Лекция 15: Расчет сооружений методом конечных элементов

Лекция 15
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
(продолжение)
5. Перенос нагрузки в узлы
В расчетной модели по МКЭ нагрузка должна быть приложена в
узлах. Поэтому внеузловую нагрузку следует переносить в узлы.
Порядок переноса нагрузки в простых случаях остается таким же как
и ранее. Например, в стержневых системах используется таблица
метода перемещений.
Если к прямоугольному КЭ действует
линейно-распределенная нагрузка, то
узловые силы определяются так:
l 1
2 
l 2
1 
P
=
q
+
q2  .
Pk =  q1 + q2  , m
1

23
3 
2 3
3 
При переносе объемной нагрузки
(собственного веса) четырехугольного КЭ,
в каждый узел прикладывается четвертая
часть его веса G. В треугольном КЭ − в
узлы прикладывается его третья часть.
В общем случае вектор узловой нагрузки определяется по формуле:
P   HP dV .
V
6. Переход к общей системе координат
Каждый КЭ в МКЭ вначале рассматривается в местной системе
координат. Затем осуществляется переход к глобальной (общей)
системе координат.
Пусть некоторый узел i в местной
x-y
системе координат
имеет
перемещения u1i , u2i , u3i , которые
следует преобразовать в перемещения узла u1i , u2i , u3i в общей
системе координат x-y.
Поворот координатных осей осуществляется с помощью матрицы
преобразования координат (матрицы направляющих косинусов).
Для плоской ортогональной системы координат она имеет вид:
 cos  x,x  cos  x, y  cos  x,z    cosa sina 0 

 
L  cos  y,x  cos  y, y  cos  y,z      sina cosa 0  .
 cos  z,x  cos  z, y  cos  z,z    0
0
1 
Для шарнирного узла с двумя степенями свободы
 cos
L
  sin
sin 
.

cos 
(1)
Эти матрицы позволяют преобразовать матрицы и вектора
геометрических и жесткостных характеристик КЭ в местной системе
координат в их характеристики в общей системе координат.
Например, вектор координат прямоугольного
КЭ с четырьмя шарнирными узлами i-j-k-m в
местной системе координат x-y
в общую
систему координат x-y преобразует матрица
L
 i

L


0
0 
Lj
Lk




Lm 
блоки которой Li, Lj, Lk, Lm имеют вид (1).
По матрице жесткости КЭ K в местной системе координат определяется ее матрица жесткости в общей системе координат по формуле
K  Lt K L.
7. Объединение конечных элементов
Пусть в расчетной модели сооружения имеется m КЭ и n узлов, а
вектора ее перемещений и узловых нагрузок определены так:
u   u1 u2
P   P1 P2
ui
Pi
un ,
Pn .
K1 , K 2 , , K m
Если известны матрицы жесткостей
всех КЭов и
1
2
m
вектора узловых нагрузок P , P , , P , из них можно сформировать
матрицу жесткости и вектор нагрузки всего сооружения.
Эта задача решается с помощью матрицы индексов − матрицы
соответствия номеров узловых перемещений КЭов узловым
перемещениям всей модели. С ее помощью матрица жесткости K
получается рассылкой в ее блоки отдельных блоков матриц
жесткостей КЭов по информации из матрицы индексов. Рассылка идет
суммированием рассылаемого блока с имеющимся блоком в матрице
K. Этот метод называется методом сложения жесткостей.
Вектор узловой нагрузки P формируется аналогично.
В результате формируется разрешающее уравнение МКЭ:
K u = P.
Здесь K и P − матрица жесткости и вектор нагрузки всей системы.
Матрицу K часто называют глобальной матрицей жесткости.
8. Учет граничных условий
Разрешающее уравнение МКЭ
Ku=P
нельзя решить относительно перемещений u, т.к. матрица жесткости
K является вырожденной (ее определитель равен нулю). Причина в
том, что при составлении этой матрицы не учитываются граничные
условия закрепления в опорах.
Чтобы избежать вырожденности матрицы жесткости K, все
элементы ее строк и столбцов, соответствующие жестким
закреплениям, приравниваются нулю, а вместо диагональных
элементов ставятся единицы. Тогда разрешающее уравнение
упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид:
0  uз   0 
E
 0 K  u    P  .

нн   н   н 
Здесь индексы “з” и “н” соответствуют закрепленным и
незакрепленным направлениям, E − единичная матрица, 0 − нулевая
матрица, K нн и Pн − блоки матрицы жесткости и вектора нагрузки,
соответствующие незакрепленным направлениям.
9. Определение перемещений, усилий и напряжений
После решения разрешающего уравнения и определения вектора
узловых перемещений u, из этого вектора можно выбирать
перемещения отдельных КЭов и определять перемещения в
интересующих точках любого i-го КЭ по формуле:
u i  H iu i .
Усилия в узлах и напряжения внутри КЭ вычисляются по следующим
формулам:
S i  K iu i ,
i
  B 1 A t Hui .
В конкретных случаях последнюю формулу можно упростить.
Например, напряжения ферменного элемента определяются так:
d  x
  E 1 
dx  l
x   u1i 
 1

E

u 


l   1j 
 l
1   u1i  E
u   (u1 j  u1i ).

l   1j  l
10. Алгоритм расчета сооружений МКЭ
Состоит из следующих этапов:
1. Выбор расчетной модели.
2. Перенос нагрузки в узлы.
3. Определение матриц жесткостей КЭов.
4. Перевод матриц жесткостей КЭов в общую систему координат.
5. Сборка глобальной матрицы жесткости K.
6. Учет граничных условий.
7. Решение разрешающего уравнения K u  P .
8. Вычисление внутренних усилий.
9. Обработка результатов расчета.
11. Порядок расчета по МКЭ
В настоящее время разработаны вычислительные комплексы
NASTRAN, ANSIS, ЛИРА, СУМРАК и др., позволяющие рассчитывать
сложные и разнообразные сооружения на различные воздействия. Они
рассчитаны на использование мощных компьютеров, разнообразной
вспомогательной аппаратуры, сложных компьютерных программ, и в
основном состоят из следующих трех частей:
1. Препроцессор – предназначен для подготовки и ввода исходных
данных в компьютер. Используется для формирования расчетной
модели сооружения, определения координат узлов, геометрических и
физических характеристик КЭов, проверки правильности и полноты
исходных данных. Дает возможность обзора расчетной модели в
разных ракурсах на мониторе.
2. Процессор – блок математического расчета МКЭ. Входящие в
него компьютерные программы предназначены для: составления и
решения разрешающего уравнения; вычисления перемещений и
деформаций, внутренних усилий и напряжений; проверки на прочность
и жесткость; решения задач динамики и устойчивости.
3. Постпроцессор – предназначен для компьютерной обработки
результатов расчета, представления их в виде эпюр, в удобной для
анализа табличной, графической и анимационной формах.
Небоскреб высотой 301 м, построен в 1980 г. в США (Техас, Хьюстон)
Мост в Южной Каролине, США
КЭ-ные модели элементов моста и их напряженное состояние
Расчет НДС корабля
Вантовый мост