Образец заданий 11 класс - Тюменский государственный

Министерство образования и науки РФ
ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет»
Межрегиональная многопрофильная олимпиада школьников «Менделеев» по математике
2-ой очный заключительный тур 2013 год
11 класс
«Утверждаю»
И.о.ректора, проректор по ЭиФ
_______________Е.Г. Мальцева
«_____»________________2013г.
Задача 1. Доказать, что если a, b, c положительные числа, то a
2
3
b
2
3
2
c 3.
(10 баллов)
Задача 2. Утром 1 сентября учитель математики написал числа 6 и 7. Затем он поручил
дежурному каждое утро стирать написанные на доске числа и писать вместо
них их среднее геометрическое и среднее гармоническое. Чему будет равно
произведение чисел, написанных на доске днем 22 октября?
ab
Средним арифметическим чисел a и b называется число
, а их средним
2
2
гармоническим
.
1 1

a b
(10 баллов)
Задача 3. Решите уравнение cos 4 4 x  cos 2 x  2 sin 4 x cos 4 x .
(15баллов)
Задача 4.
На окружности выбраны диаметрально противоположные точки А и В и
отличная от них точка С. Касательная к окружности в точке А и прямая ВС
пересекаются в точке D. Докажите, что прямая , касающаяся окружности в
точке С, делит пополам отрезок АD.
(15баллов)
 y 2  x 3  3 x 2  2 x
Задача 5. Решите систему уравнений  2
.
 x  y 3  3 y 2  2 y
(25баллов)
Задача 6. Найти наименьшее значение функции f ( x)  x( x  1)( x  2)( x  3) .
(25баллов)
Председатель методической комиссии
В.Н. Ситников