оптике, УФН, 107, 2, 2292265, (1972)
5. П.Хирш, А.Хови, Р.Николсон, Д.Пэшли, М.Уэлан Электронная
микроскопия тонких кристаллов, Москва, МИР, 1968
6. Дифракционные и микроскопические методы в
материаловедении, под редакцией С.Амелинкса, 1984, с.502
Москва, Металлургия, 1989, с.502